成都中考A卷20题圆试题精选

成都中考A卷20题圆试题精选

成都中考A卷20题圆试题精选 考试范围：圆综合；考试时间：100分钟；命题人：数学备课组 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 一．解答题（共13小题）‎ ‎1．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．‎ ‎（1）求∠BAC的度数；‎ ‎（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；‎ ‎（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．‎ ‎2．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．‎ ‎（1）求证：D是的中点；‎ ‎（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；‎ ‎（3）若，且AC=4，求CF的长．‎ ‎3．已知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．‎ ‎（1）求证：∠DAC=∠DBA；‎ ‎（2）求证：P是线段AF的中点；‎ ‎（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值．‎ ‎4．已知，如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于D（AD＜DB），点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交⊙O于点F，连接AF与直线CD交于点G．‎ ‎（1）求证：AC2=AG•AF；‎ ‎（2）若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎5．如图，AB是半圆O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．‎ ‎（1）求证：△ABC∽△OFB；‎ ‎（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；‎ ‎（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．‎ ‎6．如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连接AB并延长交⊙O2于点C，连接O2C．‎ ‎（1）求证：O2C⊥O1O2；‎ ‎（2）证明：AB•BC=2O2B•BO1；‎ ‎（3）如果AB•BC=12，O2C=4，求AO1的长．‎ ‎7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B，‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．‎ ‎8．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．‎ ‎（1）求证：直线PA为⊙O的切线；‎ ‎（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；‎ ‎（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．‎ ‎9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，‎ ‎（1）求证：CB∥PD；‎ ‎（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．‎ ‎10．如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD、DC．‎ ‎（1）求证：BD=DC=DI；‎ ‎（2）若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积．‎ ‎11．如图1，等腰直角三角形ABC的腰长是2，∠ABC=90度．以AB为直径作半圆O，M是BC上一动点（不运动至B、C两点），过点M引半圆为O的切线，切点是P，过点A作AB的垂线AN，交切线MP于点N，AC与ON、MN分别交于点E、F．‎ ‎（1）证明：△MON是直角三角形；‎ ‎（2）当BM=时，求的值（结果不取近似值）；‎ ‎（3）当BM=时（图2），判断△AEO与△CMF是否相似？如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由．‎ ‎12．如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；‎ ‎（3）如果BE=10，sinA=，求⊙O的半径．‎ ‎13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：‎ ‎（1）求证：CP是⊙O的切线．‎ ‎（2）当∠ABC=30°，BG=，CG=时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．‎ ‎（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF•BO成立？试写出你的猜想，并说明理由．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共13小题）‎ ‎1．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．‎ ‎（1）求∠BAC的度数；‎ ‎（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；‎ ‎（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．‎ ‎【分析】（1）连接OB、OC，由垂径定理知E是BC的中点，而OE=BC，可判定△BOC是直角三角形，则∠BOC=90°，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系即可求得∠BAC的度数；‎ ‎（2）由折叠的性质可得到的条件是：①AG=AD=AF，②∠GAF=∠GAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠G=∠F=90°；由②可判定四边形AGHF是矩形，联立①的结论可证得四边形AGHF是正方形；‎ ‎（3）设AD=x，由折叠的性质可得：AD=AF=x（即正方形的边长为x），BG=BD=6，CF=CD=4；进而可用x表示出BH、HC的长，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的长．‎ ‎【解答】（1）解：连接OB和OC；‎ ‎∵OE⊥BC，‎ ‎∴BE=CE；‎ ‎∵OE=BC，‎ ‎∴∠BOC=90°，‎ ‎∴∠BAC=45°；‎ ‎（2）证明：∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°；‎ 由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，‎ ‎∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，‎ ‎∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；‎ ‎∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；‎ ‎∴四边形AFHG是正方形；‎ ‎（3）解：由（2）得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；‎ 设AD的长为x，则BH=GH﹣GB=x﹣6，CH=HF﹣CF=x﹣4．‎ 在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，‎ ‎∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102；‎ 解得，x1=12，x2=﹣2（不合题意，舍去）；‎ ‎∴AD=12．‎ ‎【点评】此题主要考查了垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质以及图形的翻折变换等知识，能够根据折叠的性质得到与所求相关的相等角和相等边是解答此题的关键．‎ ‎2．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．‎ ‎（1）求证：D是的中点；‎ ‎（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；‎ ‎（3）若，且AC=4，求CF的长．‎ ‎【分析】（1）由AC是⊙O的直径，即可求得OD∥BC，又由AE⊥OD，即可证得D是的中点；‎ ‎（2）首先延长OD交AB于G，则OG∥BC，可得OA=OD，根据等腰三角形的性质，即可求得∠DAO=∠B+∠BAD；‎ ‎（3）由AO=OC，S△OCD=S△ACD，即可得，又由△ACD∽△FCE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CF的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEC=90°，‎ ‎∴AE⊥BC，‎ ‎∵OD∥BC，‎ ‎∴AE⊥OD，‎ ‎∴D是的中点；‎ ‎（2）证明：‎ 方法一：‎ 如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC，‎ ‎∴∠AGD=∠B，‎ ‎∵∠ADO=∠BAD+∠AGD，‎ 又∵OA=OD，‎ ‎∴∠DAO=∠ADO，‎ ‎∴∠DAO=∠B+∠BAD；‎ 方法二：‎ 如图，延长AD交BC于H，‎ 则∠ADO=∠AHC，‎ ‎∵∠AHC=∠B+∠BAD，‎ ‎∴∠ADO=∠B+∠BAD，‎ 又∵OA=OD，‎ ‎∴∠DAO=∠B+∠BAD；‎ ‎（3）解：∵AO=OC，‎ ‎∴S△OCD=S△ACD，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，‎ ‎∴△ACD∽△FCE，‎ ‎∴，‎ 即：，‎ ‎∴CF=2．‎ ‎【点评】此题考查了垂径定理，平行线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．‎ ‎3．已知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．‎ ‎（1）求证：∠DAC=∠DBA；‎ ‎（2）求证：P是线段AF的中点；‎ ‎（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值．‎ ‎【分析】（1）根据圆周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA得出答案即可；‎ ‎（2）首先得出∠ADB=90，再根据∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，从而得出PA=PF；‎ ‎（3）利用相似三角形的判定得出△FDA∽△ADB即可得出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：∵BD平分∠CBA，‎ ‎∴∠CBD=∠DBA，‎ ‎∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，‎ ‎∴∠DAC=∠CBD，‎ ‎∴∠DAC=∠DBA；‎ ‎（2）证明：∵AB为直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∵DE⊥AB于E，‎ ‎∴∠DEB=90°，‎ ‎∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，‎ ‎∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，‎ ‎∴PD=PA，‎ ‎∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，‎ ‎∴∠PDF=∠PFD，‎ ‎∴PD=PF，‎ ‎∴PA=PF，‎ 即：P是AF的中点；‎ ‎（3）解：∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，‎ ‎∴△FDA∽△ADB，‎ ‎∴=，‎ 由题意可知圆的半径为5，‎ ‎∴AB=10，‎ ‎∴===，‎ ‎∴在Rt△ABD中，tan∠ABD==，‎ 即：tan∠ABF=．‎ ‎【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理和等腰三角形的性质，根据证明PD=PA以及PD=PF，得出答案是解决问题的关键．‎ ‎4．已知，如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于D（AD＜DB），点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交⊙O于点F，连接AF与直线CD交于点G．‎ ‎（1）求证：AC2=AG•AF；‎ ‎（2）若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）欲证AC2=AG•AF，即证AC：AG=AF：AC，可以通过证明△AGC∽△ACF得到．‎ ‎（2）分清E点在AD上有两种情况，然后逐一证明．‎ ‎【解答】（1）证明：连接CB，‎ ‎∵AB是直径，CD⊥AB，‎ ‎∴∠ACB=∠ADC=90°，又∠CAD=∠BAC，‎ ‎∴△CAD∽△BAC，‎ ‎∴∠ACD=∠ABC，‎ ‎∵∠ABC=∠AFC，‎ ‎∴∠ACD=∠AFC，∠CAG=∠FAC，‎ ‎∴△ACG∽△AFC，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC2=AG•AF；‎ ‎（2）解：当点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论仍成立 ‎①当点E与点D重合时，F与G重合，如图所示：‎ 有AG=AF，∵CD⊥AB，‎ ‎∴，AC=AF，‎ ‎∴AC2=AG•AF ‎②当点E与点D不重合时（不含点A）时，如图所示：‎ 证明类似（1）．‎ ‎【点评】考查相似三角形的判定方法及圆周角定理的综合运用．‎ ‎5．如图，AB是半圆O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．‎ ‎（1）求证：△ABC∽△OFB；‎ ‎（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；‎ ‎（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．‎ ‎【分析】（1）根据OE∥AC，得出∠BAC=∠FOB，进而得出∠BCA=∠FBO=90°，从而证明结论；‎ ‎（2）根据△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO，从而得出DQ∥AB，即可得出BQ=AD；‎ ‎（3）首先得出AD=DP，QB=BQ，进而得出DQ2=QK2+DK2，得出BF=2BQ，即可得出Q为BF的中点．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC，‎ 又OE⊥BC，‎ ‎∴OE∥AC，‎ ‎∴∠BAC=∠FOB，‎ ‎∵BN是半圆的切线，‎ ‎∴∠BCA=∠FBO=90°，‎ ‎∴△ABC∽△OFB．‎ ‎（2）解：连接OP，‎ 由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠BCA=∠FBO=90°，‎ ‎∵AM、BN是⊙O的切线，‎ ‎∴∠DAB=∠OBF=90°，‎ ‎∴△ABD∽△BFO，‎ ‎∴当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO，‎ ‎∴AD=OB=1，‎ ‎∵DP切圆O，DA切圆O，‎ ‎∴DP=DA，‎ ‎∵△ABD≌△BFO，‎ ‎∴DA=BO=PO=DP，‎ 又∵∠DAO=∠DPO=90°，‎ ‎∴四边形AOPD是正方形，‎ ‎∴DQ∥AB，‎ ‎∴四边形ABQD是矩形，‎ ‎∴BQ=AD=1；‎ ‎（3）证明：由（2）知，△ABD∽△BFO，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BF===，‎ ‎∵DP是半圆O的切线，射线AM、BN为半圆O的切线，‎ ‎∴AD=DP，QB=QP，‎ 过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，‎ DQ2=QK2+DK2，‎ ‎∴（AD+BQ）2=（AD﹣BQ）2+22．‎ ‎∴BQ=，‎ ‎∴BF=2BQ，‎ ‎∴Q为BF的中点．‎ ‎【点评】此题主要考查了切线的性质以及全等三角形的判定和相似三角形的判定等知识，熟练利用相似三角形的判定是解决问题的关键．‎ ‎6．如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连接AB并延长交⊙O2于点C，连接O2C．‎ ‎（1）求证：O2C⊥O1O2；‎ ‎（2）证明：AB•BC=2O2B•BO1；‎ ‎（3）如果AB•BC=12，O2C=4，求AO1的长．‎ ‎【分析】（1）⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，可证O1A⊥AO2，又O2A=O2C，O1A=O1B可证O2C⊥O2B，故可证．‎ ‎（2）延长O2O1交⊙O1于点D连接AD，可证∠BAD=∠BO2C，又因为∠ABD=∠O2BC，三角形相似，进而证明出结论．‎ ‎（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，又∠AO2B=∠DO2A，三角形相似，列出比例式，进而求出AO1的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵O1A为⊙O2的切线，‎ ‎∴∠O1AB+∠BAO2=90°，‎ 又∵AO2=O2C，‎ ‎∴∠BAO2=∠C，‎ 又∵AO1=BO1，‎ ‎∴∠O1AB=∠ABO1=∠CBO2，‎ ‎∴∠CBO2+∠C=90°，‎ ‎∴∠BO2C=90°，‎ ‎∴O2C⊥O1O2；‎ ‎（2）证明：延长O2O1交⊙O1于点D，连接AD．‎ ‎∵BD是⊙O1直径，‎ ‎∴∠BAD=90°．‎ 又由（1）可知∠BO2C=90°，‎ ‎∴∠BAD=∠BO2C，‎ 又∵∠ABD=∠O2BC，‎ ‎∴△O2BC∽△ABD，‎ ‎，‎ ‎∴AB•BC=O2B•BD，‎ 又∵BD=2BO1，‎ ‎∴AB•BC=2O2B•BO1．‎ ‎（3）解：由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，‎ 又∵∠AO2B=∠DO2A，‎ ‎∴△AO2B∽△DO2A，‎ ‎，‎ ‎∴（AO2）2=O2B•O2D，‎ ‎∵O2C=O2A，‎ ‎∴（O2C）2=O2B•O2D①，‎ 又由（2）AB•BC=O2B•BD②，‎ 由①﹣②得O2C2﹣AB•BC=O2B2即42﹣12=O2B2，‎ ‎∴O2B=2，‎ 又∵O2B•BD=AB•BC=12，‎ ‎∴BD=6，‎ ‎∴2AO1=BD=6，‎ ‎∴AO1=3．‎ ‎【点评】本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定，此题比较繁琐，做题时应该细心．‎ ‎7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B，‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．‎ ‎【分析】（1）要证PA是⊙O的切线，只要证∠PAO=90°即可，因为AB为直径，所以有∠CAB+∠CBA=90°，又∠PAC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°即PA是⊙O的切线．‎ ‎（2）连接AD、BD；可设CE=6x，AE=2y，进而根据已知条件，用x、y表示出DE、BE的长，由相交弦定理，即可求得x、y的比例关系；易证得△AEC∽△BED，根据所得成比例线段，即可求得BD的长，同理可设BC=m，由△BEC∽△DEA，求得AD的表达式；在Rt△ADB和Rt△ACB中，可由勾股定理分别表示出AB2‎ ‎，即可得到关于m的方程，从而求出m的值，即BC的长，即可由勾股定理求得AB的长；‎ 根据圆周角定理知：∠ECB=∠DAB，因此只需在Rt△ABD中，求出∠DAB的正切值即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°；‎ ‎∴∠CAB+∠CBA=90°；‎ 又∠PAC=∠B，‎ ‎∴∠CAB+∠PAC=90°；‎ ‎∴∠PAB=90°；‎ 即PA是⊙O的切线．‎ ‎（2）解：设CE=6x，AE=2y，则DE=5x，BE=3y；‎ 由相交弦定理，得：AE•EB=CE•DE，即：‎ ‎2y•3y=5x•6x，解得：x=y；‎ ‎∵∠ACD=∠ABD，∠AEC=∠DEB，‎ ‎∴△AEC∽△DEB，则有：；‎ ‎∵AE=2y=2x，DE=5x，‎ ‎∴，由于AC=8，则BD=4；‎ 设BC=m，同理可求得AD=m；‎ ‎∵AB是直径，∴△ACB、△ADB是直角三角形；‎ 由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2=AD2+BD2，即：‎ ‎82+m2=（m）2+（4）2，解得m=6；‎ 故BC=6，AD=2；‎ ‎∴AB==10，tan∠ECB=tan∠DAB==2．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质等重要知识；此题的难点在于（2）题，通过两步相似来求得BD的长以及AD、BC的比例关系，是解答此题的关键．‎ ‎8．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．‎ ‎（1）求证：直线PA为⊙O的切线；‎ ‎（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；‎ ‎（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．‎ ‎【分析】（1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论．‎ ‎（2）先证明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=20A代入关系式即可．‎ ‎（3）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，继而能求出cos∠ACB，再由（2）可得 OA2=OD•OP，代入数据即可得出PE的长．‎ ‎【解答】解：（1）连接OB，‎ ‎∵PB是⊙O的切线，‎ ‎∴∠PBO=90°，‎ ‎∵OA=OB，BA⊥PO于D，‎ ‎∴AD=BD，∠POA=∠POB，‎ 又∵PO=PO，‎ ‎∴△PAO≌△PBO（SAS），‎ ‎∴∠PAO=∠PBO=90°，‎ ‎∴OA⊥PA，‎ ‎∴直线PA为⊙O的切线．‎ ‎（2）EF2=4OD•OP．‎ 证明：∵∠PAO=∠PDA=90°‎ ‎∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，‎ ‎∴∠OAD=∠OPA，‎ ‎∴△OAD∽△OPA，‎ ‎∴=，即OA2=OD•OP，‎ 又∵EF=2OA，‎ ‎∴EF2=4OD•OP．‎ ‎（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，‎ ‎∴OD=BC=3（三角形中位线定理），‎ 设AD=x，‎ ‎∵tan∠F=，‎ ‎∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3，‎ 在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32，‎ 解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去），‎ ‎∴AD=4，OA=2x﹣3=5，‎ ‎∵AC是⊙O直径，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ 又∵AC=2OA=10，BC=6，‎ ‎∴cos∠ACB==．‎ ‎∵OA2=OD•OP，‎ ‎∴3（PE+5）=25，‎ ‎∴PE=．‎ ‎【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，综合考查的知识点较多，关键是熟练掌握一些基本性质和定理，在解答综合题目是能灵活运用．‎ ‎9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，‎ ‎（1）求证：CB∥PD；‎ ‎（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．‎ ‎【分析】（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；‎ ‎（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即=，所以可以求得圆的直径．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C ‎∴∠1=∠P ‎∴CB∥PD；‎ ‎（2）解：连接AC ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°‎ 又∵CD⊥AB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠P=∠CAB，‎ 又∵sin∠P=，‎ ‎∴sin∠CAB=，‎ 即=，‎ 又知，BC=3，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∴直径为5．‎ ‎【点评】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．‎ ‎10．如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD、DC．‎ ‎（1）求证：BD=DC=DI；‎ ‎（2）若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积．‎ ‎【分析】（1）根据题意可得∠BAD=∠DAC，进而可得BD=DC．同理可得∠BAD=∠DBC，易证△BDI为等腰三角形．结合BD=ID，容易得到证明．‎ ‎（2）根据圆内接四边形的性质与圆周角定理，可得∠DBC=∠DCB=60°，△BDC为正三角形．又OB=10cm，可得△BDC的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AI平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD=∠DAC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BD=DC． ‎ ‎∵BI平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABI=∠CBI．‎ ‎∵∠BAD=∠DAC，∠DBC=∠DAC，‎ ‎∴∠BAD=∠DBC．‎ 又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，‎ ‎∴∠DBI=∠DIB，‎ ‎∴△BDI为等腰三角形，‎ ‎∴BD=ID，‎ ‎∴BD=DC=DI． ‎ ‎（2）解：当∠BAC=120°时，△ABC为钝角三角形，‎ ‎∴圆心O在△ABC外．‎ 连接OB、OD、OC．‎ ‎∵BD=CD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°，‎ ‎∴∠DBC=∠DCB=60°，‎ ‎∴△BDC为正三角形． ‎ 延长CO交BD于点E，则OE⊥BD，‎ ‎∴BE=BD，‎ 又∵OB=10，‎ ‎∴BD=2OBcos30°=2×10×=10．‎ ‎∴CE=CD•sin60°=BD•sin60°=10×=15，‎ ‎∴S△BDC=BD•CE=×10×15=75．‎ 答：△BDC的面积为75cm2．‎ ‎【点评】此题综合性较强，综合考查了圆内接四边形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质等知识点．‎ ‎11．如图1，等腰直角三角形ABC的腰长是2，∠ABC=90度．以AB为直径作半圆O，M是BC上一动点（不运动至B、C两点），过点M引半圆为O的切线，切点是P，过点A作AB的垂线AN，交切线MP于点N，AC与ON、MN分别交于点E、F．‎ ‎（1）证明：△MON是直角三角形；‎ ‎（2）当BM=时，求的值（结果不取近似值）；‎ ‎（3）当BM=时（图2），判断△AEO与△CMF是否相似？如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）连接OP，通过证Rt△MOP≌Rt△MOB和Rt△NOP≌Rt△NOA，说明∠MOP=∠MOB和∠NOP=∠NOA，从而推出∠MON=90°；‎ ‎（2）由（1）的结论，易证得△BOM∽△ANO，得AN：OB=OA：BM，由此可求得AN的长；由于NA、BM同垂直于AB，即AN∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得CF：AF的值．‎ ‎（3）当BM=时，Rt△OBM中，易求得∠OMB=60°；根据切线长定理知：∠OMP=60°；因此∠CMF=60°；由（2）的相似三角形知∠AOE=∠OMB=60°；由此可证得∠AOE=∠CMF；又知△ABC为等腰直角三角形，即∠C=∠BAC=45°，由此可证得△AEO与△CMF．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OP；‎ ‎∵MB和MP是圆的切线，∴MP=MB；‎ 又∵OP=OB，OM=OM，‎ ‎∴Rt△MOP≌Rt△MOB；‎ ‎∴∠POM=∠BOM，同理∠AON=∠PON；‎ ‎∵∠POM+∠BOM+∠AON+∠PON=180°，‎ ‎∴2（∠NOP+∠POM）=180°即∠NOP+∠POM=90°；‎ ‎∴△NOM是直角三角形．‎ ‎（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2，‎ ‎∴AO=OB=1，CM=BC﹣BM=2﹣；‎ ‎∵∠MOB+∠AON=∠AON+∠ANO=90°‎ ‎∴∠BOM=∠ANO；‎ ‎∴Rt△OBM∽Rt△NAO，‎ ‎∴OB：AN=BM：AO，得AN=；‎ ‎∵AN⊥AB，CB⊥AB，‎ ‎∴AN∥BC；‎ ‎∴CF：AF=CM：AN=（2﹣）：=2﹣3；‎ ‎（3）解：∵BM=，OB=1，‎ ‎∴tan∠MOB=MB：OB=，即∠MOB=30°；‎ ‎∴∠FMC=∠OMB=60°；‎ ‎∴∠CMF=180°﹣2∠OMB=60°，∠EOA=180°﹣∠NOM﹣∠MOB=60°；‎ 又∵∠C=∠OAE=45°‎ ‎∴△AEO∽△CMF．‎ ‎【点评】本题主要考查了切线的性质、全等三角形和相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及锐角三角函数的概念，涉及的知识点较多，难度较大．‎ ‎12．如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；‎ ‎（3）如果BE=10，sinA=，求⊙O的半径．‎ ‎【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；‎ ‎（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，进而求出⊙O的半径．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OB ‎∵OB=OA，CE=CB，‎ ‎∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC 又∵CD⊥OA ‎∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°‎ ‎∴∠OBA+∠ABC=90°‎ ‎∴OB⊥BC ‎∴BC是⊙O的切线．‎ ‎（2）解：连接OF，AF，BF，‎ ‎∵DA=DO，CD⊥OA，‎ ‎∴AF=OF，‎ ‎∵OA=OF，‎ ‎∴△OAF是等边三角形，‎ ‎∴∠AOF=60°‎ ‎∴∠ABF=∠AOF=30°‎ ‎（3）连接OF，AF，‎ ‎∵DA=DO，CD⊥OA，‎ ‎∴AF=OF=OA，‎ 过点O作OG⊥AB于点G，得到AG=BG，‎ 在Rt△AOG中，sinA==，‎ 设DE=5x，则AE=13x，AD=12x，AO=24x，‎ ‎∵BE=10，∴AB=10+13x．‎ 则AG=AB=5+x，‎ 又∵直角△AOG中，sin∠BAO=，则=，‎ 则=‎ 解得x=，‎ ‎∴AO=24x=．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质、圆周角定理以及勾股定理和相似三角形的判定和性质，题目的综合性不小，难度也不小．‎ ‎13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：‎ ‎（1）求证：CP是⊙O的切线．‎ ‎（2）当∠ABC=30°，BG=，CG=时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．‎ ‎（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF•BO成立？试写出你的猜想，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）连接OC，证∠OCP=90°即可；‎ ‎（2）根据已知条件发现等边三角形CPG，则PC=CG．根据切割线定理求得PD和PE的积；再根据等边三角形的性质和30°的直角三角形的性质求得PD，PE的长，从而写出方程；‎ ‎（3）要让此结论成立，只要证明△BFG∽△BGO即可，凡是能使△BFG∽△BGO的条件都可以．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠A+∠B=90°．‎ ‎∵∠OCB=∠B，∠BAC=∠BCP，‎ ‎∴∠OCP=90°．‎ ‎∴CP是⊙O的切线．‎ ‎（2）解：∵∠B=30°，‎ ‎∴∠A=60°，∠BGP=∠B+∠BFP=120°．‎ ‎∴∠CGP=60°，‎ ‎∴∠BCP=∠CGP=60°．‎ ‎∴△CPG是正三角形．‎ ‎∴PG=CP=．‎ ‎∵PC切⊙O于C，‎ ‎∴PC2=PD•PE=．‎ 又∵BC=，‎ ‎∴AB=12，FD=，FG=．‎ ‎∴PD=2．‎ ‎∴PD+PE=．‎ ‎∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x2﹣10x+48=0．‎ ‎（3）解：当G为BC中点，OG⊥BC，OG∥AC或∠BOG=∠BAC时，‎ 结论BG2=BF•BO成立．要让此结论成立，只要证明△BFG∽△BGO即可，凡是能使△BFG∽△BGO的条件都可以．‎ ‎【点评】此题主要考查切线的判定，切割线定理，相似三角形的判定及根与系数关系的综合运用能力．‎ ‎　‎