2020年四川省宜宾市中考数学试卷(含解析）

2020年四川省宜宾市中考数学试卷(含解析）

‎2020年四川省宜宾市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．‎ ‎1．（4分）（2020•宜宾）6的相反数是（　　）‎ A．6 B．﹣6 C．‎1‎‎6‎ D．‎‎-‎‎1‎‎6‎ ‎2．（4分）（2020•宜宾）我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为（　　）‎ A．7100 B．0.71×104 C．71×102 D．7.1×103‎ ‎3．（4分）（2020•宜宾）如图所示，圆柱的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．（4分）（2020•宜宾）下列计算正确的是（　　）‎ A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）2＝﹣4a2 ‎ C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a3•a4＝a12‎ ‎5．（4分）（2020•宜宾）不等式组x-2＜0‎‎-2x-1≤1‎的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ 第24页（共24页）‎ D．‎ ‎6．（4分）（2020•宜宾）7名学生的鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）‎ A．20，21 B．21，22 C．22，22 D．22，23‎ ‎7．（4分）（2020•宜宾）如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝（　　）‎ A．20° B．45° C．65° D．70°‎ ‎8．（4分）（2020•宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（　　）‎ A．‎15000‎x-8‎‎=‎‎12000‎x B．‎15000‎x+8‎‎=‎‎12000‎x ‎ C．‎15000‎x‎=‎‎12000‎x-8‎ D．‎15000‎x‎=‎12000‎x+‎8‎ ‎9．（4分）（2020•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D，且CD＝4，BD＝3，则⊙O的周长是（　　）‎ A．‎25‎‎3‎π B．‎50‎‎3‎π C．‎625‎‎9‎π D．‎625‎‎36‎π ‎10．（4分）（2020•宜宾）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（　　）‎ A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 ‎11．（4分）（2020•宜宾）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条 第24页（共24页）‎ 直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM‎=‎‎1‎‎3‎BE，AN‎=‎‎1‎‎3‎AD，则△CMN的形状是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 ‎ C．等边三角形 D．不等边三角形 ‎12．（4分）（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（　　）‎ ‎①abc＞0；‎ ‎②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；‎ ‎③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；‎ ‎④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．‎ A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④‎ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．‎ ‎13．（4分）（2020•玉林）分解因式：a3﹣a＝　 　．‎ ‎14．（4分）（2020•宜宾）如图，A、B、C是⊙O上的三点，若△OBC是等边三角形，则cos∠A＝　 　．‎ ‎15．（4分）（2020•宜宾）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则x‎2‎x‎1‎‎+‎2x1x2‎+x‎1‎x‎2‎=‎　 　．‎ ‎16．（4分）（2020•宜宾）如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是　 　．‎ 第24页（共24页）‎ ‎17．（4分）（2020•宜宾）定义：分数nm（m，n为正整数且互为质数）的连分数‎1‎a‎1‎‎+‎‎1‎a‎2‎‎+‎‎1‎a‎3‎‎+⋯‎（其中a1，a2，a3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作nm‎△‎‎¯‎‎1‎a‎1‎‎+‎1‎a‎2‎+‎1‎a‎3‎+⋯‎，‎ 例如：‎7‎‎19‎‎=‎1‎‎19‎‎7‎=‎1‎‎2+‎‎5‎‎7‎=‎1‎‎2+‎‎1‎‎7‎‎5‎=‎1‎‎2+‎‎1‎‎1+‎‎2‎‎5‎=‎1‎‎2+‎‎1‎‎1+‎‎1‎‎5‎‎2‎=‎‎1‎‎2+‎‎1‎‎1+‎‎1‎‎2+‎‎1‎‎2‎，‎7‎‎19‎的连分数为‎1‎‎2+‎‎1‎‎1+‎‎1‎‎2+‎‎1‎‎2‎，记作‎7‎‎19‎‎△‎‎¯‎‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎1‎+‎1‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎，则　 　‎△‎‎¯‎‎1‎‎1‎‎+‎1‎‎2‎+‎‎1‎‎3‎．‎ ‎18．（4分）（2020•宜宾）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连结CD交BE于点O．若AC＝8，BC＝6，则OE的长是　 　．‎ 三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎19．（10分）（2020•宜宾）（1）计算：（‎1‎‎4‎）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020；‎ ‎（2）化简：‎2a‎2‎-2aa‎2‎‎-1‎‎÷‎（1‎-‎‎1‎a+1‎）．‎ ‎20．（10分）（2020•宜宾）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE＝AD，连结CE．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△ECD；‎ ‎（2）若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．‎ 第24页（共24页）‎ ‎21．（10分）（2020•宜宾）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．‎ ‎（1）本次接受调查的学生有　 　名；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？‎ ‎22．（12分）（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30‎3‎米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．‎ ‎（1）求∠CAD的大小；‎ ‎（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．‎ 第24页（共24页）‎ ‎23．（12分）（2020•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y‎=‎mx（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．‎ ‎（1）求一次函数和反比例函数的表达式；‎ ‎（2）求四边形ABOC的面积．‎ ‎24．（12分）（2020•宜宾）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A、B的一点，连结BC并延长至点D，使CD＝BC，连结AD交⊙O于点E，连结BE．‎ ‎（1）求证：△ABD是等腰三角形；‎ ‎（2）连结OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长．‎ ‎25．（12分）（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．‎ 第24页（共24页）‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．‎ 第24页（共24页）‎ ‎2020年四川省宜宾市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．‎ ‎1．（4分）（2020•宜宾）6的相反数是（　　）‎ A．6 B．﹣6 C．‎1‎‎6‎ D．‎‎-‎‎1‎‎6‎ ‎【解答】解：根据相反数的含义，可得 ‎6的相反数是：﹣6．‎ 故选：B．‎ ‎2．（4分）（2020•宜宾）我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为（　　）‎ A．7100 B．0.71×104 C．71×102 D．7.1×103‎ ‎【解答】解：将7100用科学记数法表示为：7.1×103．‎ 故选：D．‎ ‎3．（4分）（2020•宜宾）如图所示，圆柱的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：从正面看，是一个矩形．‎ 故选：B．‎ ‎4．（4分）（2020•宜宾）下列计算正确的是（　　）‎ A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）2＝﹣4a2 ‎ C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a3•a4＝a12‎ ‎【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；‎ 第24页（共24页）‎ B、（﹣2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；‎ C、（a+1）2＝a2+2a+1，原计算正确，故此选项符合题意；‎ D、a3•a4＝a7，原计算错误，故此选项不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎5．（4分）（2020•宜宾）不等式组x-2＜0‎‎-2x-1≤1‎的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【解答】解：不等式组x-2＜0①‎‎-2x-1≤1②‎，‎ 由①得：x＜2，‎ 由②得：x≥﹣1，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2．‎ 表示为：‎ 故选：A．‎ ‎6．（4分）（2020•宜宾）7名学生的鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）‎ A．20，21 B．21，22 C．22，22 D．22，23‎ ‎【解答】解：数据按从小到大的顺序排列为20，21，22，22，22，23，23，所以中位数是22；‎ 数据22出现了3次，出现次数最多，所以众数是22．‎ 故选：C．‎ ‎7．（4分）（2020•宜宾）如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝（　　）‎ 第24页（共24页）‎ A．20° B．45° C．65° D．70°‎ ‎【解答】解：∵M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，‎ ‎∴MN∥BC，‎ ‎∴∠C＝∠ANM＝45°，‎ ‎∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，‎ 故选：D．‎ ‎8．（4分）（2020•宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（　　）‎ A．‎15000‎x-8‎‎=‎‎12000‎x B．‎15000‎x+8‎‎=‎‎12000‎x ‎ C．‎15000‎x‎=‎‎12000‎x-8‎ D．‎15000‎x‎=‎12000‎x+‎8‎ ‎【解答】解：设文学类图书平均每本x元，则科普类图书平均每本（x+8）元，‎ 依题意，得：‎15000‎x+8‎‎=‎‎12000‎x．‎ 故选：B．‎ ‎9．（4分）（2020•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D，且CD＝4，BD＝3，则⊙O的周长是（　　）‎ A．‎25‎‎3‎π B．‎50‎‎3‎π C．‎625‎‎9‎π D．‎625‎‎36‎π ‎【解答】解：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴Rt△ABC∽Rt△CBD，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴ABCB‎=‎BCBD，‎ ‎∵CD＝4，BD＝3，‎ ‎∴BC‎=CD‎2‎‎+BD‎2‎=‎4‎‎2‎‎+3‎‎2‎=‎5‎ ‎∴AB‎5‎‎=‎‎5‎‎3‎，‎ ‎∴AB‎=‎‎25‎‎3‎，‎ ‎∴⊙O的周长是‎25‎‎3‎π，‎ 故选：A．‎ ‎10．（4分）（2020•宜宾）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（　　）‎ A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 ‎【解答】解：设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶（6﹣x）个，‎ 依题意，得：500x+550（6﹣x）≤3100，‎ 解得：x≥4．‎ ‎∵x，（6﹣x）均为非负整数，‎ ‎∴x可以为4，5，6，‎ ‎∴共有3种购买方案．‎ 故选：B．‎ ‎11．（4分）（2020•宜宾）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM‎=‎‎1‎‎3‎BE，AN‎=‎‎1‎‎3‎AD，则△CMN的形状是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 ‎ C．等边三角形 D．不等边三角形 ‎【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴BC＝AC，EC＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，‎ ‎∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，‎ 即∠BCE＝∠ACD，‎ 在△BCE与△ACD中 BC=AC‎∠BCE=∠ACDCE=CD‎，‎ ‎∴△BCE≌△ACD（SAS），‎ ‎∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，‎ ‎∵BM‎=‎‎1‎‎3‎BE，AN‎=‎‎1‎‎3‎AD，‎ ‎∴BM＝AN，‎ 在△MBC与△NAC中 BM=AN‎∠MBC=∠NACBC=AC‎，‎ ‎∴△MBC≌△NAC（SAS），‎ ‎∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，‎ ‎∵∠BCM+∠MCA＝60°，‎ ‎∴∠NCA+∠MCA＝60°，‎ ‎∴∠MCN＝60°，‎ ‎∴△MCN是等边三角形，‎ 故选：C．‎ ‎12．（4分）（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（　　）‎ ‎①abc＞0；‎ ‎②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；‎ ‎③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；‎ ‎④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．‎ A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④‎ ‎【解答】解：依照题意，画出图形如下：‎ 第24页（共24页）‎ ‎∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．‎ ‎∴a＜0，c＞0，对称轴为x‎=-b‎2a=-‎1，‎ ‎∴b＝2a＜0，‎ ‎∴abc＞0，故①正确，‎ ‎∵对称轴为x＝﹣1，‎ ‎∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；‎ ‎∵顶点为（﹣1，n），‎ ‎∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，‎ 联立方程组可得：y=kx+1‎y=ax‎2‎+2ax+a+n，‎ 可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，‎ ‎∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，‎ ‎∵无法判断△是否大于0，‎ ‎∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；‎ 当﹣3≤x≤3时，‎ 当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．‎ ‎13．（4分）（2020•玉林）分解因式：a3﹣a＝　a（a+1）（a﹣1）　．‎ ‎【解答】解：a3﹣a，‎ 第24页（共24页）‎ ‎＝a（a2﹣1），‎ ‎＝a（a+1）（a﹣1）．‎ 故答案为：a（a+1）（a﹣1）．‎ ‎14．（4分）（2020•宜宾）如图，A、B、C是⊙O上的三点，若△OBC是等边三角形，则cos∠A＝　‎3‎‎2‎　．‎ ‎【解答】解：∵△OBC是等边三角形，‎ ‎∴∠BOC＝60°，‎ ‎∴∠A＝30°，‎ ‎∴cos∠A＝cos30°‎=‎‎3‎‎2‎．‎ 故答案为：‎3‎‎2‎．‎ ‎15．（4分）（2020•宜宾）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则x‎2‎x‎1‎‎+‎2x1x2‎+x‎1‎x‎2‎=‎　‎-‎‎37‎‎2‎　．‎ ‎【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，‎ ‎∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，‎ ‎∴x‎2‎x‎1‎‎+‎2x1x2‎‎+‎x‎1‎x‎2‎ ‎＝2x1x2‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎+‎x‎1‎‎2‎x‎1‎x‎2‎ ‎＝2×（﹣8）‎‎+‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-2‎x‎1‎x‎2‎‎-8‎ ‎＝﹣16‎‎+‎‎(-2‎)‎‎2‎-2×(-8)‎‎-8‎ ‎=-‎‎37‎‎2‎‎，‎ 故答案为：‎-‎‎37‎‎2‎．‎ ‎16．（4分）（2020•宜宾）如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是　5‎2‎　．‎ 第24页（共24页）‎ ‎【解答】解：延长CB到C′，使C′B＝CB＝2，连接DC′交AB于P．则DC′就是PC+PD的和的最小值．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠A＝∠PBC′，∠ADP＝∠C′，‎ ‎∴△ADP∽△BC′P，‎ ‎∴AP：BP＝AD：BC′＝3：2，′‎ ‎∴PB‎=‎‎2‎‎3‎AP，‎ ‎∵AP+BP＝AB＝5，‎ ‎∴AP＝5，BP＝2，‎ ‎∴PD‎=AD‎2‎+AP‎2‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎3‎2‎，PC′‎=BP‎2‎+BC‎'‎‎2‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎2‎2‎，‎ ‎∴DC′＝PD+PC′＝3‎2‎‎+‎2‎2‎‎=‎5‎2‎，‎ ‎∴PC+PD的最小值是5‎2‎，‎ 故答案为5‎2‎．‎ ‎17．（4分）（2020•宜宾）定义：分数nm（m，n为正整数且互为质数）的连分数‎1‎a‎1‎‎+‎‎1‎a‎2‎‎+‎‎1‎a‎3‎‎+⋯‎（其中a1，a2，a3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作nm‎△‎‎¯‎‎1‎a‎1‎‎+‎1‎a‎2‎+‎1‎a‎3‎+⋯‎，‎ 第24页（共24页）‎ 例如：‎7‎‎19‎‎=‎1‎‎19‎‎7‎=‎1‎‎2+‎‎5‎‎7‎=‎1‎‎2+‎‎1‎‎7‎‎5‎=‎1‎‎2+‎‎1‎‎1+‎‎2‎‎5‎=‎1‎‎2+‎‎1‎‎1+‎‎1‎‎5‎‎2‎=‎‎1‎‎2+‎‎1‎‎1+‎‎1‎‎2+‎‎1‎‎2‎，‎7‎‎19‎的连分数为‎1‎‎2+‎‎1‎‎1+‎‎1‎‎2+‎‎1‎‎2‎，记作‎7‎‎19‎‎△‎‎¯‎‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎1‎+‎1‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎，则　‎7‎‎10‎　‎△‎‎¯‎‎1‎‎1‎‎+‎1‎‎2‎+‎‎1‎‎3‎．‎ ‎【解答】解：‎1‎‎1‎‎+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎△‎‎¯‎‎1‎‎1+‎‎1‎‎2+‎‎1‎‎3‎=‎1‎‎1+‎‎1‎‎7‎‎3‎=‎1‎‎1+‎‎3‎‎7‎=‎1‎‎10‎‎7‎=‎‎7‎‎10‎．‎ 故答案为：‎7‎‎10‎．‎ ‎18．（4分）（2020•宜宾）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连结CD交BE于点O．若AC＝8，BC＝6，则OE的长是　‎9‎‎5‎‎11‎　．‎ ‎【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：AB＝10，‎ 过A作AF∥BC，交BE延长线于F，‎ ‎∵AF∥BC，‎ ‎∴∠F＝∠CBE，‎ ‎∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE＝∠CBE，‎ ‎∴∠F＝∠ABE，‎ ‎∴AB＝AF＝10，‎ ‎∵AF∥BC，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴△AEF∽△CEB，‎ ‎∴AFBC‎=‎AECE，‎ ‎∴‎10‎‎6‎‎=‎AE‎8-AE，‎ 解得：AE＝5，CE＝8﹣5＝3，‎ 在Rt△ECB中，由勾股定理得：BE‎=‎6‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎3‎5‎，‎ 过D作DM∥AC，交BC于M，交BE于N，‎ ‎∵D为AB的中点，‎ ‎∴M为BC的中点，N为BE的中点，‎ ‎∴DN‎=‎‎1‎‎2‎AE‎=‎1‎‎2‎×5=‎2.5，BN＝NE‎=‎‎1‎‎2‎BE‎=‎‎3‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∵DM∥AC，‎ ‎∴△DNO∽△CEO，‎ ‎∴DNCE‎=‎ONEO，‎ ‎∴‎2.5‎‎3‎‎=‎‎3‎‎5‎‎2‎‎-OEOE，‎ 解得：OE‎=‎‎9‎‎5‎‎11‎，‎ 故答案为：‎9‎‎5‎‎11‎．‎ 三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎19．（10分）（2020•宜宾）（1）计算：（‎1‎‎4‎）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020；‎ ‎（2）化简：‎2a‎2‎-2aa‎2‎‎-1‎‎÷‎（1‎-‎‎1‎a+1‎）．‎ ‎【解答】解：（1）（‎1‎‎4‎）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020‎ ‎＝4﹣1﹣3+1‎ 第24页（共24页）‎ ‎＝1；‎ ‎（2）‎2a‎2‎-2aa‎2‎‎-1‎‎÷‎（1‎-‎‎1‎a+1‎）‎ ‎=‎2a(a-1)‎‎(a+1)(a-1)‎÷‎a+1-1‎a+1‎‎ ‎ ‎=‎‎2aa+1‎‎•a+1‎a ‎ ‎＝2．‎ ‎20．（10分）（2020•宜宾）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE＝AD，连结CE．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△ECD；‎ ‎（2）若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．‎ ‎【解答】证明：（1）∵D是BC中点，‎ ‎∴BD＝CD，‎ 在△ABD与△CED中 BD=CD‎∠ADB=∠CDEAD=ED‎，‎ ‎∴△ABD≌△ECD（SAS）；‎ ‎（2）在△ABC中，D是边BC的中点，‎ ‎∴S△ABD＝S△ADC，‎ ‎∵△ABD≌△ECD，‎ ‎∴S△ABD＝S△ECD，‎ ‎∵S△ABD＝5，‎ ‎∴S△ACE＝S△ACD+S△ECD＝5+5＝10，‎ 答：△ACE的面积为10．‎ 第24页（共24页）‎ ‎21．（10分）（2020•宜宾）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．‎ ‎（1）本次接受调查的学生有　60　名；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？‎ ‎【解答】解：（1）本次接受调查的学生有：9÷15%＝60（名）；‎ 故答案为：60；‎ ‎（2）选择C学习方式的人数有：60﹣9﹣30﹣6＝15（人），‎ 补全统计图如下：‎ 第24页（共24页）‎ ‎（3）根据题意得：‎ ‎1800‎×‎30‎‎60‎=‎900（名），‎ 答：估计有900名学生参与任课教师在线辅导．‎ ‎22．（12分）（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30‎3‎米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．‎ ‎（1）求∠CAD的大小；‎ ‎（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．‎ ‎【解答】解：（1）过A作AE⊥CD于点E，‎ 则AB＝EC＝30米，AE＝BC＝30‎3‎米，‎ 在Rt△AEC中，tan∠CAE‎=CEAE=‎‎3‎‎3‎，‎ 则∠CAE＝30°，‎ 则∠CAD＝30°+45°＝75°；‎ ‎（2）在Rt△AED中，DE＝AE＝30‎3‎米，‎ CD＝CE+ED＝（30+30‎3‎）米．‎ ‎23．（12分）（2020•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y‎=‎mx（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．‎ 第24页（共24页）‎ ‎（1）求一次函数和反比例函数的表达式；‎ ‎（2）求四边形ABOC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）B（﹣1，﹣3）代入y‎=‎mx得，m＝3，‎ ‎∴反比例函数的关系式为y‎=‎‎3‎x；‎ 把A（﹣3，n）代入y‎=‎‎3‎x得，n＝﹣1‎ ‎∴点A（﹣3，﹣1）；‎ 把点A（﹣3，﹣1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b得，‎ ‎-3k+b=-1‎‎-k+b=-3‎‎，‎ 解得：k=-1‎b=-4‎，‎ ‎∴一次函数y＝﹣x﹣4；‎ 答：一次函数的关系式为y＝﹣x﹣4，反比例函数的关系式为y‎=‎‎3‎x；‎ ‎（2）如图，过点B作BM⊥OP，垂足为M，由题意可知，OM＝1，BM＝3，AC＝1，MC＝OC﹣OM＝3﹣1＝2，‎ ‎∴S四边形ABOC＝S△BOM+S梯形ACMB，‎ ‎=‎3‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎‎（1+3）×2，‎ ‎=‎‎11‎‎2‎‎．‎ 第24页（共24页）‎ ‎24．（12分）（2020•宜宾）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A、B的一点，连结BC并延长至点D，使CD＝BC，连结AD交⊙O于点E，连结BE．‎ ‎（1）求证：△ABD是等腰三角形；‎ ‎（2）连结OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ 又∵CD＝BC，‎ ‎∴AB＝AD，‎ ‎∴△ABD是等腰三角形；‎ ‎（2）∵△ABD是等腰三角形，‎ ‎∴∠BAC‎=‎‎1‎‎2‎∠BAD，AB＝AD，BC＝BD，‎ 又∵∠BAC‎=‎‎1‎‎2‎∠BOC，‎ ‎∴∠BOC＝∠BAD，‎ ‎∵BF是⊙O的切线，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴∠FBO＝90°，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB＝90°＝∠BFO，‎ ‎∴△OBF∽△AEB，‎ ‎∴OBAE‎=‎OFAB，‎ ‎∵AB＝4，CF＝1，‎ ‎∴OB＝2，OF＝OC+CF＝3，‎ ‎∴‎2‎AE‎=‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴AE‎=‎‎8‎‎3‎，‎ ‎∴DE＝AD﹣AE‎=‎‎4‎‎3‎．‎ ‎25．（12分）（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，‎ 故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a‎=‎‎1‎‎4‎，‎ 故二次函数表达式为：y‎=‎‎1‎‎4‎x2；‎ ‎（2）将y＝1代入y‎=‎‎1‎‎4‎x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1‎ 第24页（共24页）‎ ‎），‎ 则MN＝4，‎ ‎∵△PMN是等边三角形，‎ ‎∴点P在y轴上且PM＝4，‎ ‎∴PF＝2‎3‎；‎ ‎∵点F（0，1），‎ ‎∴点P的坐标为（0，1+2‎3‎）或（0，1﹣2‎3‎）；‎ ‎（3）假设二次函数的图象上是否存在一点E满足条件，‎ 设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），‎ 故点E在FN的中垂线上．‎ ‎∴点E是FN的中垂线与y‎=‎‎1‎‎4‎x2图象的交点，‎ ‎∴y‎=‎1‎‎4‎×‎12‎=‎‎1‎‎4‎，则点E（1，‎1‎‎4‎），‎ 在Rt△FQE中，EN‎=‎(2-1‎)‎‎2‎+(1-‎‎1‎‎4‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎4‎，‎ 同理EF‎=‎(1-0‎)‎‎2‎+(1-‎‎1‎‎4‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎4‎，‎ 点E到直线y＝﹣1的距离为|‎1‎‎4‎‎-‎（﹣1）|‎=‎‎5‎‎4‎，‎ 故存在点E，使得以点E为圆心半径为‎5‎‎4‎的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．‎ 第24页（共24页）‎