中考数学几何旋转例题

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中考数学几何旋转例题

旋转知识点归纳 O B A 图1‎ 知识点1:旋转的定义及其有关概念 在平面内,将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,定点O称为旋转中心,转动的角称为旋转角;如果图形上的点P经过旋转到点,那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB绕点O顺时针转动得到,这就是旋转,点O就是旋转中心,都是旋转角.‎ 说明: 旋转的范围是在平面内旋转,否则有可能旋转为立体图形,因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向.‎ 知识点2:旋转的性质 由旋转的定义可知,旋转不改变图形的大小和形状,这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质:‎ ‎⑴经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,对应点的排列次序相同.‎ ‎⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.‎ ‎⑶对应点到旋转中心的距离相等.‎ ‎⑷对应线段相等,对应角相等.‎ 图2‎ 例1 、如图2,D是等腰Rt△ABC内一点,BC是斜边,如果将△ADB绕点逆时针方向旋转到△的位置,则的度数是(  )‎ A. B. C. D.‎ 知识点3:旋转作图 例2 如图3,小明将△ABC绕O点旋转得到△,其中点分别是A、B、C的对应点.随即又将△ABC的边AC、BC及旋转中心O擦去(不留痕迹),他说他还能把旋转中心O及△ABC的位置找到,你认为可以吗?若可以,试确定旋转中心及的位置;如不可以,请说明理由.‎ 评注:旋转角相等及对应点到旋转中心的距离相等是解决这类问题的关键.‎ 图4‎ C B A O 图3‎ 考点4:钟表的旋转问题 钟表的时针与分针每时每刻都以轴心为旋转中心作旋转运动,其中时针12小时旋转一周,则每小时旋转这样时针每分钟旋转分针每小时旋转一周,则每分钟旋转 例3 从1点到1点25分,分针转了多少度角?时针转了多少度角?1点25分时时针与分针的夹角是多少度?‎ 解读生活中的旋转 ‎.‎ 五.典例剖析 图1‎ 例1如图1,是等腰内一点,是斜边,如果将绕点逆时针方向旋转到的位置,则的度数是(  )‎ A. B. C. D.‎ 例3在如图3的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,的三个顶点 都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).‎ 图4‎ 图3‎ ‎(1)画出向平移4个单位后的;‎ ‎(2)画出绕点顺时针旋转后的 ‎,并求点旋转到所经过的路线长.‎ 学好旋转的三个要点 ‎  旋转在实际生活中随处可见.因此,学好旋转的知识有利于我们解决实际问题,学习时应注意把握好以下几点:‎ ‎  一、正确理解旋转的概念 ‎  在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点叫做旋转中心.旋转不改变图形的形状和大小.‎ A C D B E P 图1‎ ‎  理解这个概念应注意以下两点:‎ ‎  1.旋转和平移一样,是图形的一种基本变换;‎ ‎  2.图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度.‎ ‎  例 如图1,是等腰直角三角形,,是上一点,经过旋转后到达的位置.‎ ‎  (1)旋转中心是哪一点?‎ ‎  (2)旋转了多少度?‎ ‎  (3)若是的中点,那么经过上述旋转后,点旋转到了什么位置?‎ ‎  ‎ ‎ ‎ ‎  三、会寻找旋转中心 ‎  ‎ ‎  例3 如图3所示,四边形绕某点旋转后到四边形,你能确定旋转中心吗?试一试.‎ ‎  分析:我们可以用待定位置法.假定点就是旋转中心,由于对应点到旋转中心的距离相等,则有,从而一定是线段和线段的垂直平分线的交点上.‎ ‎  .‎ 图1‎ 图4‎ ‎  心.‎ ‎  例2 如图4,是等边三角形,点分别是的中点,四边形和四边形都是正方形.‎ ‎  (1)试确定正方形绕某点旋转得正方形的旋转中心.‎ ‎  (2)正方形旋转多少度时可以与正方形重合?‎ ‎  分析:因为四边形和四边形都是正方形,所以情况较多,我们只选择其中一个讲解,其它情况请同学们自己探索,欢迎你把自己的探索成果告诉我们.‎ ‎  解:(1)选择和作为对应线段(点对应点,点的对应点为点).‎ ‎  连接,则易知,连接点与线段的中点并延长,连接点与线段的中点并延长,两直线相交于点,则有垂直平分垂直平分,则点就是旋转中心.为旋转角.‎ ‎  (2),‎ ‎,‎ ‎  (对顶角).‎ ‎  又,所以.‎ ‎  所以旋转角.‎ ‎  所以当正方形绕点顺时针旋转时,可与正方形重合.‎ 旋转坐标新意多 求旋转后点的坐标的问题是学习旋转是常见的问题。这类问题新意颇多,下面举例说明,供同学们学习时参考 ‎1、求旋转90°后点的坐标 例1、如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,4),将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′,则点A′的坐标是 .‎ 分析:在平面直角坐标系中,先做出OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OA′,然后根据点A′的特征求出点A′的坐标 解:如图所示,做出OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OA′,则A′的坐标为(4,-1)‎ 规律总结:已知点的坐标为,为坐标原点,连结,将线段绕点按顺时针方向旋转90°得,则点的坐标为,将线段绕点按逆时针方向旋转90°得,则点的坐标为,‎ ‎2、求旋转180°后点的坐标 例2、在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到‎0A′,则点A′在平面直角坐标系中的位置是在 ‎ A 第一象限 B 第二象限 c 第三象限 D 第四象限 分析:将OA绕原点O逆时针旋转180°得到‎0A′,则点A′与点A关于原点成中心对称,根据点A的坐标即可求出点A′的坐标,从而确定A′在平面直角坐标系中的位置 规律总结:已知点的坐标为,为坐标原点,连结,将线段绕点 按顺时针方向(或逆时针方向)旋转180°得,则点的坐标为, ‎ ‎3、求旋转135°后点的坐标 例3、点A的坐标为(,0),把点A绕着坐标原点顺时针旋转135º到点B,那么点B的坐标是 _________ .‎ 分析:如图所示,在平面直角坐标系中,小格点正方形的边长为1,在图中先通过旋转作图确定点B的位置,然后再求出它的坐标 ‎)‎ ‎4、求多次旋转后点的坐标 例4、如图,在直角坐标系中,已知点,,对△连续作旋转变换,依次得到三角形①、②、③、④…,则三角形⑩的直角顶点的坐标为________‎ 点评:解决本题的关键是找出△连续作旋转变换中三角形的直角顶点的坐标的变化规律,要求同学们具有一定的探索和想象能力。‎ 旋转常见错解剖析 ‎  一、分析旋转作图时语言叙述不准确 ‎  例1 分析图1的旋转现象.‎ ‎  错解:本题是由图案的绕图案中心分别旋转 四次,每次旋转90°形成的.‎ ‎  剖析:分析旋转图案的方法:(1)找准旋转图案 的基本图案,本题取图案的或;(2)找出旋      图1‎ 转中心;(3)算准旋转的角度.‎ ‎  正解:是由一个梯形绕图案中心依次旋转90°,180°,270°而形成的,也可以看做是由两个相邻的梯形绕图案的中心旋转180°而形成的.‎ ‎  二、弄错图形的旋转方向 ‎ ‎ ‎  ‎ ‎  三、忽视分类讨论 ‎  例3 在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,将△ABC绕点A旋转30°后与△AB‎1C1重合,求∠BAC1的度数.‎ ‎  四、对旋转角的概念理解不准确 B E A C D 图6‎ ‎  例4 如图6,P等边△BDE是由等边△ABC经过旋转得到的.试判断旋转中心和旋转角及旋转方向.‎ ‎ ‎ ‎  五、旋转作图中,找不准关键点,错用旋转的性质 ‎  例5 如图7所示,请将方格纸中的图形以点O为旋转中心,顺时针旋转90°,再向左平移两格,你能作出相应的图形吗?‎ ‎  ‎ ‎  剖析:未找准关键点关于旋转中心的对称点.‎ ‎  ‎ O O O 图7‎ 图8‎ 图9‎
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