中考数学几何圆专题训练

中考数学几何圆专题训练

专题八 圆 本章知识点：‎ ‎1、（要求深刻理解、熟练运用）‎ ‎1.垂径定理及推论: ‎ ‎ 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，‎ 即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. ‎ 几何表达式举例：‎ ‎∵ CD过圆心 ‎∵CD⊥AB ‎2.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）‎ ‎“等角对等弦”； “等弦对等角”； ‎ ‎“等角对等弧”； “等弧对等角”；‎ ‎“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；‎ ‎“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.‎ 几何表达式举例：‎ ‎(1) ∵∠AOB=∠COD ‎∴ AB = CD ‎ ‎(2) ∵ AB = CD ‎∴∠AOB=∠COD ‎（3）……………‎ ‎3．圆周角定理及推论:‎ ‎（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；‎ ‎（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)‎ ‎（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；‎ ‎（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)‎ ‎（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)‎ ‎（1） （2）（3） （4）‎ 几何表达式举例：‎ ‎（1） ∵∠ACB=∠AOB ‎∴ ……………‎ ‎（2） ∵ AB是直径 ‎∴ ∠ACB=90°‎ ‎（3） ∵ ∠ACB=90°‎ ‎∴ AB是直径 ‎（4） ∵ CD=AD=BD ‎∴ ΔABC是RtΔ ‎ ‎4．圆内接四边形性质定理:‎ 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角.‎ 几何表达式举例：‎ ‎∵ ABCD是圆内接四边形 ‎∴ ∠CDE =∠ABC ‎∠C+∠A =180°‎ ‎5．切线的判定与性质定理:‎ 如图：有三个元素，“知二可推一”；‎ 需记忆其中四个定理.‎ 几何表达式举例：‎ ‎（1） ∵OC是半径 ‎∵OC⊥AB ‎（1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线；‎ ‎（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；‎ ‎∴AB是切线 ‎（2） ∵OC是半径 ‎∵AB是切线 ‎∴OC⊥AB ‎6．相交弦定理及其推论:‎ ‎（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；‎ ‎（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.‎ ‎（1） （2）‎ 几何表达式举例：‎ ‎（1） ∵PA·PB=PC·PD ‎∴………‎ ‎（2） ∵AB是直径 ‎∵PC⊥AB ‎∴PC2=PA·PB ‎7．关于两圆的性质定理:‎ ‎（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；‎ ‎（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.‎ ‎ ‎ （1） ‎（2）‎ （2） 几何表达式举例：‎ ‎（1） ∵O1，O2是圆心 ‎∴O1O2垂直平分AB ‎（2） ∵⊙1 、⊙2相切 ‎∴O1 、A、O2三点一线 ‎8．正多边形的有关计算:‎ ‎（1）中心角an ，半径RN ， 边心距rn ， ‎ ‎ 边长an ，内角bn ， 边数n；‎ ‎（2）有关计算在RtΔAOC中进行.‎ 公式举例：‎ ‎(1) an =；‎ ‎(2) ‎ 二 定理：‎ ‎1．不在一直线上的三个点确定一个圆.‎ ‎2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.‎ ‎3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角 三 公式：‎ ‎1.有关的计算：‎ ‎（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=πR2.‎ ‎（4）扇形面积S扇形 =；‎ ‎（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.（如图）‎ ‎2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)‎ ‎（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 ==πrR. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）‎ 四 常识：‎ ‎1． 圆是轴对称和中心对称图形.2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.‎ ‎3． 三角形的外心 Û 两边中垂线的交点 Û 三角形的外接圆的圆心；‎ 三角形的内心 Û 两内角平分线的交点 Û 三角形的内切圆的圆心.‎ ‎4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）‎ 直线与圆相交 Û d＜r ； 直线与圆相切 Û d=r ； 直线与圆相离 Û d＞r.‎ ‎5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）‎ 两圆外离 Û d＞R+r； 两圆外切 Û d=R+r； 两圆相交 Û R-r＜d＜R+r；‎ 两圆内切 Û d=R-r； 两圆内含 Û d＜R-r.‎ ‎6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.‎ 圆中考专题练习 一：选择题。‎ 1. ‎（2010红河自治州）如图2，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ）‎ A.30° B.40° C.50° D.60°‎ ‎2、（11哈尔滨）．如上图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB的长是（ ）．‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎3、（2011陕西省）9.如图，点A、B、P在⊙O上，点P为动点，要是△ABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有（ ）‎ A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 ‎ ‎4、（2011），安徽芜湖）如图所示，在圆O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为（ ）‎ A．19 B．‎16 ‎ C．18 D．20‎ A B C 第5‎ A B C 第6‎ O D E ‎5、（11·浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC 旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（ ）‎ A．6π B．9π C．12π D．15π ‎6、（2010·浙江湖州）．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E．下列结论中一定正确的是（ ）‎ A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60°‎ ‎7、（上海）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 = 3，则圆O1与圆O2的位置关系是（ ）‎ A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含 ‎8. （莱芜）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）‎ ‎ A．2.5 B．‎5 ‎C．10 D．15‎ ‎9、（10·绵阳）．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB = 1，BC = 2，则OA =（ ）．‎ C B A O D A． B． C． D．‎ 第9题图 A B C ‎10、（2010昆明）如图，在△ABC中，AB = AC，AB = 8，BC = 12，分别以 AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（　 ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎11、（10年兰州）9. 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为 A． B． C． D．‎ 二：填空 ‎1、（11怀化)如图6，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA=40°，则∠ADC=______． ‎ A B C D O E ‎（第15题）‎ ‎2、（10年安徽）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝500，点D是BAC上一点，‎ 则∠D＝______‎ ‎3、(2011台州市)如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．则直线CD与⊙O的位置关系是 ，阴影部分面积为(结果保留π) ．‎ ‎4、（10株洲市）15．两圆的圆心距，它们的半径分别是一元二次方程 的两个根，这两圆的位置关系是 .‎ ‎5、（10成都）如图，在中，为的直径，，则的度数是_______度．‎ ‎6、(苏州2011中考题18)．如图，已知A、B两点的坐标分别为、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为 ．‎ ‎7、（2010年成都）．若一个圆锥的侧面积是，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是___________．‎ 三：解答题 ‎1、（10珠海）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；‎ ‎（2）若cos∠PCB=，求PA的长.‎ ‎2、（10镇江市）．如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=，∠ACB=30°.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）分别求AB，OE的长；‎ ‎3、（2010宁波市）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．‎ ‎ ‎ ‎4、（桂林2011）25．（本题满分10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，‎ FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．‎ ‎（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．‎ H ‎5、（10年兰州）26.（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=AB；‎ ‎ （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.‎ ‎6、（11绵阳）如图，△ABC内接于⊙O，且∠B = 60°．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．（1）求证：△ACF≌△ACG；（2）若AF = 4，求图中阴影部分的面积．‎ B D F A O G E C l ‎7、(苏州11、27)．(本题满分9分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F ‎ (1)求证：OE∥AB；(2)求证：EH=AB；(3)若，求的值．‎ 近年广州中考题 ‎20．（本小题满分10分）‎ 如图10，在中，，．（1）求的度数；‎ A O D C B 图10‎ ‎（2）求的周长．‎ ‎23、（2008广州）（12分）如图9，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且 ‎（1）求证：AC=AE ‎（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）求证：EF平分∠CEN ‎24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．‎ ‎（1）求弦AB的长；‎ ‎（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；‎ ‎（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.‎ C P D O B A E 图9‎ ‎25. （2011广东广州市，25，14分）‎ ‎ 如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中 ∠DCE是直角，点D在线段AC上．‎ ‎　（1）证明：B、C、E三点共线；‎ ‎ （2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；‎ ‎ （3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．‎ A B C D E M N O 图7‎ A B C D1‎ E1‎ M1‎ O N1‎ 图8‎ 部分答案：一：选择题 ‎1、A 2、B 3、D 4、 D 5、D 6、B 7、A 8、C 9、A 10、D 11、C 二：填空1、25 2、40 3、相切、π 4、外切 5、100 6、 7、 3‎ 三：解答题：‎ ‎1、解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形 ‎∵P是优弧BAC的中点 ∴弧PB＝弧PC ∴PB＝PC ∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA ‎∴△PBD≌△PCA∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形 ‎（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2‎ 过点P作PE⊥AD于E，则AE＝AD=1 ∵∠PCB=∠PAD ‎∴cos∠PAD=cos∠PCB= ∴PA=‎ ‎2、（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90° ‎ ‎∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线. ‎ ‎ （2）在，‎ ‎ ‎ ‎5、解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB ‎ ‎ ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACO+∠OCB=90° ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP ‎ ‎∵OC是⊙O的半径 ∴PC是⊙O的切线 ‎ ‎ （2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ‎ ∴∠CBO=∠COB ∴BC=OC ∴BC=AB ‎ ‎ (3)连接MA,MB ∵点M是弧AB的中点 ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ‎ ‎∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN∽△MCB ‎ ‎ ∴ ∴BM2=MC·MN ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM ‎ ∵AB=4 ∴BM= ∴MC·MN=BM2=8 ‎ ‎6：（1）如图，连结CD，OC，则∠ADC =∠B = 60°．∵ AC⊥CD，CG⊥AD，∴ ∠ACG =∠ADC = 60°．‎ 由于 ∠ODC = 60°，OC = OD，∴ △OCD为正三角形，得 ∠DCO = 60°．由OC⊥l，得 ∠ECD = 30°，∴ ∠ECG = 30° + 30° = 60°．进而 ∠ACF = 180°－2×60° = 60°，∴ △ACF≌△ACG．‎ ‎（2）在Rt△ACF中，∠ACF = 60°，AF = 4，得 CF = 4．‎ 在Rt△OCG中，∠COG = 60°，CG = CF = 4，得 OC =．在Rt△CEO中，OE =．‎ B D F A O G E C l 于是 S阴影 = S△CEO－S扇形COD ==．‎ ‎25、【答案】（1）∵AB为⊙O直径 ∴∠ACB=90° ∵△DCE为等腰直角三角形 ‎∴∠ACE=90° ∴∠BCE=90°+90°=180° ∴B、C、E三点共线．‎ ‎（2）连接BD，AE，ON．∵∠ACB=90°，∠ABC=45° ∴AB=AC ∵DC=DE ‎∠ACB=∠ACE=90° ∴△BCD≌△ACE ∴AE=BD，∠DBE=∠EAC ∴∠DBE+∠BEA=90°‎ ‎∴BD⊥AE ∵O，N为中点 ∴ON∥BD，ON=BD 同理OM∥AE，OM=AE ∴OM⊥ON，OM=ON ∴MN=OM ‎（3）成立 证明：同（2）旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°－∠ACD1‎ 所以仍有△BCD1≌△ACE1，所以△ACE1是由△BCD1绕点C顺时针旋转90°而得到的，故BD1⊥AE1‎ 其余证明过程与（2）完全相同．‎