全国各地中考数学压轴题专集答案平行四边形矩形菱形正方形梯形

全国各地中考数学压轴题专集答案平行四边形矩形菱形正方形梯形

2012 年全国各地中考数学压轴题专集答案 七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 1．（天津）已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（11，0），点 B（0，6）， 点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点 B、C 重合），经过点 O、P 折叠该纸片，得点 B′ 和折痕 OP．设 BP ＝t． （Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点 P 的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB′ 上，得点 C′ 和折痕 PQ，若 AQ＝m，试用 含有 t 的式子表示 m； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点 C′ 恰好落在边 OA 上时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可）． 解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6 在 Rt△OBP 中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得 OP＝2t 根据勾股定理，OP 2＝OB 2＋BP 2 即(2t)2＝6 2＋t 2，解得 t＝2 3（t＝－2 3舍去）． ∴点 P 的坐标为（2 3，6） （Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P 分别是由△OBP、△QCP 折叠得到的 ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP ∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC ∵∠OPB′＋∠OPB＋∠QPC′＋∠QPC＝180°，∴∠OPB＋∠QPC＝90° ∵∠BOP＋∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ 又∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴ OB PC ＝ BP CQ 由题设 BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则 PC＝11－t，CQ＝6－m ∴ 6 11－t ＝ t 6－m ，∴m＝ 1 6 t2－11 6 t＋6（0＜t＜11） （Ⅲ）点 P 的坐标为（11－ 13 3 ，6）或（11＋ 13 3 ，6） 提示：过点 P 作 PH⊥OA 于 H 易证△PC′H∽△C′QA，∴ PH AC′ ＝ PC′ C′Q ∵PC′＝PC＝11－t，PH＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6－m ∴AC′＝ C′Q 2－AQ 2 ＝ 36－12m ∴ 6 36－12m ＝ 11－t 6－m ∵ 6 11－t ＝ t 6－m ，即 6 t ＝ 11－t 6－m A B xO y CP B′ 图② C′ Q A B xO y CP B′ 图① A B xO y CP B′ C′ Q A B xO y CP QB H C ∴ 6 36－12m ＝ 6 t ，∴36－12m＝t2，即 12m＝36－t2 又 m＝ 1 6 t2－11 6 t＋6，即 12m＝2t2－22t＋72 ∴2t2－22t＋72＝36－t2，即 3t2－22t＋36＝0 解得：t＝11± 13 3 ∴点 P 的坐标为（11－ 13 3 ，6）或（11＋ 13 3 ，6） 2．（天津模拟）如图，在梯形 ABCO 中，A（0，2），B（4，2），点 C 为 x 轴正半轴上一动点，M 为线段 BC 中点． （1）设 C（x，0），S△AOM ＝y，求 y 与 x 的函数关系式； （2）如果以线段 AO 为直径的⊙D 和以 BC 为直径的⊙M 外切，求点 C 的坐标； （2）连接 OB 交线段 AM 于 N，如果以 A、N、B 为顶点的三角形与△OMC 相似，求直线 CN 的解析式． 解：（1）取 OA 中点 D，连接 DM 则 DM＝ 1 2 (AB＋OC)＝ 1 2 (4＋x)＝ 1 2 x＋2 ∴y＝ 1 2 OA·DM＝ 1 2 ×2×( 1 2 x＋2)＝ 1 2 x＋2 即 y＝ 1 2 x＋2 （2）设⊙M 的半径为 r，⊙M 与 AB 交于点 E，连接 CE 则∠BEC＝90°，OC＝AE＝x，BE＝4－x，CE＝2 在 Rt△BCE 中，(4－x)2＋22＝(2r)2 ① 又 DM＝1＋r＝x＋4 2 ② 由①、②解得 x＝ 4 3 ∴点 C 的坐标为（4 3 ，0） （3）延长 AM 交 x 轴于点 F 则△CMF≌△BMA，∴CF＝AB＝4，OF＝x＋4 ∵AB∥OF，△ANB∽△FNO，∴ AN NF ＝ AB OF ＝ 4 x＋4 ∴AN＝ 4 x＋8 AF＝ 4 x＋8 22＋(x＋4)2 ＝ 4 x＋8 x2＋8x＋20 ∵DM⊥OA，AD＝OD，∴AM＝OM ∴∠DAM＝∠DOM，∴∠BAN＝∠MOC C A B O M x D y C A B O M x D y E N ①若 AB AN ＝ OM OC ，则△ABN∽△OMC 于是 4 4 x＋8 x2＋8x＋20 ＝ (x＋4 2 )2＋12 x 整理得：x2＋8x－20＝0，解得：x1＝－10（舍去），x2＝2 ∴C（2，0），F（6，0） 可得直线 AF 的解析式为 y＝－ 1 3 x＋2，直线 OB 的解析式为 y＝ 1 2 x 由 y＝－ 1 3 x＋2 y＝ 1 2 x 解得 x＝12 5 y＝ 6 5 ∴N（12 5 ，6 5 ） 设直线 CN 的解析式为 y＝kx＋b，则： 12 5 k＋b＝ 6 5 2k＋b＝0 解得 k＝3 b＝－6 ∴直线 CN 的解析式为 y＝3x－6 ②若 AB AN ＝ OC OM ，则△ABN∽△OCM 于是 4 4 x＋8 x2＋8x＋20 ＝ x (x＋4 2 )2＋12 整理得：x＋8＝2x，解得：x＝8 ∴C（8，0），F（12，0） 可得直线 AF 的解析式为 y＝－ 1 6 x＋2，直线 OB 的解析式为 y＝ 1 2 x 由 y＝－ 1 6 x＋2 y＝ 1 2 x 解得 x＝3 y＝ 3 2 ∴N（3，3 2 ） 设直线 CN 的解析式为 y＝k′x＋b′，则： 3k′＋b′＝ 3 2 8k′＋b′＝0 解得 k′＝－ 3 10 b′＝12 5 ∴直线 CN 的解析式为 y＝－ 3 10 x＋12 5 3．（上海模拟）在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，E 是 AB 边上一点（与 A、B 不重合），EF⊥CE 交 AD 于点 F，过点 E 作∠AEH＝∠BEC，交射线 FD 于点 H，交射线 CD 于点 N． （1）如图 1，当点 H 与点 F 重合时，求 BE 的长； （2）如图 2，当点 H 在线段 FD 上时，设 BE＝x，DN＝y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）连接 AC，当△FHE 与△AEC 相似时，求线段 DN 的长． C A B O M x D y N F C A B O M x D y N F A E B F(H) A BE F H A E B F 解：（1）∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠BEC＝90° ∵∠AEH＝∠BEC，∴∠BEC＝45° ∵∠B＝90°，∴BE＝BC ∵BC＝3，∴BE＝3 （2）过点 E 作 EG⊥CN，垂足为点 G ∴BE＝CG ∵AB∥CN，∴∠AEH＝∠N，∠BEC＝∠ECN ∵∠AEH＝∠BEC，∴∠N＝∠ECN，∴EN＝EC ∴CN＝2CG＝2BE ∵BE＝x，DN＝y，CD＝AB＝4 ∴y＝2x－4（2≤x≤3） （3）∵∠A＝90°，∴∠AFE＋∠AEF＝90° ∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠BEC＝90° ∴∠AFE＝∠BEC，∴∠HFE＝∠AEC 当△FHE 与△AEC 相似时 ①若∠FHE＝∠EAC ∵∠BAD＝∠B，∠AEH＝∠BEC ∴∠FHE＝∠ECB，∴∠EAC＝∠ECB ∴tan∠EAC＝tan∠ECB，∴ BC AB ＝ BE BC ∴ 3 4 ＝ BE 3 ，∴BE＝ 9 4 ，∴DN＝ 1 2 ②若∠FHE＝∠ECA，作 EG⊥CN 于 G，交 AC 于 O ∵EN＝EC，EG⊥CN，∴∠1＝∠2 ∵AH∥EG，∴∠FHE＝∠1，∴∠FHE＝∠2 ∴∠2＝∠ECA，∴OE＝OC 设 OE＝OC＝3k，则 AE＝4k，AO＝5k ∴AO＋OC＝8k＝5，∴k＝ 5 8 ∴AE＝ 5 2 ，BE＝ 3 2 ，∴CN＝3，∴DN＝1 综上所述：线段 DN 的长为 1 2 或 1 4．（上海模拟）已知在梯形 ABCD 中，AB∥DC，AD＝2DE，CE＝2BE，∠ADE＝∠ECD，DE＝CE＝4． （1）如图 1，求证：DE∥CB； （2）如图 2，点 F 是线段 EB 上一动点（不与 E 重合），连接 CF 并延长交 DE 的延长线于点 G，设 EF＝x， DG＝y，求 y 与 x 的函数关系式； A B H N CD F E CC 1 2 A B H CD F E N G O A BE N D C F H G （3）点 P 是线段 AE 上一动点（不与 E 重合），连接 CP 交 DE 于点 Q，当△PQE 是等腰三角形时，求 AP 的长． （1）证明：∵AB∥DC，∴∠CEB＝∠ECD ∵∠ADE＝∠ECD，∴∠ADE＝∠CEB ∵AD＝2DE，CE＝2BE，∴ AD DE ＝ CE BE ∴△ADE∽△CEB，∴∠AED＝∠B ∴DE∥CB （2）解：∵AB∥DC，DE∥CB ∴四边形 DEBC 是平行四边形，∴DE＝BC ∵DE＝CE＝4，∴BC＝4 ∵CE＝2BE，∴BE＝2 ∵DG∥CB，∴ EG BC ＝ EF BF 即 y－4 4 ＝ x 2－x ∴y＝ 8 2－x （0＜x＜2） （3）解：①当 PE＝QE 时 ∵PE∥DC，∴ DC EP ＝ DQ EQ ∴DC＝DQ ∵四边形 DEBC 是平行四边形，∴DC＝BE＝2 ∴DQ＝2 ∵△ADE∽△CEB，DE＝CE＝CB＝4，BE＝2 ∴AE＝AD＝8 ∴PE＝QE＝DE－DQ＝4－2＝2 ∴AP＝8－2＝6 ②当 PE＝PQ 时 则∠PQE＝∠PEQ C A D E B 图 2 F G C A D E B 图 1 C A D E B 备用图 C A D E B Q P C A D E B Q P ∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠PEQ ∴∠PQE＝∠ADE，∴AD∥PC ∴四边形 APCD 是平行四边形 ∴AP＝DC＝2 ③当 PQ＝EQ 时 则∠QPE＝∠QEP＝∠CBE＝∠CEB 此时点 P 与点 E 重合，△PQE 不存在 综上所述，当△PQE 是等腰三角形时，AP 的长为 6 或 2 5．（上海模拟）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝3，DC＝6，BC＝5．点 E 是边 DC 上 任意一点，点 F 在边 AB 的延长线上，且 AE＝AF，连接 EF，与边 BC 相交于点 G． （1）设 BF＝x，DE＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围； （2）当四边形 BECF 是平行四边形时，求 BF 的长； （3）当点 E 在边 DC 上移动时，△BFG 能否成为等腰三角形？如果能，求 BF 的长；如果不能，请说明 理由． 解：（1）∵AB∥DC，∠D＝90°，AB＝3，DC＝6，BC＝5 ∴AD＝4 在 Rt△ADE 中，AD 2＋DE 2＝AE 2 ∵BF＝x，∴AF＝AB＋BF＝3＋x ∵AE＝AF＝3＋x，DE＝y，∴42＋y2＝(3＋x)2 ∴y＝ x2＋6x－7 当 E 与 D 重合时，y＝0，则 x＝AD－AB＝1 当 E 与 C 重合时，AC＝ AD 2＋DC 2 ＝2 13 ，x＝2 13 －3 ∴1≤x≤2 13 －3 （2）∵BF∥EC，∴若四边形 BECF 是平行四边形，只需 BF＝EC ∴x＝6－ x2＋6x－7，解得 x＝ 43 18 即 BF 的长为 43 18 （3）①若 BF＝BG，则∠BGF＝∠BFG＝∠AEF ∴BG∥AE，∴ BF AB ＝ FG EG ∵AB∥CD，∴ BF EC ＝ FG EG ∴ BF AB ＝ BF EC ，∴EC＝AB＝3，DE＝DC－EC＝3 ∵AD＝4，∴AE＝AF＝5，∴BF＝AF－AB＝2 ②若 BG＝FG，过 G 作 AD 的平行线，分别交 BF、EC 于点 M、N 则 MN⊥AB，四边形 ADNM 是矩形 A B D C 备用图 A B D CE F G ∴AM＝DN，BM＝ 1 2 BF＝ 1 2 x ∵BG＝FG，AB∥DC，∴EG＝CG ∴EN＝ 1 2 EC＝ 1 2 (DC－DE)＝ 1 2 (6－y)＝3－ 1 2 y ∴3＋ 1 2 x＝y＋3－ 1 2 y，∴x＝y ∴x＝ x2＋6x－7，解得 x＝ 7 6 ，即 BF＝ 7 6 ③若 BF＝FG，过 F 作 FH⊥BG 于 H，过 E 作 EK⊥GC 于 K 则 BG＝2BH＝2BF·cos∠FBG＝2BF·cos∠C＝2x· 3 5 ＝ 6 5 x ∴GC＝5－ 6 5 x ∵BF＝FG，∴∠FBG＝∠FGB＝∠EGC ∵AB∥DC，∴∠FBG＝∠C ∴∠EGC＝∠C，∴EC＝EG ∴KC＝ 1 2 GC＝ 5 2 － 3 5 x ∵cos∠C＝ KC EC ＝ 3 5 ，∴KC＝ 3 5 EC ∴ 5 2 － 3 5 x＝ 3 5 (6－ x2＋6x－7)，解得 x＝373 84 当 x＝373 84 时， 5 2 － 3 5 x＝ 5 2 － 3 5 ×373 84 ＝－ 23 140 ＜0 ∴x＝373 84 不合题意，应舍去 综上所述，△BFG 能成为等腰三角形，BF 的长为 2 或 7 6 6．（上海模拟）有一张矩形纸片 ABCD，已知 AB＝2，AD＝5，把这张纸片折叠，使点 A 落在边 BC 上的 点 E 处，折痕为 MN（MN 交 AB 于 M，交 AD 于 N）． （1）如图 1，当 BE＝ 2 时，求 AM 的长； （2）当点 E 在 BC 上运动时，设 BE＝x，AN＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并确定函数的定义域； （4）连接 DE，是否存在这样的点 E，使△AME 与△DNE 相似？若存在，求出此时 BE 的长，若不存在， 请说明理由． 解：（1）设 BM＝a，∵AB＝2，∴ME＝AM＝2－a 在 Rt△BME 中，BM 2＋BE 2＝ME 2 ∴a2＋2＝(2－a)2，∴a＝ 1 2 A B D CE F G H K A B D CE F G M N A B D C 备用图 A B D C N E M 图 1 A B D C 备用图 ∴AM＝ 3 2 （2）设 BM＝a，∵BE＝x，∴a2＋x2＝(2－a)2 ∴a＝4－x2 4 ，∴AM＝2－ 4－x2 4 ＝4＋x2 4 延长 NM 交 CB 延长线于点 F ∵∠F＝∠ANM＝∠ENM，∴EF＝EN＝AN＝y ∴BF＝y－x ∵△BFM∽△ANM，∴ BF AN ＝ BM AM ∴ y－x y ＝ 4－x2 4 4＋x2 4 ，∴y＝4＋x2 2x 由 0＜x≤2 0＜ 4＋x2 2x ≤5 解得 5－ 21≤x≤2 ∴函数的定义域为 5－ 21≤x≤2 （3）存在 ∵y＝4＋x2 2x ≥2 4 2x · x 2 ＝2≥x，即 AN ≥BE ∴∠DNE≥90° 又∵∠AME≥90°，AM＝ME ∴若△AME∽△DNE，则 DN＝EN ∴∠NDE＝∠NED ∵AM＝ME，∴∠MAE＝∠MEA ∵AD∥BC，∴∠NDE＝∠DEC ∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD ∴ AB EC ＝ BE CD ，∴ 2 5－x ＝ x 2 解得 x1＝4（舍去），x2＝1 ∴BE＝1 ∴存在点 E，使△AME 与△DNE 相似，此时 BE 的长为 1 7．（上海模拟）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 的两侧作正方形 BEFG 和正方形 DMNK，恰好使得 N、 A、F 三点在一直线上，连接 MF 交线段 AD 于点 P，连接 NP，设正方形 BEFG 的边长为 x，正方形 DMNK 的边长为 y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）当△NPF 的面积为 32 时，求 x 的值； （3）以 P 为圆心，AP 为半径的圆能否与以 G 为圆心，GF 为 半径的圆相切？如果能，请求出 x 的值，如果不能，请说明理 由． 解：（1）∵正方形 BEFG、正方形 DMNK、正方形 ABCD ∴∠E＝∠F＝90O ，AE∥MC，MC∥NK ∴AE∥NK，∴∠KNA＝∠EAF N K G C E D F A B P M A B D C N E M F A B D C N E M ∴△KNA∽△EAF，∴ NK EA ＝ KA EF ，即 y x＋6 ＝ y－6 x ∴y＝x＋6（0＜x ≤6） （2）由（1）知 NK＝AE，∴AN＝AF ∵正方形 DMNK，∴AP∥NM，∴ FP PM ＝ AF AN ＝1 ∴FP＝PM，∴S△MNP ＝S△NPF ＝32 ∴S 正方形 DMNK ＝2S△MNP ＝64 ∴y＝8，∴x＝2 （3）连接 PG，延长 FG 交 AD 于点 H，则 GH⊥AD 易知：AP＝ y 2 ，AH＝x，PH＝ y 2 －x，HG＝6；PG＝AP＋GF＝ y 2 ＋x ①当两圆外切时 在 Rt△GHP 中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即( y 2 －x)2＋62＝( y 2 ＋x)2 解得：x＝－3－3 3（舍去）或 x＝－3＋3 3 ②当两圆内切时 在 Rt△GHP 中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即( y 2 －x)2＋62＝( y 2 －x)2 方程无解 所以，当 x＝3 3－3 时，两圆相切 8．（上海模拟）已知：正方形 ABCD 的边长为 1，射线 AE 与射线 BC 交于点 E，射线 AF 与射线 CD 交于 点 F，∠EAF＝45°，连接 EF． （1）如图 1，当点 E 在线段 BC 上时，试猜想线段 EF、BE、DF 有怎样的数量关系？并证明 你的猜想； （2）设 BE＝x，DF＝y，当点 E 在线段 BC 上运动时（不包括点 B、C），求 y 关于 x 的函数解析式，并指 出 x 的取值范围； （3）当点 E 在射线 BC 上运动时（不含端点 B），点 F 在射线 CD 上运动．试判断以 E 为圆心，以 BE 为 半径的⊙E 和以 F 为圆心，以 FD 为半径的⊙F 之间的位置关系； （4）如图 2，当点 E 在 BC 的延长线上时，设 AE 与 CD 交于点 G．问：△EGF 与△EFA 能否相似？若能 相似，求出 BE 的长，若不可能相似，请说明理由． （1）猜想：EF＝BE＋DF 证明：将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°，得△ABF′，易知点 F′、B、E 在同一直线上（如.图 1） ∵AF′＝AF A B D CE F 图 1 A B D C E F G 图 2 A D F 1 2 ∠F′AE＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°－45°＝45°＝∠EAF 又 AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE ∴EF＝F′E＝BE＋BF＝BE＋DF （2）在 Rt△EFC 中，EC 2＋FC 2＝EF 2 ∵EC＝1－x，FC＝1－y，EF＝x＋y ∴(1－x)2＋(1－y)2＝(x＋y)2 ∴y＝ 1－x 1＋x （0＜x ＜1） （3）①当点 E 在点 B、C 之间时，由（1）知 EF＝BE＋DF，故此时⊙E 与⊙F 外切； ②当点 E 在点 C 时，DF＝0，⊙F 不存在. ③当点 E 在 BC 延长线上时，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°，得△ABF′（如图 2） 则 AF′＝AF，∠1＝∠2，BF′＝DF，∠F′AF＝90° ∴∠F′AE＝∠EAF＝45° 又 AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE ∴EF＝EF′＝BE－BF′＝BE－DF ∴此时⊙E 与⊙F 内切 综上所述，当点 E 在线段 BC 上时，⊙E 与⊙F 外切；当点 E 在 BC 延长线上时，⊙E 与⊙F 内切 （4）△EGF 与△EFA 能够相似，只要当∠EFG＝∠EAF＝45°即可 此时 CE＝CF 设 BE＝x，DF＝y，由（3）知 EF＝x－y 在 Rt△CFE 中，CE 2＋CF 2＝EF 2 ∴(x－1)2＋(1＋y)2＝(x－y)2 ∴y＝ x－1 x＋1 （x ＞1） 由 CE＝CF，得 x－1＝1＋y，即 x－1＝1＋ x－1 x＋1 化简得 x2－2x－1＝0，解得 x1＝1－ 2（舍去），x2＝1＋ 2 ∴△EGF 与△EFA 能够相似，此时 BE 的长为 1＋ 2 9．（上海模拟）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD＝2，AD＝1，连接 BD，作∠EBC＝∠ABD， 交边 CD 于 E． （1）设 BC＝x，CE＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）当 BE⊥CD 时，求 BC 的长； （3）当△BDE 是等腰三角形时，求 BC 的长． 解：（1）延长 AD、BE 交于点 F ∵DF∥BC，∴∠F＝∠EBC，∠EDF＝∠ECB ∴△DEF∽△CEB，∴ DF BC ＝ DE CE 即 DF x ＝ 2－y y ，∴DF＝ x(2－y) y ∵∠F＝∠EBC，∠EBC＝∠ABD，∴∠F＝∠ABD A B D C E F G 图 2 F′ 1 2 D B A C E D B A C E F 又∠A＝∠A，∴△ABF∽△ADB ∴ AF AB ＝ AB AD ，即 AF 2 ＝ 2 1 ，∴AF＝4 ∵AD＋DF＝AF，∴1＋ x(2－y) y ＝4 ∴y＝ 2x x＋3 （0＜x＜5 且 x≠1） （2）当 BE⊥CD 时，过 D 作 DG⊥BC 于 G 则△DGC∽△BEC，∴ DC GC ＝ BC CE 即 2 1 2 (x－1) ＝ x 2x x＋3 ，解得 x＝2 3－1（舍去负值） ∴此时 BC 的长为 2 3－1 （3）∵∠DBE＜∠ABC＝∠C＜∠DEB，∴DB＞DE ①当 BD＝BE 时 ∵△ABF∽△ADB，∴ BF BD ＝ AB AD ＝ 2 1 ∴BF＝2BD＝2BE，∴BE＝EF ∴△DEF∽△CEB，∴CE＝DE＝ 1 2 CD＝1 即 2x x＋3 ＝1，解得 x＝3 ②当 BE＝DE 时，则∠BDE＝∠DBE ∴∠BEC＝2∠DBE 过 D 作 DH⊥BC 于 H 则∠C＝∠ABC＝∠ABD＋∠DBE＋∠EBC＝2∠EBC＋∠DBE 在△BEC 中，∠BEC＋∠EBC＋∠C＝180° ∴2∠DBE＋∠EBC＋2∠EBC＋∠DBE＝180° ∴DBE＋∠EBC＝60°，即∠DBC＝60° ∵HC＝ 1 2 (x－1)，∴BH＝x－ 1 2 (x－1)＝ 1 2 (x＋1) ∴DH＝ 3BH＝ 3 2 (x＋1) 在 Rt△DHC 中，DH 2＋HC 2＝DC 2 ∴ 3 4 (x＋1)2＋ 1 4 (x－1)2＝4，解得 x＝ 13－1 2 ∴当△BDE 是等腰三角形时，BC 的长为 3 或 13－1 2 10．（重庆）已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝3．E 为 BC 边上一点，以 BE 为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧． （1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长； （2）将（1）问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形 BEFG 为正方形 B′EFG，当点 E 与 点 C 重合时停止平移．设平移的距离为 t，正方形 B′EFG 的边 EF 与 AC 交于点 M，连接 B′D，B′M，DM．是 否存在这样的 t，使△B′DM 是直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； D B A C E G D B A C E F D B A C E H （3）在（2）问的平移过程中，设正方形 B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的 函数关系式以及自变量 t 的取值范围． 解：（1）如图①，设正方形 BEFG 的边长为 x 则 BE＝FG＝BG＝x ∵AB＝3，BC＝6，∴AG＝AB－BG＝3－x ∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC ∴ AG AB ＝ GF BC ，即 3－x 3 ＝ x 6 解得 x＝2，即 BE＝2 （2）存在满足条件的 t，理由如下： 如图②，过 D 作 DH⊥BC 于点 H 则 BH＝AD＝2，DH＝AB＝3 由题意得：BB′＝HE＝t，HB′＝|t－2|，EC＝4－t 在 Rt△B′ME 中，B′M 2＝B′E 2＋ME 2＝22＋(2－ 1 2 t)2＝ 1 4 t 2－2t＋8 ∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC ∴ ME AB ＝ EC BC ，即 ME 3 ＝ 4－t 6 ，∴ME＝2－ 1 2 t 在 Rt△DHB′ 中，B′D 2＝DH 2＋B′H 2＝32＋(t－2)2＝t 2－4t＋13 过 M 作 MN⊥DH 于点 N 则 MN＝HE＝t，NH＝ME＝2－ 1 2 t ∴DN＝DH－NH＝3－(2－ 1 2 t)＝ 1 2 t＋1 在 Rt△DMN 中，DM 2＝DN 2＋MN 2＝ 5 4 t 2＋t＋1 （ⅰ）若∠DB′M＝90°，则 DM 2＝B′M 2＋B′D 2 即 5 4 t 2＋t＋1＝( 1 4 t 2－2t＋8)＋(t 2－4t＋13)，解得 t＝20 7 （ⅱ）若∠B′MD＝90°，则 B′D 2＝B′M 2＋DM 2 即 t 2－4t＋13＝( 1 4 t 2－2t＋8)＋( 5 4 t 2＋t＋1)，解得 t1＝－3＋ 17，t2＝－3－ 17 ∵0≤t≤4，∴t＝－3＋ 17 （ⅲ）若∠B′DM＝90°，则 B′M 2＝B′D 2＋DM 2 即 1 4 t 2－2t＋8＝(t 2－4t＋13)＋( 5 4 t 2＋t＋1)，此方程无解 B A C D B A C D 备用图 B A C D 图① E FG B A C D 图② E FG H B′ M N 综上所述，当 t＝20 7 或－3＋ 17 时，△B′DM 是直角三角形 （3）当 0≤t≤ 4 3 时，S＝ 1 4 t 2 当 4 3 ≤t≤2 时，S＝－ 1 8 t 2＋t－ 2 3 当 2≤t≤10 3 时，S＝－ 3 8 t 2＋2t－ 5 3 当 10 3 ≤t≤4 时，S＝－ 1 2 t＋ 5 2 提示： 当点 F 落在 CD 上时，如图③ FE＝2，EC＝4－t，DH＝3，HC＝4 由△FEC∽△DHC，得 FE EC ＝ DH HC 即 2 4－t ＝ 3 4 ，∴t＝ 4 3 当点 G 落在 AC 上时，点 G 也在 DH 上（即 DH 与 AC 的交点） t＝2 当点 G 落在 CD 上时，如图④ GB′＝2，B′C＝6－t 由△GB′C∽△DHC，得 G′B B′C ＝ DH HC 即 2 6－t ＝ 3 4 ，∴t＝10 3 当点 E 与点 C 重合时，t＝4 ①当 0≤t≤ 4 3 时，如图⑤ ∵MF＝t，FN＝ 1 2 t ∴S＝S△FMN ＝ 1 2 ·t· 1 2 t＝ 1 4 t 2 ②当 4 3 ≤t≤2 时，如图⑥ ∵PF＝t－ 4 3 ，FQ＝ 3 4 PF＝ 3 4 t－1 ∴S△FPQ ＝ 1 2 ( t－ 4 3 )( 3 4 t－1)＝ 3 8 t 2－t＋ 2 3 ∴S＝S△FMN －S△FPQ ＝ 1 4 t 2－( 3 8 t 2－t＋ 2 3 )＝－ 1 8 t 2＋t－ 2 3 ③当 2≤t≤10 3 时，如图⑦ ∵B′M＝ 1 2 B′C＝ 1 2 ( 6－t)＝3－ 1 2 t ∴GM＝2－( 3－ 1 2 t)＝ 1 2 t－1 B A C D 图⑤ E FG B′ M N B A C D 图⑥ E FG B′ M N P Q B A C D 图⑦ E FG B′ P QM N B A C D 图③ E FG B′ H B A C D 图④ E FG B′H ∴S 梯形 GMNF ＝ 1 2 ( 1 2 t－1＋ 1 2 t)×2＝t－1 ∴S＝S 梯形 GMNF －S△FPQ ＝( t－1)－( 3 8 t 2－t＋ 2 3 )＝－ 3 8 t 2＋2t－ 5 3 ④当 10 3 ≤t≤4 时，如图⑧ ∵PB′＝ 3 4 B′C＝ 3 4 ( 6－t)＝ 9 2 － 3 4 t ∴GP＝2－( 9 2 － 3 4 t)＝ 3 4 t－ 5 2 ∴S 梯形 GPQF ＝ 1 2 ( 3 4 t－ 5 2 ＋ 3 4 t－1)×2＝ 3 2 t－ 7 2 ∴S＝S 梯形 GMNF －S 梯形 GPQF ＝( t－1)－( 3 2 t－ 7 2 )＝－ 1 2 t＋ 5 2 11．（浙江金华、丽水）如图，在直角梯形 ABCD 中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝ 3，AB＝6．在底边 AB 上取点 E，在射线 DC 上取点 F，使得∠DEF＝120°． （1）当点 E 是 AB 的中点时，求线段 DF 的长； （2）若射线 EF 经过点 C，求 AE 的长； （3）设 AE＝x，CF＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写 出自变量 x 的取值范围． 解：（1）过 E 作 EG⊥DF 于 H，则 EG＝A D＝ 3 ∵E 是 AB 的中点，AB＝6，∴DG＝3， ∴∠DEG＝60° ∵∠DEF＝120°，∴∠FEG＝∠DEG＝60° ∴GF＝3，∴DF＝6 （2）过 B 作 BG⊥DC 于 G，则四边形 ABGD 是矩形 ∴BG＝AD＝ 3 ∵AB∥DC，∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60° ∴BC＝ BG cos60° ＝2 在 AB 上截取 AH＝1，连接 DH 则 DH＝2，∠AHD＝60°，∴∠DHE＝120° ∴∠1＋∠2＝60° ∵∠DEC＝120°，∴∠2＋∠3＝60° ∴∠1＝∠3 又∠DHE＝∠EBC＝120°，∴△DHE∽△EBC，∴ HE BC ＝ DH EB 设 AE＝x，则 HE＝x－1，EB＝6－x ∴ x－1 2 ＝ 2 6－x ，解得 x1＝2，x2＝5 ∴若射线 EF 经过点 C，则 AE 的长是 2 或 5 （3）①当点 F 在线段 DC 上时 过 F 作 FG∥BC 交 AB 于 G，在 AB 上截取 AH＝1，连接 DH 则 DH＝2，∠AHD＝60°，∠DHE＝120°，BG＝CF＝y，EG＝6－x－y，GF＝BC＝2 D A C BE F D A C BE (F) H D A C BE (F)G H 1 2 3 D A C BE FG D A C BE F GH B A C D 图⑧ E FG B′ P Q N M 由（2）知△DHE∽△EGF，∴ HE GF ＝ DH EG ，即 x－1 2 ＝ 2 6－x－y ∴y＝ (x－2)(x－5) 1－x （2≤x ≤5） ②当点 F 在 DC 的延长线上时 过 F 作 FG∥BC 交 AB 的延长线于 G，在 AB 上截取 AH＝1，连接 DH 由△DHE∽△EGF，得 x－1 2 ＝ 2 6－x＋y ∴y＝ (x－2)(x－5) x－1 （1＜x ＜2 或 5＜x ＜6） 12．（浙江嘉兴、舟山）将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的 n 倍，得△AB′C′， 即如图①，∠BAB′＝θ， AB′ AB ＝ B′C′ BC ＝ AC′ AC ＝n，我们将这种变换记为[θ，n]． （1）如图①，对△ABC 作变换[60°， 3]得△AB′C′，则 S△AB′C′ :S△ABC ＝_________；直线 BC 与直线 B′C′ 所夹的锐角为_________度； （2）如图②，△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点 B、C、C′ 在同一直线上，且四边形 ABB′C′ 为矩形，求θ和 n 的值； （3）如图③，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点 B、C、 B′ 在同一直线上，且四边形 ABB′C′ 为平行四边形，求θ和 n 的值． 解：（1）3；60 （2）∵四边形 ABB′C′ 是矩形，∴∠BAC′＝90° ∴θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝90°－30°＝60° 在 Rt△ABB′ 是中，∠ABB′＝90°，∠BAB′＝60° ∴n＝ AB′ AB ＝2 （3）∵四边形 ABB′C′ 是平行四边形，∴AC′∥BB′ 又∵∠BAC＝36°，∴θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72° ∴∠C′AB′＝∠AB′B＝∠BAC＝36°，而∠B＝∠B ∴△ABC∽△B′BA，∴AB 2＝1·( 1＋AB) ∴AB＝1± 5 2 ∵AB＞0，n＝ B′C′ BC ＝1＋ 5 2 13．（浙江某校自主招生）如图，矩形 ABOD 中，AB＝6，AD＝8，M 是边 AD 上的点，且 AM :MD＝1 :3．点 B A C B′ （图①） C′ B A C B′ （图②） C′ B A C B′ （图③） C′ D A C BE F GH D A C BE F GH E 从点 A 出发，沿 AB 运动到点 B 停止．连接 EM 并延长交射线 OD 于点 F，过 M 作 EF 的垂线交射线 BO 于点 G，连接 EG、FG． （1）设 AE＝t 时，△EFG 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； （2）若 P 是 MG 的中点，在 E 点运动的整个过程中，点 P 到 x 轴的距离是否为定值？请说明理由； （3）请直接写出 E 点运动的整个过程中点 P 的运动路线的长． 解：（1）当点 E 与点 A 重合时，t＝0 S＝S△ABD ＝ 1 2 ×8×6＝24 当点 E 与点 A 重合时，0＜t≤6 在矩形 ABOD 中，∠A＝∠ADO＝90° ∴∠MDF＝90°，∴∠A＝∠MDF ∵∠AME＝∠DMF，∴△AME∽△DMF ∴ AM MD ＝ ME MF ＝ 1 3 ∵AD＝8，∴AM＝2 在 Rt△AME 中，AE＝t，AM＝2，∴ME＝ 4＋t 2 ∴EF＝4ME＝4 4＋t 2 过 M 作 MN⊥BO 于 N，则∠MNG＝90°，∠AMN＝90° MN＝AB＝6＝3AM，∴∠AME＋∠EMN＝90° ∵∠EMG＝90°，∴∠NMG＋∠EMN＝90° ∴∠AME＝NMG，∴△AME∽△NMG ∴ ME MG ＝ AM MN ＝ 1 3 ，∴MG＝3ME＝3 4＋t 2 ∴S＝ 1 2 EF·MG＝ 1 2 ×4 4＋t 2 ×3 4＋t 2 ＝24＋6t 2 （2）过 P 作 PH⊥BO 于 H，则 PH∥MN ∵P 是 MG 的中点，∴PH＝ 1 2 MN＝3 ∴点 P 到 x 轴的距离是定值 3 （3）点 P 的运动路线的长为 9 提示：由（2）知，在 E 点运动的整个过程中，点 P 到 x 轴的距离是定值 3 所以点 P 的运动路线是一条平行于 BG 的线段 分别作出 E 与 A 重合、E 与 B 重合时 P 点的位置 P1、P2，则 P1P2 即为 P 点运动路线的长 在 Rt△BMG2 中，∵MG1⊥BG2，∴∠G1MG2＝∠MBG1 ∴tan∠G1MG2＝tan∠MBG1＝3，∴G1G2＝3MG1＝18 O x y B G A P F E M D O x y B G A P F E M D HN O x y B G2 A M D G1 P1 P2 ∵P1P2 是△MG1G2 的中位线，∴P1P2＝ 1 2 G1G2＝9 即点 P 的运动路线的长为 9 14．（浙江模拟）如图 1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为 A（5，0），C（0， 3）．射线 y＝kx 交折线 A－B－C 于点 P，点 A 关于 OP 的对称点为 A′． （1）当点 A′ 恰好在 CB 边上时，求 CA′ 的长及 k 的值； （2）若经过 O、A、A′ 三点的抛物线恰好以 A′ 为顶点，求 k 的值及该抛物线的解析式； （3）如图 2，当点 P 在 AB 边上，点 A′ 在 CB 上方时，连接 A′O、A′P 分别交 CB 边于点 E、F．是否存在 实数 k 使△A′EF≌△BPF？若存在，求出 k 值；若不存在，说明理由； （4）以 OP 为直径作⊙M，则⊙M 与矩形 OABC 最多有_________个公共点，直接写出公共点个数最多时 k 的取值范围． 12．解：（1）当点 A′ 恰好在 CB 边上时，连接 A′O、A′P，如图 1 ∵OA′＝OA＝5，OC＝3 ∴CA′＝ OA′ 2－OC 2 ＝ 52－32 ＝4 ∴A′B＝CB－CA′＝5－4＝1 设 PA＝x，则 A′P＝PA＝x，BP＝3－x 在 Rt△A′PB 中，A′B 2＋BP 2＝A′P 2 ∴12＋(3－x)2＝x 2，解得 x＝ 5 3 ，∴P（5，5 3 ） ∴k＝ yP xP ＝ 1 3 （2）连接 A′O、A′P、A′A，设 A′A 交射线 OP 于点 D，如图 2 则 OP 垂直平分 A′A ∵经过 O、A、A′ 三点的抛物线恰好以 A′ 为顶点 ∴由抛物线的对称性可知 A′O＝A′A＝2A′D ∴∠A′OD＝30°，∴∠AOD＝∠A′OD＝30° ∴PA＝ 3 3 OA＝5 3 3 ，∴P（5，5 3 3 ） ∴k＝ yP xP ＝ 3 3 可得∠A′OA＝60°，∴△A′OA 是等边三角形 ∴点 A′ 的坐标为（ 5 2 ，5 3 2 ） 设抛物线的解析式为为 y＝a(x－ 5 2 )2＋ 5 3 2 B A C xO y P A′ 图 1 B A C xO y P A′ 图 2 E F B A C xO y 备用图 B A C xO y P A′ 图 1 B A C xO y P A′ 图 2 D 把 O（0，0）代入上式，得 0＝a(0－ 5 2 )2＋ 5 3 2 解得 a＝2 3 5 ∴抛物线的解析式为为 y＝－2 3 5 (x－ 5 2 )2＋5 3 2 （3）假设存在实数 k，使△A′EF≌△BPF，如图 3 ∵∠A′＝∠B＝90°，∠A′FE＝∠BFP ∴A′E＝BP，A′F＝BF 设 A′E＝BP＝a，A′F＝BF＝b 则 A′P＝PA＝3－a，EF＝PF＝3－a－b，OE＝5－a CE＝5－(3－a－b)－b＝2＋a 在 Rt△OCE 中，OC 2＋CE 2＝OE 2 ∴3 2＋(2＋a)2＝(5－a)2，解得 a＝ 6 7 ∴PA＝3－ 6 7 ＝15 7 ，∴P（5，15 7 ） ∴k＝ yP xP ＝ 3 7 （4）以 OP 为直径的⊙M 与矩形 OABC 最多有 6 个公共点 提示：∵∠OAP＝90° ∴当点 P 在 AB 边上时，⊙M 经过 O、A、P 三点，如图 4 ∵∠COP＜90°，∴⊙M 必与 OC 边交于另一点 又∵⊙M 与 BC 边最多有 2 个公共点 ∴⊙M 与矩形 OABC 最多有 6 个公共点 当点 P 在 BC 边上时，情况亦然 ①当⊙M 与 BC 边相切于点 D 时，连接 DM 并延长交 OA 于 E，如图 5 则 MD⊥BC，∴DE∥AB∥OC，∴DE＝OC＝3 ∵M 是 OP 的中点，∴E 是 OA 的中点 ∴ME＝ 1 2 PA 设 PA＝x，则 ME＝ 1 2 x，DM＝ 1 2 OP＝ 1 2 x2＋52 ∵DM＋ME＝DE，∴ 1 2 x2＋52 ＋ 1 2 x＝3 解得 x＝ 11 12 ，∴P（5，11 12 ） ∴k＝ yP xP ＝ 11 60 ②当⊙M 与 AB 边相切于点 E 时，连接 EM 并延长交 OC 于 D，如图 6 设 CP＝x，则 DM＝ 1 2 x，ME＝ 1 2 OP＝ 1 2 x2＋32 ∵DM＋ME＝DE，∴ 1 2 x＋ 1 2 x2＋32 ＝5 解得 x＝ 91 20 ，∴P（ 91 20 ，3） B A C xO y P A′ 图 3 E F B A C xO y P 图 4 M B A C xO y P 图 5 D M E B A C xO y E 图 6 D P M ∴k＝ yP xP ＝ 60 91 又∵当点 P 与点 B 重合时，⊙M 经过 O、A、B、C 四点，此时 k＝ 3 5 ∴当⊙M 与矩形 OABC 有 6 个公共点时，k 的取值范围是： 11 60 ＜k＜ 60 91 且 k≠ 3 5 15．（浙江模拟）如图，点 A 的坐标为（0，－4），点 B 为 x 轴上一动点，以线段 AB 为边作正方形 ABCD （按逆时针方向标记），正方形 ABCD 随着点 B 的运动而相应变动．点 E 为 y 轴的正半轴与正方形 ABCD 某一边的交点，设点 B 的坐标为（t，0），线段 OE 的长度 为 m． （1）当 t＝3 时，求点 C 的坐标； （2）当 t＞0 时，求 m 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在 t，使点 M（－2，2）落在正方形 ABCD 的 边上？若存在，请求出所有符合条件的 t 的值；若不存在， 请说明理由． 解：（1）过点 C 作 CF⊥x 轴于 F 则△CFB≌△BOA，得 CF＝BO＝3，FB＝OA＝4 ∴点 C 的坐标为（－1，3） （2）当 0＜t≤4 时，点 E 为 y 轴的正半轴与 BC 边的交点，如图 1 易证△BOE∽△AOB，得 OE OB ＝ OB OA 即 m t ＝ t 4 ，∴m＝ 1 4 t2 当 t＞4 时，点 E 为 y 轴的正半轴与 CD 边的交点，如图 2 易证△EDA∽△AOB，得 DA OB ＝ EA AB 而 DA＝AB，∴AB 2＝OB·EA 即 42＋t 2＝t(m＋4)，∴m＝t＋ 16 t －4 （3）存在 当 t≤0 时 ∵正方形 ABCD 位于 x 轴的下方（含 x 轴），∴此时不存在 当 0＜t≤4 时 ①若点 M 在 BC 边上，有 t 2 ＝ 4 t＋2 解得 t＝2 或 t＝－4（舍去） ②若点 M 在 CD 边上，有 t－2 4 ＝ 2－(4－t) t 解得 t＝2 或 t＝4 当 t＞4 时 A B D y C O E x A B D y C O E x 图 1 A BD y C O E x 图 2 ①若点 M 在 CD 边上，有 t＋ 16 t －4－2 4 ＝ 2 t 解得 t＝2（舍去）或 t＝4（舍去） ②若点 M 在 AD 边上，有 2－ 16 t 4 ＝ 2 t 解得 t＝12 综上所述：存在，符合条件的 t 的值为 2、4、12 16．（浙江模拟）如图，直角梯形 OABC 的直角顶点 C 在 x 轴上，C（8 2，0），∠AOC＝45°，AB＝5 2， 点 D 是 AB 边上的一点，且 AD :BD＝2 :3．有一 45°角的顶点 E 在 x 轴上运动，角的一边过点 D，角的另 一边与直线 OA 交于点 F，连接 DF． （1）求点 D 的坐标； （2）若点 E 在 x 轴正半轴上运动，设 CE＝x，OF＝y，求 y 与 x 的函数关系式； （3）在点 E 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△DEF 成为等腰三角形？若存在，请求出所有符合 条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）作 AG⊥OC 于 G，DH⊥OC 于 H，如图 1 ∵∠AOC＝45°，∴AG＝OG＝OC－AB＝8 2－5 2＝3 2 ∵AB＝5 2，AD :BD＝2 :3，∴AD＝2 2 ∴OH＝3 2＋2 2＝5 2 ∴D（5 2，3 2） （2）①当点 E 在线段 OC 上时，如图 1 连接 DC，则 HC＝OC－OH＝8 2－5 2＝3 2 ∴HC＝DH＝3 2，∴CD＝6，∠DCH＝45° ∴∠EDC＋∠DEC＝135° ∵∠DEF＝45°，∴∠FEO＋∠DEC＝135° ∴∠FEO＝∠EDC，又∠EOF＝∠DCE＝45° ∴△OEF∽△CDE，∴ OF OE ＝ CE CD ，即 y 8 2－x ＝ x 6 ∴y＝－ 1 6 x2＋4 2 3 x ②当点 E 在 OC 延长线上时，如图 2 ∵∠AOC＝∠DCO＝45°，∴∠EOF＝∠DCE ∠CDE＋∠CED＝45° ∵∠DEF＝45°，∴∠CED＋∠OEF＝45° B E xO y A D F C 图 2 B E xO y A D F C B xO y A D 备用图 C B E xO y A D F C 图 1 G H ∴∠OEF＝∠CDE，∴△OEF∽△CDE ∴ OF OE ＝ CE CD ，即 y 8 2＋x ＝ x 6 ∴y＝ 1 6 x2＋4 2 3 x （3）①当点 E 在线段 OC 上时 i）若 EF＝ED，如图 3，则△OEF≌△CDE ∴OE＝CD＝6，CE＝8 2－6，∴OF＝CE＝8 2－6 ∴F（8－3 2，8－3 2） ii）若 DF＝DE，如图 4，则∠EDF＝90° 作 FM⊥AB 于 M，EN⊥AB 于 N 则△DFM≌△EDN，∴DM＝EN＝3 2，∴M（2 2，3 2） ∴F（2 2，2 2） iii）若 DF＝EF，如图 5，则∠DFE＝90° 作 FN⊥OC 于 N，交直线 AB 于 M，则△FNE≌△DMF ∴FN＝DM 设 ON＝x，则 FN＝x，MF＝3 2－x，DM＝5 2－x ∴x＝5 2－x，∴x＝ 5 2 2 ∴F（5 2 2 ，5 2 2 ） ②当点 E 在 OC 延长线上时，如图 2 ∵∠DEF＝45°，∠DFE＜45°，∠EDF＞90° ∴△DEF 不可能是等腰三角形 ③当点 E 在 CO 延长线上时，如图 6 ∵∠DEF＝135°，∴只能 EF＝ED，此时△OEF≌△CDE ∴OE＝CD＝6，CE＝8 2＋6，∴OF＝CE＝8 2＋6 ∴F（－8－3 2，－8－3 2） 综上所述，存在 4 个时刻使得△DEF 成为等腰三角形，点 F 的坐标为： F1（8－3 2，8－3 2），F2（2 2，2 2），F3（5 2 2 ，5 2 2 ），F4（－8－3 2，－8－3 2） 17．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的顶点 A、B 的坐标分别是（5，0），（3， 2），点 D 在线段 OA 上，BD＝BA，点 Q 是线段 BD 上一个动点，点 P 的坐标是（0，3），设直线 PQ 的解 析式为 y＝kx＋b． （1）求 k 的取值范围； B xO y A D F C 图 3 E B E xO y A D F C 图 4 M N B xO y A D F C 图 5 E M N A B C xO y 图 6 E F D （2）当 k 是取值范围内的最大整数时，若抛物线 y＝ax2－5ax 的顶点在直线 PQ、OA、AB、BC 围成的四 边形内部，求 a 的取值范围． 解：（1）∵直线 y＝kx＋b 经过 P（0，3），∴b＝3 ∴直线 PQ 的解析式为 y＝kx＋3 ∵A（5，0），B（3，2），BD＝BA，∴D（1，0） 设线段 BD 的解析式为 y＝mx＋n（1≤x ≤3） ∴ 3m＋n＝2 m＋n＝0 解得 m＝1 n＝－1 ∴线段 BD 的解析式为 y＝x－1（1≤x ≤3） 依题意，得 m＝1 y＝kx＋3 解得 x＝ 4 1－k ∵1≤x ≤3，∴1≤ 4 1－k ≤3 解得－3≤k ≤－ 1 3 （2）∵－3≤k ≤－ 1 3 ，且 k 为最大整数，∴k＝－1 则直线 PQ 的解析式为 y＝－x＋3 ∵抛物线 y＝ax2－5ax 的顶点坐标是（ 5 2 ，－25 4 a），对称轴为 x＝ 5 2 解方程组 y＝－x＋3 x＝ 5 2 得 x＝ 5 2 y＝ 1 2 即直线 PQ 与抛物线对称轴的交点坐标为（ 5 2 ，1 2 ） ∴ 1 2 ＜－25 4 a ＜2，解得－ 8 25 ＜a ＜－ 2 25 18．（浙江模拟）如图，矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ 3，将矩形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转 90°得到矩 形 A′B′C′D′ （1）求点 A 在旋转过程中所走过的路径的长； （2）求矩形 ABCD 在旋转过程中所扫过的面积； （3）若点 P 为线段 BC 上一点，且使得∠APA′＝60°，则满足条件的 点 P 有几个？请你选择一个点 P 求△APA′ 的面积． 解：（1）易知点 A 的路径是以 O 为圆心、以 OA 长为半径、圆心角为 90°的一段圆弧 ∵AB＝1，BC＝ 3，∴AC＝2，OA＝1 y D A C xO B Q P D B A C O A′B′ C′ D′ ∴点 A 在旋转过程中所走过的路径的长为：π×1×90 180 ＝ π 2 （2）如图，将矩形 ABCD 绕它的对称中心 O 旋转 90°，扫过的面积是图中阴影部分的面积 ∵AB＝1，A′D′＝BC＝ 3，∴A′G＝DG＝BE＝C′E＝ 3－1 2 ∵AB＝1，AD＝ 3 ∴∠ADB＝∠DBC＝30°，∠OFC＝∠A′C′D′＝∠BDC＝60° ∴∠A′OD＝∠BOC′＝30° ∴S 阴影＝S⊙O －2(S 扇形 BOD －2S△BOE )＝S⊙O －2S 扇形 BOD ＋4S△BOE ) ＝π×1 2－2×π×1 2×30 360 ＋4× 1 2 × 3－1 2 × 1 2 ＝ 5 6 π＋ 3－1 2 （cm2） （3）满足条件的点 P 有 2 个 提示：在 BC 上取点 P1，使 BP1＝ 3 3 则∠AP1B＝60°，P1H＝ 3－ 3 3 － 3－1 2 ＝ 3 6 ＋ 1 2 A′H＝ 3－ 3－1 2 ＝ 3＋1 2 ∴tan∠A′P1H＝ A′H P1H ＝ 3，∴∠A′P1H＝60° ∴∠AP1A′＝60° 在 BC 上取点 P2，使 P2H＝A′G＝ 3－1 2 则△A′P2H≌△AA′G，∴A′P2＝A′A＝ A′H 2＋P2H 2 ＝ 2 BP2＝ 3＋1 2 － 3－1 2 ＝1＝AB，∴AP2＝ 2 ∴AP2＝A′P2＝A′A，∴△AP2A′ 是等边三角形 ∴∠AP2A′＝60° 又∵△AP2A′ 的外接圆与 BC 最多有 2 个交点 ∴满足条件的点 P 有 2 个 若求△AP1A′ 的面积 ∵S 梯形 ABHA′ ＝ 1 2 ×(1＋ 3＋1 2 )× 3＋1 2 ＝ 3 2 ＋ 3 4 ，S△ABP1 ＝ 1 2 ×1× 3 3 ＝ 3 6 S△A′P1H ＝ 1 2 ×( 3 6 ＋ 1 2 )× 3＋1 2 ＝ 3 6 ＋ 1 4 ∴S△AP1A′ ＝S 梯形 ABHA′ －S△ABP1 －S△A′P1H ＝ 3 6 ＋ 1 2 若求△AP2A′ 的面积 则 S△AP2A′ ＝ 1 2 × 2× 3 2 × 2＝ 3 2 19．（江苏连云港）已知梯形 ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3． 问题 1：如图 1，P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD．请问对角线 PQ，DC 的长能否 D B A O C C′ D′ A′B′ E F O G D B A C C′ D′ A′B′ E P1 P2 H G 相等，为什么？ 问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上任意一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD．请问对角线 PQ 的长是 否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DE＝PD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE．请 探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 问题 4：如图 3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AE＝nPA（n 为常数），以 PE，PB 为边作平 行四边形 PBQE．请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请直接写．．．出．最小值；如果不存在， 请说明理由． 解：问题 1：如图 1，∵四边形 PCQD 是平行四边形 若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD 是矩形，∴∠DPC＝90° ∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，∴DC＝2 2 设 PB＝x，则 AP＝2－x 在 Rt△DPC 中，PD 2＋PC 2＝DC 2，即 x 2＋32＋(2－x)2＋1＝8 化简得 x 2－2x＋3＝0，∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，∴方程无解 ∴对角线 PQ 与 DC 不可能相等 问题 2：如图 2，在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G 则 G 是 DC 的中点 过点 Q 作 QH⊥BC，交 BC 的延长线于 H ∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH 即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH ∵PD∥CQ，∴∠PDC＝∠DCQ，∴∠ADP＝∠QCH 又∵PD＝CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，∴AD＝HC ∵AD＝1，BC＝3，∴BH＝4 ∴当 PQ⊥AB 时，PQ 的长最小，即为 4 问题 3：如图 3，设 PQ 与 DC 相交于点 G ∵PE∥CQ，PD＝DE，∴DG GC ＝ PD CQ ＝ 1 2 ∴G 是 DC 上一定点 作 QH⊥BC，交 BC 的延长线于 H 同理可证∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ ∴ AD CH ＝ PD CQ ＝ 1 2 ，∴CH＝2，∴BH＝BC＋CH＝3＋2＝5 ∴当 PQ⊥AB 时，PQ 的长最小，即为 5 问题 4：存在最小值，最小值为 2 2 (n＋4) 提示：如图 4，设 PQ 与 AB 相交于点 G ∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴AG BG ＝ PA BQ ＝ 1 n＋1 ∴G 是 AB 上一定点 B P A D C Q 图（2） B P A D C Q 图（1） B P A D C Q 图（3） E B P A D C Q 图（1） B P A D C Q 图（2） G H B P A D C Q 图（3） G H E 作 QH∥DC，交 CB 的延长线于 H，作 CK⊥CD，交 QH 的延长线于 K ∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ADP＝∠BHQ ∠PAD＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG ∴∠PAD＝∠QBH，∴△ADP∽△BHQ，∴ AD BH ＝ PA BQ ＝ 1 n＋1 ∴BH＝n＋1，∴CH＝BC＋BH＝3＋n＋1＝n＋4 过点 D 作 DM⊥BC 于 M，则四边形 ABMD 是矩形 ∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2 ∴MC＝BC－BM＝3－1＝2＝DM ∴∠DCM＝45°，∴∠HCK＝45° ∴CK＝CH·cos45°＝ 2 2 (n＋4) ∴当 PQ⊥CD 时，PQ 的长最小，最小值为 2 2 (n＋4) 20．（江苏常州）已知，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点 M 为边 BC 的中点，点 P 为边 CD 上的动 点（点 P 异于 C，D 两点）．连接 PM，过点 P 作 PM 的垂线与射线 DA 相交于点 E（如图）．设 CP＝x， DE＝y． （1）写出 y 与 x 之间的关系式________________； （2）若点 E 与点 A 重合，则 x 的值为________________； （3）是否存在点 P，使得点 D 关于直线 PE 的对称点 D′ 落在边 AB 上？若存在，求 x 的值；若不存在，请 说明理由． 解：（1）y＝－x2＋4x（0＜x ＜4） （2）x＝2± 2 （3）经探究得：当 0＜x≤2－ 2 或 2＋ 2≤x ＜4 时，点 E 在边 AD 上 当 2－ 2＜x ＜2＋ 2 时，点 E 在 DA 的延长线上 ①当 0＜x≤2－ 2 或 2＋ 2≤x ＜4 时 假设存在点 P，使得点 D 关于直线 PE 的对称点 D′ 落在边 AB 上 设直线 DD′ 交直线 PE 于点 H，连接 PD′、D′M，延长 PM 交 AB 的延长线于点 F ∵D 与 D′ 关于直线 PE 对称，∴PE⊥DD′，PD＝PD′ ∵PF⊥PE，∴DD′∥PF 又∵AB∥CD，∴四边形 DD′FP 为平行四边形 ∴PD＝PD′＝D′F＝4－x. ∵M 为边 BC 的中点，∴D′M⊥PF ∴∠CBA＝90°，∴△D′MB∽△MBF，∴ BM D′B ＝ BF BM 易得 BF＝PC，∴(4－2x)x＝1，解得 x＝2± 2 2 ∵0＜x≤2－ 2 或 2＋ 2≤x ＜4，∴x＝2－ 2 2 ②当 2－ 2＜x ＜2＋ 2 时 同①理，得 x＝2± 2 2 . B P A D C E M （备用图） B P A D C E M B P A D C Q 图（4） E G MH K B P A D C E M D′ F H B P A D C E M D′ F H ∵2－ 2＜x ＜2＋ 2，∴x＝2＋ 2 2 综上所述，存在点 D 关于直线 PE 的对称点 D′ 落在边 AB 上，此时 x 的值为 2－ 2 2 或 2＋ 2 2 . 21．（江苏淮安）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A（0，4），C（2，0）．将矩 形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 135°，得到矩形 EFGH（点 E 与 O 重合）． （1）若 GH 交 y 轴于点 M，则∠FOM＝__________°，OM＝__________； （2）将矩形 EFGH 沿 y 轴向上平移 t 个单位． ①直线 GH 与 x 轴交于点 D，若 AD∥BO，求 t 的值； ②若矩形 EFHG 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S 个平方单位，试求当 0＜t≤4 2－2 时，S 与 t 之间的函 数关系式． 解：（1）45，2 2 （2）①当 AD∥BO 时，如图 1 ∵C（2，0），∴AB＝OC＝2 ∵AB∥DO，AD∥BO，∴四边形 ABOD 是平行四边形 ∴DO＝AB＝2 由平移知 EM＝2 2，∠FEM＝45° ∴∠OMD＝∠ODM＝45°，∴OM＝OD＝2 ∴t＝OE＝2 2－2 ②当 EF 经过点 C 时，如图 2，易知 t＝2 当 GH 经过点 O 时，如图 3，t＝OE＝2 2 当 FG 经过点 C 时，如图 4 ∵OE＝t，ME＝2 2，∴OM＝ON＝t－2 2 ∴MN＝ 2t－4，NG＝ 2 2 [2－(t－2 2)]＝ 2＋2－ 2 2 t ∵HM＝HE＝2，HG＝4，∴MG＝2 ∴ 2t－4＋ 2＋2－ 2 2 t＝2，∴t＝4 2－2 A O C F B x y (E) G H F G C xOH D E M A B y 图 1 F G C xO H A B y E M NF G C xO H E M A B y F G C xO H E A B y i）当 0＜t≤2 时，如图 5 S＝S△OEN ＝ 1 2 t2 ii）当 2＜t≤2 2 时，如图 6 S＝S 梯形 OENC ＝ 1 2 [(t－2)＋t]×2＝2t－2 iii）当 2 2＜t≤4 2－2 时，如图 7 S＝S 梯形 OEPC － S△OMN ＝(2t－2)－ 1 2 (t－2 2)2 ＝－ 1 2 t2＋(2 2＋2)t－6 综上所述，当 0＜t≤4 2－2 时，S 与 t 之间的函数关系式为 S＝ 1 2 t2（0＜t≤2） 2t－2（2＜t≤2 2） 1 2 t2＋(2 2＋2)t－6（2 2＜t≤4 2－2） 22．（江苏模拟）如图，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一动点（不与点 A、B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90°得到线段 PE，PE 交边 BC 于点 F，连接 BE、DF． （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）若正方形 ABCD 边长为 4，点 F 能否为边 BC 的中点？如果能，请你求出 AP 的长；如果不能，请说 明理由． （3）当 AP AB 的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由． A P C F B E D F G C xOH E M A B y 图 5 N F G C xO H E M A B y 图 6 N F G C xO H A B y 图 7 E M N P （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠A＝90° ∴∠ADP＋∠APD＝90° ∵∠DPE＝90°，∴∠APD＋∠EPB＝90° ∴∠ADP＝∠EPB （2）不能 设 AP＝x（0＜x ＜4） ∵∠A＝∠PBF＝90°，∠ADP＝∠FPB ∴△ADP∽△BPF，∴ AD AP ＝ BP BF ，∴ 4 x ＝ 4－x BF ∴BF＝－ 1 4 x2＋x＝－ 1 4 (x－2)2＋1 ∴当 x＝2（即 P 为 AB 中点）时，BF 有最大值 1 ∴点 F 不能为边 BC 的中点 （3）假设△PFD∽△BFP，则 PD PF ＝ PB BF ∵△ADP∽△BPF，∴ PD PF ＝ AP BF ∴ PB BF ＝ AP BF ，∴PB＝AP ∴当 AP AB ＝ 1 2 时，△PFD∽△BFP 23．（江苏模拟）如图 1，正方形 ABCD 和正方形 AEFG，边 AE 在边 AB 上，AB＝2AE＝4．将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转α（0°≤α≤60°）． （1）如图 2，当∠BEA＝120°时，求 DG 的长； （2）设 BE 的延长线交直线 DG 于点 P，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 60°，求旋转过程中点 P 运动 的路线长； （3）在旋转的过程中，是否存在某时刻使得 BF＝BC，若存在，试求出 DP 的长；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵正方形 ABCD 和正方形 AEFG ∴AD＝AB，AG＝AE，∠EAG＝∠BAD＝90° ∴∠DAG＝∠BAE＝90°－∠EAD ∴△DAG≌△BAE，∴∠DGA＝∠BEA＝120° C B A E GD F 图 1 C B A E G D F 图 2 C B AD 备用图 C B A E G D F H 过点 A 作 AH⊥DG，交 DG 延长线于 H，如图 2 则∠AGH＝60°，∴∠GAH＝30° ∴GH＝ 1 2 AG＝1，AH＝ 3 2 AG＝ 3 在 Rt△ADH 中，AH 2＋DH 2＝AD 2 ∴( 3)2＋(DG＋1)2＝42 解得 DG＝ 13－1（舍去负值） （2）由（1）知△DAG≌△BAE，∴∠ADG＝∠ABE 如图 3，∵∠1＝∠2，∴∠BPD＝∠BAD＝90° 连接 BD，则△BPD 是以 BD 为斜边的直角三角形 设 BD 的中点为 O，连接 OP，则 OP＝ 1 2 BD＝ 2 2 AB＝2 2 ∴旋转过程中，点 P 运动的路线是以 O 为圆心，以 OP 为半径的一段圆弧 如图 4，当边 AE 在边 AB 上时，P 与 A 重合 当∠BAE＝60°时，设 AB 的中点为 M，连接 ME 则 AE＝AM＝BM＝ 1 2 AB，∴△AEM 是等边三角形 ∴∠EMA＝60°，∴∠MBE＝∠MEB＝30° ∴∠BEA＝90°，∴B、E、F 三点共线 ∴P 与 F 重合 连接 AF，易知△OFA 是等边三角形，∠AOF＝60° ∴点 P 运动的路线长为：2 2× 60 180 π＝2 2 3 π （3）假设存在某时刻使得 BF＝BC，则 BF＝BA 又 EF＝EA，则 BE＝BE，∴△BEF≌△BEA ∴∠BEF＝∠BEA，∴∠FEP＝∠AEP＝45° ∴P 与 G 重合 过点 A 作 AH⊥DG，交 DG 延长线于 H，如图 5 则∠AGH＝45°，AH＝GH＝ 2 2 AG＝ 2 在 Rt△ADH 中，AH 2＋DH 2＝AD 2 ∴( 2)2＋(DG＋ 2)2＝42 解得 DG＝ 14－ 2（舍去负值） 即 DP 的长为 14－ 2 24．（江苏模拟）如图，梯形的纸片 ABCD 中，AD∥BC，AD＝4cm，BC＝8cm，高为 8cm．点 E 是腰 AB 上的一个动点，过点 E 作 EF∥BC，交 DC 于点 F，设 EF＝x cm． （1）若梯形 AEFD 的高为 h1，梯形 EBCF 的高为 h2，则 h1 h2 ＝___________（用含 x 的式子表示）； （2）将梯形 AEFD 沿 EF 折叠，点 A 落在 A1 处，点 D 落在 D1 处，设梯形 A1D1FE 与梯形 BCFE 的重叠面 积为 S． ①求 S 与 x 的关系式，并写出 x 的取值范围； ②当 x 为何值时，S 最大，最大值是多少？ C B A E G O (P) D F 图 4 M C B A E G O D F 图 3 P 1 2 C B A E G D F 图 5 (P) H CB A D E F 解：（1） x－4 8－x （2）①（ⅰ）当 4＜x≤6 时，折叠后如图 1 所示 由 h1 h2 ＝ x－4 8－x ，即 h1 8－h1 ＝ x－4 8－x ，得 h1＝2x－8 ∴S＝ 1 2 (4＋x)(2x－8) 即 S＝x2－16 （ⅱ）当 6＜x ＜8 时，折叠后如图 2 所示 设 EH、FG 分别交 BC 于 P、Q，连接 AH 分别交 EF、BC 于 M、N，连接 FH 交 BC 于 R ∵AM＝h1＝2x－8，∴MN＝h2＝8－(2x－8)＝16－2x ∴NH＝h1－h2＝(2x－8)－(16－2x)＝4x－24 ∵PR∥EF，∴△HPR∽△HEF ∴ PR EF ＝ NH MH ，即 PR x ＝ 4x－24 2x－8 ，∴PR＝ 2x2－12x x－4 同理可求：RQ＝ 32－4x x－4 ∴PQ＝ 2x2－12x＋32－4x x－4 ＝2x－8 ∴S＝ 1 2 (2x－8＋x)(16－2x) 即 S＝－3x2＋32x－64 综合（ⅰ）（ⅱ）得：S＝ x2－16（4＜x≤6） －3x2＋32x－64（6＜x ＜8） ②对于函数 S＝x2－16（4＜x≤6），当 x＝6 时，S 有最大值 20 对于函数 S＝－3x2＋32x－64（6＜x ＜8） 当 x ＞－ 32 2×(－3) ＝16 3 时，S 随 x 的增大而减小，当 x＝6 时，S 有最大值 20 综上得：当 x＝6 时，S 有最大值 20 25．（江苏模拟）如图，菱形 ABCD 的边长为 12cm，∠B＝30°，E 为 AB 上一点，且 AE＝4cm．动点 P 从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿 BC 边向点 C 运动，PE 交射线 DA 于点 M，设运动时间为 t（s）． （1）当 t 为何值时，△MAE 的面积为 3cm2 ？ （2）在点 P 出发的同时，动点 Q 从点 D 出发，以 1cm/s 的速度沿 DC 边向点 C 运动，连接 MQ、PQ，试 求△MPQ 的面积 S（cm2）与 t（s）之间的函数关系式，并求出当 t 为何值时，△MPQ 的面积最大，最大 值为多少？ （3）连接 EQ，则在运动中，是否存在这样的 t，使得△PQE 的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接 写出满足条件的 t 的个数，并选择其一求出相应的 t 的值；若不存在，请说明理由． CB A D E F GH 图 1 A B D Q CP E M A B D C E 备用图 CB A D E F GH 图 2 P R Q M N 解：（1）∵四边形 ABCD 为菱形，∴AD∥BC，∴△EAM∽△EBP. ∵AE＝4cm，BE＝8cm，BP＝t cm，∴AM＝ 1 2 t cm 由 S△EAM ＝3cm2、∠MAE＝30°、AE＝4cm，得 1 2 × 1 2 t×2＝3，解得 t＝6 ∴当 t 为 6s 时，△MAE 的面积为 3cm2 （2）∵AD∥BC，∴S 梯形 PCDM ＝ 1 2 (12－t＋12＋ 1 2 t)×6＝72－ 3 2 t ∵S△MQD ＝ 1 2 (12＋ 1 2 t)× 1 2 t＝ 1 8 t2＋3t，S△PCQ ＝ 1 2 (12－t)(12－t)× 1 2 ＝t2－24t＋144 4 ∴S＝S 梯形 PCDM － S△MQD － S△PCQ ＝－ 3 8 t2＋ 3 2 t＋36 ∵S＝－ 3 8 t2＋ 3 2 t＋36＝－ 3 8 (t－2)2＋ 75 2 ∴当 t＝2 时，△MPQ 的面积最大，最大值为 75 2 （3）存在，t 的值有两个 ∵△PQE 的外心恰好在它的一边上，∴△PQE 为直角三角形 ∵∠PQE＜∠CQE＜90°，∴只能∠EPQ＝90°或∠PEQ＝90° 选择求∠EPQ＝90°时的 t 值（若求∠PEQ＝90°时的 t 值，则计算相当复杂） ∵BP＝DQ，BC＝DC，∴PQ∥BD ∴PE⊥BD ∵AC⊥BD，∴PE∥AC 又∵BA＝BC，∴BP＝BP＝8cm ∴当 t＝8s 时，∠EPQ＝90° 26．（江苏模拟）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以 AC、BC、AB 为边在 AB 的同侧作 正方形 ACDE、正方形 BCFG 和正方形 ABHK，设 AK 与 CD 交于点 M，KH 与 CF 交于点 N． （1）求证：点 H 在线段 FG 上； （2）若四边形 AMDE 的面积为 15，△FNH 的面积为 1，求正方形 ABHK 的面积． （1）证明：∵HB＝AB，∠1＝∠2＝90°－∠CBH，BG＝BC ∴△HBG≌△ABC，∴HG＝AC，∠BGH＝∠BCA＝90° ∵FG＝BC，AC＜BC，∴HG＜FG A B D Q CP E M G E K F C A B D H M N 又∵∠BGF＝90°，∴点 H 在线段 FG 上 （2）解：∵∠ACM＝∠ACB＝90° ∴M、C、B 三点在一条直线上 ∵∠3＝∠2＝90°－∠AMC，∴Rt△MAC∽Rt△ABC ∴ MC AC ＝ AC BC 设 BC＝a，AC＝b，得 MC＝ b2 a ∴S 四边形 AMDE ＝S 正方形 ACDE － S△ACM ＝b2－ 1 2 b· b2 a ＝15 即 b2(2a－b) 2a ＝15 ① ∵∠KHB＝90°，∴∠3＝∠1＝90°－∠BHG ∴Rt△FNH∽Rt△GHB，∴ FN GH ＝ FH GB ∵GH＝AC＝b，∴FH＝a－b 得 FN＝ b(a－b) a ∴S△FNH ＝ 1 2 (a－b) b(a－b) a ＝b(a－b)2 2a ＝1 即b(a－b)2 2a ＝1 ② ①÷②，得 b(2a－b) (a－b)2 ＝15，即 15a2－32ab＋16b2＝0 ∴(3a－4b)(5a－4b)＝0，∴a＝ 4 3 b 或 a＝ 4 5 b ∵b＜a，∴a＝ 4 3 b，代入②，得 b2＝24 ∴a2＝16 9 b2＝16 9 ×24＝128 3 ∴S 正方形 ABHK ＝AB 2＝a2＋b2＝128 3 ＋24＝200 3 27．（江苏模拟）如图，点 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF 分 别交 BD 于 M、N，连接 EF、EN． （1）求证：EN⊥AF； （2）若 AB＝10，EF＝8，求四边形 MEFN 的面积． （1）证明：∵∠EAF＝∠DBC＝45°，∠AMN＝∠BME ∴△AMN∽△BME，∴ AM NM ＝ BM EM 又∵∠AMB＝∠NME，∴△ABM∽△NEM G E K F C A B D H M N 1 2 4 3 B C A F D E N M ∴∠NEM＝∠ABM＝45° 又∵∠EAF＝45°，∴∠ANE＝90° ∴EN⊥AF （2）解：延长线 CB 至 G，使 GB＝DF ∵AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝90°，BG＝DF ∴△ABG≌△ADF ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF ∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝90°－45°＝45° ∴∠EAG＝∠BAE＋∠BAG＝45°，∴∠EAG＝∠EAF 在△AEG 和△AEF 中 AG＝AF，∠ABG＝∠EAF，AE＝AE ∴△AEG≌△AEF，∴EG＝EF＝8 ∴S△AEF ＝S△AEG ＝ 1 2 EG·AB＝ 1 2 ×8×10＝40 ∵∠ANE＝90°，∠EAN＝∠AEN＝45° ∴AE＝ 2AN 同理 AF＝ 2AM ∴ AM AF ＝ AN AE ＝ 2 2 又∵∠MAN＝∠FAE，∴△AMN∽△AFE S△AMN S△AFE ＝ AM 2 AF 2 ＝ 1 2 ，∴S△AMN ＝ 1 2 S△AFE ∴S 四边形 MEFN ＝ 1 2 S△AFE ＝20 28．（江苏模拟）如图，直角梯形纸片 ABCD 中，AD⊥AB，AB＝8，AD＝CD＝4，点 E 在线段 AB 上，点 F 在射线 AD 上．将△AEF 沿 EF 翻折，点 A 的落点记为 P，若点 P 始终落在直角梯形 ABCD 内部或边上， 求动线段 AE 长度的最大值． 解：当 F 点是 BC 延长线与射线 AD 的交点时，AE 长取得最大值 ∵AD⊥AB，AB＝8，AD＝CD＝4 ∴BC＝CF＝4 2，AD＝DF＝4 ∴AB＝AF＝8，BF＝8 2， B C A F D E N M G D BA C P F E D BA C P F E ∵S△ABF ＝ 1 2 AB·AF＝ 1 2 AE·AF＋ 1 2 AE·BF ∴AE＝ AB·AF AB＋AF ＝ 8×8 8＋8 2 ＝8 2－8 即动线段 AE 长度的最大值是 8 2－8 29．（江苏模拟）如图，已知正方形纸片 ABCD 的边长为 4，⊙O 的半径为 1，圆心在正方形的中心上．将 纸片按图示方式折叠，使 EA1 恰好与⊙O 相切于点 A1，延长 FA1 交 CD 边于点 G． （1）求 A1G 的长； （2）求 tan∠A1EF 的值． 解：（1）过点 O 作 OH⊥AB 于点 H，设⊙O 与 FG 交于另一点 P ∵EA1 与⊙O 相切于点 A1，∴∠OA1E＝90° 又∵∠EA1F＝∠EAF＝90°，∴∠OA1E＋∠EA1F＝180° 即点 F、A1、O、G 在同一直线上 ∵圆心 O 是正方形 ABCD 的中心，∴AF＝CG 设 AF＝x，则 A1F＝x，PG＝x ∴FO＝x＋1，FH＝2－x 在 Rt△FOH 中，FO 2＝FH 2＋OH 2 ∴(x＋1)2＝(2－x)2＋2 2，解得 x＝ 7 6 ∴A1G＝2＋x＝19 6 （2）过点 A1 作 A1K⊥AB 于点 K 则△FA1K∽△FOH，∴ FK FH ＝ A1K OH ＝ FA1 FO 由（1）得 FH＝ 5 6 ，FA1＝ 7 6 ，FO＝13 6 ，代入上式，得 FK＝ 35 78 ，A1K＝ 14 13 ， ∴AK＝ 7 6 ＋ 35 78 ＝ 21 13 连接 AA1，则 AA1⊥EF，∴∠A1AK＋∠AFE＝90° ∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∠A1EF＝∠AEF，∴∠A1EF＝∠A1AK ∴tan∠A1EF＝tan∠A1AK＝ A1K AK ＝ 14 13 21 13 ＝ 2 3 30．（山东烟台） （1）问题探究 如图 1，分别以△ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向△ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形 BCD2E2，过点 C 作 直线 KH 交直线 AB 于点 H，使∠AHK＝∠ACD1，作 D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点 M，N．试探究 C A D B E F O A1 C A D B E F O A1 G H K P 线段 D1M 与线段 D2N 的数量关系，并加以证明． （2）拓展延伸 ①如图 2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线 K1H1，K2H2，分别交直线 AB 于点 H1，H2，使∠AH1K1＝∠BH2K2＝∠ACD1．作 D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点 M，N．D1M＝D2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． ②如图 3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M＝D2N 是否仍成立？（要求： 在图 3 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明） （1）D1M＝D2N 证明：∵∠ACD1＝90°，∴∠ACH＋∠D1CK＝90° ∵∠AHK＋∠ACD1＝90°，∴∠ACH＋∠HAC＝90° ∴∠D1CK＝∠HAC ∵AC＝CD1，∴△ACH≌△CD1M ∴D1M＝CH 同理可证 D2N＝CH ∴D1M＝D2N （2）①D1M＝D2N 仍成立 证明：过点 C 作 CG⊥AB，垂足为点 G ∵∠H1AC＋∠ACH1＋∠AH1C＝180° ∠D1CM＋∠ACH1＋∠ACD1＝180°，∠AH1C＝∠ACD1 ∴∠H1AC＝∠D1CM ∵AC＝CD1，∠AGC＝∠CMD1＝90°，∴△ACG≌△CD1M ∴CG＝D1M 同理可证 CG＝D2N ∴D1M＝D2N ②如图（作图正确） D1M＝D2N 仍成立 31．（山东德州）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与 点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF， 连接 BP、BH． （1）求证：∠APB＝∠BPH； A B D2N C H K E1 D1 M E2 图 1 A B D2 N C H2 K1 D1 M 图 2 K2 H1 A B D2 C D1 图 3 E2 F2 E1 F1 A B D2N C H K E1 D1 M E2 图 1 A B D2 N C H2 K1 D1 M 图 2 K2 H1G A B D2 C D1 图 3 E2 F2 E1 F1 H1 H2 M K1K2 N （2）当点 P 在边 AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？证明你的结论； （3）设 AP 的长为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若 存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． （1）证明：∵PE＝BE，∴∠EBP＝∠EPB 又∵∠EPH＝∠EBC＝90° ∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP 即∠PBC＝∠BPH 又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC ∴∠APB＝∠BPH （2）△PDH 的周长不变，为定值 8 证明：过 B 作 BQ⊥PH，垂足为 Q 由（1）知∠APB＝∠BPH 又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP ∴△ABP≌△QBP，∴AP＝QP，AB＝BQ ∵AB＝BC，∴BC＝BQ 又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH ∴△BCH≌△BQH，∴CH＝QH ∴△PDH 的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8 （3）过 F 作 FM⊥AB，垂足为 M，则 FM＝BC＝AB ∵EF 为折痕，∴EF⊥BP ∴∠EFM＋∠MEF＝∠ABP＋∠BEF＝90° ∴∠EFM＝∠ABP 又∵∠EMF＝∠A＝90°，∴△EMF≌△PAB ∴EM＝AP＝x ∴在 Rt△APE 中，(4－BE)2＋x 2＝BE 2 解得，BE＝2＋ x2 8 ∴CF＝BE－EM＝2＋x2 8 －x 又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等 ∴S＝ 1 2 (BE＋CF)·BC＝ 1 2 (4＋x2 4 －x)×4 即 S＝ 1 2 x 2－2x＋8 配方得，即 S＝ 1 2 (x－2)2＋6 A B C G F H DP E A B C G F H DP E （备用图） A B C G F H DP E A B C G F H DP E Q A B C G F H DP E M ∴当 x＝2 时，S 有最小值 6 32．（山东滨州）如图 1，l1，l2，l3，l4 是一组平行线，相邻 2 条平行线间的距离都是 1 个单位长度，正方 形 ABCD 的 4 个顶点 A，B，C，D 都在这些平行线上．过点 A 作 AF⊥l3 于点 F，交 l2 于点 H，过点 C 作 CE⊥l2 于点 E，交 l3 于点 G． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）求正方形 ABCD 的面积； （3）如图 2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为 h1，h2，h3，试用 h1，h2，h3 表 示正方形 ABCD 的面积 S． （1）证明：在 Rt△AFD 和 Rt△CEB 中 ∵AD＝BC，AF＝CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB （2）解：∵∠ABH＋∠CBE＝90°，∠ABH＋∠BAH＝90° ∴∠CBE＝∠BAH 又∵AB＝BC，∠AHB＝∠CEB＝90° ∴△ABH≌△BCE 不难得出，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF ∴S 正方形 ABCD ＝4S△ABH ＋S 正方形 EGFH ＝4× 1 2 ×2×1＋1×1＝5 （3）由（1）知，△AFD≌△CEB，∴h1＝h3 由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF ∴S 正方形 ABCD ＝4S△ABH ＋S 正方形 EGFH＝4× 1 2 (h1＋h2 )·h1＋h2 2＝2h1 2＋2h1h2＋h2 2 33．（山东临沂）已知，在矩形 ABCD 中，AB＝a，BC＝b，动点 M 从点 A 出发沿边 AD 向点 D 运动． （1）如图 1，当 b＝2a，点 M 运动到边 AD 的中点时，请证明∠BMC＝90°； （2）如图 2，当 b＞2a 时，点 M 在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存 在，请说明理由； （3）如图 3，当 b＜2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． （1）证明：∵b＝2a，点 M 是 AD 的中点，∴AB＝AM＝MD＝DC 又∵在矩形 ABCD 中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AMB＝∠DMC＝45° ∴∠BMC＝90° （2）存在 A B C D E G F H l1 l2 l3 l4 图 2 h1 h2 h3 A B C D E G F H l1 l2 l3 l4 图 1 图 2 A B C DM 图 1 A B C DM 图 3 A B C DM 理由：若∠BMC＝90°，则∠AMB＋∠DMC＝90° 又∵∠AMB＋∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠DMC 又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABM∽△DMC ∴ AM CD ＝ AB DM 设 AM＝x，则 x a ＝ a b－x ，整理得：x2－bx＋a2＝0 ∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△＝b2－4a2＞0 ∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意 ∴当 b＞2a 时，存在∠BMC＝90° （3）不成立 理由：若∠BMC＝90°，由（2）可知 x2－bx＋a2＝0 ∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△＝b2－4a2＜0 ∴方程没有实数根 ∴当 b＜2a 时，不存在∠BMC＝90°，即（2）中的结论不成立 34．（山东潍坊）如图，已知平行四边形 ABCD，过 A 作 AM⊥BC 于 M，交 BD 于 E，过 C 作 CN⊥AD 于 N，交 BD 于 F，连接 AF、CE． （1）求证：四边形 AECF 为平行四边形； （2）当 AECF 为菱形，M 点为 BC 的中点时，求 AB :AE 的值． （1）证明：∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90° ∵CN⊥AD，∴∠CNA＝90° 又∵BC∥AD，∴∠BCN＝90° ∴AE∥CF 又由平行得∠ADE＝∠CBD，又 AD＝BC ∴△ADE≌△BCF ∴AE＝CF ∴四边形 AECF 为平行四边形 （2）当 AECF 为菱形时，连接 AC 交 BF 于点 O 则 AC 与 EF 互相垂直平分 ∵BO＝OD，∴AC 与 BD 互相垂直平分 ∴四边形 ABCD 是菱形 ∴AB＝BC ∵M 是 BC 的中点，AM⊥BC，∴△ABM≌△CAM ∴AB＝AC，∴△ABC 为等边三角形 ∴∠ABC＝60°，∠CBD＝30° 在 Rt△BCF 中，CF :BC＝tan∠CBF＝ 3 3 又 AE＝CF，AB＝BC，∴AB :AE＝ 3 A D B C E N F M A D B C E N F M O 35．（山东威海） 探索发现 已知：在梯形 ABCD 中，CD∥AB，AD，BC 的延长线相交于点 E．AC，BD 相交于点 O，连接 EO 并延长 交 AB 于点 M，交 CD 于点 N． （1）如图①，如果 AD＝BC，求证：直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线； （2）如图②，如果 AD≠BC，那么线段 AM 与 BM 是否相等？请说明理由． 学以致用 仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形 ABCD 的一条对称轴．（写出作图步骤，保留作图痕迹） （1）证明：∵AD＝BC，CD∥AB，∴AC＝BD，∠DAB＝∠CBA ∴AE＝BE ∴点 E 在线段 AB 的垂直平分线上 在△ABD 和△BAC 中，∵AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC ∴△ABD≌△BAC，∴∠DBA＝∠CAB，∴OA＝OB ∴点 O 在线段 AB 的垂直平分线上 ∴直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线 （2）相等 理由：∵CD∥AB，∴△DEN∽△AEM，∴ DN AM ＝ DE AE 同理 DE AE ＝ DC AB ，∴ DN AM ＝ DC AB ∵CD∥AB，∴△OND∽△OMB，∴ DN BM ＝ OD OB 同理 OD OB ＝ DC AB ，∴ DN BM ＝ DC AB ∴ DN BM ＝ DN AM ，∴AM＝BM （3）作法：如图③ ①连接 AC，BD，两线相交于点 O1 ②在梯形 ABCD 外任取一点 E，连接 EA，EB，分别交 DC 于点 G， H ③连接 BG，AH，两线相交于点 O2 ④作直线 EO2，交 AB 于点 M ⑤作直线 MO1 则直线 MO1 就是矩形 ABCD 的一条对称轴 图 ① A D B C E N O M 图 ② A D B C E N O M 图 ③A D B C A B D G C E F 图③ A D B C E G H M O1 O2 36．（山东淄博）在矩形 ABCD 中，BC＝4，BG 与对角线 AC 垂直且分别交 AC，AD 及射线 CD 于点 E，F， G，设 AB＝x． （1）当点 G 与点 D 重合时，求 x 的值； （2）当点 F 为 AD 中点时，求 x 的值及∠ECF 的正弦值． （3）是否存在 x 的值，使以点 D 为圆心的圆与 BC、BG 都相切？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说 明理由． 解：（1）当点 G 与点 D 重合时，BD⊥AC 此时矩形 ABCD 为正方形，∴x＝4 （2）当点 F 为 AD 中点时，AF＝2 由△ABF∽△ABC，得 AB AF ＝ BC AB ∴AB 2＝AF·BC＝2×4＝8 ∴x＝AB＝2 2 ∴AC＝ AB 2＋BC 2 ＝ 8＋16 ＝2 6 ∴FC＝ CD 2＋DF 2 ＝ 8＋4 ＝2 3 ∵S△ACF ＝ 1 2 AC·EF＝ 1 2 AF·CD ∴EF＝AF·CD AC ＝2×2 2 2 6 ＝2 3 3 ∴sin∠ECF＝ EF FC ＝ 1 3 （3）假设存在 过 D 作 DH⊥BG 于 H，则 DH＝DC＝AB＝x 可证△ABF≌△HDF，得 BF＝DF 设 AF＝y，则 BF＝DF＝4－y 在 Rt△ABF 中，由勾股定理得 x2＋y 2＝(4－y)2 整理得 y＝2－ x2 8 ① 由△ABF∽△BCA，得 x y ＝ 4 x 即 y＝ x2 4 ② 由①、②得 2－ x2 8 ＝ x2 4 ，解得 x＝4 3 3 所以，当 x＝4 3 3 时，以点 D 为圆心，DC 为半径的圆与 BC、BG 都相切 37．（山西模拟）如图 1，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 E，以点 E 为顶点作正方形 EFGH，使 点 A、D 分别在 EH 和 EF 上，连接 BH、AF． （1）判断 BH 和 AF 的数量关系并说明理由； A B D G C E F H A B D G C E F （2）将正方形 EFGH 绕点 E 顺时针方向旋转角θ（0°≤θ＜360°），设 AB＝a，EH＝b，且 a＜2b． ①如图 2，连接 AG，设 AG＝x，请直接写出 x 的取值范围；当 x 取最大值时，直接写出θ的值； ②若四边形 ABDH 是平行四边形，请在备用图中补全图形，并求 a 与 b 的数量关系． 解：（1）BH＝AF 理由：∵四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是正方形 ∴BE＝AE，∠BEH＝∠AEF＝90°，EH＝EF ∴△BEH≌△AEF，∴BH＝AF （2） 2b－ 2 2 a ≤x ≤ 2b＋ 2 2 a θ＝135° （3）如图 在正方形 ABCD 中，AB＝a ∴AE＝ 2 2 a，BD＝ 2a，∠AED＝90° 若四边形 ABDH 是平行四边形，则 AH＝BD＝ 2a，AH∥BD ∴∠EAH＝90° 在 Rt△AEH 中，AE 2＋AH 2＝EH 2 即( 2 2 a)2＋( 2a)2＝b2，∴2b2＝5a2 ∵a＞0，b＞0，∴b＝ 10 2 a（或 a＝ 10 5 b） 38．（陕西某校自主招生）已知矩形纸片 ABCD 中，AB＝2，AD＝4．将矩形纸片的右下角折起，使得该角 的顶点 B 落在矩形的左边 AD 上，且折痕 EF 的两端点 E、F 分别位于边 AB、BC 上． （1）求点 E 在边 AB 上可移动的最大距离； （2）设∠EFB＝θ，求θ的取值范围． 解：（1）当 F 与 C 重合时（如图 1），AE 最大 此时 B′C＝BC＝4，CD＝2 ∴∠DB′C＝30°，B′D＝2 3 H G F E A B C D 图 1 H G F E A B C D 图 2 E A B C D 备用图 H G F E A B C D A B D C F E θ ∴AB′＝4－2 3，∠AEB′＝30° ∴AE＝ 3AB′＝4 3－6 当 E 与 A 重合时（如图 2），AE 最小，AE＝0 ∴点 E 在边 AB 上可移动的最大距离为 4 3－6 （2）当 F 与 C 重合时（如图 1），θ最小 2θ＝∠DB′C＝30°，∴θ＝15° 当 E 与 A 重合时（如图 2），θ最大，θ＝45° ∴θ的取值范围为 15°≤θ≤45° 39．（陕西模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的四个顶点坐标分别为 O（0，0），A（5，0）， B（3，2），C（1，2）． （1）求证：四边形 OABC 是梯形 （2）若经过 AB 的中点 D 的直线恰好平分四边形 OABC 的面积，求这条直线的解析式，并用尺规作图法 画出这条直线（不写作法，保留作图痕迹） （3）是否在边 AB 和 BC（含端点）上分别存在点 M 和点 N，使得△MON 的面积最大时，它的周长还最 短？若存在，求出此时点 M、N 的坐标；若不存在，说明理由． （1）证明：∵O（0，0），A（5，0），B（3，2），C（1，2） ∴CB∥OA，OA＝5，CB＝2，∴CB≠OA ∴四边形 OABC 是梯形 （2）如图 1，设直线与梯形 OABC 的另一个交点为 P S 梯形 OABC ＝ 1 2 ×(2＋5)×2＝7 ∵D 是 AB 的中点。∴D（4，1） ∴S△BCD ＝ 1 2 ×2×1＝1＜ 7 2 ，S△DOA ＝ 1 2 ×5×1＝ 5 2 ＜ 7 2 ∴P 点不可能在边 BC 和 OA 上，只能在边 OC 上 过 P、D 分别作 x 轴的垂线，垂足为 E、F 易知直线 OC 的解析式为 y＝2x，设 P（m，2m） 则 S 四边形 OADP ＝S△POE ＋ S 梯形 EFDP ＋ S△DFA ＝ 1 2 ×m×2m＋ 1 2 ×(2m＋1)(4－m)＋ 1 2 ×1×1 ＝ 7 2 m＋ 5 2 ＝ 7 2 BC O A D1 1 x y BC O A 1 1 x y 备用图 BC O A D1 1 x y P E F 图 1 A B D C B′ E θ 图 1 θ (F) A B D C B′ Fθ 图 2 θ (E) ∴m＝ 2 7 ，∴P（ 2 7 ，4 7 ） 设直线 DP 的解析式为 y＝kx＋b，把 D、P 的坐标代入，得： 4k＋b＝1 2 7 k＋b＝ 4 7 解得：k＝ 3 26 ，b＝ 7 13 ∴直线 DP 的解析式为 y＝ 3 26 x＋ 7 13 如图 2 所示（连接 CD、OD，作 BE∥CD 交 OC 的延长线于 E，作 AF∥OD 交 CO 的延长线于 F，作 EF 的垂直平分线交 EF 于点 P，连接 DP，则直线 DP 即为所求作的直线） （3）如图 3，过 M 作 ME∥OA，交 ON 于点 E 则 S△MON ＝ 1 2 ×2×ME＝ME ∴当 ME 最大时，△MON 的面积最大 如图 4，当 M 与 A 重合时，E 与 O 重合，ME 最大，ME＝OA 作点 O 关于 BC 的对称点 O′，连接 O′A 交 BC 于点 N 则△MON 的周长最小 易知 O′（0，4），可得直线 O′A 的解析式为 y＝－ 4 5 x＋4 把 y＝2 代入 y＝－ 4 5 x＋4，得 x＝ 5 2 ∴点 N 的坐标为（5 2 ，2） ∴存在点 M（5，0）和点 N（ 5 2 ，2），使得△MON 的面积最大且周长最短 40．（宁夏）在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝3，P 是 BC 边上的任意一点（P 与 B、C 不重合），过点 P 作 PE⊥AP，垂足为 P，PE 交 CD 于点 E． （1）连接 AE，当△APE 与△ADE 全等时，求 BP 的长； （2）若设 BP 为 x，CE 为 y，试确定 y 与 x 的函数关系式．.当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ （3）若 PE∥BD，试求出此时 BP 的长． 解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP＝AD＝3 在 Rt△ABP 中，BP＝ AP 2－AB 2 ＝ 32－22 ＝ 5 （2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE ∴ AB PC ＝ BP CE ，即 2 3－x ＝ x y A D B CP E B O A1 x y E F D1 P C 图 2 BC O A M 1 1 x y 图 3 E N BC O A 1 1 x y 图 4 (M) O′ N ∴y＝－ 1 2 x2＋ 3 2 x ∵y＝－ 1 2 x2＋ 3 2 x＝－ 1 2 (x－ 3 2 )2＋ 9 8 ∴当 x＝ 3 2 时，y 有最大值，最大值是 9 8 （3）设 BP＝x，则 CE＝－ 1 2 x2＋ 3 2 x ∵PE∥BD，∴△CPE∽△CBD ∴ CP CB ＝ CE CD ，即 3－x 3 ＝ － 1 2 x2＋ 3 2 x 2 化简得 3x2－13x＋12＝0，解得 x1＝ 4 3 ，x2＝3（不合题意，舍去） ∴当 BP＝ 4 3 时，PE∥BD 41．（甘肃庆阳）如图，O 是正方形 ABCD 的中心，BE 平分∠DBC 交 DC 于点 E，延长 BC 到点 F，使 CF ＝CE，连接 DF 交 BE 的延长线于点 G，连接 OG． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）OG 与 BF 有什么数量关系？证明你的结论； （3）若 GE·GB＝4－2 2，求正方形 ABCD 的面积． （1）证明：∵正方形 ABCD，∴BC＝DC，∠BCE＝90° ∴∠DCF＝90°，∴∠BCE＝∠DCF 又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF （2）OG＝ 1 2 BF 证明：∵△BCE≌△DCF，∴∠BEC＝∠F ∵∠BEC＝∠DEG，∴∠F＝∠DEG ∵∠F＋∠EDG＝90°，∴∠DEG＋∠EDG＝90° ∴BG⊥DF，∴∠BGD＝∠BGF 又∵BG＝BG，∠DBG＝∠FBG ∴△BDG≌△BFG，∴DG＝FG ∵O 是正方形 ABCD 的中心，∴OD＝OB ∴OG 是△BDF 的中位线，∴OG＝ 1 2 BF （3）设 BC＝x，则 DC＝x，BD＝ 2x 由（2）知△BDG≌△BFG，∴∠F＝∠BDG，BF＝BD＝ 2x ∴∠BDG＝∠DEG，CF＝( 2－1)x 又∵∠BGD＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG ∴ DG BG ＝ EG DG ，即 DG 2＝BG·EG＝4－2 2 ∵DC 2＋CF 2＝DF 2＝4DG 2 A B D FC O E G A D B CP E ∴x 2＋( 2－1)2x 2＝4(4－2 2) 即(4－2 2)x 2＝4(4－2 2)，∴x2＝4 ∴正方形 ABCD 的面积为 4 个平方单位 42．（黑龙江牡丹江）如图，OA、OB 的长分别是关于 x 的方程 x2－12x＋32＝0 的两根，且 OA＞OB．请解 答下列问题： （1）求直线 AB 的解析式； （2）若 P 为 AB 上一点，且 AP PB ＝ 1 3 ，求过点 P 的反比例函数的解析式； （3）在坐标平面内是否存在点 Q，使得以 A、P、O、Q 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写 出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）解方程 x2－12x＋32＝0，得 x1＝4，x2＝8 ∵OA、OB 的长分别是关于 x 的方程 x2－12x＋32＝0 的两根，且 OA＞OB ∴OA＝8，OB＝4。∴A（－8，0），B（0，4） 设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，则 －8k＋b＝0 b＝4 解得 k＝ 1 2 b＝4 ∴直线 AB 的解析式为 y＝ 1 2 x＋4 （2）过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H 设 P（x，y），则 AH＝x＋8 ∵ AP PB ＝ 1 3 ，∴ AH HO ＝ 1 3 即 x＋8 －x ＝ 1 3 ，解得 x＝－6 ∵点 P 在 y＝ 1 2 x＋4 上，∴y＝ 1 2 ×(－6)＋4＝1 ∴P（－6，1） 设过点 P 的反比例函数的解析式为 y＝ k x 则 1＝ k －6 ，∴k＝－6 ∴过点 P 的反比例函数的解析式为 y＝－ 6 x （x＜0） （3）存在．点 Q 的坐标为（－2，1）或（ 58 37 ，－ 59 37 ）或（－ 54 5 ，－ 27 5 ） A B P O x y A B P O x y H A B P O x y Q1 Q2 Q3 A G B CO F E (D) x y 43．（黑龙江绥化）如图，四边形 ABCD 为矩形，C 点在 x 轴上，A 点在 y 轴上，D 点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 A 落在 BC 边上的 G 处，E、F 分别在 AD 和 AB 上， 且 F 点的坐标是（2，4）． （1）求 G 点坐标； （2）求直线 EF 的解析式； （3）点 N 在 x 轴上，直线 EF 上是否存在点 M，使以 M、 N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接 写出 M 点坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由已知得，FG＝AF＝2，FB＝1 ∵四边形 ABCD 为矩形，∴∠B＝90° BG＝ FG 2－FB 2 ＝ 22－12 ＝ 3 ∴G 点坐标为（3，4－ 3） （2）设直线 EF 的解析式是 y＝kx＋b 在 Rt△BFG 中，cos∠BFG＝ FB FG ＝ 1 2 ∴∠BFG＝60° ∴∠AFE＝∠EFG＝60° ∴AE=AF·tan∠AFE＝2×tan60°＝2 3 ∴E 点坐标是（0，4－2 3） 又 F 点的坐标是（2，4） ∴ b＝4－2 3 2k＋b＝4 解得 k＝ 3，b＝4－2 3 ∴直线 EF 的解析式是 y＝ 3x＋4－2 3 注：求 E 点坐标方法二： 过点 E 作 EP⊥BC 于点 P，利用△BFG∽△PGE 得到 OE＝4－2 3 ∴E（0，4－2 3） 求 E 点坐标方法三： 在 Rt△GEP 中，由勾股定理得 BG 2＝GP 2＋EP 2，得到 OE＝4－2 3 ∴E（0，4－2 3） 求 E 点坐标方法四： 连接 AG，证△AEG 是等边三角形，得到 OE＝4－2 3 ∴E（0，4－2 3） （3）存在．M1（3－ 4 3 3， 3），M2（1－ 4 3 3，－ 3），M3（1＋ 4 3 3，8－ 3） 提示：如图，分别考虑 FG 为平行四边形的一边和对角线的情形 44．（黑龙江龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的边 OC、OA 分别与 x 轴、y 轴重 合，AB∥OC，∠AOC＝90°，∠BCO＝45°，BC＝12 2，点 C 的坐标为（－18，0）． （1）求点 B 的坐标； （2）若直线 DE 交梯形对角线 BO 于点 D，交 y 轴于点 E，且 OE＝4，OD＝2BD，求直线 DE 的解析式； （3）若点 P 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点 Q，使以 O、E、P、Q 为顶点的 A G B CO F E (D) x y M3 M1 M2 N1(N3) N2 四边形是菱形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）过点 B 作 BF⊥x 轴于 F 在 Rt△BCF 中，∵∠BCO＝45°，BC＝12 2 ∴CF＝BF＝12 ∵C 的坐标为（－18，0），∴AB＝OF＝6 ∴点 B 的坐标为（－6，12） （2）过点 D 作 DG⊥y 轴于点 G ∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA ∵ DG AB ＝ OD OB ＝ OG OA ＝ 2 3 ，AB＝6，OA＝12 ∴DG＝4，OG＝8 ∴D（－4，8），E（0，4）， 设直线 DE 解析式为 y＝kx＋b（k≠0） ∴ －4k＋b＝8 b＝4 ∴ k＝－1 b＝4 ∴直线 DE 解析式为 y＝－x＋4 （3）存在．Q1（－2，2）、Q2（4，4）、Q3（2 2，－2 2）、Q4（－2 2，2 2） 45．（辽宁大连）如图 1，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点 E 在 AD 上，点 F 在 DC 上， 且∠BEF＝∠A． （1）∠BEF＝____________（用含α的代数式表示）； （2）当 AB＝AD 时，猜想线段 EB、EF 的数量关系，并证明你的猜想； （3）当 AB≠AD 时，将“点 E 在 AD 上”改为“点 E 在 AD 的延长线上，且 AE＞AB，AB＝mDE，AD＝ nDE”，其他条件不变（如图 2），求 EB EF 的值（用含 m、n 的代数式表示）． 解：（1）180°－2α （2）猜想：EB＝EF 证明：如图 1，在 AB 上取一点 G，使 AG＝AE，连接 GE ∵AB＝AD，∴BG＝ED AB C O D E x y F G AB C O D E x y A D B C F E 图 2 A D B C F E 图 1 AB C O D E x y Q1 Q2 Q3 Q4 A D B C F E 图 1 G ∵AD∥BC，∴∠A＝180°－∠ABC＝180°－2α ∠D＝180°－∠C＝180°－α ∵AG＝AE，∴∠AGE＝∠AEG＝ 180°－∠A 2 ＝α ∴∠BGE＝180°－α＝∠D ∵∠ABE＝180°－∠A－∠AEB，∠DEF＝180°－∠BEF－∠AEB，∠A＝∠BEF ∴∠ABE＝∠DEF，∴△GBE≌△DEF ∴EB＝EF （3）如图 2，在 AB 的延长线上取一点 G，使 AG＝AE，连接 GE 由（2）知∠AGE＝α ∵AD∥BC，∴∠EDC＝∠C＝α＝∠AGE ∵∠GBE＝∠A＋∠AEB，∠DEF＝∠BEF＋∠AEB，∠A＝∠BEF ∴∠GBE＝∠DEF，∴△GBE∽△DEF ∴ EB EF ＝ BG DE ∵BG＝AG－AB＝AE－AB＝AD＋DE－AB＝(n＋1－m)DE ∴ EB EF ＝ (n＋1－m)DE DE ＝n＋1－m 46．（辽宁鞍山）如图，正方形 ABCO 的边 OA、OC 在坐标轴上，点 B 坐标为（3，3）．将正方形 ABCO 绕点 A 顺时针旋转角度α（0º＜α＜90º），得到正方形 ADEF，ED 交线段 OC 于点 G，ED 的延长线交线段 BC 于点 P，连 AP、AG． （1）求证：△AOG≌△ADG； （2）求∠PAG 的度数；并判断线段 OG、PG、BP 之间的数量关系，说明理由； （3）当∠1＝∠2 时，求直线 PE 的解析式． （1）证明：∵四边形 ADEF 为正方形，∴∠ADG＝90° ∴∠ADG＝∠AOG 又∵AD＝AO，AG＝AG，∴Rt△AOG≌Rt△ADG （2）PG＝OG＋BP 由（1）Rt△AOG≌Rt△ADG 知∠1＝∠DAG，OG＝DG ∵∠ADP＝∠B＝90°，AB＝AD，AP＝AP ∴Rt△ABP≌Rt△ADP，∴∠BAP＝∠DAP，BP＝DP ∴PG＝DG＋DP＝OG＋BP ∵∠BAO＝90° ∴∠PAG＝∠DAG＋∠DAP＝∠1＋∠BAP＝45° （3）方法一：延长 PE 交 y 轴于点 M ∵∠1＝∠2，∴∠AGO＝∠PGC ∵Rt△AOG≌Rt△ADG，∴∠AGO＝∠AGD＝∠PGC＝60° ∴∠OGM＝∠AGO＝60° ∵OG＝OG，∠AOG＝∠MOG＝90° B D A C P E x OF 1 2 y G B D A C P E x OF 1 2 y G A D B C F E 图 2G ∴Rt△AOG≌Rt△MOG，∴OM＝OA＝3，∴OG＝ 3 ∴M（0，－3），G（ 3，0） 设直线 PE 的解析式为 y＝kx＋b ∴ 3k＋b＝0 b＝－3 解得 k＝ 3 b＝－3 ∴直线 PE 的解析式为 y＝ 3x－3 方法二：∵∠1＝∠2，∴∠AGO＝∠PGC ∵Rt△AOG≌Rt△ADG，∴∠AGO＝∠AGD＝∠PGC ∴∠PGC＝60°，∠1＝∠2＝30° 在 Rt△AOG 中，OA＝3，∴OG＝ 3 ∴G（ 3，0），∴GC＝3－ 3 在 Rt△PGC 中，PC＝3 3－3 ∴P（3，3 3－3） 设直线 PE 的解析式为 y＝kx＋b ∴ 3k＋b＝0 3k＋b＝3 3－3 解得 k＝ 3 b＝－3 ∴直线 PE 的解析式为 y＝ 3x－3 47．（辽宁锦州）已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B、C 重合）．以 AD 为边作正方形 ADEF，连接 CF． （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，求证：①BD⊥CF．②CF＝BC－CD． （2）如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其它条件不变，请直接写出 CF、BC、CD 三条线段之间 的关系； （3）如图 3，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A、F 分别在直线 BC 的两侧，其它条件不变： ①请直接写出 CF、BC、CD 三条线段之间的关系；②若连接正方形对角线 AE、DF，交点为 O，连接 OC， 探究△AOC 的形状，并说明理由． （1）①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45° ∵四边形 ADEF 是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90° ∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAF＝∠DAF－∠DAC ∴∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF ∴∠ACF＝∠ABD＝45°，∴∠ACF＋∠ACB＝90° ∴BD⊥CF ②由①△BAD≌△CAF 可得 BD＝CF ∵BD＝BC－CD，∴CF＝BC－CD （2）CF＝BC＋CD A B D C E F 图 1 图 2 图 3 B DC A E F B D C A E FO （3）①CF＝CD－BC ②∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45° 则∠ABD＝180°－45°＝135° ∵四边形 ADEF 是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90° ∵∠BAD＝∠DAF－∠BAF，∠CAF＝∠BAC－∠BAF ∴∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF ∴∠ACF＝∠ABD＝180°－45°＝135° ∴∠FCD＝∠ACF－∠ACB＝90° 则△FCD 为直角三角形 ∵正方形 ADEF 中，O 为 DF 中点，∴OC＝ 1 2 DF ∵在正方形 ADEF 中，OA＝ 1 2 AE，AE＝DF，∴OC＝OA ∴△AOC 是等腰三角形 48．（辽宁盘锦）如图 1，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 DC、AD 上，且 AE⊥BF 于点 G． （1）求证：BF＝AE； （2）如图 2，当点 E 在 DC 延长线上，点 F 在 AD 延长线上时，（1）中结论是否成立？请说明理由； （3）在图 2 中，若点 M、N、P、Q 分别为四边形 AFEB 四条边 AF、EF、EB、AB 的中点，且 AF :AD＝4 : 3，求 S 四边形 MNPQ : S 正方形 ABCD． （1）证明：∵正方形 ABCD，∴AB＝AD，BAF＝∠D＝90° ∴∠ABF＋∠AFG＝90° ∵AE⊥BF，∴∠DAE＋∠AFG＝90° ∴∠ABF＝∠DAE ∴△ABF≌△DAE，∴BF＝AE （2）成立 理由：∵正方形 ABCD，∴AB＝AD，BAF＝∠ADE＝90° ∴∠ABF＋∠AFG＝90° ∵AE⊥BF，∴∠DAE＋∠AFG＝90° ∴∠ABF＝∠DAE ∴△ABF≌△DAE，∴BF＝AE （3）由题意，MN∥AE，MN＝ 1 2 AE，PQ∥AE，PQ＝ 1 2 AE ∴MN∥PQ∥AE，MN＝PQ＝ 1 2 AE ∴四边形 MNPQ 是平行四边形 D A C G B E F 图 1 D A C G B E F 图 2 M Q P N 同理 NP∥MQ∥BF，NP＝MQ＝ 1 2 BF ∵AE⊥BF，BF＝AE，∴MN⊥NP，MN＝NP ∴四边形 MNPQ 是正方形 ∵AF :AD＝4 :3，设 AD＝3k，则 AB＝3k，AF＝4k 在 Rt△ABF 中，BF＝ AB 2＋AF 2 ＝5k，∴MN＝ 5 2 k ∴S 四边形 MNPQ : S 正方形 ABCD ＝( 5 2 k)2 :(3k)2＝25 :36 49．（辽宁营口）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝4，M 是 AD 的中点，点 E 是线段 AB 上一动点，连接 EM 并延长交线段 CD 的延长线于点 F． （1）如图 1，求证：AE＝DF （2）如图 2，若 AB＝2，过点 M 作 MG⊥EF 交线段 BC 的延长线于点 G，判断△GEF 的的行状，并说明 理由； （3）如图 3，若 AB＝2 3，过点 M 作 MG⊥EF 交线段 BC 的延长线于点 G． ①直接写出线段 AE 长度的取值范围； ②判断△GEF 的形状，并说明理由． （1）证明：在矩形 ABCD 中，∵∠A＝∠FDM＝90°，∠AME＝∠DMF，AM＝DM ∴△AEM≌△DFM，∴AE＝DF （2）△GEF 是等腰直角三角形 理由：方法一：过点 G 作 GH⊥AD 于 H 则四边形 ABGH 是矩形，∴GH＝AB＝2 ∵MG⊥EF，∴∠GME＝90°．∴∠AME＋∠GMH＝90° ∵∠AME＋∠AEM＝90°，∴∠AEM＝∠GMH ∴△AEM≌△HMG．∴ME＝MG ∴∠EGM＝45° 由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME＝MF 又∵MG⊥EF，∴GE＝GF，∴∠EGF＝2∠EGM＝90° ∴△GEF 是等腰直角三角形 方法二：过点 M 作 MH⊥BC 于 H，得到△AEM≌△HGM 具体步骤同方法（一） 方法三：过点 G 作 GH⊥AD 于 H，证出△MGH≌△FMD 证出 CF＝BG，CG＝BE 证出△BEG≌△CGF △GEF 是等腰直角三角形 （若 E 与 B 重合时，则 G 与 C 重合，△GEF 就是△CBF，易知△CBF 是等腰直角三角形） A B DM C E F 图 1 A B DM C E F 图 2 G A B DM C E F 图 3 G A B DM C E F 图 2 G H （3）① 2 3 3 ＜AE≤2 3 ②△GEF 是等边三角形 理由：过点 G 作 GH⊥AD 交 AD 延长线于点 H 则四边形 ABGH 是矩形，∴GH＝AB＝2 3 ∵MG⊥EF，∴∠GME＝90°．∴∠AME＋∠GMH＝90° ∵∠AME＋∠AEM＝90°，∴∠AEM＝∠GMH 又∵∠A＝∠GHM＝90°，∴△AEM∽△HMG ∴ MG EM ＝ GH AM ＝ 2 3 2 ＝ 3 在 Rt△GME 中，∴tan∠MEG＝ MG EM ＝ 3 ∴∠MEG＝60° 由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME＝MF 又∵MG⊥EF，∴GE＝GF．∴△GEF 是等边三角形 50．（辽宁模拟）在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，CD＝3，AD＝4，tanB＝2．过点 C 作 CH⊥ AB 于 H，点 P 为线段 AD 上一动点，PM∥AB 分别交 BC、CH 于点 M、Q．以 PM 为斜边向下作等腰 Rt △PMN，直线 PN 交直线 AB 于点 E，直线 MN 交直线 AB 于点 F．设 PD 的长为 x，EF 的长为 y． （1）求 PM 的长（用 x 表示）； （2）求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （3）当点 F 在线段 AH 上时，求 x 的取值范围． 解：（1）∵矩形 AHCD，PM∥AB，∴四边形 PQCD 是矩形 ∴PQ＝CD＝3，CQ＝PD＝x ∵PM∥AB，∴∠CMP＝∠B ∴tan∠CMP＝ CQ QM ＝2，∴QM＝ x 2 ∴PM＝3＋ x 2 （2）当点 N 在矩形 AHCD 内部时，如图 1 过点 N 作 NG⊥PM 于 G，GN 的延长线交 AB 于点 K ∵等腰 Rt△PMN，∴NG＝ 1 2 PM＝ 3 2 ＋ x 4 ∴NK＝PA－NG＝(4－x)－( 3 2 ＋ x 4 )＝ 5 2 － 5 4 x ∴y＝2NK＝5－ 5 2 x BA CD P M N HE F Q BA CD H 备用图 BA CD H 备用图 BA CD P M K HF E Q N G 图 1 CD P M F Q K A B DM C E F 图 3 G H ∵PD＋NG≤AD，∴x＋ 3 2 ＋ x 4 ≤4 ∴0≤x≤2 当点 N 在矩形 AHCD 外部时，如图 2 由题意得 AH＝CD＝3，QH＝PA＝4－x QK＝QM＝ x 2 ，∠FKH＝∠KFH＝45° ∴FH＝KH＝QH－QK＝4－x－ x 2 ＝4－ 3 2 x 同理，AE＝PA＝4－x ∴y＝AH－AE－FH＝3－(4－x)－(4－ 3 2 x) 即 y＝ 5 2 x－5 （3）当点 F 与点 A 重合时，如图 3 则 AH＝GH＝3，QG＝QM＝ x 2 ，∴GH＝4－x－ x 2 ＝4－ 3 2 x 当点 F 从点 A 移动到点 H 时，点 G 与点 H 重合 ∴0≤GH≤3，∴0≤4－ 3 2 x≤3 解得 2 3 ≤x≤ 8 3 即当点 F 在线段 AH 上时，x 的取值范围是 2 3 ≤x≤ 8 3 51．（贵州贵阳）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面 图形的一条面积等分线． （1）三角形有_________条面积等分线，平行四边形有_________条面积等分线； （2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； （3）如图②，四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，AB≠CD，且 S△ABC ＜S△ACD ，过点 A 画出四边形 ABCD 的面积等分线，并写出理由． 解：（1）无 数，无 数 （2）如图①所示（画出其中一种即可） （3）如图②所示，作出图形 过 B 作 BE∥AC 交 DC 的延长线于 E，连接 AE 则 S△ABC ＝S△AEC ，∴S 四边形 ABCD ＝S△AEC 图① 图② A C B D BA CD P M N H E Q 图 3 G (F) 图① 图② A C B DFE 作 S△AED 的中线所在的直线 AF ∴AF 是四边形 ABCD 的面积等分线 52．（成都某校自主招生）如图，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，A（2 3，0），C（0，2），点 M 是折 线 A－B－C 上的一个动点（点 M 与点 C 不重合），点 N 是点 C 关于 OM 的对称点．当△ONA 为等腰三角 形时，符合条件的点 M 有几个？分别求出此时点 M 和点 N 的坐标． 解：符合条件的点 M 有 4 个 ①若 OA 为底，符合条件的点 N 有 2 个（以 O 为圆心 OC 为半径的圆与 OA 的垂直平分线的交点） 则符合条件的点 M 有 2 个 设 OA 的垂直平分线与 OA 交于点 D，则 OD＝AD＝ 3 ∵AN＝ON＝OC＝2，∴ND＝1 ∴N1（ 3，1），N2（ 3，－1） ∠NOD＝30°，∴∠M1OC＝∠M1ON1＝30° ∴M1C＝OC·tan30°＝2 3 3 ∴M1（2 3 3 ，4） ∠N2OD＝90°＋30°＝120°，∴∠M2OC＝60° ∵tan∠BOC＝ BC OC ＝ 2 3 2 ＝ 3，∴∠BOC＝60° ∴M2 与 B 重合，M2（2 3，2） ②若 ON 为底，符合条件的点 N 有 2 个（以 O 为圆心 OC 为半径的圆与以 A 为圆心 AO 为半径的圆的交点） 则符合条件的点 M 有 2 个 过 A 作 AF⊥ON 于 F，过 N 作 NG⊥OA 于 G 则 OF＝ 1 2 ON＝1，AF＝ OA 2－OF 2 ＝ 11 ∵S△ONA ＝ 1 2 OA·NG＝ 1 2 ON·AF ∴NG＝ON·AF OA ＝ 33 3 ，OG＝ ON 2－NG 2 ＝ 3 3 N3（ 3 3 ，33 3 ），N4（ 3 3 ，－ 33 3 ） 延长 ON 交 BC 于 K，则△KOC∽△ONG 得 OK＝ON·OC NG ＝4 33 11 ，CK＝ OK 2－OC 2 ＝2 11 11 ∵∠MOC＝∠MOK O x y A C B N M O x y A C B N1 M1 N2 (M2) D O x y A C B N3 M3 N4 M4F G K P ∴S△ONA ＝ 1 2 OC·MC＋ 1 2 OK·MC＝ 1 2 OC·CK ∴MC＝ OC·CK OC＋OK ＝4 3－2 11 ∴M3（4 3－2 11，2） ∵∠M4ON4＝∠M4OA＋∠AON4 ∠M4ON4＝∠M4OC＝ 1 2 ∠N4OC＝ 1 2 (∠AON3＋∠AON4＋∠N3OC) ＝ 1 2 (2∠AON4＋2∠M3OC)＝∠M3OC＋∠AON4 ∴∠M4OA＝∠M3OC，tan∠M4OA＝tan∠M3OC 即 M4A OA ＝ M3C OC ，∴M4A＝ M3C·OA OC ＝12－2 33 ∴M4（2 3，12－2 33） ③若 AN 为底，∵ON＝OC≠OA，∴△OAN 不存在 53．（成都某校自主招生）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，E 是边 AD 上一点（点 E 不与点 A、 D 重合）．将△ABE 沿直线 BE 折叠，点 A 落在点 A1 处，连接 A1C、A1D． （1）当点 A1 落在对角线 BD 上时，求 AE 的长； （2）当△A1CD 是等腰三角形时，求 AE 的长． 解：（1）在 Rt△ABD 中，AB＝3，AD＝4 ∴BD＝5 当点 A1 落在对角线 BD 上时 ∵A1B＝AB＝3，∴A1D＝2 由 Rt△A1ED∽Rt△ABD，得 A1E AB ＝ A1D AD 即 A1E 3 ＝ 2 4 ，∴A1E＝ 3 2 即 AE 的长为 3 2 （2）①若 A1D＝A1C 过 A1 作 FG∥AB，分别交 AD、BC 于 F、G，作 A1H⊥CD 于 H 则 A1G＝HC＝ 1 2 DC＝ 1 2 AB＝ 1 2 A1B ∴∠A1BG＝30°，∴∠ABE＝∠A1BE＝30° ∴AE＝ 3 3 AB＝ 3 ②若 A1C＝DC 则 A1C＝AB＝A1B＝3 过 A1 作 FG∥AB，分别交 AD、BC 于 F、G C A B D A1 E C A B D A1 E F G H C A B D A1 E F G C A B D A1 E C A B D 备用图 则 BG＝ 1 2 BC＝2，A1G＝ A1B 2－BG 2 ＝ 5，A1F＝3－ 5 设 AE＝x，则 A1E＝x，EF＝2－x 在 Rt△A1EF 中，A1F 2＋EF 2＝A1E 2 ∴(3－ 5)2＋(2－x)2＝x 2，解得 x＝9－3 5 2 即 AE＝9－3 5 2 ③若 A1D＝CD 过 A1 作 FG∥AB，分别交 AD、BC 于 F、G 设 AF＝BG＝x，A1G＝y，则 DF＝4－x，A1F＝3－y 由 BG 2＋A1G 2＝A1B 2，DF 2＋A1F 2＝A1D 2，得： x2＋y2＝9 (4－x)2＋(3－y)2＝9 解得 x1＝20＋3 11 10 y1＝15－4 11 10 x2＝20－3 11 10 y2＝15＋4 11 10 当 x＝20＋3 11 10 ，y＝15－4 11 10 时，A1F＝3－y＝15＋4 11 10 由 Rt△EA1F∽Rt△A1BG，得 A1E A1B ＝ A1F BG ∴A1E＝ A1F BG ·A1B＝504＋105 11 301 即 AE＝504＋105 11 301 当 x＝20－3 11 10 ，y＝15＋4 11 10 时 同理可得 AE＝504－105 11 301 综上：当△A1CD 是等腰三角形时，AE 的长为 3 或 9－3 5 2 或 504＋105 11 301 或 504－105 11 301 54．（四川巴中）如图，在平面直角坐标系中，点 A，C 分别在 x 轴、y 轴上，四边形 ABCO 为矩形，AB ＝16，点 D 与点 A 关于 y 轴对称，tan∠ACB＝ 4 3 ．点 E，F 分别是线段 AD、AC 上的动点（点 E 不与点 A、 D 重合），且∠CEF＝∠ACB． （1）求 AC 的长和点 D 的坐标； （2）说明△AEF 与△DCE 相似； （3）当△EFC 为等腰三角形时，求点 E 的坐标． 解：（1）∵四边形 ABCO 为矩形，∴∠B＝90° 在 Rt△ABC 中，tan∠ACB＝ AB BC ＝ 4 3 A CB DO x y E F C A B D A1 E F G C A B D A1 E F G ∴BC＝ 3 4 AB＝ 3 4 ×16＝12 ∴A（－12，0），AC＝ AB 2＋BC 2 ＝ 162＋122 ＝20 ∵点 D 与点 A 关于 y 轴对称，∴D（12，0） （2）∵矩形 ABCD，∴∠1＝∠ACB ∵点 D 与点 A 关于 y 轴对称，∴CA＝CD ∴∠1＝∠2 ∵∠CEF＝∠ACB，∴∠CEF＝∠2 ∴∠AEC＝∠3＋∠CEF＝∠2＋∠4，∴∠3＝∠4 ∴△AEF∽△DCE （3）①当 EC＝EF 时，△AEF≌△DCE ∴AE＝DC＝AC＝20，∴OE＝AE－AO＝20－12＝8 ∴E（8，0） ②当 CF＝EF 时，则∠FCE＝∠CEF＝∠1 又∵∠1＝∠2，∴△AEC∽△ACD ∴ AE AC ＝ AC AD ，∴ AE 20 ＝ 20 24 ∴AE＝ 50 3 ，∴OE＝AE－AO＝ 50 3 －12＝ 14 3 ∴E（ 14 3 ，0） ③当 CE＝CF 时，则∠CFE＝∠CEF＝∠1 此时点 F 与点 A 重合，故点 E 与点 D 也重合，不合题意，舍去 综上，当△EFC 为等腰三角形时，点 E 的坐标为（8，0）或（ 14 3 ，0） 55．（四川乐山）如图 1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，D、F 分别在 AB、AC 边上， 此时 BD＝CF，BD⊥CF 成立． （1）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图 2，BD＝CF 成立吗？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由． （2）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45°时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 G． ①求证：BD⊥CF； ②当 AB＝4，AD＝ 2 时，求线段 BG 的长． 解：（1）BD＝CF 成立 理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形 ∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90° A C B DF E A AB B E E CC D D FF G 图 1 图 2 图 3 θ 45° E C DF θ A CB DO x y E F 1 2 4 3 ∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAF＝∠DAF－∠DAC ∴∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF ∴BD＝CF （2）①证明：设 BG 交 AC 于点 M ∵△BAD≌△CAF，∴∠ABM＝∠GCM ∵∠BMA＝∠CMG，∴△BMA∽△CMG ∴∠BGC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CF ②过点 F 作 FN⊥AC 于点 N ∵在正方形 ADEF 中，AD＝ 2，∴AN＝FN＝ 1 2 AE＝1 ∵在等腰 Rt△ABC 中，AB＝4 ∴CN＝AC－AN＝3，BC＝ AB 2＋AC 2 ＝4 2 ∴在 Rt△FCN 中，tan∠FCN＝ FN CN ＝ 1 3 ∴在 Rt△ABM 中，tan∠ABM＝ AM AB ＝tan∠FCN＝ 1 3 ∴AM＝ 1 3 AB＝ 4 3 ∴CM＝AC－AM＝4－ 4 3 ＝ 8 3 ，BM＝ AB 2＋AM 2 ＝ 4 10 3 ∵△BMA∽△CMG，∴ AM BM ＝ GM CM ∴ 4 3 4 10 3 ＝ GM 8 3 ，∴GM＝ 4 10 15 ∴BG＝BM＋GM＝ 4 10 3 ＋ 4 10 15 ＝ 8 10 5 56．（四川绵阳）如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点，DE＝CF，AF 与 BE 相交于 O， DG⊥AF，垂足为 G． （1）求证：AF⊥BE； （2）试探究线段 AO、BO、GO 的长度之间的数量关系； （3）若 GO :CF＝4 :5，试确定 E 点的位置． （1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形，且 DE＝CF ∴AB＝AD，AE＝DF，∠BAE＝∠ADF＝90°， ∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF 又∵∠ABE＋∠AEB＝90°，∴∠DAF＋∠AEB＝90° ∴∠AOE＝90°，即 AF⊥BE （2）AO＝BO－OG 理由：∵∠ABE＝∠DAF，∠AOB＝∠DGA＝90°，AB＝AD ∴△ABO≌△DAG，∴BO＝AG A F B C E D G O C DF A B E G 图 3 45° M N A F E D G O H ∴AO＝AG－OG＝BO－OG （3）过点 E 作 EH⊥DG，垂足为 H 则四边形 OEHG 是矩形，∴OE∥DG，EH＝OG ∵DE＝CF，GO :CF＝4 :5，∴EH :ED＝4 :5 ∵OE∥DG，∴∠AEB＝∠EDH ∴Rt△ABE∽Rt△HED，AB :BE＝EH :ED＝4 :5 ∴在 Rt△ABE 中，AE :AB＝3 :4 ∴AE :AD＝3 :4，即 AE＝ 3 4 AD 57．（四川资阳）（1）如图（1），正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上，直接写出 HD :GC : EB 的结果（不必写计算过程）； （2）将图（1）中的正方形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图（2），求 HD :GC :EB； （3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知 DA :AB＝HA :AE＝m :n，此时 HD :GC :EB 的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，求出变化后的结果；如果没有变化，请说明理由． （1）HD :GC :EB＝1 : 2 :1 （2）连接 AC、AG，则△ADC 和△AHG 都是等腰直角三角形 ∴AD :AC＝AH :AG＝1 : 2，∠DAC＝∠HAG＝45° ∴∠DAH＝∠CAG，∴△DAH∽△CAG ∴HD :GC＝AD :AC＝1 : 2 ∵∠DAB＝∠HAE＝90°，∴∠DAH＝∠BAE 又∵AD＝AB，AH＝AE，∴△DAH≌△BAE ∴HD＝EB ∴HD :GC :EB＝1 : 2:1 （3）有变化，HD :GC :EB＝m : m2＋n2 :n 理由：连接 AC、AG ∵DA :AB＝HA :AE＝m :n ∴DA :AC＝HA :AG＝m : m2＋n2 ，∠DAC＝∠HAG ∴∠DAH＝∠CAG，∴△DAH∽△CAG ∴HD :GC＝DA :AC＝m : m2＋n2 ∵∠DAB＝∠HAE＝90°，∴∠DAH＝∠BAE 又∵DA :AB＝HA :AE＝m :n，∴△DAH∽△BAE ∴HD :EB＝DA :AB＝m :n ∴HD :GC :EB＝m : m2＋n2 :n 58．（四川自贡）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF 为正三角形，点 E、F 分别 在菱形的边 BC、CD 上滑动，且 E、F 不与 B、C、D 重合． D A BE C GH （1） （3） D A B E C G H D A B E C G H （2） D A B E C G H D A B E C G H （1）证明不论 E、F 在 BC、CD 上如何滑动，总有 BE＝CF； （2）当点 E、F 在 BC、CD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． （1）证明：连接 AC ∵菱形 ABCD 中，∠BAD＝120° ∴∠BAC＝60°，∠B＝60° ∴△ABC 是正三角形，∴AB＝AC 又△AEF 为正三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF 而∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF ∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF （2）当 E、F 在 BC、CD 上滑动时，四边形 AECF 的面积不发生变化，其值为 4 3 由（1）知，S△ABE ＝S△ACF ∴S 四边形 AECF ＝S△ABC ＝ 3 4 ×42＝4 3 而△CEF 的面积发生变化，其最大值为 3 ∵S△CEF ＝S 四边形 AECF －S△AEF ＝4 3－ 3 4 AE 2 当 AE⊥BC 时，AE 的长最小，最小值为 AB·sin60°，即 AE＝4× 3 2 ＝2 3 ∴S△CEF 的最大值为 4 3－ 3 4 (2 3)2＝ 3 59．（湖南怀化）如图 1，四边形 ABCD 是边长为 3 2的正方形，长方形 AEFG 的宽 AE＝ 7 2 ，长 EF＝ 7 2 3．将 长方形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转 15°得到长方形 AMNH（如图 2），这时 BD 与 MN 相交于点 O． （1）求∠DOM 的度数； （2）在图 2 中，求 D、N 两点间的距离； （3）若把长方形 AMNH 绕点 A 再顺时针旋 转 15°得到长方形 ARTZ，请问此时点 B 在矩 形 ARTZ 的内部、外部、还是边上？并说明 理由． 解：（1）设 MN 与 AB 的交点为 Q ∵∠MAQ＝15°，∠AMQ＝90°，∴∠AQM＝∠OQB＝75° 又∠OBQ＝45°，∴∠DOM＝∠OQB＋∠OBQ＝75°＋45°＝120° （2）∵正方形 ABCD 的边长为 3 2，∴DB＝6 D A BE C G 图 1 F D A B M C H 图 2 N O A C B F E D A C B F E D D A B C H N OK Q 连接 DN、AN，设 AN 与 BD 的交点为 K ∵长方形 AMNH 宽 AM＝ 7 2 ，长 MN＝ 7 2 3 ∴AN＝7，∴∠ANM＝30° ∵∠DOM＝120°，∴KON＝60° ∴OKN＝90°，AN⊥DB ∴AK 是等腰直角三角形 ABD 斜边 DB 上的中线 ∴AK＝DK＝ 1 2 DB＝3，∴AN＝4 在 Rt△DNK 中，DN＝ DK 2＋KN 2 ＝ 32＋42 ＝5 故 D、N 两点间的距离为 5 （3）点 B 在矩形 ARTZ 的外部 理由如下： 由题意知 AR＝ 7 2 ，设 AB 与 RT 的交点为 P，则∠PAR＝30° 在 Rt△ARP 中，cos∠PAR＝ AR AP ，∴AP＝ 7 2 cos30° ，＝ 49 3 ∵AB＝3 2＝ 18＞ 49 3 ，即 AB＞AP, ∴点 B 在矩形 ARTZ 的外部 60．（湖南益阳）已知：如图 1，在面积为 3 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 CD 边上的两点，AE⊥BF 于点 G，且 BE＝1． （1）求证：△ABE≌△BCF； （2）求出△ABE 和△BCF 重叠部分（即△BEG）的面积； （3）现将△ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到△AB′E′（如图 2），使点 E 落在 CD 边上的点 E′ 处，问△ABE 在旋转前后与△BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由． （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，∴∠ABF＋∠CBF＝90° ∵AE⊥BF，∴∠ABF＋∠BAE＝90° ∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF （2）解：∵正方形 ABCD 的面积为 3，∴AB＝ 3 在△BGE 与△ABE 中 ∵∠GBE＝∠BAE，∠EGB＝∠EBA＝90° ∴△BGE∽△ABE，∴ S△BGE S△ABE ＝( BE AE )2 D A B R C Z T P D C BA G E F 图 1 D C BA F 图 2 B′ E′ D C BA G E F 图 1 又∵BE＝1，∴AE 2＝AB 2＋BE 2＝3＋1＝4 S△BGE ＝ BE 2 AE 2 ·S△ABE ＝ 1 4 × 3 2 ＝ 3 8 （3）没有变化 理由：∵AB＝ 3，BE＝1 ∴tan∠BAE＝ 1 3 ＝ 3 3 ，∴∠BAE＝30° ∵AB′＝AD，∠AB′E′＝∠ADE′＝90°，AE′ 公共 ∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′ ∴∠DAE′＝∠B′AE′＝∠BAE＝30° ∴AB′ 与 AE 在同一直线上，即 BF 与 AB′ 的交点是 G 设 BF 与 AE′ 的交点为 H，则∠BAG＝∠HAG＝30° 又∠AGB＝∠AGH＝90°，AG 公共，∴△BAG≌△HAG ∴S 四边形 GHE′B′ ＝S△AB′E′ －S△AGH＝S△ABE －S△ABG＝S△BGE ∴△ABE 在旋转前后与△BCF 重叠部分的面积没有变化 61．（湖北咸宁）如图 1，矩形 MNPQ 中，点 E，F，G，H 分别在 NP，PQ，QM，MN 上，若∠1＝∠2＝∠ 3＝∠4，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形．图 2，图 3，图 4 中，四边形 ABCD 为矩形，且 AB＝4，BC＝8． 理解与作图： （1）在图 2，图 3 中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形 ABCD 的反射四 边形 EFGH． 计算与猜想： （2）求图 2，图 3 中反射四边形 EFGH 的周长，并猜想矩形 ABCD 的反射四边形的周长是否为定值？ 启发与证明： （3）如图 4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长 GF 交 BC 的延长线于 M，试利用小华同学给我们的 启发证明（2）中的猜想． （1）作图如下： D C BA F 图 2 B′ E′ G H E 图 2 A B C D E F A B C DG H E F1 23 4 M A B C D E F M N P QG H E F 1 23 4 图 1 图 3 图 4 图 2 A B C D E F G H A B C D E F 图 3 G H （2）解：在图 2 中，EF＝FG＝GH＝HE＝ 22＋42 ＝2 5 ∴四边形 EFGH 的周长为 8 5 在图 3 中，EF＝GH＝ 22＋12 ＝ 5，FG＝HE＝ 32＋62 ＝3 5 ∴四边形 EFGH 的周长为 2× 5＋2×3 5＝8 5 猜想：矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值 （3）证法一：延长 GH 交 CB 的延长线于点 N ∵∠1＝∠2，∠1＝∠5，∴∠2＝∠5 又 FC＝FC，∴Rt△FCE≌Rt△FCM ∴EF＝MF，EC＝MC 同理：NH＝EH，NB＝EB ∴MN＝2BC＝16 ∵∠M＝90°－∠5＝90°－∠1，∠N＝90°－∠3 ∴∠M＝∠N，∴GM＝GN 过点 G 作 GK⊥BC 于 K，则 KM＝ 1 2 MN＝8 ∴GM＝ GK 2＋KM 2 ＝ 42＋82 ＝4 5 ∴四边形 EFGH 的周长为 2GM＝8 5 证法二：∵∠1＝∠2，∠1＝∠5，∴∠2＝∠5 又 FC＝FC，∴Rt△FCE≌Rt△FCM ∴EF＝MF，EC＝MC ∵∠M＝90°－∠5＝90°－∠1，∠HEB＝90°－∠4 而∠1＝∠4，∴∠M＝∠HEB ∴HE∥GF，同理：GH∥EF ∴四边形 EFGH 是平行四边形 ∴FG＝HE，而∠1＝∠4 ∴Rt△FDG≌Rt△HBE，∴DG＝BE 过点 G 作 GK⊥BC 于 K，则 KM＝KC＋CM＝GD＋CM＝BE＋EC＝8 ∴GM＝ GK 2＋KM 2 ＝ 42＋82 ＝4 5 ∴四边形 EFGH 的周长为 2GM＝8 5 62．（湖北宜昌）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点 E 为底 AD 上一点，将△ABE 沿直线 BE 折叠，点 A 落在梯形对角线 BD 上的 G 处，EG 的延长线交直线 BC 于点 F． （1）点 E 可以是 AD 的中点吗？为什么？ （2）求证：△ABG∽△BFE； （3）设 AD＝a，AB＝b，BC＝c． ①当四边形 EFCD 为平行四边形时，求 a，b，c 应满足的关系； ②在①的条件下，当 b．2 时，a 的值是唯一的，求∠C 的度数． 解：（1）不是 据题意：AE＝GE，∠EGB＝∠EAB＝90° ∴Rt△EGD 中，GE＜ED，∴AE＜ED ∴点 E 不可以是 AD 的中点 （注：大致说出意思即可；反证法叙述也可） （2）方法一： 证明：∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF ∵△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG ∴∠EBF＝∠BEF，∴FE＝FB CB A G E F D A B C DG H E F 1 23 4 M 图 4 N K 5 即△FEB 为等腰三角形 ∵∠ABG＋∠GBF＝90°，∠GBF＋∠EFB＝90°，∴∠ABG＝∠EFB 在等腰△ABG 和△FEB 中，∠BAG＝(180°－∠ABG)÷2 ∠FBE＝(180°－∠EFB)÷2，∴∠BAG＝∠FBE ∴△ABG∽△BFE 方法二：∠ABG＝∠EFB（见方法一） 证得两边对应成比例： AB BF ＝ GB EF 由此可得出结论 （3）①方法一：∵四边形 EFCD 为平行四边形，∴EF∥DC 证明两个角相等，得△ABD∽△DCB ∴ AD DB ＝ DB CB ，即 a a2＋b2 ＝ a2＋b2 c ∴a2＋b2＝ac 方法二：过 D 点作 DH⊥BC 于 H ∵四边形 EFCD 为平行四边形 ∴EF∥DC，∴∠C＝∠EFB ∵△ABG∽△BFE，∴∠EFB＝∠GBA，∴∠C＝∠ABG ∵∠DAB＝∠DHC＝90°，∴△ABD∽△HCD ∴ AD DH ＝ AB HC ，∴ a b ＝ b c－a ，∴a2＋b2＝ac （注：或利用 tan∠C=tan∠ABD） 方法三：证明△ABD∽△GFB，则有 BF DB ＝ BG AD ∴ BF a2＋b2 ＝ b a ，∴BF＝ b a2＋b2 a ∵四边形 EFCD 为平行四边形，∴FC＝ED＝c－ b a2＋b2 a ∵ED∥BC，∴△EDG∽△FBG，∴ ED BF ＝ DG BG ∴ c－ b a2＋b2 a b a2＋b2 a ＝ a2＋b2 －b b ，∴a2＋b2＝ac ②方法一：解关于 a 的一元二次方程 a 2－ac＋22＝0，得： a1＝c＋ c 2－16 2 ＞0，a2＝c－ c 2－16 2 ＞0 由题意，△＝0，即 c2－16＝0，∵c＞0，∴c＝4，∴a＝2 ∴H 为 BC 中点，且 ABHD 为正方形，DH＝HC，∠C＝45° 方法二：设关于 a 的一元二次方程 a2－ac＋22＝0 两根为 a1，a2 则 a1＋a2＝c＞0，a1·a2＝4＞0，∴a1＞0，a2＞0 由题意，△＝0，即 c2－16＝0，∵c＞0，∴c＝4，∴a＝2 ∴H 为 BC 中点，且 ABHD 为正方形，DH＝HC，∠C＝45° CB A G E F D H 63．（湖北某校自主招生）如图，矩形 ABCD 是一个长为 1000 米、宽为 600 米的货场，A、D 是入口．现 拟在货场内建一个收费站 P，在铁路线 BC 段上建一个发货站台 Q，求铺设公路 AP、DP 以及 PQ 的长度 之和的最小值为多少米？ 解：作 BC 的平行线 EF，分别交 AB、DC 于 E、F， 作点 D 关于直线 EF 的对称点 D′，连接 AD′ 交 EF 于点 P， 则 AP＋DP 的长最小 此时 PF＝ 1 2 AD，故点 P 在 AD 的垂直平分线上 要使 PH 的长最小，则 PH⊥BC，故点 H 也在 AD 的垂直平分线上 ∴AH＝DH，△AHD 是等腰三角形 连接 AQ，将△APQ 绕点 A 顺时针旋转 60°到△AMN，连接 MP、NQ 则 AM＝AP，AN＝AQ，MN＝PQ 又∠MAP＝60°，∴△AMP 是等边三角形 ∴AP＝MP，∴AP＋DP＋PQ＝MP＋DP＋MN 当 N、M、P、D 共线时，AP＋DP＋PQ 的长最小 此时∠APD＝120°，∴∠PAD＝∠PDA＝30° 延长 QP 交 AD 于 E，则 AE＝DE＝ 1 2 AD＝500 ∴AP＝DP＝ AE cos30° ＝1000 3 3 ，EP＝ 1 2 AP＝500 3 3 ∴PQ＝600 －500 3 3 ∴AP＋DP＋PQ＝2× 1000 3 3 ＋600 －500 3 3 ＝600＋500 3 故铺设公路 AP、DP 以及 PQ 的长度之和的最小值为(600＋500 3) 米 64．（广东）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝6，BC＝8．把△BCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处， BC′ 交 AD 于点 G；E、F 分别是 C′D 和 BD 上的点，线段 EF 交 AD 于点 H，把△FDE 沿 EF 折叠，使点 D 落在 D′ 处，点 D′ 恰好与点 A 重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG； （2）求 tan∠ABG 的值； （3）求 EF 的长． （1）证明：∵四边形 ABCD 为矩形 ∴∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD 由图形的折叠性质，得 CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90° ∴∠BAD＝∠C′，AB＝C′D 又∵∠AGB＝∠C′GD，∴△ABG≌△C′DG （2）解：设 AG 为 x ∵△ABG≌△C′DG，AD＝8，AG＝x A B D C P 1000m 600m A M D C P Q B N E A D C P QB E F D′ A B DG C′ C E F H (D′) A B DG C′ C E F H (D′) ∴BG＝DG＝AD－AG＝8－x 在 Rt△ABG 中，有 BG 2＝AG 2＋AB 2 ∵AB＝6，∴(8－x)2＝x 2＋6 2，解得 x＝ 7 4 ∴tan∠ABG＝ AG AB ＝ 7 24 （3）解法一：由图形的折叠性质，得∠EHD＝90°，DH＝AH＝4 ∴AB∥EF，∴△DHF∽△DAB ∴HF AB ＝ DH AD ，即 HF 6 ＝ 1 2 ，∴HF＝3 又△ABG≌△C′DG，∴∠ABG＝∠HDE ∴tan∠ABG＝tan∠HDE＝ EH HD ，即 7 24 ＝EH 4 ，∴EH＝ 7 6 ∴EF＝EH＋HF＝ 7 6 ＋3＝25 6 解法二：由图形的折叠性质，得∠DHF＝90°，DH＝AH＝4 ∠AFE＝∠DFE，AF＝DF，∠BDC＝∠BDC′＝∠EAF ∵在 Rt△ABD 中，∠BAD＝90°，AD＝4，AB＝6 ∴BD＝ AB 2＋AD 2 ＝10 又∵∠BAD＝∠DHF＝90°，∴AB∥EF ∴△DHF∽△DAB，∴DF DB ＝ DH DA ∴DF＝ 1 2 DB＝5，∴AF＝5 ∵AB∥EF，∴∠FAB＝∠EFA ∵在矩形 ABCD 中，AB∥CD，∴∠DBA＝∠BDC ∴∠FBA＝∠EAF，∴△FAB∽△EFA ∴ FA EF ＝ AB FA ，∴EF＝FA 2 AB ＝25 6 65．（广东广州）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝10，F 为 AD 的中点，CE⊥AB 于点 E，设 ∠ABC＝α（60°≤α ＜90°）． （1）当α＝60°时，求 CE 的长； （2）当 60°＜α ＜90°时， ① 是否存在正整数 k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由． ② 连接 CF，当 CE 2－CF 2 取最大值时，求 tan∠DCF 的值． 解：（1）在 Rt△BEC 中，BC＝10，∠EBC＝60° ∴CE＝BC·sin60°＝10× 3 2 ＝5 3 （2）①连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 G ∵F 为 AD 的中点，∴AF＝DF ∵AB∥CD，∴∠G＝∠DCF 又∵∠G＝∠DCF，∴△AFG≌△DFC ∴GF＝CF，AG＝DC A B D C F E A B D C F E G ∵CE⊥AB，∴EF 是 Rt△EGC 斜边 GC 上的中线 ∴EF＝GF，∴∠G＝∠AEF ∴∠EFC＝∠AEF＋∠G＝2∠AEF ∵AB＝5，BC＝10，F 为 AD 的中点 ∴AF＝AG＝5，∴∠AFG＝∠G ∵∠DFC＝∠AFG，∴∠DFC＝∠AEF ∴∠EFD＝∠EFC＋∠ DFC＝3∠AEF ∴存在正整数 k＝3，使得∠EFD＝3∠AEF ②设 BE＝x，∵AG＝CD＝AB＝5 ∴EG＝AE＋AG＝5－x＋5＝10－x 在 Rt△BEC 中，CE 2＝BC 2＋BE 2＝100－x 2 在 Rt△EGC 中，CG 2＝EG 2＋CE 2＝(10－x)2＋100－x 2＝200－20x ∴CF 2＝( 1 2 CG)2＝ 1 4 CG 2＝50－5x ∴CE 2－CF 2＝－x 2＋5x＋50＝－(x－ 5 2 )2＋225 4 ∴当 x＝ 5 2 ，即点 E 是 AB 的中点时，CE 2－CF 2 取最大值 此时，EG＝10－x＝15 2 ，CE＝ 100－x 2 ＝5 15 2 ∴tan∠DCF＝tan∠G＝ CE EG ＝ 5 15 2 15 2 ＝ 15 3 66．（广东梅州、河源）如图，矩形 OABC 中，A（6，0），C（0，2 3），射线 l 过点 D（0，3 3）且与 x 轴平行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60°． （1）①点 B 的坐标是___________；②∠CAO＝___________度；③当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标为 ___________；（直接写出答案） （2）设 OA 的中点为 N，PQ 与线段 AC 相交于点 M，是否存在点 P，，使△AMN 为等腰三角形或直角三 角形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标 m，若不存在，请说明理由； （3）设点 P 的横坐标为 x，△OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S，试求 S 与 x 的函数关系式和相 应的自变量 x 的取值范围． 解：（1）①（6，2 3）；②30；③（3，3 3） （2）存在．等腰三角形时：x1＝0，x2＝3－ 3，x3＝2 直角三角形时：x1＝1，x2＝ 3 2 提示：∵∠PQO＝60°，∠CAO＝30°，∴∠AMQ＝30° A C B O x y D l 备用图 A C B QO x y D P l M N A C B O x y D l M N(Q) (P) ∴∠AMQ＝∠MAQ，∴MQ＝AQ 等腰三角形时分三种情况讨论： ①若 MN＝AN，则点 Q 与点 N 重合 ∴点 P 与点 D 重合，∴x1＝0 ②若 AM＝AN 分别过点 P、M 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E、F ∵∠PQO＝60°，∠CAO＝30°，∴∠AMQ＝30° ∴∠AMQ＝∠MAQ，∴MQ＝QA ∴MF＝ 3 2 MQ＝ 3 2 QA＝ 3 2 (OA－OE－EQ)＝ 3 2 (6－x－3)＝ 3 2 (3－x) ∴AM＝2MF＝ 3(3－x)，AF＝ 3MF＝ 3 2 (3－x) ∴ 3(3－x)＝3，∴x2＝3－ 3 ③若 AM＝MN，则 AF＝ 1 2 AN＝ 3 2 ∴ 3 2 (3－x)＝ 3 2 ，∴x3＝2 直角三角形时分两种情况讨论： ①若∠ANM＝90°，则 AF＝AN＝3 ∴ 3 2 (3－x)＝3，x1＝1 ②若∠AMN＝90°，则 AM＝ 3 2 AN ∴ 3(3－x)＝3 3 2 ，∴x2＝ 3 2 （3）当 0≤x≤3 时，重叠部分为梯形 GHQO ∵OE＝x，EQ＝3，∴OQ＝x＋3 ∵BC∥OA，∴ GH OQ ＝ 3 3－2 3 3 3 ＝ 1 3 ∴GH＝ 1 3 OQ＝ 1 3 (x＋3) S＝S 梯形 GHQO ＝ 1 2 (GH＋OQ)·OC ＝4 3 3 (x＋3)＝4 3 3 x＋4 3 当 3＜x≤5 时，重叠部分为五边形 GHKAO S＝S 梯形 GHQO － S△KAQ ＝S 梯形 GHQO － 1 2 AQ·AK ＝4 3 3 x＋4 3－ 3 2 (x＋3－6)2＝－ 3 2 x2＋13 3 3 x－ 3 2 当 5＜x≤9 时，重叠部分为梯形 GBAO 由△OCG∽△ODP，得 CG＝ 2 3 x，∴BG＝6－ 2 3 x S＝S 梯形 GBAO ＝ 1 2 (BG＋OA)·OC A C B QO x y D P l M NE F A C B QO x y D P l M N F A C B QO x y D P l M G E H A C B QO x y D P l K G E H A C B QO x y D P l G E ＝ 3(6－ 2 3 x＋6)＝－2 3 3 x＋12 3 当 x＞9 时，重叠部分为△OLA 由△OLA∽△ODP，得 AL＝18 3 x S＝S△OLA ＝ 1 2 OA·AL＝ 1 2 ·6·18 3 x ＝54 3 x 综上所述，S 与 x 的函数关系式为： S＝ 4 3 3 x＋4 3（0≤x≤3） － 3 2 x2＋13 3 3 x－ 3 2 （3＜x≤5） －2 3 3 x＋12 3（5＜x≤9） 54 3 x （x＞9） 67．（广西南宁）如图，已知矩形纸片 ABCD，AD＝2，AB＝4．将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合，折痕 FG 分别与 AB，CD 交于点 G，F，AE 与 FG 交于点O． （1）如图 1，求证：A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形； （2）如图 2，当△AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时，求证：点 N 是线段 BC 的中点； （3）如图 2，在（2）的条件下，求折痕 FG 的长． （1）证明：连接 AF 根据轴对称的性质，得∠AGF＝∠EGF，AF＝EF，AG＝EG ∵DC∥AB，∴∠EFG＝∠AGF ∴∠EFG＝∠EGF，∴EF＝EG ∴EF＝AF＝EG＝AG ∴A，G，E，F 四点围成的四边形是平行四边形 （2）证明：连接 ON，根据轴对称的性质，得 AO＝EO ∵矩形 ABCD 中，∠C＝∠D＝90° ∴AE 为△AED 的外接圆的直径，O 为圆心 ∵△AED 的外接圆与 BC 相切于点 N，∴ON⊥BC ∴ON 是梯形 ABCE 的中位线 ∴点 N 是线段 BC 的中点 （3）解：延长 NO 交 AD 于 M，则 MO＝ 1 2 DE FD C A BG E D′ O 图 1 FD C A BG E D′ O 图 2 N A C B QO x y D P l L FD CE D′ NM FD C A BG E D′ O 图 1 M 设 DE＝x，则 MO＝ 1 2 x ∵MN⊥BC，∴四边形 MNCD 是矩形 ∴MN＝CD＝AB＝4，∴ON＝MN－MO＝4－ 1 2 x ∵△AED 的外接圆与 BC 相切于点 N ∴ON 是△AED 的外接圆的半径 ∴OE＝ON＝4－ 1 2 x，AE＝2ON＝8－x 在 Rt△AED 中，AD 2＋DE 2＝AE 2 ∴22＋x 2＝(8－x)2，解得 x＝15 4 ∴DE＝15 4 ，OE＝ON＝4－ 1 2 x＝17 8 根据轴对称的性质，得 AE⊥FG，∴∠FOE＝∠D＝90° 又∵∠FEO＝∠AED，∴△FEO∽△AED ∴ FO AD ＝ OE DE ，∴FO＝ OE DE ·AD＝ 17 8 15 4 ×2＝ 17 15 ∵A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形 ∴FO＝GO，∴FG＝2FO＝ 34 15 ∴折痕 FG 的长是 34 15 68．（福建厦门）已知□ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 P 在边 AD 上，过点 P 分别作 PE⊥AC、 PF⊥BD，垂足分别为 E、F，PE＝PF． （1）如图，若 PE＝ 3，EO＝1，求∠EPF 的度数； （2）若点 P 是 AD 的中点，点 F 是 DO 的中点，BF＝BC＋3 2－4，求 BC 的长． 解：（1）方法一：连接 PO ∵PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD ∴Rt△PEO≌Rt△PFO，∴∠EPO＝∠FPO 在 Rt△PEO 中，tan∠EPO＝ EO PE ＝ 3 3 ∴∠EPO＝30°，∴∠EPF＝60° 方法二：连接 PO 在 Rt△PEO 中，PO＝ 3＋1＝2 ∴sin∠EPO＝ EO PO ＝ 1 2 ，∴∠EPO＝30° B PA D F C E O B PA D F C E O 在 Rt△PFO 中，cos∠FPO＝ PF PO ＝ 3 2 ，∴∠FPO＝30° ∴∠EPF＝60° 方法三：连接 PO ∵PE＝PF，PE⊥AC、PF⊥BD，∴OP 是∠EOF 的平分线 ∴∠EOP＝∠FOP 在 Rt△PEO 中，tan∠EOP＝ PE EO ＝ 3 ∴∠EOP＝60°，∴∠EOF＝120° 又∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∠EPF＝60° （2）方法一：∵点 P 是 AD 的中点，∴AP＝DP 又∵PE＝PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFD ∴∠OAD＝∠ODA，∴OA＝OD ∴AC＝2OA＝2OD＝BD，∴□ABCD 是矩形 ∵点 P 是 AD 的中点，点 F 是 DO 的中点，∴AO∥PF ∵PF⊥BD，∴AC⊥BD，∴□ABCD 是菱形 ∴□ABCD 是正方形，∴BD＝ 2BC ∵BF＝ 3 4 BD，∴BC＋3 2－4＝3 2 4 BC，解得 BC＝4 方法二：∵点 P 是 AD 的中点，点 F 是 DO 的中点 ∴AO∥PF ∵PF⊥BD，∴AC⊥BD，∴□ABCD 是菱形 ∵PE⊥AC，∴PE∥OD，∴△AEP∽△AOD ∴ EP OD ＝ AP AD ＝ 1 2 ，∴DO＝2PE ∵PF 是△DAO 的中位线，∴AO＝2PF ∵PF＝PE，∴AO＝OD，∴AC＝2OA＝2OD＝BD ∴□ABCD 是矩形，∴□ABCD 是正方形，∴BD＝ 2BC ∵BF＝ 3 4 BD，∴BC＋3 2－4＝3 2 4 BC，解得 BC＝4 方法三：∵点 P 是 AD 的中点，∴AP＝DP 又∵PE＝PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFD ∴∠OAD＝∠ODA，∴OA＝OD ∴AC＝2OA＝2OD＝BD，∴□ABCD 是矩形 ∵点 P 是 AD 的中点，点 O 是 BD 的中点，连接 PO ∴PO 是△ABD 的中位线，∴AB＝2PO ∵PF⊥OD，点 F 是 OD 的中点，∴PO＝PD ∴AD＝2PO，∴AB＝AD ∴□ABCD 是正方形，∴BD＝ 2BC ∵BF＝ 3 4 BD，∴BC＋3 2－4＝3 2 4 BC，解得 BC＝4 方法四：∵点 P 是 AD 的中点，∴AP＝DP 又∵PE＝PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFD ∴∠OAD＝∠ODA，∴OA＝OD ∴AC＝2OA＝2OD＝BD，∴□ABCD 是矩形 ∵PF⊥OD，点 F 是 OD 的中点，连接 PO B PA D F C E O ∴PF 是线段 OD 的中垂线 又∵点 P 是 AD 的中点，∴PO＝PD＝ 1 2 BD ∴△AOD 是直角三角形，∠AOD＝90° ∴□ABCD 是正方形.，∴BD＝ 2BC ∵BF＝ 3 4 BD，∴BC＋3 2－4＝3 2 4 BC，解得 BC＝4 69．（福建龙岩）矩形 ABCD 中，AD＝5，AB＝3，将矩形 ABCD 沿某直线折叠，使点 A 的对应点 A′ 落在 线段 BC 上，再打开得到折痕 EF． （1）当 A′ 与 B 重合时（如图 1），EF＝_________；当折痕 EF 过点 D 时（如图 2），求线段 EF 的长； （2）观察图 3 和图 4，设 BA′＝x， ①当 x 的取值范围是_______________时，四边形 AEA′F 是菱形； ②在①的条件下，利用图 4 证明四边形 AEA′F 是菱形． 解：（1）5 方法一：由折叠（轴对称）性质知 A′D＝AD＝5，∠A＝∠EA′D＝90° 在 Rt△A′DC 中，DC＝AB＝3，∴A′C＝ 52－32 ＝4 ∴A′B＝BC－A′C＝5－4＝1 ∵∠EA′B＋∠BEA′＝∠EA′B＋∠FA′C＝90°，∴∠BEA′＝∠FA′C 又∵∠B＝∠C＝90°，∴Rt△EBA′∽Rt△A′CF ∴ A′E A′F ＝ A′B FC ，∴A′E＝ A′B FC ·A′F＝ 5 3 在 Rt△A′EF 中，EF＝ A′E 2＋A′D 2 ＝5 10 3 方法二：同方法一 1 得 A′B＝1 设 A′E＝AE＝x，则 BE＝3－x 在 Rt△EBA′ 中，A′E 2＝BE 2＋A′B 2 ∴x 2＝(3－x)2＋1，∴x＝ 5 3 在 Rt△A′EF 中，EF＝ A′E 2＋A′D 2 ＝5 10 3 方法三：同方法一得 Rt△EBA′∽Rt△A′CF ∵S△A′FC ＝ 1 2 ×3×4＝6，∴S△A′BE ＝( A′B FC )2·S△A′FC ＝ 1 9 ×6＝ 2 3 ∴S 四边形 AEA′F ＝S 矩形 ABCD － S△△A′FC － S△A′BE＝15－6－ 2 3 ＝25 3 连接 AA′，则 AA′⊥EF，∴AA′＝ AB 2＋A′B 2 ＝ 10 ∵S 四边形 AEA′F ＝ 1 2 AA′·EF，∴ 1 2 10·EF＝5 10 3 B A D C D (A′) B C C C E F E A′ A A AF D DF BB(E) (F) A′ E A′ B′图 1 图 4图 2 图 3 C A DF B E A′ B′ （2）①3≤x≤5 ②证明：方法一：由折叠（轴对称）性质知∠AEF＝∠FEA′ AE＝A′E，AF＝A′F 又∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEA′ ∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝A′E＝A′F＝AF ∴四边形 AEA′F 是菱形 方法二：由折叠（轴对称）性质知 AE＝A′E，AF＝A′F，AB＝A′B 过 A′ 作 A′G⊥BC，交 AD 于 G 证明△A′GF≌A′B′E，得 A′F＝A′E ∴AE＝A′E＝A′F＝AF， ∴四边形 AEA′F 是菱形 70．（福建莆田）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 四个顶点的坐标分别为 O（0，0），A（0，3）， B（6，3），C（6，0），抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点 A． （1）求 c 的值； （2）若 a＝－1，且抛物线与矩形有且只有三个交点 A、D、E，求△ADE 的面积 S 的最大值； （3）若抛物线与矩形有且只有三个交点 A、M、N，线段 MN 的垂直平分线 l 过点 O，交线段 BC 于点 F. 当 BF＝1 时，求抛物线的解析式． 解：（1）∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 A（0，3） ∴c＝3 （2）∵a＝－1，∴y＝－x2＋bx＋3 如图①，当抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、OC 边上时 抛物线与直线 x＝6 的交点应落在 C 点或 C 点下方 ∴当 x＝6 时，y ≤0，∴－62＋6b＋3≤0，即 b ≤11 2 又∵对称轴在 y 轴右侧，∴b ＞0，∴0＜b ≤ 11 2 由抛物线的对称性可知：AD＝2×( － b 2a )＝2×[－ b 2×(－1) ]＝b 又∵△ADE 的高＝BC＝3，∴S＝ 1 2 ×b×3＝ 3 2 b ∵ 3 2 ＞0，∴S 随 b 的增大而增大 ∴当 b ＝ 11 2 时，S 的最大值＝ 3 2 ×11 2 ＝33 4 如图②，当抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、BC 边上时 抛物线与直线 x＝6 的交点应落在线段 BC 上且不与点 B 重合，即 0≤yE ＜3 ∴当 x＝6 时，y ＝－62＋6b＋3＝6b－33 ∴0≤6b－33＜3，∴11 2 ≤b＜6 ∴BE＝3－(6b－33)＝36－6b B x A CO y F lB x A CO y B x A CO y 备用图 C A DF B E A′ B′ G B x A CO y E D ① B x A O y E D ② C S＝ 1 2 AD·BE＝ 1 2 ·b·(36－6b)＝－3b2＋18b ∵对称轴在 b＝3＜ 11 2 ，∴S 随 b 的增大而减小 ∴当 b ＝ 11 2 时，S 的最大值＝33 4 综上所述：S 的最大值为 33 4 （3）当 a＞0 时，符合题意要求的抛物线不存在 当 a＜0 时，符合题意要求的抛物线有两种情况 ①当点 M、N 分别在 AB、OC 边上时 方法一：如图③，过 M 点作 MG⊥OC 于点 G，连接 OM ∴MG＝OA＝3，∠2＋∠MNO＝90° ∵OF 垂直平分 MN，∴OM＝ON，∠1＋∠MNO＝90° ∴∠1＝∠2 ∵BF＝1，∴CF＝3－1＝2 ∴tan∠1＝ FC OC ＝ 2 6 ＝ 1 3 ，tan∠2＝ GN MG ＝tan∠1＝ 1 3 ∴GN＝ 1 3 MG＝1 设 N（n，0），则 G（n－1，0），∴M（n－1，3） ∴AM＝n－1，ON＝n＝OM 在 Rt△AOM 中，OM 2＝OA 2＋AM 2 ∴n 2＝32＋(n－1)2，解得 n＝5，∴M（4，3），N（5，0） 把 M（4，3），N（5，0）分别代入 y＝－x2＋bx＋3 得 3＝16a＋4b＋3 0＝25a＋5b＋3 解得 a＝－ 3 5 b＝ 12 5 ∴抛物线的解析式为 y＝－ 3 5 x2＋ 12 5 x＋3 方法二：如图④，延长 AB 交 l 于点 G，连接 OM ∵OC＝6，BC＝3，BF＝1，∴FC＝2 ∵BG∥OC，∴ BG OC ＝ BF FC ＝ 1 2 ∴BG＝3，∴AG＝6＋3＝9 ∵OF 垂直平分 MN，∴OM＝ON，∴∠1＝∠2 又 MG∥OC，∴∠1＝∠G，∴MO＝MG 设 M（m，3），则 MG＝9－m＝OM 在 Rt△OAM 中，∵OM 2＝OA 2＋AM 2，∴(9－m)2＝32＋m 2 解得 m＝4，∴9－m＝5，∴M（4，3），ON＝5，∴N（5，0） 以下同方法一 方法三：如图⑤，过 M 点作 MH⊥OC 于点 H，设 OF 与 MN 交于点 G 过点 G 作 GK⊥ON 于点 K 同方法一可求得：MH＝3，HN＝1，设 M（m，3） ∵GM＝GN，GK∥MH ∴HK＝KN＝ 1 2 HN＝ 1 2 ， GK MH ＝ GN MN ＝ 1 2 ∴GK＝ 3 2 ，∴OK＝OH＋HK＝m＋ 1 2 ，∴G（m＋ 1 2 ，3 2 ） 设直线 OF 的解析式为 y＝kx，把 F（6，2）代入 得 2＝6k，∴k＝ 1 3 ，∴y＝ 1 3 x B x A O y F M ③ CNG 1 2 l B x A O y F M ④ CN 12 G B x A O y F M ⑤ CNH l K G B x A O y F M ⑥ C N 1 2 l 把 G（m＋ 1 2 ，3 2 ）代入 y＝ 1 3 x，得 3 2 ＝ 1 3 (m＋ 1 2 ) ∴m＝4，∴ON＝5，∴M（4，3），N（5，0） 以下同方法一 ②当点 M、N 分别在 AB、BC 边上时 方法一：如图⑥，连接 MF ∵OF 垂直平分 MN，∴∠1＋∠NFO＝90°，MF＝FN 又∵∠OCB＝90°，∴∠2＋∠NFO＝90°，∴∠1＝∠2 ∵BF＝1，∴FC＝2，∴tan∠1＝tan∠2＝ FC OC ＝ 2 6 ＝ 1 3 在 Rt△MBN 中，tan∠1＝ MB BN ＝ 1 3 ，∴BN＝3MB 设 N（6，n），则 FN＝2－n，BN＝3－n ∴MF＝2－n，MB＝ 3－n 3 ＝1－ 1 3 n 在 Rt△MBF 中，∵MF 2＝MB 2＋FB 2，∴(2－n)2＝(1－ 1 3 n)2＋12 解得 n1＝ 3 4 ，n2＝3（不合题意，舍去），∴BM＝ 3 4 ∴AM＝6－ 3 4 ＝ 21 4 ，∴M（ 21 4 ，3），N（6，3 4 ） 把 M（21 4 ，3），N（6，3 4 ）分别代入 y＝－x2＋bx＋3 得 3＝( 21 4 )2a＋ 21 4 b＋3 3 4 ＝36a＋6b＋3 解得 a＝－ 1 2 b＝ 21 8 ∴抛物线的解析式为 y＝－ 1 2 x2＋ 21 8 x＋3 综上所述：抛物线的解析式为 y＝－ 3 5 x2＋ 12 5 x＋3 或 y＝－ 1 2 x2＋ 21 8 x＋3 方法二：如图⑦，设 OF 交 MN 于点 G 过点 G 作 GH⊥BC 于点 H，则 GH∥AB ∵OF 垂直平分 MN，∴GM＝GN ∴HN＝HB＝ 1 2 BN，GH＝ 1 2 BM 设 N（6，n），由方法一可知 BM＝ 3－n 3 ∴GH＝ 1 2 BM＝ 3－n 6 ，HF＝HB－FB＝ 3－n 2 －1＝ 1－n 2 ∵GH∥OC，∴△FGH∽△FOC，∴ GH OC ＝ FH FC 即 3－n 6 6 ＝ 1－n 2 2 ，解得 n＝ 3 4 ，∴N（6，3 4 ） ∴AM＝6－ 3 4 ＝ 21 4 ，∴M（ 21 4 ，3） 以下同方法一 方法三：如图⑧，设 OF 交 MN 于点 G 易证△BMN∽△CFO，∴ BM CF ＝ BN CO ∴ BM 2 ＝ BN 6 ，∴BN＝3BM 设 BM＝x，则 BN＝3x，FN＝BN－BF＝3x－1 B x A O y F M ⑧ C N l G B x A O y F M ⑦ C N l G H ∴MN＝ BM 2＋BN 2 ＝ 10x ∵OF 垂直平分 MN，∴GN＝ 1 2 MN＝ 10 2 x，∠FGN＝90° ∵∠GNF＝∠BNM，∠B＝∠FGN＝90°，∴△FGN∽△MBN ∴ GN BN ＝ FN MN ，∴ 10 2 x 3x ＝ 3x－1 10x ，∴x＝ 3 4 ∴BM＝ 3 4 ，BN＝ 9 4 ，∴CN＝BC－BN＝3－ 9 4 ＝ 3 4 AM＝AB－BM＝6－ 3 4 ＝ 21 4 ，∴M（ 21 4 ，3），N（6，3 4 ） 以下同方法一 71．（福建三明）在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 P 在线段 BC 上（不含点 B），∠BPE ＝ 1 2 ∠ACB，PE 交 BO 于点 E，过点 B 作 BF⊥PE，垂足为 F，交 AC 于点 G． （1）当点 P 与点 C 重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE； （2）通过观察、测量、猜想： BF PE ＝________，并结合图②证明你的猜想； （3）把正方形 ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB＝α，求 BF PE 的值．（用含α的式子表 示） （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，P 与 C 重合 ∴OB＝OP，∠BOC＝∠BOG＝90° ∵PF⊥BG，∴∠PFB＝90° ∴∠GBO＝90°－∠BGO，∠EPO＝90°－∠BGO ∴∠GBO＝∠EPO，∴△BOG≌△POE （2） BF PE ＝ 1 2 证明：如图②，过 P 作 PM∥AC 交 BG 于 M，交 BO 于 N ∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB ∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NBP＝∠NPB，∴NB＝NP ∵∠MBN＝90°－∠BMN，∠NPE＝90°－∠BMN ∴∠MBN＝∠NPE，∴△BMN≌△PEN，∴BM＝PE ∵∠BPE＝ 1 2 ∠ACB，∠BPN＝∠ACB，∴∠BPF＝∠MPF ∵PF⊥BM，∴∠BFP＝∠MFP＝90° 又 PF＝PF，∴△BPF≌△MPF ∴BF＝MF，∴BF＝ 1 2 BM O G E F CB (P) DA （图①） O G E F CB DA （图②） P OG E F CB DA （图③） P O G E F CB DA （图②） P N M ∴BF＝ 1 2 PE，即 BF PE ＝ 1 2 （3）方法一：如图③，过 P 作 PM∥AC 交 BG 于点 M，交 BO 于点 N ∴∠BPN＝∠ACB＝α，∠PNE＝∠BOC＝90° 由（2）同理可得 BF＝ 1 2 BM，∠MBN＝∠EPN ∵∠BNM＝∠PNE＝90°，∴△BMN∽△PEN，∴ BM PE ＝ BN PN 在 Rt△BNP 中，tanα＝ BN PN ∴ BM PE ＝tanα，即 2BF PE ＝tanα ∴ BF PE ＝ 1 2 tanα 方法二：如图③，过 P 作 PM∥AC 交 BG 于点 M，交 BO 于点 N ∴BO⊥PM，∠BPN＝∠ACB＝α ∵∠BPE＝ 1 2 ∠ACB＝ 1 2 α，PF⊥BM ∴∠EPN＝ 1 2 α，∠MBN＝∠EPN＝∠BPE＝ 1 2 α 设 BF＝x，PE＝y，EF＝m 在 Rt△PFB 中，tan α 2 ＝ BF PF ∵PF＝PE＋EF＝y＋m，∴x＝(y＋m)tan α 2 在 Rt△BFE 中，tan α 2 ＝ EF BF ＝ m x ，∴m＝x·tan α 2 ∴x＝(y＋x·tan α 2 )tan α 2 ，∴ x y ＝ tan α 2 1－tan 2 α 2 即 BF PE ＝ tan α 2 1－tan 2 α 2 方法三：如图③，过 P 作 PM∥AC 交 BG 于点 M，交 BO 于点 N ∴∠BNP＝∠BOC＝90°，∴∠EPN＋∠NEP＝90° 又∵BF⊥PE，∴∠FBE＋∠BEF＝90° ∵∠BEF＝∠NEP，∴∠FBE＝∠EPN ∵PN/∥AC，∴∠BPN＝∠BCA＝α 又∵∠BPE＝ 1 2 ∠ACB＝ 1 2 α，∴∠NPE＝∠BPE＝ 1 2 α ∴∠FBE＝∠BPE＝∠EPN＝ 1 2 α OG E F CB DA （图③） P N M ∵sin∠FPB＝ BF BP ，∴BP＝ BF sin α 2 ∵cos∠EPN＝ PN PE ，∴PN＝PE·cos α 2 ∵cos∠NPB＝ PN BP ，∴PN＝BP·cosα ∴PE·cos α 2 ＝BP·cosα，∴PE·cos α 2 ＝ BF sin α 2 ·cosα ∴ BF PE ＝ sin α 2 ·cos α 2 cosα 72．（福建某校自主招生）如图，矩形铁片 ABCD 的长为 2a，宽为 a，为了能让铁片能穿过直径为 2 2 3 a 的 圆孔，需对铁片进行处理规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔），过它的中心作一条直线分别交边 BC、AD 于点 E、F（不与端点重合），沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片． （1）当 BE＝DF＝ 1 5 a 时，判断直角梯形铁片 ABEF 能否穿过圆孔，并说明理由； （2）为了能使直角梯形铁片 ABEF 顺利穿过圆孔，求线段 BE 长度的取值范围． 解：（1）作 EG⊥AD 于 G，AH⊥EF 于 H 显然 AB＝a＞2 2 3 a 故沿着与 AB 垂直的方向无法穿过圆孔 ∵AD＝2a，BE＝AG＝DF＝ 1 5 a，∴AF＝2a－ 1 5 a＝ 9 5 a，GF＝2a－ 2 5 a＝ 8 5 a ∴EF＝ a2＋( 8 5 a)2 ＝ 89 5 a ∵∠AHF＝∠EGF＝90°，∠AFH＝∠EFG，∴△AHF∽△EGF ∴ AH EG ＝ AF EF ，可得 AH＝ 9 89 a＝ 27 3 89 a＝ 729 3 89 a 而 2 2 3 a＝ 8× 89 3 89 a＝ 712 3 89 a，∴AH＞2 2 3 a ∴直角梯形铁片 ABEF 不能穿过圆孔 （2）显然，只要 AH＜ 2 2 3 a，直角梯形铁片就能穿过圆孔 设 BE＝AG＝DF＝x，则 AF＝2a－x，GF＝2a－2x ∴EF＝ EG 2＋GF 2 ＝ a2＋(2a－2x)2 A B C D E F A B C D E FG H 由 AH EG ＝ AF EF ，得 AH a ＝ 2a－x a2＋(2a－2x)2 ，∴AH＝ 2a2－ax a2＋(2a－2x)2 由 AH＜ 2 2 3 a，得 2a2－ax a2＋(2a－2x)2 ＜ 2 2 3 a 整理得：23x2－28ax＋4a2＞0，解得：x＜14－2 26 23 a 或 x＞14＋2 26 23 a 所以线段 BE 的长度的取值范围是：0＜BE＜14－2 26 23 a 或14＋2 26 23 a＜BE＜2a 73．（福建模拟）如图，平行四边形 ABCD 中，AB＝8，BC＝10，∠B 为锐角，tan∠B＝ 4 3 ．E 为线段 AB 上的一个动点（不含端点），EF⊥AB，交射线 BC 于点 G，交射线 DC 于点 F． （1）若点 G 在线段 BC 上，求△BEG 与△CFG 的周长之和； （2）判断在点 E 的运动过程中，△AED 与△CGD 是否会相似？如果相似，请求出 BE 的长；如果不相似， 请说明理由． 解：（1）方法一：过点 C 作 CH⊥AB 于 H ∵△BEG 的周长＝BE＋EG＋BG，△CFG 的周长＝CF＋FG＋CG ∴△BEG 与△CFG 的周长之和＝BE＋CF＋BC＋EF 在平行四边形 ABCD 中，AB∥CD，EF⊥AB ∴∠EFC＝∠BEF＝90° 又 CH⊥AB，∴四边形 EFCH 为矩形 ∴CF＝EH，EF＝CH 在 Rt△BHC 中，BC＝10，tan∠B＝ CH BH ＝ 4 3 设 BH＝3k，则 CH＝4k，∴BC＝ BH 2＋CH 2 ＝5k ∴5k＝10，∴k＝2，∴BH＝6，CH＝8 ∴EF＝CH＝8，BE＋CF＝BH＝6 ∴△BEG 与△CFG 的周长之和＝6＋10＋8＝24 方法二：在 Rt△BEG 中，tan∠B＝ EG BE ＝ 4 3 设 BE＝3k，则 EG＝4k，BG＝ BE 2＋EG 2 ＝5k 在平行四边形 ABCD 中，AB∥CD，EF⊥AB ∴∠BCF＝∠B，CG＝BC－BG＝10－5k，∠EFC＝∠BEF＝90° ∴在 Rt△CFG 中，CF＝6－3k，FG＝8－4k ∴△BEG 与△CFG 的周长之和＝(BE＋EG＋BG)＋(CF＋FG＋CG) ＝(3k＋4k＋5k)＋(6－3k＋8－4k＋10－5k)＝24 （2）①当 0＜BE＜6 时，设 BE＝3k A D B C E G F A D B C E G F H ∵tan∠B＝ EG BE ＝ 4 3 ，∴EG＝4k，BG＝5k，CG＝10－5k，CD＝AB＝8 ∵∠A＝∠DCG，∴要使△AED 与△CGD 相似，需满足 AE CG ＝ AD CD 或 AE CD ＝ AD CG 当 AE CG ＝ AD CD 时， 8－3k 10－5k ＝ 10 8 ，∴k＝ 18 13 此时 BE＝3k＝ 54 13 ，满足 0＜BE＜6 当 AE CD ＝ AD CG 时， 8－3k 8 ＝ 10 10－5k ，∴k＝ 0 或 k＝ 14 3 此时，BE＝0 或 14，不满足 0＜BE＜6 ∴当 BE＝ 54 13 时，△AED 与△CGD 相似 ②当 BE＝6 时，点 G 与点 C 重合，不存在△CGD 与△AED 相似 ③当 6＜BE＜8 时 ∵AB∥CD，AD∥BC，∠B 是锐角，∴∠A 是钝角 又∵∠DCG＝∠B，∴∠DCG 也是锐角，∴∠A≠∠DCG ∵∠DCB＞∠CDG，∠DCB＞∠DGC，∠A＝∠DCB ∴∠A≠∠CDG，∠A≠∠DGC ∴当 6＜BE＜8 时，不存在△CGD 与△AED 相似 综上所述，当 BE＝ 54 13 时，△AED 与△CGD 相似 74．（福建模拟）已知菱形 ABCD 的边长为 10，对角线 BD＝16，过线段 BD 上的一个动点 P（不与 B、D 重合）分别向直线 AB、AD 作垂线，垂足分别为 E、F． （1）如图 1，求证：△PBE∽△PDF； （2）连接 PC，当 PE＋PF＋PC 的值最小时，求 PB 的长； （3）如图 2，对角线 AC、BD 交于点 O，以 PO 为半径的⊙P 与以 DF 为半径的⊙D 相切时，求 PB 的长． （1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝AB ∴∠ABD＝∠ADB 又∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠PEB＝∠PFD＝90° ∴△PBE∽△PDF （2）解：如图 1，连接 AC 交 BD 于 O，则 AC⊥BD 延长 FP 交 BC 于 M，则 FM⊥BC ∵BD 平分∠ABC，PE⊥AB，PM＝PE ∴PE＋PF＝PM＋PF＝FM C P A F B D E 图 1 C P A F B DO E 图 2 C A B DO 备用图 A D B C E G F C P A F B DO E 图 1 M 在 Rt△AOB 中，BO＝ 1 2 BD＝8，∴AO＝ AB 2－BO 2 ＝ 102－82 ＝6 ∴AC＝2AO＝12 又∵S 菱形 ABCD ＝ 1 2 AC·BD＝BC·FM ∴ 1 2 ×12×16＝10·FM，即 FM＝48 5 （说明 PE＋PF 的值不变即可得分，不必求出 FM 的值） 因此，要使 PE＋PF＋PC 的值最小，只要 PC 取最小值 所以当 CP⊥BD，即点 P 与点 O 重合时，PE＋PF＋PC 的值最小 此时 PB＝BO＝ 1 2 BD＝8 （3）设 PB＝x，则 PD＝BD－PB＝16－x ∵PF⊥AD，∴在 Rt△PFD 中，DF＝DP·cos∠ADB＝ 4 5 (16－x) ①当⊙P 与⊙D 外切时 情形一：如图 2，当 P 点在点 O 左侧时，PO＝OB－PB＝8－x 此时 PO＋DF＝PD，∴(8－x)＋ 4 5 (16－x)＝16－x 解得 x＝6，即 PB＝6 情形二：如图 3，当 P 点在点 O 右侧时，PO＝PB－OB＝x－8 此时 PO＋DF＝PD，∴(x－8)＋ 4 5 (16－x)＝16－x 解得 x＝28 3 ，即 PB＝28 3 ②如图 4，当⊙P 与⊙D 内切时，PO＝PB－OB＝x－8 ∵PD＞DF，∴PO－DF＝PD ∴(x－8)－ 4 5 (16－x)＝16－x，解得，x＝92 7 ，即 PB＝92 7 综上所述，以 PO 为半径的⊙P 与以 DF 为半径的⊙D 相切时，PB 的长为 6 或 28 3 或 92 7 75．（福建模拟）已知等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝3，BC＝5，高为 2．E、F 分别是线段 AD、BC 上的动点，且 AE＝CF．设 AE＝x，AE＋EF＝y． （1）当 x 为何值时，四边形 ABFE：①是等腰梯形；②是直角梯形； （2）求 y 关于 x 的函数关系式； （3）当△BEF 是等腰三角形时，求 x 的值； （4）y 是否存在最大值或最小值？若存在，求出 y 的最大值或最小值；若不存在，说明理由． 解：（1）①当四边形 ABFE 是等腰梯形时，则∠B＝∠BFE ∵等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠B＝∠C ∴∠BFE＝∠C，∴EF∥DC ∴四边形 EFCD 是平行四边形，∴DE＝CF A B C DE FA B G C DE F C P A F B DO E 图 2 C O A F B DP E 图 3 C O A F B DP E 图 4 ∵AE＝CF＝x，∴x＝AE＝DE＝ 1 2 AD＝ 3 2 ②当四边形 ABFE 是等腰梯形时，则 EF⊥BC 过点 A 作 AG⊥BC 于 G，则四边形 AGFE 是矩形 ∴GF＝AE＝x ∵等腰梯形 ABCD，∴BG＝ 1 2 (BC－AD)＝ 1 2 (5－3)＝1 ∴1＋2x＝5，∴x＝2 （2）过点 A、E 分别作 BC 的垂线，垂足为 G、H 当 0≤x＜2 时 BF＝5－x，BH＝1＋x，HF＝5－x－(1＋x)＝4－2x 在 Rt△EHF 中，EH＝2，HF＝4－2x ∴EF＝ HF 2＋EH 2 ＝ (4－2x)2＋4 ∴y＝AE＋EF＝x＋ (4－2x)2＋4 当 2≤x≤3 时 BF＝5－x，BH＝1＋x，FH＝1＋x－(5－x)＝2x－4 在 Rt△EFH 中，EH＝2，FH＝2x－4 ∴EF＝ FH 2＋EH 2 ＝ (2x－4)2＋4 ∴y＝AE＋EF＝x＋ (2x－4)2＋4 综合得 y＝x＋ (2x－4)2＋4 （0≤x≤3） （3）在 Rt△BEH 中，EH＝2，BH＝1＋x ∴BE＝ BH 2＋EH 2 ＝ (1＋x)2＋4 若 BE＝EF，则 BF＝2BH ∴5－x＝2(1＋x)，∴x＝1 若 BE＝BF，则 (1＋x)2＋4 ＝5－x 解得 x＝ 5 3 若 BF＝EF，则 5－x＝ (2x－4)2＋4 解得 x＝1＋ 2 3 6 或 x＝1－ 2 3 6（舍去） 当△BEF 是等腰三角形时，x＝1 或 x＝ 5 3 或 x＝1＋ 2 3 6 （4）∵y＝x＋ (2x－4)2＋4 ，∴(y－x)2＝(2x－4)2＋4 整理得：3x 2＋(2y－16)x＋(20－y 2)＝0 ∵x 为实数，∴△＝(2y－16)2－4×3(20－y 2)≥0 化简得：y 2－4y＋1≥0，解得：y≤2－ 3（舍去）或 y≥2＋ 3 ∴y 存在最小值，为 2＋ 3 令 z＝(2x－4)2＋4＝4(x－2)2＋4 当 x＞2 时，z 随 x 的增大而增大 ∴函数 y＝x＋ (2x－4)2＋4 当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大 ∵0≤x≤3，∴当 x＝3 时，y 有最大值 y 最大＝3＋ (2×3－4)2＋4 ＝3＋2 2 76．（海南）如图（1），在矩形 ABCD 中，把∠B、∠D 分别翻折，使点 B、D 恰好落在对角线 AC 上的点 E、F 处，折痕分别为 CM、AN． A B G C DE FH A B G C DE F H （1）求证：△ADN≌△CBM； （2）请连接 MF、NE，证明四边形 MFNE 是平行四边形，四边形 MFNE 是菱形吗？请说明理由； （3）P、Q 是矩形的边 CD、AB 上的两点，连接 PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若 PQ＝CQ，PQ∥MN， 且 AB＝4cm，BC＝3cm，求 PC 的长度． 解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，∴AD∥BC ∴∠DAC=∠BCA ∵把∠B、∠D 翻折，折痕分别为 CM、AN ∴∠DAN＝ 1 2 ∠DAC，∠BCM＝ 1 2 ∠BCA ∴∠DAN＝∠BCM，∴△AND≌△CBM （2）如图（1），连接 MF、NE, ∵△AFN 由△ADN 翻折形成 ∴△AFN≌△ADN，同理△CEM≌△CBM 由（1）知△AND≌△CBM ∴△AFN≌△CEM ∴∠AFN＝∠CEM＝∠D＝90°，FN＝EM，∴FN∥EM ∴四边形 MFNE 是平行四边形 四边形 MFNE 不是菱形 ∵∠AFN＝90°，NF 是 AC 的垂线，∴NE ＞NF ∴四边形 MFNE 不可能是菱形 （3）设如图（2），BM＝x，则 EM＝BM＝x，AM＝4－x ∵AC＝ 42＋32 ＝5cm，∴AE＝5－3＝2cm ∵∠CEM＝∠B＝90°，∴∠AEM＝90° ∴△AEM 是直角三角形 ∴22＋x2＝(4－x)2，解得 x＝1.5cm ∴DN＝BM＝1.5cm 过点 N 作 NH⊥AB 于点 H 则 AH＝DN＝BM＝1.5cm，∴MH＝1cm ∵PQ∥MN，CD∥AB，∴四边形 MNPQ 是平行四边形 ∴MN＝PQ 作 QG⊥CD 于点 G，∴NH＝GQ ∴△MNH≌△PQG，∴PG＝MH＝1cm ∵PQ＝CQ，∴PC＝2PG＝2cm 77．（海南模拟）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD 为斜边 AB 上的高．矩形 EFGH 的 边 EF 与 CD 重合，A、D、B、G 在同一直线上（如图 1）．将矩形 EFGH 向左平移，EF 交 AC 于 M（M 不 与 A 重合，如图 2），连接 BM 交 CD 于 N，连接 NF． N MA F B D E CP Q 图（2） N MA F B D E C 图（1） N MA F B D E C 图（1） N MA F B D E CP Q 图（2） G H （1）直接写出图 2 中所有与△CDB 相似的三角形； （2）设 CE＝x，△MNF 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围；并求△MNF 的 最大面积； （3）矩形 EFGH 在平移过程中是否存在四边形 MFNC 为平行四边形的情形？若存在，求出 x 的值；若不 存在，说明理由． 解：（1）图 2 中与△CDB 相似的三角形有：△CEM，△AFM，△ADC，△ACB （2）在 Rt△ABC 中，∵∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15 ∴AB＝ AC 2＋BC 2 ＝ 202＋152 ＝25 ∴tanA＝ BC AC ＝ 15 20 ＝ 3 4 ∵CD 为斜边 AB 上的高，∴AB·CD=AC·BC ∴CD＝ AC·BC AB ＝ 20×15 25 ＝12，∴EF＝CD＝12 ∵四边形 EFGH 为矩形，∴∠E＝90°，EH∥FG ∴∠1＝∠A，∴tan∠1＝tanA＝ 3 4 在 Rt△CEM 中，EM＝CE·tan∠1＝ 3 4 x ∴MF＝EF－ME＝12－ 3 4 x ∵CD∥EF， ∴S△MNF ＝ 1 2 MF·CE＝ 1 2 (12－ 3 4 x)x＝－ 3 8 x2＋6x ∴y 与 x 的函数关系式为 y＝－ 3 8 x2＋6x（0＜x＜16） ∵y＝－ 3 8 x2＋6x＝－ 3 8 (x－8)2＋24 ∴当 x＝8 时，y 有最大值 24 ∴△MNF 的最大面积的为 24 （3）在平移过程中存在四边形 MFNC 为平行四边形的情形 ∵CD∥EF，∴当 CN＝MF＝12－ 3 4 x 时，四边形 MFNC 为平行四边形 此时 DN＝CD－CN＝12－(12－ 3 4 x)＝ 3 4 x 在 Rt△CDB 中，BD＝ BC 2－CD 2 ＝ 152－122 ＝9 ∴BF＝BD＋DF＝x＋9 ∵CD∥EF，∴△BND∽△BMF A BD G C H(E) (F) 图 1 A BD G C H 图 2 E M N F A BD G C HE M N F 1 ∴ DN FM ＝ BD BF ，∴ 3 4 x 12－ 3 4 x ＝ 9 x＋9 解得 x1＝6，x2＝－24（不合题意，舍去） ∴x＝6 78．（湖北模拟）已知：在正方形 ABCD 中，点 E 是边 CD 上的动点（不与端点 C、D 重合），CD＝mDE．AE 的垂直平分线分别交 AD、AE、BC 于点 F、H、G，交 AB 的延长线于点 P． （1）如图 1，当 m＝2 时， FH AH ＝ ________， FH PH ＝ ________； （2）如图 2，当 m＝3 时，求证：FH＋PG＝HG； （3）当 m 为何值时，G 是 HP 的中点． 解：（1） 1 2 1 4 提示：易知△AFH∽△AED，得 FH AH ＝ DE AD ＝ 1 2 由△PAH∽△AFH，得 AH PH ＝ FH AH ＝ 1 2 ∴PH＝2AH＝4FH，∴FH PH ＝ 1 4 （2）∵△AFH∽△PAH∽△AED，∴ FH AH ＝ AH PH ＝ DE AD ＝ 1 3 设 FH＝a，则 AH＝3a，PH＝9a，PF＝10a 过 B 作 BM∥FG 交 AD 于 M，则可证△BAM≌△ADE 得 BM＝AE，∴FG＝BM＝AE＝AE＝2AH＝6a ∴HG＝FG－FH＝5a，PG＝PH－HG＝4a ∴FH＋PG＝HG （3）设 FH＝a，则由△AFH∽△AED∽△PAH 得 AH＝ma，PH＝m2a ∴FG＝AE＝2AH＝2ma，∴HG＝FG－FH＝2ma－a ∵G 是 HP 的中点，∴HP＝2HG ∴m2a＝2(2ma－a)，解得 m＝2± 2 显然 m＞1，∴m＝2＋ 2 79．（浙江模拟）如图，将边长为 6 的正方形 OABC 放置在直角坐标系中，使点 A 在 x 轴负半轴上，点 C 在 y 轴正半轴上．点 M（t，0）在 x 轴上运动，过 A 作直线 MC 的垂线交 y 轴于点 N． （1）设△AMN 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式，并写出相应 t 的取值范围； （2）若 D（3，8），则在点 M 运动过程中，当以 M、N、C、D 为顶点的四边形是梯形时，求点 M 的坐标； D A C G B H E F P 图 2 D A C G B H E F P 图 1 （3）若点 P 在直线 x＝2 上运动，是否存在以 M、N、C、P 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写 出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵四边形 OABC 是正方形，∴OA＝OC，∠AON＝∠COM＝90° ∵AN⊥MC，∴∠NAO＋∠CMO＝90° ∵∠NAO＋∠ANO＝90°，∴∠ANO＝∠CMO ∴Rt△AON≌Rt△COM，∴ON＝OM＝|t| ①当 t＞0 时，AM＝6＋t，ON＝t ∴S＝ 1 2 t(6＋t)＝ 1 2 t2＋3t（t＞0） ②当－6＜t＜0 时，AM＝6＋t，ON＝－t ∴S＝－ 1 2 t2－3t（－6＜t ＜0） ③当 t ＜－6 时，AM=－6－t，ON＝－t ∴S＝ 1 2 t2＋3t（t ＜－6） 综上所述，S 关于 t 的函数关系式如下： S＝ 1 2 t2＋3t（t＞0 或 t ＜－6） － 1 2 t2－3t（－6＜t＜0） （2）①当 DM∥CN 时，如图 1 ∵D（3，8），∴M（3，0） ∴ON＝OM＝3，∴N（0，3） 此时 MN 与 CD 不平行，四边形 MNCD 是梯形 ②当 CM∥ND 时，如图 2、图 3 则∠DNE＝∠MCO，ON＝OM＝|t| 过 D 作 DE⊥y 轴于 E，则 tan∠DNE＝tan∠MCO 即 DE NE ＝ OM OC ，∴ 3 |t－8| ＝ |t| 6 解得 t＝4＋ 34 或 t＝4－ 34 ∴M（4＋ 34，0），N（0，4＋ 34） 此时 DM 与 NC 不平行，四边形 NCMD 是梯形（图 2） 或 M（4－ 34，0），N（0，4－ 34） 此时 MN 与 CD 不平行，四边形 MNDC 是梯形（图 3） 综上所述，点 M 的坐标为（3，0）、（4＋ 34，0）、（4－ 34，0） （3）存在 P1（2，6）、P2（2，4）、P3（2，－4） 提示：①当点 M 在 x 轴正半轴上时，点 N 在 y 轴正半轴上 A B O C x y 备用图 A B D O C M N x y A B D O C M N x y 图 1 A B D O C M N x y 图 2 E A B D O C M N x y 图 3 E C N xOA M B y P ∴ON＝OM，∠ONM＝∠OMN＝45° ∴∠CNM＝135° 若∠NCP＝∠CPM＝90°，则 P（2，6） 若∠NMP＝∠CPM＝90°，这种情况不存在 ②当点 M 在 x 轴负半轴上时，点 N 在 y 轴负半轴上 ON＝OM，∠ONM＝∠OMN＝45° 若∠PCM＝∠CMN＝90°，则∠OCM＝∠OMC＝45° ∴∠PCN＝45°，∴P（2，4） 若∠CMN＝∠MNP＝90°，则∠OCM＝∠OMC＝45° ∴ON＝OM＝OC＝6，∴N（0，－6） ∵∠ONM＝∠OMN＝45°，∴∠CNP＝45° ∴P（2，－4） 80．（浙江模拟）边长为 2 的正方形 OABC 在直角坐标系中的位置如图所示，O 是坐标原点，点 M（t，0） 是 x 轴上的一个动点，连接 BM，以 BM 为一边作正方形 BMNP（点 B、M、N、P 按逆时针方向排列）． （1）当 t＝4 时，求点 P 的坐标； （2）连接 PC，求△PCB 的面积为 S 与 t 的函数关系式； （3）直线 y＝2x＋b 分别交 x 轴、y 轴于点 D、E，是否存在点 P，使△PDE 为等腰直角三角形？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）如图 1，当 t＝4 时，OM＝4 ∵OA＝AB＝2，∴AB＝AM＝2，∴∠AMB＝45° 连接 PM，则∠BMP＝45°，∴∠AMP＝90° ∴PM⊥x 轴 PM＝ 2BM＝2AB＝4 ∴P（4，4） （2）如图 2，当 t＜2 时 作 NF⊥x 轴于 F，PG⊥DN 于 G 易知△BMA≌△MNF≌△NPG 得 GN＝FM＝AB＝2，GP＝FN＝AM＝2－t ∴S＝ 1 2 ×2×(2－t)＝2－t，即 S＝2－t 当 t≥2 时，同理可得 S＝t－2 O x y D C E B MA N P C N xOA B y P (M)C N xOA B y P (M) O x y C B MA N P 图 1 O x y C B M A N P 图 2 F G O x y C B M A N P 图 3 E DF G H （3）假设存在点 P，使△PDE 为等腰直角三角形 ∵直线 y＝2x＋b 分别交 x 轴、y 轴于点 D、E ∴OD＝|b| 2 ，OE＝|b| ①若 D 是直角顶点 i）当 D 在 x 轴正半轴上时，E 在 y 轴负半轴上，M 在 x 轴负半轴上，b＜0，t＜0，如图 3 作 NF⊥x 轴于 F，PH⊥x 轴于 H，PG⊥DN 于 G 则△HPD≌△ODE，得 HP＝OD＝－ b 2 ，DH＝OE＝－b ∴OH＝OD＋DH＝－ b 2 －b＝－ 3 2 b 由（2）知，GN＝FM＝AB＝2，FH＝GP＝FN＝AM＝2－t ∴OF＝2＋t，∴OH＝OF＋FH＝2＋t＋2－t＝4 ∴－ 3 2 b＝4，∴b＝－ 8 3 ，∴HP＝－ b 2 ＝ 4 3 ∴P1（4，－ 4 3 ） ii）当 D 在 x 轴负半轴上时，E 在 y 轴正半轴上，M 在 x 轴负半轴上，b＞0，t＜0，如图 4 同理可得，DH＝OE＝b，HP＝OD＝2－t－2＝－t OH＝DH－OD＝b＋t FH＝2－t，OF＝－2－t，OH＝FH－OF＝4 ∴b＋t＝4 ∵OE＝2OD，∴b＝－2t ∴－2t＋t＝4，∴t＝－4，∴HP＝－t＝4 ∴P2（4，－4） ②若 E 是直角顶点，如图 5、图 6 同理可得，P3（4，－6），P4（4，2） ③若 P 是直角顶点，如图 7、图 8 同理可得，P5（4，－4），P6（4，4） 综上所述，存在 5 个满足条件的点 P 坐标分别为：P1（4，－ 4 3 ）， P2（4，－4），P3（4，－6）， P4（4，2），P5（4，4） 81．（浙江模拟）已知在直角坐标系中，A（0，2）、F（－3，0），D（t，0）为 x 轴上一动点，过点 F 作直 线 AD 的垂线 FB，交 y 轴于 B． （1）设△BOF 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式； （2）有定点 C（2，5 2 ），在点 D 运动的过程中，如果以 A、B、C、 D 为顶点的四边形是梯形，求点 D 的坐标． O x y F D A B C O x y C B M A N P 图 5 E (D) O y C B M A N P 图 4 E (D) x G F H O x y C B MA N P 图 8 D E O x y C B D A N P 图 6 E (M) O x y C B M A N P 图 7 E D 解：（1）①当 t＜0 时，如图 1 易证△BOF∽△DOA，得 OB OF ＝ OD OA ∴ OB 3 ＝ －t 2 ，∴OB＝－ 3 2 t ∴S＝ 1 2 OF·OB＝ 1 2 ×3×(－ 3 2 t)＝－ 9 4 t ②当 t＞0 时，如图 2 易证△BOF∽△DOA，得 OB OF ＝ OD OA ∴ OB 3 ＝ t 2 ，∴OB＝ 3 2 t ∴S＝ 1 2 OF·OB＝ 1 2 ×3× 3 2 t＝ 9 4 t （2）①若 CD 为底，如图 3 则 CD∥AB，∴D（2，0） ②若 CD 为腰，如图 4、图 5 则 BC∥AD 设 D（m，0），则 OD＝|m| 易证△BOF∽△DOA，∴ OB OD ＝ OF OA 即 OB |m| ＝ 3 2 ，∴OB＝ 3 2 |m| 当 m＞0 时，则 3 2 m－ 5 2 2 ＝ 2 m 解得 m＝ 8 3 ，∴D（ 8 3 ，0） 当 m＜0 时，则 － 3 2 m＋ 5 2 2 ＝ 2 －m 解得 m＝－1，∴D（－1，0） 82．（浙江模拟）在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为正方形，点 B 坐标为（4，4），点 P 坐标为（3，3）．将 三角板的直角顶点与 P 重合，一条直角边与 x 轴交于点 E，另一条直角边与 y 轴交于点 F，将三角板绕点 P 旋转． （1）如图 1，当△POE 为等腰三角形时，求点 F 的坐标； （2）如图 2，设 E（t，0），PF、PE 与正方形 OABC 所夹面积（阴影面积）为 S，直接写出 S 关于 t 的函 数关系式及自变量 t 的取值范围． B P C F y B P C F y O x y F D A B图 1 O x y F D A B 图 2 O x y F D A B C 图 5 O x y F D A B C 图 4 O x y F D A B C 图 3 解：（1）①若 OE＝OP，如图 1－1 过点 P 分别作 PM⊥x 轴于 M，PN⊥y 轴于 N 易证△PFN≌△PEM，∴FN＝EM＝3＋3 2 ∴F（0，6＋3 2） ②若 OE＝PE，如图 1－2 易知四边形 OEPF 为正方形 ∴F（0，3） ③若 OP＝OE，如图 1－3 过点 P 分别作 PM⊥x 轴于 M，PN⊥y 轴于 N 易证△PFN≌△PEM，∴FN＝EM＝3 2－3 ∴FO＝3－(3 2－3)＝6－3 2 ∴F（0，6－3 2） ④若 PO＝PE，如图 1－4 易知△POE 为等腰直角三角形，∠OPE＝90° 此时点 F 与原点 O 重合 ∴F（0，0） （2） S＝ 21－3t 3－t （t＜0） 3t2＋6t－42 2t－6 （0≤t＜2） 9（2≤t≤4） 3t2－42t＋102 6－2t （4＜t ≤6） 3t＋3 t－3 （t＞6） AO B P C F E x y 图 1－1 M N AO B P C F E x y 图 2－1 B P C y AO B P C F E x y 图 2－2 AO B P C F E x y 图 1－2 AO B P C F E x y 图 1－4 (F)AO B P C F E x y 图 1－3 M N 83．（安徽某校自主招生）已知射线 AM、BN 都垂直于线段 AB，C 是射线 BN 上的一个动点． （1）如图 1，过点 B 作 BF⊥AC，垂足为 F，交射线 AM 于 E，过点 C 作 CD⊥AM，垂足为 D，连接 DF．若 △CDF 是以 CD 为腰的等腰三角形，求 AE AD 求值； （2）如图 2，过点 C 作 CD⊥AC 且 CD＝ 1 2 AC（点 A、C、D 按逆时针方向排列），作 CE⊥BN 交 AD 于 E．若 AB＝3，是否存在点 C，使△ACE 为等腰三角形？若存在，请求出此时 BC 的长度；若不存在，请说明理 由． 解：（1）①若 DC＝DF，过点 D 作 DG⊥AC 于 G，则 CG＝FG ∵AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN ∵CD⊥AM，∴AB∥CD ∴∠ABF＝∠CDG 易知四边形 ABCD 是矩形，AB＝CD 又∠AFB＝∠CGD＝90°，∴△ABF≌△CDG ∴AF＝CG，∴AF＝FG ∵BF⊥AC，DG⊥AC，∴EF∥DG ∴AE＝ED，∴ AE AD ＝ 1 2 ②若 CD＝CF，设 AF＝a，CF＝b ∵AM∥BN，∴△AEF∽△CBF ∴ AE BC ＝ AF CF ＝ a b 在 Rt△ABC 中，BF⊥AC，∴△ABF∽△ACB ∴ AB AF ＝ AC AB ，∴AB 2＝AF·AC＝a(a＋b) 又 AB＝CD＝CF＝b ∴b2＝a(a＋b)，即 a2＋ab－b2＝0，∴( a b )2＋( a b )－1＝0 解得 a b ＝ 5－1 2 （负值舍去） AO B P C F E x y 图 2－4 AO B P C F E x y 图 2－3 A B C M N F M 图 1 E M D M A B C D M E M M N 图 2 A B C D M E M M N F M G M A B C M N F M E M D M ∴ AE AD ＝ a b ＝ 5－1 2 （2）设 BC＝t ①当 AE＝EC 时，则∠CAE＝∠ACE ∵EC∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BAC＝∠CAE 又∵∠ABC＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD ∴ BC AB ＝ CD AC ＝ 1 2 ，∴t＝BC＝ 1 2 AB＝ 3 2 ②当 AE＝AC 时，设 EC 交 AM 于 G，过 D 作 DF⊥BN 于 F，交 AM 于 H 由△ABC∽△CFD，得 CF＝ 1 2 AB＝ 3 2 ，DF＝ 1 2 BC＝ 1 2 t AH＝t＋ 3 2 ，DH＝ 1 2 t－3 ∵AE＝AC，AG⊥EC，∴EG＝CG＝3 易得△AEG∽△ADH，∴ EG DH ＝ AG AH ∴ 3 1 2 t－3 ＝ t t＋ 3 2 ，解得 t＝6＋3 5（舍去负值） ③当 DF＝AB，即 1 2 t＝3，t＝6 时，AD∥BN，∠AEC 是直角 当 0≤t＜6 时，∠AEC 是钝角，△ACE 是钝角三角形，故 EC≠AC 当 t≥6 时，EC≤DF＜DC＜AC ∴不存在 EC＝AC 的情况 综上所述，当 t＝ 3 2 或 6＋3 5 时，△ACE 为等腰三角形 84．（陕西某校自主招生）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，扇形 AEF 的半径为 3，矩形 PQCR 的顶点 P 在弧 EF 上，相邻两边 CQ、CR 在正方形的 BC、CD 边上，若矩形 PQCR 的面积为 S，求 S 的取值范围． 解：设 PQ＝a，PR＝b，则 S＝ab ∵(4－a)2＋(4－b)2＝32，∴a2＋b2－8(a＋b)＋23＝0 ∴(a＋b)2－2ab－8(a＋b)＋23＝0 ∴S＝ab＝ 1 2 [(a＋b)2－8(a＋b)＋23]＝ 1 2 [(a＋b)－4]2＋ 7 2 当 a＋b＝4 时，S 取得最小值 7 2 ∵a＋b≥2 ab，∴ab≤1 4 (a＋b)2，当且仅当 a＝b 时等号成立 此时点 P 在对角线 AC 上，a＝b＝ 2 2 (4 2－3) A B C D M E M M N A B C D M E M M NF M G M H M DA B C E F P Q R DA B C E F P Q R ∴S＝ab≤ 1 4 [ 2(4 2－3)]2＝41 2 －12 2，即 S 的最大值为 41 2 －12 2 ∴ 7 2 ≤S≤41 2 －12 2 85．（黑龙江绥化）已知，点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点 P 为 EC 上的一动点，且 PQ⊥BC 于点 Q，PR⊥BC 于点 R． （1）如图（甲），当点 P 为线段 EC 中点时，易证：PR＋PQ＝12 5 ； （2）如图（乙），当点 P 为线段 EC 上任意一点（不与点 E、点 C 重合）时，其它条件不变，则（1）中 的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图（丙），当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则 PR 与 PQ 之间又具有怎 样的数量关系？请直接写出你的猜想． 解：（2）（1）中的结论仍然成立 证明：如图（乙），连接 BP，过 C 点作 CK⊥BD 于点 K ∵四边形 ABCD 为矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD＝5 ∵S△BCD ＝ 1 2 BC·CD＝ 1 2 BD·CK ∴3×4＝5CK，∴CK＝12 5 方法一：∵S△BCE ＝S△BEP ＋ S△BCP ∴ 1 2 BE·CK＝ 1 2 PR·BE＋ 1 2 PQ·BC 又∵BE＝BC，∴ 1 2 CK＝ 1 2 PR＋ 1 2 PQ，∴CK＝PR＋PQ 又∵CK＝12 5 ，∴PR＋PQ＝12 5 方法二：如图（甲），过 P 点作 PM⊥CK 于 M ∴四边形 PRKM 为矩形，∴PR＝KM，PM∥RK ∴∠BEC＝∠MPC ∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠ECB＝∠MPC 又∵∠PMC＝∠CQP＝90°，PC＝PC ∴△PMC≌△PQC，∴MC＝PQ ∴CK＝KM＋MC＝PR＋PQ＝12 5 （3）PR－PQ＝12 5 A B D R C E P Q 图（乙） A B D R C E P Q 图（甲） A B D R C E P Q 图（丙） A B D R C E P Q 图（甲） M K A B D R C E P Q 图（乙） K 86．（四川某校自主招生）如图，分别以△ABC 的边 AB、AC 为直角边，向外作等腰 Rt△ABD 和等腰 Rt △ACE，以 BC 为边向外作正方形 BCFG，BH 平分∠ABD 交 AD 于 H，CI 平分∠ACE 交 AE 于 I，连接 HF、 IG 交于 K． 求证：（1）HF＝IG；（2）∠HKI＝45°． 证明：（1）作正方形 BCFG 的外接圆，取劣弧 FG 的中点 M，连接 AM、BM、CM、BF、CG 则∠BMF＝90°，∠MBF＝ 1 2 ∠GBF＝ 1 2 ×45°＝22.5° 又∠ABH＝22.5°，∴∠ABH＝∠MBF ∴Rt△ABH∽Rt△MBF，∴ BA BH ＝ BM BF ∵∠MBF＝∠ABH，∴∠ABM＝∠HBF ∴△ABM∽△HBF，∴AM HF ＝ BA BH ＝cos22.5° 同理可证△ACM∽△ICG，∴ AM IG ＝ CA CI ＝cos22.5° ∴ AM HF ＝ AM IG ，∴HF＝IG （2）由（1）知，△ABM∽△HBF，△ACM∽△ICG ∴∠AMB＝∠HFB，∠AMC＝∠IGC ∵∠AMB＋∠AMC＝∠BMC，∴∠HFB＋∠IGC＝∠BMC ∴点 K 在圆上，∴∠FKG＝∠FBG＝45° ∴∠HKI＝45° 87．（重庆）已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中点，DF 与对角线 AC 交于点 M，过 M 作 ME⊥CD 于点 E，∠1＝∠2． （1）若 CE＝1，求 BC 的长； （2）求证：AM＝DF＋ME． （1）解：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴BC＝CD，∴∠1＝∠DAC＝∠DCA＝∠ACB ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCA ∴DM＝CM 1 2 B E A C D MF A B G C K E F D H I A B G C K E F D H I M 又∵ME⊥CD，CE＝1，∴CD＝2CE＝2 ∴BC＝CD＝2 （2）证明：延长 AB 和 DF 相交于点 G， ∵F 为 BC 的中点，∴BC＝2CF＝2BF ∵CD＝2CE，BC＝CD，∴CE＝CF 在菱形 ABCD 中，AC 平分∠BCD， 又∵∠ECM＝∠FCM，CM＝CM，∴△CEM≌△CFM ∴ME＝MF ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB∥CD，∴∠2＝∠G 又∵∠DFC＝∠GFB，CF＝BF，∴△DCF≌△GBF ∴DF＝GF ∵∠2＝∠G，∠1＝∠2，∴∠1＝∠G ∴AM＝GM ∵MG＝GF＋MF，DF＝GF，ME＝MF ∴AM＝DF＋ME 88．（江苏模拟） 问题背景 某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片 ABCD（如图 1），将点 B 分别与点 A， A1，A2，…，D 重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各 交点，得到一条曲线． 探索 如图 2，在平面直角坐标系中，矩形纸片 ABCD 的顶点 B 与原点 O 重合，BC 边在 x 轴的正半轴上，AB＝ m，AD＝n（m ≤n）．将纸片折叠，使点 B 落在 AD 边上点 E 处，折痕为 MN，过点 E 作 EG⊥BC，垂足为 G，交直线 MN 于点 F，连接 OF． （1）求证：四边形 OMEF 是菱形； （2）设点 F 坐标为（x，y），求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．（用含 m、n 的式 子表示） 运用 （3）矩形纸片 ABCD 如图 3 所示放置，AB＝8，AD＝12，将纸片折叠，当点 B 与点 D 重合时，折痕与 DC 的延长线交于点 F．试问在这条折叠曲线上是否存在点 P，使△PCF 的面积是△POC 面积的 5 3 ？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （1）证明：∵AB∥EG，∴∠OMF＝∠EFM 由折叠的对称性知∠OMF＝∠EMF，∴∠EFM＝∠EMF ∴EM＝EF 1 2 B E A C D MF G A y D O C E x FM (B) 图 2 NG A y D O C x(B) 图 3 A D B C A1 图 1 A2 B1B2…… …… 由折叠的对称性知 OM＝EM，∴OM＝EF ∵OM∥EF，∴四边形 OMEF 是平行四边形 ∵EM＝EF，∴四边形 OMEF 是菱形 （2）解：∵AB＝m，点 F 坐标为（x，y） ∴点 E 坐标为（x，m） ∵四边形 OMEF 是菱形，∴OF＝EF＝m－y ∴(m－y)2＝x 2＋y 2 ∴y＝－ 1 2m x2＋ m 2 （0≤x≤n） （3）∵AB＝m＝8，∴y＝－ 1 16 x2＋4 当 x＝12 时，y＝－ 1 16 ×122＋4＝－5 ∴F（12，－5），∴CF＝5 设 EC＝x，则 DE＝BE＝12－x 在 Rt△DEC 中，EC 2＋DC 2＝DE 2 ∴x2＋82＝(12－x)2，解得 x＝10 3 ∵△PCF 的面积是△POC 面积的 5 3 ∴ 1 2 ·10 3 ·[(－ 1 16 x2＋4)＋5]＝ 5 3 ·1 2 ·12·(－ 1 16 x2＋4) 解得 x＝±4 3，∵x≤0，∴x＝4 3 ∴P（4 3，1） ∴在这条折叠曲线上存在点 P（4 3，1），使△PCF 的面积是△POC 面积的 5 3 89．（江苏模拟）在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝1.5，DC＝6，点 E 是腰 AB 上一点，且 AE＝ 1 3 AB， ∠EDC＝90°．把△DEC 沿 EC 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处． （1）求证：∠ECF＝30° （2）求 tan∠ABC 的值． （1）证明：延长 DE 交 CB 延长线于点 G ∵AD∥BC，∴△AED∽△BEG ∵AE＝ 1 3 AB，∴ DE EG ＝ AE BE ＝ AD BG ＝ 1 2 ∴DE＝ 1 2 EG，BG＝2AD＝3 ∵把△DEC 沿 EC 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处 ∴EF＝DE＝ 1 2 EG，∠EFC＝∠EDC＝90° ∴∠G＝30°，∴∠GEF＝60° ∴∠FEG＝∠DEG＝60°，∴∠ECF＝30° A y D O C x(B) F M N P B A C D F E B A C D FG E （2）解：∵∠G＝∠ECF＝30°，∴EG＝EC ∵EF⊥GC，∴GF＝FC＝DC＝6 ∴BF＝GF－BG＝3，EF＝GF·tan30°＝2 3 ∴tan∠ABC＝ EF BF ＝2 3 3 90．（江苏模拟）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝4AD＝4 2，∠B＝45°．直角三角板含 45° 角的顶点 E 在边 BC 上移动（不与点 C 重合），一直角边始终经过点 A，斜边与 CD 交于点 F． （1）当△ABE 为等腰三角形时，求 CF 的长； （2）在点 E 移动过程中，求△ADF 外接圆半径的最小值． 解：（1）∵BC＝4AD＝4 2，∴AD＝ 2 ∵等腰梯形 ABCD，∠B＝45°，∴AB＝ 2× 1 2 (BC－AD)＝ 2 × 1 2 (4 2－ 2)＝3 ∵∠B＝45°，∴∠BAE＋∠AEB＝135° ∵∠AEF＝45°，∴∠CEF＋∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠CEF，又∠B＝∠C ∴△BAE∽△CEF，∴ BE CF ＝ AB EC ∴CF＝ EC AB ·BE＝ BC－BE AB ·BE＝ 4 2－BE 3 ·BE （1） 若 AE＝BE，则∠AEB＝90°，BE＝ 2 2 AB＝3 2 2 ，代入（1）得 CF＝ 5 2 若 AB＝AE，则∠BAE＝90°，BE＝ 2AB＝3 2，代入（1）得 CF＝2 若 AB＝BE，则 BE＝3，代入（1）得 CF＝4 2－3 （2）设△ADF 外接圆的圆心为 O ∵∠ADF＝135°，∴∠AOF＝90°，∴AF＝ 2r 当 AF 最小时，r 也最小；又当 CF 最大时，AF 最小 由（1）知 CF＝ 4 2－BE 3 ·BE＝－ 1 3 BE 2＋ 4 2 3 BE＝－ 1 3 (BE－2 2)2＋ 8 3 当 BE＝2 2 即 E 为 BC 中点时，CF 最大，为 8 3 此时 DF＝3－ 8 3 ＝ 1 3 作 FG⊥AD 于 G，则 FG＝DG＝ 2 6 ，AG＝AD＋DG＝ 7 2 6 ∴AF 长的最小值为： AG 2＋FG 2 ＝ 5 3 ∴△ADF 外接圆半径的最小值为 2 2 AF＝ 5 2 6 B C A E F D B C A E F D B C A E F D G O 91．（江苏模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）、C（6，3）、D（0，3），点 P 为线段 CD 上一点，且∠APB＝45°，求点 P 的坐标． 解：延长 CD 至 E，使 ED＝2，作 AF⊥CD 于 F ∵C（6，3），D（0，3），∴CD∥AB，∴∠EPA＝∠PAB ∵A（1，0），∴AF＝EF＝3 ∴△AEF 是等腰直角三角形，∴∠E＝45°＝∠APB ∴△EPA∽△PAB，∴ EP PA ＝ PA AB ，即 PA 2＝AB·EP ∵A（1，0），B（5，0），∴AB＝4 设 DP＝x，则 EP＝2＋x，PA 2＝(x－1)2＋32 ∴(x－1)2＋32＝4(2＋x)，解得 x1＝3－ 7，x2＝3＋ 7 ∴P1（3－ 7，3），P2（3＋ 7，3） 92．（北京模拟）已知点 P 是正方形 ABCD 边 BC 上的动点，E 是边 AB 上一点，F 是边 CD 上一点，沿 PE 翻折△EBP 得到△EB′P，沿 PF 翻折△FCP 得到△FC′P，取 EF 的中点 O，连接 OB、OC′． （1）如图 1，若点 C′ 恰好落在射线 PB′ 上，取 EF 的中点 O，连接 OB′、OC′．请你探索线段 OB′ 和线段 OC′ 的大小关系，并说明理由； （2）如图 2，若∠BPE＝∠CPF，取 EF 的中点 O，连接 OB′、OC′．试问（1）中的结论还成立吗？请说 明理由； （3）如图 3，若正方形 ABCD 的边长为 4，∠BPE＝60°，当点 C′ 落在射线 PB′ 上时，连接 C′E、B′F．设 BP＝x，四边形 B′FC′E 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． 解：（1）OB′＝OC′ 理由如下： 如图 1，延长 C′O 交 B′E 于点 G ∵∠PB′E＝∠B＝90°，∠PC′F＝∠C＝90° ∴∠EB′C′＝90°，∴∠PC′F＝∠EB′C′ ∴C′F∥B′E，∴∠GEO＝∠C′FO ∵O 为 EF 的中点，∴OE＝OF 又∵∠EOG＝∠FOC′，∴△EOG≌△FOC′ ∴OG＝OC′，即 O 是 Rt△B′C′G 斜边 C′G 的中点 ∴OB′＝OC′ （2）（1）中的结论仍然成立 理由如下： A C xO D B P y A C xO D B P y E F A B D CP F C′E B′ 图 1 O A B D CP F C′E B′ 图 1 O G A D F C′ E B′ O N A B D CP F C′ E B′ 图 2 O A B D CP F C′E B′ 图 3 如图 2，取 PE 的中点 M，PF 的中点 N，连接 B′M、C′N、OM、ON ∵∠PB′E＝90°，M 为 PE 的中点 ∴B′M＝PM＝ 1 2 PE，∴∠B′PE＝∠PB′M ∴∠B′ME＝2∠B′PE＝2∠BPE ∵M 为 PE 的中点，O 为 EF 的中点 ∴OM∥PF，OM＝ 1 2 PF ∵N 为 PF 的中点，∴PN＝ 1 2 PF ∴OM＝PN，∴四边形 OMPN 为平行四边形 ∴ON＝PM＝B′M，∠OMP＝∠ONP 同理可得 C′N＝PN＝ 1 2 PF，∠C′NF＝2∠C′PF＝2∠CPF ∴OM＝C′N ∵∠BPE＝∠CPF，∴∠B′ME＝∠C′NF ∴∠B′MO＝∠ONC′ 在△B′MO 和△ONC′ 中 B′M＝ON，∠B′MO＝∠ONC′，OM＝C′N ∴△B′MO≌ONC′，∴OB′＝OC′ （3）①当 0＜m ＜2 时，如图 3 ∵BC＝4，BP＝m，∴B′P＝BP＝m，C′P＝CP＝4－m ∴B′C′＝4－m－m＝4－2m ∵∠EPB＝60°，∴∠EPB′＝60° ∴∠FPC＝∠FPC′＝30° ∴B′E＝BE＝ 3m，C′F＝CF＝ 3 3 (4－m) S 四边形 EB′FC′ ＝S△EB′C′ ＋ S△FB′C′ ＝ 1 2 B′C′·B′E＋ 1 2 B′C′·C′F ＝ 1 2 ×(4－2m)× 3m＋ 1 2 ×(4－2m)× 3 3 (4－m) ＝－2 3 3 m2＋ 8 3 3 ②当 2＜m ＜ 4 3 3 时，如图 4 同理可得 B′C′＝m－(4－m)＝2m－4，B′E＝ 3m，C′F＝ 3 3 (4－m) S 四边形 EB′FC′ ＝S△EB′C′ ＋ S△FB′C′ ＝ 1 2 B′C′·B′E＋ 1 2 B′C′·C′F ＝ 1 2 ×(2m－4)× 3m＋ 1 2 ×(4－2m)× 3 3 (2m－4) ＝2 3 3 m2－ 8 3 3 93．（上海模拟）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 是 BC 边上的动点，过点 P 作 PE⊥AC 于点 E， 连接 DE 并延长，交 BC 边于点 F，连接 AP． A B D CP F C′E B′ 图 3 A B D CP FC′ E B′ 图 4 E A D （1）判断∠PAC 与∠CDF 的大小，并证明你的结论； （2）设 BP＝x，PF＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）求线段 PF 长的最大值； （4）当△CEF 为等腰三角形时，求 BP 的长． 解：（1）∵PE⊥AC，∠ACB＝45° ∴△PEC 是等腰直角三角形，∴PC＝ 2EC ∵AC＝ 2DC，∴ AC DC ＝ PC EC ＝ 2 又∵∠ACP＝∠DCE＝45°，∴△ACP∽△DCE ∴∠PAC＝∠CDF （2）∵BP＝x，BC＝2，PF＝y ∴PC＝2－x，PE＝EC＝ 2 2 (2－x)，AE＝2 2－ 2 2 (2－x)＝ 2＋ 2 2 x ∵∠PAC＝∠CDF，∠AEP＝∠DCF＝90° ∴△AEP∽△DCF，∴ AE DC ＝ PE FC ，即 2＋ 2 2 x 2 ＝ 2 2 (2－x) 2－x－y 整理得：x2＋(y－2)x＋2y＝0 ∴y＝2x－x2 x＋2 （3）由 x2＋(y－2)x＋2y＝0，∵x 为实数，∴△＝(y－2)2－8y≥0 解得 0＜y≤6－4 2 即线段 PF 长的最大值为 6－4 2 （4）∵∠CEF＝∠CDF＋∠ACD＝∠CDF＋45°，∠ECF＝45° ∴∠CEF＞∠ECF，∴FC＞FE （i）若 EF＝EC，则∠EFC＝∠ECF＝45° 此时 B、P、F 三点重合，BP＝0 （ii）若 CE＝CF，则 2 2 (2－x)＝2－x－y 即 2 2 (2－x)＝2－x－2x－x2 x＋2 ，解得 x＝2 2－2 即 BP＝4－2 2 综上所述，当△CEF 为等腰三角形时，BP 的长为 0 或 2 2－2 94．（上海模拟）如图，矩形 ABCD 中，AB＝ 2，点 E 是 BC 边上的一个动点，连接 AE，过点 D 作 DF⊥ AE，垂足为点 F． （1）设 BE＝x，∠ADF 的余切值为 y，求 y 关于 x 的函数关系式； （2）若存在点 E，使得△ABE、△ADF 与四边形 CDFE 的面积比是 3 :4 :5，试求矩形 ABCD 的面积； （3）在（2）的条件下，连接 CF，当 BE 的长为多少时，△CDF 是等腰三角形？ A B E C F D A B C D 备用图 解：（1）∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°＝∠B ∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB ∴△DAF∽△AEB，∴∠ADF＝∠EAB ∴y＝cot∠ADF＝cot∠EAB＝ AB BE ＝ 2 x 即 y＝ 2 x （2）∵S△ABE :S△ADF :S 四边形 CDFE ＝3 :4 :5，∴S△ABE ＝ 1 4 S 矩形 ABCD ∴BE＝ 1 2 BC 设 BE＝x，则 BC＝2x ∵△ABE∽△DFA，且 S△ABE :S△ADF ＝3 :4 ∴ AD 2 AE 2 ＝ 4 3 ，∴ 4x 2 x 2＋2 ＝ 4 3 解得 x＝1，∴BC＝2 ∴S 矩形 ABCD＝2 2 （3）①若 CF＝CD，过 C 作 CM⊥DF 于 M，延长 CM 交 AD 于点 G 则 CM∥AE，DM＝MF ∴AG＝GD＝1 ∴CE＝1，∴BE＝1 ②若 DF＝DC，则 DF＝DC＝ 2 ∵DF⊥AE，AD＝2，∴∠DAE＝45° ∴BE＝ 2 ③若 FD＝FC，则 F 为 AE 中点 ∵△ADF∽△EAB，∴ AD AE ＝ AF BE ∴ 2 x2＋2 ＝ 1 2 x2＋2 x ，解得 x1＝2＋ 2（舍去），x2＝2－ 2 ∴当 BE＝1 或 2或 2－ 2时，△CDF 是等腰三角形 95．（上海模拟）已知在梯形 ABCD 中，AB∥DC，且 AB＝4，AD＝BC＝2，∠ABC＝120°．P、Q 分别为 射线 BC 和线段 CD 上的动点，且 CQ＝2BP． （1）如图 1，当点 P 为 BC 的中点时，求证：△CPQ∽△DAQ； （2）如图 2，当点 P 在 BC 的延长线上时，设 BP＝x，△APQ 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并 写出函数的定义域； （3）以点 A 为圆心，AQ 为半径作⊙A，以点 B 为圆心，BP 为半径作⊙B，当⊙A 与⊙B 相切时，求 BP 的长． A D C B Q P 图 2 A D C B Q P 图 1 A D C B 备用图 A B E C F D M G A B E C F D A B E C F D （1）证明：作 AM⊥CD 于 M，作 BN⊥CD 于 N 由题意得∠D＝∠DCB＝60°，AM＝BN，AB＝MN＝4，DM＝CN ∵BC＝2，∴CN＝1，BN＝ 3 ∴DM＝1，AM＝ 3，∴CD＝6 ∵点 P 为 BC 的中点，且 CQ＝2BP ∴BP＝CP＝1，CQ＝2，DA＝2，DQ＝4，∴ CP DA ＝ CQ DQ 又∵∠QCP＝∠D＝60°，∴△CPQ∽△DAQ （2）∵AB∥DC，∴ PC PB ＝ EC AB ∴ x－2 x ＝ EC 4 ，∴EC＝ 4x－8 x ∴QE＝2x－ 4x－8 x ＝ 2x2－4x＋8 x 设 PA 与 DC 相交于 E，作 PH⊥CD 交 DC 的延长线于 H 在 Rt△PCH 中，∴∠PCH＝60°，PC＝x－2，PH＝ 3 2 (x－2) ∵S△APQ ＝S△PQE ＋ S△AQE ∴y＝ 1 2 × 3 2 (x－2)× 2x2－4x＋8 x ＋ 1 2 × 3× 2x2－4x＋8 x ∴y＝ 3 2 (x2－2x＋4)（2＜x≤3） （3）∵DM＝1，DQ＝6－2x，∴QM＝|5－2x| ∴AQ＝ (5－2x)2＋3 当⊙A 与⊙B 外切时，AQ＋BP＝AB ∴ (5－2x)2＋3 ＋x＝4，解得 x1＝x2＝2 当⊙A 与⊙B 内切时，|AQ－BP|＝AB ∴ (5－2x)2＋3 －x＝4 解得 x1＝14－4 10 3 ，x2＝14＋4 10 3 （舍去） ∴当 BP＝2 时，⊙A 与⊙B 外切； 当 BP＝14－4 10 3 时，⊙A 与⊙B 内切 96．（上海模拟）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD＝BC＝6，AD＝3．点 M 为边 BC 的中点， 以 M 为顶点作∠EMF＝∠B，射线 ME 交腰 AB 于点 E，射线 MF 交腰 CD 于点 F，连接 EF． （1）求证：△MEF∽△BEM； （2）若△BEM 是等腰三角形，求 EF 的长； （3）若 EF⊥CD，求 BE 的长． A D C B Q P 图 1 M N A D C B Q P 图 2 HE A D C B Q 图 3 (P)M A D C B Q P 图 4 M A B D C E F M （1）证明：在梯形 ABCD 中，∵AD∥BC，AB＝CD，∴∠B＝∠C ∵∠BMF＝∠EMB＋∠EMF＝∠C＋∠MFC 又∠EMF＝∠B，∴∠EMB＝∠MFC ∴△EMB∽△MFC，∴ EM MF ＝ EB MC ∵BM＝MC，∴ EM MF ＝ EB BM 又∠EMF＝∠B，∴△MEF∽△BEM （2）解：分三种情况： ①若 EB＝EM，则∠EMB＝∠B ∵∠B＝∠C，∴∠EMB＝∠C，∴EM∥DC 延长 BA 和 CD 相交于点 G ∵点 M 为 BC 的中点，∴EM 是△GBC 的中位线 ∴EM＝ 1 2 GC ∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC ∴ GA GB ＝ GD GC ＝ AD BC ＝ 3 6 ＝ 1 2 ∴GB＝2GA，GC＝2GD，∴GA＝AB＝6，GD＝DC＝6 ∴GB＝GC＝12，∴EM＝6 由△MEF∽△BEM，得 EF＝EM＝6 ②若 BM＝EM，则由由△MEF∽△BEM，得 EF＝MF 由（1）△EMB∽△MFC，得 BM EM ＝ CF MF ＝1 ∴MF＝CF，∴∠FMC＝∠C ∵∠B＝∠C，∴∠FMC＝∠B，∴MF∥AB 延长 BA 和 CD 相交于点 G ∵点 M 为 BC 的中点，∴MF 是△GBC 的中位线 ∴MF＝ 1 2 GB＝6，∴EF＝6 ③若 BM＝BE＝3，则点 E 是 AB 的中点 由（1）△EMB∽△MFC，∴ BM BE ＝ CF CM ＝1 ∴CF＝CM＝3，∴EF 是梯形 ABCD 的中位线 ∴EF ＝ 1 2 (AD＋BC)＝ 1 2 (3＋6)＝ 9 2 （3）∵△BEM∽△CMF，△MEF∽△BEM ∴△MEF∽△CMF∽△BEM ∵EF⊥CD，∴∠MFE＝∠MFC＝∠BME 分别过点 E、A 作 BC 的垂线，垂直为 G、H 则 BH＝ 1 2 (BC－AD)＝ 1 2 (6－3)＝ 3 2 cosB＝ BG BE ＝ BH AB ＝ 3 2 6 ＝ 1 4 A B D C F M (E) G A B D C E M (F) G A B D C E M F A B D C E M F G H 设 BE＝x，则 BG＝ 1 4 x，EG＝MG＝ BE 2－BG 2 ＝ 15 4 x ∵BG＋MG＝BM，∴ 1 4 x＋ 15 4 x＝3 解得 x＝ 6 7 ( 15－1)，即 BE 的长为 6 7 ( 15－1) 97．（上海模拟）已知菱形 ABCD 中，BD 为对角线，P、Q 两点分别在 AB、BD 上，且满足∠PCQ＝∠ABD． （1）如图 1，当∠BAD＝90° 时，求证： 2DQ＋BP＝CD； （2）如图 2，当∠BAD＝120° 时，试探究线段 DQ、BP、CD 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图 3，在（2）的条件下，延长 CQ 交 AD 边于点 E，交 BA 延长线于点 M，作∠DCE 的平分线交 AD 边于点 F．若 CQ PM ＝ 5 7 ，EF＝ 35 24 ，求线段 BP 的长． （1）证明：连接 AC 在菱形 ABCD 中，∵∠BAD＝90° ∴四边形 ABCD 为正方形，∴∠PAC＝∠QDC＝45° ∵∠PCQ＝∠ABD，∴∠PCQ＝45° ∴∠ACP＝45°－∠ACQ，又∠DCQ＝45°－∠ACQ ∴∠ACP＝∠DCQ，∴△APC∽△DQC ∴ AP DQ ＝ AC DC ＝ 2，∴AP＝ 2DQ ∵AP＋BP＝AB＝CD，∴ 2DQ＋BP＝CD （2） 3DQ＋BP＝2CD 证明：连接 AC，在 DQ 上取一点 M，连接 CM，使∠MCD＝∠MDC＝30° 则∠QMC＝∠PAC＝60° 过点 M 作 MG⊥CD 于 G，则 CG＝ 1 2 CD，CG＝ 3 2 CM ∴CD＝ 3CM＝ 3DM ∵∠ACP＝∠ACB－∠BCP＝60°－∠BCP ∠MCQ＝∠MCB－∠PCQ－∠BCP＝60°－∠BCP ∴∠ACP＝∠MCQ，∴△APC∽△MQC ∴ AP MQ ＝ AC MC ＝ CD MC ＝ 3，∴MQ＝ 3 3 AP ∵MQ＝DQ－DM＝DQ－ 3 3 CD，AP＝CD－BP ∴ 3 3 (CD－BP)＝DQ－ 3 3 CD A B C D P Q 图 1 B P Q A D C 图 2 A B C D P Q E F M 图 3 A B C D P Q A B C D P Q M G ∴ 3DQ＋BP＝2CD （3）解：在菱形 ABCD 中，∠ABD＝∠BDC＝30° ∵∠PCQ＝∠ABD＝30°，∴∠PCQ＝∠QDC ∵BM∥CD，∴∠PMC＝∠QCD ∴△CQD ∽△MPC，∴ CQ MP ＝ CD MC ＝ 5 7 ，∴ BC MC ＝ 5 7 设 BC＝5k，则 MC＝7k，过点 C 作 CH⊥AB 于 H 则 BH＝ 1 2 BC＝ 5 2 k，CH＝ 3 2 BC＝ 5 2 3k，MH＝ MC 2－CH 2 ＝11 2 k ∴BM＝BH＋MH＝8k，∴AM＝BM－AB＝3k ∵AM∥CD，∴ AM CD ＝ AE DE ＝ AE AD－AE ∴ 3k 5k ＝ AE 5k－AE ，∴AE＝15 8 k 延长 CF、BM 交于点 G，则∠DCF＝∠G ∵FC 平分∠ECD，∴∠MCG＝∠DCF ∴∠MCG＝∠G，∴MG＝MC＝7k，∴AG＝AM＋MG＝10k ∵AG∥CD，∴ AG CD ＝ AF DF ＝ AF AD－AF ∴ 10k 5k ＝ AF 5k－AF ，∴AF＝10 3 k ∴EF＝AF－AE＝ 35 24 k＝ 35 24 ，∴k＝1，∴CD＝5 过点 C 作 CN⊥BD 于 N，则 DN＝ 3 2 CD＝ 5 2 3 ∴BD＝2DN＝5 3 ∵DE∥BC，∴ DE BC ＝ DQ BQ ＝ DQ BD－DQ ∴ 5－ 15 8 5 ＝ DQ 5 3－DQ ，∴DQ＝ 25 13 3 ∴BP＝2CD－ 3DQ＝ 55 13 98．（上海模拟）在□ABCD 中，AB＝15，AC＝20，AB⊥AC．点 P 是射线 BC 上的一个动点，过点 P 作 MP⊥AP，使点 M 与点 B 在直线 AP 的两侧，且∠PAM＝∠CAD，连接 MD． （1）当点 M 在□ABCD 内时，如图 1，设 BP＝x，AP＝y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）请在图 2 中画出符合题意的示意图，并探究：图中是否存在与△AMD 相似的三角形，若存在，请写 出并证明；若不存在，请说明理由； （3）当△AMD 为等腰三角形时，求 BP 的长． A B D CP M 图 1 A B D CP 图 2 A B C D P Q E F M H G N 解：（1）如图 1，作 AH⊥BC 于 H ∵AB＝15，AC＝20，AB⊥AC，∴BC＝ 152＋202 ＝25 ∵cosB＝ BH AB ＝ AB BC ，∴ BH 15 ＝ 15 25 ∴BH＝9，∴AH＝ 152－92 ＝12 ∵∠PAM＝∠CAD，点 M 在□ABCD 内 ∴点 M 在线段 BC 上 BP＝x，∴HP＝x－9 在 Rt△AHP 中，AP＝ 122＋(x－9)2 ＝ x2－18x＋225 y＝ x2－18x＋225 （9＜x ＜25） （2）如图 2 图 2 中存在与△AMD 相似的三角形，△APC∽△AMD- 证明：∵□ABCD，∴AB∥CD ∵AC⊥AB，∴AC⊥CD ∵AP⊥PM，∴∠APM＝∠ACD＝90° 又∠PAM＝∠CAD，∴△APM∽△ACD，∴ AP AC ＝ AM AD ∵∠PAM＝∠CAD，∴∠PAC＝∠MAD ∴△APC∽△AMD （3）∵△APC∽△AMD，∴当△AMD 为等腰三角形时，△APC 也为等腰三角形 情形 1：若 AP＝PC，则∠PAC＝∠ACP ∵AC⊥AB，∴∠BAP＝∠B ∴AP＝BP，即点 P 为 BC 中点，∴BP＝ 25 2 情形 2，若 PC＝AC＝20，则点 P 或在线段 BC 上或在 BC 的延长线上 ①当点 P 在线段 BC 上时，BP＝BC－PC＝25－20＝5 ②当点 P 在 BC 的延长线上时，BP＝BC＋PC＝25＋20＝45 情形 3，若 AP＝AC，则点 P 在 CB 的延长线上，不符合题意 综上，当△AMD 为等腰三角形时，BP 的长为 25 2 或 5 或 45 99．（上海模拟）如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心 O 顺时针旋转α角（0 ≤α≤90），那么旋转时露出的△ABC 的面积（S）随着 AB 的长（x）的变化而变化． （1）下列图象中，能够正确反映 S 与 x 函数关系的图象大致是________； A B C O O x A S O x B S O x C S O x D S A B D CP M H 图 1 A B D CP 图 2 M （2）设正方形的边长为 a，试求 S 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）试确定 S 的变化范围． 解：（1）C （2）如图，连接 OA、OC、OD ∵两块完全重合的正方形纸片，O 是正方形的中心 ∴∠OAC＝∠ODC＝45°，OA＝OD ∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠CDA ∴AC＝CD 同理可证 AB＝BE 设 AC＝y，∵AB＝x，∴BC 2＝x 2＋y 2 又∵BC＝a－x－y，∴x 2＋y 2＝(a－x－y)2 整理得 y＝a 2－2ax 2a－2x ，∴S＝ 1 2 xy＝a 2x－2ax2 4a－4x 即 S＝a 2x－2ax2 4a－4x （0≤x≤ a 2 ） （3）方法一：∵S＝a 2x－2ax2 4a－4x ，∴2ax2－(a 2＋4S)x＋4aS＝0 ∵x 为实数，∴△＝(a 2＋4S)2－4·2a·4aS≥0 即 16S 2－24a 2S＋a 4 ≥0，解得 S≥3＋2 2 4 a 2（舍去）或 S≤3－2 2 4 a 2 ∴S 最大值为 3－2 2 4 a 2 ∴S 的变化范围是：0≤S≤3－2 2 4 a 2 方法二：设 a－x＝t，则 x＝a－t，a－2x＝a－2(a－t)＝2t－a ∴S＝a 2x－2ax2 4a－4x ＝ a 4 · a－2x a－x ·x＝ a 4 · (2t－a)(a－t) t ＝ a 4 · －2t 2＋3at－a 2 t ＝ a 4 (－2t－ a 2 t ＋3a)≤ a 4 (3a－2 2a)＝3－2 2 4 a 2 ∴S 最大值为 3－2 2 4 a 2 ∴S 的变化范围是：0≤S≤3－2 2 4 a 2 100．（上海模拟）已知矩形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 上的点，EG 与 FH 的夹 角为α（0°＜α ≤90°）． （1）如图 1，若 AB＝2，BC＝3，α＝90°，试探究 EG 与 FH 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图 2，若 AB＝BC＝2，FH＝ 5，α＝45°，求 EG 的长； （3）如图 3，若 AB＝2，BC＝3，FH＝ 5，α＝45°，求 EG 的长． （3）如图 4，若 AB＝BC＝2，FH＝ 5，α＝60°，直接写出 EG 的长． A B C O DE A B D G C E F H 图 2 A B D G C E F H 图 1 A B D G C E F H 图 3 A B D G C E F H 图 4 （1） EG FH ＝ 3 2 证明：过 A 作 AM∥HF 交 BC 于 M，过 B 作 BN∥EG 交 CD 于 N 则 AM＝HF，BN＝EG ∵α＝90°，∴EG⊥FH，∴AM⊥BN 可证△ABM∽△BCN，∴ AM BN ＝ AB BC ∴ HF EG ＝ AB BC ＝ 2 3 ，∴ EG FH ＝ 3 2 （2）过 A 作 AM∥HF 交 BC 于 M，AN∥EG 交 CD 于 N 则 AM＝HF＝ 5，AN＝EG ∵AB＝2，∴BM＝ AM 2－AB 2 ＝1，∴MC＝1 将△ADN 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到△ABP ∵α＝45°，∴∠MAN＝45° ∴∠BAM＋∠DAN＝45°，∴∠BAM＋∠BAP＝45° 即∠PAM＝45°，∴∠PAM＝∠MAN 从而△APM≌△ANM，∴PM＝NM 设 DN＝x，则 NC＝2－x，MN＝PM＝x＋1 在 Rt△MNC 中，12＋(2－x)2＝(x＋1)2 解得 x＝ 2 3 ，∴EG＝AN＝ 22＋x2 ＝ 2 3 10 （3）过 A 作 AM∥HF 交 BC 于 M，AN∥EG 交 CD 于 N 则 AM＝HF＝ 5，AN＝EG ∵AB＝2，∴BM＝ AM 2－AB 2 ＝1 ∵α＝45°，∴∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45° 在 BC 上取点 P，使 BP＝AB＝2，过 M 作 MK⊥AP 于 K 则 MP＝1，△ABP 和△KMP 都是等腰直角三角形 ∴AP＝2 2，KP＝ 2 2 ，AK＝2 2－ 2 2 ＝3 2 2 ，∠BAM＋∠KAM＝45° ∴∠DAN＝∠KAM，又∵∠ADN＝∠AKM＝90° ∴△ADN∽△AKM，∴AD AN ＝ AK AM ∴AN＝ AD·AM AK ＝ 3× 5 3 2 2 ＝ 10，∴EG＝AN＝ 10 （4）EG＝ 1 11 (8 15－4 5) 提示：过 A 作 AM∥HF 交 BC 于 M，AN∥EG 交 CD 于 N 则 AM＝HF＝ 5，AN＝EG ∵AB＝2，∴BM＝ AM 2－AB 2 ＝1 ∵α＝60°，∴∠MAN＝60°，∴∠BAM＋∠DAN＝30° 在 BC 上取点 P，使∠BAP＝30°，过 M 作 MK⊥AP 于 K A B D G C E F H 图 1 M N A B D G C E F H 图 3 M N K P A B D G C E F H 图 2 P M N A B D G C E F H 图 4 N M P K 则 BP＝AB·tan30°＝2 3 3 ，AP＝2BP＝4 3 3 ∴MP＝BP－BM＝2 3 3 －1，KP＝MP·cos60°＝ 1 2 (2 3 3 －1)＝ 3 3 － 1 2 ∴AK＝AP－KP＝4 3 3 －( 3 3 － 1 2 )＝ 3＋ 1 2 ∵∠BAM＋∠DAN＝30°，∠BAM＋∠KAM＝30° ∴∠DAN＝∠KAM，又∵∠ADN＝∠AKM＝90° ∴△ADN∽△AKM，∴AD AN ＝ AK AM ∴AN＝ AD·AM AK ＝ 2× 5 3＋ 1 2 ＝ 1 11 (8 15－4 5)，∴EG＝AN＝ 1 11 (8 15－4 5) 101．（上海模拟）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC＝10，AD＝7，sinB＝ 4 5 ，点 E 是 AB 边上 一点，BE＝6．点 P 是 BC 边上的一动点，连接 EP，作∠EPF＝∠B，射线 PF 交 AD 边于点 F，交 CD 延 长线交于点 G． （1）求 BC 的长； （2）设 BP＝x，DF＝y，试求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （3）连接 EF，当△PEF 是等腰三角形时，求 BP 的长． 解：（1）过 A 作 AH⊥BC 于 H 则 AH＝AB·sinB＝10× 4 5 ＝8，∴BH＝ AB 2－AH 2 ＝6 ∵AB＝DC，∴梯形 ABCD 是等腰梯形 ∴BC＝2×6＋7＝19 （2）∵∠EPF＝∠B，∴∠EPB＋∠CPG＝∠EPB＋∠BEP ∴∠BEP＝∠CPG ∵等腰梯形梯形 ABCD，∴∠B＝∠C ∴△BEP∽CPG，∴ BE CP ＝ BP CG ∴ 6 19－x ＝ x CG ，∴CG＝ 1 6 x(19－x) ∵AD∥BC，∴△GDF∽GCP，∴ DF CP ＝ GD GC ∴ y 19－x ＝ 1 6 x(19－x)－10 1 6 x(19－x) A B D C E F G P A B D C E 备用图 A B D C E F G PH ∴y＝19－x－ 60 x 当 D、F、G 三点重合时，y＝0 有 19－x－ 60 x ＝0，即 x2－19x＋60＝0 解得 x1＝4，x2＝15 ∵点 G 在 CD 延长线上，∴4＜x＜15 （3）①若 FE＝FP 作 FM⊥EP 于 M，则 EP＝2MP ∵∠EPF＝∠B，∴ MP FP ＝cos∠EPF＝cosB＝ BH AB ＝ 3 5 ∴ EP FP ＝ 6 5 ，∴FP＝ 5 6 EP ∵△GDF∽GCP，∴ GF GP ＝ DF CP ∴ GP－FP GP ＝ y 19－x ，∴GP＝ FP(19－x) 19－x－y ＝ 5 6 · EP(19－x) 19－x－y ∵△BEP∽CPG，∴ EP GP ＝ BE CP ，∴ EP 5 6 · EP(19－x) 19－x－y ＝ 6 19－x 整理得 x＋y＝14，∴x＋19－x－ 60 x ＝14 解得 x＝12 ②若 PE＝PF 由①知，GP＝ FP(19－x) 19－x－y ＝ EP(19－x) 19－x－y ∵ EP GP ＝ BE CP ，∴ EP EP(19－x) 19－x－y ＝ 6 19－x 整理得 x＋y＝13，∴x＋19－x－ 60 x ＝13 解得 x＝10 ③若 EP＝EF 作 EN⊥PF 于 N，则 PN＝ 3 5 EP，PF＝ 6 5 EP GP＝ FP(19－x) 19－x－y ＝ 6 5 · EP(19－x) 19－x－y ∵ EP GP ＝ BE CP ，∴ EP 6 5 · EP(19－x) 19－x－y ＝ 6 19－x 整理得 x＋y＝ 59 5 ，∴x＋19－x－ 60 x ＝ 59 5 解得 x＝ 25 3 102．（北京模拟）已知△PAB 中，PA＝4，PB＝ 2，以 AB 为边向外作正方形 ABCD，连接 PD． （1）当∠APB＝45°时，求 AB 及 PD 的长； （2）当∠APB 变化，其它条件不变时，求 PD 长度的最大值及此时 cos∠PAB 的值． A B D C E F G P M A B D C E F G P A B D C E F G P N A D 解：（1）过点 A 作 AE⊥PB 于 E ∵Rt△APE 中，∠APE＝45°，PA＝4 ∴AE＝PE＝ 2 2 PA＝2 2 ∵PB＝ 2，∴BE＝PE－PB＝ 2 在 Rt△ABE 中，由勾股定理得： AB＝ AE 2＋BE 2 ＝ (2 2)2＋( 2)2 ＝ 10 将△PAD 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△P'AB，连接 P'P 则 PD＝P'B，PA＝P'A，∠PAD＝∠P'AB ∴∠P'AP＝∠P'AB－∠PAB＝∠PAD－∠PAB＝∠BAD＝90° ∴∠P'PA＝45°，P'P＝ 2PA＝4 2 ∴∠P'PB＝90° ∴PD＝P′B＝ P'P 2＋PB 2 ＝ (4 2)2＋( 2)2 ＝ 34 （2）将△PAD 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△P'AB，PD 的最大值即为 P'B 的最大值 ∵△P'PB 中，P'B＜P'P＋PB，P'P＝ 2AP＝4 2，PB＝ 2 ∴当 P'、P、B 三点共线时，P'B 取得最大值 此时 P′B＝P'P＋PB＝5 2，即 P'B 的最大值为 5 2 ∴PD 长度的最大值为 5 2 ∵∠P'AP＝90°，AP＝AP'，∴∠APP'＝45° 过点 B 作 BF⊥AP 于 F，则△PBF 是等腰直角三角形 ∴BF＝PF＝ 2 2 PB＝1，∴AF＝5 AB＝ AF 2＋BF 2 ＝ 5 2＋1 2 ＝ 26 ∴cos∠PAB＝ AF AB ＝ 5 26 ＝5 26 26 103．（北京模拟）如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，AD＝AO＝2，BC＝BO＝3，∠OAD ＝∠OBC＝α，点 E、F、G 分别是 AB、OC、OD 的中点． A BP D C P' F A B C D P P' A B C D P E P' （1）求 CD AB 的值（用含α的式子表示）； （2）将△BOC 绕点 O 旋转（如图 2），试说明在旋转过程中△EFG 始终与△AOD 相似； （3）在（2）的条件下，求 EF 长度的最大值． （1）解：连接 AG、BF ∵AD＝AO，BC＝BO，∠OAD＝∠OBC＝α F、G 分别是 OC、OD 的中点 ∴AG⊥OD，BF⊥OC，∠AOD＝∠BOC＝90°－ α 2 ∴∠AGB＝∠AFB＝90° ∵E 为 AB 的中点，∴EF＝EG＝ 1 2 AB ∴A、B、F、G 四点在以点 E 为圆心，AB 为直径的圆上 ∴∠FEG＝2∠FAG＝∠OAD＝α ∴△EFG∽△AOD，∴FG EG ＝ OD AD ∵F、G 分别是 OC、OD 的中点，∴FG＝ 1 2 CD 又 EG＝ 1 2 AB，∴ CD AB ＝ FG EG ＝ OD AD 在 Rt△AGD 中， DG AD ＝sin α 2 ∵DO＝2DG，∴ OD AD ＝2sin α 2 ∴ CD AB ＝2sin α 2 （2）证明：设 M、N 分别是 OA、OB 的中点，连接 EM、MG、EN、NF 则 EM＝ 1 2 BO，NF＝ 1 2 BC，MG＝ 1 2 AD，EN＝ 1 2 AO EM∥BO，EN∥AO，MG∥AD，NF∥BC ∴∠EMO＋∠MON＝180°，∠ENO＋∠MON＝180° ∠OMG＝∠OAD，∠ONF＝∠OBC ∴∠EMO＝∠ENO ∵∠OAD＝∠OBC，∴∠OMG＝∠ONF ∴∠EMG＝∠FNE ∵AD＝AO，BC＝BO，∴EM＝FN，MG＝NE DA C E B G F O 图 1 DA C E B G F O 图 2 DA C E B G F O DA C E B G F O M N ∴△EMG≌△FNE，∴EF＝EG ∵∠EMG＝∠EMO＋∠OMG＝180°－∠AOB＋∠OAD ＝180°－∠AOB＋180°－2∠AOD ＝360°－∠AOB－2∠AOD ∠COD＝360°－∠AOB－∠AOD－∠BOC ＝360°－∠AOB－2∠AOD ∴∠EMG＝∠COD ∵ME＝ 1 2 OB，MG＝ 1 2 AD，OC＝2OB·sin α 2 ，OD＝2AD·sin α 2 ∴ ME OC ＝ MG OD ＝ 1 4sin α 2 ∴△EMG∽△COD，∴ EG CD ＝ ME OC ＝ 1 4sin α 2 ∵FG＝ 1 2 CD，∴ EG FG ＝ 2EG CD ＝ 1 2sin α 2 ＝ 1 2DG AD ＝ AD OD 又 EF＝EG，AD＝AO，∴△EFG∽△AOD ∴在旋转过程中△EFG 始终与△AOD 相似 （3）解：由（2）知， EF FG ＝ EG FG ＝ 1 2sin α 2 ∴EF＝ FG 2sin α 2 ＝ 1 2 CD 2sin α 2 ＝ CD 4sin α 2 ∵α为定值，∴当 CD 最大时，EF 最大 显然，当 C、O、D 三点共线时，CD 最大 此时 F、G 在 CD 上，∠AOD＝∠EFG＝∠C ∴AO∥EF∥BC，∴EF 是梯形 ABCO 的中位线 ∴EF＝ 1 2 (AO＋BC)＝ 1 2 (2＋3)＝ 5 2 即 EF 长度的最大值为 5 2 E A D G O F C B