中考数学专题特训第二讲:实数的运算(含详细参考答案)

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中考数学专题特训第二讲:实数的运算(含详细参考答案)

中考数学专题复习第二讲:实数的运算 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 实数的运算。‎ ‎1、基本运算:初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 和 共六种,运算顺序是先算 ,再算 ,最后算 ,有括号时要先算 ,同一级运算,按照 的顺序依次进行。‎ ‎2、运算法则:‎ 加法:同号两数相加,取 的符号,并把 相加,异号两数相加,取 的符号,并用较大的 减去较小 的,任何数同零相加仍得 。‎ 减法,减去一个数等于 。‎ 乘法:两数相乘,同号得 ,异号得 ,并把 相乘。‎ 除法:除以一个数等于乘以这个数的 。‎ 乘方:(-a) 2n +1 = (-a) 2n = ‎ ‎3、运算定律:加法交换律:a+b= ‎ ‎ 加法结合律:(a+b)+c= ‎ ‎ 乘法交换律:ab= ‎ ‎ 乘法结合律:(ab)c= ‎ ‎ 分配律: (a+b)c= ‎ 二、零指数、负整数指数幂。‎ ‎ = (a≠0) a-p= (a≠0) ‎ ‎【提醒:1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起,计算时要注意运算顺序和运算性质。2、注意底数为分数的负指数运算的结果,如:()-1= 】‎ 三、实数的大小比较:‎ ‎1、比较两个有理数的大小,除可以用数轴按照 的原则进行比较以外,,还有 比较法、 比较法等,两个负数 大的反而小。‎ ‎2、如果几个非负数的和为零,则这几个非负数都为 。‎ ‎【提醒:比较实数大小的方法有很多,根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如:比较的大小,可以先确定和的取值范围,然后得结论:+2 -2。】‎ ‎【重点考点例析】‎ 考点一:实数的大小比较。‎ 例1 (2012•西城区)已知的整数部分为a,小数部分为b,则代数式a2-a-b的值为 .‎ 思路分析:由于3<<4,由此可得的整数部分和小数部分,即得出a和b,然后代入代数式求值.‎ 解:∵3<<4,‎ ‎∴a=3,b=-3,‎ 则a2-a-b=32-3-(-3)=9-3-+3=9-,‎ 故答案为:9-.‎ 点评:此题主要考查了无理数的估算能力,现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.‎ 例2 (2012•台湾)已知甲、乙、丙三数,甲=,乙=,丙=,则甲、乙、丙的大小关系,下列何者正确?(  )‎ A.丙<乙<甲 B.乙<甲<丙 C.甲<乙<丙 D.甲=乙=丙 ‎ 思路分析:本题可先估算无理数的整数部分的最大值和最小值,再求出甲,乙,丙的取值范围,进而可以比较其大小.‎ 解:∵3=<<=4,‎ ‎∴8<5+<9,‎ ‎∴8<甲<9;‎ ‎∵4=<<=5,‎ ‎∴7<3+<8,‎ ‎∴7<乙<8,‎ ‎∵4= <<=5,‎ ‎∴5<1+<6,‎ ‎∴丙<乙<甲 ‎ ‎ 故选A.‎ 点评:本题考查了实数的比较大小:(1)任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小.‎ ‎(2)利用数轴也可以比较任意两个实数的大小,即在数轴上表示的两个实数,右边的总比左边的大,在原点左侧,绝对值大的反而小.‎ 对应训练 ‎1.(2012•南京)12的负的平方根介于(  )‎ A.-5与-4之间 B.-4与-3之间 C.-3与-2之间 D.-2与-1之间 ‎1.B.‎ ‎2.(2012•宁夏)已知a、b为两个连续的整数,且a<<b,则a+b= .‎ ‎2.7‎ 考点二:实数的混合运算。‎ 例3 (2012•岳阳)计算:.‎ 思路分析:本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.‎ 解:原式=3-+3-1+2× ‎ ‎=3-+3-1+ ‎ ‎=5.‎ 点评:本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点.‎ 对应训练 ‎3.(2012•肇庆)计算:.‎ ‎3.解:原式= ‎ ‎= ‎ ‎=.‎ 考点三:实数中的规律探索。‎ 例4 (2012•张家界)阅读材料:对于任何实数,我们规定符号的意义是 ‎=ad-bc.例如:,.‎ ‎(1)按照这个规定,请你计算的值;‎ ‎(2)按照这个规定,请你计算:当x2-4x+4=0时,的值.‎ 思路分析:(1)根据符号的意义得到=5×8-7×6,然后进行实数的乘法运算,再进行实数的减法运算即可;‎ ‎(2)利用配方法解方程x2-4x+4=0得x=2,则=,然后根据符号的意义得到3×1-4×1,再进行实数的运算.‎ 解:(1)=5×8-7×6=-2;‎ ‎(2)由x2-4x+4=0得(x-2)2=4,‎ ‎∴x=2,‎ ‎∴==3×1-4×1=-1.‎ 点评:本题考查了实数的运算:先进行乘方或开方运算,再进行乘除运算,然后进行加减运算.也考查了配方法解一元二次方程以及阅读理解能力.‎ 对应训练 ‎【聚焦山东中考】‎ 一、选择题 ‎1.(2012•泰安)下列各数比-3小的数是(  )‎ A.0 B.1 C.-4 D.-1‎ ‎1.C ‎2.(2012•聊城)计算的结果是(  )‎ A. B. C.-1 D.1 ‎ ‎2.A ‎3.(2012•菏泽)在算式的 中填上运算符号,使结果最大,这个运算符号是(  )‎ A.加号 B.减号 C.乘号 D.除号 ‎ ‎3.D 二、填空题 ‎1.(2012•德州) .(填“>”、“<”或“=”)‎ ‎1.>‎ ‎2.(2012•济南)计算:2sin30°= .‎ ‎2.-3‎ 解:2sin30° =2×-4=1-4=-3.‎ 故答案为:-3.‎ ‎【备考真题过关】‎ 一、选择题 ‎1.(2012•重庆)在-3,-1,0,2这四个数中,最小的数是(  )‎ A.-3 B.-1 C.0 D.2‎ ‎1.A ‎2.(2012•桂林)下面是几个城市某年一月份的平均温度,其中平均温度最低的城市是(  )‎ A.桂林11.2℃ B.广州13.5℃ C.北京-4.8℃ D.南京3.4℃‎ ‎2.C ‎3.(2012•莆田)下列各数中,最小的数是(  )‎ A.-l B.0 C.1 D. ‎ ‎3.A ‎4.(2012•肇庆)计算-3+2的结果是(  )‎ A.1 B.-1 C.5 D.-5‎ ‎4.B ‎5.(2012•南通)计算6÷(-3)的结果是(  )‎ A. B.-2 C.-3 D.-18 ‎ ‎5.B ‎6.(2012•滨州)-23等于(  )‎ A.-6 B.6 C.-8 D.8‎ ‎6.C ‎7.(2012•黑龙江)若(a-2)2+|b-1|=0,则(b-a)2012的值是(  )‎ A.-1 B.0 C.1 D.2012‎ ‎7.C ‎8.(2012•义乌市)一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在(  )‎ A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 ‎8.B ‎9.(2012•天津)估计的值在(  )‎ A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 ‎ ‎9.B 二、填空题 ‎10.(2012•绵阳)比-1℃低2℃的温度是 ℃.(用数字填写)‎ ‎10.-3‎ ‎11.(2012•扬州)扬州市某天的最高气温是6℃,最低气温是-2℃,那么当天的日温差是 .‎ ‎11.8℃‎ ‎13.(2012•云南)写出一个大于2小于4的无理数: 。‎ ‎13.、、、π…(只要是大于小于无理数都可以)‎ ‎14.(2012•陕西)计算2cos45°-+= .‎ ‎14.‎ ‎15.(2012•荆门)计算 .‎ ‎15.-1‎ ‎16.(2012•沈阳)今年沈阳市人均月最低工资标准为900元,相比去年提高了200元,则今年沈阳市人均最低工资相比去年涨幅的百分数约为 %(结果保留一位小数).‎ ‎16.28.6‎ 解:∵沈阳市人均月最低工资标准为900元,相比去年提高了200元,‎ ‎∴去年人均最低工资=900-200=700元,‎ ‎∴今年沈阳市人均最低工资相比去年涨幅的百分数=200 700 ≈0.286=28.6%.‎ 故答案为:28.6.‎ ‎17.(2012•黄石)“数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050,今天我们可以将高斯的做法归纳如下:‎ 令 S=1+2+3+…+98+99+100 ①‎ S=100+99+98+…+3+2+1 ②‎ ‎①+②:有2S=(1+100)×100 解得:S=5050‎ 请类比以上做法,回答下列问题:‎ 若n为正整数,3+5+7+…+(2n+1)=168,则n= .‎ ‎17.12‎ 解:设S=3+5+7+…+(2n+1)=168①,‎ 则S=(2n+1)+…+7+5+3=168②,‎ ‎①+②得,2S=n(2n+1+3)=2×168,‎ 整理得,n2+2n-168=0,‎ 解得n1=12,n2=-14(舍去).‎ 故答案为:12.‎ 三、解答题 ‎18.(2012•珠海)计算:.‎ ‎18.解:原式=2-1+1-2=0.‎ ‎19.(2012•株洲)计算:2-1+cos60°-|-3|.‎ ‎19.解:原式=.‎ ‎20.(2012•重庆)计算:.‎ ‎20.解:原式=2+1-5+1+9=8。 ‎
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