中考攻略专题17 动态几何之面积问题探讨含答案

中考攻略专题17 动态几何之面积问题探讨含答案

- 0 - 【2013 年中考攻略】专题 17：动态几何之面积问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题 目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。 常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和图形存在问题等。前面我们已 经对最值问题进行了探讨，本专题对面积问题行探讨。 结合 2011 年和 2012 年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之面积问题的 探讨：（1）静态面积问题；（2）点动形成的动态面积问题；（3）线动形成的动态面积问 题；（4）面动形成的动态面积问题。 一、静态面积问题： 典型例题： 例 1：（2012 山西省 2 分）如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧 AB 的半径 OA 长是 6 米， C 是 OA 的中点，点 D 在弧 AB 上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【 】 　 A． 米 2 B． 米 2 C． 米 2 D． 米 2 【答案】 C。 【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】连接 OD，则 。 ∵弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点，∴OC= OA= ×6=3。 ∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA。 在 Rt△OCD 中，∵OD=6，OC=3，∴ 。 910 32 π −   9 32 π −   96 32 π −   ( )6 9 3π − DOCAODS S S∆= −扇形影阴 1 2 1 2 2 2 2 2CD= OD OC 6 3 3 3− = − = - 1 - 又∵ ，∴∠DOC=60°。 ∴ （米 2）。故选 C。 例 2：（2012 湖北恩施 3 分）如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3， ∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【 】 A． B．2 C．3 D． 例 3：（2012 湖北随州 4 分）如图，直线 l 与反比例函数 的图象在第一象限内交于 A、 B 两点，交 x 轴的正半轴于 C 点,若 AB：BC=(m 一 l)：1(m>l)则△OAB 的面积(用 m 表示)为 【 】 CD 3 3 3sin DOC = =OD 6 2 ∠ = 2 DOCAOD 60 6 1 9S S S = 3 3 3=6 3360 2 2 π π∆ ⋅ ⋅= − − ⋅ ⋅ −扇形影阴 3 2 2y= x - 2 - A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代 数式化简。 【分析】如图，过点 A 作 AD⊥OC 于点 D，过点 B 作 BE⊥OC 于点 E, 设 A(ｘA，ｙA)，B (ｘB，ｙB)，C（c¸0）。 ∵AB：BC=(m 一 l)：1(m>l)，∴AC：BC=m：1。 又∵△ADC∽△BEC，∴AD：BE=DC：EC= AC：BC=m：1。 又∵AD=ｙA，BE=ｙB，DC= c－ｘA，EC= c－ｘB， ∴ｙA：ｙB= m：1，即ｙA= mｙB。 ∵直线 l 与反比例函数 的图象在第一象限内交于 A、B 两点， ∴ ， 。 ∴ ， 。 将 又由 AC：BC=m：1 得（c－ｘA）：（c－ｘB）=m：1，即 ，解得 。 ∴ ( ) BB 1c x : c x m:1m  − − =   2m 1 2m − 2m 1 m − ( )23 m 1 m − ( )23 m 1 2m − 2y= x A A 2y = x B B 2y = x A B 2 2m=x x A B 1x = xm ( )Bx m+1c= m ( ) ( ) ( )B OAB OCB OBC A B A B B B x m+11 1 1 1S =S S = c y c y c y y my y2 2 2 2 m∆ ∆ ∆− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − - 3 - 。 故选 B。 例 4：（2012 贵州贵阳 12 分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我 们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． （1）三角形有　 　条面积等分线，平行四边形有　 　条面积等分线； （2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； （3）如图②，四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，AB≠CD，且 S△ABC＜S△ACD，过点 A 画 出四边形 ABCD 的面积等分线，并写出理由． 【答案】解：（1）6；无数。 （2）这个图形的一条面积等分线如图： 连接 2 个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成 2 个相等的部分 ．即 OO′为这个图形的一条面积等分线。 （3）四边形 ABCD 的面积等分线如图所示： 理由如下： 过点 B 作 BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E，连接 AE。 ( )( ) ( ) ( )2 2 2 B BB B x y m 1 2 m 1x y m+1 m 11 m 1 2 m 2m 2m m − −− −= ⋅ = = = - 4 - ∵BE∥AC，∴△ABC 和△AEC 的公共边 AC 上的高也相等，∴ S△ABC=S△AEC。 ∴ 。 ∵S△ACD＞S△ABC， ∴面积等分线必与 CD 相交，取 DE 中点 F，则直线 AF 即为要求作的 四边形 ABCD 的面积等分线。 【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的 性质。 【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在 的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成 2 个相等的部分；从而 三角形有 3 条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。 （2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； （3）过点 B 作 BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E，连接 AE．根据△ABC 和△AEC 的 公 共 边 AC 上 的 高 也 相 等 推 知 S△ABC=S△AEC ； 由 “ 割 补 法 ” 可 以 求 得 。　 例 5：（2012 贵州毕节 3 分）如图，在正方形 ABCD 中，以 A 为顶点作等边△AEF，交 BC 边于 E，交 DC 边于 F；又以 A 为圆心，AE 的长为半径作 。若△AEF 的边长为 2，则阴 影部分的面积约是【 】 （参考数据： ，π 取 3.14） A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36 【答案】A。 【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。 【分析】由图知， 。因此，由已知，根据正方形、等边 三角形的性质和勾股定理，可得等边△AEF 的边长为 2，高为 ；Rt△AEF 的两直角边长 为 ；扇形 AEF 的半径为 2 圆心角为 600。 ACD ABC ACD AEC AEDABCDS S S S S S∆ ∆ ∆ ∆ ∆= + = + =四 形边 ACD ABC ACD AEC AEDABCDS S S S S S∆ ∆ ∆ ∆ ∆= + = + =四 形边 EF 2 1.414 3 1.732≈ ≈， AEF CEF AEFS S S S∆ ∆= + − 扇形影部分阴 3 2 - 5 - ∴ 。 故 选 A。 例 6：（2012 山东德州 3 分）如图，两个反比例函数 和 的图象分别是 l1 和 l2． 设点 P 在 l1 上，PC⊥x 轴，垂足为 C，交 l2 于点 A，PD⊥y 轴，垂足为 D，交 l2 于点 B，则 三角形 PAB 的面积为【 】 A．3 B．4 C． D．5 【答案】C。 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。 2 AEF CEF AEF 1 1 60 2 2S S S S = 2 3 2 2 = 3+1 0.642 2 360 3 π π∆ ∆ ⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ≈扇形影部分阴 1y= x 2y= x − 9 2 - 6 - 例 7：（2012 内蒙古赤峰 3 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，以点 C 为圆心，CD 为半径的弧与 BC 交于点 E，四边形 ABED 是平行四边形，AB=3，则扇形 CDE（阴影部分） 的面积是【 】 　 A． B． C．π D．3π 【答案】A。 【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。 【分析】∵四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AD∥BC，∴AB=CD。 3 2 π 2 π - 7 - 又∵四边形 ABED 是平行四边形，∴AB=DE（平行四边形的对边相等）。 ∴DE=DC=AB=3。 ∵CE=CD，∴CE=CD=DE=3，即△DCE 是等边三角形。∴∠C=60°。 ∴扇形 CDE（阴影部分）的面积为： 。故选 A。 例 8：（2012 黑龙江绥化 3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 上的一点，DE：EC=2： 3，连接 AE、BE、BD，且 AE、BD 交于点 F，则 S△DEF：S△EBF：S△ABF=【 】 A．2：5：25 B．4：9：25 C．2： 3：5 D．4：10：25 【答案】D。 【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】由 DE：EC=2：3 得 DE：DC=2：5， 根据平行四边形对边相等的性质，得 DE：AB=2：5 由平行四边形对边平行的性质易得△DFE∽△BFA ∴DF：FB= DE：AB=2：5，S△DEF：S△ABF=4：25。 又∵S△DEF 和 S△EBF 是等高三角形，且 DF：FB =2：5， ∴S△DEF：S△EBF =2：5=4：10。 ∴S△DEF：S△EBF：S△ABF =4：10：25。故选 D。 例 9：（2012 安徽省 5 分）如图，P 是矩形 ABCD 内的任意一点，连接 PA、PB、PC、PD， 得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是 S1、S2、S3、S4，给出如下结 论： ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若 S3=2 S1，则 S4=2 S2 ④若 S1= S2，则 P 点在矩形的对角线上 260 3 3=360 2 π π⋅ ⋅ - 8 - 其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）. 【答案】②④。 【考点】矩形的性质，相似 【分析】如图，过点 P 分别作四个三角形的高， ∵△APD 以 AD 为底边，△PBC 以 BC 为底边， ∴此时两三角形的高的和为 AB， ∴S1+S3= S 矩形 ABCD； 同理可得出 S2+S4= S 矩形 ABCD。 ∴②S2+S4= S1+ S3 正确，则①S1+S2=S3+S4 错误。 若 S3=2 S1，只能得出△APD 与△PBC 高度之比，S4 不一定等于 2S2；故结论③错 误。 如图，若 S1=S2，则 ×PF×AD= ×PE×AB， ∴△APD 与△PBA 高度之比为：PF：PE =AB：AD 。 ∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形 AEPF 是矩形， ∴矩形 AEPF∽矩形 ABCD。连接 AC。 ∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC， 即 PF：CD =AF ：AD=AP：AC。 ∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点 A、P、C 共线。∴P 点在矩形的对角 线上。 故结论④正确。 综上所述，结论②和④正确。 例 10：（2012 福建宁德 3 分）如图，点 M 是反比例函数 y＝1 x 在第一象限内图象上的点， 作 MB⊥x 轴于点．过点 M 的第一条直线交 y 轴于点 A1，交反比例函数图象于点 C1， 且 A1C1＝1 2A1M，△A1C1B 的面积记为 S1；过点 M 的第二条直线交 y 轴于点 A2，交反比 例函数图象于点 C2，且 A2C2＝1 4A2M，△A2C2B 的面积记为 S2；过点 M 的第三条直线交 y 轴于点 A3，交反比例函数图象于点 C3，且 A3C3＝1 8A3M，△A3C3B 的面积记为 S3；依次 类推…；则 S1＋S2＋S3＋…＋S8＝ ▲ ． 1 2 1 2 1 2 1 2 - 9 - 【答案】 。 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线分线段成比例定理。 【分析】过点 M 作 MD⊥y 轴于点 D，过点 A1 作 A1E⊥BM 于点 E，过点 C1 作 C1F⊥BM 于 点 F， ∵点 M 是反比例函数 y＝1 x在第一象限内图象上的点， ∴OB×DM=1。∴ 。 ∵A1C1= A1M，即 C1 为 A1M 中点， ∴C1 到 BM 的距离 C1F 为 A1 到 BM 的距离 A1E 的一半。 ∴ 。 ∴ 。 ∵A2C2＝1 4A2M，∴C2 到 BM 的距离为 A2 到 BM 的距离的 。 ∴ 。 同理可得：S3= ，S4= ，… ∴ 。 练习题： 1. （2012 广东省 4 分）如图，在▱ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E，连接 CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留 π）． 255 512 1A BM 1 1S OB MB2 2∆ = ⋅ ⋅ = 1 2 1 11 BMC A BM 1 1S S S2 4∆ ∆= = = 2BMA 2 1 1 1S BM A BM BM BO2 2 2∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =到 距离 3 4 2 2 22 A C B BMA 1 1S S S4 8∆ ∆= = = 1 16 1 32 1 2 3 8 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 255S S S S 4 8 4 8 256 512 5122 2 … + +…+ + = + +…+ + =＋ ＋ ＋ ＋ ＝ - 10 - 2. （2012 浙江温州 5 分）如图，已知动点 A 在函数 (x>o)的图象上，AB⊥x 轴于点 B， AC⊥y 轴于点 C，延长 CA 至点 D，使 AD=AB，延长 BA 至点Ｅ，使 AE=AC.直线 DE 分别 交 x 轴，y 轴于点 P,Q.当 QE：DP=4:9 时，图中的阴影部分的面积等于 ▲ _. 3. （2012 江苏常州 2 分）如图，已知反比例函数 和 。点 A 在 y 轴的正半轴上，过点 A 作直线 BC∥x 轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点 B 和 C， 连接 OC、OB。若△BOC 的面积为 ，AC：AB=2：3，则 = ▲ ， = ▲ 。 4. （2012 江苏扬州 3 分）如图，双曲线 经过 Rt△OMN 斜边上的点 A，与直角边 MN 相交于点 B，已知 OA＝2AN，△OAB 的面积为 5，则 k 的值是　▲　． 5. （2012 湖南岳阳 3 分）如图，△ABC 中，AB=AC，D 是 AB 上的一点，且 AD= AB，DF∥BC ，E 为 BD 的中点．若 EF⊥AC，BC=6，则四边形 DBCF 的面积为　 ▲ 　． 4y= x ( )1 1 ky= k 0x > ( )2 2 ky= k 0x < 5 2 1k 2k ky= x 2 3 - 11 - 6. （2012 四川攀枝花 4 分）如图，以 BC 为直径的⊙O1 与⊙O2 外切，⊙O1 与⊙O2 的外公 切线交于点 D，且∠ADC=60°，过 B 点的⊙O1 的切线交其中一条外公切线于点 A．若⊙O2 的面积为 π，则四边形 ABCD 的面积是 ▲ ． 7. （2012 辽宁朝阳 3 分）如图，在正方形 ABCD 内有一折线，其中 AE⊥EF，EF⊥FC，并 且 AE=4，EF=8，FC=12。则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为 ▲ 。 8. （2012 辽宁沈阳 4 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 8cm，∠A=60°，DE⊥AB 于点 E， DF⊥BC 于点 F，则四边形 BEDF 的面积为 ▲ _cm2. 9. （2012 辽宁营口 3 分）如图，直线 与双曲线 （x＞0）交于 A、B 两点， 与 轴、 轴分别交于 E、F 两点，连结 OA、OB，若 ，则 ▲ ． bxy +−= xy 1= x y AOB OBF OAES S S∆ ∆ ∆= + =b - 12 - 10. （2012 贵州遵义 4 分）如图，平行四边形 ABCD 的顶点为 A、C 在双曲线 上， B、D 在双曲线 上，k1=2k2（k1＞0），AB∥y 轴，S△ABCD=24，则 k1=　 ▲ 　． 二、点动形成的动态面积问题： 典型例题： 例 1：（2012 广东广州 14 分）如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C． （1）求点 A、B 的坐标； （2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时， 求点 D 的坐标； （3）若直线 l 过点 E（4，0），M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三 角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式． 1 1 ky = x − 2 2 ky = x 23 3y= x x+38 4 − − - 13 - 【答案】解：（1）在 中，令 y=0，即 ，解得 x1=﹣4，x2=2 。 ∵点 A 在点 B 的左侧，∴A、B 点的坐标为 A（﹣4，0）、B（2，0）。 （2）由 得，对称轴为 x=﹣1。 在 中，令 x=0，得 y=3。 ∴OC=3，AB=6， 。 在 Rt△AOC 中， 。 设△ACD 中 AC 边上的高为 h，则有 AC•h=9，解得 h= 。 如图 1，在坐标平面内作直线平行于 AC，且到 AC 的距离=h= ，这样 的直线有 2 条，分别是 L1 和 L2，则直线与对称轴 x=﹣1 的两个交点即为所求的点 D。 设 L1 交 y 轴于 E，过 C 作 CF⊥L1 于 F，则 CF=h= ， ∴ 。 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b， 将 A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得 ，解得 。来源:21 ∴直线 AC 解析式为 。来源:中.考.资.源.网] 直线 L1 可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位（ 个长度单位）而形成 的， ∴直线 L1 的解析式为 。 则 D1 的纵坐标为 。∴D1（﹣4， ）。 同理，直线 AC 向上平移 个长度单位得到 L2，可求得 D2（﹣1， ）。 23 3y= x x+38 4 − − 23 3x x+3=08 4 − − 23 3y= x x+38 4 − − 23 3y= x x+38 4 − − ACB 1 1S AB OC 6 3 92 2∆ = ⋅ = × × = 2 2 2 2AC= OA +OC 4 +3 5= = 1 2 18 5 18 5 18 5 18 CF CF 95CE 4sin CEF sin OCA 2 5 = == = =∠ ∠ 4k+b=0 b=3 −   3k= 4 b=3   3y x 34 = + 9 2 3 9 3 3y x 3 x4 2 4 2 = + − = − ( )3 3 914 2 4 × − − = − 9 4 − 9 2 27 4 - 14 - 综上所述，D 点坐标为：D1（﹣4， ），D2（﹣1， ）。 （3）如图 2，以 AB 为直径作⊙F，圆心为 F．过 E 点作⊙F 的切线，这样的切 线有 2 条． 连接 FM，过 M 作 MN⊥x 轴于点 N。 ∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F 半径 FM=FB=3。 又 FE=5，则在 Rt△MEF 中，－ ME= ，sin∠MFE= ，cos∠MFE= 。 在 Rt△FMN 中，MN=MN•sin∠MFE=3× ， FN=MN•cos∠MFE=3× 。 则 ON= 。∴M 点坐标为（ ， ）。 直线 l 过 M（ ， ），E（4，0）， 设直线 l 的解析式为 y=k1x+b1，则有 ，解得 。 ∴直线 l 的解析式为 y= x+3。 同理，可以求得另一条切线的解析式为 y= x﹣3。 综上所述，直线 l 的解析式为 y= x+3 或 y= x﹣3。 例 2：（2012 广东梅州 11 分）如图，矩形 OABC 中，A（6，0）、C（0，2 ）、D（0，3 ），射线 l 过点 D 且与 x 轴平行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°． （1）①点 B 的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标为　 　 ；（直接写出答案） 9 4 − 27 4 2 25 3 4− = 4 5 3 5 4 12 5 5 = 3 9 5 5 = 4 5 4 5 12 5 4 5 12 5 4 12k+b=5 5 4k+b=0   3k= 4 b=3  −  3 4 − 3 4 − 3 4 − 3 4 − - 15 - （2）设 OA 的中心为 N，PQ 与线段 AC 相交于点 M，是否存在点 P，使△AMN 为等腰三角 形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标为 m；若不存在，请说明理由． （3）设点 P 的横坐标为 x，△OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S，试求 S 与 x 的函 数关系式和相应的自变量 x 的取值范围． 【答案】解：（1）①（6，2 ）。 ②30。③（3，3 ）。 （2）存在。m=0 或 m=3﹣ 或 m=2。 （3）当 0≤x≤3 时， 如图 1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线 l∥BC∥OA， 可得 ，∴EF= （3+x）， 此时重叠部分是梯形，其面积为： 当 3＜x≤5 时，如图 2， 当 5＜x≤9 时，如图 3， 当 x＞9 时，如图 4， 。 综上所述，S 与 x 的函数关系式为： 3 3 3 EF PE DC 3 1= =OQ PO DO 33 3 = = 1 3 EFQO 1 4 3 4 3S S EF OQ OC 3 x x 4 32 3 3 = = + ⋅ = + +梯形 （ ） （ ）= ( ) HAQEFQO EFQO 2 2 1S S S S AH AQ2 4 3 3 3 13 3 3x 4 3 x 3 x x3 2 2 3 2 ∆= − = − ⋅ ⋅ = + − − − + − = 梯形 梯形 。 1 2S BE OA OC 3 12 x2 3 2 3= x 12 33 = + ⋅ = − − + （ ） （ ） 。 1 1 18 3 54 3S OA AH 6 =2 2 x x = ⋅ = ⋅ ⋅ - 16 - 。 【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判 定和性质，解直角三角形。 【分析】（1）①由四边形 OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点 B 的坐标： ∵四边形 OABC 是矩形，∴AB=OC，OA=BC， ∵A（6，0）、C（0，2 ），∴点 B 的坐标为：（6，2 ）。 ②由正切函数，即可求得∠CAO 的度数： ∵ ，∴∠CAO=30°。 ③由三角函数的性质，即可求得点 P 的坐标；如图：当点 Q 与点 A 重合时， 过点 P 作 PE⊥OA 于 E， ∵∠PQO=60°，D（0，3 ），∴PE=3 。 ∴ 。 ∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点 P 的坐标为（3，3 ）。 （2）分别从 MN=AN，AM=AN 与 AM=MN 去分析求解即可求得答案： 情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°， ∴∠MNO=60°。 ∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点 N 与 Q 重合。 ∴点 P 与 D 重合。∴此时 m=0。 情况②，如图 AM=AN，作 MJ⊥x 轴、PI⊥x 轴。 MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600 又 ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 x 4 3 0 x 33 3 13 3 3x x 3 x 52 3 2S 2 3 x 12 3 5 x 93 54 3 x 9x < < >  + ≤ ≤   − + − ≤=  − + ≤    3 3 OC 2 3 3tan CAO = =OA 6 3 ∠ = 3 3 0 PEAE 3 tan60 = = 3 3OA IQ OI sin60 3 m2 = − − ⋅ ° = −（ ） （ ） 1 1 3MJ AM= AN=2 2 2 = - 17 - ∴ ，解得：m=3﹣ 。 情况③AM=NM，此时 M 的横坐标是 4.5， 过点 P 作 PK⊥OA 于 K，过点 M 作 MG⊥OA 于 G， ∴MG= 。 ∴ 。 ∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。 综上所述，点 P 的横坐标为 m=0 或 m=3﹣ 或 m=2。 （3）分别从当 0≤x≤3 时，当 3＜x≤5 时，当 5＜x≤9 时，当 x＞9 时去分析求解即可 求得答案。 例 3：（2012 广东汕头 12 分）如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC、AC． （1）求 AB 和 OC 的长； （2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合），过点 E 作直线 l 平 行 BC，交 AC 于点 D．设 AE 的长为 m，△ADE 的面积为 s，求 s 关于 m 的函数关系式，并 写出自变量 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接 CE，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积（结果保留 π）． 【答案】解：（1）在 中， 令 x=0，得 y=－9，∴C（0，﹣9）； 3 33 m2 2 −（ ）= 3 3 2 0 0 PK 3 3 MG 1QK 3 GQ 2tan60 3 tan60 = = = = =， 1 2 3 21 3y= x x 92 2 − − 21 3y= x x 92 2 − − - 18 - 令 y=0，即 ，解得：x1=﹣3，x2=6， ∴A（﹣3，0）、B（6，0）。 ∴AB=9，OC=9。 （2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴ ， 即： 。 ∴s= m2（0＜m＜9）。 （3）∵S△AEC= AE•OC= m，S△AED=s= m2， ∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED =﹣ m2+ m=﹣ （m﹣ ）2+ 。 ∴△CDE 的最大面积为 ， 此时，AE=m= ，BE=AB﹣AE= 。 又 ， 过 E 作 EF⊥BC 于 F，则 Rt△BEF∽Rt△BCO，得： ， 即： 。 ∴ 。 ∴以 E 点为圆心，与 BC 相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2= 。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次 函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。 【分析】（1）已知抛物线的解析式，当 x=0，可确定 C 点坐标；当 y=0 时，可确定 A、B 点的坐标，从而确定 AB、OC 的长。 （2）直线 l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到 关于 s、m 的函数关系式；根据题目条件：点 E 与点 A、B 不重合，可确定 m 的取值范围。 21 3x x 9=02 2 − − 2 AED ABC S AE S AB ∆ ∆  =    2s m 1 99 92  =   ⋅ ⋅ 1 2 1 2 9 2 1 2 1 2 9 2 1 2 9 2 81 8 81 8 9 2 9 2 2 2BC 6 +9 =3 13= EF BE OC BC = 9 EF 2 9 3 13 = 27EF 1326 = 729 52 π - 19 - （3）①首先用 m 列出△AEC 的面积表达式，△AEC、△AED 的面积差即为△CDE 的面 积，由此可得关于 S△CDE 关于 m 的函数关系式，根据函数的性质可得到 S△CDE 的最大面积以 及此时 m 的值。 ②过 E 做 BC 的垂线 EF，这个垂线段的长即为与 BC 相切的⊙E 的半径，可根据 相似三角形△BEF、△BCO 得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。 例 4：（2012 贵州铜仁 14 分）如图，已知：直线 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B， 抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、C（1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点 D 的坐标为（－1，0），在直线 上有一点 P，使 ΔABO 与 ΔADP 相似，求出点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使 ΔADE 的面积等于 四边形 APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）， ∵抛物线经过 A、B、C 三点， ∴把 A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入 y=ax2+bx+c 得方程 组 ，解得： 。 ∴抛物线的解析式为 。 （2）由题意可得：△ABO 为等腰三角形，如图 1 所示， y x 3= − + y x 3= − + 9a 3b c 0 c 3 a b c 0 + + =  =  + + = a 1 b 4 c 3 =  = −  = 2 4 3y x x= - + - 20 - 若△ABO∽△AP1D，连接 DP1，则 ， ∴DP1=AD=4。∴P1 。 若△ABO∽△ADP2 ，过点 P2 作 P2 M⊥x 轴于 M，连接 DP2， ∵△ABO 为等腰三角形, ∴△ADP2 是等腰三角形。 由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点 M 与点 C 重合。∴P2（1，2）。 （3）不存在。理由如下： 如图 2 设点 E ，则 ①当 P1(－1，4)时， S 四边形 AP1CE=S 三角形 ACP1+S 三角形 ACE ∴ 。 ∴ 。 ∵点 E 在 x 轴下方 ∴ 。代入得： , 即 ∵△=(－4)2－4×7=＋12<0，∴此方程无解。 ∴当 P1(－1，4)时，在 x 轴下方的抛物线上，不存在点 E，使 ΔADE 的面积等 于四边形 APCE 的面积。 ②当 P2（1，2）时， ∴ 。∴ 。 ∵点 E 在 x 轴下方，∴ 。代入得： ，即 ∵△=(－4)2－4×5=－4<0，∴此方程无解。 ∴当 P2（1，2）时，在 x 轴下方的抛物线上，不存在点 E，使 ΔADE 的面积 等于四边形 APCE 1 AO OB AD OP = ( 1,4)- ( , )x y ADE 1S AD | y | 2| y |2∆ = ⋅ ⋅ = 1AP1CE ACP ACES S S 1 12 4 2 | y | 4 y2 2 ∆ ∆= + = × × + × ⋅ = + 四 形边 2 4y y= + 4y = 4y =- 2 4 3 4x x- + =- 2x 4x 7 0− + = 22ACP ACE四边形AP2CES S S yD D= + = + 2 2y y= + 2y = 2y =- 2 4 3 2x x- + =- 2x 4x 5 0− + = - 21 - 的面积。 综上所述，在 x 轴下方的抛物线上不存在这样的点 E，使 ΔADE 的面积等于 四边形 APCE 的面积。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质，相似 三角形的性质，一元二次方程根的判别式。 【分析】（1）求出 A（3，0），B（0，3），由 A、B、C 三点坐标用待定系数法即可求得 抛物线的解析式。 （2）根据等腰三角形的判定和性质和相似三角形的性质即可求出点 P 的坐标。 （3）由（2）的两解分别作出判断。 例 5：（2012 湖南张家界 12 分）如图，抛物线 与 x 轴交于 C．A 两点， 与 y 轴交于点 B，点 O 关于直线 AB 的对称点为 D，E 为线段 AB 的中点． （1）分别求出点 A．点 B 的坐标； （2）求直线 AB 的解析式； （3）若反比例函数 的图象过点 D，求 k 值； （4）两动点 P、Q 同时从点 A 出发，分别沿 AB．AO 方向向 B．O 移动，点 P 每秒移动 1 个单位，点 Q 每秒移动 个单位，设△POQ 的面积为 S，移动时间为 t，问：S 是否存在最 大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的 t 值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）令 y=0，即 ，解得 。 ∴C（ ，0）、A（ ，0）。 2 2 33y x x 2= − + + ky x = 1 2 2 2x 3x 2 03 − + + = 1 2 3x = x =2 33 − ， 3 3 − 2 3 - 22 - 令 x=0，得 y=2。∴B（0，2）。 ∴A（ ，0）、B（0，2）。 （2）∵令直线 AB 经过点 B（0，2），∴设 AB 的解析式为 y=k1x+2。 又∵点 A（ ，0）在直线上，∴0=k1 +2，解得 k1= 。 ∴直线 AB 的解析式为 y= x+2。 （3）由 A（ ，0）、B（0，2）得：OA= ，OB=2，AB=4，∠BAO=30° ，∠DOA=60°。 ∵OD 与 O 点关于 AB 对称，∴OD=OA= 。 ∴D 点的横坐标为 OD·cos600= ，纵坐标为 OD·sin600=3。 ∴D（ ，3）。 ∵ 过点 D，∴ ，即 k=3 。 （4）存在。 ∵AP=t，AQ= t，P 到 x 轴的距离： AP•sin30°= t，OQ=OA﹣AQ= ﹣ t， ∴ 。 依题意， ， 得 0＜t≤4。 ∴当 t= 时，S 有最大值为 。 2 3 2 3 2 3 3 3 − 3 3 − 2 3 2 3 2 3 3 3 ky x = k3 3 = 3 1 2 1 2 2 3 1 2 2 2 OPQ 1 1 1 1 3 1 3S 2 3 t t t t t 2 32 2 2 8 2 8 2∆ = ⋅ − ⋅ = − + = − − +（ ） （ ） t 4 1 t 2 32 t 0> ≤  ≤   2 3 3 2 - 23 - 例 6：（2012 四川内江 12 分）如图，已知点 A（－1，0），B（4，0），点 C 在 y 轴的正 半轴上，且∠ACB=900，抛物线 经过 A、B、C 三点，其顶点为 M. (1)求抛物线 的解析式； (2)试判断直线 CM 与以 AB 为直径的圆的位置关系，并加以证明； (3)在抛物线上是否存在点 N，使得 ?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存 在，请说明理由。 【答案】解：（1）Rt△ACB 中，OC⊥AB，AO=1，BO=4， ∴△ACO∽△ABO 。∴ ，∴OC2=OA•OB=4。 ∴OC=2。∴点 C（0，2）。 ∵抛物线 经过 A、B 两点， 2y ax bx c= + + 2y ax bx c= + + BCNS 4∆ = CO AO OB CO = 2y ax bx c= + + - 24 - ∴设抛物线的解析式为： ，将 C 点代入上式，得： ，解得 。 ∴抛物线的解析式： ，即 。 （2）直线 CM 与以 AB 为直径的圆相切。理由如下： 如图，设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 D，连接 CD。 由于 A、B 关于抛物线的对称轴对称，则点 D 为 Rt△ABC 斜边 AB 的中 点，CD= AB。 由（1）知： ， 则点 M（ ），ME= 。 而 CE=OD= ，OC=2，∴ME：CE=OD：OC。 又∵∠MEC=∠COD=90°，∴△COD∽△CEM。∴∠CME=∠CDO。 ∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°。∠DCM=90°。 ∵CD 是⊙D 的半径，∴直线 CM 与以 AB 为直径的圆相切。 （3）由 B（4，0）、C（0，2）得：BC= ， 则： 。 过点 B 作 BF⊥BC，且使 BF=h= ，过 F 作直线 l∥BC 交 x 轴于 G。 Rt△BFG 中，sin∠BGF=sin∠CBO= ， BG=BF÷sin∠BGF= 。 ∴G（0，0）或（8，0）。 易知直线 BC：y= x+2，则可设直线 l：y= x+b， 将 G 点坐标代入，得：b=0 或 b=4，则： 直线 l：y= x 或 y= x+4； 联立抛物线的解析式，得： ( )( )y a x+1 x 4= − ( )( )2 a 0+1 0 4= − 1a= 2 − ( )( )1y x+1 x 42 = − − 21 3y x + x+22 2 = − 1 2 2 21 3 1 3 25y x + x+2= x +2 2 2 2 8  = − − −   3 25 2 8 ， 25 928 8 − = 3 2 2 5 BCN 1 1 4 5S BC h 2 5 h 4 h2 2 5∆ = ⋅ = × × = =， 4 5h 5 = 5 5 4 5 5 =45 5 ÷ 1 2 − 1 2 − 1 2 − 1 2 − - 25 - ，或 。 解得 或 或 。 ∴抛物线上存在点 N，使得 ，这样的点有 3 个： 。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定 和性质，二次函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质。 【分析】（1）Rt△ACB 中，OC⊥AB，利用相似三角形能求出 OC 的长，即可确定 C 点坐标， 再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。 （2）证明 CM 垂直于过点 C 的半径即可。 （3）先求出线段 BC 的长，根据△BCN 的面积，可求出 BC 边上的高，那么做直线 l， 且直线 l 与直线 BC 的长度正好等于 BC 边上的高，那么直线 l 与抛物线的交点即为符合条 件的 N 点。 例 7：（2012 山东菏泽 10 分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（ 0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△A′B′O． （1）一抛物线经过点 A′、B′、B，求该抛物线的解析式； （2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 P，使四边形 PB′A′B 的面积是 △A′B′O 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，试指出四边形 PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形 PB′A′B 的两条性质． 【答案】解：(1) ∵△A′B′O 是由△ABO 绕原点 O 逆时针旋转 900 得到的， 2 1y x 2 1 3y x x 22 2  = −  = − + + 2 1y x 4 2 1 3y x x 22 2  = − +  = − + + x 2+2 2 y 1 2  = = − − x 2 2 2 y 1+ 2  = − = − x 2 y 3 =  = BCNS 4∆ = 1 2 3N 2 2 2 1 2 N 2 2 2 1 2 N 2 3+ − − − − +（ ， ）、 （ ， ）、 （ ，） - 26 - 且 A（0，1），B（2，0），O（0，0） ∴ 。 设抛物线的解析式为 ， ∵抛物线经过点 A′、B′、B， ∴ ，解之得 。 ∴满足条件的抛物线的解析式为 。 （2）∵P 为第一象限内抛物线上的一动点， 设 ，则 ，P 点坐标满足 。 连接 PB，PO，PB′。 ∴ 。 假设四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍， 则 ，即 ，解之得 ， 此时 。 ∴P（1，2）。 ∴存在点 P（1，2），使四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍。 （3）四边形 PB′A′B 为等腰梯形。它的性质有： ①等腰梯形同一底上的两个内角相等； ②等腰梯形对角线相等； ③等腰梯形上底与下底平行； ④等腰梯形两腰相等。 答案不唯一，上面性质中的任意 2 个均可。 【考点】二次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰 梯形的判定和性质。 A ( 1, 0), B (0, 2)′ − ′ 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 0 2 0 4 2 a b c c a b c = − +  =  = + + 1 1 2 a b c = −  =  = 2 2y x x= − + + P( , )x y 0, 0x y> > 2 2y x x= − + + B OA B O OB PB A B S S S S′ ′ ′′ ′ ∆ ∆ ∆= + +P P四边形 1 1 11 2+ 2 + 22 2 2x y= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2( 2) 1 2 3x x x x x= + − + + + = − + + 2 2 3 4x x− + + = 2 2 1 0x x− + = 1x = 21 1 2 2y = − + + = - 27 - 【分析】（1）利用旋转的性质得出 A′（－1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次 函数解析式即可。 （2）利用 S 四边形 PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍，得出一元二次方程，得出 P 点坐标即可。 （3）利用 P 点坐标以及 B 点坐标即可得出四边形 PB′A′B 为等腰梯形，利用等腰梯 形性质得出答案即可。 例 8：（2012 广西柳州 12 分）如图，在△ABC 中，AB=2，AC=BC= ． （1）以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系如图，请你分别 写出 A、B、C 三点的坐标； （2）求过 A、B、C 三点且以 C 为顶点的抛物线的解析式； （3）若 D 为抛物线上的一动点，当 D 点坐标为何值时，S△ABD= S△ABC； （4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与 x 轴交于点 A′B′，与 y 轴交于点 C′，当平移多 少个单位时， 点 C′同时在以 A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）． 附：阅读材料 一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元 法转化为一元 二次方程求解．如解方程：y4－4y2＋3=0． 解：令 y2=x（x≥0），则原方程变为 x2－4x＋3=0，解得 x1=1，x2=3． 当 x1=1 时，即 y2=1，∴y1=1，y2=－1． 当 x2=3，即 y2=3，∴y3= 3 ，y4=－ 3 ． 5 1 2 - 28 - 所以，原方程的解是 y1=1，y2=－1，y3= 3 ，y4=－ 3 ． 再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解． 【答案】解：（1）∵AB 的垂直平分线为 y 轴，∴OA=OB= AB= ×2=1。 ∴A 的坐标是（－1，0），B 的坐标是（1，0）。 在 Rt△OBC 中， ，∴C 的坐标为 （0，2）。 （2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b， 根据题意得： ，解得： 。 ∴抛物线的解析式是： 。 （3）∵S△ABC= AB•OC= ×2×2=2，S△ABD= S△ABC，∴S△ABD= S△ABC=1。 设 D 的纵坐标是 m，则 AB•|m|=1，∴m=±1。 当 m=1 时，－2x2+2=1，解得：x=± 。 当 m=－1 时，－2x2+2=－1，解得：x=± 。 ∴D 的坐标是：（ ，1）或（－ ，1）或（ ，－1），或（－ ， －1）。 （4）设抛物线向右平移 c 个单位长度，则 0＜c≤1，OA′=1－c，OB′=1＋c。 平移以后的抛物线的解析式是： 。 令 x=0，解得 y=－2c2+2，即 OC′= ＋2c2+2。 当点 C′同时在以 A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA′•OB′， 则（－2c2＋2）2=（1－c）（1＋c），即（4c2－3）（c2－1）=0。 解得：c= ， （舍去），1，－1（舍去）。 2 2x 2 x 2− = − 2y x 2= − 1 2 1 2 ( )OC BC OB 5 1 2= − = − =22 2 2 a b 0 b 2 + =  = a 2 b 2 = −  = 2y 2x 2= − + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 6 2 2 2 2 2 6 2 6 2 ( )2y 2 x c 2= − − + 3 2 3 2 − - 29 - 故平移 或 1 个单位长度。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的 性质，勾股定理，平移的性质，相似三角形的判定和性质，解多元方程。 【分析】（1）根据 y 轴是 AB 的垂直平分线，则可以求得 OA，OB 的长度，在直角△OAC 中，利用勾股定理求得 OC 的长度，则 A、B、C 的坐标即可求解。 （2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。 （3）首先求得△ABC 的面积，根据 S△ABD= S△ABC，以及三角形的面积公式，即 可求得 D 的纵坐标，把 D 的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标。 （4）设抛物线向右平移 c 个单位长度，则 0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析 式，当点 C′同时在以 A′B′为直径的圆上时由相似三角形的性质有：OC′2=OA•OB，据此 即可得到一个关于 c 的方程求得 c 的值。 例 9： （2012 广西桂林 12 分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D 为 BC 的中点． (1)若 E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 AE＝CF，求证：△AED≌△CFD； (2)当点 F、E 分别从 C、A 两点同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 CA、AB 运动， 到点 A、B 时停止；设△DEF 的面积为 y，F 点运动的时间为 x，求 y 与 x 的函数关 系式； (3)在(2)的条件下，点 F、E 分别沿 CA、AB 的延长线继续运动，求此时 y 与 x 的函数关 系式． 【答案】解：（1）证明：∵∠BAC ＝90°， AB＝AC＝6，D 为 BC 中点， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠B＝∠C＝45° 。∴AD＝BD＝DC= 。 ∵AE＝CF，∴△AED≌△CFD（SAS）。 （2）依题意有，FC＝AE＝x，AF=6－x 3 2 1 2 3 2 - 30 - ∵△AED≌△CFD， ∴ ∴ 。 ∴ 。 （3）依题意有：FC＝AE＝x，AF＝BE＝x－6，AD＝DB，∠ABD＝∠DAC＝ 45°， ∴∠DAF＝∠DBE＝135° 。∴△ADF≌△BDE（SAS）。∴ 。 ∴ 。 ∴ 。 【考点】动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质， 等积变换。 【分析】（1）由已知推出△ABC 是等腰直角三角形后易用 SAS 证得结果。 （2）由△AED≌△CFD，根据等积变换由 可得结果。 （3）由△AED≌△CFD，根据等积变换由 可得结果。 例 10：（2012 广西玉林、防城港 10 分）如图，在平面直角坐标系 O 中，梯形 AOBC 的 边 OB 在 轴的正半轴上，AC//OB,BC⊥OB,过点 A 的双曲线 的一支在第一象限交梯形 对角线 OC 于点 D,交边 BC 于点 E. （1）填空：双曲线的另一支在第 象限， 的取值范围是 ； （2）若点 C 的坐标为（2,2），当点 E 在什么位置时，阴影部分面积 S 最小？ （3）若 ，S△OAC=2 ，求双曲线的解析式. 【答案】解：（1）三，k＞0， AED ADF CFD ADF ADCAEDF 1S S S S S S 3 2 3 2 92∆ ∆ ∆ ∆ ∆= + = + = = ⋅ ⋅ =四 形边 ( ) 2 DEF AEFAEDF 1 1S S S 9 x 6 x x 3x+92 2∆ ∆= − = − − = −四 形边 21y x 3x+92 = − ADF BDES S∆ ∆= ( ) 2 DEF EAF ADB 1 1S S +S x x 6 +9 x 3x+92 2∆ ∆ ∆= = − = − 21y x 3x+92 = − DEF AEFAEDFS S S∆ ∆= −四 形边 DEF EAF ADBS S +S∆ ∆ ∆= x y x ky x = k OD 1 OC 2 = - 31 - （2）∵梯形 AOBC 的边 OB 在 x 轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB， 而点 C 的坐标标为（2，2）， ∴A 点的纵坐标为 2，E 点的横坐标为 2，B 点坐标为（2，0）， 把 y=2 代入 得 ；把 x=2 代入 得 。 ∴A 点的坐标为（ ，2），E 点的坐标为（2， ）。 ∴ 。 当 k=2 时，S 阴影部分最小，最小值为 1.5。 此时 E 点的坐标为（2，1），即 E 点为 BC 的中点。 ∴当点 E 在 BC 的中点时，阴影部分的面积 S 最小。 （3）设 D 点坐标为（a， ）， ∵ ，∴OD=DC ，即 D 点为 OC 的中点。∴C 点坐标为（2a ， ）。 ∴A 点的纵坐标为 。 把 y= 代入 得 x= ，∴A 点坐标为（ ， ）， 又∵S△OAC=2，∴ ×（2a－ ）× =2，∴k= 。 ∴双曲线的解析式为 。 【考点】反比例函数综合题，反比例函数图象与性质，曲线上点的坐标与方程的关系，梯形 的性质，二次函数的最值。 【分析】（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线 的一支在第一象限，则 k＞ 0，得到另一支在第三象限。 （2）根据梯形的性质，AC∥x 轴，BC⊥x 轴，而点 C 的坐标为（2，2），则 A 点的纵 坐标为 2，E 点的横坐标为 2，B 点坐标为（2，0），再分别把 y=2 或 x=2 代入 可得到 A 点的坐标和 E 点的坐标，然后计算出阴影部分面积 S 关于 k 的二次函数关系式，应用二次函 数的最值求法即可求得阴影部分面积 S 最小时点 E 的位置。 ky x = kx 2 = ky x = ky 2 = k 2 k 2 2 2 ACE OBE 1 k k 1 k 1 1 1S S S 2 2 2 k k 2 k 2 1.52 2 2 2 2 8 2 8∆ ∆= + = ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⋅ = − + = − +影部分 （ ）（ ） （ ）阴 k a OD 1 OC 2 = 2k a 2k a 2k a ky x = a 2 a 2 2k a 1 2 a 2 2k a 4 3 4y 3x = ky x = ky x = - 32 - （3）设 D 点坐标为（a， ），由 得 OD=DC，即 D 点为 OC 的中点，从而 可得 C 点坐标为（2a， ），得到 A 点的纵坐标为 ，代入 可确定 A 点坐标为 （ ， ），根据三角形面积公式由 S△OAC=2 列式求解即可求出 k 的值，从而得到双曲线 的解析式。 练习题： 1. （2012 内蒙古呼和浩特 12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线 相交于 点 A，B，且抛物线经过坐标原点，点 A 的坐标为（﹣2，2），点 B 在第四象限内，过点 B 作直线 BC∥x 轴，点 C 为直线 BC 与抛物线的另一交点，已知直线 BC 与 x 轴之间的距离是 点 B 到 y 轴的距离的 4 倍，记抛物线顶点为 E． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 与△ABE 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的 8 倍？若存在，请求 出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由． 2. （2012 广西柳州 12 分）如图，在△ABC 中，AB=2，AC=BC= ． （1）以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系如图，请你分别 写出 A、B、C 三点的坐标； （2）求过 A、B、C 三点且以 C 为顶点的抛物线的解析式； （3）若 D 为抛物线上的一动点，当 D 点坐标为何值时，S△ABD= S△ABC； （4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与 x 轴交于点 A′B′，与 y 轴交于点 C′，当平移多 少个单位时，点 C′同时在以 A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读 材料）． k a OD 1 OC 2 = 2k a 2k a ky x = a 2 2k a ky= x 5 1 2 - 33 - 附：阅读材料 一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元 法转化为一元 二次方程求解．如解方程：y4－4y2＋3=0． 解：令 y2=x（x≥0），则原方程变为 x2－4x＋3=0，解得 x1=1，x2=3． 当 x1=1 时，即 y2=1，∴y1=1，y2=－1． 当 x2=3，即 y2=3，∴y3= 3 ，y4=－ 3 ． 所以，原方程的解是 y1=1，y2=－1，y3= 3 ，y4=－ 3 ． 再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解． 3. （2012 安徽省 4 分）如图，A 点在半径为 2 的⊙O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线 ， 与⊙O 过 A 点的切线交于点 B，且∠APB=60°，设 OP= x，则△PAB 的面积 y 关于 x 的函数图 像大致是【 】 4. （2012 浙江温州 4 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，M 是 AB 的中点，动点 P 从点 A 出 发，沿 AC 方向匀速运动到终点 C,动点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动到终点 B.已知 P， Q 两点同时出发，并同时到达终点.连结 MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ 的面积 大小变化情况是【 】 2 2x 2 x 2− = − 2y x 2= −  - 34 - A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小 5. （2012 四川巴中 3 分）如图，点 P 是等边△ABC 的边上的一个作匀速运动的动点，其由 点 A 开始沿 AB 边运动到 B，再沿 BC 边运动到 C 为止，设运动时间为 t，△ACP 的面积 为 S，则 S 与 t 的大致图象是【 】 6. （2012 江苏徐州 8 分）如图 1，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm。 动点 E、F 分别从点 D、B 出发，点 E 以 1 cm/s 的速度沿边 DA 向点 A 移动，点 F 以 1 cm/s 的速度沿边 BC 向点 C 移动，点 F 移动到点 C 时，两点同时停止移动。以 EF 为边作正方形 EFGH，点 F 出发 xs 时，正方形 EFGH 的面积为 ycm2。已知 y 与 x 的函数图象是抛物线的 一部分，如图 2 所示。请根据图中信息，解答下列问题： （1）自变量 x 的取值范围是 ▲ ； （2）d= ▲ ，m= ▲ ，n= ▲ ； （3）F 出发多少秒时，正方形 EFGH 的面积为 16cm2？ 7. （ 2012 福 建 漳 州 14 分 ） 如 图 ， 在 OABC 中 ， 点 A 在 x 轴 上 ， ∠AOC=60o ， OC=4cm．OA=8cm．动点 P 从点 O 出发，以 1cm／s 的速度沿线段 OA→AB 运动；动  - 35 - 点 Q 同时从点 O 出发，以 acm／s 的速度沿线段 OC→CB 运动，其中一点先到达终点 B 时，另一点也随之停止运动． 设运动时间为 t 秒． (1)填空：点 C 的坐标是(______，______)，对角线 OB 的长度是_______cm； (2)当 a=1 时，设△OPQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出当 t 为何值时， S 的值最大? (3)当点 P 在 OA 边上，点 Q 在 CB 边上时，线段 PQ 与对角线 OB 交于点 M.若以 O、 M、P 为顶点的三角形与△OAB 相似，求 a 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围． 8. （2012 湖北咸宁 12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 C 的坐标为（0，4），动点 A 以每秒 1 个单位长的速度，从点 O 出发沿 x 轴的正方向运动，M 是线段 AC 的中点．将线段 AM 以点 A 为中心，沿顺时针方向旋转 ，得到线段 AB．过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 E，过点 C 作 y 轴的垂线，交直线 BE 于点 D．运动时间为 t 秒． （1）当点 B 与点 D 重合时，求 t 的值； （2）设△BCD 的面积为 S，当 t 为何值时， ? （3）连接 MB，当 MB∥OA 时，如果抛物线 的顶点在△ABM 内部（不包 括边），求 a 的取值范围． 9. （2012 湖北十堰 12 分）抛物线 y=－x2＋bx＋c 经过点 A、B、C，已知 A（－1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式； °90 S 25 4 = 2y ax 10ax= − - 36 - （2）如图 1，P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴平行线，交抛物线于点 D，当△BDC 的面 积最大时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，抛物线顶点为 E，EF⊥x 轴于 F 点，M（m，0）是 x 轴上一动点，N 是线段 EF 上一点，若∠MNC=90°，请指出实数 m 的变化范围，并说明理由． 10. （2012 湖北孝感 12 分）)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于点 A(－1，0)、B(3， 0)，与 y 轴交于点 C(0，3)． (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； (2)若 P 为线段 BD 上的一个动点，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，求四边形 PMAC 的面积 的最大值和此时点 P 的坐标； (3)若点 P 是抛物线第一象限上的一个动点，过点 P 作 PQ∥AC 交 x 轴于点 Q．当点 P 的 坐 标 为 时 ， 四 边 形 PQAC 是 平 行 四 边 形 ； 当 点 P 的 坐 标 为 时，四边形 PQAC 是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)． 三、线动形成的动态面积问题： 典型例题： 例 1：(2012 陕西省 3 分）在平面内，将长度为 4 的线段 AB 绕它的中点 M，按逆时针方向 - 37 - 旋转 30°，则线段 AB 扫过的面积为 ▲ ． 【答案】 ；2.47。 【考点】扇形面积的计算，计算器的应用。 【分析】画出示意图，根据扇形的面积公式求解即可： 由题意可得，AM=MB= AB=2。 ∵线段 AB 扫过的面积为扇形 MCB 和扇形 MAB 的面积和， ∴线段 AB 扫过的面积= 。 例 2：（2012 湖北十堰 3 分）如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到；②点 O 与 O′的距离为 4；③∠AOB=150°；④ ；⑤ ．其中正确的结论是【 】 A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 【答案】A。 【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆 定理。 【分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。 ∵ 线 段 BO 以 点 B 为 旋 转 中 心 逆 时 针 旋 转 60° 得 到 线 段 BO′ ， ∴BO=BO′ ， ∠O′AO=600。 ∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA。∴△BO′A≌△BOC。 ∴△BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到。故结论①正确。 连接 OO′， ∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。∴OO′=OB=4。故结论②正确。 ∵在△AOO′中，三边长为 O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数， 2 3 π 1 2 230 2 22 360 3 π π⋅ ⋅⋅ = AOBOS =6+3 3四 形边 AOC AOB 9 3S S 6+ 4 + =   - 38 - ∴△AOO′是直角三角形。 ∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°。故结论③正确。 。故结论④错误。 如图所示，将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 60°，使得 AB 与 AC 重合，点 O 旋转至 O″点． 易知△AOO″是边长为 3 的等边三角形，△COO″是边长为 3、4、5 的 直角三角形。 则 。 故结论⑤正确。 综上所述，正确的结论为：①②③⑤。故选 A。 例 3.（2012 四川广安 3 分）如图，把抛物线 y= x2 平移得到抛物线 m，抛物线 m 经过点 A （﹣6，0）和原点 O（0，0），它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y= x2 交于点 Q，则 图中阴影部分的面积为　 ▲ 　． 【答案】 。 【考点】二次函数图象与平移变换，平移的性质，二次函数的性质。 【分析】根据点 O 与点 A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出 点 P 的坐标，过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M，根据抛物线的对称性可知阴影部 分的面积等于四边形 NPMO 的面积，然后求解即可： 过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M，设 PQ 交 x 轴于点 N， ∵抛物线平移后经过原点 O 和点 A（﹣6，0）， ∴平移后的抛物线对称轴为 x=﹣3。 ∴平移后的二次函数解析式为：y= （x+3）2+h， AOO OBOAOBO 1 1S S S 3 4+ 4 2 3 6+4 32 2∆ ′ ∆ ′′ = + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =四 形边 AOC AOB AOCO COO AOO 1 1 3 3 9 3S S S S S 3 4+ 3 =6+2 2 2 4∆ ∆ ″ ∆ ″ ∆ ″+ = = + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 1 2 27 2 1 2 - 39 - 将（﹣6，0）代入得出：0= （﹣6+3）2+h，解得：h=﹣ 。∴点 P 的坐标是（3，﹣ ）。 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形 NPMO 的面积， ∴S= 。 例 4：（2012 广东深圳 9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 ：y=－2x＋b (b≥0)的位置 随 b 的不同取值而变化． (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4，2)，半径为 2． 当 b=　　　　时，直线 ：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心 M： 当 b=　　　　时，直线 ：y=－2x＋b(b≥0)与 OM 相切： (2)若把⊙M 换成矩形 ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2). 设直线 扫过矩形 ABCD 的面积为 S，当 b 由小到大变化时，请求出 S 与 b 的函数关系 式， 【答案】解：（1）10； 。 （2）由 A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得 D （2，2）。 如图，当直线 经过 A(2，0)时，b=4；当直线 经过 D（2，2） 时，b=6；当直线 经过 B（6，0）时，b=12；当直线 经过 C(6，2)时，b=14。 当 0≤b≤4 时，直线 扫过矩形 ABCD 的面积 S 为 0。 当 4＜b≤6 时，直线 扫过矩形 ABCD 的面积 S 为△EFA 的面积（如图 1）， 1 2 9 2 9 2 9 273 =2 2 × − l l l l 10 2 5± l l l l l l - 40 - 在 y=－2x＋b 中，令 x=2，得 y=－4＋b，则 E（2，－4＋ b）， 令 y=0，即－2x＋b=0，解得 x= ，则 F（ ，0）。 ∴AF= ，AE=－4＋b。 ∴S= 。 当 6 ＜b≤12 时，直线 扫过矩形 ABCD 的面积 S 为直角梯形 DHGA 的面积（如图 2）， 在 y=－2x＋b 中，令 y=0，得 x= ，则 G（ ，0）， 令 y=2，即－2x＋b=2，解得 x= ，则 H（ ，2）。 ∴DH= ，AG= 。AD=2 ∴S= 。 当 12＜b≤14 时，直线 扫过矩形 ABCD 的面积 S 为五边 形 DMNBA 的面积=矩形 ABCD 的面积－△CMN 的面积（如图 2） 在 y= －2x ＋b 中，令 y=2 ，即－2x ＋b=2 ，解得 x= ，则 M（ ，0）， 令 x=6，得 y=－12＋b，，则 N（6，－12＋b）。 ∴MC= ，NC=14－b。 ∴S= 。 当 b＞14 时，直线 扫过矩形 ABCD 的面积 S 为矩形 ABCD 的面积，面积 为民 8。 综上所述。S 与 b 的函数关系式为： 1 b2 1 b2 1 b 22 − ( ) 21 1 1 1AF AE b 2 4 b b 2b+42 2 2 4  ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ =   － ＋ － l 1 b2 1 b2 1 b 12 − 1 b 12 − 1 b 32 − 1 b 22 − ( ) ( )1 1DH+AG AD b 5 2 b 52 2 ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = − l 1 b 12 − 1 b 12 − 17 b2 − ( ) 21 1 1 14 2 MC NC 8 7 b 14 b b +7b 412 2 2 4  ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − −   － l - 41 - 。 【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程 的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。 【分析】（1）①∵直线 y=－2x＋b (b≥0)经过圆心 M(4，2)， ∴2=－2×4＋b，解得 b=10。 ②如图，作点 M 垂直于直线 y=－2x＋b 于点 P，过点 P 作 PH∥x 轴，过点 M 作 MH⊥PH，二者交于点 H。设直线 y=－2x＋ b 与 x，y 轴分别交于点 A，B。 则由△OAB∽△HMP，得 。 ∴可设直线 MP 的解析式为 。 由 M(4，2)，得 ，解得 。∴直线 MP 的解析式为 。 联立 y=－2x＋b 和 ，解得 。 ∴P（ ）。 由 PM=2，勾股定理得， ，化简得 。 解得 。 （2）求出直线 经过点 A、B、C、D 四点时 b 的值，从而分 0≤b≤4，4＜b≤6，6＜ b≤12，12＜b≤14，b＞14 五种情况分别讨论即可。 例 5：（2012 广东珠海 9 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，AB=3 ，DC= ， 高 CE=2 ，对角线 AC、BD 交于 H，平行于线段 BD 的两条直线 MN、RQ 同时从点 A 出 发沿 AC 方向向点 C 匀速平移，分别交等腰梯形 ABCD 的边于 M、N 和 R、Q，分别交对角 线 AC 于 F、G；当直线 RQ 到达点 C 时，两直线同时停止移动．记等腰梯形 ABCD 被直线 MN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 b 4 1 b 2b+4 4 b 64 S b 5 6 b 1 1 b +7b 41 12 b 144 8 b 14 < < < >  ≤ ≤   ≤ = − ≤  − − ≤  － MH AO 1 PH OB 2 = = 1 1y x b2 = ＋ 1 12 4 b2 = ⋅ ＋ 1b 0= 1y x2 = 1y x2 = 2 1x= b, y b5 5 = 2 1b, b5 5 2 22 1b + b 45 5     =      -4 -2 24b 20b+80=0- b=10 2 5± l 2 2 2 - 42 - 扫过的图形面积为 S1、被直线 RQ 扫过的图形面积为 S2，若直线 MN 平移的速度为 1 单位/ 秒，直线 RQ 平移的速度为 2 单位/秒，设两直线移动的时间为 x 秒． （1）填空：∠AHB=　 　；AC=　 ； （2）若 S2=3S1，求 x； （3）设 S2=mS1，求 m 的变化范围． 【答案】解：（1）90°；4。 （2）直线移动有两种情况：0＜x＜ 及 ≤x≤2。 ①当 0＜x＜ 时，∵MN∥BD，∴△AMN∽△ARQ。 ∵直线 MN 平移的速度为 1 单位/秒，直线 RQ 平移的速度为 2 单位/秒， ∴△AMN 和△ARQ 的相似比为 1：2。 ∴ 。∴S2=4S1，与题设 S2=3S1 矛盾。 ∴当 0＜x＜ 时，不存在 x 使 S2=3S1。 ②当 ≤x≤2 时， ∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH。 ∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。 ∴CH=DH= AC=1，AH═BH=4﹣1=3。 ∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，∴S△BCD= ×4×1=2 ∵RQ∥BD，∴△CRQ∽△CDB。 ∴ 。 3 2 3 2 3 2 2 2 1 S 2 4S 1  = =   3 2 3 2 1 4 1 2 ( )2 2 CRQ 4 2xS 2 =8 2 x1∆ − = ⋅ −   - 43 - 又 ， ∵MN∥BD，∴△AMN∽△ADB。∴ ， ∴S1= x2，S2=8﹣8（2﹣x）2。 ∵S2=3S1，∴8﹣8（2﹣x）2=3· x2，解得：x1= （舍去），x2=2。 ∴x 的值为 2。 （3）由（2）得：当 0＜x＜ 时，m=4， 当 ≤x≤2 时，∵S2=mS1， ∴ 。 ∴m 是 的二次函数，当 ≤x≤2 时，即当 时，m 随 的增大而增 大， ∴当 x= 时，m 最大，最大值为 4；当 x=2 时，m 最小，最小值为 3。 ∴m 的变化范围为：3≤m≤4。 【考点】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。 【分析】（1）过点 C 作 CK∥BD 交 AB 的延长线于 K， ∵CD∥AB，∴四边形 DBKC 是平行四边形。 ∴BK=CD= ，CK=BD。 ∴AK=AB+BK= 。 ∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴BD=AC。 ∴AC=CK。∴AE=EK= AK=2 =CE。 ∵CE 是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。∴∠ACK=90°。 ∴∠AHB=∠ACK=90° ∴AC=AK•cos45°= 。 ABCD ABD 1 1 1 1S AB CD CE 3 2 2 2 2 8 S AB CE 3 2 2 2 62 2 2 2∆= + ⋅ = ⋅ + ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅ =梯形 （ ） （ ） ， 2 2 1 ABD S AF x S AH 9∆  = =   2 3 2 3 6 2 5 3< 3 2 3 2 ( )2 2 2 221 8 8 2 xS 36 48 1 2m= = + 12= 36 +42S x x 3xx3 − −  = − − − −   1 x 3 2 1 1 2 2 x 3 ≤ ≤ 1 x 3 2 2 3 2+ 2=4 2 1 2 2 24 2 42 × = - 44 - （2）直线移动有两种情况：0＜x＜ 及 ≤x≤2；然后分别从这两种情况分析求 解：当 0＜x＜ 时，易得 S2=4S1≠3S1；当 ≤x≤2 时，根据相似三角形的性质与直角三角形的面积 的求解方法，可求得△BCD 与△CRQ 的面积，继而可求得 S2 与 S1 的值，由 S2=3S1，即可求 得 x 的值； （3）由（2）可得当 0＜x＜ 时，m=4；当 ≤x≤2 时，可得 ，化为关于 的二次函数 ，利用二次函数的性质求得 m 的变化范围。 例 6：（2012 湖北咸宁 12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 C 的坐标为（0，4），动点 A 以每秒 1 个单位长的速度，从点 O 出发沿 x 轴的正方向运动，M 是线段 AC 的中点．将线 段 AM 以点 A 为中心，沿顺时针方向旋转 ，得到线段 AB．过点 B 作 x 轴的垂线，垂足 为 E，过点 C 作 y 轴的垂线，交直线 BE 于点 D．运动时间为 t 秒． （1）当点 B 与点 D 重合时，求 t 的值； （2）设△BCD 的面积为 S，当 t 为何值时， ? （3）连接 MB，当 MB∥OA 时，如果抛物线 的顶点在△ABM 内部（不包 括边），求 a 的取值范围． 【答案】解：（1）∵ ，∴ 。∴Rt△CAO∽Rt△ABE。 ∴ ，即 ，解得 。 （2）由 Rt△CAO∽Rt△ABE 可知： ， 。 当 0＜ ＜8 时， ，解得 。 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 ( )2 2 21 8 8 2 xSm= 2S x3 − −= 1 x 21 2m= 36 +4x 3  − −   °90 S 25 4 = 2y ax 10ax= − CAO BAE 90∠ + ∠ = ° CAO ABE∠ = ∠ CA AO AB BE = 2AB t AB 4 = t 8= 1BE t2 = AE 2= t 1 1 t 25S CD BD (2 t)(4 )2 2 2 4 = ⋅ = + − = 1 2t t 3= = - 45 - 当 ＞8 时， ， 解得 ， （为负数，舍去）。 当 或 时， 。 （3）过 M 作 MN⊥x 轴于 N，则 。 当 MB∥OA 时，BE=MN=2，OA=2BE=4。 ∵ ， ∴抛物线 的顶点坐标为（5， ）。 ∴它的顶点在直线 上移动。 ∵直线 交 MB 于点（5，2），交 AB 于点（5，1）， ∴1＜ ＜2。∴ ＜ ＜ 。 【考点】动点问题，旋转的性质，矩形的性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判 定和性质，解一元二次方程，二次函数的性质。 【分析】（1）由 Rt△CAO∽Rt△ABE 得到 ，根据点 B 与点 D 重合的条件，代入 CA=2AM=2AB，AO=1·t= t，BE（DE）=OC=4，即可求得此时 t 的值。 （2）分 0＜ ＜8 和 ＞8 两种情况讨论即可。 （3）求出抛物线 的顶点坐标为（5， ），知它的顶点在直线 上移动。由抛物线 的顶点在△ABM 内部（不包括边）得 1＜ ＜2，解之 即得 a 的取值范围。 例 7：（2012 广西河池 12 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，以底边 BC 的垂直平 分线和 BC 所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线 经过 A、B 两点. （1）写出点 A、点 B 的坐标； （2）若一条与 y 轴重合的直线 l 以每秒 2 个单位长度的速度向右平移，分别交线段 OA、 CA 和抛物线于点 E、M 和点 P，连结 PA、PB.设直线 l 移动的时间为 t（0＜t＜4） 秒，求四边形 PBCA 的面积 S（面积单位）与 t（秒）的函数关系式，并求出四边 形 PBCA 的最大面积； t 1 1 t 25S CD BD (2 t)( 4)2 2 2 4 = ⋅ = + − = 1t 3 5 2= + 2t 3 5 2= − t 3= 3 5 2+ 25S 4 = 1MN CO 22 = = ( )22y ax 10ax=a x 5 25a= − − − 2y ax 10ax= − 25a− x 5= x 5= 25a− 2 25 − a 1 25 − CA AO AB BE = t t 2y ax 10ax= − 25a− x 5= 2y ax 10ax= − 25a− 21 7y x x 42 2=- + + - 46 - （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 P，使得△PAM 是直角三角形？若存 在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解：（1）A（8，0），B（0，4）。 （2）∵AB=AC，∴OB=OC。∴C（0，－4）。 设直线 AC： ，由 A（8，0），C（0，－4）得 ，解得 。∴直线 AC： 。 ∵ 直线 l 移动的速度为 2，时间为 t，∴OE=2t。 设 P ， 在 中，令 x=2t，得 ，∴M（2t， ）。 ∵BC=8，PM= ，OE=2t，EA= ， ∴ 。 ∴四边形 PBCA 的面积 S 与 t 的函数关系式为 （0＜t＜ 4）。 ∵ ， ∴四边形 PBCA 的最大面积为 41 个平方单位。 y=kx+b 8k+b=0 b= 4   − 1k= 2 b= 4   − 1y= x 42 − ( )22t 2t 7t 4− + +， 1y= x 42 − y=t 4− t 4− ( )2 22t 7t 4 t 4 = 2t 6t 8− + + − − − + + 4 2t− ( ) ( ) ( )2 2 PMABCMP 1 1S S S 2t 6t 8 8 2t 4 2t 2t 6t 82 2∆= + = ⋅ − + + + ⋅ + ⋅ − ⋅ − + +梯形 2= 4t 20t 16− + + 2S= 4t 20t 16− + + 2 2 5S= 4t 20t 16= 4 t 412  − + + − − +   - 47 - （3）存在。∵由（2），在 0＜t＜4，即 0＜t＜8 时，∠AMP 和∠APM 不可能为直 角。 若∠PAM 为直角，则 PA⊥CA，∴△AOC∽△PEA。∴ 。 设 P ， 则 OC=4，OA=8，EA=8－p，EP= ， ∴ ，整理得 ， 解得 （舍去）。 当 时， 。∴P（3，10）。 ∴当 P（3，10）时，△PAM 是直角三角形。 【考点】二次函数综合题，动直线问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次 函数最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。 【分析】（1）在 中，令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=－1 或 x=8。 ∴A（8，0），B（0，4）。 （2）由 AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得点 C 的坐标，从而用待定系 数法求出直线 AC 的解析式，得到点 M 关于 t 的表达式，根据 求出四 边形 PBCA 的面积 S 与 t 的函数关系式，应用二次函数最值的求法求出四边形 PBCA 的最大 面积。 （3 ）存在。易知，∠AMP 和∠APM 不可能为直角。当∠PAM 为直角时，△AOC∽△PEA， 根据比例关系列出方程求解即可。 例 8：(2012 广西百色 10 分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋6 经过点 A(－ 3，0)和点 B(2，0)．直线 y＝h（h 为常数，且 0＜h＜6）与 BC 交于点 D，与 y 轴交于点 E， 与 AC 交于点 F，与抛物线在第二象限交于点 G． （1）求抛物线的解析式； （2）连接 BE，求 h 为何值时，△BDE 的面积最大； （3）已知一定点 M（－2，0）．问：是否存在这样的直线 y＝h，使△OMF 是等腰三角形， 若存在，请求出 h 的值和点 G 的坐标；若不存在，请说明理由． OC OA EA EP = 21 7p p p 42 2 æ ö÷ç - + + ÷ç ÷çè ø ， 21 7p p 42 2- + + 2 4 8 1 78 p p p 42 2 =− − + + 2p 11p 24=0- + 1 2p =3 p =8， p=3 2 21 7 1 7p p 4= 3 3 4=102 2 2 2- + + - ´ + ´ + 21 7y x x 42 2=- + + PMABCMPS S S∆= +梯形 - 48 - 【答案】解：（1）∵抛物线 y＝ax2＋bx＋6 经过点 A(－3，0)和点 B(2，0)， ∴{9a－3b＋6＝0 4a＋2b＋6＝0)。解得{a＝－1 b＝－1)。 ∴抛物线的解析式为 y＝－x－x＋6。 （2）把 x＝0 代入 y＝－x－x＋6，得 y＝6。 ∴点 C 的坐标为(0，6)． 设经过点 B 和点 C 的直线的解析式为 y＝mx＋n， 则 {2m＋n＝0 n＝6 )，解得{m＝－3 n＝6 ) 。 ∴经过点 B 和点 C 的直线的解析式为 y＝－3x＋6。 ∵点 E 在直线 y＝h 上，∴点 E 的坐标为(0，h)。 ∴OE＝h。 ∵点 D 在直线 y＝h 上，∴点 D 的纵坐标为 h。 把 y＝h 代入 y＝－3x＋6，得 h＝－3x＋6．解得 x＝6－h 3 。 ∴点 D 的坐标为(6－h 3 ，h)。 ∴DE＝6－h 3 。 ∴S△BDE＝1 2•OE•DE＝1 2•h•6－h 3 ＝－1 6(h－3)2＋3 2。 ∵－1 6＜0 且 0＜h＜6， ∴当 h＝3 时，△BDE 的面积最大，最大面积是3 2。 （3）存在符合题意的直线 y＝h。 y=h - 49 - 设经过点 A 和点 C 的直线的解析式为 y＝kx＋p，则 {－3k＋p＝0 p＝6 )，解得{k＝2 p＝6 )。 ∴经过点 A 和点 C 的直线的解析式为 y＝2x＋6。 把 y＝h 代入 y＝2x＋6，得 h＝2x＋6．解得 x＝h－6 2 。 ∴点 F 的坐标为(h－6 2 ，h)。 在△OFM 中，OM＝2，OF＝ ()2＋h2，MF＝ (＋2)2＋h2。 ①若 OF＝OM，则 ()2＋h2＝2，整理，得 5h2－12h＋20＝0。 ∵△＝(－12)2－4×5×20＝－256＜0，∴此方程无解。∴OF＝OM 不成立。 ②若 OF＝MF，则 ()2＋h2＝ (＋2)2＋h2，解得 h＝4。 把 y＝h＝4 代入 y＝－x－x＋6，得－x－x＋6＝4，解得 x1＝－2，x2＝1。 ∵点 G 在第二象限，∴点 G 的坐标为（－2，0）。 ③若 MF＝OM，则 ()2＋h2＝ (＋2)2＋h2， 解得 h1＝2，h2＝－6 5(不合题意，舍去)。 把 y＝h1＝2 代入 y＝－x－x＋6，得－x－x＋6＝2． 解得 x1＝ －1－ 2 ，x2＝ －1＋ 2 。 ∵点 G 在第二象限，∴点 G 的坐标为（ －1－ 2 ，0）。 综上所述，存在这样的直线 y＝2 或 y＝4，使△OMF 是等腰三角形， 当 h＝4 时，点 G 的坐标为（－2，0）； 当 h＝2 时，点 G 的坐标为（ －1－ 2 ，0）。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值， 等腰三角形的性质，分类讨论思想。 【分析】（1）把 A(－3，0)和点 B(2，0)代入 y＝ax2＋bx＋6 即可求。 （2）求出△BDE 的面积关于 h 的表达式，应用二次函数最值即可求得△BDE 的面积 最大时的 h 值。 （3）分 OF＝OM，OF＝MF，MF＝OM 三种情况讨论即可。 练习题： 1. （2011 湖北随州 4 分）如图，把 Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5， - 50 - 点 A、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿 轴向右平移，当点 C 落在直线 =2 ﹣6 上时，线段 BC 扫过的面积为 【 】 A、4 B、8 C、16 D、8 2. （2011 重庆潼南 4 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是菱形，点 C 的坐标 为（4，0），∠AOC=60°，垂直于 轴的直线 l 从 轴出发，沿 轴正方向以每秒 1 个单位 长度的速度向右平移，设直线 l 与菱形 OABC 的两边分别交于点 M，N（点 M 在点 N 的上 方），若△OMN 的面积为 S，直线 l 的运动时间为 t 秒（0≤t≤4），则能大致反映 S 与 t 的函 数关系的图象是【 】 3. （2011 浙江宁波 3 分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC= ，若把 Rt△绕边 AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为【 】 x y x 2 x y x 2 2 - 51 - (A) (B) (C) (D) 4. （2011 山东济宁 10 分）如图，第一象限内半径为 2 的⊙C 与 轴相切于点 A，作直径 AD，过点 D 作⊙C 的切线 l 交 轴于点 B，P 为直线 l 上一动点，已知直线 PA 的解析式为： =k +3。 (1) 设点 P 的纵坐标为 p，写出 p 随 k 变化的函数关系式。 (2)设⊙C 与 PA 交于点 M，与 AB 交于点 N，则不论动点 P 处于直线 l 上（除点 B 以外）的 什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点 P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明； (3)是否存在使△AMN 的面积等于 的 k 值？若存在，请求出符合的 k 值；若不存在，请说 明理由。 5. （2011 江苏盐城 12 分）如图，已知一次函数 与正比例函数 的图象交 于点 A，且与 轴交于点 B. （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 AC⊥ 轴于点 C，过点 B 作直线 l∥ 轴． 动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 O—C—A 的路线向点 A 运动；同时直 线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q．当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动．在运动过程中，设 动点 P 运动的时间为 t 秒. 4π 4 2π 8π 8 2π y x y x 32 25 7y x= − + 4 3y x= x y y x - 52 - ①当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？ ②是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若 不存在，请说明理由． 四、面动形成的动态面积问题： 典型例题： 例 1：（2012 湖南岳阳 3 分）如图，两个边长相等的正方形 ABCD 和 EFGH，正方形 EFGH 的顶点 E 固定在正方形 ABCD 的对称中心位置，正方形 EFGH 绕点 E 顺时针方向旋转，设 它们重叠部分的面积为 S，旋转的角度为 θ，S 与 θ 的函数关系的大致图象是【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考点】旋转问题的函数图象，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】如图，过点 E 作 EM⊥BC 于点 M，EN⊥AB 于点 N， ∵点 E 是正方形的对称中心，∴EN=EM，EMBN 是正方形。 由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL， 在 Rt△ENK 和 Rt△EML 中， ∠NEK=∠MEL，EN=EM，∠ENK=∠EML， ∴△ENK≌△ENL（ASA）。 - 53 - ∴阴影部分的面积始终等于正方形面积的 ，即它们重叠部分的面积 S 不因旋转的 角度 θ 的改变而改变。故选 B。 例 2：（2012 宁夏区 3 分）如图，将等边△ABC 沿 BC 方向平移得到△A1B1C1．若 BC＝3， ，则 BB1＝ ▲ ． 【答案】1。 【考点】平移的性质，等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】由等边△ABC 中 BC＝3 可求得高为 ，面积为 。 由平移的性质，得△ABC∽△PB1C。 ∴ ，即 ，得 B1C＝2。 ∴BB1＝BC－B1C=1。 例 3：（2012 山东济南 3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，将△ABC 沿 CB 向右 平移得到△DEF，若平移距离为 2，则四边形 ABED 的面积等于 ▲ ． 【答案】8。 【考点】平移的性质，平行四边形的判定和性质。 【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形 ABED 是平行四边形， 再根据平行四边形的面积公式即可求解： ∵将△ABC 沿 CB 向右平移得到△DEF，平移距离为 2，∴AD∥BE，AD=BE=2， ∴四边形 ABED 是平行四边形。∴四边形 ABED 的面积=BE×AC=2×4=8。 例 4：（2012 辽宁锦州 3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°.把△ABC 绕点 A 1 4 1PB CS 3∆ = 3 3 2 1 3 3 9 33 =2 2 4 ⋅ ⋅ 1 2 PB C 1 ABC S B C S BC ∆ ∆  =    2 1B C3 39 3 4  =    - 54 - 按顺时针方向旋转 60°后得到△AB＇C ＇，若 AB=4，则线段 BC 在上述旋转过程中所扫过 部分（阴影部分）的面积是【 】 A. π B. π C. 2π D. 4π 【答案】C。 【考点】旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。 【分析】∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=4，∴AC=ABcos∠BAC=2，∠CA C′=60°。 ∵△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60°后得到△AB′C′，∴ 。 ∴ = 。 故选 C。 例 5：（2012 湖南益阳 12 分）已知：如图 1，在面积为 3 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 CD 边上的两点，AE⊥BF 于点 G，且 BE=1． （1）求证：△ABE≌△BCF； （2）求出△ABE 和△BCF 重叠部分（即△BEG）的面积； （3）现将△ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到△AB′E′（如图 2），使点 E 落在 CD 边上的点 E′ 处，问△ABE 在旋转前后与△BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。 ∴∠ABF+∠CBF=90°。 ∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。 在△ABE 和△BCF 中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF， 3 2 3 5 AB C ABCS S∆ ′ ′ ∆= ABC AB CABB ACC ABB ACCS S S S S S S∆ ∆ ′ ′ ′′ ′ ′= − + − = −扇形 扇形 扇形 扇形影部分阴 2 260 4 60 2 2360 360 π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅− = - 55 - ∴△ABE≌△BCF（ASA）。 （2）解：∵正方形面积为 3，∴AB= 。 在△BGE 与△ABE 中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°， ∴△BGE∽△ABE。 ∴ 。 又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。 ∴ 。 （3）解：没有变化。理由如下： ∵AB= ，BE=1，∴ 。∴∠BAE=30°。 ∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′= AE′， ∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′， ∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。 ∴AB′与 AE 在同一直线上，即 BF 与 AB′的交点是 G。 设 BF 与 AE′的交点为 H， 则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG= AG， ∴△BAG≌△HAG。 ∴ 。 ∴△ABE 在旋转前后与△BCF 重叠部分的面积没有变化。 【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质， 解直角三角形。 【分析】（1）由四边形 ABCD 是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由 AE⊥BF， 由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用 ASA，即可判定△ABE≌△BCF。 （2）由正方形 ABCD 的面积等于 3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE 与△ABE 中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于 相似比的平方，即可求得答案。 3 2BGE ABE S BE =( )S AE ∆ ∆ 2 BGE ABE2 BE 1 3 3S = S 4 2 8AE∆ ∆⋅ = × = 3 1 3tan BAE 33 ∠ = = AB E AGH ABE ABG BGEGHE BS S S S S S∆ ′ ′ ∆ ∆ ∆ ∆′ ′ = − = − =四 形边 - 56 - （3）由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得 Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得 AB′与 AE 在同一直线上，即 BF 与 AB′的交点是 G，然后设 BF 与 AE′的交点为 H，可证得 △BAG≌△HAG，从而证得结论。 例 6：（2012 江苏宿迁 12 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 l1:y= x 与直线 l2：y=－x+6 相交于点 M，直线 l2 与 x 轴相较于点 N. （1） 求 M，N 的坐标； （2） 在矩形 ABCD 中，已知 AB=1，BC=2，边 AB 在 x 轴上，矩形 ABCD 沿 x 轴自左向 右以每秒 1 个单位长度的速度移动.设矩形 ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为 S. 移动的时间为 t（从点 B 与点 O 重合时开始计时，到点 A 与点 N 重合时计时结 束）。直接写出 S 与自变量 t 之间的函数关系式（不需要给出解答过程）； （3） 在（2）的条件下，当 t 为何值时，S 的值最大？并求出最大值. 【答案】解：（1）解 得 。∴M 的坐标为（4，2）。 在 y=－x+6 中令 y=0 得 x=6，∴N 的坐标为（6，0）。 （2）S 与自变量 t 之间的函数关系式为： 1 2 1y= x2 y x 6   = − + x=4 y 2   = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 t 0 t 14 1 1t 1 t 42 4 3 13 49S= t + t 4 t 54 2 4 13t+ 5 t 62 1 49t 7t+ 6 t 72 2 < < < <  ≤ ≤   − ≤ − − ≤  − ≤   − ≤ - 57 - （3）当 0≤t≤1 时，S 的最大值为 ，此时 t=1。 当 1＜t≤4 时，S 的最大值为 ，此时 t=4。 当 4＜t≤5 时，∵ ， ∴S 的最大值为 ，此时 t= 。 当 5＜t≤6 时，S 随 t 的增大而减小，最大值不超过 。 当 6＜t≤7 时，S 随 t 的增大而减小，最大值不超过 。 综上所述，当 t= 时，S 的值最大，最大值为 。 【考点】一次函数综合题，平移问题，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数 的最值。 【分析】（1）联立两直线方程即可求得 M 的坐标，在 y=－x+6 中令 y=0 即可求得 N 的坐标。 （2）先求各关键位置，自变量 t 的情况： 起始位置时，t=0；当点 A 与点 O 重合时，如图 1，t=1；当点 C 与点 M 重合 时，如图 2，t=4；当点 D 与点 M 重合时，如图 3，t=5；当点 B 与点 N 重合时，如图 4， t=6；结束位置时，点 A 与点 N 重合，t=7。 ①当 0≤t≤1 时，矩形 ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为一三角形面积（不 含 t=0），三角形的底为 t，高为 ，∴ 。 ②当 1＜t≤4 时，矩形 ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形 的上底为 ，下底为 ，高为 1。∴ 。 ③当 4＜t≤5 时，矩形 ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为两梯形面积的和， 1 4 7 4 2 23 13 49 3 13 11S= t + t = t +4 2 4 4 3 6  − − − −   11 6 13 3 3 2 1 2 13 3 11 6 1 t2 21 1 1S= t t= t2 2 4 ⋅ ⋅ ( )1 t 12 − 1 t2 ( )1 1 1 1 1S= t 1 + t 1= t2 2 2 2 4  − ⋅ −   - 58 - 第一个梯形的上底为 ，下底为 2，高为 ；第二个梯形的上底为－t +6， 下底为 2，高为 。 ∴ 。 ④当 5＜t≤6 时，矩形 ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形 的上底为 6－t ，下底为 7－t，高为 1。∴ 。 ⑤当 6＜t≤7 时，矩形 ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为一三角形面积（不 含 t=7），三角形的底为 7－t，高为 7－t，∴ 。 （3）分别讨论各分段函数的最大值而得所求。 例 7：（2012 黑龙江大庆 8 分） 已知半径为 1cm 的圆，在下面三个图中 AC=10cm， AB=6cm，BC=8cm，在图 2 中∠ABC=90°． （1）如图 1，若将圆心由点 A 沿 A C 方向运动到点 C，求圆扫过的区域面积； （2）如图 2，若将圆心由点 A 沿 A B C 方向运动到点 C，求圆扫过的区域面积； （3）如图 3，若将圆心由点 A 沿 A B C A 方向运动回到点 A． 则 I）阴影部分面积为_ ___；Ⅱ）圆扫过的区域面积为__ __． 【答案】解：（1）由题意得，圆扫过的面积=DE×AC+πr2=（20+π）cm2。 （2）圆扫过的区域面积=AB 的面积+BC 的面积－一个圆的面积 。 结合（1）的求解方法，可得所求面积 =（2r×AB+πr2）+（2r×BC+πr2）﹣πr2=2r（AB+BC）+πr2=（28+π）cm2。 （3）I） cm2；Ⅱ）（ +π）cm2。 ( )1 t 12 − ( )4 t 1 =5 t− − − t 4− ( ) ( ) [ ] ( ) 21 1 1 3 13 49S= t 1 +2 5 t + t +6+2 t 4 = t + t2 2 2 4 2 4  − ⋅ − − ⋅ − − −   [ ]1 13S= 6 t+7 t 1= t+2 2 − − ⋅ − ( ) ( ) 21 1 49S= 7 t 7 t = t 7t+2 2 2 ⋅ − ⋅ − − → → → → → → 55 12 263 6 - 59 - 例 8：（2012 湖北荆州 12 分）如图甲，四边形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴的正 半轴上，顶点在 B 点的抛物线交 x 轴于点 A、D，交 y 轴于点 E，连接 AB、AE、BE．已知 tan∠CBE= ，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）． （1）求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标； （2）求证：CB 是△ABE 外接圆的切线； （3）试探究坐标轴上是否存在一点 P，使以 D、E、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存 在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）设△AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面 积为 s，求 s 与 t 之间的函数关系式，并指出 t 的取值范围． 1 3 - 60 - 【答案】解：（1）∵抛物线经过点 A（3，0），D（﹣1，0），∴设抛物线解析式为 y=a（x﹣3 ）（x+1）。 将 E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1。 ∴抛物线的解析式为 y=－（x﹣3）（x+1），即 y=﹣x2+2x+3。 又∵y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，∴点 B（1，4）。 （2）证明：如图 1，过点 B 作 BM⊥y 于点 M，则 M（0，4）． 在 Rt△AOE 中，OA=OE=3， ∴∠1=∠2=45°， 。 在 Rt△EMB 中，EM=OM﹣OE=1=BM， ∴∠MEB=∠MBE=45°， 。 ∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。 ∴AB 是△ABE 外接圆的直径。 在 Rt△ABE 中， ，∴∠BAE=∠CBE。 在 Rt△ABE 中，∠BAE+∠3=90°， ∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°，即 CB⊥AB。 ∴CB 是△ABE 外接圆的切线。 （3）存在。点 P 的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣ ）。 （4）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b． 将 A（3，0），B（1，4）代入，得 ，解得 。 ∴直线 AB 的解析式为 y=﹣2x+6。 过点 E 作射线 EF∥x 轴交 AB 于点 F，当 y=3 时，得 x= ，∴F（ ，3）。 2 2AE= OA +OE =3 2 2 2BE= EM +BM = 2 BE 1tan BAE= = =tan CBEAE 3 ∠ ∠ 1 3 3k+b=0 k+b=4    k= 2 b=6 −   3 2 3 2 - 61 - 情况一：如图 2，当 0＜t≤ 时， 设△AOE 平移到△DNM 的位置，MD 交 AB 于点 H，MN 交 AE 于点 G。 则 ON=AD=t，过点 H 作 LK⊥x 轴于点 K，交 EF 于点 L． 由△AHD∽△FHM，得 ， 即 ， 解得 HK=2t。 ∴ = ×3×3﹣ （3﹣t）2﹣ t•2t=﹣ t2+3t。 情况二：如图 3，当 ＜t≤3 时， 设△AOE 平移到△PQR 的位置，PQ 交 AB 于点 I，交 AE 于点 V。 由△IQA∽△IPF，得 ．即 ， 解得 IQ=2（3﹣t）。 ∴ = ×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣ （3﹣t）2= （3﹣t）2= t2﹣3t+ 。 综上所述： 。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等 腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形 的性质，平移的性质。 【分析】（1）已知 A、D、E 三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线 的解析式，从而能得到顶点 B 的坐标。 （2）过 B 作 BM⊥y 轴于 M，由 A、B、E 三点坐标，可判断出 △BME、△AOE 都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE 是直 角三角形，而 AB 是△ABE 外接圆的直径，因此只需证明 AB 与 CB 垂直 3 2 AD HK=FM HL t HK=3 3 HKt2 −− MND GNA HADS S S S∆ ∆ ∆= − −阴 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 AQ IQ=FP IP 3 t IQ=3 3 IQt 2 − −− IQA VQAS S S∆ ∆= −阴 1 2 1 2 1 2 1 2 9 2 2 2 3 3 t +3t(0 t )2 2s= 1 9 3 t 3t+ ( t 3) 2 2 2 < < − ≤  − ≤ - 62 - 即可．BE、AE 长易得，能求出 tan∠BAE 的值，结合 tan∠CBE 的值，可得到∠CBE=∠BAE， 由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，从而得证。 （3）在 Rt△ABE 中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，sin∠BAE= ，cos∠BAE= 。 若以 D、E、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，则△DEP 必为直角三角形。 ①DE 为斜边时，P1 在 x 轴上，此时 P1 与 O 重合。 由 D（﹣1，0）、E（0，3），得 OD=1、OE=3， 即 tan∠DEO= =tan∠BAE， 即∠DEO=∠BAE，满足△DEO∽△BAE 的条件。 因此 O 点是符合条件的 P1 点，坐标为（0，0）。 ②DE 为短直角边时，P2 在 x 轴上。 若以 D、E、P 为顶点的三角形与△ABE 相似， ∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE= 。 而 DE= ， 则 DP2=DE÷sin∠DP2E= ÷ =10，OP2=DP2﹣OD=9。 即 P2（9，0）。 ③DE 为长直角边时，点 P3 在 y 轴上。 若以 D、E、P 为顶点的三角形与△ABE 相似， 则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE= 。 则 EP3=DE÷cos∠DEP3= ÷ ，OP3=EP3﹣OE= 。 即 P3（0，﹣ ）。 综上所述，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣ ）。 （4）过 E 作 EF∥x 轴交 AB 于 F，当 E 点运动在 EF 之间时，△AOE 与△ABE 重叠部 分是个五边形；当 E 点运动到 F 点右侧时，△AOE 与△ABE 重叠部分是个三角形．按上述两 种情况按图形之间的和差关系进行求解。 1 3 10 10 3 10 10 1 3 10 10 2 21 +3 = 10 10 10 10 3 10 10 10 3 10 10=10 3 1 3 1 3 1 3 - 63 - 例 9：（2012 重庆市 12 分）已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6 ，AB=3．E 为 BC 边上一点，以 BE 为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧． （1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长； （2）将（1）问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形 BEFC 为正方形 B′EFG， 当点 E 与点 C 重合时停止平移．设平移的距离为 t，正方形 B′EFG 的边 EF 与 AC 交于点 M ，连接 B′D，B′M，DM，是否存在这样的 t，使△B′DM 是直角三角形？若存在，求出 t 的值 ；若不存在，请说明理由； （3）在（2）问的平移过程中，设正方形 B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式以及自变量 t 的取值范围． 【答案】解：（1）如图①，设正方形 BEFG 的边长为 x， 则 BE=FG=BG=x。 ∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x。 ∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC。 ∴ ，即 。 解得：x=2，即 BE=2。 （2）存在满足条件的 t，理由如下： 如图②，过点 D 作 DH⊥BC 于 H， 则 BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t， ∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC。 ∴ ，即 。∴ME=2﹣ t。 在 Rt△B′ME 中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣ t）2= t2﹣2t+8。 AG GF=AB BC 3 x x=3 6 − ME EC=AB BC ME 4 t=3 6 − 1 2 1 2 1 4 - 64 - 在 Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13。 过点 M 作 MN⊥DH 于 N，则 MN=HE=t，NH=ME=2﹣ t， ∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣ t）= t+1。 在 Rt△DMN 中，DM2=DN2+MN2=（ t+1）2+ t 2= t2+t+1。 （Ⅰ）若∠DB′M=90°，则 DM2=B′M2+B′D2， 即 t2+t+1=（ t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t= 。 （Ⅱ）若∠B′MD=90°，则 B′D2=B′M2+DM2， 即 t2﹣4t+13=（ t2﹣2t+8）+（ t2+t+1）， 解得：t1=﹣3+ ，t2=﹣3﹣ （舍去）。 ∴t=﹣3+ 。 （Ⅲ）若∠B′DM=90°，则 B′M2=B′D2+DM2， 即 t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（ t2+t+1），此方程无解。 综上所述，当 t= 或﹣3+ 时，△B′DM 是直角三角形； （3） 。 【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质， 平移的性质。 【分析】（1）首先设正方形 BEFG 的边长为 x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对 应边成比例，即可求得 BE 的长。 （2）首先由△MEC∽△ABC 与勾股定理，求得 B′M，DM 与 B′D 的平方，然后分别 从若∠DB′M、∠DB′M 和∠B′DM 分别是直角，列方程求解即可。 1 2 1 2 1 2 1 2 5 4 5 4 1 4 20 7 1 4 5 4 17 17 17 1 4 5 4 20 7 17 2 2 2 1 4t 0 t4 3 1 2 4t t t 28 3 3S 3 5 10t 2t 2 t8 3 3 1 5 10t t 42 2 3   ≤ ≤      − + − ≤    =   − + − ≤     − + ≤    ＜ ＜ ＜ - 65 - （3）分别从 ， ， 和 时去分析求解即可求得 答案： ①如图③，当 F 在 CD 上时，EF：DH=CE：CH， 即 2：3=CE：4，∴CE= 。 ∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣ 。 ∵ME=2﹣ t，∴FM= t， ∴当 时，S=S△FMN= ×t× t= t2。 ②如图④，当 G 在 AC 上时，t=2， ∵EK=EC•tan∠DCB= ， ∴FK=2﹣EK= ﹣1。 ∵NL= ，∴FL=t﹣ ， ∴当 时，S=S△FMN﹣S△FKL= t2﹣ （t﹣ ）（ ﹣1）= 。 ③如图⑤，当 G 在 CD 上时，B′C：CH=B′G：DH， 即 B′C：4=2：3，解得：B′C= ， ∴EC=4﹣t=B′C﹣2= 。∴t= 。 ∵B′N= B′C= （6﹣t）=3﹣ t， ∴GN=GB′﹣B′N= t﹣1。 ∴当 时，S=S 梯形 GNMF﹣S△FKL = ×2×（ t﹣1+ t）﹣ （t﹣ ）（ ﹣1） = 。 ④如图⑥，当 时， ∵B′L= B′C= （6﹣t），EK= EC= （4﹣t）， 40 t 3 ≤ ≤ 4 t 23 ≤＜ 102 t 3 ≤＜ 10 t 43 ≤＜ 8 3 8 4=3 3 1 2 1 2 40 t 3 ≤ ≤ 1 2 1 2 1 4 ( )DH 3 3EC 4 t =3 tCH 4 4 ⋅ = − − 3 t4 2 4AD=3 3 4 3 4 t 23 ≤＜ 1 4 1 2 4 3 3 t4 21 2t t8 3 − + − 8 3 2 3 10 3 1 2 1 2 1 2 1 2 102 t 3 ≤＜ 1 2 1 2 1 2 1 2 4 3 3 t4 23 5t 2t8 3 − + − 10 t 43 ≤＜ 3 4 3 4 3 4 3 4 - 66 - B′N= B′C= （6﹣t）EM= EC= （4﹣t）， ∴S=S 梯形 MNLK=S 梯形 B′EKL﹣S 梯形 B′EMN= 。 综上所述： 。 例 10：（2012 江苏淮安 12 分）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 点 A（0，4），C（2，0），将矩形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 1350，得到矩形 EFGH （点 E 与 O 重合）. （1）若 GH 交 y 轴于点 M，则∠FOM＝ ，OM= （2）矩形 EFGH 沿 y 轴向上平移 t 个单位。 ①直线 GH 与 x 轴交于点 D，若 AD∥BO，求 t 的值； ②若矩形 EFHG 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S 个平方单位，试求当 0

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