二次函数中考经典题

二次函数中考经典题

二次函数 ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一．解答题（共50小题）‎ ‎1．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；‎ ‎（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．‎ ‎2．已知：如图，直线y=kx+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且AC⊥AB，tan∠ACB=．‎ ‎（1）当t=1时，求抛物线的表达式；‎ ‎（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；‎ ‎（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值．‎ ‎3．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．‎ ‎（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎4．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式．‎ ‎（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．‎ ‎（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足是M，是否存在点p，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；‎ ‎（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；‎ ‎（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎6．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．‎ ‎（1）①如图2，求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长；‎ ‎②抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是　 　；‎ ‎（2）若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；‎ ‎（3）若抛物线y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y=mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．‎ ‎7．如图，已知抛物线y=k（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．‎ ‎（1）若点D的横坐标为x=﹣4，求这个一次函数与抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）问的条件下，若直线m平行于该抛物线的对称轴，并且可以在线段AB间左右移动，它与直线BD和抛物线分别交于点E、F，求当m移动到什么位置时，EF的值最大，最大值是多少？‎ ‎（3）问原抛物线在第一象限是否存在点P，使得△APB∽△ABC？若存在，请直接写出这时k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎8．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎9．如图，A，B两点在x轴的正半轴上运动，四边形ABCD是矩形，C，D两点在抛物线y=﹣x2+8x上．‎ ‎（1）若OA=1，求矩形ABCD的周长；‎ ‎（2）设OA=m（0＜m＜4），求出四边形ABCD的周长L关于m的函数表达式；‎ ‎（3）在（2）的条件下求L的最大值．‎ ‎10．如图，已知抛物线经过原点O和点A，点B（2，3）是该抛物线对称轴上一点，过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接BO、CA，若四边形OACB是平行四边形．‎ ‎（1）①直接写出A、C两点的坐标；‎ ‎②求这条抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）设该抛物线的顶点为M，试在线段AC上找出这样的点P，使得△PBM是以BM为底边的等 腰三角形，并求出此时点P的坐标；‎ ‎（3）经过点M的直线把▱OACB的面积分为1：3两部分，求这条直线的函数关系式．‎ ‎11．如图，抛物线y=﹣x﹣4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．‎ ‎（1）直接写出A、B、C的坐标；‎ ‎（2）求抛物线y=﹣x﹣4的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（3）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．‎ ‎12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（4﹣4，0）．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；‎ ‎（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得S△GCB=S△GCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠GBE=45°，求E点的坐标．‎ ‎13．如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（2，﹣3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；‎ ‎（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式；‎ ‎（3）过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF=EG．‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式．‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标．‎ ‎15．如图，在直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象经过C点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？‎ ‎（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎16．如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．‎ ‎（1）求m的值及点B的坐标；‎ ‎（2）求△ABC的面积；‎ ‎（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．‎ ‎（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；‎ ‎（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、C（1，0），与y轴交于点B．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．‎ ‎①过点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；‎ ‎②连接PA，以PA为边作正方形APMN，当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．‎ ‎19．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．‎ ‎20．如图1，已知抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．‎ ‎（1）求线段DE的长度；‎ ‎（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；‎ ‎（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△‎ C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由．‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+（m﹣1）x+4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．‎ ‎（1）求m的值及点A的坐标；‎ ‎（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．‎ ‎①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；‎ ‎②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；‎ ‎③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．‎ ‎22．已知二次函数y=ax2+4amx（m＞0）的对称轴与x轴交于点B，与直线l：y=交于点C，点A是该二次函数图象与直线l在第二象限的交点，点D是抛物线的顶点，已知AC：CO=1：2，∠DOB=45°，△ACD的面积为2．‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）若点P为抛物线对称轴上的一个点，且∠POC=45°，求点P坐标．‎ ‎23．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）相交于点A（1，0）和点D（﹣4，5），并与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于另一点B．‎ ‎（1）求该抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点E是直线下方抛物线上的一个动点，求出△ACE面积的最大值；‎ ‎（3）如图2，若点M是直线x=﹣1的一点，点N在抛物线上，以点A，D，M，N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎24．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧，A为（﹣1，0），抛物线与y轴交于点C（0，4），对称轴为x=1，连接BC．‎ ‎（1）计算a、b、c的值；‎ ‎（2）若点G为直线BC上方的抛物线上的一动点，试计算以A、B、G、C为顶点的四边形的面积的最大值；‎ ‎（3）若点H为对称轴上的一个动点，点P为抛物线上的一个动点，当以H、P、B、C四点为顶点的四边形为平行四边形时，求出点H的坐标 ‎25．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．‎ ‎26．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）‎ ‎（1）求抛物线的解析式及其对称轴．‎ ‎（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．‎ ‎（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；‎ ‎（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎27．如图，抛物线y=﹣x2+bx+‎ c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．‎ ‎（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；‎ ‎（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；‎ ‎（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使∠AHF=∠AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由．‎ ‎28．如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P为该抛物线上一个动点；‎ ‎①动点P作y轴的垂线交直线AC于点D，点P的坐标是多少时，以O为圆心，OD的长为半径的⊙O与AC相切？‎ ‎②是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎29．抛物线y1=ax2+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P在抛物线上，过P（1，﹣3），B（4，0）两点作直线y2=kx+b．‎ ‎（1）求a、c的值；‎ ‎（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点M，使得S△ABP=5S△ABM，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎30．如图，抛物线y=ax2+x+c过A（﹣1，0），B（0，2）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）M为抛物线对称轴与x轴的交点，N为x轴上对称轴上任意一点，若tan∠ANM=，求M到AN的距离．‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎31．已知，如图，二次函数y=ax2+bx﹣6的图象分别与x轴与y轴相交于点A（﹣6，0）、点B，点C（6，6）也在函数图象上．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式．‎ ‎（2）动点P从点B出发，沿着y轴的正方向运动，是否存在某一位置使得∠OAP+∠OAC=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）点Q为直线AC下方抛物线上一点，当以点A、B、C、Q为顶点的四边形的面积最大时，求出点Q的坐标．‎ ‎32．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；‎ ‎（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．‎ ‎33．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；‎ ‎（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎34．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上足否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎35．求二次函数y=﹣2x2﹣4x+1的顶点坐标，并在下列坐标系内画出函数的大致图象．说出此函数的三条性质．‎ ‎36．抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上求一点P，使S△PAB=S△ABC，写出P点的坐标；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎37．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，直线y=﹣x﹣1与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值．‎ ‎38．已知二次函数y=x2+bx﹣3（b是常数）‎ ‎（1）若抛物线经过点A（﹣1，0），求该抛物线的解析式和顶点坐标；‎ ‎（2）P（m，n）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在该抛物线上时，求m的值；‎ ‎（3）在﹣1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是﹣6，求b的值．‎ ‎39．在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数y=mx2+4mx+4m+1的图象的顶点，一次函数y=x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．‎ ‎（1）请你求出点A、B、C的坐标；‎ ‎（2）若二次函数y=mx2+4mx+4m+1与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．‎ ‎40．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，点P为抛物线的顶点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）求∠PAB的正弦值；‎ ‎（3）如图2，四边形MCDN为矩形，顶点C、D在x轴上，M、N在x轴上方的抛物线上，若MC=8，求线段MN的长度．‎ ‎41．如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过点P（1，m）作直线PA⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B、C不重合），连接CB、CP．‎ ‎（I）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；‎ ‎（II）当m＞1时，连接CA，若CA⊥CP，求m的值；‎ ‎（III）过点P作PE⊥PC，且PE=PC，当点E落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应的点E的坐标．‎ ‎42．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），点C为抛物线与y轴的交点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点E为直线BC上方抛物线上的一点，请求出△BCE面积的最大值．‎ ‎（3）在（2）条件下，是否存在这样的点D（0，m），使得△BDE为等腰三角形？如果有，请直接写出点D的坐标；如果没有，请说明理由．‎ ‎43．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）．‎ ‎（1）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围．‎ ‎（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n=1，求点P的坐标．‎ ‎44．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过原点O和B（﹣4，4），且对称轴为直线x=．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）D是直线OB下方抛物线上的一动点，连接OD，BD，在点D运动过程中，当△OBD面积最大时，求点D的坐标和△OBD的最大面积；‎ ‎（3）如图2，若点P为平面内一点，点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，直接写出满足△POD∽△NOB的点P坐标．‎ ‎45．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；‎ ‎（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．‎ ‎46．在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8，0）和点C（9，﹣3）．抛物线y=ax2﹣8ax+c（a，c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A．对称轴上有一点M，满足MA=MC．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）求四边形ABCM的面积；‎ ‎（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，求点D的坐标．‎ ‎47．如图，直线y=kx﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，经过A，B两点的抛物线y轴交于点B，经过A，B两点的抛物线y=（x﹣1）2+m与x轴负半轴交于点C．‎ ‎（1）求m和k的值；‎ ‎（2）过点B作BD∥x轴交该抛物线于点D，连接CD交y轴于点E，连结CB．‎ ‎①求∠BCD+∠OBC的度数；‎ ‎②在x轴上有一动点F，直线BF交抛物线于P点，若∠ABP=∠BCD时，求此时点P的坐标．‎ ‎48．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为二次函数的顶点，已知点（﹣1，0），点C（0，﹣3），直线DE为二次函数的对称轴，交BC于点E，交x轴于点F．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；‎ ‎（2）直线DE上是否存在点M，使点M到x轴的距离于到BD的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）已知点Q是线段BD上的动点，点D关于EQ的对称点是点D′，是否存在点Q使得△EQD′与△EQB的重叠部分图象为直角三角形？若存在，请求出DQ的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎49．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；‎ ‎（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．‎ ‎50．如图，▱ABCD与抛物线y=﹣x2+bx+c相交于点A，B，D，点C在抛物线的对称轴上，已知点B（﹣1，0），BC=4．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求BD的函数表达式．‎ ‎　‎ 二次函数 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共50小题）‎ ‎1．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；‎ ‎（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．‎ ‎【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；‎ ‎（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；‎ ‎（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．‎ ‎【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，‎ 解得：b=﹣4，c=3，‎ ‎∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；‎ ‎（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，‎ 解得：x=1或x=3，‎ ‎∴B（3，0），‎ ‎∴BC=3，‎ 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，‎ ‎①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3‎ ‎∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；‎ ‎②当BP=BC时，OP=OB=3，‎ ‎∴P3（0，﹣3）；‎ ‎③当PB=PC时，‎ ‎∵OC=OB=3‎ ‎∴此时P与O重合，‎ ‎∴P4（0，0）；‎ 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；‎ ‎（3）如图2，设A运动时间为t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，‎ ‎∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，‎ 即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．已知：如图，直线y=kx+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且AC⊥AB，tan∠ACB=．‎ ‎（1）当t=1时，求抛物线的表达式；‎ ‎（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；‎ ‎（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值．‎ ‎【分析】（1）把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，解方程组即可；‎ ‎（2）如图：作CH⊥x轴，垂足为点H，根据△AOB∽△CHA，得到==‎ ‎，根据tan∠ACB==，得到==，根据OA=t，得到点C的坐标为（t﹣4，﹣2t）．‎ ‎（3）根据点C（t﹣4，﹣2t）在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴上，得到t﹣4=，即b=2t﹣8，把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得﹣t2+bt+2=0，可知t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，据此即可求出t的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵t=1，y=kx+2，‎ ‎∴A（1，0），B（0，2），‎ 把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，得，‎ 解得，，‎ ‎∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+2．‎ ‎（2）如图：作CH⊥x轴，垂足为点H，得∠AHC=∠AOB=90°，‎ ‎∵AC⊥AB，‎ ‎∴∠OAB+∠CAH=90°，‎ 又∵∠CAH+∠ACH=90°，‎ ‎∴∠OAB=∠ACH，‎ ‎∴△AOB∽△CHA，‎ ‎∴==，‎ ‎∵tan∠ACB==，‎ ‎∴==，‎ ‎∵OA=t，OB=2，‎ ‎∴CH=2t，AH=4，‎ ‎∴点C的坐标为（t﹣4，﹣2t）．‎ ‎（3）∵点C（t﹣4，﹣2t）在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴上，‎ ‎∴t﹣4=，即b=2t﹣8，‎ 把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得﹣t2+bt+2=0，‎ ‎∴﹣t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，‎ 解得t=4±，‎ ‎∵点C（t﹣4，﹣2t）在第三象限，‎ ‎∴t=4+不符合题意，舍去，‎ ‎∴t=4﹣．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及三角函数、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的性质等知识，难度较大．‎ ‎　‎ ‎3．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．‎ ‎（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；‎ ‎（2）四边形PEFM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函数的性质即可求出四边形PEFM的周长的最大值；‎ ‎（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，由（1）可求出抛物线的顶点坐标，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，‎ 可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），‎ 又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，‎ 得，‎ 解得 所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；‎ ‎（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：‎ 由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，‎ ‎∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，‎ 则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，‎ ‎∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；‎ ‎（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：‎ ‎∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知顶点坐标（2，4），‎ ‎∴知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，‎ 过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，‎ 这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+，x2=2﹣‎ ‎∴N点坐标为N1（2+，﹣4），N2（2﹣，﹣4）．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质、利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的最大值问题和函数图象的交点问题，题目的综合性很强，对学生的综合解题能力要求很高．‎ ‎　‎ ‎4．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式．‎ ‎（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．‎ ‎（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足是M，是否存在点p，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；‎ ‎（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=﹣1右侧，进而可求出D横坐标为：﹣1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；‎ ‎（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），‎ 将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 所以函数解析式为：y=x2+2x；‎ ‎（2）∵AO为平行四边形的一边，‎ ‎∴DE∥AO，DE=AO，‎ ‎∵A（﹣2，0），‎ ‎∴DE=AO=2，‎ ‎∵四边形AODE是平行四边形，‎ ‎∴D在对称轴直线x=﹣1右侧，‎ ‎∴D横坐标为：﹣1+2=1，代入抛物线解析式得y=3，‎ ‎∴D的坐标为（1，3）；‎ ‎（3）假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，‎ 由题意，△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，‎ ‎①若△PMA∽△COB，则=，‎ 即x+2=3（x2+2x），得 x1=，x2=﹣2（舍去）‎ ‎②若△PMA∽△BOC，=，‎ 即：x2+2x=3（x+2），‎ 得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．‎ 故符合条件的点P有两个，分别（，）或（3，15）．‎ ‎【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．‎ ‎　‎ ‎5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2‎ ‎﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；‎ ‎（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；‎ ‎（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）将（0，2）代入抛物线解析式求得a的值，从而得出抛物线的解析式，再令y=0，得出x的值，即可求得点A、B的坐标；‎ ‎（2）如图2，作A'H⊥x轴于H，可证明△AOC∽△COB，得出∠ACO=∠CBO，由A'H∥OC，即可得出A′H的长，即可求得A′的坐标；‎ ‎（3）分两种情况：①如图3，以AB为直径作⊙M，⊙M交抛物线的对称轴于P（BC的下方），由圆周角定理得出点P坐标；②如图4，类比第（2）小题的背景将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A'，以A'B为直径作⊙M'，⊙M'交抛物线的对称轴于P'（BC的上方），作M'E⊥A'H于E，交对称轴于F，求得M'F，在Rt△M'P'F中，由勾股定理得出P'F得的长，从而得出点P的坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）把C（0，2）代入y=ax2﹣3ax﹣4a得﹣4a=2，‎ 解得．‎ 所以抛物线的解析式为．‎ 令，可得：x1=﹣1，x2=4．‎ 所以A（﹣1，0），B（4，0）．‎ ‎（2）如图2，作A'H⊥x轴于H，‎ 因为，且∠AOC=∠COB=90°，‎ 所以△AOC∽△COB，‎ 所以∠ACO=∠CBO，可得∠ACB=∠OBC+∠BCO=90°，‎ 由A'H∥OC，AC=A'C得OH=OA=1，A'H=2OC=4；‎ 所以A'（1，4）；‎ ‎（3）分两种情况：‎ ‎①如图3，以AB为直径作⊙M，⊙M交抛物线的对称轴于P（BC的下方），‎ 由圆周角定理得∠CPB=∠CAB，‎ 易得：MP=AB．所以P（，）．‎ ‎②如图4，类比第（2）小题的背景将△ABC沿直线BC对折，‎ 点A的对称点为A'，以A'B为直径作⊙M'，⊙M'交抛物线的对称轴于P'（BC的上方），‎ 则∠CP2B=∠CA'B=∠CAB．‎ 作M'E⊥A'H于E，交对称轴于F．‎ 则M'E=BH=，EF==．‎ 所以M'F==1．‎ 在Rt△M'P'F中，P'F=，‎ 所以P'M=2+．‎ 所以P'（，2+）．‎ 综上所述，P的坐标为（，）或（，2+）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程的解法以及二次根式的运算、勾股定理等．本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高的要求．‎ ‎　‎ ‎6．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．‎ ‎（1）①如图2，求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长；‎ ‎②抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是　相等　；‎ ‎（2）若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；‎ ‎（3）若抛物线y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y=mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．‎ ‎【分析】（1）①①过点B作BN⊥x轴于N，根据△AMB为等腰直角三角形，AB∥x轴，所以∠BMN=∠ABM=45°，所以∠BMN=∠MBN，得到MN=BN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线y=x2，得n=n2，解得n=1，n=0（舍去），所以B（1，1），求出BM的长度，利用勾股定理，即可解答；‎ ‎②因为抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同，所以抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；‎ ‎（2）根据抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的形状相同，所以抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的“完美三角形”全等，所以抛物线y=ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，所以抛物线y=ax2的“完美三角形”斜边的长为4，从而确定B点坐标为（2，2）或（2，﹣2），把点B代入y=ax2中，得到．‎ ‎（3））根据y=mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，得到，化简得mn﹣4m﹣1=0，抛物线y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，所以抛物线y=mx2的“完美三角形”斜边长为n，所以B点坐标为，代入抛物线y=mx2，得，mn=﹣2或n=0（不合题意舍去），所以，所以．‎ ‎【解答】解：（1）①过点B作BN⊥x轴于N，如图2，‎ ‎∵△AMB为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ABM=45°，‎ ‎∵AB∥x轴，‎ ‎∴∠BMN=∠ABM=45°，‎ ‎∴∠MBN=90°﹣45°=45°，‎ ‎∴∠BMN=∠MBN，‎ ‎∴MN=BN，‎ 设B点坐标为（n，n），代入抛物线y=x2，‎ 得n=n2，‎ ‎∴n=1，n=0（舍去），‎ ‎∴B（1，1）‎ ‎∴MN=BN=1，‎ ‎∴MB==，‎ ‎∴MA=MB=，‎ 在Rt△AMB中，AB==2，‎ ‎∴抛物线y=x2的“完美三角形”的斜边AB=2．‎ ‎②∵抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同，‎ ‎∴抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；‎ 故答案为：相等．‎ ‎（2）∵抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的形状相同，‎ ‎∴抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的“完美三角形”全等，‎ ‎∵抛物线y=ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，‎ ‎∴抛物线y=ax2的“完美三角形”斜边的长为4，‎ ‎∴B点坐标为（2，2）或（2，﹣2），‎ 把点B代入y=ax2中，‎ ‎∴．‎ ‎（3）∵y=mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，‎ ‎∴，‎ ‎∴mn﹣4m﹣1=0，‎ ‎∵抛物线y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，‎ ‎∴抛物线y=mx2的“完美三角形”斜边长为n，‎ ‎∴B点坐标为，‎ ‎∴代入抛物线y=mx2，得，‎ ‎∴mn=﹣2或n=0（不合题意舍去），‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数，解决本题的关键是理解“完美三角形”的定义，利用勾股定理，求出点B的坐标．‎ ‎　‎ ‎7．如图，已知抛物线y=k（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．‎ ‎（1）若点D的横坐标为x=﹣4，求这个一次函数与抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）问的条件下，若直线m平行于该抛物线的对称轴，并且可以在线段AB间左右移动，它与直线BD和抛物线分别交于点E、F，求当m移动到什么位置时，EF的值最大，最大值是多少？‎ ‎（3）问原抛物线在第一象限是否存在点P，使得△APB∽△ABC？若存在，请直接写出这时k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）先解方程k（x+2）（x﹣4）=0可得A（﹣2，0），B（4，0），再把B点坐标代入y=﹣x+b中求出得b=2，则可得到一次函数解析式为y=﹣x+2，接着利用一次函数解析式确定D点坐标，然后把D点坐标代入代入y=k（x+2）（x﹣4）中求出k的值即可得到得抛物线解析式；‎ ‎（2）利用二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，可设F（t，t2﹣t﹣2），则E（t，﹣t+2），﹣2≤t≤4，于是得到EF=﹣t+2﹣（t2﹣t﹣2）=﹣t2+4，然后根据二次函数的性质求解；‎ ‎（3）作PH⊥x轴于H，如图，先表示出C点坐标为（0，﹣8k），设P[n，k（n+2）（n﹣4）]，根据相似三角形的判定方法，当∠PAB=∠CAB，AP：AB=AB：AC时，△APB∽△ABC；再根据正切定义，在Rt△APH中有tan∠PAH=，在Rt△OAC中有tan∠OAC==4k，则=4k，解得n=8，于是得到P（8，40k），接着利用勾股定理计算出AP=10，AC=2，然后利用AP：AB=AB：AC得到10•2=62，解得k1=，k2=﹣（舍去），于是可确定P点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）当y=0时，k（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，则A（﹣2，0），B（4，0），‎ 把B（4，0）代入y=﹣x+b得﹣2+b=0，解得b=2，‎ 所以一次函数解析式为y=﹣x+2，‎ 当x=﹣4时，y=﹣x+2=4，则D点坐标为（4，4），‎ 把D（﹣4，4）代入y=k（x+2）（x﹣4）得k•（﹣2）•（﹣8）=4，解得k=，‎ 所以抛物线解析式为y=（x+2）（x﹣4），即y=x2﹣x﹣2；‎ ‎（2）设F（t，t2﹣t﹣2），则E（t，﹣t+2），﹣2≤t≤4，‎ 所以EF=﹣t+2﹣（t2﹣t﹣2）=﹣t2+4，‎ 所以当t=0时，EF最大，最大值为4，‎ 即当直线m移动到与y轴重合的位置时，EF的值最大，最大值是4；‎ ‎（3）存在．‎ 作PH⊥x轴于H，如图，‎ 当x=0时，y=k（x+2）（x﹣4）=﹣8k，则C（0，﹣8k），‎ 设P[n，k（n+2）（n﹣4）]，‎ 当∠PAB=∠CAB，AP：AB=AB：AC时，△APB∽△ABC；‎ 在Rt△APH中，tan∠PAH=，‎ 在Rt△OAC中，tan∠OAC==4k，‎ ‎∴=4k，解得n=8，则P（8，40k），‎ ‎∴AP===10，‎ 而AC===2，‎ ‎∵AP：AB=AB：AC，‎ ‎∴AP•AC=AB2，‎ 即10•2=62，‎ ‎∴5（16k2+1）=9，解得k1=，k2=﹣（舍去），‎ ‎∴k=，P点坐标为（8，4）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；灵活应用相似比和勾股定理计算相应线段的长；理解坐标与图形性质．‎ ‎　‎ ‎8．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中，列方程组求a、b的值即可；‎ ‎（2）将点D（m，﹣m﹣1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；‎ ‎（3）分两种情形①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB=∠CBD，②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，‎ 分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中，‎ 得，‎ 解得，‎ ‎∴y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）将点D（m，﹣m﹣1）代入y=x2﹣2x﹣3中，得 m2﹣2m﹣3=﹣m﹣1，‎ 解得m=2或﹣1，‎ ‎∵点D（m，﹣m﹣1）在第四象限，‎ ‎∴D（2，﹣3），‎ ‎∵直线BC解析式为y=x﹣3，‎ ‎∴∠BCD=∠BCO=45°，CD′=CD=2，OD′=3﹣2=1，‎ ‎∴点D关于直线BC对称的点D'（0，﹣1）；‎ ‎（3）存在．满足条件的点P有两个．‎ ‎①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB=∠CBD，‎ ‎∵直线BD解析式为y=3x﹣9，‎ ‎∵直线CP过点C，‎ ‎∴直线CP的解析式为y=3x﹣3，‎ ‎∴点P坐标（1，0），‎ ‎②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，‎ ‎∴∠P′CB=∠D′BC，‎ 根据对称性可知∠D′BC=∠CBD，‎ ‎∴∠P′CB=∠CBD，‎ ‎∵直线BD′的解析式为y=x﹣1，‎ ‎∵直线CP′过点C，‎ ‎∴直线CP′解析式为y=x﹣3，‎ ‎∴P′坐标为（9，0），‎ 综上所述，满足条件的点P坐标为（1，0）或（9，0）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解．‎ ‎　‎ ‎9．如图，A，B两点在x轴的正半轴上运动，四边形ABCD是矩形，C，D两点在抛物线y=﹣x2+8x上．‎ ‎（1）若OA=1，求矩形ABCD的周长；‎ ‎（2）设OA=m（0＜m＜4），求出四边形ABCD的周长L关于m的函数表达式；‎ ‎（3）在（2）的条件下求L的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，根据矩形的周长公式，可得答案 ‎（2）求L与m的函数解析式就是把m当作已知量，求L，先求AD，它的长就是D点的纵坐标，再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标，C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长，用L=2（AD+CD），建立函数关系式．‎ ‎（3）根据二次函数的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）当x=1时，y=﹣1+8=7，即AD=7，D点坐标为（1，7）．‎ 当y=7时，﹣x2+8x=7，‎ 解得x1=1，x2=7，‎ 即AB=7﹣1=6，‎ 矩形ABCD的周长=2（AD+AB）=2（7+6）=26；‎ ‎（2）把x=m代入抛物线y=﹣x2+8x中，得AD=﹣m2+8m 把y=﹣m2+8m代入抛物线y=﹣m2+8m中，得 ‎﹣m2+8m=﹣x2+8x 解得x1=m，x2=8﹣m ‎∴C的横坐标是8﹣m，故AB=8﹣m﹣m=8﹣2m ‎∴矩形的周长是L=2（﹣m2+8m）+2（8﹣2m）‎ 即L=﹣2m2+12m+16．‎ ‎（3）L=﹣2m2+12m+16化为顶点式，得 L=﹣2（m﹣3）2+34 （0＜m＜4），‎ 当m=3时，L最大=34，‎ 在（2）的条件下求L的最大值是34．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用自变量与函数值的对应关系得出AD，AB的长；解（2）的关键是利用自变量与函数值的对应关系得出得出C点的横坐标；解（3）的关键是利用二次函数的性质．‎ ‎　‎ ‎10．如图，已知抛物线经过原点O和点A，点B（2，3）是该抛物线对称轴上一点，过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接BO、CA，若四边形OACB是平行四边形．‎ ‎（1）①直接写出A、C两点的坐标；‎ ‎②求这条抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）设该抛物线的顶点为M，试在线段AC上找出这样的点P，使得△PBM是以BM为底边的等 腰三角形，并求出此时点P的坐标；‎ ‎（3）经过点M的直线把▱OACB的面积分为1：3两部分，求这条直线的函数关系式．‎ ‎【分析】（1）①根据点B（2，3）是该抛物线对称轴上一点，得出A点坐标为（4，0），进而得出AO的长，即可得出BC=AO，求出C点坐标即可；‎ ‎②根据O，A，C三点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；‎ ‎（2）首先求出AC所在解析式，进而得出符合条件的等腰△PBM顶角的顶点P在线段BM的垂直平分线与线段AC的交点上，求出即可；‎ ‎（3）由条件可知经过点M且把▱OACB的面积分为1：3两部分的直线有两条，分别得出即可．‎ ‎【解答】解：（1）①∵点B（2，3）是该抛物线对称轴上一点，‎ ‎∴A点坐标为（4，0），‎ ‎∵四边形OACB是平行四边形，‎ ‎∴BC=AO，‎ ‎∴C点坐标为：（6，3），‎ ‎②设所求的抛物线为y=ax2+bx+c，则依题意，得 ‎ ，‎ ‎ 解得：，‎ ‎∴所求的抛物线函数关系式为：y=x2﹣x．‎ ‎（2）设线段AC所在的直线的函数关系式为y=k1x+b1，根据题意，得 ‎，‎ 解得：．‎ ‎∴直线AC的函数关系式为：y=x﹣6．‎ ‎∵y=x2﹣x=（x2﹣4x），‎ ‎=（x2﹣4x+4﹣4），‎ ‎=（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标M为（2，﹣1），‎ ‎∴符合条件的等腰△PBM顶角的顶点P在线段BM的垂直平分线与线段AC的交点上，‎ 而BM=4，所以P点的纵坐标为1，把y=1代入y=x﹣6中，得x=．‎ ‎∴点P的坐标为（，1）．‎ ‎（3）平行四边形的中心对称性可以得到经过点M且把▱OACB的面积分为1：3两部分的直线有两条．‎ ‎（ⅰ）∵▱OACB=OA•BD=4×3=12，△OBD的面积=OD•BD=×2×3=3，‎ ‎∴直线x=2为所求．‎ ‎（ⅱ）设符合条件的另一直线分别与x轴、BC交于点E（x1，0）、F（x2，3），‎ 则AE=4﹣x1，CF=6﹣x2‎ ‎∴四边形ACFE的面积=（4﹣x1+6﹣x2）×3=×12．‎ 即x1+x2=8．‎ ‎∵BC∥x轴，‎ ‎∴△MDE∽△MBF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 即4x1﹣x2=6．‎ ‎∴x1=，x2=，‎ ‎∴E（，0）、F（，3），‎ 设直线ME的函数关系式为y=k2x+b2，则 ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴直线ME的函数关系式为y=x﹣．‎ 综合（ⅰ）（ⅱ）得，所求直线为：x=2或y=x﹣．‎ ‎（注：用其它方法求解参照以上标准给分．）‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用平行四边形的面积以及相似三角形的性质得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎11．如图，抛物线y=﹣x﹣4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．‎ ‎（1）直接写出A、B、C的坐标；‎ ‎（2）求抛物线y=﹣x﹣4的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（3）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．‎ ‎【分析】（1）设y=0，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，设x=0，则可求出C的坐标．‎ ‎（2）抛物线：，所以抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，﹣）．‎ ‎（3）设P（x，0）（﹣2＜x＜4），由PD∥AC，可得到关于PD的比例式，由此得到PD和x的关系，再求出C到PD的距离（即P到AC的距离），利用三角形的面积公式可得到S和x的函数关系，利用函数的性质即可求出三角形面积的最大值，进而得到x的值，所以PD可求，而PA≠PD，所以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．‎ ‎【解答】解：（1）A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）．‎ ‎（2）抛物线：，‎ ‎∴抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，﹣）．‎ ‎（3）设P（x，0）（﹣2＜x＜4），‎ ‎∵PD∥AC，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∵C到PD的距离（即P到AC的距离）：，‎ ‎∴△PCD的面积，‎ ‎∴，‎ ‎∴△PCD面积的最大值为3，‎ 当△PCD的面积取最大值时，x=1，PA=4﹣x=3，，‎ 因为PA≠PD，所以以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数和坐标轴的交点问题、平行线分线段成比例定理、特殊角的锐角三角形函数值、二次函数的最值问题以及菱形的判定，题目的综合性较强，难度中等．‎ ‎　‎ ‎12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（4﹣4，0）．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；‎ ‎（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得S△GCB=S△GCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠GBE=45°，求E点的坐标．‎ ‎【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；‎ ‎（2）首先求出△AQD∽△ACB，则，得出DQ=DP的长，进而得出答案；‎ ‎（3）首先得出G点坐标，进而得出△BGM∽△BEN，进而假设出E点坐标，利用相似三角形的性质得出E点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx+4得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 故抛物线的解析式为：；‎ ‎（2）如图，连接QD，‎ 由B（4，0）和D（，0），‎ 可得BD=，‎ ‎∵，‎ ‎∴CO=4，‎ ‎∴BC=4，则BC=BD，‎ ‎∴∠BDC=∠BCD=∠QDC，‎ ‎∴DQ∥BC，‎ ‎∴△AQD∽△ACB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴DQ==DP，‎ ‎=；‎ ‎（3）如图，过点G作GM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N，‎ ‎∵S△GCB=S△GCA，‎ ‎∴只有CG∥AB时，G点才符合题意，‎ ‎∵C（0，4），‎ ‎∴4=﹣x2+x+4，‎ 解得：x1=1，x2=0，‎ ‎∴G（1，4），‎ ‎∵∠GBE=∠OBC=45°，‎ ‎∴∠GBC=∠ABE，‎ ‎∴△BGM∽△BEN，‎ ‎∴，‎ 设E（x，）‎ ‎∴=‎ 解得，x2=4（舍去），‎ 则E（，）．‎ ‎【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式和线段垂直平分线的性质等知识，利用数形结合得出△BGM∽△BEN是解题关键．‎ ‎　‎ ‎13．如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（2，﹣3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；‎ ‎（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式；‎ ‎（3）过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF=EG．‎ ‎【分析】（1）把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y=x2+bx+c，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标；‎ ‎（2）先求出抛物线y=x2﹣x﹣2与y轴交点D的坐标为（0，﹣2），再根据平移规律可知将点（，）向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到点D，然后利用顶点式即可写出平移后的抛物线解析式为：y=x2﹣2；‎ ‎（3）先用待定系数法求直线OC的解析式为y=﹣x，再将x=m代入，求出yG=，yF=m2﹣2，yE=m2﹣m﹣2，再分别计算得出PF=﹣（m2﹣2）=2﹣m2，EG=yG﹣yE=2﹣，由此证明PF=EG．‎ ‎【解答】（1）解：把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y=x2+bx+c，‎ 得：，解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2，‎ ‎∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，‎ ‎∴其顶点坐标为：（，）；‎ ‎（2）解：∵y=x2﹣x﹣2，‎ ‎∴当x=0时，y=﹣2，‎ ‎∴D点坐标为（0，﹣2）．‎ ‎∵将点（，）向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到点D，‎ ‎∴将y=x2﹣x﹣2向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，顶点为点D，‎ 此时平移后的抛物线解析式为：y=x2﹣2；‎ ‎（3）证明：设直线OC的解析式为y=kx，‎ ‎∵C（2，﹣3），‎ ‎∴2k=﹣3，解得k=﹣，‎ ‎∴直线OC的解析式为y=﹣x．‎ 当x=m时，yF=m2﹣2，则PF=﹣（m2﹣2）=2﹣m2，‎ 当x=m时，yE=m2﹣m﹣2，yG=，‎ 则EG=yG﹣yE=2﹣，‎ ‎∴PF=EG．‎ ‎【点评】本题考查了运用待定系数法求二次函数、正比例函数的解析式，二次函数图象与几何变换，抛物线顶点坐标的求法等知识，难度适中．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式．‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标．‎ ‎【分析】（1）将A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；‎ ‎（2）先证明△AOB是等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，再证明△PDE是等腰直角三角形，则PE越大，△PDE的周长越大，再运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+3，则可设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），E点的坐标为（x，x+3），那么PE=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣（x+）2+，根据二次函数的性质可知当x=﹣时，PE最大，△PDE的周长也最大．将x=﹣代入﹣x2﹣2x+3，进而得到P点的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（2）∵A（﹣3，0），B（0，3），‎ ‎∴OA=OB=3，‎ ‎∴△AOB是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAO=45°．‎ ‎∵PF⊥x轴，‎ ‎∴∠AEF=90°﹣45°=45°，‎ 又∵PD⊥AB，‎ ‎∴△PDE是等腰直角三角形，‎ ‎∴PE越大，△PDE的周长越大．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，则 ‎，解得，‎ 即直线AB的解析式为y=x+3．‎ 设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），E点的坐标为（x，x+3），‎ 则PE=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，‎ 所以当x=﹣时，PE最大，△PDE的周长也最大．‎ 当x=﹣时，﹣x2﹣2x+3=﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+3=，‎ 即点P坐标为（﹣，）时，△PDE的周长最大．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，三角形的周长，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象经过C点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？‎ ‎（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；‎ ‎（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．‎ ‎【解答】解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．‎ ‎∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，‎ ‎∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．‎ ‎∵在△AOB与△CDA中，‎ ‎∴△AOB≌△CDA（ASA）．‎ ‎∴CD=OA=1，AD=OB=2，‎ ‎∴OD=OA+AD=3，‎ ‎∴C（3，1）．‎ ‎∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，‎ ‎∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2，‎ ‎；‎ ‎（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．‎ ‎∴S△ABC=AB2=．‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），‎ ‎∴，‎ 解得k=﹣，b=2，‎ ‎∴y=﹣x+2．‎ 同理求得直线AC的解析式为：y=x﹣．‎ 如答图1所示，‎ 设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．‎ ‎△CEF中，EF边上的高h=OD﹣x=3﹣x．‎ 由题意得：S△CEF=S△ABC，‎ 即：EF•h=S△ABC，‎ ‎∴×（﹣x）•（3﹣x）=×，‎ 整理得：（3﹣x）2=3，‎ 解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），‎ ‎∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．‎ ‎（3）存在．‎ 如答图2所示，‎ 过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．‎ 过点A作AP∥BC交y轴于点W，‎ ‎∵四边形ACBP是平行四边形，‎ ‎∴AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．‎ 过点P作PH⊥x轴于点H，‎ ‎∵BC∥AP，‎ ‎∴∠CBO=∠AWO，‎ ‎∵PH∥WO，‎ ‎∴∠APH=∠AWO，‎ ‎∴∠CBG=∠APH，‎ 在△PAH和△BCG中，‎ ‎∴△PAH≌△BCG（AAS），‎ ‎∴PH=BG=1，AH=CG=3，‎ ‎∴OH=AH﹣OA=2，‎ ‎∴P（﹣2，1）．‎ 抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．‎ ‎∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数综合题型以及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．‎ ‎　‎ ‎16．如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．‎ ‎（1）求m的值及点B的坐标；‎ ‎（2）求△ABC的面积；‎ ‎（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．‎ ‎【分析】（1）先把点A坐标代入解析式，求出m的值，进而求出点B的坐标；‎ ‎（2）根据二次函数的解析式求出点C的坐标，进而求出△ABC的面积；‎ ‎（3）根据S△ABD=S△ABC求出点D纵坐标的绝对值，然后分类讨论，求出点D的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数过A（3，0），‎ ‎∴﹣18+12+m=0，‎ ‎∴m=6，‎ ‎∴该函数解析式为：y=﹣2x2+4x+6，‎ ‎∴当﹣2x2+4x+6=0时，x1=﹣1，x2=3，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣1，0）；‎ ‎（2）C点坐标为（0，6），；‎ ‎（3）∵S△ABD=S△ABC=12，‎ ‎∴S△ABD==12，‎ ‎∴|h|=6，‎ ‎①当h=6时：﹣2x2+4x+6=6，解得：x1=0，x2=2‎ ‎∴D点坐标为（0，6）或（2，6），‎ ‎②当h=﹣6时：﹣2x2+4x+6=﹣6，解得：x1=1+，x2=1﹣‎ ‎∴D点坐标为（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）‎ ‎∴D点坐标为（0，6）、（2，6）、（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）．‎ ‎【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解答（3）问需要分类讨论，此题难度一般．‎ ‎　‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．‎ ‎（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；‎ ‎（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；‎ ‎（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；‎ ‎（3）根据当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；结合图象可知：﹣（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）令mx2﹣（m+n）x+n=0，则 ‎△=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2，‎ ‎∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，‎ ‎∴A（0，n），且n＞0，‎ 又∵m＜0，‎ ‎∴m﹣n＜0，‎ ‎∴△=（m﹣n）2＞0，‎ ‎∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；‎ ‎（2）令mx2﹣（m+n）x+n=0，‎ 解得：x1=1，x2=，‎ 由（1）得＜0，故B的坐标为（1，0），‎ 又因为∠ABO=45°，‎ 所以A（0，1），即n=1，‎ 则可求得直线AB的解析式为：y=﹣x+1．‎ 再向下平移2个单位可得到直线l：y=﹣x﹣1；‎ ‎（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2﹣（m+1）x+1．‎ ‎∵M（p，q） 为二次函数图象上的一个动点，‎ ‎∴q=mp2﹣（m+1）p+1．‎ ‎∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，﹣q）．‎ ‎∴M′点在二次函数y=﹣m2+（m+1）x﹣1上．‎ ‎∵当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，‎ 当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4； ‎ 结合图象可知：﹣（12m+4）≤2，‎ 解得：m≥﹣．‎ ‎∴m的取值范围为：﹣≤m＜0．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一次函数图象的平移等知识，利用数形结合得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、C（1，0），与y轴交于点B．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．‎ ‎①过点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；‎ ‎②‎ 连接PA，以PA为边作正方形APMN，当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．‎ ‎【分析】（1）把点A、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；‎ ‎（2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；‎ ‎②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣3，0），C（1，0），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），‎ ‎∴OA=OB=3，‎ ‎∴△AOB是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAO=45°，‎ ‎∵PF⊥x轴，‎ ‎∴∠AEF=90°﹣45°=45°，‎ 又∵PD⊥AB，‎ ‎∴△PDE是等腰直角三角形，‎ ‎∴PD越大，△PDE的周长越大，‎ 易得直线AB的解析式为y=x+3，‎ 设与AB平行的直线解析式为y=x+m，‎ 联立，‎ 消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，‎ 当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，‎ 即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，‎ 此时x=﹣，y=﹣+=，‎ ‎∴点P（﹣，）时，△PDE的周长最大；‎ ‎②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣=﹣1，‎ ‎（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，‎ 在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，‎ ‎∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，‎ ‎∴∠APF=∠QPM，‎ ‎∵在△APF和△MPQ中，‎ ‎，‎ ‎∴△APF≌△MPQ（AAS），‎ ‎∴PF=PQ，‎ 设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，‎ 即PF=﹣1﹣n，‎ ‎∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），‎ ‎∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，‎ ‎∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，‎ 整理得，n2+n﹣4=0，‎ 解得n1=（舍去），n2=，‎ ‎﹣1﹣n=﹣1﹣=，‎ 所以，点P的坐标为（，）；‎ ‎（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，‎ ‎∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，‎ ‎∴∠FPA=∠QAN，‎ 又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，‎ ‎∴△APF≌△NAQ，‎ ‎∴PF=AQ，‎ 设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），‎ 则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，‎ 解得x=﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣﹣1，‎ 此时点P坐标为（﹣﹣1，2）．‎ 综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）．‎ ‎【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出△PDE是等腰直角三角形，从而判断出点P为平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）根据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．‎ ‎【分析】（1）直接把A点和C点坐标代入y=﹣x2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；‎ ‎（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=﹣，则D（，0），则利用勾股定理计算出CD=，然后分类讨论：如图1，当CP=CD时，利用等腰三角形的性质易得P1（，4）；当DP=DC时，易得P2（，），P3（，﹣）；‎ ‎（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），则FE=﹣x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=﹣x2+4x，加上S△BCD=，所以S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+（0≤x≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+mx+n得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）存在．‎ 抛物线的对称轴为直线x=﹣=，‎ 则D（，0），‎ ‎∴CD===，‎ 如图1，当CP=CD时，则P1（，4）；‎ 当DP=DC时，则P2（，），P3（，﹣），‎ 综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；‎ ‎（3）当y=0时，=﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，则B（4，0），‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，‎ 把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，‎ 设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），‎ ‎∴FE=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，‎ ‎∵S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=2（﹣x2+2x）=﹣x2+4x，‎ 而S△BCD=×2×（4﹣）=，‎ ‎∴S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD ‎=﹣x2+4x+（0≤x≤4），‎ ‎=﹣（x﹣2）2+‎ 当x=2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．‎ ‎　‎ ‎20．如图1，已知抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．‎ ‎（1）求线段DE的长度；‎ ‎（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；‎ ‎（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△‎ F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据解析式求得C的坐标，进而求得D的坐标，即可求得DH的长度，令y=0，求得A，B的坐标，然后证得△ACO∽△EAH，根据对应边成比例求得EH的长，进继而求得DE的长；‎ ‎（2）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，根据点的坐标求得直线GN的解析式：y=x﹣；直线AE的解析式：y=﹣x﹣，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣），根据S△MFP=S△MQF+S△MQP，得出S△MFP=﹣m2+m+，根据解析式即可求得，△MPF面积的最大值；‎ ‎（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），求得CF=，CP=，进而得出△CFP为等边三角形，边长为，翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，然后分三种情况讨论求得即可．‎ ‎【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+，‎ 令x=0，得y=，即C（0，），D（2，），‎ ‎∴DH=，‎ 令y=0，即﹣x2+x+=0，得x1=﹣1，x2=3，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（3，0），‎ ‎∵AE⊥AC，EH⊥AH，‎ ‎∴△ACO∽△EAH，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：EH=，‎ 则DE=2；‎ ‎（2）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），‎ 连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，‎ 直线GN的解析式：y=x﹣；直线AE的解析式：y=﹣x﹣，‎ 联立得：F （0，﹣），P（2，），‎ 过点M作y轴的平行线交FP于点Q，‎ 设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣），（0＜m＜2）；‎ ‎∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=﹣m2+m+，‎ ‎∵对称轴为：直线m=＜2，开口向下，‎ ‎∴m=时，△MPF面积有最大值：；‎ ‎（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），‎ ‎∴CF=，CP==，‎ ‎∵OC=，OA=1，‎ ‎∴∠OCA=30°，‎ ‎∵FC=FG，‎ ‎∴∠OCA=∠FGA=30°，‎ ‎∴∠CFP=60°，‎ ‎∴△CFP为等边三角形，边长为，‎ 翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，‎ ‎1）当K F′=KF″时，如图3，‎ 点K在F′F″的垂直平分线上，所以K与B重合，坐标为（3，0），‎ ‎∴OK=3； ‎ ‎2）当F′F″=F′K时，如图4，‎ ‎∴F′F″=F′K=4，‎ ‎∵FP的解析式为：y=x﹣，‎ ‎∴在平移过程中，F′K与x轴的夹角为30°，‎ ‎∵∠OAF=30°，‎ ‎∴F′K=F′A ‎∴AK=4‎ ‎∴OK=4﹣1或者4+1；‎ ‎3）当F″F′=F″K时，如图5，‎ ‎∵在平移过程中，F″F′始终与x轴夹角为60°，‎ ‎∵∠OAF=30°，‎ ‎∴∠AF′F″=90°，‎ ‎∵F″F′=F″K=4，‎ ‎∴AF″=8，‎ ‎∴AK=12，‎ ‎∴OK=11，‎ 综上所述：OK=3，4﹣1，4+1或者11．‎ ‎【点评】‎ 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的交点和待定系数法求二次函数的解析式以及最值问题，考查了三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分类讨论的思想是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+（m﹣1）x+4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．‎ ‎（1）求m的值及点A的坐标；‎ ‎（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．‎ ‎①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；‎ ‎②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；‎ ‎③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．‎ ‎【分析】（1）根据抛物线与y轴交于点B（0，4），进而代入求出m的值即可；‎ ‎（2）①点E（0，1），由题意可知，﹣x2+4=1，即可得出x的值，进而得出AA′的长；‎ ‎②连接EE′，利用勾股定理得出当n=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值；‎ ‎③首先证明△AB′A′≌△EBE′（SAS），进而得出当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值，利用△AB′A′∽△OBA′，‎ 得出EE′=AA′的值，进而得出点E′的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：4m=4，‎ 解得：m=1．‎ ‎∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+4，‎ 当y=0时，0=﹣x2+4，‎ 解得：x1=2，x2=﹣2，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣2，0）． ‎ ‎（2）①∵点E（0，1），由题意可知，﹣x2+4=1．‎ 解得：．‎ ‎∴AA′=；‎ ‎ ‎ ‎②如图，连接EE′．‎ 由题设知AA′=n（0＜n＜2），则A′O=2﹣n．‎ 在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，‎ 得A′B2=（2﹣n）2+42=n2﹣4n+20．‎ ‎∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，‎ ‎∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．‎ ‎∴∠BEE′=90°，EE′=n．‎ 又BE=OB﹣OE=3．‎ ‎∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=n2+9，‎ ‎∴A′B2+BE′2=2n2﹣4n+29=2（n﹣1）2+27．‎ 当n=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时点E′的坐标是（1，1）；‎ ‎③如图，过点A作AB′⊥x轴，并使AB′=BE=3，‎ 在△BEE′和△B′AA′中，‎ ‎，‎ ‎∴△AB′A′≌△EBE′（SAS），‎ ‎∴B′A′=BE′，‎ ‎∴A′B+BE′=A′B+B′A′．‎ 当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．‎ 此时点B，A′，B′在同一条直线上，‎ ‎∴∠AA′B′=∠BA′O，∠B′AA′=∠BOA′，‎ ‎∴△AB′A′∽△OBA′，‎ ‎∴，‎ ‎∴AA′=，‎ ‎∴EE′=AA′=，‎ ‎∴点E′的坐标是（，1）．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数的综合以及相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及勾股定理、线段最小值问题等知识，得出当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小是解题关键．‎ ‎　‎ ‎22．已知二次函数y=ax2+4amx（m＞0）的对称轴与x轴交于点B，与直线l：y=交于点C，点A是该二次函数图象与直线l在第二象限的交点，点D是抛物线的顶点，已知AC：CO=1：2，∠DOB=45°，△ACD的面积为2．‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）若点P为抛物线对称轴上的一个点，且∠POC=45°，求点P坐标．‎ ‎【分析】（1）先表示出抛物线的对称轴为直线x=﹣2m，则利用正比例函数解析式可表示出C（﹣2m，m），利用△OBD为等腰直角三角形可表示出D（﹣2m，2m），则CD=2m﹣m=m，‎ 作AH⊥x轴于H，如图1，根据平行线分线段成比例定理得到BH=OB=m，于是可表示出A（﹣3m，m），接下来利用三角形面积公式得到•m•m=2，解得m=2，然后把m=2，D点坐标代入y=ax2+4amx中求出a即可得；‎ ‎（2）讨论：当点P在C点上方时，如图2，作PH⊥OD于H，设P（﹣4，t），证明△PDH为等腰直角三角形得到PH=HD=（t﹣4），再证明Rt△PCH∽Rt△COB得到=；当点P在C点下方时，如图3，作CH⊥OD于Q，设P（﹣4，t），易得△CDQ为等腰直角三角形，所以CQ=DQ=CD=，再证明Rt△POB∽Rt△COQ得到=，然后分别解关于t的方程即可得到对应的P点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2m，‎ 当x=﹣2m时，y=﹣x=m，则C（﹣2m，m），‎ ‎∵∠DOB=45°，‎ ‎∴△OBD为等腰直角三角形，‎ ‎∴BD=OB=2m，则D（﹣2m，2m），‎ ‎∴CD=2m﹣m=m，‎ 作AH⊥x轴于H，如图1，‎ ‎∵BC∥AH，‎ ‎∴==，‎ ‎∴BH=OB=m，‎ ‎∴OH=3m，‎ 当x=﹣3m时，y=﹣x=m，则A（﹣3m，m），‎ ‎∵△ACD的面积为2，‎ ‎∴•m•m=2，解得m=2，‎ ‎∴D（﹣4，4），‎ 把m=2，D（﹣4，4）代入y=ax2+4amx得16a﹣32a=4，解得a=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x；‎ ‎（2）C（﹣4，2），B（﹣4，0），OD=4，‎ 当点P在C点上方时，如图2，作PH⊥OD于H，设P（﹣4，t）‎ ‎∵∠DOB=∠BDO=45°，‎ ‎∴∠PDH=∠BDO=45°，‎ ‎∴△PDH为等腰直角三角形，‎ ‎∴PH=HD=（t﹣4），‎ ‎∵∠POC=45°，‎ ‎∴∠POD=∠COB，‎ ‎∴Rt△PCH∽Rt△COB，‎ ‎∴=，即=，解得t=12，‎ ‎∴P（﹣4，12）；‎ 当点P在C点下方时，如图3，作CH⊥OD于Q，设P（﹣4，t）‎ 易得△CDQ为等腰直角三角形，‎ ‎∴CQ=DQ=CD=，‎ ‎∴OQ=4﹣=3，‎ ‎∵∠POC=45°，‎ ‎∴∠POB=∠COQ，‎ ‎∴Rt△POB∽Rt△COQ，‎ ‎∴=，即=，解得t=﹣，‎ ‎∴P（﹣4，﹣），‎ 综上所述，P点坐标为（﹣4，12）或（﹣4，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的判定与性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；灵活运用相似三角形的知识进行几何计算；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．‎ ‎　‎ ‎23．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）相交于点A（1，0）和点D（﹣4，5），并与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于另一点B．‎ ‎（1）求该抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点E是直线下方抛物线上的一个动点，求出△ACE面积的最大值；‎ ‎（3）如图2，若点M是直线x=﹣1的一点，点N在抛物线上，以点A，D，M，N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定出点B的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），将点D的坐标代入求得a的值即可；‎ ‎（2）过点E作EF∥y轴，交AD与点F，过点C作CH⊥EF，垂足为H．设点E（m，m2+2m﹣3），则F（m，﹣m+1），则EF=﹣m2﹣3m+4，然后依据△ACE的面积=△EFA的面积﹣△EFC的面积列出三角形的面积与m的函数关系式，然后利用二次函数的性质求得△ACE的最大值即可；‎ ‎（3）当AD为平行四边形的对角线时．设点M的坐标为（﹣1，a），点N的坐标为（x，y），利用平行四边形对角线互相平分的性质可求得x的值，然后将x=﹣2代入求得对应的y值，然后依据=，可求得a的值；当AD为平行四边形的边时．设点M的坐标为（﹣1，a）．则点N的坐标为（﹣6，a+5）或（4，a﹣5），将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵A（1，0），抛物线的对称轴为x=﹣1，‎ ‎∴B（﹣3，0）．‎ 设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），‎ 将点D的坐标代入得：5a=5，解得a=1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3．‎ ‎（2）如图1所示：过点E作EF∥y轴，交AD与点F，过点C作CH⊥EF，垂足为H．‎ 设点E（m，m2+2m﹣3），则F（m，﹣m+1）．‎ ‎∴EF=﹣m+1﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+4‎ ‎∴△ACE的面积=△EFA的面积﹣△EFC的面积=EF•AG﹣EF•HC=EF•OA=﹣（m+）2+．‎ ‎∴△ACE的面积的最大值为．‎ ‎（3）当AD为平行四边形的对角线时．‎ 设点M的坐标为（﹣1，a），点N的坐标为（x，y）．‎ ‎∵平行四边的对角线互相平分，‎ ‎∴=，=．‎ 解得：x=﹣2，5﹣a．‎ 将点N的坐标代入抛物线的解析式得：5﹣a=﹣3，‎ ‎∴a=8．‎ ‎∴点M的坐标为（﹣1，8）．‎ 当AD为平行四边形的边时．‎ 设点M的坐标为（﹣1，a）．‎ ‎∵四边形MNAD为平行四边形，‎ ‎∴点N的坐标为（﹣6，a+5）或（4，a﹣5）．‎ ‎∵将x=﹣6，y=a+5代入抛物线的解析式得：a+5=36﹣12﹣3，解得：a=16，‎ ‎∴M（﹣1，16）．‎ 将x=4，y=a﹣5代入抛物线的解析式得：a﹣5=16+8﹣3，解得：a=26，‎ ‎∴M（﹣1，26）．‎ 综上所述，当点M的坐标为（﹣1，26）或（﹣1，16）或（﹣1，8）时，以点A，D，M，N为顶点的四边形能成为平行四边形．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质，列出△ACE的面积与m的函数关系式是解答问题（2）的关键，依据平行四边形的性质确定出点N的坐标（用含a的式子表示），然后列出关于a的方程是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧，A为（﹣1，0），抛物线与y轴交于点C（0，4），对称轴为x=1，连接BC．‎ ‎（1）计算a、b、c的值；‎ ‎（2）若点G为直线BC上方的抛物线上的一动点，试计算以A、B、G、C为顶点的四边形的面积的最大值；‎ ‎（3）若点H为对称轴上的一个动点，点P为抛物线上的一个动点，当以H、P、B、C四点为顶点的四边形为平行四边形时，求出点H的坐标 ‎【分析】‎ ‎（1）根据点A、C的坐标结合抛物线的对称轴为直线x=1，即可得出关于a、b、c的方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）过点G作y轴的平行线，交BC于点E，由点A的坐标结合抛物线的对称性可得出点B的坐标，根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设点G的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点E的坐标为（t，﹣t+4），利用三角形的面积公式可得出S四边形ABGC=﹣2t2+6t+8，配方后即可得出以A、B、G、C为顶点的四边形的面积的最大值；‎ ‎（3）分BC为边及BC为对角线考虑：①当BC为边，四边形PHBC为平行四边形时，根据四边形的性质结合B、C的坐标及点H的横坐标，即可得出点P的横坐标，进而即可得出点P、H的坐标；当BC为边，四边形HPBC为平行四边形时，根据四边形的性质结合B、C的坐标及点H的横坐标，即可得出点P的横坐标，进而即可得出点P、H的坐标；②当BC为对角线时，由B、C的坐标及点H的横坐标利用平行四边形的对角线互相平分，即可得出点P的横坐标，进而即可得出点P、H的坐标．综上，此题得解．‎ ‎【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、C（0，4），且对称轴为直线x=1，‎ ‎∴，‎ 解得：．‎ ‎（2）过点G作y轴的平行线，交BC于点E，如图1所示．‎ ‎∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，‎ ‎∴B（3，0）．‎ 设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），‎ ‎∵直线BC过点B（3，0），C（0，4），‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．‎ 设点G的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点E的坐标为（t，﹣t+4），‎ ‎∴GE=﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，‎ ‎∴S四边形ABGC=S△ABC+S△BCG=AB•OC+OB•GE=﹣2t2+6t+8=﹣2（t﹣）2+．‎ ‎∵﹣2＜0，‎ ‎∴当t=时，S四边形ABGC取最大值，最大值为．‎ ‎（3）①当BC为边，四边形PHBC为平行四边形时，‎ ‎∵B（3，0），C（0，4），点H的横坐标为1，‎ ‎∴点P的横坐标1+0﹣3=﹣2，‎ ‎∴点P的坐标为（﹣2，﹣），‎ ‎∴点H的坐标为（1，﹣﹣4），即（1，﹣）；‎ 当BC为边，四边形HPBC为平行四边形时，‎ ‎∵B（3，0），C（0，4），点H的横坐标为1，‎ ‎∴点P的横坐标1+3﹣0=4，‎ ‎∴点P的坐标为（4，﹣），‎ ‎∴点H的坐标为（1，﹣+4），即（1，﹣）；‎ ‎②当BC为对角线时，‎ ‎∵B（3，0），C（0，4），点H的横坐标为1，‎ ‎∴点P的横坐标为3+0﹣1=2，‎ ‎∴点P的坐标为（2，4），‎ ‎∴点H的坐标为（1，0+4﹣4），即（1，0）．‎ 综上所述：点H的坐标为（1，﹣）、（1，﹣）或（1，0）．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标结合抛物线的对称轴，求出a、b、c的值；（2）利用三角形的面积公式找出S四边形ABGC=﹣2t2+6t+8；（3）利用平行四边形的性质找出点P的横坐标．‎ ‎　‎ ‎25．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．‎ ‎【分析】（1）把A与C坐标代入抛物线解析式求出b与c的值，确定出解析式即可；‎ ‎（2）连接OD，设出D坐标，四边形OCDB的面积等于三角形OCD面积+‎ 三角形OBD面积，表示出三角形BCD面积S与m的二次函数解析式，求出最大面积及D坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）将A，C代入得：，‎ 解得：，‎ 则抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m，﹣m2+m+2），‎ ‎∵S四边形OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD=×2m+×4（﹣m2+m+2）=﹣m2+4m+4，‎ ‎∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣×4×2=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，‎ 当m=2时，S△BCD取得最大值4，‎ 此时yD=﹣×4+×2+2=3，即D（2，3）．‎ ‎【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）‎ ‎（1）求抛物线的解析式及其对称轴．‎ ‎（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．‎ ‎（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；‎ ‎（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值，即可得到抛物线解析式，再根据对称轴方程列式计算即可得解；‎ ‎（2）令y=0，解方程求出点A的坐标，令x=0求出y的值得到点C的坐标，再求出OA、OB、OC，然后根据对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；‎ ‎（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据二次函数的最值问题解答；‎ ‎（4）利用勾股定理列式求出AC，过点C作CD⊥对称轴于D，然后分①AC=CQ时，利用勾股定理列式求出DQ，分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离，再写出点的坐标即可；②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=CQ，再写出点Q的坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵点B（8，0）在抛物线y=﹣x2+bx+4上，‎ ‎∴﹣×64+8b+4=0，‎ 解得：b=，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4，‎ 对称轴为直线x=﹣=3；‎ ‎（2）△AOC∽△COB．‎ 理由如下：令y=0，则﹣x2+x+4=0，‎ 即x2﹣6x﹣16=0，‎ 解得：x1=﹣2，x2=8，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣2，0），‎ 令x=0，则y=4，‎ ‎∴点C的坐标为（0，4），‎ ‎∴OA=2，OB=8，OC=4，‎ ‎∵==2，∠AOC=∠COB=90°，‎ ‎∴△AOC∽△COB；‎ ‎（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，‎ 则，‎ 解得：，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，‎ ‎∵MN∥y轴，‎ ‎∴MN=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4），‎ ‎=﹣x2+x+4+x﹣4，‎ ‎=﹣x2+2x，‎ ‎=﹣（x﹣4）2+4，‎ ‎∴当x=4时，MN的值最大，最大值为4；‎ ‎（4）由勾股定理得，AC==2，‎ 过点C作CD⊥对称轴于D，则CD=3，‎ ‎①AC=CQ时，DQ===，‎ 点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+，‎ 此时点Q1（3，4+），‎ 点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4﹣，‎ 此时点Q2（3，4﹣），‎ ‎②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=5，‎ CQ==5，‎ ‎∴AQ=CQ，‎ 此时，点Q3（3，0），‎ ‎③当AC=AQ时，∵AC=2，点A到对称轴的距离为5，2＜5，‎ ‎∴这种情形不存在．‎ 综上所述，点Q的坐标为（3，4+）或（3，4﹣）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形．‎ ‎【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，二次函数的最值问题，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，难点在于（4）要分情况讨论．‎ ‎　‎ ‎27．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．‎ ‎（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；‎ ‎（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；‎ ‎（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使∠AHF=∠AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）把A、B点的坐标分别代入代入y=﹣x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到抛物线的解析式；‎ ‎（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），根据平行四边形的判定，当GE=OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，从而得到﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）=4，然后解方程即可得到此时G点坐标；‎ ‎（3）先确定C（0，﹣6），再利用勾股定理的逆定理证明△BAC为直角三角形，∠BAC=90°，接着根据圆周角定理，由∠AHF=∠AEF可判断点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），由于E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），则M（﹣2，﹣），然后根据HM=EF得到22+（t+）2=×52，最后解方程即可得到H点的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；‎ ‎（2）设直线AB的解析式为y=kx+m，‎ 把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得，解得，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=2x+4，‎ 设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），‎ ‎∵OB∥GE，‎ ‎∴当GE=OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，‎ ‎∴﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）=4，解得x1=x2=﹣2，此时G点坐标为（﹣2，4）；‎ ‎（3）存在．‎ 当x=0时，y=﹣x﹣6=﹣6，则C（0，﹣6），‎ ‎∵AB2=42+82=80，AC2=42+22=20，BC2=102=100，‎ ‎∴AB2+AC2=BC2，‎ ‎∴△BAC为直角三角形，∠BAC=90°，‎ ‎∵∠AHF=∠AEF，‎ ‎∴点H在以EF为直径的圆上，‎ EF的中点为M，如图，设H（0，t），‎ ‎∵G（﹣2，4），‎ ‎∴E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），‎ ‎∴M（﹣2，﹣），‎ ‎∵HM=EF，‎ ‎∴22+（t+）2=×52，解得t1=﹣1，t2=﹣4，‎ ‎∴H点的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣4）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的判定；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，能运用圆周角定理判断点在圆上；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式．‎ ‎　‎ ‎28．如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P为该抛物线上一个动点；‎ ‎①动点P作y轴的垂线交直线AC于点D，点P的坐标是多少时，以O为圆心，OD的长为半径的⊙O与AC相切？‎ ‎②是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）先确定C（0，6），设交点式y=a（x+1）（x﹣6），然后把C点坐标代入求出a的值即可；‎ ‎（2）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），①作OD⊥AC于D，过D作PD⊥y轴交抛物线于P点，如图1，先判断△OAC为等腰直角三角形得到CD=AD，则D（3，3），然后计算二次函数值为3对应的自变量的值即可得到P点坐标；‎ ‎②根据两点间的距离公式得到PC2=x2+（﹣x2+5x）2，PA2=（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2=72，讨论：当∠PAC=90°，利用勾股定理得到（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72=x2+（﹣x2+5x）2；当∠PCA=90°，利用勾股定理得到72+x2+（﹣x2+5x）2=（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2；当∠APC=90°，利用勾股定理得到（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2=72，然后分别解方程即可得到对应的P点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）当x=0时，y=ax2+bx+6=6，则C（0，6），‎ 设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣6），‎ 把C（0，6）代入得a•1•（﹣6）=6，解得a=﹣1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣6），即y=﹣x2+5x+6；‎ ‎（2）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），‎ ‎①作OD⊥AC于D，过D作PD⊥y轴交抛物线于P点，如图1，‎ ‎∵OA=OC=6，‎ ‎∴△OAC为等腰直角三角形，‎ ‎∴CD=AD，‎ ‎∴D（3，3），‎ 当y=3时，﹣x2+5x+6=3，‎ 整理得x2﹣5x﹣3=0，解得x1=，x2=，此时P点坐标为（，3）或（，3）；‎ 即P点坐标为（，3）或（，3）时，以O为圆心，OD的长为半径的⊙O与AC相切；‎ ‎②存在4个点P，使△ACP为直角三角形．‎ PC2=x2+（﹣x2+5x）2，PA2=（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2=62+62=72，‎ 当∠PAC=90°，∵PA2+AC2=PC2，‎ ‎∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72=x2+（﹣x2+5x）2，‎ 整理得x2﹣4x﹣12=0，解得x1=6（舍去），x2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，﹣8）；‎ 当∠PCA=90°，∵PC2+AC2=PA2，‎ ‎72+x2+（﹣x2+5x）2=（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，‎ 整理得x2﹣4x=0，解得x1=0（舍去），x2=4，此时P点坐标为（4，10）；‎ 当∠APC=90°，∵PA2+AC2=PC2，‎ ‎∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2=72，‎ 整理得x3﹣10x2+20x+24=0，‎ x3﹣10x2+24x﹣4x+24=0，‎ x（x2﹣10x+24）﹣4（x﹣6）=0，‎ x（x﹣4）（x﹣6）﹣4（x﹣6）=0，‎ ‎（x﹣6）（x2﹣4x﹣4）=0，‎ 而x﹣6≠0，‎ 所以x2﹣4x﹣4=0，解得x1=2+2，x2=2﹣2，此时P点坐标为（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）；‎ 综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质和切线的判定；会利用待定系数法求函数解析式；会运用勾股定理解方程，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．‎ ‎　‎ ‎29．抛物线y1=ax2+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P在抛物线上，过P（1，﹣3），B（4，0）两点作直线y2=kx+b．‎ ‎（1）求a、c的值；‎ ‎（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点M，使得S△ABP=5S△ABM，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）把P点和B点的坐标代入抛物线解析式，即可求出答案；‎ ‎（2）根据函数的图象得出即可；‎ ‎（3）根据面积公式求出M点到x轴的距离，得出M点的纵坐标，再求出M点的横坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）将P（1，﹣3）、B（4，0）代入y=ax2+c得：，‎ 解得：；‎ ‎（2）由图象得x＞4或x＜1；‎ ‎ ‎ ‎（3）在抛物线上存在点M，使得S△ABP=5S△ABM，‎ 理由是：抛物线的解析式是y=x2﹣，‎ 设M点的纵坐标为e，‎ ‎∵P（1，﹣3），‎ ‎∴由S△ABP=5S△ABM得：×AB×|﹣3|=5×AB×|e|，‎ 解得；|e|=，‎ 当e=时，x2﹣=，‎ 解得：x=±，‎ 当e=﹣时，x2﹣=﹣，‎ 解得：x=±，‎ 即M点的坐标是（，）（﹣，）（，﹣）（﹣，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式、二次函数和一次函数的图象和性质，函数图象上点的坐标特征等知识点，能正确运用性质进行计算是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎30．如图，抛物线y=ax2+x+c过A（﹣1，0），B（0，2）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）M为抛物线对称轴与x轴的交点，N为x轴上对称轴上任意一点，若tan∠ANM=，求M到AN的距离．‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）直接用待定系数法求出抛物线解析式；‎ ‎（2）先确定出抛物线对称轴，从而确定出MN，用tan∠ANM=，最后用面积公式求解即可；‎ ‎（3）设出点P的坐标，表示出AB，AP，BP，分三种情况求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c过A（﹣1，0），B（0，2）两点，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）由（1）有，抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎∴抛物线对称轴为x=1，‎ ‎∴M（1，0），‎ ‎∴AM=2，‎ ‎∵tan∠ANM=，‎ ‎∴，‎ ‎∴MN=4，‎ ‎∵N为x轴上对称轴上任意一点，‎ ‎∴N（1，4），‎ ‎∴AN==2，‎ 设M到AN的距离为h，‎ 在Rt△AMN中，AM×MN=AN×h，‎ ‎∴h===，‎ ‎∴M到AN的距离；‎ ‎（3）存在，‎ 理由：设点P（1，m），‎ ‎∵A（﹣1，0），B（0，2），‎ ‎∴AB=，AP=，BP=，‎ ‎∵△PAB为等腰三角形，‎ ‎∴①当AB=AP时，‎ ‎∴=，‎ ‎∴m=±1，‎ ‎∴P（1，1）或P（1，﹣1），‎ ‎②当AB=BP时，‎ ‎∴=，‎ ‎∴m=4或m=0，‎ ‎∴P（1，4）或P（1，0）；‎ ‎③当AP=BP时，‎ ‎∴=，‎ ‎∴m=，‎ ‎∴P（1，）；‎ 即：满足条件的点P的坐标为P（1，1）或P（1，﹣1）或P（1，4）或P（1，0）或P（1，）．‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线对称轴的确定，三角形面积的计算，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出抛物线解析式，分类讨论是解本题的难点．‎ ‎　‎ ‎31．已知，如图，二次函数y=ax2+bx﹣6的图象分别与x轴与y轴相交于点A（﹣6，0）、点B，点C（6，6）也在函数图象上．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式．‎ ‎（2）动点P从点B出发，沿着y轴的正方向运动，是否存在某一位置使得∠OAP+∠OAC=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）点Q为直线AC下方抛物线上一点，当以点A、B、C、Q为顶点的四边形的面积最大时，求出点Q的坐标．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；‎ ‎（2）如图1，当点P在OB上，作PH⊥AB于H，直线AC交y轴于D，设P（0，t），先利用待定系数法得到直线AC的解析式为y=x+3，再确定D（0，3），B（0，﹣6），利用△OAB为等腰直角三角形得到AB=6，∠OAB=45°，利用△PBH为等腰直角三角形得到PH=BH=（t+6），接着证明Rt△PAH∽Rt△DAO，利用相似比可求出t，从而得到此时P点坐标；然后利用对称性确定刚求出的点关于x轴的对称点也满足条件；‎ ‎（3）作QM∥y轴交直线AC于点M，连接OQ，设Q（x，x2+x﹣6）（﹣6＜x＜6），则M（x，x+3）则MQ=﹣x2+9，讨论：当0≤x＜6时，如图2，S四边形ABQC=S△ABD+S△BDQ+S△QDC=﹣x2+x+54；当﹣6＜x＜，0时，如图3，S四边形AQBC=S△CBD+S△BDQ+S△QDA=﹣x2﹣x+54，然后分别利用二次函数的性质求出四边形的面积最大时对应的Q点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把A（﹣6，0），C（6，6）代入y=ax2+bx﹣6得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+x﹣6；‎ ‎（2）存在．‎ 如图1，当点P在OB上，作PH⊥AB于H，直线AC交y轴于D，设P（0，t），‎ 设直线AC的解析式为y=mx+n，‎ 把A（﹣6，0），C（6，6）代入得，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x+3，‎ 当x=0时，y=x+3=3，则D（0，3），‎ 当x=0时，y=x2+x﹣6，则B（0，﹣6），‎ ‎∵OA=OB=6，‎ ‎∴△OAB为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=6，∠OAB=45°，‎ ‎∴△PBH为等腰直角三角形，‎ ‎∴PH=BH=（t+6），‎ ‎∵∠OAP+∠OAC=45°，∠OAP+∠PAB=45°，‎ ‎∴∠PAB=∠OAC，‎ ‎∴Rt△PAH∽Rt△DAO，‎ ‎∴=，即=，解得t=﹣2，此时P点坐标为（0，﹣2），‎ 点P关于x轴的对称点P′的坐标为（0，2），‎ ‎∵∠OAP′=∠OAP，‎ ‎∴∠OAP′+∠OAC=45°，‎ ‎∴点P′满足条件，‎ 综上所述，P点坐标为（0，2）或（0，﹣2）；‎ ‎（3）作QM∥y轴交直线AC于点M，连接OQ，‎ 设Q（x，x2+x﹣6）（﹣6＜x＜6），则M（x，x+3）‎ ‎∴MQ=x+3﹣（x2+x﹣6）=﹣x2+9，‎ 当0≤x＜6时，如图2，‎ S四边形ABQC=S△ABD+S△BDQ+S△QDC ‎=•6•9+•9•x+•6•（﹣x2+9）‎ ‎=﹣x2+x+54‎ ‎=﹣（x﹣3）2+，‎ 当x=3时，S四边形ABQC的最大值为，此时Q（3，﹣），‎ 当﹣6＜x＜，0时，如图3，‎ S四边形AQBC=S△CBD+S△BDQ+S△QDA ‎=•6•9+•9•（﹣x）+•6•（﹣x2+9）‎ ‎=﹣x2﹣x+54‎ ‎=﹣（x+3）2+，‎ 当x=﹣3时，S四边形AQBC的最大值为，此时Q（﹣3，﹣），‎ ‎∴Q点的坐标为（3，﹣）或（﹣3，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的方法解决数学问题．‎ ‎　‎ ‎32．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；‎ ‎（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；‎ ‎（2）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出；‎ ‎（3）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，‎ ‎（2）设H（t，t2﹣4t﹣5），‎ ‎∵CE∥x轴，‎ ‎∴点E的纵坐标为﹣5，‎ ‎∵E在抛物线上，‎ ‎∴x2﹣4x﹣5=﹣5，‎ ‎∴x=0（舍）或x=4，‎ ‎∴E（4，﹣5），‎ ‎∴CE=4，‎ ‎∵B（5，0），C（0，﹣5），‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x﹣5，‎ ‎∴F（t，t﹣5），‎ ‎∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∵CE∥x轴，HF∥y轴，‎ ‎∴CE⊥HF，‎ ‎∴S四边形CHEF=CE•HF=﹣2（t﹣）2+，‎ ‎∴H（，﹣）；‎ ‎（3）如图2，∵K为抛物线的顶点，‎ ‎∴K（2，﹣9），‎ ‎∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），‎ ‎∵M（4，m）在抛物线上，‎ ‎∴M（4，﹣5），‎ ‎∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），‎ ‎∴直线K'M'的解析式为y=x﹣，‎ ‎∴P（，0），Q（0，﹣）．‎ ‎【点评】‎ 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，四边形的面积的计算方法，对称性，解的关键是利用对称性找出点P，Q的位置，是一道中等难度的题目．‎ ‎　‎ ‎33．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；‎ ‎（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE即可得出点E坐标，设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；‎ ‎（3）①以EN为对角线，根据对角线互相平分，可得CM的中点与EN的中点重合，根据中点坐标公式，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；‎ ‎②当EM为对角线，根据对角线互相平分，可得CN的中点与EM的中点重合，根据中点坐标公式，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；‎ ‎③当CE为对角线，根据对角线互相平分，可得CE的中点与MN的中点重合，根据中点坐标公式，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，‎ ‎∴在Rt△COE中，‎ OE==3．‎ ‎∴E（0，﹣3）‎ 设AD=m，则DE=BD=4﹣m，‎ ‎∵OE=3，‎ ‎∴AE=5﹣3=2，‎ 在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，‎ 即m2+22=（4﹣m）2，解得m=，‎ ‎∴D（﹣，﹣5），‎ ‎∵C（﹣4，0），O（0，0），‎ ‎∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），‎ ‎∴﹣5=﹣a（﹣+4），解得a=，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x（x+4）=x2+x；‎ ‎（2）∵CP=2t，‎ ‎∴BP=5﹣2t，‎ ‎∵BD=，DE==，‎ ‎∴BD=DE，‎ 在Rt△DBP和Rt△DEQ中，，‎ ‎∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），‎ ‎∴BP=EQ，‎ ‎∴5﹣2t=t，‎ ‎∴t=；‎ ‎（3）∵抛物线的对称为直线x=﹣2，‎ ‎∴设N（﹣2，n），‎ 又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），设M（m，y），‎ ‎①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，如图1，‎ ‎，‎ 则线段EN的中点 横坐标为=﹣1，线段CM中点横坐标为，‎ ‎∵EN，CM互相平分，‎ ‎∴=﹣1，解得m=2，‎ 又M点在抛物线上，‎ ‎∴y=×22+×2=16‎ ‎∴M（2，16）； ‎ ‎②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，如图2，‎ ‎，‎ 则线段EM的中点，‎ 横坐标为=m，线段CN中点横坐标为=﹣3，‎ ‎∵EN，CM互相平分，‎ ‎∴m=﹣3，解得m=﹣6，‎ 又∵M点在抛物线上，‎ ‎∴y=×（﹣6）2+×（﹣6）=16，‎ ‎∴M（﹣6，16）；‎ ‎③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，‎ ‎∴设N（﹣2，n），‎ 又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），设M（m，y），‎ ‎∵线段CE的中点坐标的横坐标为﹣2，线段MN的中点坐标的横坐标为 ‎∵CE与MN互相平分，∴=﹣2‎ 解得m=﹣2，‎ 当m=﹣2时，y=×（﹣2）2+×（﹣2）=﹣，‎ 即M（﹣2，﹣）．‎ 综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、矩形的性质等知识，平行四边形的性质，分类讨论的思想，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎34．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上足否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）设顶点式y=a（x+2）2﹣8，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图，先确定C（0，﹣6），再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣6，设P（x，x2+2x﹣6）（﹣6＜x＜0），则E（x，﹣x﹣6），所以PE=﹣x﹣6﹣（x2+2x﹣6），然后根据二次函数的性质解决问题；‎ ‎（3）设M（﹣2，t），利用两点间的距离公式得到AC2=72，AM2=（﹣2+6）2+t2，CM2=（﹣2）2+（t+6）2，利用勾股定理的逆定理进行讨论：当AC2+AM2=CM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2+6）2+t2=（﹣2）2+（t+6）2；当AC2+CM2=AM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2）2+（t+6）2=（﹣2+6）2+t2；当CM2+AM2=AC2，△ACM为直角三角形，即（﹣2+6）2+t+2）2+（t+6）2=72，然后分别解关于t的方程得到对应的M点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）2﹣8，‎ 把A（﹣6，0）代入得a（﹣6+2）2﹣8=0，解得a=，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣8，即y=x2+2x﹣6；‎ ‎（2）如图，当x=0时，y=x2+2x﹣6=﹣6，则C（0，﹣6），‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（﹣6，0），C（0，﹣6）代入得，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣6，‎ 设P（x，x2+2x﹣6）（﹣6＜x＜0），则E（x，﹣x﹣6）‎ ‎∴PE=﹣x﹣6﹣（x2+2x﹣6）=﹣x2﹣3x=﹣（x+3）2+，‎ 当x=﹣3时，PE的长度有最大值，最大值为，此时P点坐标为（﹣3，﹣）；‎ ‎（3）存在．‎ 抛物线的对称轴为直线x=﹣2，‎ 设M（﹣2，t），‎ ‎∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），‎ ‎∴AC2=62+62=72，AM2=（﹣2+6）2+t2，CM2=（﹣2）2+（t+6）2，‎ 当AC2+AM2=CM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2+6）2+t2=（﹣2）2+（t+6）2，解得t=4，此时M点坐标为（﹣2，4）；‎ 当AC2+CM2=AM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2）2+（t+6）2=（﹣2+6）2+t2，解得t=﹣8，此时M点坐标为（﹣2，﹣8）；‎ 当CM2+AM2=AC2，△ACM为直角三角形，即（﹣2+6）2+t+2）2+（t+6）2=72，解得t1=﹣3+，t2=﹣3﹣，此时M点坐标为（﹣2，﹣3+）或（﹣2，﹣3﹣）．‎ 综上所述，M点的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣8）或（﹣2，﹣3+‎ ‎）或（﹣2，﹣3﹣）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题．‎ ‎　‎ ‎35．求二次函数y=﹣2x2﹣4x+1的顶点坐标，并在下列坐标系内画出函数的大致图象．说出此函数的三条性质．‎ ‎【分析】把二次函数解析式化为顶点式，则可求得其顶点坐标、对称轴及开口方向，再求其与坐标轴的交点，则可画出函数图象，可结合图象说出其性质．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵y=﹣2x2﹣4x+1=﹣2（x+1）2+3，‎ ‎∴抛物线开口向下，对称轴为x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，3），‎ 在y=﹣2x2﹣4x+1中，令y=0可求得x=1±，令x=0可得y=1，‎ ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为（1+，0）和（1﹣‎ ‎，0），与y轴的交点坐标为（0，1），‎ 其图象如图所示，‎ 其性质有：①开口向上，②有最大值3，③对称轴为x=﹣1．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握画抛物线图象时所需要确定的几个关键点是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎36．抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上求一点P，使S△PAB=S△ABC，写出P点的坐标；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）将A（﹣3，0），B（1，0）两点代入y=﹣x2+bx+c，利用待定系数法求解即可求得答案；‎ ‎（2）首先求得点C的坐标为（0，3），然后根据同底等高的两个三角形面积相等，可得P点的纵坐标为±3，将y=±‎ ‎3分别代入抛物线的解析式，求出x的值，即可求得P点的坐标；‎ ‎（3）根据两点之间线段最短可得Q点是AC与对称轴的交点．利用待定系数法求出直线AC的解析式，将抛物线的对称轴方程x=﹣1代入求出y的值，即可得到点Q的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（2）∵y=﹣x2﹣2x+3，‎ ‎∴x=0时，y=3，‎ ‎∴点C的坐标为（0，3）．‎ 设在抛物线上存在一点P（x，y），使S△PAB=S△ABC，‎ 则|y|=3，即y=±3．‎ 如果y=3，那么﹣x2﹣2x+3=3，解得x=0或﹣2，‎ x=0时与C点重合，舍去，所以点P（﹣2，3）；‎ 如果y=﹣3，那么﹣x2﹣2x+3=﹣3，解得x=﹣1±，‎ 所以点P（﹣1±，﹣3）；‎ 综上所述，所求P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；‎ ‎（3）连结AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小．‎ 设直线AC的解析式为：y=mx+n，‎ ‎∵A（﹣3，0），C（0，3），‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴直线AC的解析式为：y=x+3．‎ ‎∵y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是直线x=﹣1，‎ ‎∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2，‎ ‎∴点Q的坐标是（﹣1，2）．‎ ‎【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积以及轴对称﹣最短路线问题．正确求出函数的解析式是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎37．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，直线y=﹣x﹣1与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值．‎ ‎【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；‎ ‎（2）设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），进而可得出PE=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．‎ ‎【解答】解：（1）当y=0时，有﹣x﹣1=0，‎ 解得：x=﹣1，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣1，0）；‎ 当x=2时，y=﹣x﹣1=﹣3，‎ ‎∴点C的坐标为（2，﹣3）．‎ 将A（﹣1，0）、C（2，﹣3）代入y=x2+bx+c，得：，‎ 解得：，‎ ‎∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3．‎ ‎（2）设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），‎ ‎∴PE=﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+．‎ ‎∵﹣1＜0，‎ ‎∴当m=时，PE取最大值，最大值为．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值以及待定系数法求二次函数解析式；解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标；（2）用含m的代数式表示出PE的值．‎ ‎　‎ ‎38．已知二次函数y=x2+bx﹣3（b是常数）‎ ‎（1）若抛物线经过点A（﹣1，0），求该抛物线的解析式和顶点坐标；‎ ‎（2）P（m，n）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在该抛物线上时，求m的值；‎ ‎（3）在﹣1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是﹣6，求b的值．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据配方法把一般式化为顶点式，求出顶点坐标；‎ ‎（2）根据关于原点对称的点的坐标特点求出点P′的坐标，代入解析式，计算即可；‎ ‎（3）分﹣1≤﹣≤2、﹣＞2、﹣＜﹣1三种情况，根据二次函数的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），‎ ‎∴（﹣1）2﹣b﹣3=0，‎ 解得，b=﹣2，‎ 则抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；‎ y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2+4，‎ ‎∴顶点坐标为（1，﹣4）；‎ ‎（2）由题意得，点P′的坐标为（﹣m，﹣n），‎ 则m2+mx﹣3=n，m2﹣mx﹣3=﹣n，‎ 两式相加得，2m2=6，‎ 解得，m=±；‎ ‎（3）①当﹣1≤﹣≤2，即﹣4≤b≤2时，=﹣6，‎ 整理得，b2=12，‎ 解得，b=2（舍去），b=﹣2；‎ ‎②当﹣＞2，即b＜﹣4时，x=2时，y有最小值，‎ 则4+2b﹣3=﹣6，‎ 解得，b=﹣（舍去）；‎ ‎③当﹣＜﹣1，即b＞2时，x=﹣1时，y有最小值，‎ 则1﹣b﹣3=﹣6，‎ 解得，b=4，‎ 综上所述，当b=﹣2或b=4时，在﹣1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是﹣6．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、关于原点对称的点的坐标特点，掌握二次函数的性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎39．在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数y=mx2+4mx+4m+1的图象的顶点，一次函数y=x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．‎ ‎（1）请你求出点A、B、C的坐标；‎ ‎（2）若二次函数y=mx2+4mx+4m+1与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）抛物线解析式配方后，确定出顶点C坐标，对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B坐标；‎ ‎（2）分m＞0与m＜0两种情况求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）y=mx2+4mx+4m+1=m（x+2）2+1，‎ ‎∴抛物线顶点坐标为C（﹣2，1），‎ 对于y=x+4，令x=0，得到y=4；y=0，得到x=﹣4，‎ 直线y=x+4与x轴、y轴交点坐标分别为A（﹣4，0）和B（0，4）；‎ ‎（2）把x=﹣4代入抛物线解析式得：y=4m+1，‎ ‎①当m＞0时，y=4m+1＞0，说明抛物线的对称轴左侧总与线段AB有交点，‎ ‎∴只需要抛物线右侧与线段AB无交点即可，‎ 如图1所示，‎ 只需要当x=0时，抛物线的函数值y=4m+1＜4，即m＜，‎ 则当0＜m＜时，抛物线与线段AB只有一个交点；‎ ‎②当m＜0时，如图2所示，‎ 只需y=4m+1≥0即可，‎ 解得：﹣≤m＜0，‎ 综上，当0＜m＜或﹣≤m＜0时，抛物线与线段AB只有一个交点．‎ ‎【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎40．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，点P为抛物线的顶点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）求∠PAB的正弦值；‎ ‎（3）如图2，四边形MCDN为矩形，顶点C、D在x轴上，M、N在x轴上方的抛物线上，若MC=8，求线段MN的长度．‎ ‎【分析】（1）直接利用待定系数法求出函数解析式；‎ ‎（2）直接构造直角三角形，进而利用锐角三角函数关系得出答案；‎ ‎（3）结合y=8得出x的值，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、（5，0）两点分别代入y=﹣x2+bx+c得：‎ ‎ ，‎ 解之得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5；‎ ‎（2）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，‎ ‎∴P（2，9），‎ 如图1，过点P作PQ⊥x轴，连接AP，‎ 则AQ=3，PQ=9 ‎ ‎∴AP==3，‎ ‎∴sin∠PAB==；‎ ‎（3）当y=8时，﹣x2+4x+5=8，‎ 解之得：x1=1，x2=8，‎ ‎∴M（1，8），N（3，8），‎ ‎∴MN=3﹣1=2．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数的综合以及锐角三角函数关系，正确应用勾股定理是解题关键．‎ ‎　‎ ‎41．如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过点P（1，m）作直线PA⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B、C不重合），连接CB、CP．‎ ‎（I）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；‎ ‎（II）当m＞1时，连接CA，若CA⊥CP，求m的值；‎ ‎（III）过点P作PE⊥PC，且PE=PC，当点E落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应的点E的坐标．‎ ‎【分析】（I）当m=3时，抛物线解析式为y=﹣x2+6x，解方程﹣x2+6x=0得A（6，0），利用对称性得到C（5，5），从而得到BC的长；‎ ‎（II）解方程﹣x2+2mx=0得A（2m，0），利用对称性得到C（2m﹣1，2m﹣1），再根据勾股定理和两点间的距离公式得到（2m﹣2）2+（m﹣1）2+12+（2m﹣1）2=（2m﹣1）2+m2，然后解方程即可；‎ ‎（III）如图，利用△PME≌△CBP得到PM=BC=2m﹣2，ME=BP=m﹣1，则根据P点坐标得到2m﹣2=m，解得m=2，再计算出ME=1得到此时E点坐标；作PH⊥y轴于H，如图，利用△PHE′≌△PBC得到PH=PB=m﹣1，HE′=BC=2m﹣2，利用P（1，m）得到m﹣1=1，解得m=2，然后计算出HE′得到E′点坐标．‎ ‎【解答】解：（I）当m=3时，抛物线解析式为y=﹣x2+6x，‎ 当y=0时，﹣x2+6x=0，解得x1=0，x2=6，则A（6，0），‎ 抛物线的对称轴为直线x=3，‎ ‎∵P（1，3），‎ ‎∴B（1，5），‎ ‎∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C ‎∴C（5，5），‎ ‎∴BC=5﹣1=4；‎ ‎（II）当y=0时，﹣x2+2mx=0，解得x1=0，x2=2m，则A（2m，0），‎ B（1，2m﹣1），‎ ‎∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C，而抛物线的对称轴为直线x=m，‎ ‎∴C（2m﹣1，2m﹣1），‎ ‎∵PC⊥PA，‎ ‎∴PC2+AC2=PA2，‎ ‎∴（2m﹣2）2+（m﹣1）2+12+（2m﹣1）2=（2m﹣1）2+m2，‎ 整理得2m2﹣5m+3=0，解得m1=1，m2=，‎ 即m的值为；‎ ‎（III）如图，‎ ‎∵PE⊥PC，PE=PC，‎ ‎∴△PME≌△CBP，‎ ‎∴PM=BC=2m﹣2，ME=BP=2m﹣1﹣m=m﹣1，‎ 而P（1，m）‎ ‎∴2m﹣2=m，解得m=2，‎ ‎∴ME=m﹣1=1，‎ ‎∴E（2，0）；‎ 作PH⊥y轴于H，如图，‎ 易得△PHE′≌△PBC，‎ ‎∴PH=PB=m﹣1，HE′=BC=2m﹣2，‎ 而P（1，m）‎ ‎∴m﹣1=1，解得m=2，‎ ‎∴HE′=2m﹣2=2，‎ ‎∴E′（4，0）；‎ 综上所述，m的值为2，点E的坐标为（2，0）或（4，0）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．‎ ‎　‎ ‎42．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），点C为抛物线与y轴的交点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点E为直线BC上方抛物线上的一点，请求出△BCE面积的最大值．‎ ‎（3）在（2）条件下，是否存在这样的点D（0，m），使得△BDE为等腰三角形？如果有，请直接写出点D的坐标；如果没有，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点E作EF∥y轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点E的坐标为（n，﹣n2+2n+3），则点F的坐标为（n，﹣n+3），进而可得出EF的长度，利用三角形的面积公式可得出S△BCE=﹣n2+n，配方后利用二次函数的性质即可求出△BCE面积的最大值；‎ ‎（3）分ED=EB、DE=DB、BD=BE三种情况考虑，根据等腰三角形的性质结合两点间的距离公式，即可得出关于m的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，‎ 得：，解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．‎ ‎（2）过点E作EF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．‎ 当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，‎ ‎∴点C的坐标为（0，3）．‎ 设直线BC的解析式为y=kx+c，‎ 将B（3，0）、C（0，3）代入y=kx+c，得：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．‎ 设点E的坐标为（n，﹣n2+2n+3），则点F的坐标为（n，﹣n+3），‎ ‎∴EF=﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）=﹣n2+3n，‎ ‎∴S△BCE=EF•OB=﹣n2+n=﹣（n﹣）2+，‎ ‎∴当n=时，△BCE面积取最大值，最大值为．‎ ‎（3）由（2）可知点E的坐标为（，）．‎ ‎△BDE为等腰三角形分三种情况（如图2）：‎ ‎①当ED=EB时，有（）2+（﹣m）2=（﹣3）2+（）2，‎ 解得：m1=0，m2=，‎ ‎∴点D的坐标为（0，0）或（0，）；‎ ‎②当DE=DB时，有（3﹣0）2+（0﹣m）2=（﹣0）2+（﹣m）2，‎ 解得：m3=，‎ ‎∴点D的坐标为（0，）；‎ ‎③当BD=BE时，有（3﹣0）2+（0﹣m）2=（﹣3）2+（）2，‎ 解得：m4=，m5=﹣，‎ ‎∴点D的坐标为（0，）或（0，﹣）．‎ 综上所述：当点D的坐标为（0，0）、（0，）、（0，）、（0，）或（0，﹣）时，△BDE为等腰三角形．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用三角形的面积找出S△BCE关于n的函数关系式；（3）分ED=EB、DE=DB、BD=BE三种情况考虑．‎ ‎　‎ ‎43．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）．‎ ‎（1）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围．‎ ‎（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n=1，求点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，然后利用一次函数增减性得出即可．‎ ‎（2）根据题意得出n=1﹣m，联立方程，解方程即可求得．‎ ‎【解答】解：将（1，0），（0，2）代入y=x2+bx+c得：，‎ 解得：，‎ ‎∴这个函数的解析式为：y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣；‎ 把x=﹣2代入y=x2﹣3x+2得，y=12，‎ ‎∴y的取值范围是﹣≤y≤12．‎ ‎（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，‎ ‎∴n=m2﹣3m+2，‎ ‎∵m+n=1，‎ ‎∴m2﹣2m+1=0，‎ 解得m=1，n=0，‎ ‎∴点P的坐标为（1，0）．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，求得解析式上解题的关键．‎ ‎　‎ ‎44．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过原点O和B（﹣4，4），且对称轴为直线x=．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）D是直线OB下方抛物线上的一动点，连接OD，BD，在点D运动过程中，当△OBD面积最大时，求点D的坐标和△OBD的最大面积；‎ ‎（3）如图2，若点P为平面内一点，点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，直接写出满足△POD∽△NOB的点P坐标．‎ ‎【分析】（1）利用对称性得到A（﹣3，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；‎ ‎（2）过D点作DC∥y轴交OB于C，如图1，易得直线OB的解析式为y=﹣x，设D（m，m2+3m）（﹣4＜m＜0），则C（m，﹣m），则DC=﹣m2﹣4m，根据三角形面积公式，利用 S△BOD=S△BCD+S△OCD可得到△OBD的面积与x的二次函数关系式，然后利用二次函数的性质解决问题；‎ ‎（3）作BK⊥y轴于K，BI⊥x轴于I，BN交y轴于M点，如图2，先证明Rt△BIA ‎≌Rt△BKM得到KM=AI=1，则M（0，3），再利用待定系数法求出直线BN的解析式为y=﹣x+3，则通过解方程组得N（，），接着利用=得到△POD与△NOB的相似比为1：2，过OB的中点E作EF∥BN交ON于F，如图2，则△FOE∽△NOB，它们的相似比为1：2，易得F（，），然后利用对称的性质，点P′与点F关于x轴对称时，△P′OD≌△FOE；作P′点关于OD的对称点P″，则△P″OD≌△P′OD，则△P″OD∽△NOB，最后利用对称的坐标特征写出P′和P″的坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=．‎ ‎∴A（﹣3，0），‎ 设抛物线解析式为y=ax（x+3），‎ 把B（﹣4，4）代入得a•（﹣4）•（﹣4+3）=4，解得a=1，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x（x+3），即y=x2+3x，‎ ‎（2）过D点作DC∥y轴交OB于C，如图1，‎ 直线OB的解析式为y=﹣x，‎ 设D（m，m2+3m）（﹣4＜m＜0），则C（m，﹣m），‎ ‎∴DC=﹣m﹣（m2+3m）=﹣m2﹣4m，‎ ‎∴S△BOD=S△BCD+S△OCD=•4•DC=﹣2m2﹣8m=﹣2（m+2）2+8，‎ 当m=﹣2时，S△BOD有最大值，最大值为8，此时D点坐标为（﹣2，﹣2）；‎ ‎（3）作BK⊥y轴于K，BI⊥x轴于I，BN交y轴于M点，如图2，‎ 易得四边形BIOK为正方形，‎ ‎∵∠NBO=∠ABO，‎ ‎∴∠IBA=∠KBM，‎ 而BI=KM，‎ ‎∴Rt△BIA≌Rt△BKM，‎ ‎∴KM=AI=1，‎ ‎∴M（0，3），‎ 设直线BN的解析式为y=px+q，‎ 把B（﹣4，4），M（0，3）代入得，解得，‎ ‎∴直线BN的解析式为y=﹣x+3，‎ 解方程组得或，‎ ‎∴N（，），‎ ‎∵OB=4，OD=2，‎ ‎∴=，‎ ‎∴△POD与△NOB的相似比为1：2，‎ 过OB的中点E作EF∥BN交ON于F，如图2，‎ ‎∴△FOE∽△NOB，它们的相似比为1：2，‎ ‎∴F点为ON的中点，‎ ‎∴F（，），‎ ‎∵点E与点D关于x轴对称，‎ ‎∴点P′与点F关于x轴对称时，△P′OD≌△FOE，则△P′OD∽△NOB，此时P′（，﹣）；‎ 作P′点关于OD的对称点P″，则△P″OD≌△P′OD，则△P″OD∽△NOB，此时P″（﹣，），‎ 综上所述，满足条件的P点坐标为（，﹣）或（﹣，）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式，把求抛物线与一次函数的交点坐标问题转化为解方程组的问题；理解坐标与图形性质，掌握关于x轴对称和关于直线y=x对称的点．构建△FOE∽△NOB是解决（3）小问的关键．‎ ‎　‎ ‎45．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；‎ ‎（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．‎ ‎【分析】（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．‎ ‎（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．‎ ‎（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×‎ h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．‎ ‎【解答】解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：‎ ‎0=16a﹣×4﹣2，即：a=；‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．‎ ‎（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；‎ ‎∴OA=1，OC=2，OB=4，‎ 即：OC2=OA•OB，‎ 又∵OC⊥AB，‎ ‎∴△OAC∽△OCB，‎ ‎∴∠OCA=∠OBC；‎ ‎∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；‎ ‎∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（1.5，0）．‎ ‎（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；‎ 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：‎ x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣4x﹣4﹣2b=0，且△=0；‎ ‎∴16﹣4×（﹣4﹣2b）=0，即b=﹣4；‎ ‎∴直线l：y=x﹣4．‎ 由于S△MBC=BC×h，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 即M（2，﹣3）．‎ ‎【点评】考查了二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．‎ ‎　‎ ‎46．在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8，0）和点C（9，﹣3）．抛物线y=ax2﹣8ax+c（a，c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A．对称轴上有一点M，满足MA=MC．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）求四边形ABCM的面积；‎ ‎（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，求点D的坐标．‎ ‎【分析】（1）先求出抛物线的对称轴方程，再确定点A的坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式；‎ ‎（2）设M（4，y），由于MA=MC，则利用两点间的距离公式得到42+y2=52+‎ ‎（y+3）2，再解方程可得到M（4，﹣3），然后利用梯形的面积公式求解；‎ ‎（3）先利用待定系数法求直线BC的解析式为y=﹣3x+24，则利用AD∥BC得到直线AD的解析式为y=﹣3x，根据等腰梯形的性质得CD=AB=8，设D（t，﹣3t），所以（t﹣9）2+（﹣3t+3）2=82，然后解方程求出t即可得到D点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=﹣=4，‎ ‎∴点B（8，0）关于直线x=4的对称点A的坐标为（0，0），‎ 将A（0，0），C（9，﹣3）代入y=ax2﹣8ax+c得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x；‎ ‎（2）设M（4，y），‎ 又∵MA=MC，‎ ‎∴42+y2=52+（y+3）2，‎ 解得y=﹣3，‎ ‎∴M（4，﹣3），‎ ‎∵MC∥AB且MC≠AB，‎ ‎∴四边形ABCM为梯形，‎ ‎∴四边形ABCM的面积=（5+8）×3=；‎ ‎（3）设直线BC的解析式为y=mx+n，‎ 把B（8，0），C（9，﹣3）代入得，解得，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣3x+24，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴直线AD的解析式为y=﹣3x，‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴CD=AB=8，‎ 设D（t，﹣3t），‎ ‎∴（t﹣9）2+（﹣3t+3）2=82，解得t1=0（舍去），t2=，‎ ‎∴点D的坐标（，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰梯形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．‎ ‎　‎ ‎47．如图，直线y=kx﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，经过A，B两点的抛物线y轴交于点B，经过A，B两点的抛物线y=（x﹣1）2+m与x轴负半轴交于点C．‎ ‎（1）求m和k的值；‎ ‎（2）过点B作BD∥x轴交该抛物线于点D，连接CD交y轴于点E，连结CB．‎ ‎①求∠BCD+∠OBC的度数；‎ ‎②在x轴上有一动点F，直线BF交抛物线于P点，若∠ABP=∠BCD时，求此时点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）先利用一次函数解析式确定B（0，﹣3），再把B点坐标代入代入y=（x﹣1）2+m可求出m，从而得到抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4，接着解方程（x﹣1）2﹣4=0得A（3，0），C（﹣1，0），最后把A点坐标代入y=kx﹣3中可求出k的值；‎ ‎（2）①利用对称性得到D为（2，﹣3）再求出直线CD的解析式为y=﹣x﹣1得到点E为（0，﹣1），则可判断△OCE为等腰直角三角形，然后根据三角形外角性质可求出∠BCD+∠OBC=∠CEO的度数；②当直线BP与x轴的交点F在点A的左侧时，如图1，先证明∠2=∠4得到OF=OC=1，则F（1，0），再求出直线BF的解析式为y=3x﹣3，接着解方程组 得此时P点坐标；当直线BP与x轴的交点F在点A的右侧时，如图2，先证明∠2=∠4，则可判定Rt△OBF∽Rt△OCB，则利用相似比可计算出OF=9，从而得到F（9，0），接下来求出直线BF的解析式为y=x﹣3，然后解方程组得此时P点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）当x=0时，y=kx﹣3=﹣3，则B（0，﹣3），‎ 把B（0，﹣3）代入y=（x﹣1）2+m得1+m=﹣4，解得m=﹣4；‎ ‎∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4，‎ 当y=0时，（x﹣1）2﹣4=0，解得x1=3，x2=﹣1，‎ ‎∴A（3，0），C（﹣1，0），‎ 把A（3，0）代入y=kx﹣3得3k﹣3=0，解得k=1；‎ ‎（2）①∵BD∥x轴且B，D都在抛物线上，‎ ‎∴点D与点B关于对称轴直线x=1对称，‎ ‎∴D为（2，﹣3），‎ 易得直线CD的解析式为y=﹣x﹣1，‎ ‎∴点E为（0，﹣1），‎ ‎∴OC=OE，‎ ‎∴△OCE为等腰直角三角形 ‎∴∠BCD+∠OBC=∠CEO=45°；‎ ‎②当直线BP与x轴的交点F在点A的左侧时，如图1，‎ ‎∵A（3，0），B（0，﹣3），‎ ‎∴△AOB为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠3+∠4=∠ABO=45〫，‎ ‎∵∠1+∠2=45〫且∠3=∠1，‎ ‎∴∠2=∠4，‎ 而BO⊥CF，‎ ‎∴OF=OC=1，‎ ‎∴F（1，0），‎ 易得直线BF的解析式为y=3x﹣3‎ 解方程组得得或，此时P点坐标为（5，12）；‎ 当直线BP与x轴的交点F在点A的右侧时，如图2，‎ ‎∵∠3+∠4=∠OAB=45°，‎ 而∠1+∠2=45〫且∠1=∠3，‎ ‎∴∠2=∠4，‎ ‎∴Rt△OBF∽Rt△OCB，‎ ‎∴=，即=，解得OF=9，‎ ‎∴F（9，0），‎ 易得直线BF的解析式为y=x﹣3，‎ 解方程组得或，此时P点坐标为（，﹣）；‎ 综上所述，P点坐标为（5，12）或（，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式，把求函数交点坐标问题转化为解方程组的问题；会运用相似三角形的性质计算线段的长；理解坐标与图形性质．‎ ‎　‎ ‎48．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+‎ c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为二次函数的顶点，已知点（﹣1，0），点C（0，﹣3），直线DE为二次函数的对称轴，交BC于点E，交x轴于点F．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；‎ ‎（2）直线DE上是否存在点M，使点M到x轴的距离于到BD的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）已知点Q是线段BD上的动点，点D关于EQ的对称点是点D′，是否存在点Q使得△EQD′与△EQB的重叠部分图象为直角三角形？若存在，请求出DQ的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法，求出抛物线解析式，再根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；‎ ‎（2）根据点M到x轴和BD的距离相等，即可得到点M在∠FBD的平分线上，根据全等即可求出BN的长度，从而求出DN的长度，根据勾股定理，列出方程，计算即可；‎ ‎（3）分三种情况：①当点D′落在线段BD上，△EQD′与△EQB的重叠部分图象为直角三角形，故过点E作EQ⊥BD与点Q，根据相似三角形的性质即可求出DQ的长度；②当点D′落在线段BD的右侧时，△EQD′与△EQB的重叠部分图象为直角三角形，故过点E作ED′⊥BD，交BD于点M，且ED′=ED．根据锐角三角函数求出DQ的长度；③当点D′落在线段BD的左侧时，△EQD′与△EQB的重叠部分图象为直角三角形，故过点E作EM⊥BD于点M，作∠BEM的平分线EQ，交BD于点Q．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3），‎ 可得：，解得：，‎ ‎∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3，‎ ‎∴，，‎ ‎∴顶点坐标D（1，﹣4）．‎ ‎（2）存在．‎ ‎①抛物线与x轴交于点B，可得点B（3，0），‎ 过点M作MN⊥BD于点N，连接BE，如图1，‎ 设点M的坐标为（1，﹣m），‎ ‎∵MF=MN，MF⊥AB，MN⊥BD，‎ ‎∴点M在∠FBD的平分线上，‎ ‎∵BM=BM，‎ ‎∴Rt△BFM≌Rt△BNM（HL），‎ ‎∴BM=BF=2，‎ 在Rt△BDF中，BF=2，DF=4，‎ ‎∴BD=，‎ ‎∴DN=4﹣m，‎ 在Rt△MND中，MN=m，DM=4﹣m，‎ ‎∴，解得：m=，‎ ‎∴点M（1，）．‎ ‎（3）存在．‎ ‎①设直线BC的解析式为y=kx+b，点B（3，0），点C（0，﹣3）在直线BC上，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴直线BC的解析式为：y=x﹣3．‎ 直线BC与直线DF相交于点E，可得点E（1，﹣2），‎ ‎∴DE=﹣2﹣（﹣4）=2，‎ 过点E作EQ⊥BD与点Q，此时点D′落在线段BD上，且△EQD′与△EQB的重叠部分图象为直角三角形，如图2，‎ 由（2）可知，BD=，‎ 由△DEQ∽△DBF，得：，‎ 即，解得：DQ=．‎ ‎②过点E作ED′⊥BD，交BD于点M，且ED′=ED．‎ 由点B（3，0），D（﹣1，4），可得yBD=2x﹣6，‎ 由ED′⊥BD，可得yED′=，‎ 联立，解得：，‎ ‎∴点M（，），‎ ‎∴ED′=，‎ 由图2可知，DM=，DE=2，‎ 如图3，在Rt△EDM中，sin∠MED==‎ cos∠MED=，‎ ‎∴tan∠QED′=，‎ 由点D与点D′关于EQ对称，可知，∠MEQ=∠MED，‎ ‎∴tan∠=，即，解得：MQ=1﹣，‎ ‎∵BD=2，‎ ‎∴DQ=MD﹣MQ=﹣（1﹣）=﹣1．‎ ‎③过点E作EM⊥BD于点M，作∠BEM的平分线EQ，交BD于点Q，‎ ‎∵点M（，），点E（1，﹣2），点B（3，0），‎ 由两点的距离公式，可得：EM==，‎ BM=，BE=2，‎ 在Rt△BEM中，sin∠BEM==，cos∠BEM==，‎ ‎∴∠MEQ==，‎ ‎∴，‎ 即，解得：MQ=，‎ ‎∵DM=，‎ ‎∴DQ=DM+MQ=+=．‎ 综上所述，DQ的长度为：或﹣1或．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数与一次函数、相似三角形等知识的综合运用，能灵活应用各知识点是解决此题的关键．‎ ‎　‎ ‎49．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；‎ ‎（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．‎ ‎【分析】（1）根据题意可以设出二次函数解析式，根据函数过点A、B、C，即可解答本题；‎ ‎（2）根据题意可以求得点D的坐标，再根据函数图象即可解答本题；‎ ‎（3）根据题意作出辅助线，即可求得△ADE的面积．‎ ‎【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，‎ ‎，‎ 解得，a=﹣1，b=﹣2，c=3，‎ 即二次函数的解析式是y=﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（2）∵y=﹣x2﹣2x+3，‎ ‎∴该函数的对称轴是直线x=﹣1，‎ ‎∵点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，‎ ‎∴点D（﹣2，3），‎ ‎∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1；‎ ‎（3）∵点A（﹣3，0）、点D（﹣2，3）、点B（1，0），‎ 设直线DE的解析式为y=kx+m，‎ 则，解得，，‎ ‎∴直线DE的解析式为y=﹣x+1，‎ 当x=0时，y=1，‎ ‎∴点E的坐标为（0，1），‎ 设直线AE的解析式为y=cx+d，‎ 则，得，‎ ‎∴直线AE的解析式为y=x+1，‎ 当x=﹣2时，y==，‎ ‎∴△ADE的面积是：=4．‎ ‎【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．‎ ‎　‎ ‎50．如图，▱ABCD与抛物线y=﹣x2+bx+c相交于点A，B，D，点C在抛物线的对称轴上，已知点B（﹣1，0），BC=4．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求BD的函数表达式．‎ ‎【分析】（1）由B的坐标，以及BC的长，求出C的坐标，确定出抛物线对称轴，利用待定系数法求出解析式即可；‎ ‎（2）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，得到AD的长，利用对称性求出D横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出D坐标，设出直线BD解析式为y=kx+b，把B与D坐标代入确定出k与b的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵B（﹣1，0），BC=4，‎ ‎∴C（3，0），即抛物线对称轴为直线x=3，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ 则抛物线解析式为y=﹣x2+6x+7；‎ ‎（2）∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，且AD=BC=4，‎ ‎∵A与D关于对称轴直线x=3对称，且AD=4，‎ ‎∴A横坐标为1，D横坐标为5，‎ 把x=5代入抛物线解析式得：y=12，即D（5，12），‎ 设直线BD解析式为y=kx+b，‎ 把B与D坐标代入得：，‎ 解得：，‎ 则直线BD的解析式为y=2x+2．‎ ‎【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及待定系数法求一次函数解析式，二次函数性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎　‎