平凉市中考数学试题

平凉市中考数学试题

‎2014年甘肃省平凉市中考数学试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填涂在答题卡上．‎ ‎1．（3分））﹣3的绝对值是（　　）‎ ‎　 A． 3 B． ﹣3 C． ﹣ D． ‎ ‎ 2．（3分））节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　 A． 3.5×107 B． 3.5×108 C． 3.5×109 D． 3.5×1010‎ ‎3．（3分））如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是（　　）‎ ‎ ‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎4．（3分））下列计算错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎•=‎ B．‎ ‎+=‎ C．‎ ‎÷=2‎ D．‎ ‎=2‎ ‎5．（3分））将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4个 B．‎ ‎3个 C．‎ ‎2个 D．‎ ‎1个 ‎6．（3分））下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7．（3分））已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 相交 B．‎ 相切 C．‎ 相离 D．‎ 无法判断 ‎8．（3分））用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x（5+x）=6‎ B．‎ x（5﹣x）=6‎ C．‎ x（10﹣x）=6‎ D．‎ x（10﹣2x）=6‎ ‎9．（3分））二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣1，﹣1）‎ B．‎ ‎（1，﹣1）‎ C．‎ ‎（﹣1，1）‎ D．‎ ‎（1，1）‎ ‎10．（3分））如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF=x（0.2≤x≤0.8），EC=y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之闻函数关系的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案写在答题卡中的横线上.‎ ‎11．（4分））分解因式：2a2﹣4a+2=　 　．‎ ‎12．（4分））化简：=　 　．‎ ‎13．（4分））等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是　 　cm．‎ ‎14．（4分））一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=　1　．‎ ‎15．（4分））△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=　60°　．‎ ‎16．（4分）已知x、y为实数，且y=﹣+4，则x﹣y=　 或﹣7　．‎ ‎17．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为　 　．‎ ‎18．（4分））观察下列各式：‎ ‎13=12‎ ‎13+23=32‎ ‎13+23+33=62‎ ‎13+23+33+43=102‎ ‎…‎ 猜想13+23+33+…+103=　552　．‎ 三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎19．（6分））计算：（﹣2）3+×（2014+π）0﹣|﹣|+tan260°．‎ ‎20．（6分））阅读理解：‎ 我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为=ad﹣bc．如=2×5﹣3×4=﹣2．‎ 如果有＞0，求x的解集．‎ ‎21．（8分））如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．‎ ‎（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；‎ ‎（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．‎ ‎22．（8分））为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm．点A、C、E在同一条只显示，且∠CAB=75°．（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）‎ ‎（1）求车架档AD的长；‎ ‎（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm）．‎ ‎23．（10分））如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线相交于A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．‎ ‎（1）求m、n的值；‎ ‎（2）求直线AC的解析式．‎ 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎24．（8分））在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．‎ ‎（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；‎ ‎（2）求点（x，y）在函数y=﹣x+5图象上的概率．‎ ‎25．（10分））某校课外小组为了解同学们对学校“阳光跑操”活动的喜欢程度，抽取部分学生进行调查，被调查的每个学生按A（非常喜欢）、B（比较喜欢）、C（一般）、D（不喜欢）四个等级对活动评价，图1和图2是该小组采集数据后绘制的两幅统计图，经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误且并不完整．请你根据统计图提供的信息．解答下列问题：‎ ‎（1）此次调查的学生人数为　 　；‎ ‎（2）条形统计图中存在错误的是　 　（填A、B、C、D中的一个），并在图中加以改正；‎ ‎（3）在图2中补画条形统计图中不完整的部分；‎ ‎（4）如果该校有600名学生，那么对此活动“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生共有多少人？‎ ‎26．（10分））D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．‎ ‎（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；‎ ‎（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）‎ ‎27．（10分））如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．‎ ‎（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．‎ ‎（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．‎ ‎28．（12分））如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．‎ ‎（1）求点M、A、B坐标；‎ ‎（2）联结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；‎ ‎（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．‎ 参考答案与试题解析 ‎　一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填涂在答题卡上．‎ ‎1．A． 2．B 3．D 4．B 5．C 6.Ｄ　7．Ａ 8．Ｂ　９．Ｄ ‎ ‎10．解：根据题意知，BF=1﹣x，BE=y﹣1，且△EFB∽△EDC，‎ 则=，即=，‎ 所以y=（0.2≤x≤0.8），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．‎ A、D的图象都是直线的一部分，B的图象是抛物线的一部分，C的图象是双曲线的一部分．‎ 故选C．‎ 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案写在答题卡中的横线上.‎ ‎11．　2（a﹣1）2　． 12．　x+2　． 13．　8　cm． 14． a=　1　．‎ ‎15．∠C=　60°　． 16． x﹣y=　﹣1或﹣7　．‎ ‎17．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为　12　．‎ 解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，‎ ‎∴菱形的面积=×6×8=24，‎ ‎∵O是菱形两条对角线的交点，‎ ‎∴阴影部分的面积=×24=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎18．分析： 13=12‎ ‎13+23=（1+2）2=32‎ ‎13+23+33=（1+2+3）2=62‎ ‎13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102‎ ‎13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．‎ 解：根据数据可分析出规律为从1开始，连续n个数的立方和=（1+2+…+n）2‎ 所以13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．‎ 三、解答题（一）：‎ ‎ 19．解：原式=﹣8+﹣+3=﹣5．‎ ‎20．解：由题意得2x﹣（3﹣x）＞0，‎ 去括号得：2x﹣3+x＞0，‎ 移项合并同类项得：3x＞3，‎ 把x的系数化为1得：x＞1．‎ ‎21．‎ ‎（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；‎ ‎（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴∠ABD=∠A=30°，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD，‎ ‎∴BD平分∠CBA．‎ ‎22．解：（1）∵在Rt△ACD中，AC=45cm，DC=60cm ‎∴AD==75（cm），‎ ‎∴车架档AD的长是75cm；‎ ‎（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，‎ ‎∵AE=AC+CE=（45+20）cm，‎ ‎∴EF=AEsin75°=（45+20）sin75°≈62.7835≈63（cm），‎ ‎∴车座点E到车架档AB的距离约是63cm．‎ ‎23．‎ 解：（1）∵直y=mx与双曲线y=相交于A（﹣1，a）、B两点，‎ ‎∴B点横坐标为1，即C（1，0），‎ ‎∵△AOC的面积为1，‎ ‎∴A（﹣1，2），‎ 将A（﹣1，2）代入y=mx，y=可得m=﹣2，n=﹣2；‎ ‎（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵y=kx+b经过点A（﹣1，2）、C（1，0）‎ ‎∴，‎ 解得k=﹣1，b=1，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=﹣x+1．‎ 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎24．‎ 解：列表得：‎ ‎1 2 3 4‎ ‎1 （1，2） （1，3） （1，4）‎ ‎2 （2，1） （2，3） （2，4）‎ ‎3 （3，1） （3，2） （3，4）‎ ‎4 （4，1） （4，2） （4，3） ‎ ‎（1）点P所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种； ‎ ‎（2）∵共有12种等可能的结果，其中在函数y=﹣x+5图象上的有4种，‎ 即：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）‎ ‎∴点P（x，y）在函数y=﹣x+5图象上的概率为：P=．‎ ‎25．解：（1）∵40÷20%=200，‎ ‎80÷40%=200，∴此次调查的学生人数为200；‎ ‎（2）由（1）可知C条形高度错误，‎ 应为：200×（1﹣20%﹣40%﹣15%）=200×25%=50，‎ 即C的条形高度改为50；‎ 故答案为：200；C；‎ ‎（3）D的人数为：200×15%=30；‎ ‎（4）600×（20%+40%）=360（人），‎ 答：该校对此活动“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生有360人．‎ ‎26．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，‎ ‎∴DE∥BC，且DE=BC，‎ 同理，GF∥BC，且GF=BC，‎ ‎∴DE∥GF且DE=GF，‎ ‎∴四边形DEFG是平行四边形；‎ ‎（2）解：当OA=BC时，平行四边形DEFG是菱形．‎ 点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．‎ ‎　27．（1）证明：连接OD，OE，‎ ‎∵AB为圆O的直径，‎ ‎∴∠ADB=∠BDC=90°，‎ 在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，‎ ‎∴DE=BE，‎ 在△OBE和△ODE中，‎ ‎，‎ ‎∴△OBE≌△ODE（SSS），‎ ‎∴∠ODE=∠ABC=90°，‎ 则DE为圆O的切线；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，‎ ‎∴BC=AC，‎ ‎∵BC=2DE=4，‎ ‎∴AC=8，‎ 又∵∠C=60°，DE=DC，‎ ‎∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，‎ 则AD=AC﹣DC=6．‎ ‎28．分析：（1）根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式，然后写出顶点M的坐标，令x=0求出A点的坐标，把x=3代入函数解析式求出点B的坐标；‎ ‎（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，然后求出∠EAB=∠EBA=45°，同理求出∠FAM=∠FMA=45°，然后求出△ABE和△AMF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出∠BAM=90°，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解；‎ ‎（3）过点P作PH⊥x轴于H，分点P在x轴的上方和下方两种情况利用α的正切值列出方程求解即可．‎ 解答： 解：（1）抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣3，‎ 顶点M（1，﹣3），‎ 令x=0，则y=（0﹣1）2﹣3=﹣2，‎ 点A（0，﹣2），‎ x=3时，y=（3﹣1）2﹣3=4﹣3=1，‎ 点B（3，1）；‎ ‎（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，‎ ‎∵EB=EA=3，‎ ‎∴∠EAB=∠EBA=45°，‎ 同理可求∠FAM=∠FMA=45°，‎ ‎∴△ABE∽△AMF，‎ ‎∴==，‎ 又∵∠BAM=180°﹣45°×2=90°，‎ ‎∴tan∠ABM==；‎ ‎（3）过点P作PH⊥x轴于H，‎ ‎∵y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2，‎ ‎∴设点P（x，x2﹣2x﹣2），‎ ‎①点P在x轴的上方时，=，‎ 整理得，3x2﹣7x﹣6=0，‎ 解得x1=﹣（舍去），x2=3，‎ ‎∴点P的坐标为（3，1）；‎ ‎②点P在x轴下方时，=，‎ 整理得，3x2﹣5x﹣6=0，‎ 解得x1=（舍去），x2=，‎ x=时，x2﹣2x﹣2=﹣×=﹣，‎ ‎∴点P的坐标为（，﹣），‎ 综上所述，点P的坐标为（3，1）或（，﹣）．‎