2016中考数学第一轮复习导学案

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第一章 实数 课时 1．实数的有关概念 【课前热身】 1.2 的倒数是 ． 2.若向南走 记作 ，则向北走 记作 ． 3. 的相反数是 ． 4. 的绝对值是（ ） A． 　　B． 　　C． 　　D． 5．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大 约只占 0.000 000 7（毫米 2），这个数用科学记数法表示为（ ） A.7×10－6 　　B. 0.7×10－6 C. 7×10－7 　D. 70×10－8 【考点链接】 1．有理数的意义 ⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应. ⑵ 实数 的相反数为________. 若 ， 互为相反数，则 = . ⑶ 非零实数 的倒数为______. 若 ， 互为倒数，则 = . ⑷ 绝对值 ． ⑸ 科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中 1≤ ＜10 的数，n 是整数. ⑹ 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左 边第一个不是 的数起，到 止，所有的数字都叫做这个数的有效数 字． 2.数的开方 ⑴ 任何正数 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根 叫 _______________. 没有平方根，0 的算术平方根为______. ⑵ 任何一个实数 都有立方根，记为 . ⑶ . 3. 实数的分类 和 统称实数. 4．易错知识辨析 （1）近似数、有效数字 如 0.030 是 2 个有效数字（3,0）精确到千分位；3.14×10 5 是 3 个有效数字；精确到千位.3.14 万是 3 个有效数字（3,1,4）精确到百位． 2m 2m− 3m m 2 3− 3− 3 1 3 − 1 3 a a b ba + a a b ab    < = > = )0( )0( )0( a a a a a a a a =2a    < ≥= )0( )0( a aa （2）绝对值 的解为 ；而 ，但少部分同学写成 ． （3）在已知中，以非负数 a2、|a|、 a(a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题. 【典例精析】 例 1 在“ ，3.14 ， ， ，cos 600 sin 450 ”这 6 个数中，无理数的个数 是（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 例 2 ⑴ 的倒数是（ ） A．2 B. C. D.－2 ⑵若 ，则 的值为（ ） A． B． C．0 D．4 ⑶如图，数轴上点 表示的数可能是（　　 ） A. B. C. D. 例 3 下列说法正确的是（ ） A．近似数 3．9×103 精确到十分位 B．按科学计数法表示的数 8．04×105 其原数是 80400 C．把数 50430 保留 2 个有效数字得 5．0×104. D．用四舍五入得到的近似数 8．1780 精确到 0．001 【中考演练】 1.-3 的相反数是______,- 的绝对值是_____,2-1=______, ． 2. 某种零件，标明要求是φ20±0.02 mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件 的直径是 19.9 mm，该零件 .（填“合格” 或“不合格”） 3. 下列各数中：－3， ，0， ， ，0.31， ，2 ，2.161 161 161…， （－2 005）0 是无理数的是___________________________． 4．全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款，到 6 月 3 日止各地共捐款约 423.64 亿元，用 科学记数法表示捐款数约为__________元．（保留两个有效数字） 5．若 ，则 的值为 ． 6. 2.40 万精确到__________位，有效数字有__________个. 7. 的倒数是 ( ) A． B． C． D．5 2x = 2±=x 22 =− 22 ±=− ( )0 5 ( )3 3 ( ) 2 3 − 2− − 1 2 1 2 − 23 ( 2) 0m n− + + = 2m n+ 4− 1− P 7 7− 3.2− 10− 1 2 2008( 1)− = 1 4 3 2 3 64 22 7 π 0)1(3 2 =++− nm m n+ 5 1− 5 1− 5 1 5− 3− 2− 1− O 1 2 3 P 8．点 A 在数轴上表示+2，从 A 点沿数轴向左平移 3 个单位到点 B，则点 B 所表示的实数是 （ ） A．3 B．-1 C．5 D．-1 或 3 9．如果□＋2＝0，那么“□”内应填的实数是（ ） A． B． C． D．2 10．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．2 和 B．-2 和－ C．-2 和|-2| D． 和 11．16 的算术平方根是（ ） A.4 B.－4 C.±4 D.16 12.实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则 a 与 b 的大小关系是（ ） A．a > b B． a = b C． a < b D．不能判断 13．若 x 的相反数是 3，│y│＝5，则 x＋y 的值为（ ） A．－8 B．2 C．8 或－2 D．－8 或 2 14． 如图，数轴上 A、B 两点所表示的两数的（ ） A. 和为正数 B. 和为负数 C. 积为正数 D. 积为负数 2 1 2 1− 2 1± 2 1 2 1 2 2 1 A B O-3 课时 2. 实数的运算与大小比较 【课前热身】 1.某天的最高气温为 6°C，最低气温为－2°C，同这天的最高气温比最低气温高 __________°C． 2.(晋江）计算： _______. 3.(贵阳）比较大小： .（填“ ， 或 ”符号） 4. 计算 的结果是（ ） A. －9 B. 9 C.－6 D.6 5.下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 6．若“！”是一种数学运算符号，并且 1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6， 4！＝4×3×2×1，…，则 的值为（ ） A. B. 99! C. 9900 D. 2！ 【考点链接】 1. 数的乘方 ，其中 叫做 ，n 叫做 . 2. （其中 0 且 是 ） （其中 0） 3. 实数运算 先算 ，再算 ，最后算 ；如果有括号，先算 里面的，同一级运算按照从 到 的顺序依次进行. 4. 实数大小的比较 ⑴ 数轴上两个点表示的数， 的点表示的数总比 的点表示的数大. ⑵ 正数 0，负数 0，正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的 绝对值小的． 5．易错知识辨析 在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误. 如 5÷ ×5. 【典例精析】 例 1 计算： ⑴20080＋|-1|- cos30°＋ ( )3； ⑵ . =−13 2− 3 > < = 23− 3 3− − = 32 6− = − ( 3) 3− − = 0(π 2) 0− = 100! 98! 50 49 =na a =0a a a =− pa a 5 1 3 2 1 23 2 ( 2) 2sin 60− − − +  输入 x 输出 y 平方 乘以 2 减去 4 若结果大于 0 否则 例 2 计算： . ﹡例 3 已知 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值是 2， 求 的值． 【中考演练】 1. 根据如图所示的程序计算， 若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值为 . 2. 比较大小： . 3.计算(－2)2－(－2) 3 的结果是（ 　 ） A. －4 B. 2 C. 4 D. 12 4. 下列各式运算正确的是（ 　 ） A．2-1＝- B．23＝6 C．22·23＝26 D．(23)2＝26 5. －2，3，－4，－5，6 这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是（ 　 ） A. 10 B．20 C．－30 D．18 6. 计算： ⑴ ； ⑵ ； 1 3 01( ) 2 0.125 2009 | 1|2 − − × + + − a b c d m 2 | | 4 32 1 a b m cdm + + −+ 7 3_____10 10 − − 2 1 4245tan2 1)1( 10 +−°+− − 2 01( ) ( 3 2) 2sin30 32 − − − + °+ − ⑶ . ﹡7.有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，…它的每一项可用式子 （ 是正整数） 来表示．有规律排列的一列数： ，… （1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？ （2）它的第 100 个数是多少？ （3）2006 是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？ ﹡8．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是：任取 1 至 13 之间的自然数四个，将这个 四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于 2 4．例如：对 1，2，3，4，可作运算：（1＋2＋3）×4＝24．（注意上述运算与 4 ×(2＋3＋1）应视 作相同方法的运算.现“超级英雄”栏目中有下列问题：四个有理数 3，4，－6，10，运 用上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于 24， （1）_______________________，（2）_______________________， （3）_______________________． 另有四个数 3，－5，7，－13，可通过运算式（4）_____________________ ，使其 结果等于 24． 01 )2008(260cos π−++ − 2n n 1 2 3 4 5 6 7 8− − − −， ，， ，， ，， 第二章 代数式 课时 3．整式及其运算 【课前热身】 1. x2y 的系数是 ，次数是 . 2.计算： ． 3.下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 4. 计算 所得的结果是（ ） A． B． C． D． 5. a，b 两数的平方和用代数式表示为（ ） A. B. C. D. 6．某工厂一月份产值为 万元，二月份比一月份增长 5％，则二月份产值为（ ） A. ·5％万元 B. 5％ 万元 C.(1+5％) 万元 D.(1+5％) 万元 【考点链接】 1. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示 连接而成的式子叫做代数式. 2. 代数式的值：用 代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所 得的 叫做代数式的值. 3. 整式 （1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数. (2) 多 项 式 ： 几个 单 项 式 的 叫 做 多 项 式 . 在 多 项式 中 ， 每 个 单 项 式 叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的 项叫做 . (3) 整式： 与 统称整式. 4. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫 做同类项. 合并同类项的法则是 ___. 5. 幂的运算性质: am·an= ； (am)n= ； am÷an＝_____； (ab)n= . 6. 乘法公式： (1) ； （2）（a＋b）(a－b)＝ ； (3) (a＋b)2＝ ；(4)(a－b)2＝ . 7. 整式的除法 ⑴ 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式； 3 1− 2( 2 )a a− ÷ = 5 5 10x x x+ = 5 5 10·x x x= 5 5 10( )x x= 20 2 10x x x÷ = 2 3( )x x−  5x 5x− 6x 6x− 2 2a b+ 2( )a b+ 2a b+ 2a b+ a )1( +a a a 2 a =++ ))(( dcba 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． ⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把 所得的商 ． 【典例精析】 例 1 若 且 ， ，则 的值为（ ） A． B．1 C． D． 例 2 按下列程序计算，把答案写在表格内： ⑴ 填写表格： 输入n 3 —2 —3 … 输出答案 1 1 … ⑵ 请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简． 例 3 先化简，再求值： (1) x (x＋2)－(x＋1)(x－1)，其中 x＝－ ； (2)　 ，其中 ． 【中考演练】 1. 计算(-3a3)2÷a2 的结果是( ) A. -9a4 B. 6a4 C. 9a2 D. 9a4 2.下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D． ﹡3.已知代数式 的值为 9，则 的值为（ ） A．18 B．12 C．9 D．7 0a > 2xa = 3ya = x ya − 1− 2 3 3 2 2 1 2 1 2 2( 3) ( 2)( 2) 2x x x x+ + + − − 1 3x = − 633 · xxx = 422 523 xxx =+ 532 )( xx = 2 2 2( )x y x y+ = + 23 4 6x x− + 2 4 63x x− + n 平方 +n ÷ n -n 答案 4. 若 是同类项，则 m + n ＝____________. 5．观察下面的单项式：x，-2x，4x 3，-8x4，…….根据你发现的规律，写出第 7 个式子 是 . 6. 先化简，再求值： ⑴ ，其中 ， ； ⑵ ，其中 ． ﹡7．大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ），观察下列等式（Ⅱ） 根据前面各式规律，则 　　　　　　　　． 3 22 3m nx y x y−与 3( 2 )( 2 ) ( )a b a b ab ab− + + ÷ − 2a = 1b = − )(2)( 2 yxyyx −+− 2,1 == yx 5( )a b+ = 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　Ⅰ Ⅱ 1 2 2 2 3 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 ( ) ( ) 2 ( ) 3 3 ( ) 4 6 4 a b a b a b a ab b a b a a b ab b a b a a b a b ab b + = + + = + + + = + + + + = + + + + 课时 4．因式分解 【课前热身】 1.若 x－y＝3，则 2x－2y＝ ． 2.分解因式：3 －27= ． 3．若 ． 4. 简便计算： ＝ . 5. 下列式子中是完全平方式的是（ ） A． B． C． D． 【考点链接】 1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一个因 式都不能再分解为止． 2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ， ⑶ ，⑷ . 3. 提公因式法： __________ _________. 4. 公式法: ⑴ ⑵ ， ⑶ . 5. 十字相乘法： ． 6．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）． 7．易错知识辨析 （1）注意因式分解与整式乘法的区别； （2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项 式. 【典例精析】 例 1 分解因式： ⑴(聊城） __________________. ⑵3y2－27＝___________________. ⑶ _________________. ⑷ ． 例 2 已知 ，求代数式 的值. x 2 ,),4)(3(2 ==−+=++ baxxbaxx 则 22008 2009 2008− × 22 baba ++ 222 ++ aa 22 2 bba +− 122 ++ aa =++ mcmbma =− 22 ba =++ 22 2 baba =+− 22 2 baba ( ) =+++ pqxqpx 2 3 3 2 22ax y axy ax y+ − = 2 4 4x x+ + = 22 12 18x x− + = 5, 3a b ab− = = 3 2 2 32a b a b ab− + 【中考演练】 1．简便计算： . 2．分解因式： ____________________. 3．分解因式： ____________________. 4．分解因式： ____________________. 5.分解因式 ． 6．将 分解因式的结果是 ． 7.分解因式 =_____ _____； 8． 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A．x2－xy　　　 B．x2＋xy C．x2－y2 　 D．x2＋y2 9．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A． B． C． D． ﹡10. 如图所示，边长为 的矩形，它的周长为 14，面积为 10，求 的值． 11．计算： （1） ； （2） ． =22 71.229.7 － =− xx 42 2 =− 94 2x =+− 442 xx 2 2 32ab a b a− + = 3 21 4 x x x+ − am an bm bn+ + + bxaxbax −=− )( 222 )1)(1(1 yxxyx ++−=+− )1)(1(12 −+=− xxx cbaxcbxax ++=++ )( ,a b 2 2a b ab+ b a 299 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )2 3 4 9 10 − − − − − ﹡12．已知 、 、 是△ABC 的三边，且满足 ，试判断△ABC 的 形状.阅读下面解题过程： 解：由 得： ① ② 即 ③ ∴△ABC 为 Rt△。 ④ 试问：以上解题过程是否正确： ； 若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ； 错误原因是 ； 本题的结论应为 . a b c 224224 cabcba +=+ 224224 cabcba +=+ 222244 cbcaba −=− ( )( ) ( )2222222 bacbaba −=−+ 222 cba =+ 课时 5．分式 【课前热身】 1．当 x______时，分式 有意义；当 x＝______时，分式 的值为 0． 2．填写出未知的分子或分母： （1） . 3．计算： + ＝________． 4．代数式 中，分式的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.计算 的结果为（　　） A． B． C． D． 【考点链接】 1. 分式：整式 A 除以整式 B，可以表示成 A B的形式，如果除式 B 中含有 ，那么称 A B为分式．若 ，则 A B有意义；若 ，则 A B无意义；若 ，则 A B＝ 0. 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式 的 ．用式子表示为 . 3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分． 4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分 式的通分. 5．分式的运算 ⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： . ② 异分母的分式相加减： . ⑵ 乘法法则： .乘方法则： . ⑶ 除法法则： . 【典例精析】 例 1 （1） 当 x 时，分式 无意义； （2）当 x 时，分式 的值为零. 1 1 x x + − 2x x x − 2 2 2 3 ( ) 1 1, (2) 2 1 ( ) x y x y x y y y += =+ − + + x x y+ y y x+ 21, , ,1 3 x x axx x π+ 2 2 ( )ab ab b a 1 1 b x−1 3 3 92 − − x x 例 2 ⑴ 已知 ，则 ＝ . ⑵已知 ，则代数式 的值为 . 例 3 先化简，再求值： (1)（ － ）÷ ，其中 x＝1． ⑵ ，其中 . 【中考演练】 1．化简分式： =________． 2．计算： x－1 x－2＋ 1 2－x＝ . 3．分式 的最简公分母是_______． 4．把分式 中的分子、分母的 、 同时扩大 2 倍，那么分式的值（ ） 31 =− xx 2 2 1 xx + 1 1 3x y − = 2 14 2 2 x xy y x xy y − − − − 2 1 2x x− 2 1 4 4x x− + 2 2 2x x− 2 2 1 1 1 1 1 2 1 x x x x x +− ÷+ − − + 3 1x = − 2 2 5 4 4______,20 2 ab x x a b x − += − 2 2 3 1 1 1, ,3 4 2x y xy x− )0,0( ≠≠+ yxyx x x y A. 扩大 2 倍 B. 缩小 2 倍 C. 改变原来的 D. 不改变 5．如果 =3，则 =（ ） A． B．xy C．4 D． 6．若 ，则 的值等于（ ） A． B． C． D． 或 7. 已知两个分式：A＝ ，B＝ ，其中 x≠±2．下面有三个结论： ①A＝B； ②A、B 互为倒数； ③A、B 互为相反数． 请问哪个正确?为什么? 8. 先化简 ，再取一个你认为合理的 值，代入求原式的值. 4 1 x y x y y + 4 3 x y 2 2 0x x− − = 2 2 2 2 3 ( ) 1 3 x x x x − + − − + 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 2 −x xx −++ 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 x x x x x  − + + ÷ − +  x 课时 6．二次根式 【课前热身】 1.当 ___________时，二次根式 在实数范围内有意义．　　 2.计算： __________． 3.计算： = _____________. 4．下面与 是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【考点链接】 1．二次根式的有关概念 ⑴ 式子 叫做二次根式．注意被开方数 只能是 . ⑵ 最简二次根式 被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式 叫做最简二次根式． (3) 同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数 的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ⑴ 0； ⑵ （ ≥0） ⑶ ； ⑶ （ ）； ⑷ （ ）. 3．二次根式的运算 (1) 二次根式的加减： ①先把各个二次根式化成 ； ②再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变. 【典例精析】 例 1 ⑴ 二次根式 中，字母 a 的取值范围是（ ） A． B．a≤1 C．a≥1 D． ⑵估计 的运算结果应在（　 　） x 3x − 2( 3) = 54 − 2 3 12 8 2 1− )0( ≥aa a a ( ) =2 a a =2a =ab 0,0 ≥≥ ba = b a 0,0 >≥ ba 1 a− 1a < 1a > 132 202 × + A．6 到 7 之间 B．7 到 8 之间 C．8 到 9 之间 D．9 到 10 之间 例 2 下列根式中属最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 例 3 计算：⑴ ； ⑵ 8＋ －2× 2 2 ．　 【中考演练】 1．计算： ． 2.式子 有意义的 x 取值范围是________． 3.下列根式中能与 合并的二次根式为（ ） A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　D． ﹡4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点 P 所表示的数是 2”，这种说明问 题的方式体现的数学思想方法叫做（ ） A．代人法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论 5．若 ，则 xy 的值为 ( ) A． B． C． D． 6．在数轴上与表示 的点的距离最近的整数点所表示的数是 ． 7．（1）计算： º； 2 1a + 1 2 8 27 0(π 1) 12 3+ − + − ( )31− 12 3 3− = 2 x x− 3 3 2 24 12 18 baybax +=−= , a2 b2 ba + ba − 3 03 ( 2) tan 45π− − − + （2）计算： . ﹡8．如图，实数 、 在数轴上的位置，化简 . °−−−+ − 45tan2)510()3 1(4 01 a b 2 2 2( )a b a b− − − 第三章 方程（组）和不等式 课时 7．一元一次方程及其应用 【课前热身】 1．在等式 的两边同时 ，得到 . 2．方程 的根是 . 3． 的 5 倍比 的 2 倍大 12 可列方程为 . 4．写一个以 为解的方程 . 5．如果 是方程 的根，则 的值是 . 6．如果方程 是一元一次方程，则 . 【考点链接】 1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果 ，那么 ； ② 如果 ，那么 ；如果 ，那么 . 2. 方程、一元一次方程的概念 ⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解； 叫做解方程. 方程的解与解方程不同. ⑵一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数 不等于 0 的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 . 3. 解一元一次方程的步骤： ①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为 1. 4．易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一 个 未 知 数 ， 并 且 未 知 数 的 次 数 是 1 ， 系 数 不 等 于 0 的 方 程 ， 像 ， 等不是一元一次方程. （2）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘 以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不 要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号. 【典例精析】 例 1 解方程 （1） ； （2） . 3 6 7y − = 3 13y = 5 3 8x− + = x x 2−=x 1x = − 2 3 4x m− = m 2 1 3 0mx − + = m = ba = =± ca ba = =ac ba = ( )0≠c = c a ( )0≠a 21 = x ( )1222 +=+ xx ( ) ( ) ( ) 3 1 7 5 30 1x x x− − + = + 2 1 10 1 13 6 x x+ +− = 例 2 当 取什么整数时，关于 的方程 的解是正整数？ 例 3 2008 年 5 月 12 日，四川汶川发生了里氏 8.0 级大地震，给当地人民造成了巨大的损 失．“一方有难，八方支援”，我市某中学全体师生积极捐款，其中九年级的 3 个班学 生的捐款金额如下表： 班级 （1）班 （2）班 （3）班 金额（元） 2000 吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条 信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元； 信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多 300 元； 信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于 48 元，小于 51 元． 请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题： （1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元； （2）求出（1）班的学生人数． 【中考演练】 1．若 5x－5 的值与 2x－9 的值互为相反数,则 x＝_____． 2． 关于 的方程 的解是 3，则 的值为________________. 3. 某商店销售一批服装，每件售价 150 元，可获利 25%，求这种服装的成本价.设这种服装 的成本价为 元，则得到方程( ) A. B. C. D. 4．解方程 时，去分母、去括号后，正确结果是（ ） A. B. C. D. 5．解下列方程： ； （2） . m x 1 5 1 4( )2 3 2 3mx x− = − x 0)1(2 =−− ax a x 150 25%x = × 25% 150x⋅ = %25150 =− x x 150 25%x− = 16 110 3 12 =+−+ xx 111014 =+−+ xx 111024 =−−+ xx 611024 =−−+ xx 611024 =+−+ xx ( ) ( ) ( )(1) 3 1 7 5 30 1x x x− − + = + 1 2 12 5 3 x x x− +− = − 6. 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共 480 台．改进生产技术后，计划第二季度生产这 两种机器共 554 台，其中甲种机器产量要比第一季度增产 10 % ，乙种机器产量要比第 一季度增产 20 %．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？ 7. 苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾 的混合养殖，他了解到如下信息： ①每亩水面的年租金为 500 元，水面需按整数亩出租； ②每亩水面可在年初混合投放 4 公斤蟹苗和 20 公斤虾苗； ③每公斤蟹苗的价格为 75 元，其饲养费用为 525 元，当年可获 1400 元收益； ④每公斤虾苗的价格为 15 元，其饲养费用为 85 元，当年可获 160 元收益； (1) 若租用水面 亩，则年租金共需__________元； (2) 水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖 的年利润(利润=收益－成本)； (3) 李大爷现在奖金 25000 元，他准备再向银行贷不超过 25000 元的款，用于蟹虾混合 养殖.已知银行贷款的年利率为 8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款 多少元，可使年利润超过 35000 元？ 课时 8．二元一次方程组及其应用 【课前热身】 1. 在方程 ＝5 中，用含 的代数式表示 为 ＝ ；当 ＝3 时， ＝ . 2．如果 ＝3， ＝2 是方程 的解，则 ＝ . 3. 请写出一个适合方程 的一组解： . 4. 如果 是同类项，则 、 的值是（ ） A. ＝－3， ＝2 B. ＝2， ＝－3 C. ＝－2， ＝3 D. ＝3， ＝－2 【考点链接】 1．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程. 2. 二元一次方程组：由 2 个或 2 个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组. 3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程 的一个解，一个二元一次方程有 个解. 4．二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做 二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程的方法步骤： 二元一次方程组 方程. 消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元法和 消元法两种. 【典例精析】 例 1 解下列方程组： （1） （2） 例 2 某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间：每天上午 8∶20~12∶00，下午 14∶00~16∶00，每小时 25 元； 信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于 60 件． 生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 生产甲产品件数（件） 生产乙产品件数（件） 所用总时间（分） 10 10 350 30 20 850 信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得 1.50 元，每生产一件乙产品可得 2.80 元．根 据以上信息，回答下列问题： （1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？ yx 4 13 − x y y x y x y 326 =+ byx b 13 =− yx xyyx baba 24277 73 −+ −和 x y x y x y x y x y {4 5 19 3 2 3 a b a b + = − − = { 2 2 0 7 4 41 x y x y + + = − = − 消元 转化 （2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？ 例 3 若方程组 与方程组 的解相同，求 、 的值. 【中考演练】 1． 若 是方程组 的解，则 ． 2. 在方程 3x+4y=16 中，当 x=3 时，y=___；若 x、y 都是正整数，这个方程的解为_____． 3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 4. 关于 x、y 的方程组 的解是方程 3x+2y=34 的一组解，那么 m=（ ） A．2 B．-1 C．1 D．-2 5．某校初三(2)班 40 名同学为“希望工程”捐款，共捐款 100 元.捐款情况如下表： 捐款(元) 1 2 3 4 人 数 6 7 表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款 2 元的有 名同学，捐款 3 元的有 名同学，根据题意，可得方程组 A． B． C． D． 6．解方程组： ① ② 7. 夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施.某宾馆先把甲、 乙两种空调的设定温度都调高 1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电 27 度；再对乙 种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高 1℃后的节电量的 1.1 { 3 1 x y x y + = − = { 8 4 mx ny mx ny + = − = m n    −= = 1 1 y x    −=− =+ 124 2 ayx byax    = = _______ _______ b a    =+ =+ 911 4 yx yx    =+ =+ 7 5 zy yx    =− = 623 1 yx x    =− =− 1yx xyyx    =− =+ myx myx 9 32 x y 27 2 3 66 x y x y + =  + = 27 2 3 100 x y x y + =  + = 27 3 2 66 x y x y + =  + = 27 3 2 100 x y x y + =  + =    =− =+ 13 92 xy yx    =−−− =+ 12 1 3 3 4 3 144 yx yx 倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电 405 度.求只将温度调高 1℃后两 种空调每天各节电多少度？ 8. 某同学在 A、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和 书包单价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元. ① 求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ ② 某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市 A 所有商品打八折销售，超市 B 全场 购物满 100 元返购物券 30 元销售（不足 100 元不返券，购物券全场通用），但他只 带了 400 元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择 哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 课时 9．一元二次方程及其应用 【课前热身】 1．方程 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 2．关于 x 的一元二次方程 中，则一次项系数是 . 3．一元二次方程 的根是 . 4．某地 2005 年外贸收入为 2.5 亿元，2007 年外贸收入达到了 4 亿元，若平均每年的增长率 为 x，则可以列出方程为 . 5. 关于 的一元二次方程 的一个根为 1，则实数 =（ ） A． B． 或 C． D． 【考点链接】 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程 叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的 系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如 或 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程 的一般步骤是：①化二 次项系数为 1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和 一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化 原方程为 的形式，⑤如果是非负数，即 ，就可以用直接开平方 求出方程的解.如果 n＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程 的求根公式是 . （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于 0，得到两个一元一次方程， 解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3．易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中 . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化 1. 3 ( 1) 0x x + = 1( 3) ( 1) 3 0nn x n x n++ + − + = 2 2 3 0x x− − = x 2 25 2 5 0x x p p− + − + = p 4 0 2 1 1− )0(2 ≥= aax )0()( 2 ≥=− aabx ( )02 ≠=++ aocbxax 2( )x m n+ = 0n ≥ 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 2 2 1,2 4 ( 4 0)2 b b acx b aca − ± −= − ≥ 0≠a （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 【典例精析】 例 1 选用合适的方法解下列方程： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 例 2 已知一元二次方程 有一个根为零，求 的值. 例 3 用 22 长的铁丝，折成一个面积是 30㎝2 的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折 成面积是 32㎝2 的矩形呢？为什么？ 【中考演练】 1．方程 (5x－2) (x－7)＝9 (x－7)的解是_________. 2．已知 2 是关于 x 的方程 x2－2 a＝0 的一个解，则 2a－1 的值是_________. 3．关于 的方程 有一个根是 ，则关于 的方程 的解为 _____. 4．下列方程中是一元二次方程的有（ ） ①9 x2=7 x ② =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0 ⑤ ( x2+1)= ⑥ -x-1=0 )4(5)4( 2 +=+ xx xx 4)1( 2 =+ 22 )21()3( xx −=+ 3102 2 =− xx 04371 22 =−+++− mmmxxm ）（ m 2 3 y 22 3 2 0y py p+ − = 2y = x 2 3x p− = 3 2y 2 10 2 4 x A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤ 5. 一元二次方程(4x＋1)(2x－3)＝5x2＋1 化成一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)后 a,b,c 的值为 （ ） A．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4 6．一元二次方程 2x2－(m＋1)x＋1＝x (x－1) 化成一般形式后二次项的系数为 1，一次项的 系数为－1，则 m 的值为（ ） A. －1 　　B. 1 　 C. －2 　 D. 2 7．解方程 (1) x2－5x－6＝0 ； (2) 3x2－4x－1＝0（用公式法）； (3) 4x2－8x＋1＝0（用配方法）； （4）x x+1=0． 8．某商店 4 月份销售额为 50 万元，第二季度的总销售额为 182 万元，若 5、6 两个月的月 增长率相同，求月增长率． 222 − ﹡课时 10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【课前热身】 1．一元二次方程 的根的情况为（　　） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2. 若方程 kx2－6x＋1＝0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 . 3．设 x1、x2 是方程 3x2＋4x－5＝0 的两根,则 ，.x12＋x22＝ . 4．关于 x 的方程 2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当 m＝ 时，两根互为倒数； 当 m＝ 时，两根互为相反数. 5．若 x1 = 是二次方程 x2＋ax＋1＝0 的一个根,则 a＝ ，该方程的另一个根 x2 = . 【考点链接】 1. 一元二次方程根的判别式： 关于 x 的一元二次方程 的根的判别式为 . （1） >0 一元二次方程 有两个 实数根，即 . （2） =0 一元二次方程有 相等的实数根，即 . （3） <0 一元二次方程 实数根. 2． 一元二次方程根与系数的关系 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 有 两 根 分 别 为 ， ， 那 么 ， . 3．易错知识辨析： （1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不 为零这个限制条件. （2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： ① 根的判别式 ； 2 2 1 0x x− − = =+ 21 11 xx 23 − ( )002 ≠=++ acbxax acb 42 − ⇔ ( )002 ≠=++ acbxax =2,1x acb 42 − ⇔ == 21 xx acb 42 − ⇔ ( )002 ≠=++ acbxax 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 1x 2x =+ 21 xx =⋅ 21 xx 042 ≥− acb ② 二次项系数 ，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的 关系. 【典例精析】 例 1 当 为何值时，方程 ， （1）两根相等；（2）有一根为 0；（3）两根为倒数. 例 2 下列命题： ① 若 ，则 ； ② 若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根； ③ 若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根； ④ 若 ，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3. 其中正确的是（　　） Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④． 例 3 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6，边 AB 的长是方程 的一个根，则菱 形 ABCD 的周长为 . 【中考演练】 1．设 x1，x2 是方程 2x2＋4x－3＝0 的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)= __________，x12＋x22＝ _________， ＝__________，(x1－x2)2＝_______. 2．当 __________时，关于 的方程 有实数根．（填一个符合要求的数 即可） 3. 已知关于 的方程 的判别式等于 0，且 是方程的根，则 的值为 ． 0a ≠ k 2 6 1 0x x k− + − = 0a b c+ + = 2 4 0b ac− ≥ b a c> + 2 0ax bx c+ + = 2 3b a c= + 2 0ax bx c+ + = 2 4 0b ac− > 01272 =+− xx 1 2 1 1 x x + c = x 22 8 0x x c+ + = x 2 ( 2) 2 0x a x a b− + + − = 1 2x = a b+ 4. 已知 是关于 的方程 的两个实数根，则 的最小 值是 ． 5．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根， 且满足 ，则 的值是（　　） Ａ．3 或 Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ． 或 1 6．一元二次方程 的两个根分别是 ，则 的值是（　　） Ａ．3 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则实数 m 的取值范围是（　　） A．m－1 　　 C．m>l 　 D．m<－1 8．设关于 x 的方程 kx2－(2k＋1)x＋k＝0 的两实数根为 x1、x2，，若 求 k 的值. 9．已知关于 的一元二次方程 ． （1）若方程有两个相等的实数根，求 的值； （2）若方程的两实数根之积等于 ，求 的值． a b， x 2 (2 1) ( 1) 0x k x k k− + + + = 2 2a b+ α β x 2 2(2 3) 0x m x m+ + + = 1 1 1α β+ = − m 1− 3− 2 3 1 0x x− + = 1 2x x， 2 2 1 2 1 2x x x x+ 3− 1 3 1 3 − x 02.2 =+− mxx ,4 17 1 2 2 1 =+ x x x x x ( )2 1 2 0x m x m− − + + = m 2 9 2m m− + 6m + 课时 11．分式方程及其应用 【课前热身】 1．方程 的解是 x= ． 2. 已知 与 的和等于 ，则 ， . 3．解方程 会出现的增根是（ ） A． B. C. 或 D. 4．如果分式 与 的值相等,则 的值是( ) A．9 　B．7 C．5 D．3 5．如果 ，则下列各式不成立的是（ ） A． B． C． D． 6．若分式 的值为 0，则 x 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D.2 【考点链接】 1．分式方程:分母中含有 　　　 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以 　 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根，把整式方程的根代入 　 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是 原方程的增根，必须舍去. 3. 用换元法解分式方程的一般步骤： ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到 的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中， 求出原未知数的值；④ 检验作答. 4．分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 　 . 5．易错知识辨析： （1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项. （2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母,使最简公分母为 0 的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. 22 1 2 3 =−+− − xx x 2+x a 2−x b 4 4 2 −x x =a =b 1 2 1 1 2 −=− xx 1=x 1−=x 1=x 1−=x 2=x 1 2 −x 3 3 +x x 3:2: =yx 3 5=+ y yx 3 1=− y xy 3 1 2 = y x 4 3 1 1 =+ + y x 1 2 2 − − x x （3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式 方程，求出参数的值. 【典例精析】 例 1 解分式方程： ． 例 2 在 2008 年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局 组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地 15 千米.抢修车装载着所需材料先从供电局 出发，15 分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知 吉普车速度是抢修车速度的 1.5 倍，求这两种车的速度. 例 3 某中学库存 960 套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想 承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比 乙小组多用 20 天；乙小 组每天比甲小组多修 8 套；学校每天需付甲小组修理费 80 元，付乙小组 120 元． （1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套． （2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天 10 元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择： ① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理． 你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明． 【中考演练】 1．方程 的解是 ． 2．若关于 方程 无解，则 的值是 ． 3. 分式方程 的解是 ． 4. 以下是方程 去分母、去括号后的结果，其中正确的是（　　） A． B. C. D. 1 23 3 x x x = +− − 01 1 2 =−− xx x 233 2 +−=− − x m x x m 3 1 1 1 1 2 2 =−−− xx 12 11 =−− x x x 112 =−− x 112 =+− x xx 212 =+− xx 212 =−− 5．分式方程 的解是（ ） A． B． C． D． 6. 分式方程 的解是（　　） A. , B. , C. , D. 7． 今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年 5 月份一级 猪肉的价格是 1 月份猪肉价格的 1.25 倍．小英同学的妈妈同样用 20 元钱在 5 月份购得 一级猪肉比在 1 月份购得的一级猪肉少 0.4 斤，那么今年 1 月份的一级猪肉每斤是多少 元？ 8.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完 成． (1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的 2 倍多 4 天，乙组单独完成这 项工程所需时间比规定时间的 2 倍少 16 天．如果甲、乙两组合做 24 天完成，那 么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成? (2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的 后，工程队又承包了东段的改 造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？ 请说明理由． 2 1 12 4 x x x − =− − 3 2 − 2− 5 2 − 3 2 1 4 2 1 −=+ − xx x 71 =x 12 =x 71 =x 12 −=x 71 −=x 12 −=x 71 −=x 12 =x 6 5 课时 12．一元一次不等式(组) 【课前热身】 1． 的 3 倍与 2 的差不小于 5，用不等式表示为 . 2．不等式 的解集是 . 3．代数式 值为正数， 的范围是 . 4． 已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5. 不等式组 的解集为（ ） A． B． C． D．无解 6．不等式组 的整数解的个数为（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点链接】 1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一 个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质： （1）若 ＜ ，则 + ； （2）若 ＞ ， ＞0 则 （或 ）； （3）若 ＞ ， ＜0 则 （或 ）. 3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式， 称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或 ；解一元一次 不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为 1. 4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知 ） 的解集是 ，即“小小取小”； 的解集是 ，即“大大取大”； a 1 0x − > 1 13 m − − m a b< 3 3a b+ > + 2 2a b> a b− < − 0a b− < 1 0 3 6 0 x x − ≤  + > 1x ≤ 2x > − 2 1x− ≤ ≤ 2 1 5 1 1 x x + <  + ≥ − a b a c cb + a b c ac bc c a c b a b c ac bc c a c b ax b< a b< x a x b <  < x a< x a x b >  > x b> 的解集是 ，即“大小小大中间找”； 的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．易错知识辨析： （1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义. （2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式 （或 ）（ ）的形式的解集： 当 时， （或 ） 当 时， （或 ） 当 时， （或 ） 【典例精析】 例 1 解不等式 ，并把它的解集在 数轴上表示出来． 例 2 荆门) 解不等式组 , 并将它的解集在数轴上表示出来． 例 3 一次函数 （ 是常 数， ）的图象如图所示，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【中考演练】 1．不等式 的解集是 ． 2．关于的方程 两实根之和为 m， ，关于 y 的不等于组 x a x b >  < a x b< < x a x b <  > ax b> ax b< 0a ≠ 0a > bx a > bx a < 0a < bx a < bx a > 0a < bx a < bx a > 1 53 x x − −≤ ( )    −≤− +>− xx xx 2 3712 1 1325 y kx b= + k b， 0k ≠ 0kx b+ > 2x > − 0x > 2x < − 0x < 3 1 9x x+ < − 2 22( 1) 0x k x k+ + + = 2( 1)m k= − + x y y kx b= + 0 2 2− 有实数解，则 k 的取值范围是_________________． 3． 不等式 3 ( x－1 ) + 4≥2x 的解集在数轴上表示为（ ） 4． 不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示， 则这个不等式组为（ ） 　　 A． 　　 B. 　　C． D. 5．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） 6．解不等式组 7．解不等式组 ，并把它的解集表示在数轴上． 4y y m > −  <    −≤ > 1 2 x x    −> < 1 2 x x    −≥ < 1 2 x x    −≤ < 1 2 x x 3 1 2 8 4 0 x x − >  − ， ≤ 3( 2) 4 1 1.2 x x x + + − < ≥ ， 3 1 4, 2 2. x x x − >  < + 10 2 A． 10 2 B． 10 2 C． 10 2 D． 321O-1-2-3 O x y l 1l 2 -1 3 (第12题图） 课时 13．一元一次不等式(组)及其应用 【课前热身】 1．某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了 斤，价格为每斤 元；下午，他又买了 斤，价 格为每斤 元．后来他以每斤 元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是 （　 ） A. B. C. D. 2．某电脑用户计划使用不超过 530 元的资金购买单价为 70 元的单片软件和 80 元的盒装磁 盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，不相同的选购方式共存( ) A.4 种 　 B.5 种 C.6 种 　 D.7 种 3．已知一个矩形的相邻两边长分别是 和 ，若它的周长小于 ，面积大于 ，则 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） 4． 若方程组 的解是负数，那么 a 的取值范围是 ． 【考点链接】 1．求不等式（组）的特殊解： 不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非 负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. ２．列不等式（组）解应用题的一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表 示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为 ；④ 列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的 不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案 （包括单位）. 3．易错知识辨析： 判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质. 【典例精析】 例 1 直线 与直线 在 同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 的 不等式 的解集为 ． 例 2 绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷 20 吨，桃子 12 吨．现计划租用甲、 乙两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷 4 吨和 桃子 1 吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各 2 吨． （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？ 30 x 20 y 2 x y+ x y< x y> x y≤ x y≥ cm3 xcm cm14 26cm x    −=− −=+ 32 3 ayx yx x bxkyl += 11 : xkyl 22 : = x 2 1k x k x b> + （2）若甲种货车每辆要付运输费 300 元，乙种货车每辆要付运输费 240 元，则果农 王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？ 例 3某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机 的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表： 类　别 电视机 洗衣机 进价（元/台） 1800 1500 售价（元/台） 2000 1600 计划购进电视机和洗衣机共 100 台，商店最多可筹集资金 161 800 元． （1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出 最多利润．（利润＝售价－进价） 【中考演练】 1．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的 深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足 够 时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的 ．已知这个铁钉被敲 击 3 次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进 入 木块的长度是 2cm,若铁钉总长度为 acm，则 a 的取值范围是 ． 2．海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿 元．2005 年 5 月 20 日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表： 品 名 规格（米） 销售价（元/条） 羽绒被 2×2.3 415 羊毛被 2×2.3 150 现购买这两种产品共 80 条，付款总额不超过 2 万元．问最多可购买羽绒被____条． 3．6 月 1 日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为 1 元、 2 元和 3 元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米 3 公斤、5 公斤和 8 公斤．6 月 7 日，小星和爸爸在该超市选购了 3 只环保购物袋用来装刚买的 20 公斤散装大米，他们 选购的 3 只环保购物袋至少应付给超市 元． 4．已知三角形的两边长分别为 4cm 和 9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是 （ ） A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 5． 若 a＞0，b＜－2，则点(a，b＋2)应在（ ） A.第一象限 　　 B.第二象限　　 C.第三象限　　　　D.第四象限 1 2 6. 某校九年级三班为开展“迎 2008 年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两 位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品，已知该超市的锦江牌钢笔每支 8 元，红梅 牌钢笔每支 4.8 元，他们要购买这两种笔共 40 支． (1)如果他们一共带了 240 元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？ (2)小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔数量要少于 红梅牌钢笔的数量的 ，但又不少于红梅牌钢笔的数量的 .如果他们买了锦江 牌钢笔 支，买这两种笔共花了 元， ① 请写出 (元)关于 (支)的函数关系式，并求出自变量 的取值范围； ② 请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？ 8.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共 10 辆，其中轿车至少要购买 3 辆，轿车每辆 7 万 元，面包车每辆 4 万元，公司可投入的购车款不超过 55 万元； （1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由； （2）如果每辆轿车的日租金为 200 元，每辆面包车的日租金为 110 元，假设新购买的 这 10 辆车每日都可租出，要使这 10 辆车的日租金不低于 1500 元，那么应选择以 上那种购买方案？ 1 2 1 4 x y y x x 第四章 函数 课时 14. 平面直角坐标系与函数的概念 【课前热身】 1.函数 的自变量 x 的取值范围是 . 2.若点 P(2，k-1)在第一象限，则 k 的取值范围是 . 3.点 A(-2,1)关于 y 轴对称的点的坐标为___________；关于原点对称的点的坐标为 ________. 4. 如图，葡萄熟了，从葡萄架上落下来，下面图象可以大致反映葡萄下落过程中的速度 随时间变化情况是（ ） 5.在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 顶点 A、B、D 的坐标分别是（0，0），（5，0）（2，3），则 C 点 的坐标是（ ） A．（3，7） B.（5，3） C.（7，3） D.（8，2） 【考点链接】 1. 坐标平面内的点与______________一一对应． 2. 根据点所在位置填表（图） 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3. 轴上的点______坐标为 0, 轴上的点______坐标为 0. 4. P(x,y)关于 轴对称的点坐标为__________，关于 轴对称的点坐标为________， 关于原点对称的点坐标为___________. 5. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________． 6. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________． 7. 有意义，则自变量 x 的取值范围是 . 有意义，则自变量 的取值 范围是 . 【典例精析】 例 1 ⑴ 在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为 A（-2，1），B（-3，-1）， C（1，-1）．若四边形 ABCD 为平行四边形，那么点 D 的坐标是_______． 3−= xy v x y x y xy = xy 1= x （2）将点 A（3，1）绕原点 O 顺时针旋转 90°到点 B，则点 B的坐标是_____． 例2 ⑴ 一天,亮亮发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的体 温基本正常,但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫 了. 图中能基本上反映出亮亮这一天(0 时～24 时)体温的变化情况的是( ) ⑵ 汽车由长沙驶往相距 400km 的广州. 如果汽车的平均速度是 100km/h,那么汽车距广 州的路程 s(km)与行驶时间 t(h)的函数关系用图象表示应为( ) 例 3 一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便， 他带了一些零钱备用， 按市场价售出一些后，又降价出售, 售出土豆千克数与他手中持有的钱线(含备用零钱) 的关系如图所示，结合图象回答下列问题: (1) 农民自带的零钱是多少? (2) 降价前他每千克土豆出售的价格是多少? (3) 降价后他按每千克 0.4 元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱) 是 26 元， 问他一共带了多少千克土豆. 【中考演练】 1．函数 中,自变量 的取值范围是 . 2．已知点 P 在第二象限，且到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 3，则点 P 的坐标为 . 3. ． 将 点 向 左 平 移 1 个 单 位 ， 再 向 下 平 移 2 个 单 位 后 得 到 对 应 点 的 坐 标 是 ． 1 1 + = x y x (1 2)， 4.点 P（－2，3）关于 x 轴的对称点的坐标是________． 5．在平面直角坐标系中，点 P（－1，2）的位置在 （ ） A.第一象限 　　 B.第二象限 　　 C.第三象限 　　 D.第四象限 6.学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅 图是下图中的（ ） 7．点 A（—3，2）关于 y 轴对称的点的坐标是（　　） A.（－3，－2） B.（3，2） 　C.（3，－2） D.（2，－3） 8．若点 P（1－m，m）在第二象限，则下列关系式正确的是（　　） 　 A. 00 D. m>l 9. 小强在劳动技术课中要制作一个周长为 80cm 的等腰三角形,请你写出底边长 y(cm)与一 腰长为 x(cm)的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围. 10. 如图,点 A 坐标为(-1,1),将此小船 ABCD 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得 A′B′C′D′． （1）画出平面直角坐标系； （2）画出平移后的小船 A′B′C′D′，写出 A′，B′，C′，D′各点的坐标. Ａ． B． C． Ｄ． 课时 15. 一次函数 【课前热身】 1.若正比例函数 （ ≠ ）经过点（ ， ），则该正比例函数的解析式为 ___________. 2.如图，一次函数 的图象经过 A、B 两点， 则关于 x 的不等式 的解集是 ． 3. 一次函数的图象经过点（1，2），且 y 随 x 的增大而减小，则这个函数的解析式可以 是 .（任写出一个符合题意即可） 4．一次函数 的图象大致是（ ） 5.如果点 M 在直线 上，则 M 点的坐标可以是（ ） A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，－1） 【考点链接】 1．正比例函数的一般形式是__________．一次函数的一般形式是__________________. 2. 一次函数 的图象是经过 和 两点的 . 3. 求一次函数的解析式的方法是 ，其基本步骤是：⑴ ； ⑵ ； ⑶ ；⑷ . 4.一次函数 的图象与性质 【典例精析】 例 1 已知一次函数物图象经过 A(-2,-3)，B(1,3)两点. ⑴ 求这个一次函数的解析式. ⑵ 试判断点 P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上. ⑶ 求此函数与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积. kxy = k 0 1− 2 =y y ax b= + 0ax b+ < 2 1y x= − 1y x= − y kx b= + y kx b= + k、b 的符号 k＞0b＞0 k＞0 b＜0 k＜0 b＞0 k＜0b＜0 图像的大 致位置 经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 性质 y 随 x 的增大 而 y 随 x 的增大 而 y 随 x 的增大 而 y 随 x 的增大 而 x y O 3 2y x a= + 1y kx b= + 例 2 某农户种植一种经济作物，总用水量 （米 ）与种植时间 （天） 之间的函数关系式如图所示． ⑴ 第 天的总用水量为多少米 ？ ⑵ 当 时，求 与 之间的函数关系式． ⑶ 种植时间为多少天时，总用水量达到 7000 米 ？ 【中考演练】 1.直线 y＝2x＋b 经过点(1，3)，则 b＝ _________． 2. 已知直线 y＝2x＋8 与 x 轴和 y 轴的交点的坐标分别是_______、_______；与两条坐标轴 围成的三角形的面积是__________． 3. 如果直线 经过第一、二、三象限,那么 ____0． ( 填“>”、“<”、“=”) 4．如图，将直线 向上平移 1 个单位，得到一个 一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ． 5. 下列各点中，在函数 的图象上的是（ ） A．（2，3） B．（3，1） C．（0，－7） D．（－1，9） 6. 直线 与 轴的交点是(1，0)，则 的值是(　 　) A.3 B.2 C.－2 D.－3 7.一次函数 与 的图象 如图，则下列结论：① ；② ；③当 时， 中，正确的个数是（ ） y 3 x 20 3 x ≥ 20 y x 3 y ax b= + ab OA 2 7y x= − 3y kx= + x k 1y kx b= + 2y x a= + 0k < 0a > 3x < 1 2y y< O x (天) y（米 3 ） 4000 1000 3020 A．0 B．1 C．2 D．3 8. 一次函数 中， 的值随 的增小而减小，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9. 某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电， 采用分段计费的方法来计算电费.月用电量 x（度）与相应电费 y（元）之间的函数图像 如图所示. ⑴ 填空，月用电量为 100 度时，应交电费 元； ⑵ 当 x≥100 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； ⑶ 月用电量为 260 度时，应交电费多少元？ 10. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 的一边 BC 上，一点 P 从 B 点运动到 C 点，设 BP＝x， 四边形 APCD 的面积为 y. ⑴ 写出 y 与 x 之间的函数关系式及 x 的取值范围； ⑵ 说明是否存在点 P，使四边形 APCD 的面积为 1.5？ ( 1) 5y m x= + + y x m 1m > − 1m < − 1m = − 1m < 课时 16．一次函数的应用 【课前热身】： 1．为了加强公民的节约用水的意识，某市制定了如下节约用水的收费标准:每户每月的用水 不超过 10 吨时，水价为 1．2 元，超过 10 吨时，超过部分按每吨 1．8 元收费．该市某 户居民 5 月份用水 x 吨(x>10)，应交水费 y 元，则 y 关于 x 的关系式是_______． 2．弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图 所示，则不挂物体时弹簧的长度是 . 3．蜡烛在空气中燃烧的速度与时间成正比，如果一支原长 15cm 的蜡烛 4 分钟后，其长度变为 13cm，请写出剩余长 度 y（cm）与燃烧时间 x（分钟）的关系式为_________． （不写 x 的范围） 4. 如上右图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用 y（元） 与托运行李的质量 x(千克)的关系，由图中可知行李的质量 只要不超过_________千克，就可以免费托运． 【考点链接】 一次函数 的性质 k＞0 直线上升 y 随 x 的增大而 ； k＜0 直线下降 y 随 x 的增大而 . 【典例精析】 例 1某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水 3000 吨，计划内用水每 吨收费 0.5 元，超计划部分每吨按 0.8 元收费. ⑴ 写出该单位水费 y(元)与每月用水量 x(吨)之间的函数关系式： ① 当用水量小于或等于 3000 吨时 ； ② 当用水量大于 3000 吨时 . ⑵ 某月该单位用水 3200 吨，水费是 元；若用水 2800 吨，水费 元. ⑶ 若某月该单位缴纳水费 1540 元，则该单位用水多少吨？ 例 2 杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂 提供了如下信息： ① 买进每份 0．2 元，卖出每份 0．3 元； ② 一个月内（以 30 天计），有 20 天每天可以卖出 200 份，其余 10 天每天只能卖出 120 份； ③ 一个月内，每天从报社卖进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸以每份 0.1 元退回给报纸： （1）填表： 一个月内每天买进该种晚报的份数 100 150 当月利润（单位:元） y kx b= + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ （2）设每天从报社买进该种晚报 x 份（120≤x≤200）时，月利润为 y 元，试求出 y 于 x 的函数关系式，并求月利润的最大值． 【中考演练】 1．从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3 分钟内收费 2.4 元，每加 1 分钟加收 1 元， 若时间 t≥3（分）时，电话费 y（元）与 t 之间的函数关系式是_________． 2. 在一定范围内，某种产品购买量 吨与单价 元之间满足一次函数关系式，若购买 1000 吨，每吨 800 元，购买 2000 吨时，每吨 700 元，一客户购买 4000 吨单价为 元． 3.汽车工作时油箱中的燃油量 y(升)与汽车工作时间 t(小时)之间的函数图象如下中图所示， 汽车开始工作时油箱中有燃油 升，经过 小时耗尽燃油，y 与 x 之间的 函数关系式为 . 4. 如图所示的折线 ABC 为某地出租汽车收费 y(元)与乘坐路程 x(千米)之间的函数关系式图 象，当 x≥3 千米时，该函数的解析式为 ，乘坐 2 千米时，车费为 元，乘坐 8 千米时，车费为 元. (第 3 题) (第 4 题) 5. 一根弹簧的原长为 12 cm，它能挂的重量不能超过 15 kg 并且每挂重 1kg 就伸长 1 2cm 写出 挂重后的弹簧长度 y（cm）与挂重 x（kg）之间的函数关系式是（ ） A. y = 1 2x + 12 （0＜x≤15） B. y = 1 2x + 12 （0≤x＜15） C. y = 1 2x + 12 （0≤x≤15） D. y = 1 2x + 12 （0＜x＜15） 6．中国电信公司最近推出的无线市话小灵通的通话收费标准为：前 3 分钟（不足 3 分钟按 3 分钟）为 0.2 元;3 分钟后每分钟收 0.1 元，则一次通话实际那为 x 分钟（x>3）与这次通 话的费用 y（元）之间的函数关系是（ ） A．y＝0.2＋0.1x B．y＝0.1x C．y＝－0.1＋0.1x D．y＝0.5＋0.1x y x 7.某学校组织团员举行申奥成功宣传活动，从学校骑车 出发，先上坡到达 A 地后，宣传 8 分钟；然后下坡 到 B 地宣传 8 分钟返回，行程情况如图．若返回时， 上、下坡速度仍保持不变，在 A 地仍要宣传 8 分钟， 那么他们从 B 地返回学校用的时间是（ ） A.45.2 分钟 　B.48 分钟 C.46 分钟 　D.33 分钟 8. 将长为 30cm，宽为 10cm 的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为 3 cm. 设 x 张白纸粘合后的总长度为 y cm ，写出 y 与 x 的函数关系式，并求出当 x＝20 时 y 的值. 9. 某市的 A 县和 B 县春季育苗,急需化肥分别为 90 吨和 60 吨, 该市的 C 县和 D 县分别储存 化肥 100 吨和 50 吨,全部调配给 A 县和 B 县.已知 C、D 两县运化肥到 A、B 两县的运费(元 /吨)如下表所示： 出发地 运费 目的地 C D A 35 40 B 30 45 (1) 设 C 县运到 A 县的化肥为 x 吨,求总费 W(元)与 x(吨)的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围； (2) 求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案. 3 10 30 课时 17．反比例函数 【课前热身】 1 ． 已 知 反 比 例 函 数 的 图 象 经 过 点 ， 则 这 个 反 比 例 函 数 的 解 析 式 是 ． 2．近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 （米）成反比例，已知 400 度近视眼镜镜片的焦 距为 0.25 米，则眼镜度数 与镜片焦距 之间的函数关系式为 ． 3．在反比例函数 图象的每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围 是 （　　） A．k＞3 B．k＞0 C．k＜3 D． k＜0 4． 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P ( kPa ) 是气体体 积 V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图 1 所示．当气球内的气压大于 120 kPa 时，气球 将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ） A．不小于 m3 B．小于 m3 C．不小于 m3 D．小于 m3 5．如图 2，若点 在反比例函数 的图象上， 轴于点 ， 的面积为 3， 则 ． 【考点链接】 1．反比例函数：一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y＝ 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质 3． 的 几 何 含 义 ： 反 比 例 函 数 y ＝ (k≠0) 中 比 例系数 k 的几何 意义，即过双曲线 y＝ (k≠0)上任意一点 P 作 x 轴、y 轴 垂线，设垂足分别为 A、B，则所得矩形 OAPB 的面积为 . ky x = ( 3 6)A − −， y x y x 3ky x −= 5 4 5 4 4 5 4 5 A ( 0)ky kx = ≠ AM x⊥ M AMO△ k = k k x k x k 的符号 k＞0 k＜0 图像的大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 性质 在每一象限内 y 随 x 的 增大而 在每一象限内 y 随 x 的增 大而 o y x y xo 1 -1 y O x P 【典例精析】 例 1 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v（米／秒）与它所受的牵引力 F（牛） 之间的函数关系如右图所示： （1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； （2）当它所受牵引力为 1200 牛时，汽车的速度为多少千米／时？ （3）如果限定汽车的速度不超过 30 米／秒，则 F 在什么范围内？ 例 2 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求 的面积． 【中考演练】 1．已知点 在反比例函数 的 图象上，则 ． 2．在对物体做功一定的情况下，力 F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离 s(米)成反比例 函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到 10 牛时，物体在力的方向 上移动的距离是 米． 3. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3），则 m 的值为　　． 4.若正方形 AOBC 的边 OA、OB 在坐标轴上，顶点 C 在第一象限且在反比例函数 y＝ 的图像 上，则点 C 的坐标是 . 5.如图,某个反比例函数的图象经过点 P, 则它的解析式为( ) A.y＝ (x>0) B.y＝－ (x>0) C.y＝ (x<0) D.y＝－ (x<0) 6．某反比例函数的图象经过点 ，则此函数图象也经过点（ ） y kx b= + my x = ( 21) (1 )A B n− ，， ， AOB△ (1 2)−， ky x = k = x 1 1 x 1 x 1 x 1 x ( 2 3)− ， O y x B A A． B． C． D． 7．对于反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ） A．点 在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当 时， 随 的增大而增大 D．当 时， 随 的增大而减小 8.反比例函数 的图象位于（ ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限 9．某空调厂装配车间原计划用 2 个月时间（每月以 30 天计算），每天组装 150 台空调. （1）从组装空调开始，每天组装的台数 m（单位： 台／天）与生产的时间 t（单位:天） 之间有怎样的函数关系？ （2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组 装多少空调？ 10.如图，已知 A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数 的图象与反比例函数 的图象的两个交点. (1) 求此反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值 的 x 的取值范围. (2 3)−， ( 3 3)− −， (2 3)， ( 4 6)− ， 2y x = ( 2 1)− −， 0x > y x 0x < y x 6y x = − y kx b= + my x = y xO 课时 18．二次函数及其图像 【课前热身】 1． 将抛物线 向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 　 ． 2. 如图 1 所示的抛物线是二次函数 的图象，那么 的值是 ． 3.(贵阳）二次函数 的最小值是（ ） A.－2 B.2 C.－1 D.1 4.二次函数 的图象的顶点坐标是（ ） A.（1,3） B.（－1,3） C.（1,－3） D.（－1,－3） 【考点链接】 1. 二次函数 的图像和性质 ＞0 ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当 x＝ 　 时，y 有最 　 值 当 x＝ 时，y 有最 值 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而　 y 随 x 的增大而　 增 减 性 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而　 y 随 x 的增大而　 2. 二次函数 用配方法可化成 的形式，其中 ＝ ， ＝ . 3. 二次函数 的图像和 图像的关系. 4. 二次函数 中 的符号的确定. 23y x= − 2 23 1y ax x a= − + − a 2( 1) 2y x= − + 22( 1) 3y x= − + 2( )y a x h k= − + a a cbxaxy ++= 2 ( ) khxay +−= 2 h k 2( )y a x h k= − + 2axy = cbxaxy ++= 2 cba ,, 【典例精析】 例 1 遂宁)已知二次函数 ， (1) 用配方法把该函数化为 (其中 a、h、k 都是常数且 a≠0)形式，并画 出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称 轴和顶点坐标. (2) 求函数的图象与 x 轴的交点坐标. 例 2 如图，直线 和抛物线 都经过点 A(1，0)，B(3，2)． ⑴ 求 m 的值和抛物线的解析式； ⑵ 求不等式 的解集． (直接写出答案) 【中考演练】 1. 抛物线 的顶点坐标是 . 2. 请写出一个开口向上，对称轴为直线 x＝2，且与 y 轴的交 点坐 标为(0，3)的抛物线的解析式 . 3. 已知二次函数 的部分图象如右图所示， 则关 于 的一元二次方程 的解为 ． 4. 函数 与 在同一坐标系中的 大致 图象是（ ） 5.已知函数 y=x2-2x-2 的图象如图 1 所示，根据其中提供的信息，可求得使 y≥1 成立的 x 的取值范围是（ ） A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1 C．x≥-3 D．x≤-1 或 x≥3 6.二次函数 （ ）的图象如图所示，则下列结论： ① ＞0； ② ＞0； ③ b2-4 ＞0，其中正确的个数是( ) 2 4y x x= + 2( )y a x h k= + + mxy += cbxxy ++= 2 mxcbxx +>++2 ( )22−= xy 2 2y x x m= − + + x 2 2 0x x m− + + = 2y ax= ( 0, 0)y ax b a b= + > > cbxaxy ++= 2 0≠a a c a c A.　0 个 B.　1 个 C.　2 个 　D.　3 个 （第 5 题） （第 6 题） 7. 已知二次函数 的图象经过点（－1，8）. （1）求此二次函数的解析式； （2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象； x 0 1 2 3 4 y （3）根据图象回答：当函数值 y<0 时，x 的取值范围是什么？ 2 4 3y ax x= − + 课时 19．二次函数的应用 【课前热身】 1. 二次函数 y＝2x2－4x＋5 的对称轴方程是 x＝___；当 x＝ 时，y 有最小值是 . 2. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为 16 米，跨度为 40 米， 现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图），则此 抛物线的解析式为 ． 3. 某公司的生产利润原来是 a 元，经过连续两年的增长达到 了 y 万元，如果每年增长的百分数都是 x，那么 y 与 x 的函数关系是（ ） A．y＝x2＋a B．y＝ a（x－1）2 C．y＝a（1－x）2 D．y＝a（l＋x）2 4. 把一段长 1.6 米的铁丝围长方形 ABCD，设宽为 x，面积为 y．则当 y 最大时，x 所取的值 是（ ） A．0.5 　B．0.4 　　　　 C．0.3 　　　 D．0.6 【考点链接】 1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ； （3）交点式： . 2. 顶点式的几种特殊形式. ⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） . 3．二次函数 通过配方可得 ，其抛物线关于直 线 对称，顶点坐标为（ ， ）. ⑴ 当 时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时， 有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当 时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时， 有最 （“大”或“小”）值是 ． 【典例精析】 例 1 用铝合金型材做一个形状如图 1 所示的矩形窗框，设窗框的一边为 x m，窗户的透光面 积为 y m2，y 与 x 的函数图象如图 2 所示. ⑴ 观察图象，当 x 为何值时，窗户透光面积最大？ ⑵ 当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？ 例 2 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子 OP，柱子顶端 P 处装上喷头，由 P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下 （如图所示）.若已知 OP＝3 米，喷出的水流的最高点 A 距水平面的高度是 4 米，离柱 子 OP 的距离为 1 米. （1）求这条抛物线的解析式； cbxaxy ++= 2 2 2 4( )2 4 b ac by a x a a −= + + x = 0a > x = y 0a < x = y （2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米， 才能使喷出的水流不至于落在池外？ 【中考演练】 1.二次函数 y＝x2＋10x－5 的最小值为 ． 2.某飞机着陆生滑行的路程 s 米与时间 t 秒的关系式为： ，试问飞机着陆后 滑行 米才能停止. 3. 矩形周长为 16cm, 它的一边长为 xcm，面积为 ycm2，则 y 与 x 之间函数关系为 ． 4. 苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落的时间 t 满足 （g 是不为 0 的常数） 则 s 与 t 的函数图象大致是(　 ) 5.将一张边长为 30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠 成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大 （ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 下列函数关系中，是二次函数的是(　　 ) A.在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体质量 x 之间的关系 B.当距离一定时，火车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系 C.等边三角形的周长 C 与边长 a 之间的关系 D.圆心角为 120°的扇形面积 S 与半径 R 之间的关系 7. 根据下列表格中二次函数 的自变量 与函数值 的对应值，判断方程 （ 为常数）的一个解 的范围是（　 　）　 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 8．如图，用长为 18 m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃. ⑴ 设矩形的一边为 面积为 (m2)，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的 25.160 tts −= 2 2 1 gts = 2y ax bx c= + + x y 2 0ax bx c+ + = 0a a b c≠ ， ， ， x 6 6.17x< < 6.17 6.18x< < 6.18 6.19x< < 6.19 6.20x< < ( )mx y y x x 6.17 6.18 6.19 6.20x 2y ax bx c= + + 0.03− 0.01− 0.02 0.04 取值范围； ⑵ 当 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 9. 体 育 测 试 时 ， 初 三 一 名 高 个 学 生 推 铅 球 ， 已 知 铅 球 所 经 过 的 路 线 为 抛 物 线 的一部分，根据关系式回答： ⑴ 该同学的出手最大高度是多少？ ⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？ ⑶ 该同学的成绩是多少？ x 212 1 2 ++−= xxy 课时 21．函数的综合应用（1） 【课前热身】 1．抛物线 与 x 轴分别交于 A、B 两点，则 AB 的长为________． 2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满 足（1）和（2）的函数_________________ 3．如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园 ，设 边长为 米，则 菜园的面积 （单位：米 ）与 （单位：米）的函数关 系式为 ．（不要求写出自变量 的取值范围） 4．当路程 一定时，速度 与时间 之间的函数关系是（ ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 5．函数 与 （k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） 【考点链接】 1．点 A 在函数 的图像上.则有 . 2. 求函数 与 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与 y 轴的交点纵坐标，即令 ，求 y 值 3.求一次函数 的图像 与二次函数 的图像的交点， 解方程组 . 【典例精析】 例 1 如图（单位：m），等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合．设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2． ⑴ 写出 y 与 x 的关系式； ⑵ 当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？ ⑶ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点 坐标、对称轴. 322 −−= xxy ABCD AB x y 2 x x s v t 2y kx= − ky x = ( )oyx ,0 cbxaxy ++= 2 bkxy += x ( )0≠+= knkxy l ( )02 ≠++= acbxaxy A B CD （第 3 题） 菜园 墙 O x y 1 -1 B A 例 2 如右图，抛物线 经过点 ，与 y 轴交于点 B. （1）求抛物线的解析式； （2）P 是 y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点 P 的坐标. 【中考演练】 1． 反比例函数 的图像经过 A（－ ，5）点、B（ ，－3），则 ＝ ， ＝ ． 2．如图是一次函数 y1＝kx＋b 和反比例函数 y2＝＝ 的图象，观察图象写出 y1>y2 时，x 的取值范 围是_________． 3．根据右图所示的程序计算 变量 y 的值，若输入自变 量 x 的值为 ，则输出 的结果是_______. 4.如图，过原点的一条直线与反比例函数 y＝ （k<0） 的图像分别交于 A、B 两点，若 A 点的坐标为（a，b），则 B 点 的坐标为（ 　　 ） A．（a，b） B．（b，a） C．（-b，-a） D．（-a，-b） 5. 二次函数 y＝x2＋2x－7 的函数值是 8，那么对应的 x 的值是（ 　 ） A．3 B．5 C．－3 和 5 D．3 和－5 6.下列图中阴影部分的面积与算式 的结果相同的是（ 　 ） 7. 如图，方格纸上一圆经过(2,5)，(-2,1)，(2,-3)，(6,1) 四点，则该圆圆心的坐标 为( ) A.(2,-1) B.(2,2) C.(2,1) D.(3,1) nxxy ++−= 52 )0,1(A x ky = 2 3 a k a m x 3 2 k x 12 2)2 1(|4 3| −++− B′ A BC E O x y 三、解答题 8. 已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． ⑴ 写出一个图象经过 两点的函数表达式； ⑵ 指出该函数的两个性质． 9. 反比例函数 y＝ 的图象在第一象限的分支上有一点 A（3，4），P 为 x 轴正半轴上的一 个动点， （1）求反比例函数解析式. （2）当 P 在什么位置时，△OPA 为直角三角形，求出此时 P 点的坐标. 10.如图，在直角坐标系中放入一个边长 OC 为 9 的矩形纸片 ABCO．将纸片翻折后，点 B 恰 好落在 x 轴上，记为 B′，折痕为 CE，已知 tan∠OB′C＝ ． （1）求 B′点的坐标； （2）求折痕 CE 所在直线的解析式． A (13)， B (31)， A B， x k 3 4 y 3 2 1 O 1 2 x A B 3 课时 21．函数的综合应用（2） 【课前热身】 1.如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度与 时间之间关系的图像，由图像解答下列问题： ⑴ 此蜡烛燃烧 1 小时后，高度为 cm； 经过 小时燃烧完毕； ⑵ 这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系 的解析式是 ． 2.某商场购进一种单价为 元的篮球，如果以单价 元售出，那么每月可售出 个．根 据销售经验，售价每提高 元，销售量相应减少 个． ⑴ 假设销售单价提高 元，那么销售每个篮球所获得的利润是___________元；这种 篮球每月的销售量是___________个．（用含 的代数式表示） ⑵ 当篮球的售价应定为 　 元时，每月销售这种篮球的最大利润，此时最大利润 是 元. 【考点链接】 1．二次函数 通过配方可得 ， ⑴ 当 时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时， 有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当 时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时， 有最 （“大”或“小”）值是 ． 2. 每件商品的利润 P = － ；商品的总利润 Q = × . 【典例精析】 例 1近年来，“宝胜”集团根据市场变化情况，采用灵活多样的营销策略，产值、利税逐年 大幅度增长．第六销售公司 2004 年销售某型号电缆线达数万米，这得益于他们较好地 把握了电缆售价与销售数量之间的关系．经市场调研，他们发现：这种电缆线一天的 销量 y（米）与售价 x（元/米）之间存在着如图所示的一次函数关系，且 40≤x≤ 70． (1) 根据图象，求ｙ与ｘ之间的函数解析式； (2) 设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为ｗ元． ① 试用含 x 的代数式表示ｗ； ② 试问当售价定为每米多少元时，该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高？ 最高是多少元？ 40 50 500 1 10 x x cbxaxy ++= 2 2 2 4( )2 4 b ac by a x a a −= + + 0a > x = y 0a < x = y 7 1O y(cm) x(小时) 15 x x BFA CD E x G 例 2 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计 划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 与投资量 成正比 例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润 与投资量 成二次函数关系，如图（2） 所示（注：利润与投资量的单位：万元） ⑴ 分别求出利润 与 关于投资量 的函数关系式； ⑵ 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获 取的最大利润是多少？ （1） （2） 【中考演练】 1. 如图所示，在直角梯形 ABCD 中，∠A＝∠D＝90°，截取 AE＝BF＝DG＝x.已知 AB＝ 6，CD＝3，AD＝4；求四边形 CGEF 的面积 S 关于 x 的函数表达式和 x 的取值范围. 2. 某企业信息部进行市场调研发现： 信息一：如果单独投资 A 种产品，则所获利润 (万元)与投资金额 (万元)之间存在 正比例函数关系： ，并且当投资 5 万元时，可获利润 2 万元； 信息二：如果单独投资 B 种产品，则所获利润 (万元)与投资金额 (万元)之间存在 二次函数关系： ，并且当投资 2 万元时，可获利润 2.4 万元； 当投资 4 万元，可获利润 3.2 万元. (1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； 1y x 2y x 1y 2y x Ay x Ay kx= By x 2 By ax bx= + (2) 如果企业同时对 A、B 两种产品共投资 10 万元，请你设计一个能获得最大 利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少. 3. 如图，已知矩形 OABC 的长 OA＝ ，宽 OC＝1，将△AOC 沿 AC 翻折得△APC. （1）填空：∠PCB＝ 度，P 点坐标为 ； （2）若 P、A 两点在抛物线 y＝－ x2＋bx＋c 上，求 b、c 的值，并说明点 C 在此抛物 线上； ﹡（3）在（2）中的抛物线 CP 段（不包括 C，P 点）上，是否存在一点 M，使得四边形 MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时 M 点的坐标；若不存在，请说 明理由. 3 4 3 第五章 统计与概率 课时 22. 数据的收集与整理（统计 1） 【课前热身】 1. 我市某一周的最高气温统计如下表： 最高气温（ ） 25 26 27 28 天 数 1 1 2 3 则这组数据的中位数与众数分别是（ ） A．27，28 B．27.5，28 C．28，27 D．26.5，27 2．我国著名的珠穆朗玛峰海拔高达 8844 米，在它周围 2 千米的附近，耸立的几座著名山峰 的高度如下表： 山峰名 珠穆 朗玛 洛子峰 卓穷峰 马卡 鲁峰 章子峰 努子峰 普莫 里峰 海拔高度 8844m 8516m 7589m 8463m 7543m 7855m 7145m 则这七座山峰海拔高度的极差为 米． 3. 甲乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击 10 次，他们的平均成绩均为 8 环，10 次 射 击 成 绩 的 方 差 分 别 是 ： ， ， 那 么 ， 射 击 成 绩 较 为 稳 定 的 是 ．（填“甲”或“乙”） 4. 某同学在一次月考中的成绩是语文 90 分，数学 95 分，英语 87 分，则这次考试中三科平 均成绩是 . 5. 某人在一次应聘中，笔试成绩 98 分，面试成绩 90 分，形象分 90 分，招聘单位按笔试、 面试、形象 5:3:2 的比例统分，他的最后得分是 ． 【考点链接】 1．平均数的计算公式___________________________． 2. 加权平均数公式_____________________________． 3. 中位数是___________________________，众数是__________________________． 4．极差是__________________，方差的计算公式_____________________________． 标准差的计算公式：_________________________． 【典例精析】 例 1 我市部分学生参加了 2004 年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩. 已知竞赛成绩 分数都是整数，试题满分为 140 分，参赛学生的成绩分数分布情况如下： 分数段 0－19 20－39 40－59 60－79 80－99 100－119 120－140 人 数 0 37 68 95 56 32 12 请根据以上信息解答下列问题： (1) 全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数范围？ (2) 经竞赛组委会评定，竞赛成绩在 60 分以上 (含 60 分)的考生均可获得不同等级的奖 励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例； (3) 决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？ ℃ 2 2S =甲 2 1.2S =乙 (4) 上表还提供了其他信息，例如：“没获奖的人数为 105 人”等等. 请你再写出两条 此表提供的信息. 例 2 我国从 2008 年 6 月 1 日起执行“限塑令”．“限塑令”执行前，某校为了了解本校学 生所在家庭使用塑料袋的数量情况，随机调查了 10 名学生所在家庭月使用塑料袋的数 量，结果如下：（单位：只） 65，70，85，75，85，79，74，91，81，95． （1）计算这 10 名学生所在家庭平均月使用塑料袋多少只？ （2）“限塑令”执行后，家庭月使用塑料袋数量预计将减少 ．根据上面的计算 结果，估计该校 1 000 名学生所在家庭月使用塑料袋可减少多少只？ 【中考演练】 1．班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查．那么最终决定买什么水果，最值得关注 的应该是统计调查数据的 ．（中位数，平均数，众数） 2．在航天知识竞赛中，包括甲同学在内的 6 名同学的平均分为 74 分，其中甲同学考了 89 分，则除甲以外的 5 名同学的平均分为______分． 3．某次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：若该小组的 平均成绩为7.7环，则成绩为8环的人数是 　　 ． 4．为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，在相同条 件下对他们的电脑知识进行了 10 次测验，成绩如下，（单位：分）： 甲 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 乙 82 86 87 90 79 81 93 90 74 76 请填写下表： 平均数 中位数 众数 方差 85 分以上频率 甲 84 84 14.4 0.3 乙 84 84 34 5. 衡量一组数据波动大小的统计量是（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 6．某人今年 1 至 5 月的电话费数据如下（单位：元）：60，68，78，66，80，这组数据的 中位数是（　　） A．66 B．67 C．68 D．78 7．甲乙两人在相同的条件下各射靶 10 次，他们的环数的方差是 S 甲 2=2.4，S 乙 2=3.2，则 射击稳定性是（ ） A．甲高 B．乙高 C．两人一样多 D．不能确定 8. 李大伯承包了一个果园，种植了 100 棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选 并采摘了 10 棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表： 50％ 环数 6 7 8 9 人数 1 3 2 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量（kg） 14 21 27 17 18 20 19 23 19 22 据调查，市场上今年樱桃的批发价是每千克 15 元，用所学的统计知识估计今年此果园 樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃的总收入分别是（ ） A．200kg，3000 元 B．1900kg，28 500 元 C．2000kg，30 000 元 D．1850kg，27 750 元 9．在“心系灾区”自愿捐款活动中，某班 30 名同学的捐款情况如下表： 捐款（元） 5 10 15 20 25 30 人数 11 9 6 2 1 1 ⑴ 问这个班级捐款总数是多少元？ ⑵ 求这 30 名同学捐款的平均数. 10. 为响应国家要求中小学生每天锻练 1 小时的号召，某校开展了形式多样的“阳光体育运 动”活动，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的图 1 和图 2， 请在图 1 中将“乒乓球”部分的图形补充完整． 篮球 乒乓球 足球 其他 5 10 15 20 兴趣爱好 图 1 足球 篮球 40% 其它 乒 乓 球 图 2 人数 课时 23. 数据的分析（统计 2） 【课前热身】 1. 某工厂生产了一批零件共 1600 件，从中任意抽取了 80 件进行检查，其中合格产品 78 件， 其余不合格，则可估计这批零件中有 件不合格． 2. 下列调查工作需采用普查方式的是（ ） A. 环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查 B. 电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查 C. 质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D. 企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查 3. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间情况，随机调查了该校九年级 20 名学生，将所得 数据整理并制成下表： 睡眠时间（小时） 6 7 8 9 学生人数（个） 8 6 4 2 据此估计该校九年级学生每天的平均睡眠时间大约是 小时． 4. 一养鱼专业户从鱼塘捕得同时放养的草鱼 100 条，他从中任选 5 条，称得它们的质量如 下（单位：kg）：1.3， 1.6， 1.3， 1.5， 1.3．则这 100 条鱼的总质量约为 kg． 【考点链接】 1. 总体是指_________________________，个体是指_____________________， 样本是指________________________，样本的个数叫做___________． 2. 样本方差与标准差是衡量______________的量，其值越大，______越大． 3. 频数是指________________________；频率是___________________________． 4. 得到频数分布直方图的步骤_________________________________________． 5. 数据的统计方法有____________________________________________． 【典例精析】 例 1 某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样 本，按 四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你 结合图中所给信息解答下列问题： （说明：A 级：90 分~100 分；B 级：75 分~89 分；C 级：60 分~74 分；D 级：60 分以 下） （1）求出 D 级学生的人数占全班总人数的百分比； （2）求出扇形统计图中 C 级所在的扇形圆心角的度数； （3）该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内； （4）若该校九年级学生共有 500 人，请你估计这次考试中 A 级和 B 级的学生共有多少 人？ A B C D， ， ， 例 2 从某市近期卖出的不同面积的商品房中随机 抽取 1000 套进行统计，并根据结果绘出如图 所示的统计图，请结合图中的信息，解答下 列 问题： （1）卖出面积为 110～130㎡的商品房有 套，并在右图中补全统计图； （2）从图中可知，卖出最多的商品房约占全部 卖出的商品房的 ； （3）假如你是房地产开发商，根据以上提供的 信息，你会多建住房面积在什么范围内的 住房？为什么？ 【中考演练】 1．小明将 2008 年北京奥运会中国男子篮球队队员的年龄情况绘制成了如图（1）所示的条 形统计图，则中国男子篮球队共有_____队员． (第 1 题) (第 2 题) (第 3 题) 2．光明中学对图书室的书分成三类：A 表示科学类，B 表示科技类，C 表示艺术类．它们 所占总数的百分比如图（2），该校有 8 500 册图书，则艺术类的书有____册． 3．菱湖是全国著名的淡水鱼产地，某养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼（假 设这个塘里养的是同一种鱼），先捕上 100 条做标记，然后放回塘里，过了一段 时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上 100 条，发现其中带标记的鱼有 10 条，塘里大约有鱼______条． 4. 红星村今年对农田秋季播种作如图（3）的规划，且只种植这三种农作物，则该村种植 油菜占种植所有农作物的______%． 5. 如图，是某市 5 月 1 日至 5 月 7 日每 天最 高、最低气温的折线统计图，在这 7 天 中，日温差最大的一天是（ ） A．5 月 1 日 B．5 月 2 日 C．5 月 3 日 D．5 月 5 日 6．在一个扇形统计图中，有一扇形的圆心角为 90°，则此扇形占整个圆的（ ） % A．30% B．25% C．15% D．10% 7．如图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的 扇形统计图．根据统计图，下面对全年食品 支出费用判断正确的是（ ） A．甲户比乙户多 B．乙户比甲户多 C．甲、乙两户一样多 D．无法确定哪一户多 8．某市教育部门对今年参加中考学生的视力进行了一次抽样调查，得到如图所示的频数分 布直方图．（每组数据含最小值，不含最大值） （1）抽查的样本容量是多少？ （2）若视力在 4.9 以上（含 4.9）均属正常，求视力正常的学生占被统计人数的百分 比是多少？ （3）根据图中提供的信息，谈谈你的感想． 课时 24. 概率的简要计算（概率 1） 【课前热身】 1. 在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 3 个白球，从中任意摸出一个球， 则摸到红球的概率是 ． 2．在一种掷骰子攻城游戏中规定：掷一次骰子几点朝上，攻城者就向城堡走几步．某游戏 者掷一次骰子就走六步的槪率是____________． 3．在一个不透明的盒子中装有 2 个白球， 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若 从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则 ． 4．下列事件是必然事件的是（　　） A．打开电视机，正在播放动画片 B．2008 年奥运会刘翔一定能夺得 110 米跨栏冠军 C．某彩票中奖率是 1％，买 100 张一定会中奖 D．在只装有 5 个红球的袋中摸出 1 球，是红球 5．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，则这个骰 子向上的一面点数是奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 【考点链接】 1．__________________叫确定事件，________________叫不确定事件（或随机事件）， __________________叫做必然事件，______________________叫做不可能事件. 2．_________________________叫频率，_________________________叫概率. 3．求概率的方法： （1）利用概率的定义直接求概率； （2）用树形图和________________求概率； （3）用_________________的方法估计一些随机事件发生的概率． 【典例精析】 例 1 小明、小华用 4 张扑克牌（方块 2，黑桃 4，黑桃 5，梅花 5）玩游戏，他俩将扑克牌 洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回． （1）若小明恰好抽到了黑桃 4． ①请在下边框中绘制这种情况的树状图； ②求小华抽出的牌面数字比 4 大的概率． （2）小明、小华约定：若小明抽到的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明 负，你认为这个游戏是否公平？说明你的理由． n 2 3 n = 1 2 1 3 1 4 1 5 例 2 张红和王伟为了争取到一张观看奥运知识竞赛的入场券，他们各自设计了一个方案： 张红的方案是：转动如图所示的转盘，如果指针停在阴影区域，则张红得到入场券； 如果指针停在白色区域，则王伟得到入场券（转盘被等分成 6 个扇形．若指针停在边 界处，则重新转动转盘）. 王伟的方案是：从一副扑克牌中取出方块 1、2、3， 将它们背面朝上重新洗牌后，从中摸出一张，记录 下牌面数字后放回，洗匀后再摸出一张．若摸出两 张牌面数字之和为奇数，则张红得到入场劵；若摸 出两张牌面数字之和为偶数，则王伟得到入场券． （1）计算张红获得入场券的概率，并说明张红的 方案是否公平？ （2）用树状图（或列表法）列举王伟设计方案的所有情况，计算王伟获得入场券的概 率，并说明王伟的方案是否公平？ 【中考演练】 1．小明周末到外婆家，走到十字路口处（如图），记不清前面哪条 路通往外婆家，那么他能一次选对路的概率是________． 2．在中考体育达标跳绳项目测试中，1min 跳 160 次为达标，小敏记 录了他预测时，1min 跳的次数分别为 145，155，140，162，164， 则他在该次预测中达标的概率是_________． 3．有一道四选一的选择题，某同学完全靠猜测获得结果，则这个同 学答对的概率是________． 4．在一所 4000 人的学校随机调查了 100 人，其中有 76 人上学之前吃 早饭，在这所学校里随便问一个人，上学之前吃过早餐的概率是________． 5. 书架上有数学书 3 本，英语书 2 本，语文书 5 本，从中任意抽取一本是数学书的概率是 （ ） A． B． C． D． 6．下列事件你认为是必然事件的是（ ） A．中秋节的晚上总能看到圆圆的月亮; B．明天是晴天 C．打开电视机，正在播广告; D．太阳总是从东方升起 7．下列说法正确的是（ ） A．“明天的降水概率为 30%”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币 50 次，出现正面朝上的次数一定是 25 次 C．连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数 D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为 1%，买这种彩票 100 张一定会中奖 8．图（2）是中国象棋棋盘的一部分，图中红方有两个马，黑方有三个卒子和一个炮，按照 中国象棋中马的行走规则（马走日字，例如：按图（1）中的箭头方向走），红方的马现 在走一步能吃到黑方棋子的概率是多少？ 1 10 3 5 3 10 1 5 30% 马 卒 卒 炮 马 卒 马 图（1） 图（2） 9.某电脑公司现有 A、B、C 三种型号的甲品牌电脑和 D、E两种型号的乙品牌电脑．希望中 学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．电脑单价 A 型:6000 元；A 型:6000 元；B 型:4000 元；C 型:2500 元；D 型:4000 元；E 型:2000 元； （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）； （2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么 A 型号电脑被选中的概率是 多少？ （3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共 36 台，恰好用了 10 万元人民币，其中 甲品牌电脑为 A 型号电脑，求购买的 A 型号电脑有几台． 课时 25．频率与概率（概率 2） 【课前热身】 1．在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个．每次将 球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现， 摸到红球的频率稳定在 25%，那么可以推算出 a 大约是（ ） A．12 B．9 C．4 D．3 2．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（ ） A． B． C． D． 3．某火车站的显示屏，每隔 4 分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续 1 分钟，某人 到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是（ ） A． 　　　　 B. C. 　 D． 4．在李咏主持的“幸运 52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则 是：在 20 个商标牌中，有 5 个商标牌的背面注明了一定的奖 金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖, 参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再 翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么 这 位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点链接】 求概率的方法 （1）利用概率的定义直接求概率_________________． （2）用___________________和___________________求概率； （3）用_________________的方法估计一些随机事件发生的概率． 【典例精析】 例 1初三年（1）班要举行一场毕业联欢会，规定每个同学同时转动下图中①、②两个转盘 （每个转盘分别被二等分和三等分），若两个转盘停止后指针所指的数字之和为奇数， 则这个同学要表演唱歌节目；若数字之和为偶数，则要表演其他节目.试求出这个同学 表演唱歌节目的概率．（要求用树状图或列表方法求解） 例 2 一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高 度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面 不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如 下表： 1 1 2 1 3 1 4 1 6 1 5 1 4 1 3 1 5 2 9 1 4 5 18 转盘① 1 2 3 1 2 转盘② （第 4 题） 实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字面朝上频数 14 38 47 52 66 78 88 相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.56 0.55 （1）请将数据表补充完整； （2）画出“兵”字面朝上的频率分布折线图； （3）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率 附近，请你估计这个概率是多少？ 【中考演练】 1．在一次抽奖活动中，中奖概率是 0.12，则不中奖的概率是 ． 2．四张扑克牌的牌面如图①所示，将扑克牌洗均匀后，如图②背面朝上放置在桌面上． 若随机抽取一张扑克牌，则牌面数字恰好为 5 的概率是_______． 3. 小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三 个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是 ． 4．有大小、形状、颜色完全相同的 5 个乒乓球，每个球上分别标有数字 1、2、3、4、5 中 的一个，将这 5 个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则 这两个球上的数字之和为偶数的概率是 ． 5. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的 统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ） A. 从一装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一 球，取到红球的概率 B. 掷一枚正六面体的骰子，出现 1 点的概率 C. 抛一枚硬币，出现正面的概率 D. 任意写一个整数，它能被 2 整除的概率 6．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，则这个骰 子向上的一面点数是奇数的概率为（ ） 频率 实验次数20 40 60 80 100 120 140 160 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 A． B． C． D． 7．在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个， 红球 2 个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（ ） A． B． C． D． 8.小明和小颖做掷骰子的游戏，规则如下： ① 游戏前，每人选一个数字； ② 每次同时掷两枚均匀骰子； ③ 如果同时掷得的两枚骰子点数之和，与谁所选数字相同，那么谁就获胜． （1）在下表中列出同时掷两枚均匀骰子所有可能出现的结果： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）小明选的数字是 5，小颖选的数字是 6．如果你也加入游戏，你会选什么数字，使 自己获胜的概率比他们大？请说明理由． 1 2 1 3 1 4 1 5 1 2 1 3 1 6 1 8 第 2 枚骰子 掷得的点数第 1 枚骰子 掷得的点数 第六章 三角形 课时 26．几何初步及平行线、相交线 【课前热身】 1. 如图，延长线段 到 ，使 ， 若 ，则线段 是 的 倍． 2．如图，已知直线 ， ，则 的度数是 ． 3．如图，在不等边 中， ， ，图中等于 的角还有 ______________． 4．经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ） A．一条或三条 B．三条 C．两条 D．一条 5．如图，直线 ，则 的度数是（　 ） A． B． C． D． 【考点链接】 1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离. 2. 1 周角＝__________平角＝_____________直角＝____________． 3. 如果两个角的和等于 90 度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果 _____________________互为补角，__________________的补角相等. 4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________. 5. 过直线外一点心___________条直线与这条直线平行. 6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补. 7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行. 8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直. 【典例精析】 例1 如图：AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于 E、F，EG 平分∠BEF，若∠1=720，则 ∠2 等于多少度？ 例 2 如图， 中， 的平分线相交于点 ，过 作 ， AB C 4BC = 8AB = AC BC a b∥ 1 35= ∠ 2∠ ABC△ DE BC∥ 60ADE = ∠ 60 a b∥ A∠ 28 31 39 42 ABC△ B C∠ ∠， O O DE BC∥ （第 1 题) A B C E C D G 1 2 F A B A D B C E (第 3 题) a b c 1 2 (第 2 题) ( 第 4 题 ) 图 A B C D a b70° 31° A B C 若 ，则 等于多少？ 【中考演练】 1． 如图，直线 a、b 被直线 c 所截，若要 a∥ b，需增加条件 _____________．（填一个即可） 2． 如图直线 l1//l2，AB⊥CD，∠1=34°，那么∠2 的度数是 ． 3． 如图, 已知直线 , 则 （ ） A. B. C. D. ( 第 1 题) ( 第 2 题) (第 3 题) 4． 如图，在△ABC 中，AB＝BC ＝12cm，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线， DE∥BC． (1)　求∠EDB 的度数； (2)　求 DE 的长． 5. 如图，AB∥CD， AC⊥BC，∠BAC＝65°，求∠BCD 度数． ﹡6. 如图，在 ΔABC 中，AB＝AC＝10，BC＝8．用尺规作图作 BC 边上的中线 AD（保 留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求 AD 的长． 5BD EC+ = DE  25,115,// =∠=∠ ACCDAB =∠E 70 80 90 100 2 1 D C B A l 2 l 1 A B C OD E A B C DE 课时 27．三角形的有关概念 【课前热身】 1． 如图，在△ABC 中，∠A＝70°，∠B＝60°， 点 D 在 BC 的延长线上，则∠ACD＝ 度. 2． 中， 分别是 的 中点，当 时， cm．　　　　 （第 1 题） 3． 如图在△ABC 中，AD 是高线，AE 是角平分线，AF 中线. (1) ∠ADC＝ ＝90°； (2) ∠CAE＝ ＝ ； (3) CF＝ ＝ ； (4) S△ABC＝ ． （第 3 题） （第 4 题） 4． 如图，⊿ABC 中，∠A = 40°,∠B = 72°，CE 平分∠ACB，CD⊥AB 于 D，DF⊥CE，则 ∠CDF = 度. 5． 如果两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的度数之比为 3:6，那么这两个角 分别等于 °和 °． 【考点链接】 一、三角形的分类： 1．三角形按角分为______________，______________，_____________． 2．三角形按边分为_______________,__________________. 二、三角形的性质： 1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边 2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________． 三、三角形中的主要线段： 1．___________________________________叫三角形的中位线． 2．中位线的性质：____________________________________________． 3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) 【典例精析】 例 1 如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°． 求∠DAC 的度数． ABC△ D E， AB AC， 10cmBC = DE = 1 2 1 2 E D C BA F C DB 70 ° 60 ° B Ａ A C D Ａ A B C D E 例 2 如图，已知 D 、E 分别是△ABC 的边 BC 和边 AC 的中点，连接 DE、AD， 若 S ＝24cm ,求△DEC 的面积. 例 3如图，在等腰三角形 中， ， ， 为底边 上一动点（不与 点 重合）， ， ，垂足分别为 ，求 的长． 【中考演练】 1．在△ABC 中，若∠A＝∠C＝ ∠B，则∠A＝ ，∠B＝ ，这个三角形是 . 2．已知三角形的三边长分别为 3、8、x，若 x 的值为偶数，则 x 的值有（ ） A. 6 个 B. 5 个 C. 4 个 D. 3 个 3．已知一个三角形三个内角度数的比是 1:5:6，则其最大内角度数为（ ） A.60° B.75° C.90° D.120° 4．如图，AB∥CD，AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD，求∠E 的度数． 5. 如图，已知 DE∥BC，CD 是∠ACB 的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°， 求∠EDC 和∠BDC 的度数． ﹡6. △ABC 中，AD 是高，AE、BF 是角角平分线相交于点 O，∠BAC=50°，∠C=70°， 432 1 D CB A ABC△ 2 ACB 5AC BC= = 8AB = D AB A B， DE AC⊥ DF BC⊥ E F， DE DF+ 1 3 A B C D E F E DC BA A D CB E O F E D A B C 求∠DAC，∠BOA 的度数. 课时 28．等腰三角形与直角三角形 【课前热身】 1．等腰三角形的一个角为 50°，那么它的一个底角为______． 2. 在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝50°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC＝_____°． 3．在△ABC 中，AB＝AC，D 为 AC 边上一点，且 BD＝BC＝AD．则∠A 等于（ ） A．30° B．36° C．45° D．72° （第 2 题） （第 3 题） （第 4 题） 4．一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40º 的方向行驶 40 海里到达 B 地，再由 B 地向 北偏西 10º 的方向行驶 40 海里到达 C 地，则 A、C 两地相距（　　） A．30 海里 B．40 海里 C．50 海里 D．60 海里 【考点链接】 一．等腰三角形的性质与判定： 1. 等腰三角形的两底角__________； 2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一； 3. 有两个角相等的三角形是_________． 二．等边三角形的性质与判定： 1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质； 2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于 60°的 _______三角形是等边三角形． 三．直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角形两锐角________． 2. 直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的________． 3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．； 4. 勾股定理：_________________________________________． 5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________． 【典例精析】 例 1 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，一腰上的中线 BD将这个等腰三角形周长分 成 15 和 6 两部分，求这个三角形的腰长及底边长． 例 2《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超 P D CB A 过 70 千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离 路边 25 米处有“车速检测仪 O”，测得该车从北偏西 60°的 A 点行驶到北偏西 30°的 B 点，所用时间为 1．5 秒． （1）试求该车从 A 点到 B 的平均速度； （2）试说明该车是否超过限速． 【中考演练】 1．已知等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角为____________．度． 2．已知等腰三角形的一条腰长是 5，底边长是 6，则它底边上的高为____． 3． 　如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前 有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中 点Ａ处）在她家北偏东 60 度 500m 处，那么水塔 所在的位置到公路的距离 AB 是____________． （第 3 题） 4．如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交 AC 于 D． ⑴ 若∠BAC=30°，求证：AD=BD； ⑵ 若 AP 平分∠BAC 且交 BD 于 P，求∠BPA 的度数． 5． 如图，小明用一块有一个锐角为 的直角三角板测量树高，已知小明离 树的距离为 4 米，DE 为 1.68 米，那么这棵树大约有多高？（精确到 0.1 米） 70 30 A O B 东 北 课时 29．全等三角形 【课前热身】 1．如图 1 所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=____． （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 2．如图 2，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样 的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 3．如图，已知 AE∥BF, ∠E=∠F,要使△ADE≌△BCF,可添加的条件是________. 4. 在⊿ABC 和⊿A/B/C/中，AB=A/B/，∠A=∠A/，若证⊿ABC≌⊿A/B/C/还要从下列条件中 补选一个，错误的选法是（ ） A. ∠B=∠B/ B. ∠C=∠C/ C. BC=B/C/， D. AC=A/C/， 【考点链接】 1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形. 2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定 除以上的方法还有________. 3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________. 4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等. 【典例精析】 例 1 已知：在梯形 ABCD 中，AB//CD，E 是 BC 的中点，直线 AE 与 DC 的延长线交于点 F. 求证：AB=CF. 例 2 (如图所示，A、D、F、B 在同一直线上，AD=BF，AE=BC， 且 AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD． B A E F C D 【中考演练】 1.如图， ， ， ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 2. 如 图 ， 点 在 的 平 分 线 上 ， ， 则 需 添 加 的 一 个 条 件 是 （只写一个即可，不添加辅助线）： （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 3.如图，D 是 AB 边上的中点，将 沿过 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上 F 处，若 ，则 __________度． 4. 如图，矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，AE＝AD，DF⊥AE 于 F，连结 DE，求证： DF＝DC． 5. 如图，AB=AD，BC=DC，AC 与 BD 交于点 E，由这些条件你能推出哪些结论？ （不再添加辅助线，不再标注其它字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结 论即可） OA OB= OC OD= 50O∠ =  35D∠ =  AEC∠ 60 50 45 30 P AOB∠ AOP BOP△ ≌△ ABC∆ 50B∠ = ° BDF∠ = A B P O E B C D A O E AB D C A B C D F E ﹡6. 如图，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角 形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC．求∠AEB 的大小. C B OD A E 课时 30．相似三角形 【课前热身】 1．两个相似三角形对应边上中线的比等于 3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比 为________，面积之比为_________． 2．若两个相似三角形的周长的比为 4：5，且周长之和为 45，则这两个三角形的周长分别为 __________． 3．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 4．在△ABC 与△A′B′C′中，有下列条件： （1） ；（2） ；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点链接】 一、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法 1. 若 DE∥BC（A 型和 X 型）则______________． 2. 射影定理：若 CD 为 Rt△ABC 斜边上的高（双直角图形） 则 Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且 AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____． 3. 两个角对应相等的两个三角形__________． 4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 5. 三边对应成比例的两个三角形___________． 三、相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用 k 表示． 3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于 _______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． 【典例精析】 例 1 在△ABC 和△DEF 中，已知∠A=∠D，AB=4，AC=3，DE=1，当 DF 等于多少时， 这两个三角形相似． AD AE AB AC = AE AD BC BD = DE AE BC AB = DE AD BC AC = AB BC A B B C = BC AC B C A C = E A D CB E A D CB A D C B 例 2 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工 成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个 正方形零件的边长是多少？ 例 3 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规 格为 2m×2m，若放映机的光源距胶片 20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放 映的图象刚好布满整个荧屏？ 【中考演练】 1.如图，若△ABC∽△DEF，则∠D 的度数为______________． 2. 在 中, 为直角, 于点 , , 写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比_____. （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 3.如图，在△ABC 中,若 DE∥BC, ＝ ,DE＝4cm,则 BC 的长为 ( ) A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm 4. 如图，已知 是矩形 的边 上一点， 于 ， 试证明 ． Rt ABC∆ C∠ ABCD ⊥ D 5,3 == ABBC AD DB 1 2 E ABCD CD BF AE⊥ F ABF EAD△ ∽△ A B C D E B(0,－4) A(3,0) 0 x y 课时 31．锐角三角函数 【课前热身】 1．在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝ ，则 AC 的长是（ ） A． B．3 C． D． 2．Rt ABC 中，∠C= ，∠A∶∠B=1∶2，则 sinA 的值（ ） A． B． C． D．1 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（3，0）， 点 B（0，－4），则 等于_______． 4． =____________． 【考点链接】 1．sinα，cosα，tanα定义 sinα＝____，cosα＝_______，tanα＝______ ． 2．特殊角三角函数值 【典例精析】 例 1 在 Rt△ABC 中，a＝5，c＝13，求 sinA，cosA，tanA． 例 2 计算: ． 例 3 等腰△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，求底角∠B 的四个三角函数值． 2 3 5 4 5 13 ∆ °90 2 1 2 2 2 3 cos OAB∠ °+ ° 30sin1 30cos 4sin30 2 cos45 3 tan 60°− °+ ° 30° 45° 60° sinα cosα tanα α a b c 【中考演练】 1． 在△ABC 中，∠C ＝ 90°，tanA ＝ ，则 sinB ＝( ) A． 　　 B． C． D． 2．若 ，则下列结论正确的为（ ） A． 0°< ∠A < 30° B．30°< ∠A < 45° C． 45°< ∠A < 60° D．60°< ∠A < 90° 3.在 中， ， ， ，则 ． 4.计算 的值是 . 5. 已知 ． 6．△ABC 中，若（sinA－ ）2＋| －cosB|＝0，求∠C 的大小． ﹡7.图中有两个正方形，A，C 两点在大正方形的对角线上，△HAC是等边三角形，若 AB=2， 求 EF 的长． 　　 ﹡8. 矩形 ABCD 中 AB＝10，BC＝8， E 为 AD 边上一点，沿 BE 将△BDE 对折，点 D 正好落在 AB 边上，求 tan∠AFE． 1 3 10 10 2 3 3 4 3 10 10 3cos 4A = Rt ABC△ 90C∠ =  5AC = 4BC = tan A =    45tan30cos 60sin − 3tan 3 0 A− = ∠Α =则 1 2 3 2 _E _A _F _D _C _B _O _H _G 课时 32．解直角三角形及其应用 【课前热身】 1．如图，太阳光线与地面成 60°角，一棵倾斜的大树与 地面成 30°角，这时测得大树在地面上的影子约为 10 米，则大树的高约为________米．（结果保留根号） 　　　　　 （第 1 题） 2. 某坡面的坡度为 1： ，则坡角是_______度． 3．(山东)王英同学从 A 地沿北偏西 60º 方向走 100m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地，此时王英同学离 A 地 ( ) A．150m 　 　 B． m 　 C．100 m 　 D． m 【考点链接】 1 ． 解 直 角 三 角 形 的 概 念 ： 在 直 角 三 角 形 中 已 知 一 些 _____________叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的类型： 已知____________；已知___________________． 3．如图（1）解直角三角形的公式： （1）三边关系：__________________． （2）角关系：∠A+∠B＝_____， （3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______． cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____． 4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________． 5．如图（3）方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________． 6．如图（4）坡度：AB 的坡度 iAB＝_______，∠α 叫_____，tanα＝i＝____． （图 2） （图 3） （图 4） 【典例精析】 例 1　Rt 的斜边 AB＝5, ，求 中的其他量. 例 2　　海中有一个小岛 P，它的周围 18 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 点 A 测得小岛 P 在北偏东 60° 方向 上 ， 航行 12 海里到达 B 点，这时测得小 岛 P 3 350 3100 ABC∆ 3cos 5A = ABC∆ α A CB 45° 南 北 西 东 60° A D C B 70° OO A B C FA B CD E cb a A C B 在北偏东 45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明 理由． 例 3 为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为 1.2 米，下底 宽为 2 米，坡度为 1：0.8 的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁， 使土堤高度比原来增加了 0.6 米．（如图所示） 求：（1）渠面宽 EF； （2）修 200 米长的渠道需挖的土方数． 【中考演练】 1．在 中， ，AB＝5，AC＝4，则 sinA 的值是_________. 2．升国旗时，某同学站在离旗杆 24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时， 该同学视线的 仰角恰为 30°，若两眼距离地面 1.2m，则旗杆高度约为_______.（取 ，结果 精确到 0.1m） 3．已知：如图，在 ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求 BC 的长. (结果保留根 号) 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　 ﹡4．如图，在测量塔高 AB 时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的 C、D 两点，用 测角仪器测得塔顶 A 的仰角分别是 30°和 60°．已知测角仪器高 CE=1.5 米，CD=30 米， 求塔高 AB．（保留根号） Rt ABC∆ 090C∠ = 3 1.73= △ 第七章 四边形 课时 33．多边形与平面图形的镶嵌 【课前热身】 1.四边形的内角和等于__________． 2．一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的 两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ． 3. 内角和为 1440°的多边形是 ． 4. 一个正多边形的每一个外角都等于 72°,则这个多边形的边数是_________. 5.只用下列图形不能镶嵌的是（ ） A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形 6. 若 n 边形每个内角都等于 150°，那么这个 n 边形是（ ） A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形 7.一个多边形内角和是 ，则这个多边形是（ ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【考点链接】 1. 四边形有关知识 ⑴ n 边形的内角和为 ．外角和为 ． ⑵ 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ， 外角和增加 ． ⑶ n 边形过每一个顶点的对角线有 条，n 边形的对角线有 条． 2. 平面图形的镶嵌 ⑴ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时， 就拼成一个平面图形. ⑵ 只用一种正多边形铺满地面，请你写出这样的一种正多边形____________． 3．易错知识辨析 多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外 角和恒为 360 º． 【典例精析】 例 1 已知多边形的内角和为其外角和的 5 倍，求这个多边形的边数． 1080 例 2 在凸多边形中，四边形有 2 条对角线，五边形有 5 条对角线，经过观察、探索、归纳， 你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程． ﹡例３ 请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽 图案. 【中考演练】 1．若一个多边形的内角和等于 ，则这个多边形的边数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2. 某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若 只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ） A．4 种 B．3 种 C．2 种 D．1 种 3. 如图，在正五边形 ABCDE 中，连结 AC，AD， 则∠CAD 的度数是 °． 4. 下面各角能成为某多边形的内角的和的是（ ） A．430° B．4343° C．4320° D．4360° 5. 一个多边形的内角和与它的一个外角的和 为 ，那么这个多边形的边数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．一个多边形少一个内角的度数和为 2300°． （1）求它的边数； （2）求少的那个内角的度数． 7. 求下图中 x 的值． 720 570 C D A B E 课时 34．平行四边形 【课前热身】 1．平行四边形 ABCD 中，若∠A＋∠C＝130 o，则∠D 的度数是 . 2． ABCD 中，∠B=30°，AB＝4 cm，BC=8 cm，则四边形 ABCD 的面积是_____. 3．平行四边形 ABCD 的周长是 18，三角形 ABC 的周长是 14，则对角线 AC 的长是 . 4．如图，在平行四边形 ABCD 中，DB＝DC， ∠Ｃ＝70°，AE⊥BD 于 E，则∠DAE＝ 　　　度． （第 4 题） 5．平行四边形 ABCD 中，∠A:∠B:∠C:∠D 的值可以是（ ） A．1:2:3:4 B. 3:4:4:3 C. 3:3:4:4 D. 3:4:3:4 6．在平行四边形 中， ，那么下列各式中，不能成立的是（ ） A． B． C． D． 【考点链接】 1．平行四边形的性质 （1）平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______. （2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．（填 “平行”或“垂直”） （3）平行四边形的面积公式____________________. 2．平行四边形的判定 （1）定义法：________________________. （2）边：________________________或_______________________． （3）角：________________________． （4）对角线：________________________． 【典例精析】 例 1 如图，在 ABCD 中，E，F 为 BC 上两点，且 BE＝CF，AF＝DE． 求证：△ABF≌△DCE； ABCD 60B∠ =  60D∠ =  120A∠ =  180C D∠ + ∠ =  180C A∠ + ∠ =  A B D CE F A B CD E F E D C BA 例 2 如图,小明用一根 36m 长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边 AB 长为 8m，其他三条边各长多少? 例 3 如图，在□ABCD 中，E，F 分别是 CD，AB 上的点，且 DE＝BF. 求证：AE＝CF 【中考演练】 1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边相等 B. 对角线互相平分 C. 一组对角相等 D. 对角线互相垂直 2．如图，在平行四边形 中， 是 延 长线上的一点，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 3. □ABCD 中，∠A 比∠B 大 20°,则∠C 的度数为___ . 4．□ABCD 中, AB:BC＝1:2，周长为 24cm, 则 AB＝_____cm, AD＝_____cm． 5.如图，在□ABCD 中，点 E、F 在对角线 AC 上，且 AE=CF, 请你以 F 为一个端点，和图 中已标有字母的某一点连成一条新线段, 猜想并证明它和图中已有的某一线段相等.(只 需证明一组线段相等即可) (1) 连结_________, (2) 猜想______＝________. (3) 证明: ﹡6．如图，已知： 中， 的平分线 交边 于 ， 的平分线 交 于 ，交 于 ．求证： ． ABCD E AB 60A∠ =  1∠ 120 60 45 30 ABCD BCD∠ CE AD E ABC∠ BG CE F AD G AE DG= C A B D A B E CD 1 A B C DE F G 课时 35．矩形、菱形、正方形 【课前热身】 1. 矩形的两条对角线的一个交角为 60 o，两条对角线的长度的和为 8cm，则这个矩形的一条 较短边为 cm. 2.(边长为５cm 的菱形，一条对角线长是 6cm，则另一条对角线的长是 . 3. 若正方形的一条对角线的长为 2cm，则这个正方形的面积为 ． 4.下列命题中，真命题是 （ ） A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形　 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 5. 平行四边形 ABCD 中，AC，BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边 形 ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ） A．AB＝BC B.AC＝BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD 【考点链接】 1. 特殊的平行四边形的之间的关系 2. 特殊的平行四边形的判别条件 要使 ABCD 成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使 ABCD 成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使矩形 ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ ； 要使菱形 ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ . 3. 特殊的平行四边形的性质 边 角 对角线 矩形 菱形 正方形 【典例精析】 例 1　如图，菱形的对角线 BD，AC 的长分别是 6 和 8，求菱形的周长积． 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 四 边形四 边形四 边形 平 行 四 边 形平 行 四 边 形 矩 形矩 形 菱 形菱 形 梯 形梯 形 一角为90° 一角为90° 一组邻边相等 一组邻边相等 正方形正方形两 组 对 边 平 行 两 组 对 边 平 行 只有一组对边平行 只有一组对边平行 一角为直角且一组邻边相等一角为直角且一组邻边相等 邻边相等 邻边相等 一角为90° 一角为90° 等腰梯形 两腰相等 A B C DO 例 2 如图，在四边形 中，点 是线段 上的任意一点（ 与 不重合）， 分别是 的中点． （1）证明四边形 是平行四边形； （2）在（1）的条件下，若 ，且 ，证明平行四边形 是 正方形． 【中考演练】 1.已知菱形的两对角线长分别为 6cm 和 8cm，则菱形的面积为 cm2． 2.如图，把矩形 沿 对折后使两部分重合，若 ， 则 =（ ） A．110° B．115° C．120° D．130° 3.如图，沿虚线 将 ABCD 剪开， 则得到的四边形 是（ ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 4．如图，菱形 ABCD 中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F 为 垂 足，AE=ED， 求∠EBF 的度数. 5．如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是 AB 上一点，且 DE=AB， 过 C 作 CF⊥DE，垂足为 F . （1）猜想：AD 与 CF 的大小关系； （2）请证明上面的结论. 6. 已知：如图，Ｄ是⊿ABC 的边ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＡＣ、ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别是Ｅ、 Ｆ，且ＢＦ＝ＣＥ，求证： （１）⊿ABC 是等腰三角形　 （２）当∠Ａ＝90°时，判断四边形 AFDE 是怎样的四边形，证明你的判断结论. ABCD E AD E A D， G F H， ， BE BC CE， ， EGFH EF BC⊥ 1 2EF BC= EGFH ABCD EF 1 50∠ =  AEF∠ EF ABFE B D C EF A D C F BA E B G A E F H D C BA CD E S F ﹡7. 如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的角平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F． （1）求证：EO=FO； （2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是 矩形？并证明你的结论． A B C E FM NO A B E C D 课时 36． 梯 形 【课前热身】 1．下列结论正确的是( ) A．四边形可以分成平行四边形和梯形两类 B．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类 C．平行四边形是梯形的特殊形式 D．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式 2．等腰梯形 ABCD 对角线交于 O 点，∠BOC＝120°，∠BDC＝80°，则∠DAB＝__． 3．一梯形是上底为 4cm，过上底的一顶点，作-直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三 角形，若三角形的周长为 12cm，则梯形的周长是________． 4．在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，BC＝5，AC＝3，则 CD＝____． 5．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC， E 为 BC 上一点，DE∥AB，AD 的长为 1，BC 的长 为 2，则 CE 的长为 ________． 【考点链接】 1．梯形的面积公式是________________. 2．等腰梯形的性质：边 __________________________________. 角 __________________________________. 对角线 __________________________________. 3． 等腰梯形的判别方法__________________________________. 4． 梯形的中位线长等于__________________________. 【典例精析】 例 1 如图，在等腰梯形 中， ， 是 的中点， 求证： ． 例 2 如图，已知△ABC 中，∠B＝∠C，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AD＝AE， 试说明四边形 BCED 是等腰梯形． 例 3 如 图 ， 在 梯 形 中 ， ， ， ， ， ，求 的长． ABCD AD BC∥ M AD MB MC= ABCD AD BC∥ AB AC⊥ 45B∠ =  2AD = 4 2BC = DC A B C D 例 4 已知，如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8. 求梯形两腰 AB、CD 的长. 【中考演练】 1．梯形的中位线长为 3，高为 2，则该梯形的面积为 ． 2．四边形 ABCD 中，若∠A︰∠B︰∠C︰∠D＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形 是（ ） 　 A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形 3．如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC，BD 相交 于 O 点，∠BCD=60°，则下列说法正确的是（ ） A．梯形 ABCD 是轴对称图形 B．BC=2AD C．梯形 ABCD 是中心对称图形 D．AC 平分∠DCB 4．梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB>CD，CE∥DA，交 AB 于 E，且△BCE 的周长为 7cm， CD 为 3cm，求梯形 ABCD 的周长． 5． 如图所示，在梯形 ABCD 中，上底 AD＝1 cm，下底 BC＝4cm，对角线 BD⊥AC， 且 BD＝3cm，AC＝4cm．求梯形 ABCD 的面积． ﹡6．在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E 是 AD 中点．求证： CE⊥BE． ﹡7．(已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=DC，CF 平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交 DC 于点 E． 求证：（1）△BFC≌△DFC； A B C D A C B D E F E D CB A （2）AD=DE． 第八章 圆 课时 37．圆的有关概念与性质 【课前热身】 1.(如图， 是⊙O 的直径，点 在⊙O 上，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 2.如图，已知圆心角 ，则圆周角 的度数是（ ） A． B． C． D． 3.如图所示，圆 O 的弦 AB 垂直平分半径 OC．则四边形 OACB 是（　　） A．正方形 B.长方形 C．菱形 D．以上答案都不对 4.如图， 是⊙O 的弦， 于点 ，若 ， ，则⊙O 的半径为 cm． 5. (荆门)如图，半圆的直径 AB＝___ ． 【考点链接】 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 . 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一 组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 . 【典例精析】 例 1 (呼伦贝尔）如图：AC⌒ =CB⌒ ， 分别是半径 和 的中点， 与 的大小 有什么关系？为什么？ AB C ACB∠ 30 45 60 90 78BOC∠ =  BAC∠ 156 78 39 12 AB OC AB⊥ C 8cmAB = 3cmOC = D E， OA OB CD CE A C B O 第 4 题 第 5 题 0 1 2-1-2 1 AB C B O ED A 第 2 题第 1 题 第 3 题第 1 题 例 2 已知：如图， ，在射线 AC 上顺次截取 AD =3cm，DB =10cm， 以 DB 为直径作⊙O 交射线 AP 于 E、F 两点，求圆心 O 到 AP 的距离及 EF 的长． 【中考演练】 1.下列命题中，正确的是（ ） ① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③ 的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆； ⑤ 同弧所对的圆周角相等 A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 2.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB＝16m， 半径 OA＝10 m，高度 CD 为_ ____m． 3.如图，⊙O 中 ， ，则 的度数为 ． 4.如图，射 线 AM 交一圆 于点 B、C，射线 AN 交 该 圆 于点 D、E，且 BC⌒ =DE⌒ ． （1）求 证：AC = AE； （2）利 用尺规作图， 分别作线段 CE 的 垂直平分线与∠MCE 的平分线，两线交于点 F（保留作图痕迹，不写作法），求证： EF 平分∠CEN． ﹡5.如图， 是⊙O 的内接三角形， ， 为⊙O 的AB⌒ 上一点，延长 至点 30PAC∠ = ° 90 OA BC⊥ 25CDA∠ =  AOB∠ ABC△ AC BC= D DA OA D B C E F P A B C D E M N BA O C D 第 2 题 第 3 题 Ｃ Ｅ Ａ Ｏ Ｄ Ｂ ，使 ． （1）求证： ； （2）若 ，求证： ． E CE CD= AE BD= AC BC⊥ 2AD BD CD+ = 课时 38．与圆有关的位置关系 【课前热身】 1.⊙O 的半径为 ，圆心 O 到直线 的距离为 ，则直线 与⊙O 的位置关系是（　　） A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定 2.如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映 出的两圆位置关 系有（ ） A．内切、相交 B．外离、相交 C．外切、外离 D．外离、内切 3.两圆半径分别为 3 和 4，圆心距为 7，则这两个圆( ) A．外切 B．相交 C．相离 D．内切 4.如图，从圆 外一点 引圆 的两条切线 ，切点分别为 ．如果 ， ，那么弦 的长是（ ） A．4 B．8 C． D． 5.已知⊙O的半径是3，圆心O到直线AB的距离是3，则直线AB与⊙O的位置 关系是 . 【考点链接】 1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到 圆心的距离 d 和半径 r 之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r. 2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ . 对应的圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r. 3. 圆与圆的位置关系共有五种：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；两圆 的圆心距 d 和两圆的半径 R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d R－r，②d R －r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r. 4. 圆的切线 过切点的半径；经过 的一端，并且 这条 的 直线是圆的切线. 5. 从圆外一点可以向圆引 条切线， 相等， 相等. 6. 三角形的三个顶点确定 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心 叫 心，是三角形 的交点. 7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 . 【典例精析】 例 1 如图，线段 经过圆心 ，交⊙O 于点 ，点 在⊙O 上，连接 ， ． 是⊙O 的切线吗？请说明理由． 5 l 3 l O P O PA PB， A B， 60APB∠ =  8PA = AB 4 3 8 3 AB O A C， D AD BD， 30A B∠ = ∠ =  BD P B A O 例 2 如图所示，⊙O 的直径 AB=4，点 P 是 AB 延长线上的一点，过 P 点作⊙O 的切线，切 点为 C，连结 AC. （1）若∠CPA=30°，求 PC 的长； （2）若点 P 在 AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交 AC 于点 M. 你认为∠CMP 的 大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求∠CMP 的大小. 例 3 如图， 是⊙O 的直径， 是⊙O 的弦，延长 到点 ，使 ，连结 ，过点 作 ，垂足为 ． （1）求证： ； （2）求证： 为⊙O 的切线； （3）若⊙O 的半径为 5， ，求 的长． 【中考演练】 1.如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点 A，且 OP=5，PA=4，则 sin∠APO 等于（　　） A． B． C． D． 2. 如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3 两两相外切，⊙O1 的半径 ，⊙O2 的半 径 ，⊙O3 的半径 ，则 是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 3. 如 图 ， ⊙O 是 △ABC 的 外 接 圆 ， ⊙O 的 半 径 R ＝ 2 ， sinB ＝ ， 则 弦 AC 的 长 为 ． AB BD BD C DC BD= AC D DE AC⊥ E AB AC= DE 60BAC∠ =  DE 5 4 5 3 3 4 4 3 1 1r = 2 2r = 3 3r = 1 2 3O O O△ 4 3 O A E C D B M PO C BA P O A · O2 O3 O1 4.已知，⊙ 的半径为 ，⊙ 的半径为 ，且⊙ 与⊙ 相切，则这两圆的圆心距为 ___________． 5. 如图所示， 是直角三角形， ，以 为直径的⊙O 交 于点 ， 点 是 边的中点，连结 ． （1）求证： 与⊙O 相切； （2）若⊙O 的半径为 ， ，求 ． ﹡6. 如图，点 A，B 在直线 MN 上，AB＝11 厘米，⊙A，⊙B 的半径均为 1 厘米．⊙A 以每 秒 2 厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径 r（厘米） 与时间 t（秒）之间的关系式为 r＝1+t（t≥0）． （1）试写出点 A，B 之间的距离 d（厘米） 与时间 t（秒）之间的函数表达式； （2）问点 A 出发后多少秒两圆相切？ 1O 5 2O 9 1O 2O ABC△ 90ABC∠ =  AB AC E D BC DE DE 3 3DE = AE B D C E A O A B NM 课时 39．与圆有关的计算 【课前热身】 1. 如图，在⊙O 中， ， ， 则劣弧AB⌒ 的长 为 cm． 2. 翔宇学中的铅球场如图所示，已知扇形 AOB 的面积是 36 米 2，AB⌒ 的 长度为 9 米，那么半径 OA ＝ 米． 3.如图，已知扇形的半径为 3cm，圆心角为 120°，则扇形的面积 为__________ .(结果保留 ） 4.已知扇形的半径为 2cm，面积是 ，则扇形的弧长是 cm， 扇形的圆心角为 °． 5.如图，正六边形内接于圆 ，圆 的半径为 10，则圆中阴影部分的 面积为 ． 【考点链接】 1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n°的圆心角所对 的弧长为 ，弧长公式为 . 2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n°的圆心角所在 的扇形面积为 S= = = . 3. 圆柱的侧面积公式：S= .（其中 为 的半径， 为 的高） 4. 圆锥的侧面积公式：S= .（其中 为 的半径， 为 的长） 【典例精析】 例1如图，CD切⊙O于点D，连结OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD， 点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin∠COD = ．(1)求弦AB的长；（2）CD的长； （3）劣弧AB的长.（结果保留三个有效数字， ， ≈3.142） 60AOB∠ =  3cmAB = 2cm π 24 3 cmπ O O 2Rπ× 2 rlπ r l rlπ r l 5 4 sin53.13 0.8 ≈ π 第 1 题 A B O 第 3 题 O 第 5 题第 2 题 例2 如图， 为⊙O的直径， 于点 ，交⊙O于点 ， 于点 ． （1）请写出三条与 有关的正确结论； （2）当 ， 时，求圆中阴影部分的面积． 例 3 如图，线段 与⊙O 相切于点 ，连结 、 ， 交⊙ O 于点 D，已知 ， . 求（1）⊙O 的半径； （2）图中阴影部分的面积． 【中考演练】 1. 中， ， ， ，两等圆⊙A，⊙B 外切，那么图中两个 扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A． B． C． D． 2.如图，在矩形空地上铺 4 块扇形草地．若扇形的半径均为 米，圆心角均为 ，则铺上 的草地共有 平方米． AB CD AB⊥ E D OF AC⊥ F BC 30D∠ =  1BC = AB C OA OB OB 6cmOA OB= = 6 3cmAB = Rt ABC△ 90C∠ =  8AC = 6BC = 25 4 π 25 8 π 25 16 π 25 32 π r 90 C BA O F D E O A C B D A B C 3.如图，已知 是⊙O 的直径，点 在⊙O 上，且 ， ． （1）求 的值； （2）如果 ，垂足为 ，求 的长； （3）求图中阴影部分的面积（精确到 0.1）． ﹡ ﹡4.如图，从一个直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留 ）； （2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个 圆锥？请说明理由． （3）当⊙O 的半径 为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理 由． AB C 13AB = 5BC = sin BAC∠ OD AC⊥ D AD 90 π ( 0)R R > A B C D O A B CO ① ② ③ 第九章 图 形 与 变 换 课时 40．视图与投影 【课前热身】 1.如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（ ） 2. 如图，圆柱的左视图是（　　） 3.在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成 的投影不可能是（ ） 4.如图是每个面上都有一个汉字的正方体 的一种展开图，那么在正方体的表面，与“迎”相 对的面上的汉字是（ ） A.文 B.明 C.奥 D.运 5. 右图是某一几何体的三视图， 则这个几何体是（ ） A．圆柱体 B．圆锥体 C．正方体 D．球体 【考点链接】 1. 从 观察物体时，看到的图叫做主视图 ；从 观 察物体时，看到的图叫 做左视图 ；从 观察物体时，看到的图叫做俯视图. 2. 主视图与俯视图的 一致；主视图与左视图的 一致；俯视图与左视图的 一致. 3. 叫盲区. 4. 投影可分为平行投影与中心投影.其中 所形成的投影叫平行投影； 所形成的投影叫中心投影. 5. 利用光线是否平行或是否交于一点来判断是 投影或 投影，以及光源的位置 和物体阴影的位置. 【典例精析】 例 1 如图 4，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的 小正方体的个数是（ ） 讲 文 明 迎 奥 运 A. B. C. D. 　　　　 A． B． C． D． A. Ｂ．　 　Ｃ． 　 Ｄ． A. B.． C.． D.． A．7 个 B．8 个 C．9 个 D．10 个 例 2（1）一木杆按如图 1 所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用 线段 表示）； （2）图 2 是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点 表 示），并在图中画出人在此光源下的影子．（用线段 表示）． 【中考演练】 1. 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小 ．（填 “相同”、“不一定相同”、“不相同”之一）． 2.如图，水平放置的长方体 的底面是边长 为 2 和 4 的矩形，它的左视图的面积为 6，则长方体的 体积等于 ． 3.下图的几何体是由三个同样大小的立方体搭 成的，其左视图为 （ ） 4. 在学校开展的“为灾区儿童过六一”的活动中，晶晶把自己最喜爱的铅笔盒送给灾区儿 童．这个铅笔盒（右图）的左视图是（ ） A． B． C． D． 5.将图所示的 绕直角边 旋转一周，所得几何体的主视图为（ ） 6.若干桶方便面摆放在桌子上，如图所示是它的三视图，则这一堆方便面共有（ ） CD P EF Rt ABC△ AB 太阳光线 木杆 图 1 图 2 A B A′ B′ 42 A． B． C． D． A ． B ． C ． D ． A BC A．6 桶 B．7 桶 C．8 桶 D．9 桶 7.六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则关于它的视图说法正确的是（ ） A．正视图的面积最大 B．左视图的面积最大 C．俯视图的面积最大 D．三个视图的面积一样大 8.若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何体可能 是（ ） A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．棱锥 9.下列四个几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ 　） A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．三棱柱 主视图 左视图 俯视图 课时 41．轴对称与中心对称 【课前热身】 1. 下列几何图形中,一定是轴对称图形的有 ( ). A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 2. 下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是图中的（　　） 3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形 4.如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案.其中，是轴对称图形但不是中心对称的图形为（ ） A.①③ B. ①④ C.②③ D.②④ 【考点链接】 1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ，那么这个图形就是 ， 这条直线就是它的 . 2. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形 ，那么这两个图形成 ， 这条直线就是 ，折叠后重合的对应点就是 . 3. 如果两个图形关于 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 . 4. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ， 那么这个图形叫做 图形，这个点就是它的 ． 5. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，那么就说 这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ．这两个图形中的对应点叫做 关于中心的 ． 6. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心 所 ．关于中心对称的两个图形是 图形. 7. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点 关于原点的对称点 为 . 【典例精析】 例 1 如图，方格纸中有三个点 ，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边 （包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． ),( yxP 1P A B C， ， Ａ.． Ｂ.． Ｃ.． Ｄ.． ② ③ ④ （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． 例 2 如图，在直角坐标系 xOy 中， A(一 l，5)，B(一 3，0)，C (一 4，3)． (1) 在右图中作出△ABC 关于 y 轴的轴对称图形△A′B′C′； (2) 如果 中任意一点 的坐标为 ，那么它的对应点 的坐标是 ． 例3下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） 　A．正三角形 B．菱形 C．直角梯形 D．正六边形 【中考演练】 1.下列各图中，为轴对称图形的是（ ） 2. (图是一个中心对称图形，A 为对称 中心，若∠C = 90°， ∠B = 30°，BC =1，则 的长为 （ ） A．4 B． C． D． 3.图是奥运会会旗杆标志图 案，它由五个半径相同的圆组成，象 征着五大洲体育健儿团结拼搏，那么 这个图案（ ） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．不是对称图形 D．既是轴对称图形又是中心对称图形 4.小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近 8 点的是 ( ) ABC△ M ( )x y， N BB′ 3 3 3 32 3 34 A B C A B C A B C 30° A C B′ B C′ A． B． C． D． A. 　B. 　C. 　D. 5. 若将图 2 中的每个字母都看成独立的图案，则这七个图案中是中心对称图形的有（ ） A.1 个 　B.2 个 　C.3 个 　D.4 个 6.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 课时 4２．平移与旋转 【课前热身】 1. 下列四个图案中，可能通过右图平移得到的是（ ） 2. 将左图所示的图案按顺时针方向旋转 90°后可以得到的图案是（ ） 3. 如图， 绕点 逆时针旋转 到 的位 置，已知 ，则 等于（　　） Ａ． 　 Ｂ． 　 Ｃ． 　 Ｄ． 4. 将线段 AB 平移 1cm，得到线段 ，则对应点 A 与 的距离为 cm． 【考点链接】 1. 一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称为______，它是由移 动的 和 所决定． 2. 平移的特征是：经过平移后的图形与原图形的对应线段 ，对应 ，图形 的 与 都没有发生变化，即平移前后的两个图形 ；且对应点 所连的线段 ． 3. 图形旋转的定义：把一个图形 的图形变换，叫做旋转， 叫做旋转中心， 叫做旋转角． 4. 图形的旋转由 、 和 所决定．其中①旋转 在旋转过程中保持不动．②旋转 分为 时针和 时针. ③旋转 一 般小于 360º. 5. 旋转的特征是：图形中每一点都绕着 旋转了 的角度，对应点到旋转中心 的 相等，对应 相等，对应 相等，图形的 都没有发生变化. 也就是旋转前后的两个图形 . 【典例精析】 例 1 在下面的格点图中，每个小正方形的边长均为 1 个单位，请按下列要求画出图形： （1）画出图①中阴影部分关于 O 点的中心对称图形； （2）画出图②中阴影部分向右平移 9 个单位后的图形； （3）画出图③中阴影部分关于直线 AB 的轴对称图形. OAB△ O 80 OCD△ 45AOB∠ =  AOD∠ 55 45 40 35 A B′ ′ A′ A． B． C． D． A. B. C. D. （图①） （图②） （图③） 例 2 如图是由若干个边长为 1 的小正方形组成的网格，在图中作出 将五角星 向其东北方向平移 个单位的图形． 【中考演练】 1. 如图，将三角尺 ABC（其中 ∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕 B 点按顺时 针方向转动一个角度到 A1BC1 的位置， 使得点 A，B，C1 在同一条直线上，那么 这个角度等于（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 2. 如图所示是重叠的两个直角 三角形．将其中一个直角三角形沿 方 向平移得到 ．如果 ， ， ，则图中阴影部分面积为 ． 3. △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将△ABC 向右平移 6 个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并写出点 C1 的坐标； （2）将△ABC 绕原点 O 旋转 180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． ABCDE 3 2 BC DEF△ 8cmAB = 4cmBE = 3cmDH = 2cm B A C D E A B C D H E F 4.在平面直角坐标系中，ΔABC 的三个顶点的位置如图所示， 点A′的坐标是(一2，2) ，现 将 ABC 平移．使点A 变换为点A′， 点B′、C′分别是B、C 的对应点. (1) 请画出平 移后的像 (不写画法) ，并直接写出点 、 的坐标： ( )、 ( ) ． (2) 若ΔABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P 的对应点 的坐标是 ． ﹡5.把一副三角板如图甲放置，其中 ， ， ，斜边 ， ．把三角板 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15°得到△D1CE1（如图 乙）．这时 AB 与 CD1 相交于点 ，与 D1 E1 相交于点 F． （1）求 的度数； （2）求线段 AD1 的长； （3）若把三角形 D1 C E1 绕着点 顺时针再旋转 30°得△D2 C E2 ，这时点 B 在 △D2 C E2 的内部、外部、还是边上？说明理由． △ / / /A B C∆ /B /C /B /C /P 90ACB DEC= = ∠ ∠ 45A = ∠ 30D = ∠ 6cmAB = 7cmDC = O 1OFE∠ C （甲） A C E D B B （乙） A E1 1 C D1 1 O F