中考数学基础知识试卷

中考数学基础知识试卷

‎2018年中考数学基础知识试卷 一．选择题（共12分）‎ ‎1．﹣23的相反数是（　　）‎ A．﹣8 B．8 C．﹣6 D．6‎ ‎2．关于的叙述正确的是（　　）‎ A．在数轴上不存在表示的点 B．=+‎ C．=±2 D．与最接近的整数是3‎ ‎3．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E． 若∠1=35°，则∠2的度数为（　　）‎ ‎ ‎ A．20° B．30° C．35° D．55°‎ ‎4．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎5．下列计算正确的是（　　）‎ A．a3•a2=a6 B．（﹣2a2）3=﹣8a6 C．（a+b）2=a2+b2 D．2a+3a=5a2‎ ‎6．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为（　　）‎ A． B．3 C． D．6‎ 二．填空题（共24分）‎ ‎7．分解因式：x3﹣4x=　 　．‎ ‎8．△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是　 　．‎ ‎9．在实数﹣5，﹣，0，π，中，最大的一个数是　 　．‎ ‎10．计算：（+）•=　 　．‎ ‎11．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于　 　度．‎ ‎12．二元一次方程组==x+2的解是　 　．‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2017的坐标是　 　．‎ ‎ ‎ ‎14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为　 　．‎ 三．解答题（共20分）‎ ‎15．小明解不等式﹣≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．‎ ‎16．如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．‎ 求证：BC=BF．‎ ‎17．计算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．‎ ‎18．某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．‎ 四、解答题（共28分）‎ ‎19．某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．‎ 月收入/元 ‎45000‎ ‎18000‎ ‎10000‎ ‎5500‎ ‎4800‎ ‎3400‎ ‎3000‎ ‎2200‎ 人数 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎11‎ ‎1‎ ‎（1）该公司员工月收入的中位数是　 　元，众数是　 　元．‎ ‎（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．‎ ‎20．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．‎ ‎21．为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．‎ ‎22．A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：‎ ‎（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是　 　（填l1或l2）；‎ 甲的速度是　 　km/h，乙的速度是　 　km/h；‎ ‎（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？‎ 五、（共16分）‎ ‎23．【探究函数y=x+的图象与性质】‎ ‎（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是　 　；‎ ‎（2）下列四个函数图象中函数y=x+的图象大致是　 　；‎ ‎（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．‎ 请将下列的求解过程补充完整．‎ 解：∵x＞0‎ ‎∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+　 　‎ ‎∵（﹣）2≥0‎ ‎∴y≥　 　．‎ ‎[拓展运用]‎ ‎（4）若函数y=，则y的取值范围　 　．‎ ‎24．（1）感知：如图①，以△ABC的边AB和BC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形BCE，其中∠ABD=∠CBE=90°，连接AE、DC．求证：△ABE≌△DBC．‎ ‎（2）应用：在（1）的条件下，若AE=8，求四边形ACED的面积．‎ ‎（3）拓展：如图②，在锐角∠BAC内有点P，以点P为直角顶点分别作等腰直角三角形DEP和等腰直角三角形FGP，点D、E、F、G分别在边AB和AC上，连结EF、DG．若FG∥EP，且DE=4，PG=2，求四边形DEFG的面积．‎ 六、（共20分）‎ ‎25．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．‎ ‎（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）‎ ‎（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；‎ ‎（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．‎ ‎26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．‎ ‎（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；‎ ‎（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；‎ ‎（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．‎ ‎　‎ ‎2018年中考数学基础知识试卷 一．选择题（共6小题）‎ ‎1．（2016•营口）﹣23的相反数是（　　）‎ A．﹣8 B．8 C．﹣6 D．6‎ 解：∵﹣23=﹣8‎ ‎﹣8的相反数是8‎ ‎∴﹣23的相反数是8．‎ 故选：B ‎2．（2017•连云港）关于的叙述正确的是（　　）‎ A．在数轴上不存在表示的点 B．=+‎ C．=±2 D．与最接近的整数是3‎ 解：A、在数轴上存在表示的点，故选项错误；‎ B、≠+，故选项错误；‎ C、=2，故选项错误；‎ D、与最接近的整数是3，故选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎3．（2017•山西）如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1=35°，则∠2的度数为（　　）‎ A．20° B．30° C．35° D．55°‎ 解：∵∠1=35°，CD∥AB，‎ ‎∴∠ABD=35°，∠DBC=55°，‎ 由折叠可得∠DBC'=∠DBC=55°，‎ ‎∴∠2=∠DBC'﹣∠DBA=55°﹣35°=20°，‎ 故选：A．‎ ‎4．（2017•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ 解：连接CP并延长，交AB于D，‎ ‎∵P是Rt△ABC的重心，‎ ‎∴CD是△ABC的中线，PD=CD，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴CD=AB=3，‎ ‎∵AC=BC，CD是△ABC的中线，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ ‎∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，‎ 故选：A．‎ ‎5．（2017•牡丹江）下列计算正确的是（　　）‎ A．a3•a2=a6 B．（﹣2a2）3=﹣8a6 C．（a+b）2=a2+b2 D．2a+3a=5a2‎ 解：A、a3•a2=a5，故此选项错误；‎ B、（﹣2a2）3=﹣8a6，正确；‎ C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；‎ D、2a+3a=5a，故此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎6．（2017•遂宁）如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙‎ O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为（　　）‎ ‎ ‎ A． B．3 C． D．6‎ 解：∵∠BAC与∠BOC互补，‎ ‎∴∠BAC+∠BOC=180°，‎ ‎∵∠BAC=∠BOC，‎ ‎∴∠BOC=120°，‎ 过O作OD⊥BC，垂足为D，‎ ‎∴BD=CD，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴OB平分∠BOC，‎ ‎∴∠DOC=∠BOC=60°，‎ ‎∴∠OCD=90°﹣60°=30°，‎ 在Rt△DOC中，OC=6，‎ ‎∴OD=3，‎ ‎∴DC=3，‎ ‎∴BC=2DC=6，‎ 故选：C．‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎7．（2017•大庆）分解因式：x3﹣4x=　x（x+2）（x﹣2）　．‎ 解：x3﹣4x，‎ ‎=x（x2﹣4），‎ ‎=x（x+2）（x﹣2）．‎ 故答案为：x（x+2）（x﹣2）．‎ ‎8．（2017•达州）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是　1＜m＜4　．‎ 解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m，‎ ‎∵AD是△ABC的中线，‎ ‎∴BD=CD，‎ 在△ADB和△EDC中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ADB≌△EDC，‎ ‎∴EC=AB=5，‎ 在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，‎ 即5﹣3＜2m＜5+3，‎ ‎∴1＜m＜4，‎ 故答案为：1＜m＜4．‎ ‎　‎ ‎9．（2017•陕西）在实数﹣5，﹣，0，π，中，最大的一个数是　π　．‎ 解：根据实数比较大小的方法，可得 π＞＞0＞＞﹣5，‎ 故实数﹣5，，0，π，其中最大的数是π．‎ 故答案为：π．‎ ‎10．（2017•荆门）计算：（+）•=　1　．‎ 解：原式=•=•=1．‎ 故答案为：1‎ ‎11．（2017•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于　108　度．‎ ‎ ‎ 解：如图，‎ 由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，‎ ‎∠5=∠6=180°﹣108°=72°，‎ ‎∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．‎ ‎∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，‎ 故答案为：108．‎ ‎12．（2017•乐山）二元一次方程组==x+2的解是　　．‎ 解：原方程可化为：，‎ 化简为，‎ 解得：．‎ 故答案为：；‎ ‎13．（2017•阿坝州）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2017的坐标是 ‎　（672，1）　．‎ 解：由图可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），‎ ‎2016÷6=336，‎ ‎∴P6×336（2×336，0），即P2016（672，0），‎ ‎∴P2017（672，1），‎ 故答案为：（672，1）．‎ ‎14．（2017•鞍山）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为　　．‎ 解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，‎ ‎∴AD=AB=5，‎ ‎∴CD=AD﹣AC=1，‎ ‎∴四边形AEDB的面积为，‎ 故答案为：．‎ 三．解答题（共12小题）‎ ‎15．（2017•舟山）小明解不等式﹣≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．‎ 解：错误的是①②⑤，正确解答过程如下：‎ 去分母，得3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，‎ 去括号，得3+3x﹣4x﹣2≤6，‎ 移项，得3x﹣4x≤6﹣3+2，‎ 合并同类项，得﹣x≤5，‎ 两边都除以﹣1，得x≥﹣5．‎ ‎16．（2017•广元）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．‎ 求证：BC=BF．‎ ‎ ‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC，‎ 又∵点F在CB的延长线上，‎ ‎∴AD∥CF，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ ‎∵点E是AB边的中点，‎ ‎∴AE=BE．‎ ‎∵在△ADE与△BFE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△BFE（AAS），‎ ‎∴AD=BF，‎ ‎∴BC=BF．‎ ‎17．（2017•陕西）计算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．‎ 解：原式=﹣+2﹣﹣2‎ ‎=﹣2﹣‎ ‎=﹣3‎ ‎18．（2017•长春）某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．‎ 解：设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，‎ 依题意得：﹣=30，‎ 解方程，得x=15．‎ 经检验：x=15是原方程的根，且符合题意．‎ 答：跳绳的单价是15元．‎ ‎19．（2017•南京）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．‎ 月收入/元 ‎45000‎ ‎18000‎ ‎10000‎ ‎5500‎ ‎4800‎ ‎3400‎ ‎3000‎ ‎2200‎ 人数 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎11‎ ‎1‎ ‎（1）该公司员工月收入的中位数是　3400　元，众数是　3000　元．‎ ‎（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．‎ 解：（1）共有25个员工，中位数是第13个数，‎ 则中位数是3400元；‎ ‎3000出现了11次，出现的次数最多，则众数是3000．‎ 故答案为3400；3000；‎ ‎（2）用中位数或众数来描述更为恰当．理由：‎ 平均数受极端值45000元的影响，只有3个人的工资达到了6276元，不恰当；‎ ‎20．（2017•襄阳）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．‎ ‎（1）证明：∵AE∥BF，‎ ‎∴∠ADB=∠CBD，‎ 又∵BD平分∠ABF，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB，‎ ‎∴AB=AD，‎ 同理：AB=BC，‎ ‎∴AD=BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ 又∵AB=AD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6，‎ ‎∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3，‎ ‎∵∠ADB=30°，‎ ‎∴cos∠ADB==，‎ ‎∴AD==2．‎ ‎21．（2017•衡阳）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．‎ ‎（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？‎ ‎（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．‎ 解：（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=；‎ ‎（2）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，‎ 所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．‎ ‎22．（2017•青岛）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：‎ ‎（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是　l2　（填l1或l2）；‎ 甲的速度是　30　km/h，乙的速度是　20　km/h；‎ ‎（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？‎ 解：（1）由题意可知，乙的函数图象是l2，‎ 甲的速度是=30km/h，乙的速度是=20km/h．‎ 故答案为l2，30，20．‎ ‎（2）设甲出发x小时两人恰好相距5km．‎ 由题意30x+20（x﹣0.5）+5=60或30x+20（x﹣0.5）﹣5=60‎ 解得x=1.3或1.5，‎ 答：甲出发1.3小时或1.5小时两人恰好相距5km．‎ ‎　‎ ‎23．（2017•自贡）【探究函数y=x+的图象与性质】‎ ‎（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是　x≠0　；‎ ‎（2）下列四个函数图象中函数y=x+的图象大致是　C　；‎ ‎（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．‎ 请将下列的求解过程补充完整．‎ 解：∵x＞0‎ ‎∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+　4　‎ ‎∵（﹣）2≥0‎ ‎∴y≥　4　．‎ ‎[拓展运用]‎ ‎（4）若函数y=，则y的取值范围　y≥1或y≤﹣11　．‎ 解：（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；‎ ‎（2）函数y=x+的图象大致是C；‎ ‎（3）解：∵x＞0‎ ‎∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+4‎ ‎∵（﹣）2≥0‎ ‎∴y≥4．‎ ‎（4）①当x＞0，y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（﹣）2+1‎ ‎∵（﹣）2≥0，‎ ‎∴y≥1．‎ ‎②x＜0，y==x+﹣5═﹣[（）2+（）2+5]=﹣（﹣）2﹣11=‎ ‎∵﹣（﹣）2≤0，‎ ‎∴y≤﹣11．‎ 故答案为：x≠0，C，4，4，y≥1或y≤﹣11，‎ ‎24．（1）感知：如图①，以△ABC的边AB和BC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形BCE，其中∠ABD=∠CBE=90°，连接AE、DC．求证：△ABE≌△DBC．‎ ‎（2）应用：在（1）的条件下，若AE=8，求四边形ACED的面积．‎ ‎（3）拓展：如图②，在锐角∠BAC内有点P，以点P为直角顶点分别作等腰直角三角形DEP和等腰直角三角形FGP，点D、E、F、G分别在边AB和AC上，连结EF、DG．若FG∥EP，且DE=4，PG=2，求四边形DEFG的面积．‎ 解：（1）∵BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=90°，‎ ‎∴∠ABE=∠DBC，‎ 在△ABE和△DBC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△DBC．‎ ‎（2）设CD与AE交于点G，AB与CD交于点O．‎ ‎∵△ABE≌△DBC，‎ ‎∴∠BAE=∠BDC，AE=DC=8，‎ ‎∵∠BDC+∠DOB=90°，‎ ‎∵∠DOB=∠AOG，‎ ‎∴∠BAE+∠AOG=90°，‎ ‎∴∠AGD=90°，‎ ‎∴AE⊥CD，‎ ‎∴S四边形ADEC=•CD•AG+•CD•EG=•CD•AE=×8×8=32．‎ ‎（3）如图②中，延长DP交AG于M，连接DF、EG．‎ ‎（1）可知△DPF≌△EPG，DF=EG，DF⊥EG，‎ ‎∵PE∥AG，‎ ‎∴∠DEP=∠A=45°，‎ ‎∵∠ADM=45°，‎ ‎∴∠A=∠ADM=45°，‎ ‎∴∠AMD=90°，‎ ‎∵PF=PG，‎ ‎∴MF=MG，‎ ‎∵DE=4，PG=2，‎ ‎∴DP=2，PM=FM=MG=，‎ ‎∴，‎ ‎∴DF===2，‎ ‎∴S四边形DEFG=•DF•EG=10．‎ ‎ ‎ ‎25．（2017•长春）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．‎ ‎（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）‎ ‎（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；‎ ‎（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．‎ 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，‎ ‎∴AC===8，‎ ‎∵CQ=t，‎ ‎∴AQ=8﹣t（0≤t≤4）．‎ ‎（2）①当PQ∥BC时，=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴t=s．‎ ‎②当PQ∥AB时，=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴t=3，‎ 综上所述，t=s或3s时，当PQ与△ABC的一边平行．‎ ‎（3）①如图1中，a、当0≤t≤时，重叠部分是四边形PEQF．‎ S=PE•EQ=3t•（8﹣4t﹣t）=﹣16t2+24t．‎ b、如图2中，当＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．‎ S=S四边形PEQF﹣S△PFN=（16t2﹣24t）﹣•[5t﹣（8﹣t）]•[5t﹣（8﹣t）]=．‎ c、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．‎ S=S四边形PBQF﹣S△FNM=t•[6﹣3（t﹣2）]﹣•[t﹣4（t﹣2）]•[t﹣4（t﹣2）]=﹣t2+32t﹣24． ‎ ‎②a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．‎ 则有（4﹣4t）：（4﹣t）=1：2，解得t=s，‎ b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．‎ ‎∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，‎ ‎∴（4t﹣4）：（4﹣t）=1：3，‎ 解得t=s，‎ 综上所述，当t=s或s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．‎ ‎26．（2017•威海）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．‎ ‎（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；‎ ‎（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；‎ ‎（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），‎ ‎∴设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），‎ 将点C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（0﹣3），‎ 解得：a=﹣1，‎ ‎∴所求抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x=﹣=1，‎ 如图，设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3），‎ ‎∴ME=|﹣m2+2m+3|，‎ ‎∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，‎ ‎∴点N的横坐标为2﹣m，‎ ‎∴MN=2m﹣2，‎ ‎∵四边形MNFE为正方形，‎ ‎∴ME=MN，‎ ‎∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，‎ 分两种情况：‎ ‎①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1=、m2=﹣（不符合题意，舍去），‎ 当m=时，正方形的面积为（2﹣2）2=24﹣8；‎ ‎②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合题意，舍去），‎ 当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）﹣2]2=24+8；‎ 综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．‎ ‎（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b，‎ 把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴直线BC的函数表达式为y=﹣x+3，‎ 设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+3），点D（a，﹣a+3），‎ ‎①点M在对称轴右侧，即a＞1，‎ 则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=a﹣（2﹣a），即|a2﹣3a|=2a﹣2，‎ 若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2a﹣2，‎ 解得：a=或a=＜1（舍去）；‎ 若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2﹣2a，‎ 解得：a=﹣1（舍去）或a=2；‎ ‎②点M在对称轴左侧，即a＜1，‎ 则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=2﹣a﹣a，即|a2﹣3a|=2﹣2a，‎ 若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2﹣2a，‎ 解得：a=﹣1或a=2（舍）；‎ 若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2a﹣2，‎ 解得：a=（舍去）或a=；‎ 综上，点M的横坐标为、2、﹣1、．‎ ‎　‎