广州市各区中考模拟试题压轴题集锦及答案

广州市各区中考模拟试题压轴题集锦及答案

‎(白云)２５．（本小题满分１４分）‎ 如图１３，Ｒt△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝２，点Ｄ为ＢＣ边上的动点（Ｄ不与Ｂ、Ｃ重合），∠ＡＤＥ＝４５°，ＤＥ交ＡＣ于点Ｅ．‎ B C A D E 图13‎ ‎（１）∠ＢＡＤ与∠ＣＤＥ的大小关系为　　＊　　．请证明你的结论；‎ ‎（２）设ＢＤ＝x，ＡＥ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（３）当△ＡＤＥ是等腰三角形时，求ＡＥ的长；‎ ‎（４）是否存在x，使△ＤＣＥ的面积是△ＡＢＤ面积的２倍？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎(白云)２５．（本小题满分１４分）‎ 解：（１）相等；………………………………………………………………１分 证明如下：∵∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，‎ ‎∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°．如图１，‎ ‎∵∠１＋∠Ｂ＋∠ＡＤＢ＝１８０°，‎ ‎∴∠１＋∠ＡＤＢ＝１８０°－∠Ｂ＝１３５°．‎ 又∵∠２＋∠ＡＤＥ＋∠ＡＤＢ＝１８０°，‎ ‎∴∠２＋∠ＡＤＢ＝１８０°－∠ＡＤＥ……………………………………２分 ‎＝１８０°－４５°＝１３５°，‎ 即∠１＋∠ＡＤＢ＝∠２＋∠ＡＤＢ，‎ B C A D E ‎1‎ ‎2‎ 图1‎ ‎∴∠１＝∠２；…………………………………………………………………３分 （2） 由（１）知∠１＝∠２，又∵∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°，‎ ‎∴△ＤＣＥ∽△ＡＢＤ．………………………………………………………４分 若ＢＤ＝x，则ＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝２－x，‎ 由△ＤＣＥ∽△ＡＢＤ得 ‎，即，‎ ＣＥ＝（２－x）x，‎ ‎＝－＋x，………………………………………………………５分 y＝ＡＥ＝ＡＣ－ＣＥ＝２－（－＋x）‎ ‎∴y＝－x＋２，…………………………………………………………６分 其中０＜x＜２；………………………………………………………………７分 （2） ‎∵点Ｄ不能与Ｂ点重合，∴ＡＤ＝ＡＥ不能成立…………………８分 ‎（或：∵∠ＡＤＥ＝４５°，若ＡＤ＝ＡＥ，‎ 则∠ＡＥＤ＝ＡＤＥ＝４５°，从而∠ＤＡＥ＝９０°，‎ 即Ｂ与Ｄ重合，这与已知条件矛盾）．‎ ‎①当ＡＥ、ＤＥ为腰，即ＡＥ＝ＤＥ时（如图２），‎ ‎∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ＝４５°，此时，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，‎ ‎∴Ｄ为ＢＣ边的中点（“三线合一”性质），‎ 且Ｅ也为ＡＣ边的中点，∴ＡＥ＝１；…………………………………………９分 ‎②当ＡＤ、ＤＥ为腰，即ＡＤ＝ＤＥ时（如图３），‎ 由（１）△ＡＢＤ∽△ＤＣＥ知，此时ＡＤ与ＤＥ为对应边，‎ ‎∴△ＡＢＤ≌△ＤＣＥ，ＤＣ＝ＡＢ＝２，‎ ＢＤ＝ＢＣ－ＣＤ＝２－２，ＡＥ＝ＡＣ－ＥＣ ‎＝２－ＢＤ＝２－（２－２）＝４－２；……………………………１０分 综上所述，当△ＡＤＥ是等腰三角形时，‎ B C A D E 图3‎ ＡＥ的长为１或４－２；……………………………………………………１１分 B C A D E 图2‎ ‎（４）不存在．……………………………………………………………………１２分 原因如下：∵△ＤＣＥ∽△ＡＢＤ，若△ＤＣＥ的 面积是△ＡＢＤ面积的２倍，则＝２，‎ 从而＝，ＣＥ＝ＢＤ，－＋x＝x，‎ 解得x＝０，即ＢＤ＝０，就是说Ｄ点与Ｂ点重合，…………………………‎ ‎１３分 这与已知条件矛盾，‎ ‎∴不存在x，使△ＤＣＥ的面积是△ＡＢＤ面积的２倍．……………………１４分 ‎（从化）25．（本小题满分14分）‎ 在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． ‎ ‎（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； ‎ ‎（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ ‎ A B C M N P 图12-③‎ O ‎（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ A B C M N D 图12-②‎ O A B C M N P 图12-①‎ O ‎（从化）25．(本小题满分14分)‎ 解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． ‎ ‎ ∴ △AMN ∽ △ABC．‎ ‎∴ ，即．‎ ‎∴ AN＝x． ……………………………………………………………2分 ‎∴ =．（0＜＜4） ……………………4分 ‎（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．‎ A B C M N D 图 2‎ Q O 在Rt△ABC中，BC ＝=5．‎ ‎ 由（1）知 △AMN ∽ △ABC． ‎ ‎∴ ，即． ‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ． ……………………………………………………………6分 过M点作MQ⊥BC 于Q，则． ‎ 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，‎ ‎∴ △BMQ∽△BCA．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ，即． ‎ ‎∴ x＝． ‎ ‎∴ 当x＝时，⊙O与直线B C相切．…………………………………………8分 ‎（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．‎ A B C M N P 图 3‎ O F E ‎∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．‎ ‎∴ △AMO ∽ △ABP． ‎ ‎∴ ． AM＝MB＝2． ‎ 故以下分两种情况讨论： ‎ ‎① 当0＜≤2时，． ‎ ‎∴ 当＝2时， …………………………………………10分 ‎② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．‎ ‎∵ 四边形AMPN是矩形， ‎ ‎∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． ‎ 又∵ MN∥BC， ‎ ‎∴ 四边形MBFN是平行四边形． ‎ ‎∴ FN＝BM＝4－x． ‎ ‎∴ ． ‎ 又△PEF ∽ △ACB． ‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ． ………………………………………… 11分 ‎＝．……………………12分 当2＜＜4时，． ‎ ‎∴ 当时，满足2＜＜4，． ‎ 综上所述，当时，值最大，最大值是2． ……………………………14分 ‎（番禺）25．（本小题满分14分）‎ 图16‎ 如图，已知抛物线与轴交于、,与轴交于点.‎ ‎（1）求此抛物线的函数表达式, 写出它的对称轴；‎ ‎（2）若在抛物线的对称轴上存在一点，使的周长最小, 求点的坐标;‎ ‎（3）若点为线段上的一个不与端点重合的动点, 过点作交于点,连结、,设的面积为,求当点运动到何处时的值最大?‎ ‎（番禺）25．解: （1）抛物线与轴交于点,‎ ‎. 1分 而抛物线过点、, 3分 解得.即此抛物线的函数表达式为. 4分 它的对称轴为直线. 5分 ‎（2）、关于对称轴直线对称, 在对称轴上,‎ ‎ 6分 所以当点共线时, 的周长最小. 7分 直线的解析式是:, 8分 令得.即点的坐标为(-2,-4) 9分 ‎（3）点为线段上的一个不与端点重合的动点, 10分 ‎,‎ ‎,,‎ 而,,即 10分 的面积 11分 即 13分 当时,的值最大, 最大值为. 14分 ‎（省实） 25．（14分）已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；‎ ‎（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．‎ y x O y x O B A D C ‎(x=m)‎ ‎(F2)F1‎ E1 (E2)‎ ‎（省实）25、（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（1）根据题意，得 解得．‎ ‎．‎ ‎（2）当时，‎ 得或，‎ ‎∵，‎ 当时，得，‎ ‎∴，‎ ‎∵点在第四象限，∴．‎ 当时，得，∴，‎ ‎∵点在第四象限，∴．‎ ‎（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则 ‎，点的横坐标为，‎ 当点的坐标为时，点的坐标为，‎ ‎∵点在抛物线的图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴（舍去），‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 当点的坐标为时，点的坐标为，‎ ‎∵点在抛物线的图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴（舍去），，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（广雅）25．（本小题满分14分）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B、C不重合）．如图②,将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．‎ ‎（1）图①中，若△COD翻折后点F落在OA边上，写出 D、E点坐标，并且 求出直线DE的解析式．‎ ‎（2）设（1）中所求直线DE与x轴交于点M，请你猜想过点M、C且关于y轴对称的抛物线与直线DE的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想．‎ ‎（3）图②中，设E（10，b），求b的最小值．‎ 图①‎ 图②‎ ‎（广雅）25．解： ‎ ‎（1）据题意可知：D（6，6），E（10，2）‎ 设直线DE的解析式y=kx+b 则 6=6k+b ‎ ‎2=10K+b ∴‎ ‎∴直线DE的解析式：y=-x+12 ‎ ‎（2）直线DE的解析式：y=-x+12‎ 令y=0,得x=12，∴M（12，0）‎ 设过点M（12，0）、C（0，6）且关于y轴对称的抛物线为：y=ax2+c 可求 ‎ 猜想：直线DE:y=-x+12与抛物线:只有一个公共点 证明：直线DE： y=-x+12代入抛物线： ,得：‎ ‎ ‎ 化简得： x2-24x+144=0‎ ‎∴‎ ‎∴直线DE:y=-x+12与抛物线:只有一个公共点 设E（10，b），D（m，6）据题意可知：‎ ‎∠OCD=∠DBE=90°,∠CDO=∠FDO，∠BDE=∠GDE ‎∵∠CDO+∠FDO +∠BDE+∠GDE=180° ∴∠CDO+∠BDE=90°‎ ‎∵∠COD+∠CDO=90° ∴∠COD=∠BDE ‎∴△COD∽△BDE ‎ ‎∴ 据题意，可知：BE=6-b，BD=10-m，‎ ‎（一中）25．（本题满分14分）‎ 如图9，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP。已知动点运动了x秒．‎ ‎（1）请直接写出PN的长；（用含的代数式表示）‎ ‎（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值。‎ ‎（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有的对应值；若不能，试说明理由．‎ 图9‎ ‎（一中）25.解：⑴；‎ ‎⑵延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由⑴得：PN＝，‎ 则。‎ 依题意，可得：‎ ‎∵0≤≤1.5 ‎ 即函数图象在对称轴的左侧，函数值S 随着的增大而增大。‎ ‎∴当时，S有最大值 ，S最大＝。‎ ‎⑶△MPA能成为等腰三角形，‎ 共有三种情况，以下分类说明：‎ ‎①若PM＝PA，‎ ‎∵PQ⊥MA ∴MQ＝QA＝‎ 又DM＋MQ＋QA＝AD ∴，即 ‎②若MP＝MA，则MQ＝，PQ＝，MP＝MA＝‎ 在Rt△PMQ中，由勾股定理得：‎ ‎∴，解得：（不合题意，舍去）‎ ‎③若AP＝AM，‎ 由题意可得：，AM＝‎ ‎∴，解得：‎ 综上所述，当，或，或时，△MPA是等腰三角形。‎ ‎（二中）25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（，0），点B在抛物线上．‎ ‎（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；‎ ‎（2）抛物线的关系式为 ；‎ ‎（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；‎ ‎（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达的位置．请判断点、是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．‎ ‎（二中）‎ ‎25. 解： （1）A（0，2）， B（，1）．‎ ‎（2）．‎ ‎（3）如图1，可求得抛物线的顶点D（）．‎ 设直线BD的关系式为， 将点B、D的坐标代入，求得，，‎ 图1‎ E D C′ ‎ ‎ x A ‎ B′ ‎ B ‎ C ‎ O ‎ y ‎∴ BD的关系式为．‎ 设直线BD和x 轴交点为E，则点E（，0），CE=．‎ ‎∴ △DBC的面积为．‎ ‎（4）如图2，过点作轴于点M，过点B作轴于点N，过点作轴于点P．‎ P 图2‎ M N B ‎ C′ ‎ ‎ x A ‎ B′ ‎ C ‎ O y 在Rt△AB′M与Rt△BAN中，‎ ‎∵ AB=AB′， ∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，‎ ‎∴ Rt△AB′M≌Rt△BAN．‎ ‎∴ B′M=AN=1，AM=BN=3， ∴ B′（1，‎ 同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；‎ 将点B′、C′的坐标代入，可知点B′、C′在抛物线上．‎ ‎（事实上，点P与点N重合）‎ ‎（花都）25. （本小题满分14分）‎ 如图12，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线与交于点，与过点且平行于轴的直线交于点.‎ 点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向 左运动.过点作轴的垂线，分别交直线、‎ 于、两点，以为边向右作正方形.设 正方形与△重叠部分（阴影部分）的面 积为（平方单位），点的运动时间为（秒）.‎ ‎（1）求点的坐标. ‎ ‎（2）当时，求与之间的函数关系式.‎ 图12‎ ‎（3）求（2）中的最大值.（2分）‎ ‎（4）当时，直接写出点在正方形内部时的取值范围. ‎ ‎(花都) 25．（本小题满分14分）‎ ‎ ‎ 图12‎ ‎（2）根据题意，得 ‎∴点Q的纵坐标为，点P的纵坐标为，‎ ‎∴.‎ 当在上时，，∴. ‎ 当时，‎ 当时， --------8分 ‎（3）当时， ，∴时， .‎ 当时，，∵时，S随t的增大而减小，‎ ‎∴时， .‎ ‎∵>，∴S的最大值为. --------12分 ‎（4）或. --------14分 ‎（4）的答案供教师参考）‎ 易知：, ‎ ‎①当时，,M，则 可得 综上所述：或.‎ ‎（黄埔）‎(第25题)‎ 25．（本小题满分14分）如图，以1为半径的⊙与以2为半径的⊙内切于点A，直线过点A，且交⊙于另一点B，⊙的弦PQ⊥，交于点K，且，PC∥，QD∥，PC、QD分别交过点的⊙的切线于点C、D ‎（1）求圆心距；‎ ‎（2）求四边形PCDQ的边长；‎ ‎（3）若一动点H由点Q出发，沿四边形的边QP、PC、CD 移动到点D，设动点H移动的路程为x，△DQH的面积为y，‎ 求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围。‎ ‎（黄埔）25.（14分）‎ ‎（1）＝1 （2分）‎ ‎（2）∵CD切⊙于，则CD⊥，又PQ⊥，‎ 则CD∥PQ 已知PC∥，QD∥，则PC∥QD，PC⊥QP ‎∵‎ ‎∴PC＝PQ 故四边形PCDQ是正方形 （5分）‎ 设正方形PCDQ的边长为x 则， ，由，得 解得，，舍去 ‎∴这个四边形四条边的长都是 （8分）‎ ‎（3）当H点在QP边上移动时,则QH＝x ‎∴ () （10分）‎ 当H点在PC边上移动时,‎ ‎∴ () （12分）‎ 当H点在CD边上移动时, ‎ ‎∴ ()‎ 综上所述 ‎ （14分）‎ 萝岗）25．（本小题满分14分）‎ 某经销商用元恰好购进三种新型的电动玩具共套，并且购进的每种玩具都不少于套，设购进种电动玩具套，购进种电动玩具套，三种电动玩具的进价和售价如下表：‎ 电动玩具型号 进价（单位：元／套）‎ 销售价（单位：元／套）‎ 用含、的代数式表示购进C种电动玩具的套数；‎ 求出用的代数式表示的与之间的函数关系式；‎ 假设所购进的电动玩具全部售出，且在购销这批玩具过程中需要另外支出各种费用共元．‎ ‎①求出利润P（元）用的代数式表示P的P与（套）之间的函数关系式；‎ ‎②求出利润的最大值，并写出此时购进三种电动玩具各多少套？‎ ‎(利润＝销售收入－购进支出－另外支出)‎ ‎（萝岗）25．（本小题满分14分）‎ 解：（1）购进C种玩具套数为：……………………………………..……..1分 ‎（2）由题意得……………………………….2分 整理得．……………………………………………………………….3分 ‎（3）①利润＝销售收入－购进支出－另外支出 ‎…………………………………4分 化简得．…………………………………………………………….5分 ‎②购进C种电动玩具的套数为：．………………………..6分 根据题意列不等式组，得 ‎，……………………………………………………………………9分 解得．………………………………………………………………10分 ‎∴x的范围为，且x为整数．……………………………………..11分 ‎∵是的一次函数，，‎ ‎∴随的增大而增大．………………………………………………………….12分 ‎∴当取最大值23时，有最大值，最大值为595元…………………… …..13分 此时购进A、B、C三种玩具分别为23套、16套、11套………………………14分 ‎(海珠)25．（本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，点C（－3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足．‎ ‎（1）求点A、点B的坐标；‎ ‎（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连结AP，设的面积为，点P的运动时间为秒，求与的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（海珠）25、解：（1）∵，‎ ‎∴，. ‎ ‎∴，． 3分 点，点分别在轴，轴的正半轴上，‎ ‎∴A（1，0），B（0，）． 5分 ‎（2）由（1），得AC=4，，．‎ ‎　　 ∴．‎ ‎∴△ABC为直角三角形，． 7分 设CP=t，则 8分 ‎∴ 10分 ‎ （3）存在，满足条件的的有两个．‎ ‎， 12分 ‎…………………………………………………………………14分