中考数学一轮复习几何篇12解直角三角形

中考数学一轮复习几何篇12解直角三角形

‎12.解直角三角形 按住ctrl键 点击查看更多中考数学资源 知识考点：‎ 本节知识主要考查解直角三角形的四种类型，以及构造直角三角形解非直角三角形的有关问题。‎ 精典例题：‎ ‎【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝450，DC＝6，求AB的长。‎ 分析：由∠C＝900，∠BDC＝450，可知DC＝BC＝6，再由sinA＝＝即可求出AB的长。‎ 解：在Rt△ABC中，∠C＝900，∠BDC＝450‎ ‎∴∠BDC＝∠DBC＝450‎ ‎ ∴DC＝BC＝6‎ ‎ 在Rt△ABC中，∠C＝900，sinA＝＝‎ ‎ ∴AB＝＝15‎ 变式：如图，在△ABC中，∠B＝900，C是BD上一点，DC＝10，∠ADB＝450，∠ACB＝600，求AB的长。‎ 分析：设AB＝，通过解Rt△ABC和解Rt△ABD即可。‎ 解：设AB＝‎ ‎ ∵∠B＝900，∠ACB＝600‎ ‎ ∴BC＝＝‎ ‎ 又∵BD＝BC＋DC ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ 答案：AB的长为 评注：设关键线段（联系两直角三角形的线段）为，建立方程是解直角三角形问题的一种常用的方法。‎ ‎【例2】如图，在△ABC中，∠A＝300，E为AC上一点，且AE∶EC＝3∶1，EF⊥AB于F，连结FC，则cot∠CFB＝（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 分析：因为∠CFB不是直角三角形的一个内角，故想法构造一个直角三角形，使∠‎ CFB是它的一个锐角，由EF⊥AB联想到作EF的平行线CD，得到Rt△CDB即可求解。‎ 解：过C作CD∥EF交AB于点D ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 由可得 ‎ 设EF＝，由EF⊥AF可知△AEF是Rt△，且∠A＝300‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴，，CD∥EF，EF⊥AB ‎ ∴CD⊥AB，△CFD是直角三角形 ‎ 在Rt△CFD中，‎ 答案：D ‎【例3】已知等腰梯形ABCD中，AD＋BC＝‎18cm，sin∠ABC＝，AC与BD相交于点O，∠BOC＝1200，试求AB的长。‎ 分析：此题所求的边不在直角三角形中，可通过作辅助线（梯形中的重要辅助线）构造直角三角形，使问题得以解决。‎ 解：如图，作DE∥AC交BC的延长线于E，则四边形ACED是平行四边形。‎ ‎ ∴AD＝CE，DE＝AC，易证△ABC≌△DCB ‎ ∴AC＝DB，BD＝DE ‎ ∴△DBE为等腰三角形 ‎ BE＝BC＋AD＝‎‎18cm ‎ 分别过A、D作AG⊥BC于G，DF⊥BC于F ‎ ∵∠BDE＝∠BOC＝1200，∴∠BDF＝600‎ ‎ ∴BF＝BE＝‎9cm，AG＝DF＝cm ‎ 在Rt△ABG中，sin∠ABG＝‎ ‎ ∴AB＝（cm）‎ 答：AB的长是 cm。‎ 评注：在直角三角形中，若已知两边，可先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值，如果已知一边一角，可以通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式，即可求出未知元素。若所求的元素不在直角三角形中，应通过作辅助线等方法构造直角三角形，从而把这些元素转化到直角三角形中解决。‎ 探索与创新：‎ ‎【问题】如图，如果△ABC中∠C是锐角，BC＝，AC＝。证明：‎ 证明：过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形 ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴‎ 评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系。同理还可推出：（三角形面积公式）‎ 跟踪训练：‎ 一、填空题：‎ ‎1、如图，在△ABC中，∠C＝900，∠ABC＝600，D是AC的中点，那么tan∠DBC的值是 。‎ ‎2、在△ABC中，∠B＝300，tanC＝2，AB＝2，则BC的长是 。‎ ‎3、在△ABC中，∠C＝900，AB＝2，BC＝，则tan＝ 。‎ ‎4、已知正方形ABCD的两条对角线相交于O，P是OA上一点，且∠CPD＝600，则PO∶AO＝ 。‎ ‎ ‎ ‎5、如图，在△ABC中，∠B＝600，∠BAC＝750，BC边上的高AD＝3，则BC＝ 。‎ ‎6、等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于 。‎ 二、选择题：‎ ‎1、在△ABC中，∠C＝900，AC＝BC＝1，则tanA的值是（ ）‎ A、 B、 C、1 D、‎ ‎2、在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则的值是（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为‎2米，梯子的顶端B到地面的距离为‎7米。现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于‎3米，同时梯子的顶端B下降到，那么（ ）‎ ‎ A、等于‎1米 B、大于‎1米 C、小于‎1米 D、不能确定 ‎ ‎ ‎4、如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若cot∠BCD＝3，则tanA＝（ ）‎ ‎ A、 B、‎1 C、 D、‎ 三、解答题：‎ ‎1、如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝1200，∠BAD＝750，∠D＝600，求CD的长。‎ ‎2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD＝DE，AC＋CD＝9。求：①BC的长；②CE的长。‎ ‎3、如图，已知BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，，∠BAE＝。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，AF＝6时，求cot∠BAD的值。‎ ‎ ‎ 跟踪训练参考答案 一、填空题：‎ ‎1、；2、；3、；4、1∶；5、；6、300‎ 二、选择题：CDCA 三、解答题：‎ ‎1、；‎ ‎2、BC＝8，CE＝；‎ ‎3、，‎