中考数学梯形专题复习

中考数学梯形专题复习

‎2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）梯形 ‎◆考点聚焦 ‎1．了解梯形、直角梯形、等腰梯形的概念．‎ ‎2．掌握等腰梯形的性质和判定，并能进行计算和证明．‎ ‎3．通过作辅助线灵活地解决与梯形有关的问题．‎ ‎4．掌握三角形中位线定理和梯形面积公式，了解梯形中位线定理．‎ ‎◆备考兵法 ‎1．本节内容在考试中主要涉及梯形、等腰梯形、直角梯形的定义、性质和判定，三角形与梯形中位线定理．考查的形式有填空题、选择题、解答题，有时也会出现开放题和探索题．主要以计算和证明为主，图形的变换和运动、面积类问题也容易和梯形挂上钩．‎ ‎2．解答时需要添加一些较明显的辅助线，将梯形问题转化为三角形、矩形或平行四边形来解决，体会转化的思想．‎ ‎◆识记巩固 ‎1．梯形：一组对边______，另一组对边_______的四边形叫梯形．‎ 等腰梯形：两腰_______的梯形叫等腰梯形．‎ 直角梯形：有一个角_________的梯形叫直角梯形．‎ ‎2．等腰梯形的特征：‎ ‎（1）等腰梯形同一底上的两个角_______．‎ ‎（2）等腰梯形的对角线_______．‎ ‎（3）等腰梯形是_______对称图形，其对称轴是_________．‎ ‎3．等腰梯形的判定：‎ ‎（1）_____________的梯形是等腰梯形．（定义）‎ ‎（2）_________________的梯形是等腰梯形．‎ ‎（3）_______________的梯形是等腰梯形．‎ ‎4．三角形和梯形的中位线定理：‎ ‎（1）三角形的中位线________于第三边且等于第三边的_______．‎ ‎（2）梯形的中位线_______于两底且等于两底和的_______．‎ ‎5．梯形的面积：‎ 如图所示，S梯形ABCD=（AB+CD）·DE=________（用L表示中位线，h表示高）．‎ 在该梯形中，面积相等的三角形有：‎ ‎_____________；_____________；_____________．‎ 识记巩固参考答案:‎ ‎1．平行不平行相等直角2．（1）相等（2）相等（3）轴过两底中点的直线3．（1）两腰相等（2）同一底上的两角相等（3）对角线相等4．（1）平行一半（2）平行一半5．ch（1）S=S（2）S=S（3）S=S ‎◆典例解析 例1（2011安徽芜湖，21，8分）如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC,BD平分过点D作，过点C作，垂足分别为E、F，连接EF，求证：为等边三角形.‎ ‎【答案】‎ 证明:因为DC‖AB，，所以.‎ 又因为平分，所以………………2分 因为DC‖AB，所以，所以所以4分 因为，所以F为BD中点，又因为，所以……6分 由，得，所以为等边三角形.………………8分 例2（2011山东泰安，27，10分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC.‎ ‎（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图①），求证：△AOE∽△COF ‎（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G（如图②），求证：四边形EFDG是菱形。‎ ‎【答案】证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD ‎∴EC=BE=BC=AD 又∵AD∥EC ‎∴四边形AECD为平行四边形 ‎∴AE∥DC ‎∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO ‎∴△AOE∽△COF ‎（2）证明：连接DE ‎∵AD∥BE，AD=BE ‎∴四边形ABED是平行四边形 又∠ABE=900‎ ‎∴□ABED是矩形 ‎∴GE=GA=GB=GD=BD=AE ‎∵E、F分别是BC、CD的中点 ‎∴EF、GE是△CBD的两条中位线 ‎∴EF=BD=GD，GE=CD=DF 又GE=GD∴EF=GD=GE=DF 则四边形EFDG是菱形 例3（2008，四川广安）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连结AE并延长AE交BC的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：CF=AD；‎ ‎（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？‎ 解析（1）证明：∵AD∥BC，∴∠F=∠DAE．‎ 又∵∠FEC=∠AED，CE=DE，‎ ‎∴△FEC≌△AED，‎ CF=AD．‎ ‎（2）当BC=6时，点B在线段AF的垂直平分线上．‎ ‎∵BC=6，AD=2，AB=8，‎ ‎∴AB=BC+AD．‎ 又∵CF=AD，BC+CF=BF，‎ ‎∴AB=BF．‎ ‎∴点B在AF的垂直平分线上．‎ 点评在（2）中要证点B在线段AF的垂直平分线上，其实是依据到AF的两端点A，F距离相等的点在AF的垂直平分线上来证的，即只需从证明AB=BF出发倒推即可．‎ 拓展变式1在梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=CD，E是AB的中点，则∠CED=_____度．‎ 答案90‎ 拓展变式2如图，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，则图中阴影部分的面积等于_______．‎ 答案:ab ‎2011年中考真题 一、选择题 ‎1.（2011江苏扬州，7,3分）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等。其中假命题有（）‎ A.1个B.2个C.3个D.4个 ‎【答案】B ‎2.（2011山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC纸片中,∠C=90°,∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为()‎ A.1B‎.2C.3D.4‎ ‎（第12题图）‎ ‎【答案】C ‎3.（2011山东烟台，6,4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（）‎ A.8B‎.9C.10D.12‎ A B C D E F G ‎（第6题图）‎ ‎【答案】B ‎4.（2011浙江台州，7,4分）如图，在梯形ABCCD中，AD∥BC，∠ABC=90º，对角线BD、AC相交于点O。下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是（）‎ A.∠1=∠4B.∠1=∠‎3C.∠2=∠3D.OB2+OC2=BC2‎ ‎【答案】B ‎5.（2011台湾台北，15）图(五)为梯形纸片ABCD，E点在上，且，＝3，＝9，＝8。若以 为折线，将C折至上，使得与交于F点，则长度为何？‎ A．4.5B。‎5C。5.5D．6‎ ‎【答案】B ‎6.（2011山东潍坊，11，3分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°,BC=CD=2AD,E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论不正确的是（）‎ A.CP平分∠BCD B.四边形ABED为平行四边形 C.CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分 D.△ABF为等腰三角形 ‎【答案】C ‎7.（2011山东临沂，12，3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则梯形ABCD的周长是（）‎ A．12B．‎14C．16D．18‎ ‎【答案】C ‎8.（2011四川绵阳11，3）如图，在等腰梯形站ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC,AB=‎8cm,则△COD的面积为 A.B.‎ C.D.‎ ‎【答案】A ‎9.（2011湖北武汉市，7，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是 A．40°．　　B．45°．C．50°．　　　D．60°．‎ 第7题图 A B C D ‎【答案】C ‎10．（2011湖北宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是().‎ A.∠HGF=∠GHEB.∠GHE=∠HEF C.∠HEF=∠EFGD.∠HGF=∠HEF ‎（第12题图）‎ ‎【答案】D ‎11.‎ ‎12.‎ 二、填空题 ‎1.（2011福建福州，13，4分）如图4,直角梯形中,∥,,则度.‎ 图4‎ ‎【答案】‎ ‎2.(2011浙江湖州，14，4)如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9，若AD=1，则BC的长是．‎ ‎【答案】3‎ ‎3.（2011湖南邵阳，16，3分）如图（六）所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=‎‎2cm ‎，则上底DC的长是_______cm。‎ ‎【答案】2.提示：∠CAB=90°-60°=30°，‎ 又∵等腰梯形ABCD中，∠BAD=∠B=60°，‎ ‎∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°。‎ 又∵CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB=30°=∠DAC。‎ ‎∴CD=AD=BC=‎2cm。‎ ‎4.（2011江苏连云港，16，3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎5.（2011江苏宿迁,15,3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BDC的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝‎7cm，BC＝‎8cm，则AB的长度是▲cm．‎ ‎【答案】15‎ ‎6.（2011重庆江津，13，4分）在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线长为5,高为6,则它的面积是___________.‎ ‎【答案】30·‎ ‎7.．(2011江苏南京，10，2分)等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为___________㎝．‎ ‎【答案】6‎ ‎8.（2011山东临沂，19，3分）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，则在第10个这样的图形中，共有个等腰梯形．‎ ‎⑴⑵⑶‎ ‎【答案】100‎ ‎9.（2011湖北襄阳，17，3分）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.‎ 图4‎ ‎【答案】2或 ‎10．（2011江苏盐城，15，3分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD 的形状是▲．‎ ‎【答案】等腰梯形 ‎11.‎ ‎12.‎ 三、解答题 ‎1.（2011安徽芜湖，21，8分）如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC,BD平分过点D作，过点C作，垂足分别为E、F，连接EF，求证：为等边三角形.‎ ‎【答案】‎ 证明:因为DC‖AB，，所以.‎ 又因为平分，所以………………2分 因为DC‖AB，所以，所以所以4分 因为，所以F为BD中点，又因为，所以……6分 由，得，所以为等边三角形.………………8分 ‎2.（2011山东菏泽，17（2），7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．‎ E ‎【答案】解：过点A作AG∥DC，∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形AGCD是平行四边形，‎ ‎∴GC=AD，‎ ‎∴BG=BC－AD=4－1=3，‎ 在Rt△ABG中，‎ AG=，‎ ‎∵EF∥DC∥AG，‎ ‎∴，‎ ‎∴EF=．‎ ‎3.（2011山东泰安，27，10分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC.‎ ‎（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图①），求证：‎ ‎△AOE∽△COF ‎（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G（如图②），求证：四边形EFDG是菱形。‎ ‎【答案】证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD ‎∴EC=BE=BC=AD 又∵AD∥EC ‎∴四边形AECD为平行四边形 ‎∴AE∥DC ‎∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO ‎∴△AOE∽△COF ‎（2）证明：连接DE ‎∵AD∥BE，AD=BE ‎∴四边形ABED是平行四边形 又∠ABE=900‎ ‎∴□ABED是矩形 ‎∴GE=GA=GB=GD=BD=AE ‎∵E、F分别是BC、CD的中点 ‎∴EF、GE是△CBD的两条中位线 ‎∴EF=BD=GD，GE=CD=DF 又GE=GD∴EF=GD=GE=DF 则四边形EFDG是菱形 ‎4.（2011四川南充市，17，6分）如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC,点E,F在BC上，且BE=CF,连接DE,AF.‎ 求证：DE=AF.‎ ‎【答案】证明：∵BE=FC ‎∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE ‎∵四边形ABCD是等腰梯形 ‎∴AB=DC∠B=∠C 在⊿DCE和⊿ABF中，‎ DC=AB ‎∠B=∠C CE=BF ‎∴⊿DCE≌⊿ABF(SAS)‎ ‎∴DE=AF ‎5.（2011四川南充市，21，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。‎ ‎（1）求证：⊿MDC是等边三角形；‎ ‎（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值.‎ ‎【答案】（1）证明：过点D作DP⊥BC,于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q,‎ ‎∵∠C=∠B=600‎ ‎∴CP=BQ=AB,CP+BQ=AB 又∵ADPQ是矩形，AD=PQ,故BC=2AD,‎ 由已知，点M是BC的中点，‎ BM=CM=AD=AB=CD,‎ 即⊿MDC中，CM=CD,∠C=600,故⊿MDC是等边三角形.‎ ‎（2）解：⊿AEF的周长存在最小值，理由如下：‎ 连接AM,由（1）平行四边形ABMD是菱形，⊿MAB,⊿MAD和⊿MC′D′是等边三角形，‎ ‎∠BMA=∠BME+∠AME=600,∠EMF=∠AMF+∠AME=600‎ ‎∴∠BME=∠AMF）‎ 在⊿BME与⊿AMF中，BM=AM,∠EBM=∠FAM=600‎ ‎∴⊿BME≌⊿AMF(ASA)‎ ‎∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB ‎∵∠EMF=∠DMC=600,故⊿EMF是等边三角形，EF=MF.‎ ‎∵MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是.‎ ‎⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,‎ ‎⊿AEF的周长的最小值为2+.‎ ‎6.（2011浙江杭州，22，10)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F．‎ ‎(1)求证：△FOE≌△DOC；‎ ‎(2)求sin∠OEF的值；‎ ‎(3)若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求 的值．‎ ‎【答案】(1)证明：∵E，F分别为线段OA，OB的中点，∴EF∥AB，AB＝2EF，∵AB＝2CD，∴EF＝CD，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠OEF＝∠OCD，∠OFE＝∠ODC，∴△FOE≌△DOC；，‎ ‎(2)在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴，．∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠CAB，∴‎ ‎(3)∵△FOE≌△DOC，∴OE＝OC，∵AE＝OE，AE＝OE＝OC，∴．∵EF∥AB，∴△CEH∽△CAB，∴，∴，∵EF＝CD，∴‎ ‎，同理，∴，∴‎ ‎7.（2011浙江温州，18，8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点．‎ 求证：△ADM≌△BCM.‎ ‎【答案】证明：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∴AD＝BC，∠A＝∠B，‎ ‎∵点M是AB的中点，‎ ‎∴MA＝MB，‎ ‎∴△ADM≌△BCM ‎8.（2011四川重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF．‎ ‎(1)求EG的长；‎ ‎(2)求证：CF＝AB＋AF．‎ ‎【答案】(1)解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，‎ ‎∴CD＝DB＝2，∴CB＝＝2，‎ ‎∵CE⊥AB于E，点G为BC中点，∴EG＝CB＝．‎ ‎(2)证明：证法一：延长BA、CD交于点H，∵BD⊥CD，∴∠CDF＝∠BDH＝90°，‎ ‎∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°，‎ ‎∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH(ASA)，‎ DF＝DH，CF＝BH＝BA＋AH，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°，‎ ‎∠HDA＝∠DCB＝45°，∴∠ADF＝∠HAD，又DF＝DH，DA＝DA，‎ ‎∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH，‎ 又CF＝BH＝BA＋AH，∴CF＝AB＋AF．‎ 证法二：在线段DH上截取CH=CA，连结DH．‎ ‎∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DCF＋∠DFC＝90°．‎ 又∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．‎ 又BD=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD．‎ ‎∴AD=HD，∠ADB=∠HDC．‎ 又AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°．‎ ‎∴∠HDC＝45°．∴∠HDB＝∠BDC－∠HDC＝45°．‎ ‎∴∠ADB＝∠HDB．‎ 又AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF＝HF．‎ ‎∴CF＝CH＋HF=AB＋AF．‎ ‎9.（2011湖南邵阳，19，8分）在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结EF，FG，GH，HE。‎ ‎（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；‎ ‎（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形。（写出你所添加的条件，不要求证明）‎ ‎【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形。证明如下：‎ 连结AC，BD，由E，F，G，H分别是所在边的中点，‎ 知EF∥AC，且EF=AC，GH∥AC，且GH=AC，‎ ‎∴GH∥EF，且GH=EF，四边形EFGH是平行四边形。‎ ‎10．（2011湖南益阳，15，6分）如图6，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，‎ 求证：AC是∠DAB的平分线．‎ 图6‎ D A B C ‎【答案】解：∵，∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴，即是的角平分线.‎ ‎11.（2011湖南益阳，21，12分）图10是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．‎ ‎（1）证明：△ABE≌△CBD；‎ ‎（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；‎ ‎（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；‎ ‎（4）求线段BD的长．‎ E C D A M N 图10‎ B ‎【答案】⑴证明：，‎ ‎ ，．　‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，．　　‎ 在．　‎ ‎⑵答案不唯一．如．‎ 证明：，，‎ ‎．‎ ‎　其相似比为：．‎ ‎⑶由（2）得，．　‎ 同理.‎ ‎．‎ ⑷作，‎ ‎，．‎ ‎，，，‎ ‎．　‎ ‎，， ‎ ‎．‎ ‎12.（2011江苏苏州，23,6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E.‎ ‎（1）求证：△ABD≌△ECB；‎ ‎（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数.‎ ‎【答案】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC.‎ 又∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠CEB.‎ 在△ABD和△ECB中，‎ ‎∴△ABD≌△ECB.‎ ‎（2）解法一：∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠EDC=65°.‎ 又∵CE⊥BD，∴∠CED=90°.‎ ‎∴∠DCE=90°-∠EDC=25°.‎ 解法二：∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠BCD=65°.‎ 又∵∠BEC=90°，∴∠BCE=40°.‎ ‎∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=25°.‎ ‎13.（2011湖北黄石，19，7分）如图（6），在中，AD∥BC，AB＝DC，E是BC的中点，连接AE，DE，求证：AE＝DE ‎【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形 ‎∴∠B＝∠C ‎∵E是BC的中点 ∴BE＝EC 在△ABE的△DCE中 AB＝DC ‎∠B＝∠C BE＝EC ‎∴△ABE≌△DCE ‎∴AE＝DE ‎14.（2011广东茂名，22，8分）如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2．‎ ‎(1)求证：OD＝OE；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3分)‎ ‎(2)求证：四边形ABＥD是等腰梯形；　　　　　　　　　　　　　　　　(3分)‎ ‎(3)若AB＝3DE,△DCE的面积为2,求四边形ABED的面积．　　　　　　(2分)‎ ‎【答案】(1)证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC，∴∠BAD＝∠ABE，‎ 又∵AB＝BA、∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE(ASA)，‎ ‎∴BD＝AE，又∵∠１＝∠２，∴OA＝OB，‎ ‎∴BD－OB＝AE－OA，即：OD＝OE．·‎ ‎(2)证明：由(1)知：OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，‎ ‎∴∠OED＝－∠DOE)，‎ 同理：∠1＝－∠AOB)，‎ 又∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB，‎ ‎∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD与BE不平行，‎ ‎∴四边形ABED是梯形，　又由(1)知∴△ABD≌△BAE，∴AD＝BE ‎∴梯形ABED是等腰梯形．‎ ‎(3)解：由(2)可知：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，‎ ‎∴，即：，‎ ‎∴△ACB的面积＝18，‎ ‎∴四边形ABED的面积＝△ACB的面积－△DCE的面积＝18－2＝16．‎ ‎15.（2011山东东营，19，8分）(本题满分8分)如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=∠C。‎ ‎（1）求证:四边形ABDE是平行四边形；‎ ‎（2）若DC=12，求AD的长。‎ ‎【答案】（1）证明：∵∠ABC=120°，∠C=60°，∴∠ABC+∠BCD=180°‎ ‎∴AB∥DC。即AB∥ED。‎ 又∵∠C=60°，∠E=∠C，∠BDC=30°‎ ‎∴∠E=∠BDC=30°∴AE∥BD所以四边形ABDE是平行四边形 ‎（2）解：由第（1）问，AB∥DC。∴四边形ABCD是梯形。‎ ‎∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°∴∠ADC=∠BCD=60°‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形∴BC=AD ‎∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°∴∠DBC=90°。又已知DC=12‎ ‎∴AD=BC=DC=6‎ ‎16.（2011重庆市潼南,24,10分）如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.‎ ‎⑴求证：AD=AE；‎ ‎⑵若AD=8，DC=4，求AB的长.‎ ‎【答案】解：（1）连接AC-------------------------------1分 ‎∵AB∥CD ‎∴∠ACD=∠BAC ‎∵AB=BC ‎∴∠ACB=∠BAC ‎∴∠ACD=∠ACB--------------------------------2分 ‎∵AD⊥DCAE⊥BC ‎∴∠D=∠AEC=900‎ ‎∵AC=AC--------------------------------3分 ‎∴△ADC≌△AEC-------------------------------4分 ‎∴AD=AE--------------------------------5分 ‎（2）由（1）知：AD=AE，DC=EC 设AB＝x,则BE=x－4，AE=8-----------------------6分 在Rt△ABE中∠AEB=900‎ 由勾股定理得：----------------------8分 解得：x=10‎ ‎∴AB=10----------------------10分 ‎17.（2011山东枣庄，24，10分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当时，求EF的长．‎ F D B A E C 解：（1）过D作DG⊥BC于G．‎ 由已知可得，四边形ABGD为正方形．…………１分 ‎∵DE⊥DC，‎ ‎∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，‎ ‎∴∠ADE=∠GDC．………………………3分 又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，‎ ‎∴△ADE≌△GDC．‎ ‎∴DE=DC，且AE=GC．……………………4分 在△EDF和△CDF中，‎ ‎∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，‎ ‎∴△EDF≌△CDF．‎ ‎∴EF=CF．………………………………………………………………………………6分 F D B A E C G ‎（2）∵tan∠ADE==，‎ ‎∴．………………………………………7分 设，则，BE=6－2=4.‎ 由勾股定理，得　．‎ 解之，得　，即．…………………………………………………10分 梯形 一、选择题 ‎1、（2011重庆市纂江县赶水镇）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．下列结论：①BH=DH；②CH=；③．其中正确的是（）‎ Ａ．①②③B．只有②③C．只有②D．只有③‎ A B C D H N E 答案：B ‎2、（2011年北京四中四模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC和BD相交于点O，则图中的全等三角形共有（） （A）1对（B）2对 ‎（C）3对（D）4对 答案：C ‎3、（2011年如皋市九年级期末考）已知等腰梯形的底角为45°‎ ‎，高为2，上底为2，则其面积为（）‎ A．2B．‎6C．8D．12‎ 答案：．C ‎4、(2011浙江杭州模拟14)下列命题中的真命题是().‎ A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.中心对称图形都是轴对称图形 C.两条对角线相等的梯形是等腰梯形D.等腰梯形是中心对称图形 答案：C ‎5（2011年浙江省杭州市模拟）如图，，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积()‎ A.32B‎.54C.76D.86‎ 答案C ‎6.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，在正三角形中，，，分别是，，上的点，，，，则的面积与的面积之比等于（）‎ A．1∶3 B．2∶‎3 ‎ C．∶2 D．∶3‎ 答案：A ‎（第7题）‎ ‎7．（2011杭州上城区一模）‎ 梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（）‎ A.2.5‎AB B.3AB C.3.5ABD.4AB 答案：B ‎8（2011广东南塘二模）.已知梯形中位线长为‎5cm，面积为‎20cm2，则高是 A、‎2cm　　　　　B、‎4cm　　　　C、‎6cm　　　　　D、‎‎8cm 答案:B ‎9.（2011湖北武汉调考模拟）如图，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=9O°，E、F是BC上两点，若AD=ED，∠ADE=30°，∠FDC=15°，则下列结论：①∠AED=∠DFC;②BE=2CF；③AB-CF=EF;④SOAF:SDEF=AF:EF其中正确的结论是()‎ A．①③B．②④C．①③④D．①②④‎ 答案：C ‎10、（北京四中2011中考模拟14）在课外活动课上，教师让同学们作一个对角线完全垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为‎800平方米 ‎，则对角线所用的竹条至少需（）‎ A、‎40‎cmB、‎40cmC、80cmD、‎80‎cm 答案：B 二、填空题 ‎1、（2011年北京四中五模）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，EF为中位线，若AB＝2b，EF＝a，则阴影部分的面积.‎ 答案：ab ‎2、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)如图，已知梯 形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，‎ AB=，则下底BC的长为__________．‎ 答案：10‎ ‎3、（2011年黄冈中考调研六）已知等腰梯形的中位线的长为，腰的长为，则这个等腰梯形的周长为；‎ 答案18‎ ‎4.（2011灌南县新集中学一模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD＝3，AB＝5，则AC的长为.‎ 答案：‎ ‎5（浙江杭州金山学校2011模拟）（引九年级期末自我评估卷第16题）‎ 如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2‎ 的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P‎1M1N1N2面积为S1，四边形P‎2M2‎N2N3的面积为S2，……，四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，则Sn=▲‎ 答案：‎ A B C D ‎6、（2011深圳市三模）如图有一直角梯形零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为‎10cm，∠D＝120°，则该零件另一腰AB的长是m.‎ 第6题图 答案：5错误！未找到引用源。‎ 三、解答题 ‎1、（2011北京四中模拟6）等腰梯形一底的中点对边的两个端点的距离会相等吗？若相等，请给出证明。若不相等，请说明理由.‎ 答案会相等，画出图形，‎ 写出已知、求证；‎ 无论中点在上底或下底，‎ 均可利用等腰梯形同一 底上的两底角相等和腰 相等加上中点定义，运 用“SAS”完成证明。‎ ‎2、（2011淮北市第二次月考五校联考）如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发，沿CD方向向D点运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.‎ ‎（1）求AD的长；‎ ‎（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；‎ ‎（3）探究在BC边上是否存在点M，使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M并求出BM的长，若不存在，请说明理由。‎ A B C P D Q 答案（1）过点B作AE∥BC交CD于E，∠AED=∠C=∠D=60°∴△ADE为等边三角形∴AD=DE=9-4=5………………4分 ‎(2)过点Q作QF⊥CD于M点，如图，设DQ=CP=x，∠D=60°则PD=9-x，‎ QF=x，S△PDQ=PD×h=-（x-）2+………………7分 又∵0≤x≤5∴当x=时，S△PDQ最大值为………………9分 ‎（3）如图，假设存在满足条件的点M，则PD=DQ，9-x=x,x=P为CD的中点，连结QP，∠D=60°则△PDQ为等边三角形，过点Q作QM∥DC交BC于M，点M即为所求。连结MP，则CP=PD=DQ=CM，∠D=60°则△CPM为等边三角形……12分 ‎∴∠D=∠3=60°∴MP∥QD∴四边形PDQM为平行四边形又PD=PQ∴四边形PDQM为菱形，BM=BC-MC=5-=………………14分 ‎3、(2011浙江杭州模拟14)‎ 如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．‎ ‎（1）当时，求线段的长；‎ ‎（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．‎ ‎（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t的函数关系式及自变量的取值范围；‎ 答案：‎ 解：（1）由Rt△AQM∽Rt△CAD．……………………………………………2分 ‎∴．即，∴．…………………………………1分 ‎（2）或或4．……………………………………………3分 ‎（3）当0＜t＜2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E 由（1）可得．即QM=2t．∴QE=4-2t．………………………2分 ‎∴S△PQC=PC·QE=………………………………………………1分 即 当＞2时，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H.‎ ‎．‎ 由题意得，．‎ ‎∴． ∴．‎ ‎∴． ∴．‎ ‎∴四边形AMQP为矩形．‎ ‎∴PQ∥．CH⊥PQ，HF=AP=6-t ‎∴CH=AD=HF=t-2‎ ‎…………………………………………………………1分 ‎∴S△PQC=PQ·CH=………………………………………1分 即y=‎ 综上所述或y=(2<<6)…………………1分 ‎4.（2011年江苏盐都中考模拟）（本题8分）已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、BF．‎ ‎(1)求证：AB=CF；‎ ‎(2)若将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合,梯形ABCD应满足什么条件,能使四边形ABFC为菱形?并加以证明.‎ ‎（1）证△CEF≌△BEA即可.（4分）‎ ‎（2）当梯形ABCD中∠D=90°时，能使四边形ABFC为菱形，证明略.（4分）‎ ‎5、（2011年北京四中中考模拟18）如图11，在ΔABC中，AC＝15，BC＝18，sinC=，D是AC上一个动点（不运动至点A，C),过D作DE∥BC，交AB于E，过D作DF⊥BC，垂足为F，连结BD，设CD＝x．‎ 图11‎ ‎（1）用含x的代数式分别表示DF和BF；‎ ‎（2）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数关系式；‎ ‎(3）如果△BDF的面积为S1，△BDE的面积为S2，那么x为何值时，S1＝2S2　‎ 解：（1）在Rt△CDF中，sinC＝，CD＝x，‎ ‎　　　　∴DF＝CD•sinC＝x，CF＝‎ ‎∴BF＝18－。‎ ‎（2）∵ED∥BC，∴，‎ ‎∴ED＝‎ ‎∴S＝×DF×（ED＋BF）‎ ‎＝‎ ‎　　　　　（3）由S1＝2S2，得S1＝S ‎　　　　　　∴（18－）•＝‎ ‎　　　　　解这个方程，得：x1＝10，x2＝0（不合题意，舍去）‎ ‎　　　　　所以，当x＝10时，S1＝2S2‎ ‎6．（2011年杭州三月月考）如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD，坝顶AD=‎4m，坝高AE=‎6m，斜坡AB的坡比，∠C=60°，求斜坡AB、CD的长。‎ 答案：‎ 解：∵斜坡AB的坡比，‎ ‎∵AE：BE=，又AE=‎6m∴BE=‎‎12m ‎∴AB=（m）‎ 作DF⊥BC于F，则得矩形AEFD，有DF=AE=‎6m，‎ ‎∵∠C=60°∴CD=DF·sin60°=m 答：斜坡AB、CD的长分别是m，m。‎ ‎7（2011广东南塘二模）梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝4，BC＝8，CD＝。‎ ‎（1）请你在AB边上找出一点P，使它到C、D距离的和最小。‎ ‎（不写作法，不用证明，保留作图痕迹）‎ D A B C ‎（2）求出（1）中PC＋PD的最小值。‎ ‎（第7题）‎ 答案：（1）略 ‎（2）点D关于AB的对称点设为D′，连D′C交AB于P，过D作DF⊥BC于F，求出AB＝DF＝9，由△D′AP∽△CBP，可求得：PA＝3，BP＝6，∴PC＋PD最小值＝10＋5＝15。‎ ‎8．（本题满分8分）（安徽芜湖2011模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD．‎ ‎（1）求sin∠DBC的值；‎ ‎（2）若BC长度为‎4cm，求梯形ABCD的面积．‎ 答案:解：(1)∵AD=AB∴∠ADB=∠ABD ‎∵AD∥CB∴∠DBC=∠ADB=∠ABD……………（1分）‎ ‎∵在梯形ABCD中，AB=CD，∴∠ABD+∠DBC=∠C=2∠DBC ‎∵BD⊥CD∴3∠DBC=90º∴∠DBC=30º……（3分）‎ ‎∴sin∠DBC=……………………（4分）‎ ‎（2）过D作DF⊥BC于F…………………………（5分）‎ 在Rt△CDB中，BD=BC×cos∠DBC=2（cm）…………………‎ ‎（6分）‎ 在Rt△BDF中，DF=BD×sin∠DBC=（cm）…………………（7分）‎ ‎∴S梯=(2+4)·=3（cm2）………………………………………（8分）‎ ‎9.（浙江杭州金山学校2011模拟）（14分）（根据历城市2011年中考第一次模拟考试数学试卷改编）‎ 已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D．E，连结AD、BD、BE。‎ ‎(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形。‎ ‎_____________________，______________________。‎ ‎(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点A．B．D，且B为抛物线的顶点。‎ ①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。‎ ②求抛物线的解析式。‎ ③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。‎ 图2‎ 答案：（1）△OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB……………………………………………4分 ‎（2）①（1，－‎4a）…………………………………………………………1分 ②∵△OAD∽△CDB ‎∴…………………………………………………………1分 ‎∵ax2－2ax－‎3a=0，可得A（3，0）…………………………………2分 又OC=－‎4a，OD=－‎3a，CD=－a，CB=1，‎ ‎∴∴　　∵　　∴‎ 故抛物线的解析式为：………………………………2分 ③存在，设P（x，－x2+2x+3）‎ ‎∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形 ‎∴PN=AN 当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x2+2x+3)，x1=－2，x2=3(舍去)，‎ ‎∴P（－2，－5）………………………………………………………………………2分 当x>0（x>3）时，x－3=－(－x2+2x+3)，x1=0，x2=3(都不合题意舍去)…………1分 符合条件的点P为（－2，－5）………………………‎ ‎10、（北京四中2011中考模拟13）等腰梯形一底的中点对边的两个端点的距离会相等吗？若相等，请给出证明。若不相等，请说明理由。‎ 答案：会相等，画出图形，‎ 写出已知、求证；‎ 无论中点在上底或下底，均可利用等腰梯形 同一底上的两底角相等和腰相等加上中点定 义，运用“SAS”完成证明。‎ ‎11．（2011年杭州市上城区一模）（本小题满分10分）‎ 已知四边形ABCD，E是CD上的一点，连接AE、BE.‎ ‎（1）给出四个条件:①AE平分∠BAD,②BE平分∠ABC,③AE⊥EB,④AB=AD+BC.‎ 请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出AD∥BC的正确命题,并加以证明；‎ ‎(第11题（1）)‎ ‎（2）请你判断命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是否正确,并说明理由.‎ 答案：（1）如:①②④AD∥BC 证明：在AB上取点M,使AM＝AD，连结EM,‎ ‎∵AE平分∠BAD∴∠MAE＝∠DAE 又∵AM＝ADAE＝AE，∴△AEM≌△AED ‎∴∠D=∠AME 又∵AB=AD+BC∴MB=BC，∴△BEM≌△BCE ‎∠C=∠BME 故∠D+∠C＝∠AME+∠BME＝180°∴AD∥BC ‎（2）不正确 作等边三角形ABM AE平分∠BAM,BE平分∠ABM 且AE、BE交于E，连结EM,则EM⊥AB，过E作ED∥AB交 AM于D,交BM与C，则E是CD的中点而AD和BC相交于点M ‎∴命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是不正确的.‎ 第12题 ‎12.（2011年杭州市模拟）（本题6分）如图，在梯形中，∥，，,，，求梯形的面积.‎ 答案：在梯形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∴∠1＝∠2.‎ ‎∵∠ACB＝∠D＝90°.‎ ‎∴∠3＝∠B.‎ ‎∴‎ 在Rt△ACD中，CD＝4，‎ ‎∴‎ ‎∴.在Rt△ACB中，，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎13．（2011年海宁市盐官片一模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．‎ C D A B E F N M ‎（1）求梯形ABCD的面积；‎ ‎（2）求四边形MEFN面积的最大值．‎ ‎（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．‎ 答案：⑴过C作CG⊥AB于G ‎∵AB=7,CD=1∴BG=‎ 由BC=5∴CG==4‎ S=‎ ‎⑵∵MN∥AB,且ME⊥AB,NF⊥AB ‎∴四边形EFNM为矩形 设BF为x，四边形MEFN的面积只为y ‎∵NF∥CG,∴BFN∽BGC 即∴NF=‎ EF7-2x ‎∴y=（7-2x）‎ 当x=时，四边形MEFN的最大值为 ‎⑶当=7-2x时，即x=，MEFN为正方形 此时正方形边长为 正方形面积为 ‎14、（赵州二中九年七班模拟）如图，在梯形中，∥，，若点为线段上任意一点（与、不重合）。问：当点在什么位置时，，请说明理由。‎ 答案：解：当点M是AD的中点时，MB=MC．‎ 理由如下：‎ 如图，连接MB、MC，‎ ‎∵在梯形ABCD中，AB=DC，‎ ‎∴梯形ABCD是等腰梯形，从而∠A=∠D．‎ ‎∵点M是AD的中点，∴MA=MD．‎ 又∵AB=DC，∴△MAB≌△MDC．‎ ‎∴MB=MC．‎ ‎15、（赵州二中九年七班模拟）(7分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝60°，AD＝4，BC＝6，求AB的长。‎ 答案：‎ 解：过点A作AE⊥BD，垂足为E．‎ ‎∵BD⊥DC，∠C＝60°，BC＝6，‎ ‎∴∠1＝30°，．‎ ‎∵AD//BC，∴∠2＝∠1＝30°．‎ ‎∵AE⊥BD，AD＝4，∴，．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 单元测试 一、基础过关训练 ‎1．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD的中点，若AB=AD+BC，BE=，则梯形ABCD的面积为（）‎ A．B．C．D．25‎ ‎2．如图，校园内有一块梯形草枰ABCD，草坪边缘本有道路通过甲，乙，丙三个路口，可是有少数同学为了走捷径，在草坪内走了一条直路EF，假设走1步路的跨度为‎0.5米，结果他们仅仅为了少走_______步路，就踩伤了绿化我们校园的小草．（“路”宽忽略不计）‎ ‎3．在△ABC中，DE是△ABC的中位线，△ADE的面积为‎3cm2，则四边形DBCE的面积为_______cm2．‎ ‎4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．‎ 二、能力提升训练 ‎5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，动点P从D点出发，沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发，沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动，两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．‎ ‎（1）梯形ABCD的面积等于________；‎ ‎（2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于_______秒；‎ ‎（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？‎ 参考答案 基础过关训练 ‎1．A2．43．9‎ ‎4．证明：（1）∵CF平分∠BCD，‎ ‎∴BCF=∠DCF．‎ 在△BFC和△DFC中，‎ ‎∴△BFC≌△DFC．‎ ‎（2）连结BD．‎ ‎∵△BFC≌△DFC，∴BF=DF，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ ‎∵DF∥AB，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．‎ 又∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC，‎ ‎∴∠BDC=∠ADB．‎ 又BD是公共边，∴△BAD≌△BED，∴AD=DE．‎ 能力提升训练 ‎5．解：（1）36（2）‎ ‎（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，有两种情况：‎ ‎①如图1，当PQ⊥BC时，设P点离开D点x秒．‎ 作DE⊥BC于点E，则PQ∥DE，‎ ‎∴，∴，∴x=．‎ 当PQ⊥BC时，P点离开D点点秒．‎ ‎②如图2，当QP⊥CD时，设P点离开D点，作DE⊥BC于点E．‎ ‎∵∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C，‎ ‎∴△QPC∽△DEC，‎ ‎∴，∴，∴x=．‎ ‎∴当①②知，当P，Q，C三点构成直角三角形时点P离开点D秒或秒．‎