青岛市中考数学探究题例题

青岛市中考数学探究题例题

模拟试题1‎ 模拟试题2‎ 问题提出：‎ 如图①，将一张直角三角形纸片△ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.‎ 知识运用：‎ （1） 如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；‎ （2） 如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；‎ （3） 若一个锐角三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？结合图③，说明理由。‎ 拓展应用：‎ ‎（4）如果一个四边形一定能折成"叠加矩形",那么它必须满足的条件是什么？‎ 模拟试题3‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 图①‎ 图②‎ 提出问题：如图①‎ ‎，在四边形ABCD中，点E、F是AD的n等分点中最中间2个，点G、H是BC的n等分点中最中间2个，（其中n为奇数），连接EG、FH，那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢？‎ ‎ ‎ 探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：‎ ‎(1).如图②：四边形ABCD中，点E、F是AD的3等分点，点G、H是BC的3等分点，连接EG、FH，那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢？‎ 如图③，连接EH、BE、DH，‎ 图③‎ 因为△EGH与△EBH高相等，底的比是1:2，‎ 所以S△EGH=S△EBH 因为△EFH与△DEH高相等，底的比是1:2，‎ 所以S△EFH=S△DEH 所以S△EGH+S△EFH=S△EBH +S△DEH 即S四边形EFHG=S四边形EBHD 连接BD，‎ 因为△ABE与△ABD高相等，底的比是1：3，‎ 所以S△ABE=S△ABD 因为△CDH与△BCD高相等，底的比是1：3，‎ 所以S△CDH=S△BCD 所以S△ABE +S△CDH=S△ABD+S△BCD=(S△ABD+S△BCD)=S四边形ABCD 所以S四边形EBHD=S四边形ABCD 所以S四边形EFHG=S四边形EBHD=×S四边形ABCD=S四边形ABCD 图④‎ ‎（1）如图④：四边形ABCD中，点E、F是AD的5等分点中最中间2个，点G、H是BC的5等分点中最中间2个，连接EG、FH，猜想：S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢 ‎ 验证你的猜想：‎ 问题解决：如图①，在四边形ABCD中，点E、F是AD的n等分点中最中间2个，点G、H是BC的n等分点中最中间2个，连接EG、FH，（其中n为奇数）‎ 那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间的关系为： （不必写出求解过程）‎ 问题拓展：仿照上面的探究思路，若n为偶数，请再给出一个一般性结论。（画出图形，不必写出求解过程）‎ 模拟试题4‎ 模拟试题5‎ ‎23．在图1﹣5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上．‎ 操作示例：‎ 当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG=b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．‎ 思考发现：‎ 小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连接CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．‎ 实践探究：‎ ‎（1）正方形FGCH的面积是　_________　；（用含a，b的式子表示）‎ ‎（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2﹣图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．‎ ‎ ‎ 联想拓展：‎ 小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移；当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．‎ 模拟试题6‎ 第23题图1‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎ 如图1，△ABC中，沿∠BAC 的角平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的角平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；以此继续下去；将余下部分沿∠BnAnC的角平分线AnBn+1折叠，最终点Bn与点C重合，那么我们就把∠BAC称为△ABC的“n阶折角”．‎ 探究发现:‎ ‎（1）如图2，△ABC中，若∠BAC 是△ABC的1阶折角，显然∠B=∠C；‎ ‎（2）如图3，△ABC中，若∠BAC 是△ABC的2阶折角，则∠B与∠C的数量关系是： ；‎ ‎（3）如图4，△ABC中，若∠BAC 是△ABC的3阶折角，则∠B与∠C的数量关系是： ；‎ 第23题图2‎ 第23题图3‎ 第23题图4‎ ‎（4）如图1，△ABC中，若∠BAC 是△ABC的n阶折角，则∠B与∠C的数量关系是： ；‎ 应用提升:‎ ‎ (1) △ABC中，∠C=90°，∠B=30°，结合上面结论，请判断△ABC中每个角是否是△ABC的折角。如果是，请说明是几阶折角？‎ ‎（2）△ABC中，∠A 是△ABC的6阶折角，∠B 是△ABC的3阶折角，请问∠C是△ABC的折角吗？如果是，请求出△ABC中各个角的度数；‎ 模拟试题7‎ 模拟试题8‎