挑战中考数学压轴题——平行四边形存在性问题

挑战中考数学压轴题——平行四边形存在性问题

‎ ‎ 教师： 学生： 时间：2017年 月 日 课题内容 平行四边形存在性问题 专题攻略 一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.‎ 二、难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使 计算又准又快.‎ 三、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点以已知三个定点为 三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点.‎ 四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.‎ 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便. ‎ 典型例题 例1．如图，抛物线：y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B（A在B左侧），A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C（1，﹣2）‎ ‎（1）求过A、B、C三点的圆的半径．‎ ‎（2）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标．‎ ‎（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（1，﹣2），∴AB=3﹣（﹣1）=4，‎ AC==2，BC==2，∴AB2=16，AC2+BC2=8+8=16，‎ ‎∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，AB是直径，故半径为2；‎ ‎（2）①当AB是平行四边形的边时，PE=AB=4，且点P、E的纵坐标相等，‎ ‎∴点P的横坐标为4或﹣4，∴y=×42﹣4﹣=，或y=×42+4﹣=，‎ ‎∴点P、E的坐标为P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，），‎ ‎②如图，当AB是平行四边形的对角线时，PE平分AB，∴PE与x轴的交点坐标D（1，0），‎ 过点P作PF⊥AB，则OD=FD，∴点F的坐标为（2，0），∴点P的横坐标为2，‎ y=×22﹣2﹣=﹣，∴点P的纵坐标为，∴点P、E的坐标为P3（2，﹣）、E3（0，），‎ 综上所述，点P、E的坐标为：P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，）或P3（2，﹣）、E3（0，）．‎ 例2．将抛物线沿c1：y=﹣x2+沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．‎ ‎（1）请直接写出拋物线c2的表达式．‎ ‎（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．‎ ‎①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；‎ ‎②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．‎ 方法一：‎ ‎（1）根据翻折的性质可求拋物线c2的表达式；‎ ‎（2）①求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标，分当AD=AE时，当BD=AE时两种情况讨论求解；‎ ‎②存在．理由：连接AN，NE，EM，MA．根据矩形的判定即可得出．‎ 方法二：‎ ‎（1）求出翻折后抛物线顶点坐标，并求出抛物线表达式．‎ ‎（2）①抛物线c1平移m个单位长度后，求出点A，B，D，E的坐标，并分类讨论点B在点D左侧和右侧的两种情况，进而求出m的值．‎ ‎②以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，则AN⊥EN，利用黄金法则二，可求出m的值．‎ ‎【解答】方法一：‎ 解：（1）y=x2﹣．‎ ‎（2）①令﹣x2+=0，得x1=﹣1，x2=1‎ 则拋物线c1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0）．‎ ‎∴A（﹣1﹣m，0），B（1﹣m，0）．同理可得：D（﹣1+m，0），E（1+m，0）．‎ 当AD=AE时，（﹣1+m）﹣（﹣1﹣m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，‎ ‎∴m=．‎ 当BD=AE时，（1﹣m）﹣（﹣1+m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，∴m=2．‎ 故当B，D是线段AE的三等分点时，m=或2．‎ ‎②存在．‎ 理由：连接AN，NE，EM，MA．依题意可得：M（﹣m，），N（m，﹣）．‎ 即M，N关于原点O对称，∴OM=ON．‎ ‎∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE ‎∴四边形ANEM为平行四边形．‎ ‎∵AM2=（﹣m﹣1+m）2+（）2=4，ME2=（1+m+m）2+（）2=4m2+4m+4，‎ AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，若AM2+ME2=AE2，则4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，∴m=1，‎ 此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°．‎ ‎∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．‎ 方法二：‎ ‎（1）略，‎ ‎（2）①抛物线C1：y=﹣x2+，‎ 与x轴的两个交点为（﹣1，0），（1，0），顶点为（0，），抛物线C2：y=﹣x2﹣，‎ 与x轴的两个交点也为（﹣1，0），（1，0），顶点为（0，﹣），抛物线C1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为（﹣m，），与x轴的两个交点为A（﹣1﹣m，0）、B（1﹣m，0），AB=2，‎ 抛物线C2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为（m，﹣），与x轴的两个交点为D（﹣1+m，0）、E（1+m，0），∴AE=（1+m）﹣（﹣1﹣m）=2（1+m），B、D是线段AE的三等分点，有两种情况．‎ ‎1、B在D的左侧，AB=AE=2，AE=6，‎ ‎∴2（1+m）=6，m=2，‎ ‎2、B在D的右侧，AB=AE=2，AE=3，‎ ‎∴2（1+m）=3，m=．‎ ‎（3）若A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，‎ ‎∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣）、M（﹣m，），‎ ‎∴点A，E关于原点对称，点N，M关于原点对称，‎ ‎∴A、N、E、M为顶点的四边形是平行四边形，‎ 则AN⊥EN，KAN×KEN=﹣1，‎ ‎∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣），‎ ‎∴=﹣1，‎ ‎∴m=1．‎ 强化训练 ‎1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；‎ ‎（3）连结CM，BN，当m为何值时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？‎ 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，1）和点B（3，），‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；‎ ‎（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∵A（0，1），B（3，），‎ ‎∴，∴直线AB的解析式为y=x+1，‎ ‎∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP=m，‎ ‎∴P（m，0），M（m，m+1），∴PM=m+1；‎ ‎（3）由题意可得：N（m，﹣m2+m+1），‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形，‎ 当点P在线段OC上时，MN=﹣m2+m，‎ 又∵BC=，‎ ‎∴﹣m2+m=，‎ 解得m1=1，m2=2；‎ 当点P在线段OC的延长线上时，MN=m2﹣m，‎ ‎∴m2﹣m=，‎ 解得 m1=（不合题意，舍去），m2=，‎ 综上所述，当m的值为1或2或时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．‎ ‎2．如图，已知二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0），C（2，﹣6）三点．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；‎ ‎（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，‎ ‎∴可设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．‎ ‎∵二次函数的图象M经过C（2，﹣6）点，‎ ‎∴﹣6=a（2+1）（2﹣4），解得a=1．‎ ‎∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣4），即y=x2﹣3x﹣4．‎ ‎（2）设直线AC的解析式为y=sx+t，把A、C坐标代入可得，解得，‎ ‎∴线段AC的解析式为y=﹣2x﹣2，‎ 设点G的坐标为（k，﹣2k﹣2）．‎ ‎∵G与C点不重合，‎ ‎∴△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况．‎ ‎∴=．‎ ‎∵AB=5，AC==3，AG==|k+1|，‎ ‎∴=，∴|k+1|=∴k=或k=﹣（舍去），∴点G的坐标为（，﹣）．‎ ‎（3）能．理由如下：‎ 如图，过D点作x轴的垂线交AC于点H，‎ ‎∵D（m，n）（﹣1＜m＜2），∴H（m，﹣2m﹣2）．∵点D（m，n）在图象M上，‎ ‎∴D（m，m2﹣3m﹣4）．‎ ‎∵△ACD的面积为，‎ ‎∴[﹣2m﹣2﹣（m2﹣3m﹣4）][（m+1）+（2﹣m）]=，即4m2﹣4m+1=0，解得m=．‎ ‎∴D（，﹣）．‎ ‎∵y=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，∴图象M的对称轴l为x=．‎ ‎∵点D关于l的对称点为E，∴E（，﹣），∴DE=﹣=2，‎ 若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况：‎ 当DE为边时，则有PQ∥DE且PQ=DE=2．‎ ‎∴点P的横坐标为+2=或﹣2=﹣，‎ ‎∴点P的纵坐标为（﹣）2﹣=﹣，‎ ‎∴点P的坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）；‎ 当DE为对角线时，则可知P点为抛物线的顶点，即P（，﹣）；‎ 综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．‎ ‎3．已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点．‎ ‎（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．‎ 解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，），‎ 又∵直线BC过C、F两点，故得方程组： 解之，得，‎ 所以直线BC的解析式为：y=﹣x+1； ‎ ‎（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示，‎ 设M（x，﹣x+1），则D（x，x2），∵MD∥y轴，∴MD=﹣x+1﹣x2，‎ 由MD=OF，可得|﹣x+1﹣x2|=1，‎ ‎①当﹣x+1﹣x2=1时，‎ 解得x1=0（舍）或x1=﹣3，所以M（﹣3，），‎ ‎②当﹣x+1﹣x2，=﹣1时，解得，x=，‎ 所以M（，）或M（，），‎ 综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，‎ M点坐标为（﹣3，）或（，）或（，）；‎ ‎（3）过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示，‎ ‎∵点B（m，n）在抛物线上，∴m2=4n，在Rt△BTF中，‎ BF====，‎ ‎∵n＞0，∴BF=n+1，又∵BR=n+1，∴BF=BR．∴∠BRF=∠BFR，又∵BR⊥l，EF⊥l，‎ ‎∴BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE，∴∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，∴∠RFS=∠BFC=90°，‎ ‎∴△RFS是直角三角形．‎ ‎4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．‎ ‎（1）求a的值及点A，B的坐标；‎ ‎（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；‎ ‎（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．‎ 解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．‎ ‎∴a﹣3=﹣，解得：a=，∴y=（x+1）2﹣3‎ 当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，∴x1=2，x2=﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0）．‎ ‎（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）‎ ‎∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10．‎ 从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：‎ ‎①当直线l边AD相交与点M1时，则S=×10=3，‎ ‎∴×3×（﹣y）=3‎ ‎∴y=﹣2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y=2x+2．‎ ‎②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为y=﹣x﹣．‎ 综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣．‎ ‎（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．‎ 由，∴+（﹣k）x﹣﹣k=0，∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，‎ ‎∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k﹣1，k2）．‎ 假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3‎ 由，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）‎ ‎∵四边形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2，‎ ‎ 整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，‎ ‎ 解得k=±，‎ ‎∵k＜0，∴k=﹣，∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）‎ ‎∴PM=DN=2，‎ ‎∵PM∥DN，∴四边形DMPN是平行四边形，‎ ‎∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，‎ ‎∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．‎ ‎5．二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．‎ 方法一：‎ 解：（1）由直线y=﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数，‎ 根据题意得：， 解得：，则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；‎ ‎（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），‎ 则M（x，﹣x+1），P（x，0）．‎ ‎∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，‎ 则当x=﹣时，MN的最大值为；‎ ‎（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，‎ 即四边形BCMN是菱形，则MN=BC，且BC=MC，即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=‎ ‎，‎ 解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）．‎ 故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．‎ 方法二：‎ ‎（1）略．‎ ‎（2）设N（t，﹣），∴M（t，﹣t+1），‎ ‎∴MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1，∴MN=﹣，‎ 当t=﹣时，MN有最大值，MN=．‎ ‎（3）若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形．‎ ‎∴NC⊥BM且MN=BC=，即﹣=，∴t1=﹣1，t2=﹣2，‎ ‎①t1=﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），∴KNC==2，‎ ‎∵KAB=﹣，∴KNC×KAB=﹣1，∴NC⊥BM．‎ ‎②t2=﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0），‎ ‎∴KNC==，KAB=﹣，∴KNC×KAB≠﹣1，此时NC与BM不垂直．‎ ‎∴满足题意的N点坐标只有一个，N（﹣1，4）．‎ ‎6．已知直角梯形ABCD中AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=26，点P从A点出发，沿AD边以1的速度向点D运动，点Q从点C开始沿CB边以3的速度向点B运动，P，Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t．‎ ‎（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？‎ ‎（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？‎ 解：（1）根据题意得：PA=t，CQ=3t，则PD=AD﹣PA=24﹣t，‎ ‎∵AD∥BC，∴PD∥CQ，‎ ‎∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，‎ 即24﹣t=3t，解得：t=6，即当t=6时，四边形PQCD为平行四边形；‎ ‎（2）过D作DE⊥BC于E，‎ 则四边形ABED为矩形，∴BE=AD=24cm，∴EC=BC﹣BE=2cm，‎ 当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，如图所示：‎ 过点P作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，‎ 则四边形PDEF是矩形，∴EF=PD，PF=DE，‎ 在Rt△PQF和Rt△CDE中，，∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL），‎ ‎∴QF=CE，∴QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE，‎ 即3t﹣（24﹣t）=4，解得：t=7，‎ 即当t=7时，四边形PQCD为等腰梯形．‎ ‎ ‎