中考数学专题等腰三角形复习试卷含答案解析

中考数学专题等腰三角形复习试卷含答案解析

‎2018年 中考数学总复习 等腰三角形 专题综合训练题 ‎1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( ) ‎ A．7条　　 B．8条　 　C．9条　 　D．10条 ‎2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( )‎ A．80° B．75° C．65° D．45°‎ ‎3. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎4. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( )‎ A．6 B．3 C．2.5 D．2‎ ‎5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，‎ 则BC的长为(　　)‎ A．5　　 B．6　　 C．8　　 D．10‎ ‎6. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．‎ ‎7. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是____．‎ ‎8. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．‎ ‎(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；‎ ‎(2)△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．‎ ‎9. 如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．‎ 解析：第(2)题分别以点C，M，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．‎ ‎10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)‎ ‎11. 在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，求点F到直线BC的距离．‎ ‎12. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．‎ ‎(1)求抛物线的函数关系式；‎ ‎(2)点M是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，求出所有符合条件的点M的坐标．‎ ‎13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD是∠ABC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F.‎ ‎(1) 在图中找出与△ABD全等的三角形，并证明你的结论；‎ ‎(2) 证明：BD＝2EC.‎ 参考答案:‎ 1. ‎ C ‎2. D 【解析】∠BCA＝(180°－∠A)＝75°，∠BCD＝∠BCA－∠DCA＝∠BCA－∠A＝75°－30°＝45°.‎ ‎3. C ‎ ‎【解析】作PQ⊥MN于Q，由PM＝PN知PQ垂直平分MN∴MQ＝1.∠AOB＝60°，OP＝12，∴OQ＝OP＝6，OM＝OQ－MQ＝6－1＝5.‎ ‎4. C ‎【解析】 如图，以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－×4×4－×3×6－×3×3＝2.5，故选C.‎ ‎5. C 【解析】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BD＝＝4，∴BC＝2BD＝8，故选C.‎ ‎6. 20° ‎ ‎【解析】‎ 过点A作AD∥l1，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠β.AD∥l2，从而得到∠DAC＝∠α＝40°.再根据等边△ABC可得到∠BAC＝60°，∴∠β＝∠BAD＝∠BAC ‎－∠DAC＝60°－40°＝20°.‎ ‎7. 12° 【解析】设∠A＝x，∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x，∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，……，∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x.在△AP7P8中，∠A＋∠AP7P8＋∠AP8P7＝180°，即x＋7x＋7x＝180°，解得x＝12°.‎ ‎8. 解：(1)画图正确，角度标注正确，如图①　(2)考虑直角顶点，只有点A，B，D三种情况．当点A为直角顶点时，如图②，此时y＝90°－x.当点B为直角顶点时，再分两种情况：若∠DBC＝90°，如图③，此时y＝90°＋(90°－x)＝135°－x.若∠ABD＝90°，如图④，此时y＝90°＋x.当点D为直角顶点时，又分两种情况：若△ABD是等腰三角形，如图⑤，此时y＝45°＋(90°－x)＝135°－x.若△DBC是等腰三角形，如图⑥，此时x＝45°，45°＜y＜90°‎ ‎9. 解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y＝ax2＋bx中，得解得∴抛物线表达式为：y＝－x2＋4x　(2)点C的坐标为(3，3)，点B的坐标为(1，3)，以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM＝MN，∠CMN＝90°，‎ 则△CBM≌△MHN，∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得MC＝＝，∴S△CMN＝××＝；‎ ‎②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴MD＝ME＝2，EM＝CD＝5，由勾股定理得CM＝＝，∴S△CMN＝××＝；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN＝MN，∠MNC＝90°，作辅助线，同理得CN＝＝，∴S△CMN＝××＝17；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得CN＝＝，∴S△CMN＝××＝5；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形．综上所述，△CMN的面积为或或17或5‎ ‎10. 解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示：‎ 解析：利用等腰三角形的性质，分别以长度为3的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类． ‎ ‎11. 解：①如图a，延长AC，作FD⊥BC于点D，FE⊥AC于点E，易得四边形CDFE是正方形，则CD＝DF＝FE＝EC.∵在等腰直角△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝AF，∴AB＝＝＝，∴AF＝.在Rt△AEF中，(1＋EC)2＋EF2＝AF2，即 (1＋DF)2＋DF2＝()2，解得DF＝；‎ ‎②如图b，延长BC，作FD⊥BC于点D，延长CA，作FE⊥CA于点E，易得四边形CDFE是正方形，则CD＝DF＝FE＝EC.在Rt△AEF中，(EC－1)2＋EF2＝AF2，即(FD－1)2＋FD2＝()2，解得FD＝.综上可知，点F到BC的距离为或 ‎12. 解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，‎ 得解得故抛物线的解析式为y＝x2－2x－3‎ ‎(2)如图，抛物线的对称轴为x＝－＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA2＝m2＋4，MC2＝(3＋m)2＋1＝m2＋6m＋10，AC2＝10.①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2＋6m＋10，解得m＝－1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，得m＝±；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2＋6m＋10＝10，得m1＝0，m2＝－6，当m＝－6时，M，A，C三点共线，不构成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M点的坐标为 (1，)(1，－)(1，－1)(1，0)‎ ‎13. 解：(1)△ABD≌△ACF，证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠FAC＝∠BAC＝90°，∵BD⊥CE，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴∠ABD＝∠ACF，∴△ABD≌△ACF(ASA)‎ ‎(2)∵△ABD≌△ACF，∴BD＝CF，∵BD⊥CE，∴∠BEF＝∠BEC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠FBE＝∠CBE，∵BE＝BE，∴△FBE≌△CBE(ASA)，∴CF＝2CE，∴BD＝2CE