中考数学一轮复习 专题练习8 三角形1 浙教版

中考数学一轮复习 专题练习8 三角形1 浙教版

三角形（1）‎ 班级 姓名 学号 ‎ 一、选择题 ‎1.sin450的值等于（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎2.如图，某防洪大坝的横断面是梯形，斜坡AB的坡度=1∶2.5，则斜坡AB的坡角为（ ）（精确到1°）‎ A．24° B．22° C．68° D．66°‎ ‎3.下列判断中错误的是（ ）‎ A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等 ‎4.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ ）‎ A．8，3　　B．8，‎6 ‎　　C．4，3　　D．4，6‎ ‎5.如图，在ΔABC中，AB=AC,∠A=360，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）‎ A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 ‎6.如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则的值等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎7.如图，若正△A1B‎1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.如图，AB//CD，AE//FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（ ）‎ ‎ A. 4对 B. 5对 ‎ C. 6对 D. 7对 ‎9.在Rt△ABC的直角边AC边上有一点P（点P与点A、C不重合），过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线共有（ ）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．3条或4条 ‎10.将边长为‎3cm的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形，则这个新的正六边形的面积等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎11.如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=158°，则∠EDF等于 度。‎ ‎12.若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别记为S3、S4、S6，则S3、S4、S6由大到小的排列顺序是 .‎ ‎13.已知圆内接正三角形的边长为，则同圆外切正三角形的边长为 。‎ ‎14.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G， 则的值为 ．‎ ‎15.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形最多有 对. ‎ 三、解答题 ‎16.已知：如图1，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．‎ ‎（1）求证：CD=AN；‎ ‎（2）若∠AMD=2∠MCD，‎ 试判断四边形ADCN的形状，并说明理由．‎ ‎17.已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D。‎ 求证：（1）∠ECD=∠EDC；‎ ‎ （2）OC=OD；‎ ‎ （3）OE是CD的垂直平分线。‎ ‎18.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？（精确到0.1海里，≈1.732）‎ ‎19.台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救‎12”‎轮前往出事地点协助搜索。接到通知后，“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°、“沪救‎12”‎轮测得出事地点C在B的南偏东30°。已知B在A的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点C的距离。‎ ‎20.如图，甲楼AB的高度为‎123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为450，测得乙楼底部D处的俯角为300，求乙楼CD的高度（结果精确到‎0.1m，取1.73）．‎ ‎21.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为‎66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到‎0.1 m，参考数据：）‎ ‎22.高为‎12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB（如图1）．‎ ‎（1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=‎2.4米，DF=‎7.2米，求大树AB的高度． ‎ ‎（2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：‎ ‎①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）； ‎ ‎②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB高度（用字母表示）． ‎ ‎23.如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i（即tanα）为1︰1.2，坝高为‎5米.现为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽‎1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1︰1.4.已知堤坝总长度为‎4000米.‎ ‎（1）求完成该工程需要多少土方？‎ ‎（2）该工程由甲、乙两个工程队合作完成，按原计划需要20天.准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率.甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成.问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？‎ ‎24.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示。‎ ‎（Ⅰ）如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°。‎ 求证：a2＝b（b＋c）‎ ‎（Ⅱ）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2 倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC，其中∠A＝2∠B，关系式a2＝b（b＋c）是否仍然成了？并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数。‎ 答案详解 一、选择题 ‎∵坡度tanα=铅直高度AC：水平距离BC=1：2.5=0.4，‎ ‎∴α=21.8°≈22°。‎ 故选B。‎ ‎3.下列判断中错误的是（ ）‎ A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】全等三角形的判定。‎ ‎【分析】根据三角形全等的判定方法对选项逐一验证：‎ ‎∵两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA，HL，‎ ‎∴A、是AAS或ASA，可以判定三角形全等；‎ B、是SAS 或SSA，SSA是不能判定三角形全等的；‎ C、利用SSS；可以判定三角形全等；‎ D、利用SSS．可以判定三角形全等。‎ 故选B。‎ ‎4.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ ）‎ A．8，3　　B．8，‎6　‎　C．4，3　　D．４，6‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】根据已知可证△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比为2，再根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方即可求△DEF的周长、面积：‎ ‎∵在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∴。‎ 又∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比为2。‎ ‎∵△ABC的周长是16，面积是12，∴△DEF的周长为16÷2=8，面积为12÷4=3。故选A。‎ ‎5.如图，在ΔABC中，AB=AC,∠A=360，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）‎ A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的性质。‎ ‎【分析】由已知条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于180°得到各个角的度数，应用度数进行判断即可：‎ ‎ ∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，且∠ABC=∠ACB==72°。‎ ‎ ∵BD是∠ABC的角的平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°=∠A。‎ ‎ ∴AD=BD。∴△ADB是等腰三角形。‎ ‎ 同理，△AEC是等腰三角形。‎ ‎ ∵∠DBC=36°，∠ACB=72°，∴∠BDC=180°－72°－36°=72°=∠ACB。‎ ‎ ∴BD=BC。∴△BDC是等腰三角形。‎ ‎ 同理，△BCE是等腰三角形。‎ ‎ ∵∠FBC=∠FCB=36°， ∴BF=CF。∴△BCF是等腰三角形。‎ ‎ ∵∠BEF=∠BFE=∠CDF=∠CFD=72°，∴BE=BF，CD=CF。∴△BEF，△CDF是等腰三角形。‎ ‎ ∴共8个等腰三角形。故选D。‎ ‎6.如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则的值等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，换元法解分式方程。‎ ‎【分析】由题可知△ABC∽△BDC，然后根据相似比求解：‎ ‎∵等腰△ABC中，顶角∠A=36°，∴∠ABC=72°。‎ 又∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°=∠A，且∠BDC=∠C=72°。∴AD=BD=BC。‎ 又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC。‎ ‎∴。即。‎ 设，则 经检验，都是分式方程的根，结合实际舍去负数。‎ ‎∴。故选B。‎ ‎7.如图，若正△A1B‎1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】三角形的内切圆与内心、外心，解直角三角形，特殊角的三角函数值，弦径定理。‎ ‎【分析】由于△ABC、△A1B‎1C1都是正三角形，因此它们的外心与内心重合；可过O分别作AB、A1B1的垂线，连接OA、OA1；在构建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半径分别表示出AB、A1B1的长，从而可求出它们的比例关系：‎ ‎∵△A1B‎1C1和△ABC都是正三角形，∴它们的内心与外心重合。‎ 如图：过O分别作AB、A1B1的垂线，垂足分别为D、E，连接OA、OA1。设圆的半径为R。‎ Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R，‎ ‎∴AD=，即AB=。‎ 同理，A1B1=。‎ ‎∴。故选A。‎ ‎8.如图，AB//CD，AE//FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（ ）‎ ‎ A. 4对 B. 5对 ‎ C. 6对 D. 7对 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】相似三角形的判定。‎ ‎【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，则图中△BFH、△BAG、△CEG、△CDH任意两个三角形都相似，即△BFH∽△BAG，△BAG∽△CEG，△BFH∽△CEG，‎ ‎△BFH∽△CDH，△CEG∽△CDH，△CDH∽△BAG。∴相似三角形共有6对。‎ 故选C。‎ ‎9.在Rt△ABC的直角边AC边上有一点P（点P与点A、C不重合），过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线共有（ ）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．3条或4条 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】相似三角形的判定。‎ ‎【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可：‎ ‎（1）若AC＜BC（如图1），过点P作PD1⊥AB，或作PD2⊥AC，或作PD3∥AB，或作∠PD‎4C=∠A，这样截得的三角形与△ABC相似。即满足条件的直线共有4条。‎ ‎（2）若AC＞BC且（如图2），同（1）有PD1，PD2，PD3。但此时作∠PD‎4C=∠A时，D4落在了CB延长线上。即满足条件的直线共有3条。‎ ‎（3）若AC＞BC且（如图3），同（1）有PD1，PD2，PD3，PD4。即满足条件的直线共有4条。‎ ‎（4）若AC=BC（如图4），同（1）有PD1，PD2，PD3。此时作∠PD‎4C=∠A时，PD4与PD3重合。即满足条件的直线共有3条。‎ 综上所述，满足条件的直线共有3条或4条。故选D。‎ ‎10.将边长为‎3cm的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形，则这个新的正六边形的面积等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】正三角形和正六边形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图，△ABC是边长为‎3cm的正三角形，点D、F是边AB的三等分，以各边六个分点为顶点构成一个正六边形，点F是DE的中点，顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形。由正六边形的中心对称性，知两个正六边形的中心重合，设为O。连接OE，OF，OG，作OH⊥GF于点H。‎ ‎ 由已知AB=3，AD=DE=EB和正六边形的性质，得OE=1，∠OEF=600，∠OFE=900。‎ ‎∴在Rt△OEF中，。‎ ‎ ∴在Rt△OHF中，。∴。‎ ‎ ∴所求正六边形的面积等于。故选B。‎ 二、填空题 ‎11.如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=158°，则∠EDF等于 度。‎ ‎【答案】68。‎ ‎【考点】三角形的外角性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】由图可知，∠EDF=∠FDB-∠EDB=90°-∠EDB，而∠EDB与∠B互余，∠CFD与∠C互余，‎ ‎∠B=∠C，则∠BDE=∠CFD，由邻补角定义知∠CFD=180°-∠AFD，从而求出∠EDF的度数：‎ ‎　　　　∵∠AFD=158°，FD⊥BC，∴∠C=158°－90°=68°。‎ ‎∵∠B=∠C，DE⊥AB，∴∠BDE=90°－68°=22°。‎ ‎∴∠EDF= =90°－22°=68°。‎ ‎12.若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别记为S3、S4、S6，则S3、S4、S6由大到小的排列顺序是 .‎ ‎【答案】S6＞S4＞S3。‎ ‎【考点】正多边形和圆。‎ ‎【分析】根据题意画出图形设出正六边形的边长，再根据三角形、正方形、正六边形的周长都相等求出各图形的边长，再分别求出其面积即可：‎ ‎（1） （2） （3）‎ ‎ 设正六边形的边长为，则△ABC的边长为，正方形ABCD的边长为。‎ ‎ 如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足，‎ ‎ ∵△ABC是等边三角形，BC=，‎ ‎ ∴BD=，由勾股定理得，，‎ ‎ ∴。‎ 如图（2），∵四边形ABCD是正方形，∴AB=，‎ ‎∴。‎ 如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，‎ ‎∵六边形ABCDEF是正六边形，∴，‎ ‎∴∠BOG=30°，。∴。‎ ‎∴。‎ ‎∵，，，‎ ‎∴S6＞S4＞S3。‎ ‎13.已知圆内接正三角形的边长为，则同圆外切正三角形的边长为 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】正多边形和圆，三角形的内心，弦径定理，锐角三角函数。‎ ‎【分析】作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形，解直角三角形即可：‎ 圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的，‎ 从而该等边三角形的高为，‎ ‎∴该等边三角形的外接圆的半径为。‎ ‎∴同圆外切正三角形的边长=。‎ ‎14.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G， 则的值为 ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】∵△ABC是等边三角形，∴AC=BA，∠CAD=∠B ‎ 又∵AD=BE，∴△CAD≌△ABE（SAS）。∴∠DCA=∠EAB。‎ ‎ 又∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠CAB=600，∴∠BCD=∠CAE。‎ ‎ 过点C作CH⊥AB，垂足为点H，则∠BCH=∠ACB=300。‎ ‎ ∵AG⊥CD，∴∠DCH=∠DAG。∴∠DAG＋∠CAE=∠DCH＋∠BCD=∠BCH==300。‎ ‎∴∠FAG=∠CAB－（∠DAG＋∠CAE）=600－300=300。‎ ‎∴在Rt△AGF中，。‎ ‎15.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形最多有 对. ‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】有3对，分别为△ABC≌△DCB，△DAB≌△ADC，△AOB≌△DOC。‎ ‎（1）∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB。‎ 又∵BC=BC，∴△ABC≌△DCB（SAS）‎ ‎（2）∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC=BD。‎ ‎∵AB=DC，AD=DA，∴△DAB≌△ADC（SSS）。‎ ‎（3）∵△DAB≌△ADC，∴∠ABD=∠DCA。‎ ‎∵∠ABC=∠DCB，∴∠OBC=∠OCB。∴OB=OC。‎ ‎∴∠ABD=∠DCA，∠AOB=∠DOC，OB=OC。∴△AOB≌△DOC（AAS）。‎ 三、解答题 ‎16.已知：如图1，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．‎ ‎（1）求证：CD=AN；‎ ‎（2）若∠AMD=2∠MCD，‎ 试判断四边形ADCN的形状，并说明理由．‎ ‎【答案】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，‎ ‎∵在△AMD和△CMN中，，∴△AMD≌△CMN（ASA）‎ ‎∴AD=CN， 又∵AD∥CN， ∴四边形ADCN是平行四边形，‎ ‎∴CD=AN ‎ ‎② 四边形ADCN是矩形 理由如下 ∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，‎ ‎∴∠MCD=∠MDC ∴MD=MC， ‎ 由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD=MN=MA=MC， ∴AC=DN，‎ ‎∴四边形ADCN是矩形。‎ ‎17.已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D。‎ 求证：（1）∠ECD=∠EDC；‎ ‎ （2）OC=OD；‎ ‎ （3）OE是CD的垂直平分线。‎ ‎【答案】证明：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，‎ ‎ ∴EC=ED。∴△EDC为等腰三角形。∴∠ECD=∠EDC。‎ ‎（2）∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠OCE=∠ODE=90°。‎ 又∵OE平分∠AOB，∴EC=ED。‎ 在Rt△OCE和Rt△ODE中，OE=OE，EC=ED，‎ ‎∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL）。∴OC=OD。‎ ‎ （3）∵EC=ED，OC=OD，∴E、O都在CD的垂直平分线上。‎ ‎ ∴OE是CD的垂直平分线。‎ 可求出CD长。‎ ‎18.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？（精确到0.1海里，≈1.732）‎ ‎【答案】解：由题意，得AB=20×1=20（海里）．‎ 在Rt△MDB中，BD= =MD，‎ 在Rt△AMD中，AD=，‎ ‎∵AB=AD－BD，即，‎ ‎∴（海里）。‎ 答：货轮到达灯塔正东方向的D处时，货轮与灯塔的距离约为‎27.3海里。‎ ‎19.台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救‎12”‎轮前往出事地点协助搜索。接到通知后，“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°、“沪救‎12”‎轮测得出事地点C在B的南偏东30°。已知B在A的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点C的距离。‎ ‎【答案】解：如图：过点C作CE⊥AE于点E，过点B作BF⊥CE于点F，过点B作BG⊥AC于点G，则四边形AEFB是矩形。‎ ‎∵点C在点A的南偏东60°，‎ ‎∴∠2=60°，∠1=90°－∠2=90°－60°=30°。‎ 又∵点C在点B的南偏东30°，∴∠3=30°。‎ 在Rt△ABC中，∠1=30°，则∠ABC=90°+30°=120°。‎ ‎∴∠BCA=180°－30°－120°=30°。‎ ‎∴∠1=∠BCA。∴BC=AB=100浬。∴AC=‎2AC。‎ 在Rt△ABG中，AG=AB•∠1=AB•cos30°=100（浬）。‎ ‎∴AC=（浬）。‎ 答：A到达出事地点C的距离浬，B到达出事地点C的距离100浬。‎ ‎20.如图，甲楼AB的高度为‎123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为450‎ ‎，测得乙楼底部D处的俯角为300，求乙楼CD的高度（结果精确到‎0.1m，取1.73）．‎ ‎【答案】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，‎ 根据题意，∠CAE=45°，∠DAE=30°。‎ ‎∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四边形ABDE为矩形。‎ ‎∴DE=AB=123。‎ 在Rt△ADE中，，‎ ‎∴。‎ 在Rt△ACE中，由∠CAE=45°，得CE=AE=。‎ ‎∴CD=CE+DE=≈335.8。‎ 答：乙楼CD的高度约为‎335.8m。‎ ‎21.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为‎66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到‎0.1 m，参考数据：）‎ ‎【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，‎ 根据题意，可得∠BAD=300，∠CAD=600，AD=66。‎ 在Rt△ADB中，由，‎ 得BD=AD=66×。‎ 在Rt△ADC中，由得CD=AD=66×‎ ‎∴ ‎ 答：这栋楼高约为‎152.2 m。 ‎ ‎22.高为‎12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB（如图1）．‎ ‎（1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=‎2.4米，DF=‎7.2米，求大树AB的高度． ‎ ‎（2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：‎ ‎①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）； ‎ ‎②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB高度（用字母表示）． ‎ ‎【答案】解：（1）连结AC、EF，‎ ‎∵太阳光线是平行线，‎ ‎∴AC∥EF。∴∠ACB=∠EFD。‎ ‎∵∠ABC=∠EDF=90°，‎ ‎∴△ABC∽△EDF 。∴。 ‎ ‎∴。∴AB=4.2。‎ 答：大树AB的高是‎4.2米。‎ ‎（2）①‎ ‎②如图MG=NB=m，MN=GB= h，∠ABG=α，‎ ‎∴AG=m tanα。‎ ‎ ∴AB=AG＋GB= m tanα＋h（米）。‎ ‎23.如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i（即tanα）为1︰1.2，坝高为‎5米.现为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽‎1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1︰1.4.已知堤坝总长度为‎4000米.‎ ‎（1）求完成该工程需要多少土方？‎ ‎（2）该工程由甲、乙两个工程队合作完成，按原计划需要20天.准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率.甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成.问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？‎ ‎【答案】解：‎ ‎（１）作DG⊥AB于G，作EH⊥AB于H。‎ ‎　　　　 ∵CD∥AB，∴EH＝DG＝‎５米。‎ ‎ ∵背水坡AD的坡度i=1︰1.2，‎ ‎ ∴。∴AG=‎6米,。‎ ‎ ∵ 新的背水坡EF坡度=1︰1.4，∴。∴FH=‎7米。‎ ‎∴FA=FH+GH－AG=7＋1－6=2（米）。‎ ‎∴SADEF=（ED+AF）·EH= (1+2)×5=7.5（平方米）‎ ‎∴V=7.5×4000=30000 (立方米)。‎ 答：完成该工程需要‎30000立方米土方。‎ ‎(2)设甲队原计划每天完成x立方米土方，乙队原计划每天完成y立方米土方。‎ 根据题意，得， ‎ 化简，得， ‎ 解之，得。‎ 答：甲队原计划每天完成‎1000立方米土方，乙队原计划每天完成‎500立方米土方。‎ ‎24.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示。‎ ‎（Ⅰ）如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°。‎ 求证：a2＝b（b＋c）‎ ‎（Ⅱ）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2 倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC，其中∠A＝2∠B，关系式a2＝b（b＋c）是否仍然成了？并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数。‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）证明：∵∠A=2∠B，∠A=60°，∴∠B=30°，∠C=90°。‎ ‎∴c=2b，a=b ‎∴。 （Ⅱ）关系式a2＝b（b＋c）仍然成立。证明如下：‎ 如图，延长BA至点D，使AD=AC= b，连接CD。‎ 则△ACD为等腰三角形。‎ ‎∵∠BAC是△ACD的一个外角，‎ ‎∴∠BAC=2∠D。‎ 又∵∠BAC=2∠B，∴∠B=∠D。‎ ‎∴△CBD为等腰三角形。‎ 又∵∠D是△ACD和△CBD的公共角，∴△ACD∽△CBD。‎ ‎∴，即，‎ ‎∴a2＝b（b＋c）。‎ ‎（Ⅲ）若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，应有a2=b（b+c），且a＞b．‎ ‎①当a＞c＞b时，设a=k+1，c=k，b=k－1，（k为大于1的正整数）,‎ 代入a2=b（b+c），得（k+1）2=（k－1）•（2k－1），解得k=5。‎ 有a=6，b=4，c=5，可以证明这个三角形中，∠A=2∠B。‎ ‎②当c＞a＞b时，设c =k+1，a=k， b =k－1，（k为大于1的正整数）,‎ 代入a2=b（b+c），得k 2=（k－1）•2k，解得k=2。‎ 但a=2，b=1，c=3不构成三角形。‎ ‎③当a＞b＞c时，设a=k+1，b =k， c =k－1，（k为大于1的正整数）,‎ 代入a2=b（b+c），得（k+1）2=k •（2k－1），即k2－3k－1=0，无正整数解。‎ ‎∴当c＞a＞b及a＞b＞c时，均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形。‎ ‎∴边长为4，5，6的三角形为所求。‎