中考数学真题分类汇编套专题三十六相似形

中考数学真题分类汇编套专题三十六相似形

一、选择题 ‎1．（2010山东烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是 ‎【答案】D ‎ ‎2．（2010山东烟台）如图，△ ABC中，点D在线段BC上，且△ ABC∽△ DBA，则下列结论一定正确的是 A、AB2=BC·BD B、AB2=AC·BD C、AB·AD=BD·BC D、AB·AD=AD·CD ‎【答案】A ‎ ‎3．（2010台湾） 图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置，其中与 ‎ 交于H点。若ÐABC=ÐEFC=70°，ÐACB=60°，ÐDGB=40°，则下列哪 ‎ 一组三角形相似？(A) △BDG，△CEF (B) △ABC，△CEF ‎ (C) △ABC，△BDG (D) △FGH，△ABC 。‎ A B C D E F G H 图(一)‎ ‎【答案】B ‎4．（2010浙江嘉兴）如图，已知AD为△ABC的角平分线，交AC于E，如果，那么（　▲　）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（第7题）‎ ‎【答案】B ‎ ‎5．（2010 福建德化）下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（　　）‎ A、1、2、3、4 B、1、2、2、4 C、3、5、9、13 D、1、2、2、3‎ ‎【答案】B ‎ ‎6．（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一 边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）‎ A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 ‎【答案】B ‎ ‎7．（2010年上海）下列命题中，是真命题的为（ ）‎ A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似 ‎【答案】D ‎ ‎8．（2010山东潍坊）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）．‎ A．0．618 B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎ ‎9．（2010北京） 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB=3∶4，AE=6，则AC等于( )‎ A B C D E A．3 B．4 C．6 D． 8‎ ‎【答案】D ‎ ‎10．（2010年上海）下列命题中，是真命题的为（ ）‎ A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似 ‎【答案】D ‎ ‎11．（2010云南楚雄）下列说法不正确的是（ ）‎ A．在选举中，人们通常最关心的数据是众数．‎ B．掷一枚骰子，3点朝上是不确定事件．‎ C．数据3，5，4，1，－2的中位数是3．‎ D．有两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似．‎ ‎【答案】D ‎ ‎12．（2010河南）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③.其中正确的有 ‎ ‎(A)3个 (B)2个 ‎(C)1个 （D）0个 ‎【答案】A ‎ ‎13．（2010 四川绵阳）如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．‎ 若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ ）．‎ A．1 : 2 B．1 : 3‎ C．2 : 3 D．11 : 20‎ G A B D C O ‎【答案】A ‎ ‎14．（2010广西桂林）如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE 与△ABC的面积比为（ ）．‎ A． 1：2 B． 1：4 ‎ C． 2：1 D． 4：1‎ ‎【答案】B ‎ ‎15．（2010辽宁沈阳）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为 A．9 B．12 C．15 D．18‎ ‎【答案】A ‎ ‎16．（2010福建省南平）下列说法中，错误的是( )‎ A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似 C．矩形都相似 D．正方形都相似 ‎【答案】C ‎ ‎17．（2010吉林）如图，在△ABC中，∠C=900，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎ ‎18．（2010内蒙赤峰）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是 （ ）‎ ‎【答案】C ‎ ‎19．（2010广西百色）下列命题中，是假命题的是（ ） ‎ A.全等三角形的对应边相等 B.两角和一边分别对应相等的两个三角形全等 C.对应角相等的两个三角形全等 D.相似三角形的面积比等于相似比的平方 ‎【答案】C ‎ ‎20．（2010广西百色）如图，△中，、分别为、边上的点，‎ ‎∥，为边上的中线，若=5，=3，=4，则的长为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ 第12题 ‎【答案】B ‎ 二、填空题 ‎1．（2010江苏南通）若△ABC∽△DEF， △ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为 ▲ ． ‎ ‎【答案】1∶2‎ ‎2．（2010 嵊州市）如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F,C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD＝CF，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎3．（2010年上海）如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.‎ 图2‎ ‎【答案】DB=3‎ ‎4．（2010山东临沂） 如图，，添加一个条件使得∽ .‎ ‎ ‎ ‎（第17题图）‎ ‎ 全品中考网 ‎【答案】∠B=∠D, ∠C=∠E,等 ‎5．（2010江苏淮安）在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为 m． ‎ ‎【答案】9‎ ‎6．（2010陕西西安）如图，在中，D是AB边上一点，连接CD，要使与 相似，应添加的条件是 。‎ ‎（只需写出一个条件即可）‎ ‎【答案】∠ACD=∠B（∠ADC=∠ACB或）‎ ‎7．（2010四川内江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AE＝CF，D为BF的中点，则AE∶AF的值为　　　　　　.‎ A B D E F C ‎【答案】　‎ ‎8．（2010云南昭通）如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和5cm。且较小三角形的周长为15cm，则较大三角形周长为______cm．‎ ‎【答案】25‎ ‎9．（2010福建南平）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且AD=AB，则△ADE的周长与△ABC的周长的比为__________.‎ 第17题 A B C D E ‎【答案】: ‎10．（2010四川达州） 如图7，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有 （多选、错选不得分）.‎ ‎①∠A+∠B=90° ②‎ ‎③ ④‎ 图7‎ ‎【答案】①②④‎ 三、解答题 ‎1．（2010江苏南京）（8分）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。‎ ‎（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”。‎ ‎（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足 ‎ 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。‎ 已知：如图， 。‎ 试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.‎ ‎【答案】‎ ‎2．（2010 浙江省温州市）(本题l4分)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．‎ ‎(1)当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；‎ ‎(2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值；‎ ‎(3)以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．‎ ‎ ①当t>时，连结C′C，设四边形ACC′A ′的面积为S，求S关于t的函数关系式；‎ ‎②当线段A ′C ′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．‎ ‎【答案】‎ ‎3．（2010 四川南充）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E． （1）求证：△ABD∽△CED． （2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．‎ A D E B F C ‎【答案】A D E B F C M （1）证明：∵　△ABC是等边三角形， ∴　∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°． ∵　CE是外角平分线，　∴　∠ACE＝60°． ∴　∠BAC＝∠ACE．　　　　 又∵　∠ADB＝∠CDE， ∴　△ABD∽△CED．　　　　　‎ ‎（2）解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6． ∴　AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝． ∵　AD＝2CD，∴　CD＝2，AD＝4，MD＝1．　　　　　　　　 ‎ 在Rt△BDM中，BD＝＝．　　　　　　　 由（1）△ABD∽△CED得，，， ∴　ED＝，∴　BE＝BD＋ED＝．‎ ‎4．（2010 浙江衢州）(本题10分)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上．‎ ‎(1)　判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；‎ ‎(2)　P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．‎ A C B F E D P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ ‎【答案】解：(1)　△ABC和△DEF相似． ‎ 根据勾股定理，得　，，BC=5 ；‎ ‎，，．‎ ‎∵　， ‎ ‎∴　△ABC∽△DEF． ‎ ‎(2)　答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可． ‎ A C B F E D P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ ‎(第22题)‎ P5‎ ‎△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，‎ ‎△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．‎ ‎5．（2010 河北）（本小题满分10分）在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 于点O，∠1 = ∠2 = 45°．‎ ‎（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD ‎ 的数量关系和位置关系；‎ ‎（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到 图15-2，其中AO = OB．‎ 求证：AC = BD，AC ⊥ BD；‎ ‎（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到 图15-3，求的值．‎ 图15-2‎ A D O B C ‎2‎ ‎1‎ M N 图15-1‎ A D B M N ‎1‎ ‎2‎ 图15-3‎ A D O B C ‎2‎ ‎1‎ M N O ‎ 全品中考网 ‎【答案】‎ 解：（1）AO = BD，AO⊥BD； ‎ ‎（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．‎ 图4‎ A D O B C ‎2‎ ‎1‎ M N E F ‎  又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，‎ ‎∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE． ‎ 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．‎ ‎∴∠DEB = 45°．‎ ‎∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．‎ ‎∴AC = BD． ‎ 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．‎ ‎∴AC⊥BD．‎ ‎（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．‎ A O B C ‎1‎ D ‎2‎ 图5‎ M N E 又∵∠BOE = ∠AOC ， ‎ ‎∴△BOE ∽ △AOC．‎ ‎∴． ‎ 又∵OB = kAO，‎ 由（2）的方法易得 BE = BD．‎ ‎∴．‎ ‎6．（2010 广东珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，‎ 连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.‎ (1) 求证：△ADF∽△DEC (2) 若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴AD∥BC AB∥CD ‎ ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°‎ ‎ ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ‎ ∴∠AFD=∠C ‎ ∴△ADF∽△DEC ‎(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴AD∥BC CD=AB=4‎ ‎ 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD ‎ 在Rt△ADE中，DE=‎ ‎ ∵△ADF∽△DEC ‎ ∴ ∴ AF=‎ ‎7．（2010湖北武汉）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．‎ ‎（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；‎ ‎（2）如图2，当OA=OB，=时，求tan∠BPC；‎ ‎（3）如图3，当AD∶AO∶OB=1∶n∶时，直接写出tan∠BPC的值．‎ 图 1‎ 图 2‎ 图 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）过C作CE∥OA交BD于E，证△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；再证△ECP∽△DAP得； （2）过C作CE∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，证△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再证△ECP∽△DAP得；由勾股定理可知BD=5x，DE=x，则，可得PD=AD=x，则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=； (3)．‎ ‎8．（2010江苏淮安）如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．‎ ‎ (1)点C坐标是( ， )，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )；‎ ‎ (2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值 ‎ 时，S最大；‎ ‎ (3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题28(b)图，若点E与点D同时 ‎ 出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以 ‎ 点A．O为对应顶点的情况)：‎ 题28(a)图 题28(b)图 ‎【答案】解：（1）C（3，4）、D（9，4）‎ ‎（2）当D在OA上运动时，（0＜t＜6）；‎ 当D在AB上运动时，过点O作OE⊥AB，过点C作CF⊥AB，垂足分别为E和F，过D作DM⊥OA，过B作BN⊥OA，垂足分别为M和N，如图：‎ 设D点运动的时间为t秒，所以DA=2t-12，BD=22-2t，‎ 又因为C为OB的中点，‎ 所以BF为△BOE的中位线，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为BN⊥OA，DM⊥OA，‎ 所以△ADM∽△ABN，‎ 所以， ‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 即（6≤t＜11），‎ 所以当t=6时，△OCD面积最大，为；‎ 当D在OB上运动时，O、C、D在同一直线上，S=0（11≤t≤16）.‎ ‎（3）设当运动t秒时，△OCD∽△ADE，则，即，所以t=3.5；‎ 设当运动t秒时，△OCD∽△AED，则，即，所以，所以，（舍去），‎ 所以当t为3.5秒或秒时两三角形相似.‎ ‎9．（2010 山东滨州）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．‎ ‎(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；‎ ‎(2)请分别说明两对三角形相似的理由．‎ ‎【答案】解： (1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎(2)①证△ABC∽△ADE．‎ ‎∵∠BAD=∠CAE，‎ ‎∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，‎ 即∠BAC=∠DAE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又∵∠ABC=∠ADE，‎ ‎∴△ABC∽△ADE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎②证△ABD∽△ACE．‎ ‎∵△ABC∽△ADE，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎10．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．‎ ‎（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；‎ ‎（2）求证：AB2＝AE•AC．‎ ‎【答案】‎ 证明：（1）在△ADE和△ACD中 ‎ ∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE ‎∴∠AED=180°－∠DAE－∠ADE ‎∠ADC＝180°－∠DAE－∠C ‎∴∠AED=∠ADC ‎∵∠AED+∠DEC=180°‎ ‎∠ADB+∠ADC=180°‎ ‎∴∠DEC=∠ADB 又∵AB=AD ‎ ∴∠ADB=∠B ‎ ∴∠DEC=∠B ‎（2）在△ADE和△ACD中 由（1）知∠ADE＝∠C，∠DAE=∠DAE ‎∴△ADE∽△ACD ‎∴‎ 即AD2=AE•AC 又∵AB=AD ‎∴AB2＝AE•AC ‎11．（2010江苏南京）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。‎ ‎（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”。‎ ‎（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足 ‎ 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。‎ 已知：如图， 。‎ 试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.‎ ‎【答案】 ‎ ‎12．（2010辽宁大连）如图12，ACB=，CDAB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EFBE交AB于点F，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论 全品中考网 说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分 （1） m=1（如图13）‎ （2） m=1，k=1（如图14）‎ F D E G B C A 图12‎ ‎ ‎B D F G E C A 图13‎ F D B G E C A 图14‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎13．（2010广东佛山）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看，如图，是一个参加空姐选拨的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？（精确到1cm）‎ 参考数据：黄金分割比为。‎ ‎【答案】解：设应穿xcm高的鞋子，‎ 根据题意，得，‎ 解得x≈10cm，‎ ‎14．（2010广东佛山）一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法。请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：‎ 如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC。‎ （1） 若∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD～△ABC（不包括全等）？‎ （2） 请对∠BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD～△ABC(不包括全等)的点D的个数。‎ ‎【答案】（1）（i）如图，若点D在线段AB上，‎ 由于∠ACB＞∠ABC，可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC, ‎ 使得△ACD∽△ABC。………………………………………1分 ‎(ii)如图①，若点D在线段AB的延长线上，‎ 则∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，与条件矛盾，‎ 因此，这样的点D不存在。…………………………2分 ‎（iii）如图②，若点D在线段AB的反向延长线上，‎ ‎15．（2010黑龙江绥化）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°.‎ 当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证△PME∽△PNF，得出PN=PM.（不需证明）‎ 当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选其一给予证明.‎ ‎【答案】解：如图2，如图3中都有结论：PN＝PM……………………………2分 选如图2： 在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F ‎∴四边形BFPE是矩形 ∴∠EPF＝90º，‎ ‎∵∠EPM＋∠MPF＝∠FPN＋∠MPF＝90º 可知∠EPM＝∠FPN ∴△PFN∽△PEM ……………………2分 ‎∴＝ …………………………………………………………1分 又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A＝30º，∠C＝60º ‎∴PF＝PC，PE＝PA……………………………………………1分 ‎∴＝＝ ……………………………………………1分 ‎∵PC＝PA ∴＝ 即：PN＝PM ………………1分 若选如图3，其证明过程同上（其他方法如果正确，可参照给分）‎ ‎16．（2010内蒙呼和浩特）如图，等边△ABC的边长为12㎝，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE＝4㎝，若点F从点B开始以2㎝/s的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O.‎ ‎（1）设△EGA的面积为S（㎝2），求S与t的函数关系式；‎ ‎（2）在点F运动过程中，试猜想△GFH的面积是否改变，若不变，求其值；若改变，请说明理由.‎ ‎（3）请直接写出t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点.‎ ‎【答案】解：（1）作EM⊥GA，垂足为M ‎∵等边△ABC　∴∠ACB＝60°‎ ‎∵GA∥BC　∴∠MAE＝60°‎ ‎∵AE＝4　∴ME＝AE·sin60°＝2…………1分 又GA∥BH　∴△AGD∽△BFD ‎∴＝　∴AG＝t ‎∴S=t…………3分 ‎（2） 猜想：不变…………4分 ‎∵AG∥BC ‎∴△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE ‎∴＝，＝ ‎∴＝ ‎∴＝ ‎∴BF＝CH……………………5分 情况①：0＜t＜6时，‎ ‎∵BF＝CH ‎∴BF＋CF＝CH＋CF，即：FH＝BC……………………6分 情况②：t＝6时，有FH＝BC……………………7分 情况③：t＞6时 ‎∵BF＝CH ‎∴BF－CF＝CH－CF，即：FH＝BC ‎∴S△GFH＝S△ABC＝36 综上所述，当点F在运动过程中，△GFH的面积为36㎝2……………………8分 （1） t=3s或12s……………………10分（每种情况各1分）‎ ‎17．（2010四川攀枝花）如图9，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连结EF．‎ ‎（1）求证：ＥＦ∥ＢＣ；‎ ‎（2）若△ABD的面积是6．求四边形BDFE的面积 图9‎ F E D C B A ‎（1）证明： ∵DC=AC ∴△ACD为等腰三角形 …………1分 ‎∵CF平分∠ACD ∴F为AD的中点………………2分 ‎∵E为AB的中点 ‎∴EF为△ABD的中位线 ‎∴EF∥BC……………3分 ‎（2）由（1）得EF∥BC ‎ ‎ ∴=……………4分 ‎ ∴Ｓ△AEF：Ｓ△ABD＝１：４‎ ‎ ∴Ｓ四边形BDEF：Ｓ△ABD　= 3：4 ………………5分 ‎ ∵Ｓ△ABD＝６　　　∴Ｓ四边形BDEF＝………………6分【答案】‎ 由于∠BAC是锐角，则∠BAC＜90°＜∠CAD，‎ 不可能有△ACD∽△ABC.‎ 因此，这样的点D不存在。……………………………………6分 综上所述，这样的点D有一个。………………………………7分