2018春中考数学线段和的最小值针对演练

2018春中考数学线段和的最小值针对演练

‎2018春中考数学《线段和的最小值》专题练习 ‎1. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(，)，点C的坐标为(1，0)，点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为(　　)‎ A.　　　B.　　　C．3　　　D. 第1题图 ‎　　‎ ‎2. 如图，菱形的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边AB、BC的中点，点P为AC上的一动点，则PM＋PN的最小值是(　　)‎ 第2题图 A．4 B．‎5 C．6 D．3 ‎3. (2017遵义模拟)如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为(　　)‎ A. B. 2 C. 2 D. 第3题图　‎ ‎4. (2017菏泽)如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(－4，5)，D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是(　　)‎ 第4题图 A．(0，) B．(0，) C．(0，2) D．(0，)‎ ‎5. (2017黔东南州模拟)如图，边长为2的正六边形ABCDEF中，点P是其对角线BE上一动点，连接PC、PD，则△PCD周长的最小值是________．‎ 第5题图 ‎　　‎ ‎6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是(　　)‎ 第6题图 A. B. 4 C. 5 D. ‎7. 如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB＋PQ的最小值为(　　)‎ A．4 B．3 C．2 D．4 第7题图 ‎8. (2017宿迁)如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA＋PE的最小值是________．‎ ‎　　‎ 第8题图 ‎9. (2017新疆内高)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝5，点D，E分别在边AB，BC上，AD＝1，CE＝2，P是斜边AC上的一个动点，则△PDE周长的最小值是________．‎ 第9题图 ‎10. (2016随州)如图，直线y＝x＋4与双曲线y＝(k≠0)相交于A(－1，a)、B两点，在y轴上找一点P，当PA＋PB的值最小时，点P的坐标为________．‎ 第10题图 ‎11. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，∠ABC＝90°，BD为矩形的对角线，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值是________．‎ 第11题图 ‎12. 已知正方形ABCD的边长为2，点P、Q分别为AD、CD的中点，E、F分别为AB、BC边上的两个动点，求四边形PQFE周长的最小值为______．‎ ‎　　‎ 第12题图 ‎13. (2017徐州)如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD、BE(如图①)，点O为其交点．‎ ‎(1)探求AO与OD的数量关系，并说明理由；‎ ‎(2)如图②，若P、N分别为BE、BC上的动点．‎ ‎①当PN＋PD的长度取得最小值时，求BP的长度；‎ ‎②如图③，若点Q在线段BO上，BQ＝1，则QN＋NP＋PD的最小值＝________．‎ 第13题图 答案 ‎1. B　【解析】作点A关于OB的对称点D，连接CD交OB于点P，连接AP，则此时PA＋PC的值最小，∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(，)，∴AB＝，OA＝，∵∠OAB＝90°，∴∠B＝∠AOB＝45°，由勾股定理得，OB＝AD＝2，∵C(1，0)，∴CD＝，即PA＋PC的最小值是.‎ 第1题解图 ‎2. B　【解析】如解图，作ME⊥AC交AD于点E，连接EN，则EN就是PM＋PN的最小值，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴BN＝BM＝AM，∵ME⊥AC交AD于点E，∴AE＝AM，∴AE＝BN，AE∥BN，∴四边形ABNE是平行四边形，∴EN＝AB，∵菱形的两条对角线分别为6和8，∴AB＝＝5，∴PM＋PN的最小值为5.‎ 第2题解图 ‎3. B　【解析】∵点B与点D关于AC对称，∴PD＝PB.当B、E、P三点共线时，PB＋PE值最小，此时P为线段BE与AC 交点．又∵S正方形ABCD＝12，∴AB＝＝2，∴BE＝2，此时PD＋PE最小，最小值为2.‎ ‎4. B　【解析】∵四边形ABOC是矩形，且A(－4，5)，∴AB＝5，且B(－4，0)．∵点D为OB的中点，∴D(－2，0)，∴BD＝2，∴AD＝＝，要使得△ADE的周长最小，AD为定长，∴只需DE＋AE最小即可．如解图，作点D关于y轴对称的点F(2，0)，连接AF，则AF与y轴的交点即为点E.设直线AF的解析式为y＝kx＋b，∴，解得，∴E(0，)．‎ 第4题解图 ‎5. 6　【解析】如解图，连接AP，AD.‎ ‎∵六边形ABCDEF为正六边形，∴BE所在直线为其一条对称轴．由两点之间线段最短可知，当P为AD与BE的交点时，PA＋PD最小，即PC＋PD最小，此时P点为AD中点，∴△PCD为等边三角形，∴周长最小值为2×3＝6.‎ 第5题解图 ‎6. D　【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC＋PQ＝EQ取最小值，如解图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠EAD，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED(AAS)，∴AE＝AC＝6.∵EQ⊥AC，∠ACB＝90°，∴EQ∥BC，∴＝＝，∴EQ＝.‎ 第6题解图 ‎7. C　【解析】取BC的中点G，连接AG.‎ 第7题解图 ‎∵AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等边三角形，∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于点E，则BE的长即为PB＋PQ的最小值(垂线段最短)，易知△BCF是等边三角形，则BE＝×4＝2，‎ ‎∴BP＋PQ的最小值为2.‎ ‎8. 　【解析】如解图，作点E关于BD的对称点F，连接AF，交BD于点P，P点即为符合题意的点．∵点E与点F关于BD对称，此时AF的长即为PA＋PE的最小值．又∵AB＝3，BE＝BF＝1，∴AF＝ ＝.‎ 第8题解图 ‎9. 5＋　【解析】如解图，作点D关于AC的对称点D′，过D′作D′M⊥BC于M点．∵AB＝BC且△ABC为直角三角形．∴AD′＝AD＝1，∠DAD′＝∠DAC＋∠CAD′＝90°，∴AD′∥BC，∴四边形ABMD′为矩形，连接D′E，与AC交于P点，由两点之间线段最短可知，PD＋PE的最小值为D′E.D′E＝，ME＝BE－BM＝2，D′M＝5，∴D′E＝.∴△PDE周长的最小值为DE＋D′E＝＋D′E＝5＋.‎ 第9题解图 ‎10. (0，)　【解析】由一次函数解析式求出点A坐标为(－1，3)，双曲线过点A，∴k＝－1·3＝－3，此时联立两函数解析式，解得x1＝－1，x2＝－3，∴点B坐标是(－3，1)．同侧两点求最小值，作点A关于 y轴的对称点A′，则A′的坐标为(1，3)，如解图所示，连接BA′，与y轴的交点即为所求的点P，设直线A′B的函数解析式为y＝k1x＋b1，将A′(1，3)，B(－3，1)分别代入得，解得，则直线A′B的函数解析式为：y＝x＋，点P(0，)．‎ 第10题解图 ‎11. 　【解析】如解图所示，作点C关于BD对称点C′，连接BC′，过点C′作C′N⊥BC于点N，交BD于点M，连接MC，此时CM＋NM＝C′N最小，∵AB＝3，BC＝3，∴CD＝3，∴tan∠DBC＝＝，∴∠DBC＝30°，∴∠C′BC＝60°，∵BC＝BC′，∴△BCC′是等边三角形，∴sin60°＝＝，∴NC′＝MN＋MC＝3×＝.‎ 第11题解图 ‎12. 4　【解析】如解图，连接AC，延长DA至点M，使AM＝‎ AP，延长DC至点N，使CN＝CQ，则AM＝AP＝CN＝CQ＝1，∴DM＝DN＝3，在Rt△ACD中，AC＝＝2，∵点P、Q分别为AD、CD的中点，∴PQ＝AC＝，当E、F分别是MN和AB、BC的交点时，四边形PQFE的周长最小，则PE＋EF＋FQ的最小值是MN＝＝3，则四边形PQFE周长的最小值是3＋＝4.‎ 第12题解图 ‎13. 解：(1)AO＝2OD.理由如下：‎ 在Rt△BOD中 ，∠OBD＝30°，‎ ‎∴BO＝2OD.‎ 又∵∠OAB＝∠OBA＝30°，‎ ‎∴OA＝OB，‎ ‎∴AO＝2OD；‎ ‎(2)①如解图①，过D点作BE的对称点M，过点M作MN⊥BD，交BD于点N，则点P、N就是所求的点．‎ ‎∵BE垂直平分DM、BD＝BM，‎ ‎∴BD＝BM，‎ ‎∵∠ABC＝60°，‎ ‎∴△BMD是等边三角形，∴BN＝DB＝，∵∠PBN＝30°，∴BP＝＝.‎ 第13题解图 ‎②.‎ ‎【解法提示】如解图②，作Q关于BD的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，Q′D′就是QN＋NP＋PD的最小值．连接BQ′，在△BQ′D′中，∠Q′BD′＝60°＋30°＝90°，Q′B＝QB＝1，BD′＝BD＝3，∴D′Q′＝＝，即QN＋NP＋PD的最小值为.‎