近年中考数学压轴题大集合二
近年中考数学压轴题大集合（二）
17.如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D
点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限.
（1）求点C的坐标；
（2）连结BC并延长交⊙C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得
AB2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由；
（3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2＝BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由.
[解] （1） C（5，-4）；
（2）能。连结AE ，∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE=90°.
在△ABE与△PBA中，AB2＝BP· BE , 即, 又∠ABE=∠PBA,
∴△ABE∽△PBA .
∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE .
（3）分析：假设在直线EB上存在点Q，使AQ2＝BQ· EQ. Q点位置有三种情况：
①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C即点Q；
②若无两条等长，且点Q在线段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足；
③若无两条等长，且当点Q在线段EB外，由条件想到切割线定理，知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.
解题过程：
① 当点Q1与C重合时，AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12＝BQ1· EQ1 ,
∴Q1(5, -4)符合题意；
② 当Q2点在线段EB上， ∵△ABE中，∠BAE=90°
∴点Q2为AQ2在BE上的垂足，
∴AQ2== 4.8（或）.
∴Q2点的横坐标是2+ AQ2·∠BAQ2= 2+3.84=5.84,
又由AQ2·∠BAQ2=2.88,
∴点Q2（5.84，-2.88）,
③方法一：若符合题意的点Q3在线段EB外,
则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.
由Rt△Q3BR∽Rt△EBA，△EBA的三边长分别为6、8、10,
故不妨设BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t,
由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得，
即得t=，
〖注:此处也可由列得方程； 或由AQ32 = Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗
∴Q3点的横坐标为8+3t=， Q3点的纵坐标为，
即Q3（，）.
方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4),
∴直线BE的解析式是 .
设Q3（，）,过点Q3作Q3R⊥x轴于点R,
∵易证∠Q3AR =∠AEB得 Rt△AQ3R∽Rt△EAB,
∴ , 即 ,
∴t= ,进而点Q3 的纵坐标为，∴Q3（，）.
方法三：若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F,
∴∠Q3AB =∠Q3EA，,
在R t△OAF中有OF=2×=，点F的坐标为（0，）,
∴可得直线AF的解析式为 ,
又直线BE的解析式是 ,
∴可得交点Q3（，）.
18.如图1，抛物线关于y轴对称，顶点C坐标为（0，h ）(h>0)， 交x轴于点A（d,0）、B（-d,0）（d>0）。
（1）求抛物线解析式（用h、d表示）；
（2）如图2，将ABC视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x轴，垂足依次在线段AB的6等分点上。h=9米。
(i )求拉杆⑤DE的长度；
F
G
x
y
C
B
O
A
图4
(ii)若d值增大，其他都不变，如图3。拉杆⑤DE的长度会改变吗？(只需写结论)
（3）如图4，点G在线段OA上，OG=kd（比例系数k是常数，0≤k≤1），GF⊥x轴交抛物线于点F。试探索k为何值时，
tg∠FOG= tg∠CAO？此时点G与OA线段有什么关系？
[解] （1）用顶点式，据题意设y=ax2+h
代入A（d，0）得a=
∴y=x2+h
(2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=x2+9
据题意OE=d，设D（d，yD）
点D在抛物线上，yD=(d)2+9=5，∴DE=5米。
(ii) 拉杆⑤DE的长度不变。
（3）OG=kd，∴点F坐标可设（kd，yF）代入y=x2+h ，得：
yF= h(1－k2)
tg∠FOG= tg∠CAO ， =
解得 （∵0
0
设的两根为，
则+，
3.已知：二次函数图象的顶点在x轴上．
（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；
（2）求证：函数的图象与x轴必有两个不同的交点；
（3）如果函数的图象与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴相交于点C，且△ABC的面积等于2．求这个函数的解析式．
[解] （1）∵二次函数图象的顶点在x轴上，
∴，．
∴．
又∵，∴．
∴这个函数图象的开口方向向上．
（另解：∵这个二次函数图象的顶点在x轴上，且与y轴的正半轴相交，
∴这个函数图象的开口方向向上．
（2）∵，∴这个函数是二次函数．
．
∵，∴，．
∴Δ>0．
∴函数的图象与x轴必有两个不同的交点．
（3）由题意，得，．
∵，∴．
而，点C的坐标为（0，-1）．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴所求的函数解析式为．
4.已知二次函数.
（1）若a =2，c = -3，且二次函数的图像经过点（-1，-2），求b的值；
（2）若a =2，b + c = -2，b > c，且二次函数的图像经过点（p , -2），求证：b≥0；
（3）若a + b + c = 0，a > b > c，且二次函数的图像经过点（q , - a），试问当自变量x = q +4时，二次函数所对应的函数值y是否大于0？请证明你的结论.
[解]（1）当a = 2，c = -3时，二次函数为，
∵该函数的图像经过点（-1，-2），
∴，解得b=1.
（2）当a = 2，b + c = -2时，二次函数为
∵该函数的图像经过点（p，-2），
∴，即
于是，p为方程的根，
∴判别式△=
又∵b + c = -2，b > c，
∴b > -b -2，即b > -1，有b + 8 > 0
∴.
（3）∵二次函数的图像经过点（q，-a）,
∴.
∴q为方程的根，
于是，判别式△=
又∵
∴△=
又， 且a > b > c，知a > 0，c < 0
∴3a -c > 0
∴
∴q为方程的根，
∴或.
当时，
若，则
.
∵a > b ≥ 0，
∴，即，
∴
若，则
.
∴当时，二次函数所对应的函数值大于0.
5.已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB ，过B作BC⊥AB，交AE于点C.
(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长；
(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；
(3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x12+x22－6(x1+x2)=8，求直线l的解析式．
[解] (1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝
y
A
O
B
x
C
D
G
H
∵∠OAB＝∠BAC，∠AOB＝∠ABC=Rt∠，
∴△ABO∽△ABC，∴，由此可求得：AC＝
方法二：由题意知：tan∠OAB=
(2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC＝AD，BD＝
∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，则OB2＝AO×OD，即
化简得：y=，当O、B、C三点重合时，y=x=0，∴y与x的函数关系式为：y=
方法二：过点C作CG⊥x轴，交AB的延长线于点H，则AC2＝(1－y)2+x2=(1+y)2，化简即可得。
(3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得：，消去y得：x2-4kx-4b=0，则有，由题设知：
x12+x22-6(x1+x2)=8，即(4k)2+8b-24k=8，且b=-1，则16k2-24k -16=0，解之得：k1=2，k2=，当k1=2、b=-1时，
△＝16k2+16b=64-16>0，符合题意；当k2=，b=-1时，△＝16k2+16b=4-16<0，不合题意（舍去），
∴所求的直线l的解析式为：y=2x-1
6.已知抛物线y =x2+mx-2m2(m≠0)．
(1)求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2)过点P(0，n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边)，是
否存在实数m、n，使得AP=2PB?若存在，则求出m、n
满足的条件；若不存在，请说明理由．
[解] （1）△
∵
∴△
∴该抛物线与轴有两个不同的交点。
（2）由题意易知点、的坐标满足方程：
，即
由于方程有两个不相等的实数根，因此△，即
………………….①
由求根公式可知两根为：
，
∴
分两种情况讨论：
第一种：点在点左边，点在点的右边
∵
∴
∴……………….②
∴……………………….③
由②式可解得
…………………………..④
第二种：点、都在点左边
∵
∴
∴……………….⑤
∴……………………….⑥
由⑤式可解得
……….⑦
综合①③④⑥⑦可知，满足条件的点存在，此时、应满足条件：
，或。
三、动态几何型压轴题
1.已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．
（1）如图，当AP＝3cm时，求y的值；
（2）设AP＝xcm，试用含x的代表式表示y（cm）2；
（3）当y＝2cm2时，试确定点P的位置．
[解]（1） ∵ PQ∥BC，∴ ．∵ BC＝4，AB＝8，AP＝3，∴ PQ＝．∵ D为AB的中点，∴ AD＝AB＝4，PD＝AD－AP＝1．
∵ PQMN为正方形，DN＝PN－PD＝PQ－PD＝，∴ y＝MN·DN＝cm2．
（2）∵ AP＝x，∴ AN＝x．
当o≤x＜时，y＝0；
当≤x＜4时，；
当4≤x＜时，y＝x；
当≤x≤8时，y＝2（8－x）＝－2x＋16．
（3）将y＝2代入y＝—2x＋16（≤x≤8）时，得x＝7，即P点距A点7cm；
将y＝2代入时，得，即P点距A点cm．
2.操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
图5图6图7
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）
[解]
图1 图2 图3
（1）解：PQ＝PB
证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．
∴ NP＝NC＝MB．
∵ ∠BPQ＝90°，∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°．
而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴ ∠QPN＝∠PBM．
又∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°，∴ △QNP≌△PMB．
∴ PQ＝PB．
（2）解法一
由（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP．
∵AP＝x，∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝，BM＝PN＝CN＝1－，
∴CQ＝CD－DQ＝1－2·＝1－．
得S△PBC＝BC·BM＝×1×（1－）＝－x．
S△PCQ＝CQ·PN＝×（1－）（1－）＝－＋x2
S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－＋1．
即 y＝x2－＋1（0≤x＜）．
解法二
作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形．
∴ PT＝CB＝PN．
又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．
S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN
＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1
∴ y＝x2－＋1（0≤x＜）．
（3）△PCQ可能成为等腰三角形
①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，
此时x＝0
②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）
解法一： 此时，QN＝PM＝，CP＝－x，CN＝CP＝1－．
∴ CQ＝QN－CN＝－（1－）＝－1．
当－x＝－1时，得x＝1．
解法二： 此时∠CPQ＝∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°，
∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，
∴ AP＝AB＝1，∴ x＝1．
O
N
P
Q
M
C
C1
B1
A1
A
B
图1
3.如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速
度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右
平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间
为x秒，△QAC的面积为y.
（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，
请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；
（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与
O
N
P
Q
M
C
A
B
图2
x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和
最小值？最大值和最小值分别是多少？
（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y
取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？
[解] （1）如图1，△A2B2C2是△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形. …………2分
O
N
P
Q
M
C
A
B
C
A
B
图2
O
N
P
Q
M
C1
C2
B1
A1
A2
B2
图1
（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），则有：
MA=x，MB=x+4，MQ=20，
y=S梯形QMBC-S△AMQ-S△ABC
=
=2x+40(0≤x≤16).
由一次函数的性质可知：
当x=0时，y取得最小值，且y最小=40；
当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72.
（3）解法一：
当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x,
∴y=S梯形BAQP-S△CPQ-S△ABC
=-2x+104(16≤x≤32).
由一次函数的性质可知：
当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；
当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72.
解法二：
在△ABC自左向右平移的过程中，△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置.使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称.
因此，根据轴对称的性质，只需考察△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况.
当x=16时，y取得最大值，且y最大=72；
当x=32时，y取得最小值，且y最小=40.
4.如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝5，∠CAB＝45°，点O在BA上移动，以O为圆心作⊙O，使⊙O与边BC相切，切点为D，设⊙O的半径为x，四边形AODC的面积为y．
A
B
O
D
C
（1）求 y与x的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）当x为何值时，⊙O与BC、AC都相切？
[解]（1）如图①，过点C作CE⊥AB，垂足为E．
在Rt△ACE中，AC=5，∠CAB=45°，
∴ AE=CE= AC·sin45°=．
∴ BE=AB－AE=17－5=12，
．
∴ tanB=．
∵ CB切⊙O于点D，
∴ OD⊥BC．
又 =tanB=，
∴ BD=．
∵ S四边形AODC= S△ABC－S△BOD，
∴ －
．
A
B
C
D
E
F
O
①
A
B
C
D
O
G
②
(2)过点C作CF⊥CB交AB于F．
在Rt△BCF中， CF=BC·tanB=13×．
∴ x的取值范围是0＜x≤．
（3）当⊙O与BC、AC都相切时，设⊙O与AC的切点为G，连结OG、OC（如图②），则OG=OD=x．
∵ S△AOC+S△BOC= S△ABC，
∴ ．
∴ ．
5.已知是半圆的直径，AB＝16，P点是AB上的一动点(不与A、B重合) ，PQ⊥AB， 垂足为P，交半圆O于Q；PB是半圆O1的直径，⊙O2与半圆O、半圆O1及PQ都相切，切点分别为M、N、C．
（1）当P点与O点重合时(如图1) ，求⊙O2的半径r；
图⑵
图⑴
A
O
（P）
N
·
O2
·
O1
M
C
Q
B
P
·
A
O
N
·
O2
·
O1
M
C
Q
B
（2）当P点在AB上移动时(如图2) ，设PQ＝x，⊙O2的半径r．求R与x的函数关系式，并求出r取值范围．
[解] (1)连结OO2、O1O2、O2C，作O2D⊥AB于D．
∵⊙O2与⊙O、⊙O1、PQ相切，
∴OO2＝8－r，
O1O2＝4＋r．
∵四边形ODO2C是矩形，
∴OD＝r，O1D＝4－r
根据勾股定理得: ，
即: ，
∴r＝2．
(2) ∵AB是⊙O直径，PQ⊥AB．
∴PQ2＝AP·PB．
设⊙O1半径是a，
则x2＝2a（16－2a）＝4（8a－a2）．
连结OO2、O1O2、O2C，作O2D⊥AB于D
∴＝，＝，
，
，
根据勾股定理得:，
即: ，
化简得:．
∴ ， 即．
∵为0≤x≤8，
∴0≤r≤8．
A
Q
B
图⑴
O
（P）
N
·
O2
·
O1
M
C
B
D
图⑵
P
·
A
O
N
·
O2
·
O1
M
C
Q
D
6.如图12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
（1）如图3，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。∴PM＝DC＝12
[解]A
B
M
C
D
P
Q
图3
∵QB＝16－t，∴S＝×12×(16－t)＝96－t
（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。热以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2＝BQ2 得 ，解得t＝；
A
②若BP＝BQ。在Rt△PMB中，。由BP2＝BQ2 得：
即。
由于Δ＝－704＜0
∴无解，∴PB≠BQ
③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得
整理，得。解得（不合题意，舍去）
综合上面的讨论可知：当t＝秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
P
A
E
E
D
C
Q
B
O
图4
（3）如图4，由△OAP∽△OBQ，得
∵AP＝2t－21，BQ＝16－t，∴2(2t－21)＝16－t。
∴t＝。
过点Q作QE⊥AD，垂足为E，
∵PD＝2t，ED＝QC＝t，∴PE＝t。
在RT△PEQ中，tan∠QPE＝
P
A
E
E
D
C
Q
B
O
图5
（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图5，过点Q作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，得
，即。解得t＝9
所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD。
7.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝2，DC＝2，点P在边BC上运动(与B、C不重合)，设PC＝x，四边形ABPD的面积为y。
（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若以D为圆心、为半径作⊙D，以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。
[解]（1）过点D作DE⊥BC于E，
∵∠ABC＝900，∴DE＝AB＝2，
又∵DC＝2，∴EC＝＝2
∴BC＝BE＋EC＝AD＋EC＝2＋1＝3
∴S四边形ABPD＝＝4－x，
即 y＝－x＋4 (0＜x＜3）
（2）当P与E重合时，⊙P与⊙D相交，不合题意；
当点P与点E不重合时，在Rt△DEP中，
DP2＝DE2＋EP2＝22＋|2－x|2＝x2－4x＋8
∵⊙P的半径为x，⊙D的半径为，
∴①当⊙P与⊙D外切时，
(x＋)2＝x2－4x＋8，解得 x＝
此时四边形ABPD的面积y＝4－＝
②当⊙P与⊙D内切时，
(x＋)2＝x2－4x＋8，解得 x＝
此时四边形ABPD的面积y＝4－＝
∴⊙P与⊙D相切时，四边形ABPD的面积为或
8.已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为（秒）．
（1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；
（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．
[解] （1）S△PCQ＝PC·CQ＝＝＝2，
解得 ＝1，＝2
∴当时间为1秒或2秒时，S△PCQ＝2厘米2；
（2）①当0＜≤2时，S＝＝；
②当2＜≤3时， S＝＝；
③当3＜≤4.5时，S＝＝；
（3）有；
①在0＜≤2时，当＝，S有最大值，S1＝；
②在2＜≤3时，当＝3，S有最大值，S2＝；
③在3＜≤4.5时，当＝，S有最大值，S3＝；
∵S1＜S2＜S3 ∴＝时，S有最大值，S最大值＝．
9.图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.
（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；
E′
D′
图2
图3
D′
E′
图4
C/
（C/）
（C/）
探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.
[解] （1）BE=AD
证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD
∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD
∴ BE=AD
T
S
（也可用旋转方法证明BE=AD）
（2）如图在△CQT中 ∵∠TCQ=30° ∠RQT=60°
∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ
∴QT=QC=x
∴ RT=3－x
∵∠RTS＋∠R=90° ∴∠RST=90°
∴y=×32 －(3－x)2=－(3－x)2＋(0≤x≤3)
（3）C′N·E′M的值不变
证明：∵∠ACC′=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120°
∵∠CNC′＋∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′
∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN
∴ ∴C′N·E′M=C′C·E′C=×=
10.如图，在平面直角坐标系中，已知A（－10，0），B（－8，6），O为坐标原点，△OAB沿AB翻折得到△PAB．将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m（m＞0）
个单位长度，得到四边形O1A1P1B1．设四边形O1A1P1B1与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l．
（1）求A1、P1两点的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求周长l与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．
[解] （1）过点B作BQ⊥OA于点Q．（如图1）
O
－3
y
B
x
A
P
Q
α
图1
∵ 点A坐标是（－10，0），
∴点A1坐标为（－10＋m，－3），OA＝10．
又∵ 点B坐标是（－8，6），
∴BQ＝6，OQ＝8．
在Rt△OQB中，
．
∴OA＝OB＝10，．
由翻折的性质可知，PA＝OA＝10，PB＝OB＝10， ∴四边形OAPB是菱形，
∴PB∥AO，∴P点坐标为（－18，6），
∴P1点坐标为（－18＋m，3）．
（2）①当0＜m≤4时，（如图2）, 过点B1作B1Q1⊥x轴于点Q1，则B1 Q1＝6-3＝3，
x
O
y
B
A
P1
A1
O1
B1
Q1
F
α
Q
β
图2
P
设O1B1 交x轴于点F，∵O1B1∥BO，∴∠α＝∠β，
在Rt△FQ1B1中，，
∴，∴Q1F＝4，
∴B1F＝＝5，
∵AQ＝OA－OQ＝10－8＝2，
x
O
B
A
P1
A1
O1
B1
图3
P
S
H
F
y
∴AF＝AQ+QQ1+ Q1F＝2+m+4＝6+m，
∴周长l＝2（B1F＋AF）
＝2（5＋6＋m）
＝2 m＋22；
②当4＜m＜14时，（如图3）
设P1A1交x轴于点S，P1B1交OB
于点H，
OS
y
B
S
x
A
由平移性质，得 OH＝B1F＝5，
此时AS＝m－4，
∴OS＝OA－AS
＝10－（m－4）＝14－m，
∴周长l＝2（OH＋OS）
＝2（5＋14－m）
＝－2 m＋38．
11.四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC。在建立如图的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O点以每秒3个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP垂直于x轴于P点连结AC交NP于Q，连结MQ。
（1）写出C点的坐标；
（2）若动点N运动t秒，求Q点的坐标（用含t的式子表示
（3）其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。
（4）当t取何值时，△AMQ的面积最大；
（5）当t为何值时，△AMQ为等腰三角形。
[解] （1）C（1，2）
（2）过C作CEx轴于E，则CE＝2
当动点N运动t秒时，NB＝t
∴点Q的横坐标为3—t
设Q点的纵坐标为yQ
由PQ∥CE得
∴
∴点Q（）
（3）点M以每秒2个单位运动，∴OM＝2t，AM＝4—2t
S△AMQ＝
＝
＝
当t＝2时，M运动到A点，AMQ存在，∴t2
∴t的取值范围是0≤t＜2
（4）由S△AMQ＝。
当
（5）、①若QM＝QA
∵QP⊥OA∴MP＝AP
而MP＝4—（1＋t＋2t）＝3—3t
即1＋t＝3—3t
t＝
∴当t＝时，△QMA为等腰三角形。
②若AQ＝AM
AQ2＝AP2＋PQ2＝
AQ=
AM＝4—2t
＝4—2t
∴当t＝时，△QMA为等腰三角形。
③若MQ＝MA
MQ2＝MP2＋PQ2
＝
∴＝
解得t＝或t＝—1（舍去）
∵0＜＜2
∴当t＝时，△QMA为等腰三角形。
综上所述：当t＝ 、t＝或 t＝△QMA都为等腰三角形。
12.如图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。
⑴ 求x为何值时，PQ⊥AC；
⑵ 设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；
⑶ 当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
⑷ 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)
[解] （1）∵当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC。
当，由题意得：BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x，
∴AB＝BC＝CA＝4，∠C＝600，
若PQ⊥AC，则有∠QPC＝300，∴PC＝2CQ
∴4－x＝2×2x，∴x＝，
∴当x＝(Q在AC上)时，PQ⊥AC；
（2）当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QH⊥BC于H，
∵∠C＝600，QC＝2x，∴QH＝QC×sin600＝x
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝2
∴DP＝2－x，∴y＝PD·QH＝(2－x)·x＝－
（3）当0＜x＜2时，在Rt△QHC中，QC＝2x，∠C＝600，
∴HC＝x，∴BP＝HC
∵BD＝CD，∴DP＝DH，
∵AD⊥BC，QH⊥BC，∴AD∥QH，
∴OP＝OQ
∴S△PDO＝S△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；
（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离
当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切。
当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交。
13.如图4，已知⊙O的半径OA=，弦AB=4，点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA相交于点E．
（1）求的值；
（2）设AC=，OE=，求与之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当点C在AB上运动时，⊙C是否可能与⊙O相切？如果可能，请求出当⊙C与⊙O相切时的AC的长；如果不可能，请说明理由．
[解] （1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∵AB是⊙O的弦，∴AD=AB=2，∴．
（2）过点C作CF⊥OE，垂足为F，∵OE是⊙C的弦，，
在Rt△ACF中，AF=AC·=，
∵AF+OF=OA，∴.
∴函数解析式为．函数定义域为
（3）⊙C可能与⊙O相切． 在Rt△AOD中，OD=．
当⊙C与⊙O相切时，OC=，
∵CD==，，∴．
∴ ⊙C与OA相于点O，不符合题意．
∴当⊙C与⊙O相切时的AC的长为
14.已知：如图，在梯形ABCD中，，，，．
点E在AD边上，且，连结CE．点P是AB边上的一个动点，过
点P作，交BC于点Q．设，．
A
B
C
D
P
E
Q
(1) 求的值；
(2) 求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3) 当时，求x的值．
[解] (1) 过点A作，垂足是点F．
∵，，，，
∴．
在Rt△ABF中，，∴．
(2) 分别延长BA、CE，交于点G．
∵，，∴．
∵，∴，
∵，∴，即得．
∵，，∴，
即，．
由，，得．
所以，y与x的函数解析式是，．
(3) 当时，得，解得．
所以，当时，．
15.
16.如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．
(1)求点B的坐标；
(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标。
[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.
∵ 四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠BAQ＝∠COA＝60°
在RtΔBQA中,BA=4,
∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=
AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2,
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
∵点B在第一象限内,
∴点B的的坐标为(5, )
(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,
此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形
若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,
∴点P的坐标为(4,0)
若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4
∴点P的坐标为(-4,0)
∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)
(2)若∠CPD=∠OAB
∵∠CPA=∠OCP+∠COP
而∠OAB=∠COP=60°,
∴∠OCP=∠DPA
此时ΔOCP∽ΔADP
∴
∵
∴,
AD=AB-BD=4-=
AP=OA-OP=7-OP
∴
得OP=1或6
∴点P坐标为(1,0)或(6,0).
17.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于B，大圆的弦BC⊥AB，过点C作大圆的切线交AB的延长线于D，OC交小圆于E．
（1） 求证：△AOB∽△BDC；
（2） 设大圆的半径为，CD的长为，求与之间的函数解析式，并写出定义域．
（3） △BCE能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由．
[解] (1)∵大⊙O与CD相切于点C，∴∠DCO=90°.
∴∠BCD+∠OBC=90º,
∵CB⊥AD，∴∠ABO+∠OCB=90º,
∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠BCD=∠ABO.
∵小⊙O与AB相切于点A，∴∠BAO=90°. ∴∠CBD=∠BAO．
∴△AOB∽△BDC．
(2) 过点O作OH⊥BC，垂足为H．
∵∠OAB=∠ABC=∠BHO=90º，∴四边形OABH是矩形.
∵BC是大⊙O的弦，∴BC=2BH =2OA=2，
在Rt△OAB中，AB=．
∵△AOB∽△BDC，∴，
∴，∴函数解析式为，
定义域为．
(2) 当EB=EC时，∠ECB=∠EBC，而∠ECB=∠OBC，∴EBEC．
当CE=CB时，OC=CE+OE=CB+OE=2+1=3．
当BC=BE时，∠BEC=∠ECB=∠OBC，则△BCE∽△OCB．
则设OC = x,则CE=,,(负值舍去).
∴OC=.
综上所述，△BCE能成为等腰三角形，这时大圆半径为3或．
18.如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．
（1）当x为何值时，OP∥AC ?
（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456
或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）
[解] （1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，
∴，．
∴FG＝＝3cm．
∵当P为FG的中点时，OP∥EG ，EG∥AC ，
∴OP∥AC．
∴ x ＝＝×3＝1.5（s）．
∴当x为1.5s时，OP∥AC ．
（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm．
∵EG∥AH ，
∴△EFG∽△AFH ．
∴．
∴．
∴ AH＝（ x ＋5），FH＝（x＋5）．
过点O作OD⊥FP ，垂足为 D ．
∵点O为EF中点，
∴OD＝EG＝2cm．
∵FP＝3－x ，
∴S四边形OAHP ＝S△AFH －S△OFP
＝·AH·FH－·OD·FP
＝·（x＋5）·（x＋5）－×2×（3－x ）
＝x2＋x＋3（0＜x＜3．
（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．
则S四边形OAHP＝×S△ABC
∴x2＋x＋3＝××6×8
∴6x2＋85x－250＝0
解得 x1＝， x2＝ －（舍去）．
∵0＜x＜3，
∴当x＝（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．
19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
A
P
C
Q
B
D
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
[解] （1）由题意知 CQ＝4t，PC＝12－3t，
∴S△PCQ =．
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，
∴y=2S△PCQ ．
（2）当时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，
∵CA=12，CB=16，CQ＝4t， CP＝12－3t，
∴ ，解得t＝2．
∴当t＝2秒时，四边形PQBA是梯形．
（3）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图2，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
∴图2
A
P
C
Q
B
D
M
Rt△QMD∽Rt△ABC，
从而，
∵QD=CQ=4t，AC＝12，
AB=20，
∴QM=．
若PD∥AB，则，得，
解得t＝．
∴当t＝秒时，PD∥AB．
（4）存在时刻t，使得PD⊥AB．
时间段为：2＜t≤3．
四、几何探究型压轴题
1.已知：如图① , A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B、设PA＝m , PB＝n .
（1）当n＝4时，求m的值；
（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由；
（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？（图②、图③供解题时选用）
A
B
图①
P
·
O
A
·
O
A
·
O
图②
图③
[解] （1）解法一：连结OB
∵PB切⊙O于B
∴∠OBP＝90O
∴
∵PO＝2+m，PB＝n，OB＝2
∴
当n＝4时，解得（舍去），
∴ m的值为
解法二：延长PO交⊙O于Q，PAQ为⊙O割线
又∵PB切⊙O于B
∴分
∵PB＝n，PA＝m，PO＝m+4
∴
当n＝4时，解得（舍去），
∴ m的值为分
（2）存在点C，使△PBC为等边三角形
当∠OPB＝30O时，过点P作⊙O的另一条切线PC,C为切点．
∴PB ＝ PC ，∠OPB ＝∠OPC
∴∠BPC＝60O， ∴△PBC为等边三角形
连结OB，∠OBP＝90O ,OB＝2，得OP＝4
∴m＝PA＝OP－OA＝22
（3）如图，设EF为线段PB的垂直平分线，垂足为D ,当EF与⊙O相切于点M时，M符合要求
连结OB、OM，易得四边形OMDB为正方形．
∴BD＝DP＝OM＝2
∴n＝PB＝4
由（l）得n＝4时，m＝
∴当m＝时⊙O上存在唯气点M和PB构成以PB为底的等腰三角形…13分
此时⊙O上共有3个点能与PB 构成等腰三角形
（这3点分别是M，M1 ,M2 其中M是PB中垂线与⊙O的切点，M1是延长BO与⊙O 的交点，M2是点B关于OP的对称点）
A
B
P
·
O
M
D
E
F
2.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.
探究：
（1）如图甲，已知△ABC中∠C=900，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的
小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，
B
C
A
图甲
则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF
(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；
把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分
割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去.
n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时
小三角形的面积为SN.
①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，21时，请写出一个反映Sn-1,Sn,Sn+1之间关系的等式（不必证明）
[解]（1） 正确画出分割线CD
（如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的
分割线，若画成直线不扣分）
理由：∵ ∠B = ∠B，∠CDB=∠ACB=90°
∴△BCD ∽△ACB
（2）① △DEF 经N阶分割所得的小三角形的个数为
∴ S =
当 n =5时,S = ≈ 9.77
当 n = 6 时， S = ≈ 2.44
当 n=7 时,S= ≈ 0.61
∴当 n= 6时,2 ＜S ＜ 3
S = S × S
② S = 4 S, S= 4 S
3.如图(1)，AB是⊙O的直径，射线AT⊥AB，点P是射线A T上的一个动点(P与A不重合)，PC与⊙O相切于C，过C作CE⊥AB于E，连结BC并延长BC交AT于点D，连结PB交CE于F．
(1)请你写出PA、PD之间的关系式，并说明理由；
(2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分，并加以证明；
(3)设过A、C、D三点的圆的半径是R，当CF=R时，求∠APC的度数，并在图(2)中作出点P(要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．
[解] (1)连结AC．
因为AT⊥AB，AB是⊙O的直径，
所以A T是⊙O的切线．
又PC是⊙O的切线，
所以PA=PC．
所以∠PAC=∠PCA．
因为AB是⊙O的直径，
所以∠ACB=90°.
所以∠PAC+∠ADC=90°，∠PCA+∠PCD=90°.
所以∠ADC=∠PCD．
所以PD=PC=PA．
(2)由(1)知，PD=PA，且同高，可见△ABD被PB分成面积相等的两个三角形．
因为AT⊥AB，CE⊥AB，
所以AT∥CE．
所以CF/PD=BF/BP，EF/PA=BF/BP．
所以CF/PD=EF/PA．
所以CF=EF． (6分)
可见△CEB也被PB分成面积相等的两个三角形．(7分)
(3)由(1)知，PA=PCPD，
所以PA是△ACD的外接圆的半径，即PA=R．
由(2)知，CF=EF，而CF=1/4 R，
所以EF=1/4 PA．
所以EF/PA=1/4．
因为EF∥AT，所以BE/AB=EF/PA=1/4
所以CE== BE
在Rt△ACE中，
因为tan∠CAE=/3．
所以∠CAE=30°.
所以∠PAC=90°-∠CAE=60°.
而PA=PC，所以△PAC是等边三角形．
所以∠APC=60°
P点的作图方法见图．
4.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：
F
P
D
E
(1)求证：CP是⊙O的切线。
B
(2)当∠ABC=30°，BG=，CG=时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程。
(3)若(1)的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF·BO成立？试写出你的猜想，并说明理由。
[解] (1) 连结OC，证∠OCP=90°即可
(2)∵∠B=30° ∴∠A=∠BGP=60°
∴∠BCP=∠BGP=60°
∴ΔCPG是正三角形.
∴PG=CP=
∵PC切⊙O于C
∴PC2=PD·PE=
又∵BC= ∴AB=6 FD= EG=
∴PD=2
∴PD+PE=
∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x2－48x＋10=0
(3)当G为BC中点，OG⊥BC，OG∥AC或∠BOG=∠BAC…时，结论BG2=BF·BO成立。要让此结论成立，只要证明ΔBFG∽ΔBGO即可，凡是能使ΔBFG∽ΔBGO的条件都可以。
5.已知：直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点。
P
Q
M
N
a
b
图①
（1） 如图①，线段PM、QN夹在平行
直线a和b之间，四边形PMNQ
为等腰梯形，其两腰PM＝QN。
请你参照图①，在图②中画出异
于图①的一种图形，使夹在平行
直线a和b之间的两条线段相等。
（2） 我们继续探究，发现用两条平行直
a
b
图②
线a、b去截一些我们学过的图形，
会有两条“曲线段相等”（曲线上两
点和它们之间的部分叫做“曲线段”。
把经过全等变换后能重合的两条曲线
段叫做“曲线段相等”）。
请你在图③中画出一种图形，使夹在
P
Q
M
N
a
b
图④
S1
S2
S3
S4
n
m
平行直线a和b之间的两条曲线段相等。
a
b
图③
（3） 如图④，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ＝m，下底MN＝n，且m＜n。现计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻。为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由。
[解]P
Q
M
N
a
b
图例：
（1）
P
（Q）
M
N
a
b
或
（2）
P
Q
M
N
a
b
图例：
P
Q
M
N
a
b
或
（3）∵△PMN和△QMN同底等高。
∴S△PMN＝S△QMN。∴S3+S2=S4+S2.∴S3=S4
∵△POQ∽△NOM， ∴
∴S2＝
∵，∴
∴
∵m＞n，
∴ ∴S1+S2＞S3+S4
故园艺师应选择S1和S2两块地种植价格较便宜的花草，因为这两块的的面积之和大于另两块地的面积之和。
6. 已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设＝PM·PE，＝PN·PF，解答下列问题：
（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断与的大小关系，并说明理由；
（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数，使得？若存在，请求出满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由。
[解] （1）∵ABCD是矩形，MN∥AD，EF∥CD
∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形
∴＝PM·PE＝，＝PN·PF＝
又∵BD是对角线
∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC
∵，
∴＝
∴
（2）成立，理由如下：
∵ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD
∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形
仿（1）可证
过E作EH⊥MN于点H，则
∴
同理可得
又∵∠MPE＝∠FPN＝∠A
∴
∴PM·PE＝PN·PF，即
（3）方法1：存在，理由如下：
由（2）可知，
∴
又∵，即，
而，
∴
即
∴，
故存在实数或，使得
方法2：存在，理由如下：
连结AP，设△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面积分别为、、、，即，
即 ∴
∴
即
∴∴，
故存在实数或，使得
7.问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
① 如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 60°，则BM = CN.
② 如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 90°,则BM = CN.
然后运用类比的思想提出了如下的命题：
③ 如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 108°，则BM = CN.
任务要求
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）
（2）请你继续完成下面的探索：
① 如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM = CN成立？（不要求证明）
② 如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON = 108°时，请问结论BM = CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
[解] （1）选命题①
证明：在图1中，∵ ∠BON = 60°， ∴ ∠CBM +∠BCN = 60°.
∵ ∠BCN +∠ACN = 60°， ∴ ∠CBM =∠ACN.
又∵ BC = CA， ∠BCM =∠CAN = 60°，
∴ △BCM ≌ △CAN.
∴ BM = CN.
选命题②
证明：在图2中，∵ ∠BON = 90°， ∴ ∠CBM +∠BCN = 90°.
∵ ∠BCN +∠DCN = 90°， ∴ ∠CBM =∠DCN.
又∵ BC = CD， ∠BCM =∠CDN = 90°，
∴ △BCM ≌ △CDN.
∴ BM = CN.
选命题③
证明：在图3中，∵ ∠BON = 108°， ∴ ∠CBM +∠BCN = 108°
∵ ∠BCN +∠DCN = 108°， ∴ ∠CBM =∠DCN.
又∵ BC = CD， ∠BCM =∠CDN = 108°，
∴ △BCM ≌ △CDN.
∴ BM = CN.
（2）① 当∠BON = 时，结论BM = CN成立.
② BM = CN成立.
证明：如图5，连结BD、CE.
在△BCD和△CDE中，
∵ BC = CD，∠BCD =∠CDE = 108°，CD = DE，
∴ △BCD ≌ △CDE.
∴ BD = CE，∠BDC =∠CED，∠DBC =∠ECD.
∵ ∠OBC +∠OCB = 108°，∠OCB +∠OCD = 108°，
∴ ∠MBC =∠NCD.
又∵ ∠DBC =∠ECD = 36°，∴ ∠DBM =∠ECN.
∴ △BDM ≌ △ECN.
8.阅读下面的材料：
如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．求证：AP·AC+BP·BD=AB2．
证明：连结AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90ｏ，
∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．
由割线定理得： AP·AC=AM·AB，BP·BD=BM·BA，
所以，AP·AC+BP·BD=AM·AB+BM·AB=AB·（AM+BM）=AB2．
当点P在半圆周上时，也有AP·AC+BP·BD=AP2+BP2=AB2成立，那么：
（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP·AC+BP·BD=AB2是否成立？为什么？
（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．
[解]（1）AP·AC+BP·BD=AB2还成立．
证明：如图（2），∵∠PCM=∠PDM=900，
∴点C、D在以PM为直径的圆上，
∴AC·AP=AM·MD，BD·BP=BM·BC，
∴AC·AP+BD·BP=AM·MD+BM·BC，
由已知，AM·MD+BM·BC=AB2，
∴AP·AC+BP·BD=AB2．
（2）如图（3），过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连结AD、BC，
则C、M在以PB为直径的圆上，∴AP·AC=AB·AM，①
D、M在以PA为直径的圆上，∴BP·BD=AB·BM，②
由图象可知：AB=AM-BM，③
由①②③可得：AP·AC-BP·BD=AB·（AM-BM）=AB2．
9.设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．
（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
d、a、r之间关系
公共点的个数
d＞a＋r
图①
d＝a＋r
a－r＜d＜a＋r
d＝a－r
d＜a－r
所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有 个；
（2）如图②，当r＝a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
d、a、r之间关系
图②
公共点的个数
d＞a＋r
d＝a＋r
a≤d＜a＋r
d＜a
所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个；
图③
（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r＝a；
（4）就r＞a的情形，请你仿照“当……时，⊙O与正方形的公共点个数可能有
个”的形式，至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论．
[解] 图①
（1）
d、a、r之间关系
公共点的个数
d＞a＋r
0
d＝a＋r
1
a－r＜d＜a＋r
2
d＝a－r
1
d＜a－r
0
所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；
图②
（2）
B
C
D
F
E
d、a、r之间关系
公共点的个数
d＞a＋r
0
d＝a＋r
1
a≤d＜a＋r
2
d＜a
4
所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；
（3）方法一：如图所示，连结OC．
则OE＝OC＝r ，OF＝EF－OE＝2a－r．
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OF2＋FC2＝OC2
即（2a－r）2＋a2＝r2
4a2－4ar＋r2＋a2＝r2
5a2＝4ar
5a＝4r
∴r ＝a．
B
N
E
方法二：如图，连结BD、OE、BE、DE．
∵四边形BCMN为正方形
∴∠C＝∠M＝∠N＝90°
∴BD为⊙O的直径，∠BED＝90°
M
D
∴∠BEN＋∠DEM ＝90°
C
∵∠BEN＋∠EBN＝90°
∴∠DEM＝∠EBN
∴△BNE∽△EMD
∴
∴DM＝a
由OE是梯形BDMN的中位线
得OE＝（BN＋MD）＝a．
（4）①当a＜r＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；
②当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；
③当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；
④当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；
⑤当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．
