2018中考数学题型专项研究网格专题

2018中考数学题型专项研究网格专题

第9讲网格专题 ‎1．三角函数的知识在网格中的应用．‎ ‎2．平移、旋转、轴对称知识在网格中的应用．‎ ‎3．相似知识在网格中的应用．‎ ‎4．圆的知识在网格中的应用．‎ ‎5．网格中知识的综合应用．‎ ‎1．标错点的字母，找错对应点．‎ ‎2．数错格子数目．‎ 利用图形变换的性质来解决问题．在网格中研究格点图形，具有很强的可操作性，这和新课程中考的理念相符合，因此它也成为近几年新课程中考的热点问题．近几年来，以网格为背景的问题在各省市的数学中考中倍受青睐，这类题主要考查学生的运用能力和动手操作能力，培养其探究意识和不断创新的精神．当网格作为背景时，相关格点之间便容易形成特殊的图形(如正方形、直角三角形)，具有较强的直观性、操作性，较好地实现了数学基本知识、空间观念与多种数学思维能力的综合与运用，尤其是勾股定理、数形结合等思想方法的运用达到了极点．‎ ‎【典例解析】‎ ‎【例题1】（2017甘肃天水）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．‎ ‎【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，‎ ‎∴cos∠B==．‎ 故选B．‎ ‎【例题2】（2017浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（　　）‎ A．13 B．14 C．15 D．16‎ ‎【考点】RA：几何变换的类型；KQ：勾股定理．‎ ‎【分析】根据从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换，计算出按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后点M的位置，再根据点N的位置进行适当的变换，即可得到变换总次数．‎ ‎【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF=3，‎ ‎∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，‎ 又∵MN=20，‎ ‎∴20÷3=，（不是整数）‎ ‎∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3=15格，向上移动了10÷2×3=15格，‎ 此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处，‎ ‎∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次，‎ 故选：B．‎ ‎【例题3】（2017山东烟台）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是　（﹣3，）　．‎ ‎【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．‎ ‎【分析】把B的横纵坐标分别乘以﹣得到B′的坐标．‎ ‎【解答】解：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，‎ 又∵B（3，﹣2）‎ ‎∴B′的坐标是[3×，﹣2×]，即B′的坐标是（﹣2，）；‎ 故答案为：（﹣2，）．‎ ‎【例题4】（2017广西河池）直线l的解析式为y=﹣2x+2，分别交x轴、y轴于点A，B．‎ ‎（1）写出A，B两点的坐标，并画出直线l的图象；‎ ‎（2）将直线l向上平移4个单位得到l1，l1交x轴于点C．作出l1的图象，l1的解析式是　y=﹣2x+6　．‎ ‎（3）将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，l2交l1于点D．作出l2的图象，tan∠CAD=　　．‎ ‎【考点】F9：一次函数图象与几何变换；F3：一次函数的图象．‎ ‎【分析】（1）分别令x=0求得y、令y=0求得x，即可得出A、B的坐标，从而得出直线l的解析式；‎ ‎（2）将直线向上平移4个单位可得直线l1，根据“上加下减”的原则求解即可得出其解析式；‎ ‎（3）由旋转得出其函数图象及点B的对应点坐标，待定系数法求得直线l2的解析式，继而求得其与y轴的交点，根据tan∠CAD=tan∠EAO=可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）当y=0时，﹣2x+2=0，解得：x=1，即点A（1，0），‎ 当x=0时，y=2，即点B（0，2），‎ 如图，直线AB即为所求；‎ ‎（2）如图，直线l1即为所求，‎ 直线l1的解析式为y=﹣2x+2+4=﹣2x+6，‎ 故答案为：y=﹣2x+6；‎ ‎（3）如图，直线l2即为所求，‎ ‎∵直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，‎ ‎∴由图可知，点B（0，2）的对应点坐标为（3，1），‎ 设直线l2解析式为y=kx+b，‎ 将点A（1，0）、（3，1）代入，得：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线l2的解析式为y=x﹣，‎ 当x=0时，y=﹣，‎ ‎∴直线l2与y轴的交点E（0，﹣），‎ ‎∴tan∠CAD=tan∠EAO===，‎ 故答案为：．‎ ‎【专项训练】‎ 一、选择题：‎ ‎1. (2017湖北宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥‎ BC于D，下列选项中，错误的是（　　）‎ A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1‎ ‎【考点】T1：锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2，AD=2，CD=1，AC=，利用锐角三角函数一一计算即可判断．‎ ‎【解答】解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2，AD=2，CD=1，AC=，‎ ‎∴sinα=cosα=，故①正确，‎ tanC==2，故②正确，‎ tanα=1，故D正确，‎ ‎③∵sinβ==，cosβ=，‎ ‎∴sinβ≠cosβ，故C错误．‎ 故选C．‎ ‎2. （2017呼和浩特）图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（　　）‎ A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）‎ ‎【考点】P3：轴对称图形．‎ ‎【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可．‎ ‎【解答】解：∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，‎ ‎∴通过轴对称得到的是（1）．‎ 故选：A．‎ ‎3. （2017山东泰安）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（　　）‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ ‎【考点】R2：旋转的性质．‎ ‎【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小．‎ ‎【解答】解：如图：‎ 显然，旋转角为90°，‎ 故选C．‎ ‎4.‎ ‎ 如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据正方形表面展开图的结构即可求出判断出构成这个正方体的表面展开图的概率．‎ ‎【解答】解：设没有涂上阴影的分别为：A、B、C、D、E、F、G，如图所示，‎ 从其余的小正方形中任取一个涂上阴影共有7种情况，‎ 而能够构成正方体的表面展开图的有以下情况，D、E、F、G，‎ ‎∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是，‎ 故选（A）‎ ‎【点评】本题考查概率，解题的关键是熟识正方体表面展开图的结构，本题属于中等题型．‎ 二、填空题：‎ ‎5. （2017广西百色）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，则点C的对应点坐标为　（1，3）　．‎ ‎【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．‎ ‎【分析】将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点C的对应点坐标．‎ ‎【解答】解：∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），‎ ‎∴OC=OA=2，C（0，2），‎ ‎∵将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，‎ ‎∴点C的对应点坐标是（1，3）．‎ 故答案为（1，3）．‎ ‎6. . （2017•乐山）点A、B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是　　．‎ ‎【考点】KQ：勾股定理．‎ ‎【分析】连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，‎ ‎∵S△ABC=3×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×3﹣1=9﹣1﹣1﹣﹣1=，AB==，‎ ‎∴×h=，‎ ‎∴h=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．‎ ‎7. （2017湖北江汉）有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2张，抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是　　．‎ ‎【考点】X6：列表法与树状图法．‎ ‎【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个连续整数的情况数，即可求出所求概率．‎ ‎【解答】解：列表如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（4，1）‎ ‎（5，1）‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（3，2）‎ ‎（4，2）‎ ‎（5，2）‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（4，3）‎ ‎（5，3）‎ ‎4‎ ‎（1，4）‎ ‎（2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（5，4）‎ ‎5‎ ‎（1，5）‎ ‎（2，5）‎ ‎（3，5）‎ ‎（4，5）‎ ‎﹣﹣﹣‎ 所有等可能的情况有20种，其中恰好是两个连续整数的情况有8种，‎ 则P（恰好是两个连续整数）==，‎ 故答案为：‎ 三、解答题：‎ ‎1. （2017齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1；‎ ‎（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；‎ ‎（3）求（2）中线段OA扫过的图形面积．‎ ‎【考点】R8：作图﹣旋转变换；MO：扇形面积的计算；P7：作图﹣轴对称变换．‎ ‎【分析】（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；‎ ‎（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形△A2B2C2即可；‎ ‎（3）利用扇形的面积公式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；‎ ‎（2）如图，△A2B2C2即为所求；‎ ‎（3）∵OA==5，‎ ‎∴线段OA扫过的图形面积==π．‎ ‎2. (2017湖北咸宁)小慧根据学习函数的经验，对函数y=|x﹣1|的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完整：‎ ‎（1）函数y=|x﹣1|的自变量x的取值范围是　任意实数　；‎ ‎（2）列表，找出y与x的几组对应值．‎ x ‎…‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ b ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ 其中，b=　2　；‎ ‎（3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；‎ ‎（4）写出该函数的一条性质：　函数的最小值为0（答案不唯一）　．‎ ‎【考点】F5：一次函数的性质；F3：一次函数的图象．‎ ‎【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；‎ ‎（2）把x=﹣1代入函数解析式，求出y的值即可；‎ ‎（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；‎ ‎（4）根据函数图象即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵x无论为何值，函数均有意义，‎ ‎∴x为任意实数．‎ 故答案为：任意实数；‎ ‎（2）∵当x=﹣1时，y=|﹣1﹣1|=2，‎ ‎∴b=2．‎ 故答案为：2；‎ ‎（3）如图所示；‎ ‎（4）由函数图象可知，函数的最小值为0．‎ 故答案为：函数的最小值为0（答案不唯一）．‎ ‎3. （2017山东烟台）数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至﹣20℃时，制冷再次停止，…，按照以上方式循环进行．‎ 同学们记录了44min内15个时间点冷柜中的温度y（℃）随时间x（min）的变化情况，制成下表：‎ ‎ 时间x/min ‎…‎ ‎ 4‎ ‎ 8‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎36‎ ‎40‎ ‎42‎ ‎44‎ ‎…‎ ‎ 温度y/℃‎ ‎…‎ ‎﹣20‎ ‎﹣10‎ ‎﹣8 ‎ ‎﹣5‎ ‎﹣4‎ ‎﹣8‎ ‎﹣12‎ ‎﹣16‎ ‎﹣20‎ ‎﹣10 ‎ ‎﹣8‎ ‎﹣5‎ ‎﹣4‎ ‎ a ‎﹣20‎ ‎…‎ ‎（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．‎ ‎①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式　y=﹣　；‎ ‎②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式　y=﹣4x+76　；‎ ‎（2）a的值为　﹣12　；‎ ‎（3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当4≤x≤‎ ‎44时温度y随时间x变化的函数图象．‎ ‎【考点】FH：一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）①由x•y=﹣80，即可得出当4≤x＜20时，y关于x的函数解析式；‎ ‎②根据点（20，﹣4）、（21，﹣8），利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，再代入其它点的坐标验证即可；‎ ‎（2）根据表格数据，找出冷柜的工作周期为20分钟，由此即可得出a值；‎ ‎（3）描点、连线，画出函数图象即可．‎ ‎【解答】解：（1）①∵4×（﹣20）=﹣80，8×（﹣10）=﹣80，10×（﹣8）=﹣80，16×（﹣5）=﹣80，20×（﹣4）=﹣80，‎ ‎∴当4≤x＜20时，y=﹣．‎ 故答案为：y=﹣．‎ ‎②当20≤x＜24时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，‎ 将（20，﹣4）、（21，﹣8）代入y=kx+b中，‎ ‎，解得：，‎ ‎∴此时y=﹣4x+76．‎ 当x=22时，y=﹣4x+76=﹣12，‎ 当x=23时，y=﹣4x+76=﹣16，‎ 当x=24时，y=﹣4x+76=﹣20．‎ ‎∴当20≤x＜24时，y=﹣4x+76．‎ 故答案为：y=﹣4x+76．‎ ‎（2）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，‎ ‎∴当x=42时，与x=22时，y值相同，‎ ‎∴a=﹣12．‎ 故答案为：﹣12．‎ ‎（3）描点、连线，画出函数图象，如图所示．‎ ‎4. （2017齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1；‎ ‎（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；‎ ‎（3）求（2）中线段OA扫过的图形面积．‎ ‎【考点】R8：作图﹣旋转变换；MO：扇形面积的计算；P7：作图﹣轴对称变换．‎ ‎【分析】（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；‎ ‎（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形△A2B2C2即可；‎ ‎（3）利用扇形的面积公式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；‎ ‎（2）如图，△A2B2C2即为所求；‎ ‎（3）∵OA==5，‎ ‎∴线段OA扫过的图形面积==π．‎