中考数学一模试卷含解析10

中考数学一模试卷含解析10

‎2016年山东省德州市乐陵市中考数学一模试卷 一、选择题：（本题共12小题，每题3分，满分36分）‎ ‎1．﹣2016的倒数是（　　）‎ A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣‎ ‎2．嗨，喜欢上网吗？现在互联网已经成为生活中不可缺少的一部分，假如您在“百度”搜索引擎中输入“乐陵”，能搜索到与之相关的网页约23300000个，将这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．2.33×105 B．2.33×106 C．2.33×107 D．2.33×108‎ ‎3．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列运算正确的是（　　）‎ A． =±3 B．（m2）3=m6 C．a2•a3=a6 D．（x+y）2=x2+y2‎ ‎5．已知一组数据：﹣1，x，0，1，﹣2的平均数是0，那么，这组数据的方差是（　　）‎ A． B．2 C．4 D．10‎ ‎6．已知x=，若x在两个相邻整数之间，则这两个整数是（　　）‎ A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7‎ ‎7．如图，已知a∥b，三角形的直角顶点在直线a上，已知∠1=25°18'27''，则∠2的度数是（　　）‎ A．25°18'27'' B．64° 41'33'' C．74°41'33'' D．64° 41'43''‎ ‎8．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（　　）‎ A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1‎ ‎9．不等式的负整数解有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎10．忽如一夜春风来，千树万树梨花开．在清明假期期间，小梅和小北姐弟二人准备一起去乐陵大孙乡采摘园赏梨花，但因家中临时有事，必须留下一人在家，于是姐弟二人采用游戏的方式来确定谁去赏梨花．游戏规则是：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同．游戏时先由小梅从口袋中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小北从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色．如果姐弟二人摸到的乒乓球颜色相同，则小梅赢，否则小北赢．则小北赢的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，则a的值是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2‎ ‎12．矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图3可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是图中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共5题，每题4分，满分20分）‎ ‎13．分解因式：xy3﹣9xy=　　　　　　．‎ ‎14．如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，则点P到AB间的距离是　　　　　　．‎ ‎15．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，陈刚同学观察得出了下面四条结论：①b2﹣4ac＞0；②c＞1；③2a﹣b＜0；④a+b+c＜0．其中正确的序号有　　　　　　．‎ ‎16．阅读下列材料：设=0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数． =　　　　　　， =　　　　　　．‎ ‎17．两个反比例子函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2016在反比例函数y=图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2016，纵坐标分别是1，3，5，…，共2016个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2016分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2016（x2016，y2016），则y2016=　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分64分）‎ ‎18．先化简：，若其结果等于，试确定x的值．‎ ‎19．父母恩情似海深，人生莫忘父母恩，乐陵市教育局为了了解学生孝敬父母的情况（选项：A．为父母洗一次脚；B．帮父母做一次家务；C．给父母买一件礼物；D．其它），在全市范围内随机抽取了若干名中小学生进行调查，得到如图表（部分信息未给出）：根据以上信息解答下列问题：‎ 学生孝敬父母情况统计表：‎ 选项 频数 频率 A m ‎0.15‎ B ‎60‎ p C n ‎0.4‎ D ‎48‎ ‎0.2‎ ‎（1）这次被调查的学生有多少人？‎ ‎（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．‎ ‎（3）若乐陵市约有64000名中小学生，估计全市全体学生中选择B选项的有多少人？‎ ‎20．现在的乐陵已经实现村村通公路，现有两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．‎ ‎（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）‎ ‎（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=4（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．‎ ‎21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：BE=CE；‎ ‎（2）求∠CBF的度数；‎ ‎（3）若AB=6，求的长．‎ ‎22．你喜欢看3D电影吗？乐陵市某电影院放映了新上映3D电影《圣斗士星矢：圣域传说》，对外销售电影票时，对团体购买电影票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价60元，这样按原定票价需花费5000元购买的票张数，现在只花费了4000元．‎ ‎（1）求每张电影票的原定票价；‎ ‎（2）根据实际情况，电影院活动组织者决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价共降了57元，求平均每次降价的百分率．‎ ‎23．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．‎ ‎（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：‎ ‎①线段DE与AC的位置关系是　　　　　　；‎ ‎②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　　　　　　．‎ ‎（2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．‎ ‎（3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．‎ ‎24．如图1，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B两点，且3a﹣b=﹣1．‎ ‎（1）请求出二次函数y=ax2+bx+c的解析式；‎ ‎（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．‎ ‎①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年山东省德州市乐陵市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本题共12小题，每题3分，满分36分）‎ ‎1．﹣2016的倒数是（　　）‎ A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣‎ ‎【考点】倒数．‎ ‎【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．‎ ‎【解答】解：﹣2016的倒数是﹣．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．嗨，喜欢上网吗？现在互联网已经成为生活中不可缺少的一部分，假如您在“百度”搜索引擎中输入“乐陵”，能搜索到与之相关的网页约23300000个，将这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．2.33×105 B．2.33×106 C．2.33×107 D．2.33×108‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：2330 0000=2.33×107，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．‎ ‎【解答】解：从上边看从上边看第一层是一个小正方形，第二层是第一层正上一个小正方形，右边一个小正方形，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．下列运算正确的是（　　）‎ A． =±3 B．（m2）3=m6 C．a2•a3=a6 D．（x+y）2=x2+y2‎ ‎【考点】幂的乘方与积的乘方；算术平方根；同底数幂的乘法；完全平方公式．‎ ‎【分析】根据算术平方根的性质、完全平方公式以及幂的各种运算法则逐项分析即可．‎ ‎【解答】解：‎ A、=3≠±3，故选项错误；‎ B、（m2）3=m6，故选项正确；‎ C、a2•a3=a5≠a6，故该选项错误；‎ D、（x+y）2=x2+y2+2xy≠x2+y2，故该选项错误，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．已知一组数据：﹣1，x，0，1，﹣2的平均数是0，那么，这组数据的方差是（　　）‎ A． B．2 C．4 D．10‎ ‎【考点】方差；算术平均数．‎ ‎【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为， =（x1+x2+…+xn），则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．‎ ‎【解答】解：∵x=0×5﹣（﹣1）﹣0﹣1﹣（﹣2）=2，‎ ‎∴s2= [（﹣1﹣0）2+（2﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（﹣2﹣0）2]=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．已知x=，若x在两个相邻整数之间，则这两个整数是（　　）‎ A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7‎ ‎【考点】估算无理数的大小．‎ ‎【分析】根据根式的除法法则把原式进行化简，再估算出x的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：x==+=4+，‎ ‎∵4＜6＜16，‎ ‎∴2＜＜4，‎ ‎∴1＜＜2，‎ ‎∴5＜4+＜6，即5＜x＜6．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．如图，已知a∥b，三角形的直角顶点在直线a上，已知∠1=25°18'27''，则∠2的度数是（　　）‎ A．25°18'27'' B．64° 41'33'' C．74°41'33'' D．64° 41'43''‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】先根据余角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵∠1=25°18'27''，‎ ‎∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣25°18'27''=64°41′33″．‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠2=∠3=64°41′33″．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（　　）‎ A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1‎ ‎【考点】菱形的性质．‎ ‎【分析】先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，‎ ‎∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，‎ ‎∵AE=1，AE⊥BC，‎ ‎∴AE=AB，‎ ‎∴∠B=30°，‎ ‎∴∠DAB=150°，‎ ‎∴∠DAB：∠B=5：1；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．不等式的负整数解有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】一元一次不等式的整数解．‎ ‎【分析】先求出不等式组的解集，再求不等式组的整数解．‎ ‎【解答】解：去分母得，x﹣7+2＜3x﹣2，‎ 移项得，﹣2x＜3，‎ 解得x＞﹣．‎ 故负整数解是﹣1，共1个．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．忽如一夜春风来，千树万树梨花开．在清明假期期间，小梅和小北姐弟二人准备一起去乐陵大孙乡采摘园赏梨花，但因家中临时有事，必须留下一人在家，于是姐弟二人采用游戏的方式来确定谁去赏梨花．游戏规则是：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同．游戏时先由小梅从口袋中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小北从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色．如果姐弟二人摸到的乒乓球颜色相同，则小梅赢，否则小北赢．则小北赢的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】利用树状图分别列举出所有可能，根据树状图可得：共有9种情况，乒乓球颜色不相同的情况有4中，进而可得小北赢的概率．‎ ‎【解答】解：如图：‎ 根据树状图可知，‎ P（小北赢）=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，则a的值是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2‎ ‎【考点】根与系数的关系；根的判别式．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣，x1x2=，整理原式即可得出关于a的方程求出即可．‎ ‎【解答】解：依题意△＞0，即（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0，‎ 即a2﹣2a+1＞0，（a﹣1）2＞0，a≠1，‎ ‎∵关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，‎ ‎∴x1﹣x1x2+x2=1﹣a，‎ ‎∴x1+x2﹣x1x2=1﹣a，‎ ‎∴﹣=1﹣a，‎ 解得：a=±1，又a≠1，‎ ‎∴a=﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图3可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是图中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】动点问题的函数图象．‎ ‎【分析】根据题意可以分别求出各段对应的函数解析式，从而可以得到各段对应的函数图象，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 当0≤x≤4时，y=6×8﹣2x•x=﹣2x2﹣48，函数图象是抛物线的一部分，开口向下，‎ 当4＜x≤6时，y=6×8﹣8x=﹣8x+48，函数图象是直线的一部分，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共5题，每题4分，满分20分）‎ ‎13．分解因式：xy3﹣9xy=　xy（y+3）（y﹣3）　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=xy（y2﹣9）=xy（y+3）（y﹣3），‎ 故答案为：xy（y+3）（y﹣3）‎ ‎　‎ ‎14．如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，则点P到AB间的距离是　0.9m　．‎ ‎【考点】相似三角形的应用；中心投影．‎ ‎【分析】根据AB∥CD，易得，△PAB∽△PCD，根据相似三角形对应高之比等于对应边之比，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴△PAB∽△PCD，‎ ‎∴，‎ 假设P到AB距离为x，‎ 则=，‎ x=0.9．‎ 故答案为：0.9m．‎ ‎　‎ ‎15．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，陈刚同学观察得出了下面四条结论：①b2﹣4ac＞0；②c＞1；③2a﹣b＜0；④a+b+c＜0．其中正确的序号有　①③④　．‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ ‎【解答】解：（1）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，‎ 所以△=b2﹣4ac＞0，故本选项正确；‎ ‎（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）上，‎ 所以c=1，故本选项错误；‎ ‎（3）由图示，知 对称轴x=﹣＞﹣1；‎ 又函数图象的开口方向向下，‎ 所以a＜0，‎ 所以﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，故本选项正确；‎ ‎（4）根据图示可知，当x=1，即y=a+b+c＜0，‎ 即a+b+c＜0，故本选项正确；‎ 故答案为：①③④；‎ ‎　‎ ‎16．阅读下列材料：设=0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数． =　　， =　　．‎ ‎【考点】无理数．‎ ‎【分析】根据阅读材料，可以知道，可以设=x，根据10x=7.777…，即可得到关于x的方程，求出x即可；‎ 根据=1+即可求解．‎ ‎【解答】解：设=x=0.777…①，‎ 则10x=7.777…②‎ 则由②﹣①得：9x=7，即x=；‎ 根据已知条件=0.333…=．‎ 可以得到=1+=1+=．‎ 故答案为：；．‎ ‎　‎ ‎17．两个反比例子函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2016在反比例函数y=图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2016，纵坐标分别是1，3，5，…，共2016个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2016分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2016（x2016，y2016），则y2016=　　．‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】根据点Pn的纵坐标可求出其横坐标，根据xn的变化找出变化规律“xn=（n为正整数）”，再结合Qn（xn，yn）在反比例函数y=的图象上，即可得出yn=，由此即可得出结论．‎ ‎【解答】解：观察，发现规律：x1==6，x2==2，x3=，x4=，…，‎ ‎∴xn=（n为正整数），‎ ‎∵点Qn（xn，yn）在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴yn===．‎ 当n=2016时，y2016==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分64分）‎ ‎18．先化简：，若其结果等于，试确定x的值．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】先将除法转化为乘法，再将括号内的部分通分相加，约分即可．‎ ‎【解答】解：原式=••（+）‎ ‎=••‎ ‎=，‎ 当原式=时， =，‎ 解得x=±．‎ ‎　‎ ‎19．父母恩情似海深，人生莫忘父母恩，乐陵市教育局为了了解学生孝敬父母的情况（选项：A．为父母洗一次脚；B．帮父母做一次家务；C．给父母买一件礼物；D．其它），在全市范围内随机抽取了若干名中小学生进行调查，得到如图表（部分信息未给出）：根据以上信息解答下列问题：‎ 学生孝敬父母情况统计表：‎ 选项 频数 频率 A m ‎0.15‎ B ‎60‎ p C n ‎0.4‎ D ‎48‎ ‎0.2‎ ‎（1）这次被调查的学生有多少人？‎ ‎（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．‎ ‎（3）若乐陵市约有64000名中小学生，估计全市全体学生中选择B选项的有多少人？‎ ‎【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．‎ ‎【分析】（1）根据类的频数是48，对应的频率是0.2，据此即可求得调查的总人数；‎ ‎（2）根据频率公式：频率=即可求解；‎ ‎（3）利用总人数乘以对应的频率即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）有图表信息可得，调查的人数=48÷0.2=240（人）；‎ ‎（2）p=60÷240=0.25，n=240×0.4=96，m=240×0.15=36，‎ ‎；‎ ‎（3）64000×0.25=16000，‎ 答：估计全市全体学生中选择B选项的有16000人．‎ ‎　‎ ‎20．现在的乐陵已经实现村村通公路，现有两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．‎ ‎（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）‎ ‎（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=4（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．‎ ‎【分析】（1）依题意找出点C如图所示，‎ ‎（2）先判断出∠CMN=30°，∠CND=45°，再用三角函数得出MD=CD；ND=CD即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图：‎ ‎∴点C就是所求作的点；‎ ‎（2）如下图，作CD⊥MN于点D，‎ 由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，‎ ‎∵在Rt△CMD中， =tan∠CMN，‎ ‎∴MD==CD；‎ ‎∵在Rt△CND中， =tan∠CNM，‎ ‎∴ND==CD；‎ ‎∵MN=2（+1）km，‎ ‎∴MN=MD+DN=CD+CD=4（+1）km，‎ 解得：CD=4km．‎ ‎∴点C到公路ME的距离为4km．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：BE=CE；‎ ‎（2）求∠CBF的度数；‎ ‎（3）若AB=6，求的长．‎ ‎【考点】切线的性质；圆周角定理；弧长的计算．‎ ‎【分析】（1）连接AE，求出AE⊥BC，根据等腰三角形性质求出即可；‎ ‎（2）求出∠ABC，求出∠ABF，即可求出答案；‎ ‎（3）求出∠AOD度数，求出半径，即可求出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AE，‎ ‎∵AB是⊙O直径，‎ ‎∴∠AEB=90°，‎ 即AE⊥BC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BE=CE．‎ ‎（2）解：∵∠BAC=54°，AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=63°，‎ ‎∵BF是⊙O切线，‎ ‎∴∠ABF=90°，‎ ‎∴∠CBF=∠ABF﹣∠ABC=27°．‎ ‎（3）解：连接OD，‎ ‎∵OA=OD，∠BAC=54°，‎ ‎∴∠AOD=72°，‎ ‎∵AB=6，‎ ‎∴OA=3，‎ ‎∴弧AD的长是=．‎ ‎　‎ ‎22．你喜欢看3D电影吗？乐陵市某电影院放映了新上映3D电影《圣斗士星矢：圣域传说》，对外销售电影票时，对团体购买电影票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价60元，这样按原定票价需花费5000元购买的票张数，现在只花费了4000元．‎ ‎（1）求每张电影票的原定票价；‎ ‎（2）根据实际情况，电影院活动组织者决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价共降了57元，求平均每次降价的百分率．‎ ‎【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．‎ ‎【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣60）元，根据“按原定票价需花费5000元购买的票张数，现在只花费了4000元”建立方程，解方程即可；‎ ‎（2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价共降了57元”建立方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣60）元，根据题意列方程得 ‎=，‎ 解得：x=300，‎ 经检验，x=300是原分式方程的根．‎ 答：电影票的价格是300元/张；‎ ‎（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得 ‎300（1﹣y）2=300﹣57，‎ 解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去），‎ 答：平均每次降10%．‎ ‎　‎ ‎23．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．‎ ‎（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：‎ ‎①线段DE与AC的位置关系是　DE∥AC　；‎ ‎②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　S1=S2　．‎ ‎（2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．‎ ‎（3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；‎ ‎②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；‎ ‎（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；‎ ‎（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，‎ ‎∴AC=CD，‎ ‎∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴△ACD是等边三角形，‎ ‎∴∠ACD=60°，‎ 又∵∠CDE=∠BAC=60°，‎ ‎∴∠ACD=∠CDE，‎ ‎∴DE∥AC；‎ ‎②∵∠B=30°，∠C=90°，‎ ‎∴CD=AC=AB，‎ ‎∴BD=AD=AC，‎ 根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，‎ ‎∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），‎ 即S1=S2；‎ 故答案为：DE∥AC；S1=S2；‎ ‎（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，‎ ‎∴BC=CE，AC=CD，‎ ‎∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，‎ ‎∴∠ACN=∠DCM，‎ ‎∵在△ACN和△DCM中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACN≌△DCM（AAS），‎ ‎∴AN=DM，‎ ‎∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），‎ 即S1=S2；‎ ‎（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，‎ 所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，‎ 此时S△DCF1=S△BDE；‎ 过点D作DF2⊥BD，‎ ‎∵∠ABC=60°，F1D∥BE，‎ ‎∴∠F2F1D=∠ABC=60°，‎ ‎∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，‎ ‎∴∠F1DF2=∠ABC=60°，‎ ‎∴△DF1F2是等边三角形，‎ ‎∴DF1=DF2，‎ ‎∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，‎ ‎∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，‎ ‎∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，‎ ‎∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，‎ ‎∴∠CDF1=∠CDF2，‎ ‎∵在△CDF1和△CDF2中，‎ ‎，‎ ‎∴△CDF1≌△CDF2（SAS），‎ ‎∴点F2也是所求的点，‎ ‎∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，‎ ‎∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，‎ 又∵BD=4，‎ ‎∴BE=×4÷cos30°=2÷=，‎ ‎∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，‎ 故BF的长为或．‎ ‎　‎ ‎24．如图1，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B两点，且3a﹣b=﹣1．‎ ‎（1）请求出二次函数y=ax2+bx+c的解析式；‎ ‎（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．‎ ‎①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）根据点A、B的坐标和3a﹣b=1利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；‎ ‎（2）①运动开始t秒时，EB=6﹣t，BF=t，根据三角形的面积公式即可得出S关于t的函数关系式，利用配方法即可得出最值问题；‎ ‎②假设存在，结合①可得出点E、F的坐标，分别以BE、BF、EF为对角线根据平行四边形的性质求出点R的坐标，再由点R在抛物线上利用二次函数图象上的坐标特征确定点R的坐标，此题得解．‎ ‎【解答】解：（1）已知点A（0，6），B（6，6）在抛物线上，且3a﹣b=﹣1，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+6．‎ ‎（2）①运动开始t秒时，EB=6﹣t，BF=t，‎ S=BE•BF=（6﹣t）t=﹣t2+3t=﹣（t﹣3）2+．‎ 当t=3时，S有最大值．‎ ‎②假设存在，当S取得最大值时，由①知t=3，‎ ‎∴点E（3，6），点F（6，3）．‎ 以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图）：‎ ‎（i）以BE为对角线时，‎ ‎∵点B（6，6），点E（3，6），点F（6，3），‎ ‎∴点R（6+3﹣6，6+6﹣3），即（3，9）；‎ ‎（ii）以BF为对角线时，‎ ‎∵点B（6，6），点E（3，6），点F（6，3），‎ ‎∴点R（6+6﹣3，6+3﹣6），即（9，3）；‎ ‎（iii）以EF为对角线时，‎ ‎∵点B（6，6），点E（3，6），点F（6，3），‎ ‎∴点R（6+3﹣6，6+3﹣6），即（3，3）．‎ ‎∵点R在抛物线y=﹣x2+x+6上，‎ ‎∴点R的坐标为（9，3）．‎ 故抛物线上存在点R（9，3），使得四边形EBRF为平行四边形．‎