中考数学最新最密试题及答案11

中考数学最新最密试题及答案11

‎ 2014年中考数学最新最密试题 第一章 在函数图象中，点的存在性问题 ‎1.1 因动点产生的相似三角形问题 ‎ 例1 2013年上海市中考第24题 例2 2012年苏州市中考第29题 例3 2012年黄冈市中考第25题 例4 2010年义乌市中考第24题 例5 2009年临沂市中考第26题 例6 2008年苏州市中考第29题 ‎1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题 例2 2012年扬州市中考第27题 例3 2012年临沂市中考第26题 例4 2011年湖州市中考第24题 例5 2011年盐城市中考第28题 例6 2010年南通市中考第27题 例7 2009年江西省中考第25题 ‎1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 2013年山西省中考第26题 例2 2012年广州市中考第24题 例3 2012年杭州市中考第22题 例4 2011年浙江省中考第23题 例5 2010年北京市中考第24题 例6 2009年嘉兴市中考第24题 例7 2008年河南省中考第23题 ‎1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题 例2 2012年福州市中考第21题 例3 2012年烟台市中考第26题 例4 2011年上海市中考第24题 例5 2011年江西省中考第24题 例6 2010年山西省中考第26题 例7 2009年江西省中考第24题 ‎1.5 因动点产生的梯形问题 例1 2012年上海市松江中考模拟第24题 例2 2012年衢州市中考第24题 ‎ 例4 2011年义乌市中考第24题 例5 2010年杭州市中考第24题 例7 2009年广州市中考第25题 ‎1.6 因动点产生的面积问题 例1 2013年苏州市中考第29题 例2 2012年菏泽市中考第21题 例3 2012年河南省中考第23题 例4 2011年南通市中考第28题 例5 2010年广州市中考第25题 例6 2010年扬州市中考第28题 例7 2009年兰州市中考第29题 ‎1.7 因动点产生的相切问题 例1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题 例2 2012年河北省中考第25题 ‎ 例3 2012年无锡市中考第28题 ‎1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 2013年天津市中考第25题 例2 2012年滨州市中考第24题 例3 2012年山西省中考第26题 第二章 图形运动中的函数关系问题 ‎2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2013年宁波市中考第26题 例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 例3 2012年连云港市中考第26题 例4 2010年上海市中考第25题 ‎2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 2013年菏泽市中考第21题 例2 2012年广东省中考第22题 ‎ 例3 2012年河北省中考第26题 ‎ 例4 2011年淮安市中考第28题 例5 2011年山西省中考第26题 例6 2011年重庆市中考第26题 第三章 图形运动中的计算说理问题 ‎3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 2013年南京市中考第26题 例2 2013年南昌市中考第25题 ‎3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题 例2 2013年江西省中考第24题 第一章 函数图象中点的存在性问题 ‎1.1 因动点产生的相似三角形问题 ‎ ‎1.6 因动点产生的面积问题 例1 2013年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．‎ ‎（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；‎ ‎（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．‎ ‎①求S的取值范围；‎ ‎②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．‎ 图1 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．‎ 请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．‎ 思路点拨 ‎1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC．‎ ‎2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．‎ ‎3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方．‎ ‎4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．‎ 满分解答 ‎（1）b＝，点B的横坐标为－2c．‎ ‎（2）由，设E．‎ 过点E作EH⊥x轴于H．‎ 由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．‎ 所以．因此．所以．‎ 当C、D、E三点在同一直线上时，．所以．‎ 整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）．‎ 所以抛物线的解析式为．‎ ‎（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．‎ 直线BC的解析式为．‎ 设，那么，．‎ 所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．‎ 因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．‎ 当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．‎ 综上所述，0＜S＜5．‎ ‎②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．‎ 考点伸展 点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．‎ 当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点．‎ 例 2 2012年菏泽市中考第21题 如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．‎ ‎（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．‎ 请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．‎ 思路点拨 ‎1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是 ‎△A′B′O面积的3倍．‎ ‎2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．‎ ‎3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．‎ 满分解答 ‎（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．‎ 因为抛物线与x轴交于A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，‎ 代入B′(0, 2)，得a＝1．‎ 所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2．‎ ‎（2）S△A′B′O＝1．‎ 如果S四边形PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3 S△A′B′O＝3．‎ 如图2，作PD⊥OB，垂足为D．‎ 设点P的坐标为 (x，－x2＋x＋2)．‎ ‎．‎ ‎．‎ 所以．‎ 解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．‎ 所以点P的坐标为(1，2)．‎ 图2 图3 图4‎ ‎（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．‎ 考点伸展 第（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．‎ ‎．‎ ‎．‎ 所以．‎ 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：‎ 作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．‎ 而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．‎ 例 3 2012年河南省中考第23题 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．‎ ‎（1）求a、b及sin∠ACP的值；‎ ‎（2）设点P的横坐标为m．‎ ‎①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；‎ ‎②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．‎ 思路点拨 ‎1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．‎ ‎2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．‎ ‎3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．‎ ‎4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．‎ 满分解答 ‎（1）设直线与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．‎ 在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．‎ 因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．‎ 将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得 解得，．‎ ‎（2）由，，‎ 得．‎ 所以．‎ 所以PD的最大值为．‎ ‎（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，；‎ 当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．‎ 图2‎ 考点伸展 第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．‎ 而，‎ BM＝4－m．‎ ‎①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，．解得．‎ ‎②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．解得．‎ 例 4 2011年南通市中考第28题 如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．‎ ‎（1）求m的值及直线l的解析式；‎ ‎（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；‎ ‎（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．‎ 思路点拨 ‎1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．‎ ‎2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．‎ 满分解答 ‎（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m＝2．设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为．‎ ‎（2）由点(p＞1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．‎ 由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．‎ 由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．‎ 所以△PMB∽△PNA．‎ 图2 图3 图4‎ ‎（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．‎ 当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．‎ ‎①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．‎ ‎②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或 ‎（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．‎ 考点伸展 在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？‎ 情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．‎ 情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．‎ 不存在∠ANM＝90°的情况．‎ 图5 图6‎ 例5 2010年广州市中考第25题 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．‎ ‎（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；‎ ‎（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．‎ 思路点拨 ‎1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．‎ ‎2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．‎ ‎3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．‎ ‎4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．‎ 满分解答 ‎(1)①如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝．‎ ‎②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，点E的坐标为，AE＝，BE＝．此时 S＝S矩形OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD ‎ ‎＝‎ ‎．‎ ‎(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．‎ 作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．‎ 设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重叠部分菱形DMEN的面积为．‎ ‎ ‎ 图2 图3 图4‎ 考点伸展 把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示．‎ ‎ ‎ 图5 图6 图7‎ 例 6 2010年扬州市中考第28题 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．‎ ‎（1）求线段AD的长；‎ ‎（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，‎ ‎①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；‎ ‎②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．‎ ‎（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．‎ ‎ ‎ 图1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“10扬州28”，拖动点E在AB上运动，从y随x变化的图象可以体验到，当F在AC上时，y随x的增大而增大；当F在BC上时，y随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，y的最大值对应抛物线的顶点．双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了EF平分△ABC的周长，拖动点E，观察图象，可以体验到，“面积AEF”的值可以等于3，也就是说，存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．双击按钮“第（2）题”可以切换。‎ 思路点拨 ‎1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点．‎ ‎2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论．‎ ‎3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．‎ 满分解答 ‎(1) 在Rt△ABC中， AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，．‎ ‎(2) ①如图2，当F在AC上时，．在Rt△AEF中，．所以．‎ 如图3，当F在BC上时，．在Rt△BEF中，．所以．‎ ‎②当时，的最大值为；‎ 当时，的最大值为．‎ 因此，当时，y的最大值为．‎ ‎ ‎ 图2 图3 图4‎ ‎(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．‎ 先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此．解方程，得．‎ 因为在3≤x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．‎ 考点伸展 如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．‎ 先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．‎ 因此．‎ 解方程．整理，得．此方程无实数根．‎ 例7 2009年兰州市中考第29题 如图1，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．‎ ‎（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；‎ ‎（2）求正方形边长及顶点C的坐标；‎ ‎（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．‎ ‎（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 动感体验 ‎ 请打开几何画板文件名“09兰州29”，拖动点Q在x轴上运动，可以体验到，点Q运动的起点为（1，0）；当P在AB上时，△OPQ的面积随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分；观察点P与OQ的垂直平分线的位置关系，可以体验到，有两个时刻，PO=PQ．双击按钮“PO＝PQ，P在AB上”和“PO＝PQ，P在CD上”，可以准确显示PO＝PQ．‎ 思路点拨 ‎1．过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础．‎ ‎2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备．‎ ‎3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题．‎ ‎4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系．‎ 满分解答 ‎（1）(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．‎ ‎（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．‎ 在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．‎ ‎（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥轴于N．因为PM//BE，所以，即．因此．于是．‎ 设△OPQ的面积为(平方单位)，那么，定义域为0≤≤10．‎ 因为抛物线开口向下，对称轴为直线，所以当时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(，)．‎ ‎（4）当或时, OP与PQ相等．‎ ‎ ‎ 图3 图4‎ 考点伸展 附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．‎ 附加题也可以这样解：‎ ‎①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组解得．‎ ‎②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组解得．‎ ‎③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组解得，但这时点P不在BC上．‎ ‎ ‎ 图5 图6‎ ‎1.7 因动点产生的相切问题 ‎ 例 1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题 如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．‎ ‎（1）当时，求AP的长；‎ ‎（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．‎ 图1 图2 图3 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，等腰三角形QPO与等腰三角形OAP保持相似，y与x成反比例．⊙M、⊙O和⊙Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形．‎ 请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到， y与x成反比例．拖动点P使得，拖动点M使得⊙M的半径约为0.82，⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切．拖动点P使得，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、⊙Q都内切．‎ 思路点拨 ‎1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．‎ ‎2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．‎ ‎3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．‎ 满分解答 ‎（1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．‎ 在Rt△OAH中，OA＝3，，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32．‎ 解得．所以．‎ ‎（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．‎ 又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．‎ 因此，即．‎ 由此得到．定义域是0＜x≤6．‎ 图4 图5‎ ‎（3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是⊙Q的半径．‎ 在Rt△QPD中，，，因此．‎ 如图7，设⊙M的半径为r．‎ 由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝3－r．‎ 由⊙M与⊙Q外切，，可得圆心距．‎ 在Rt△QOM中，，OM＝3－r，，由勾股定理，得 ‎．解得．‎ 图6 图7 图8‎ 考点伸展 如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M与⊙O、⊙Q都内切，那么⊙M的半径是多少？‎ 同样的，设⊙M的半径为r．‎ 由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝r－3．‎ 由⊙M与⊙Q内切，，可得圆心距．‎ 在Rt△QOM中，由勾股定理，得．解得r＝9．‎ 例2 2012年河北省中考第25题 如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；‎ ‎（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．‎ ‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12河北25”，拖动圆心P在点Q左侧运动，可以体验到，⊙P可以与直线BC、直线DC、直线AD相切，不能与直线AB相切．‎ 答案 （1）点C的坐标为(0,3)．‎ ‎（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，；‎ 如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，．‎ 图2 图3‎ ‎（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；‎ 如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；‎ 如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．‎ 图4 图5 图6‎ 例3 2012年无锡市中考模拟第28题 如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，以每秒厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．‎ ‎（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；‎ ‎（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？ 图一 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到，⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．‎ 请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到，⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．‎ 答案 （1）因为，，所以．因此PQ//BC．‎ ‎（2）如图2，由PQ＝PH＝，得．解得．‎ 如图3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．所以Q是AB的中点，t＝1．‎ 如图4，由PQ＝PC，得．解得．‎ 如图5，当P、C重合时，t＝2．‎ 因此，当或1＜t≤或t＝2时，⊙P与边BC有1个公共点．‎ 当＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．‎ 图2 图3 图4 图5‎ ‎1.8 因动点产生的线段和差问题 ‎ 例1 2013年天津市中考第25题 在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．‎ ‎（1）如图1，求点E的坐标；‎ ‎（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．‎ ‎①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；‎ ‎②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．‎ 图1 图2‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．‎ 请打开超级画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．‎ 思路点拨 ‎1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．‎ ‎2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．‎ ‎3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．‎ 满分解答 ‎（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．‎ 所以．因此．‎ 解得OE＝1．所以E(0,1)．‎ ‎（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．‎ 在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．‎ 所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．‎ 所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．‎ 此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．‎ ‎②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为．‎ 图3 图4‎ 考点伸展 第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′，‎ 所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．‎ 当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．‎ 在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E′′＝．‎ 当A′、B、E′′三点共线时，．所以．‎ 解得．此时．‎ 例2 2012年滨州市中考第24题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、‎ B(2, 0)三点．‎ ‎（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；‎ ‎（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12滨州24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动（如图2），可以体验到，当M落在线段AB上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AM＋OM最小（如图3）．‎ 请打开超级画板文件名“12滨州24”，拖动点M， M落在线段AB上时， AM＋OM最小．‎ 答案 （1）。 （2）AM＋OM的最小值为．‎ 图2 图3‎ 例3 2012年山西省中考第26题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．‎ ‎（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；‎ ‎（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12山西26”，拖动点P在x轴上运动，可以体验到，点Q有3个时刻可以落在抛物线上．拖动点M在直线AC上运动，可以体验到，当M落在B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小．‎ 思路点拨 ‎1．第（2）题探究平行四边形，按照AP为边或者对角线分两种情况讨论．‎ ‎2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B关于“河流”AC的对称点B′，那么M落在B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小．‎ 满分解答 ‎（1）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4，‎ 得A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)．‎ 直线AC的解析式是y＝3x＋3．‎ ‎（2）Q1(2, 3)，Q2()，Q3()．‎ ‎（3）设点B关于直线AC的对称点为B′，联结BB′交AC于F．‎ 联结B′D，B′D与交AC的交点就是要探求的点M．‎ 作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．‎ 在Rt△BAF中，，AB＝4，所以．‎ 在Rt△BB′E中，，，所以，．‎ 所以．所以点B′的坐标为．‎ 因为点M在直线y＝3x＋3上，设点M的坐标为(x, 3x＋3)．‎ 由，得．所以．‎ 解得．所以点M的坐标为．‎ 图2 图3‎ 考点伸展 第（2）题的解题思路是这样的：‎ ‎①如图4，当AP是平行四边形的边时，CQ//AP，所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称，点Q的坐标为(2, 3)．‎ ‎②如图5，当AP是平行四边形的对角线时，点C、Q分居x轴两侧，C、Q到x轴的距离相等．‎ 解方程－x2＋2x＋3＝－3，得．所以点Q的坐标为()或 ()．‎ 图4 图5‎ 第二部分 函数图象中点的存在性问题 ‎2.1 由比例线段产生的函数关系问题 ‎ 例1 2013年宁波市中考第26题 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．‎ ‎（1）求直线AB的函数解析式；‎ ‎（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．‎ ‎①求证：∠BDE＝∠ADP；‎ ‎②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；‎ ‎（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状，y是x的一次函数．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．‎ 请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．‎ 答案 ‎（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．‎ ‎（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；‎ ‎②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，‎ 因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．‎ 所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到．‎ 图2 图3 图4‎ ‎（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：‎ 由△DMB∽△BNF，知．‎ 设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得．‎ 因此．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．‎ ‎②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．‎ 图5 图6‎ 例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．‎ ‎（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；‎ ‎（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长； ‎ ‎（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．‎ 图1 图2 图3‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O在AB上运动，观察△OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O和点P可以落在对边的垂直平分线上，点M不能．‎ 请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y关于x的函数关系．‎ 思路点拨 ‎1．∠B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．‎ ‎2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．‎ ‎3．探求y关于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形．‎ 满分解答 （1） 在Rt△ABC中，AC＝6，，‎ 所以AB＝10，BC＝8．‎ 过点M作MD⊥AB，垂足为D．‎ 在Rt△BMD中，BM＝2，，所以．‎ 因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离． 图4‎ ‎（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．‎ ‎②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．‎ 在Rt△BOM中，BM＝2，，所以．此时．‎ ‎③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．‎ 在Rt△BOE中，BE＝，，所以．此时．‎ 图5 图6‎ ‎（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．‎ 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．‎ 在Rt△BNF中，BN＝y，，，所以，．‎ 在Rt△ONF中，，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．‎ 于是得到．‎ 整理，得．定义域为0＜x＜5．‎ 图7 图8‎ 考点伸展 第（2）题也可以这样思考：‎ 如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，，．‎ 在Rt△OMF中，OF＝，所以．‎ 在Rt△BPQ中，BP＝1，，．‎ 在Rt△OPQ中，OF＝，所以．‎ ‎①当MO＝MP＝1时，方程没有实数根．‎ ‎②当PO＝PM＝1时，解方程，可得 ‎③当OM＝OP时，解方程，可得．‎ 例3 2012年连云港市中考第26题 如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M 点，乙到达N点．‎ ‎（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；‎ ‎（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？‎ ‎（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行．当点A落在上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN∽△OBA．‎ 请打开超级画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行．当点A落在上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN∽△OBA．s与t之间的函数关系式呈抛物线图象，当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．‎ 答案 （1）当M、N都在O右侧时，，，‎ 所以．因此MN与AB不平行．‎ ‎（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA．‎ ‎②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．‎ ‎③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么．‎ 所以．解得t＝2．‎ 图2 图3 图4‎ ‎（3）①如图2，，，．‎ ‎．‎ ‎②如图3，，，．‎ ‎．‎ ‎③如图4，，，．‎ ‎．‎ 综合①、②、③，s ‎．‎ 所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．‎ 例4 2011年上海市中考第25题 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．‎ ‎（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；‎ ‎（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．‎ 图1 图2 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“11上海25”，拖动点P在AB上运动，从图象中可以看到，y是x的一次函数．观察图形和角度的度量值，可以体验到，点E在AC和BC上，各存在一个时刻，△AME∽△ENB．‎ 请打开超级画板文件名“11上海25”，拖动点P在AB上运动，当点E与点C重合时， ．点E在边AC上时，y是x的一次函数．当AP=42时，三角形相似，且满足顶点对应。 ‎ 思路点拨 ‎1．本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐．反复解直角三角形，注意对应关系．‎ ‎2．备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E在BC上的图形画在备用图中．‎ ‎3．第（3）题当E在BC上时，重新设BP＝m可以使得运算简便一些．‎ 满分解答 ‎（1）在Rt△ABC中，BC＝30，AB＝50，所以AC＝40，，．‎ 在Rt△ACP中，．‎ 在Rt△CMP中，因为，所以．‎ ‎（2）在Rt△AEP中，．‎ 在Rt△EMP中，因为，所以．‎ 因此，．‎ 已知EM＝EN，PE⊥AB，所以MP＝NP．‎ 于是．‎ 定义域为0＜x＜32．‎ ‎（3）①如图3，当E在AC上时，由，得．‎ 解得x＝AP＝22．‎ ‎②如图4，当E在BC上时，设BP＝m，那么AP＝50－m．‎ 在Rt△BEP中，．‎ 在Rt△EMP中，，．‎ 所以，．‎ 这时由，得．解得m＝BP＝8．所以AP＝50－m＝42．‎ 图3 图4 图5‎ 考点伸展 如果第（3）题没有条件“△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应”，那么还存在图5所示的一种情况，∠EAM＝∠EBN，此时PE垂直平分AB，AP＝25．‎ ‎2.2 由面积产生的函数关系问题 ‎ 例1 2013年菏泽市中考第21题 如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．‎ ‎（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；‎ ‎（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：‎ ‎①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？‎ ‎②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？‎ 图1 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．‎ 请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．‎ 思路点拨 ‎1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．‎ ‎2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来．‎ ‎3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．‎ 满分解答 ‎（1）由，得A(0,3)，C(4,0)．‎ 由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．‎ 因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．‎ 将B(－4,0)、D(8,3)分别代入，得 解得，c＝－3．所以该二次函数的解析式为．‎ ‎（2）①设点P、Q运动的时间为t．‎ 如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝．‎ 当PQ⊥AC时，．所以．解得．‎ 图2 图3‎ ‎②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．‎ 由于S△APQ＝，‎ S△ACD＝，‎ 所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝．‎ 所以当AP＝时，四边形PDCQ的最小值是．‎ 考点伸展 如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？”‎ 除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况．‎ 这时，所以．解得（如图4所示）．‎ 图4‎ 例2 2012年广东省中考第22题 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．‎ ‎（1）求AB和OC的长；‎ ‎（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，△ADE的面积随m的增大而增大，△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，△CDE的面积最大．‎ 思路点拨 ‎1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．‎ ‎2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．‎ 满分解答 ‎（1）由，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．‎ 所以AB＝9，OC＝9．‎ ‎（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．‎ 所以．‎ 而，AE＝m，‎ 所以． ‎ m的取值范围是0＜m＜9．‎ 图2 图3‎ ‎（3）如图2，因为DE//CB，所以．‎ 因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以．‎ 所以．‎ 当时，△CDE的面积最大，最大值为．‎ 此时E是AB的中点，．‎ 如图3，作EH⊥CB，垂足为H．‎ 在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以．‎ 在Rt△BEH中，．‎ 当⊙E与BC相切时，．所以．‎ 考点伸展 在本题中，△CDE与△BEC能否相似？‎ 如图2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能相似．‎ 例3 2012年河北省中考第26题 如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，．‎ 探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．‎ 拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）‎ ‎（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；‎ ‎（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；‎ ‎（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．‎ 发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．‎ 图1 图2‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D由A向C运动，观察(m＋n)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(m＋n)的值越来越大；D经过G之后，(m＋n)的值越来越小．观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D．‎ 图3 图4‎ 答案 探究 AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．‎ 拓展 （1）S△ABD＝，S△CBD＝．‎ ‎（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得．所以．‎ 由于AC边上的高，所以x的取值范围是≤x≤14．‎ 所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．‎ ‎（3）x的取值范围是x＝或13＜x≤14．‎ 发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为．‎ 例4 2011年淮安市中考第28题 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S． ‎ ‎（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；‎ ‎（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．‎ 请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．‎ 思路点拨 ‎1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．‎ ‎2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．‎ 满分解答 ‎（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．‎ ‎（2）①如图1，当时，．所以．‎ ‎②如图2，当时，，，．‎ 于是，‎ ‎．‎ 所以．‎ ‎③如图3，当时，，，．‎ 所以．‎ 图2 图3 图4‎ ‎（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为，此时．‎ 图5 图6 图7‎ 考点伸展 第（2）题中t的临界时刻是这样求的：‎ 如图8，当H落在AC上时，，，由，得．‎ 如图9，当G落在AC上时，，，由，得．‎ 图8 图9‎ 例5 2011年山西省中考第26题 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．‎ ‎（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；‎ ‎（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．‎ ‎（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11山西26”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点．从S随t变化的跟踪轨迹可以看到，整个运动过程中，S随t变化的图象是“N”字型，由四段组成．‎ 请打开超级画板文件名“11山西26”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点．点击按钮“函数表达式”， S随t先增大后减少。当t=2.67时，S=14.22. ‎ 思路点拨 ‎1．用含有t的式子表示线段的长，是解题的关键．‎ ‎2．第（2）题求S与t的函数关系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况．‎ ‎3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．‎ 满分解答 ‎（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为．‎ ‎（2）①当M在OC上，Q在AB上时，．‎ 在Rt△OPM中，OP＝t，，所以．‎ 在Rt△AQE中，AQ＝2t，，所以．‎ 于是．因此．‎ ‎②当M在OC上，Q在BC上时，．‎ 因为，所以．‎ 因此．‎ ‎③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和，解得．‎ 因此当M、Q都在BC上，相遇前，，PM＝4，．‎ 所以．‎ 图2 图3 图4‎ ‎（3）①当时，．‎ 因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，‎ 所以当时，S最大，最大值为．‎ ‎②当时，．‎ 因为抛物线开口向下，所以当时，S最大，最大值为．‎ ‎③当时，．‎ 因为S随t的增大而减小，所以当时，S最大，最大值为14．‎ 综上所述，当时，S最大，最大值为．‎ 考点伸展 第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？‎ 此时， ．因此．‎ 图5‎ 例6 2011年重庆市中考第26题 如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；‎ ‎（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；‎ ‎（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11重庆26”，拖动点A由P向A运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，S随t变化的图象分为四段；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形．‎ 请打开超级画板文件名“11重庆26”，拖动点t，当t＝1时，FG恰好经过点C。重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，这说明S随t变化的图象需要分四段进行分析；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形． ‎ 思路点拨 ‎1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中．‎ ‎2．用t表示OE、AE、EF、AH的长，都和点E折返前后相关，分两种情况．‎ ‎3．探求等腰三角形AOH，先按顶点分三种情况，再按点E折返前后分两种情况．‎ ‎4．本题运算量很大，多用到1∶2∶，注意对应关系不要错乱．‎ 满分解答 ‎（1）在Rt△ABC中，，‎ 所以∠BAC＝30°．‎ 如图2，当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，‎ 在Rt△BCF中，∠BFC＝60°，BC=，‎ 所以BF＝2．因此PF＝3－2＝1，运动时间t＝1． 图2‎ ‎（2）①如图3，当0≤t＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE，．‎ ‎②如图4，当1≤t＜3时，重叠部分为五边形BQMNE，．‎ ‎③如图5，当3≤t＜4时，重叠部分为梯形FMNE，．‎ ‎④如图6，当4≤t＜6时，重叠部分为等边三角形EFG，．‎ 图3 图4 图5‎ ‎（3）等腰△AOH分三种情况：①AO＝AH，②OA＝OH，③HA＝HO．‎ 在△AOH中，∠A＝30°为定值，AO＝3为定值，AH是变化的．‎ ‎△AEH的形状保持不变，AH＝AE．当E由O向A运动时，AE＝3－t；当E经A折返后，AE＝t－3．‎ 图6 图7 图8‎ ‎①当AO＝AH时，解，得（如图7）；‎ 解，得（如图8）．‎ ‎②当OA＝OH时，∠AOH＝120°，点O与点E重合，t＝0（如图9）．‎ ‎③当HA＝HO时，H在AE的垂直平分线上，AO＝AH＝3AE．‎ 解，得t＝2（如图10）；解，得t＝4（如图11）．‎ 图9 图10 图11‎ 考点伸展 图3，图4中，点E向A运动，EF＝6；图5，图6中，点E折返，EF＝12－2t．‎ 第三部分图形运动中的计算说理问题 ‎3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 2013年南京市中考第26题 已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．‎ ‎（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；‎ ‎（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D．‎ ‎①当△ABC的面积等于1时，求a的值 ‎②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13南京26”，拖动y轴上表示实数a的点可以改变a的值，拖动点A可以改变m的值．分别点击按钮“m1”、“m2”、“m3”，再改变实数a，可以体验到，这3种情况下，点C、D到x轴的距离相等．‎ 请打开超级画板文件名“13南京26”， 拖动点A可以改变m的值，竖直拖动点C可以改变a的值．分别点击按钮，可得到△ABC的面积与△ABD的面积相等的三种情形。‎ 思路点拨 ‎1．第（1）题判断抛物线与x轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为 (m,0)、 (m＋1,0)，AB＝1．‎ ‎2．当△ABC的面积等于1时，点C到x轴的距离为2．‎ ‎3．当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，C、D到x轴的距离相等．‎ ‎4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．‎ 满分解答 ‎（1）由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－m)( x－m－1)，‎ 得抛物线与x轴的交点坐标为A(m,0)、B(m＋1,0)．‎ 因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．‎ ‎（2）①由y＝a(x－m)2－a(x－m) ，‎ 得抛物线的顶点坐标为．‎ 因为AB＝1，S△ABC＝，所以a＝±8．‎ ‎②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，点C与点D到x轴的距离相等．‎ 第一种情况：如图1，C、D重合，此时点D的坐标可以表示为，‎ 将代入，得．‎ 解得．‎ 图1‎ 第二种情况：如图2，图3，C、D在x轴两侧，此时点D的坐标可以表示为，‎ 将代入，得．‎ 解得．‎ 图2 图3‎ 考点伸展 第（1）题也可以这样说理：‎ 由于由，抛物线的顶点坐标为．‎ 当a＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在x轴下方，所以抛物线与x轴由两个交点；‎ 当a＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在x轴上方，所以抛物线与x轴由两个交点．‎ 因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．‎ 第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：‎ 由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a[x2－(2m＋1)x＋m2＋m]，‎ 得＞0．‎ 因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．‎ 这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．‎ 例2 2013年南昌市中考第25题 已知抛物线yn＝－(x－an)2＋an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An－1(bn－1,0)和An(bn,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推 ‎ ‎（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；‎ ‎（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；‎ 依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）；‎ 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；‎ ‎（3）探究下列结论：‎ ‎①若用An－1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出An－1 An；‎ ‎②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．‎ 备用图（仅供草稿使用） ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．‎ 请打开超级画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．‎ ‎ ‎ 思路点拨 ‎1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．‎ ‎2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．‎ ‎3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．‎ 满分解答 ‎（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．‎ 所以符合题意的a1＝1．‎ 此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．‎ 将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．‎ 所以符合题意的a2＝4．‎ 此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．‎ ‎（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；‎ 第n条抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)；‎ 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．‎ ‎（3）①如图1，A0A1＝2．‎ 由第（2）题得到，第n条抛物线yn＝－(x－an)2＋an的顶点坐标为(n2，n2)．‎ 所以yn＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．‎ 所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为An－1(n2－n,0)和An(n2＋n,0)．‎ 所以An－1 An＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．‎ ‎②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．‎ 图1‎ 考点伸展 我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用．‎ 第一步，由yn＝－(x－an)2＋an，得抛物线的顶点坐标为(an, an)．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知an＞0，因此先画出顶点所在的射线y＝x(x＞0)．‎ 第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点．‎ 第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点．‎ ‎3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．‎ ‎（1）求此二次函数的解析式；‎ ‎（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．‎ ‎①求正方形的ABCD的面积；‎ ‎②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．‎ ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．‎ 请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．‎ 思路点拨 ‎1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD＝AB．‎ ‎2．通过计算∠PAE与∠DPO的正切值，得到∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，从而证明△PAD∽△PEA．‎ 满分解答 ‎（1）将点P(0, 1)、Q(2, －3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 ‎ 解得 所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋1．‎ ‎（2）①如图1，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，当四边形ABCD恰为正方形时，AD＝AB．‎ 此时yA＝2xA．‎ 解方程－x2＋1＝2x，得．‎ 所以点A的横坐标为．‎ 因此正方形ABCD的面积等于．‎ ‎②设OP与AB交于点F，那么．‎ 所以．‎ 又因为，‎ 所以∠PAE＝∠PDA．‎ 又因为∠P公用，所以△PAD∽△PEA．‎ 图1 图2‎ 考点伸展 事实上，对于矩形ABCD，总有结论△PAD∽△PEA．证明如下：‎ 如图2，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．‎ 所以．‎ 又因为，‎ 所以∠PAE＝∠PDA．因此△PAD∽△PEA．‎ 例2 2013年江西省中考第24题 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：‎ ‎（1）操作发现：‎ 在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．‎ ‎①AF＝AG＝；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．‎ ‎（2）数学思考：‎ 在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；‎ ‎（3）类比探究：‎ 在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．‎ 图1 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．‎ 请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．‎ 思路点拨 ‎1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．‎ ‎2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．‎ ‎3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？‎ 满分解答 ‎（1）填写序号①②③④．‎ ‎（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．‎ 因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，‎ 所以F、G分别是AB、AC的中点．‎ 又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．‎ 所以，，MF//AC，MG//AB．‎ 所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．‎ 所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．‎ 因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，‎ 所以，．‎ 所以MF＝EG，DF＝NG．‎ 所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．‎ ‎（3）△MDE是等腰直角三角形．‎ 图4 图5‎ 考点伸展 第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．‎ 如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．‎ 如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．‎ 如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．‎ 相关信息链接:北达教育|百度百科|百度贴吧 北达教育学校简介 北达教育总部位于北京大学校内,分校遍及北京各城区40多所,多年来被家长认可的教育机构,法制晚报曾报道：是什么让北达教育成为京城良好口碑课外辅导品牌?为此北达教育被法制晚报评为：公众最信赖知名教育品牌！曾多次被新浪网，中国网评为课外绿色发展机构！北达教育旗下北京中考网（www.beijing518.com)为北京咨询；报考；体育咨询；体检；填报志愿等综合门户网站，论坛在线人数已超35896位。‎ 开课背景：针对每年京籍外地回京家长求学难现状特开设2014年外地回京全日制班，以满足外地回京考生尽快适应北京中考考点、难点及最新中考动态等。同时针对北京公立中学班级人数过多、成绩层次不同、部分潜力学生成为学校忽视对象等，也可以报名。‎ 教学大纲：以2014年北京中考《考试说明》为风向标，兼顾每个考点，详细讲解重点难点。在授课过程中融入中考思维、答题思路、考试技巧等知识的传授。‎ 授课讲义：各科老师总结多年北京中考经验整理编排出独家讲义、习题，根据学生学习情况和中考考点设置难易程度，目的性强，阶段性提高。‎ 办学成绩：13年的中考培优经历，有多年辅导中考经验的优秀教师，上千位优秀学员的坚定选择，成就了北达教育。‎ 教学效果：学生的努力，专业老师辅导，共同创造中考辉煌！‎ 外辅导部 北达教育初高中课外辅导部是专门从事初、高中特别是中考、高考考试成功等教学辅导、学习方法研究的机构。办学来该校成功举办多年初中高中假期（暑假、寒假）辅导班、初中高中（春季、秋季）周末班、中考高考复读班、中考高考考前冲刺班中考高考（压题）串讲班、家教一对一。‎ 北达教育学校中学部以中考高考成功为中心，以突破学生学习瓶颈，提高学生成绩获得考试成功为宗旨，坚持诚信教学，育人为本，积极打造北达教育知名品牌，多年来经过全体教职工的不懈努力，取得了辉煌的成绩。现在已发展成为北京实力最大、师资精良、教学过硬、口碑良好、学生成绩在短期提高成绩最快的专业化中学生教学辅导学校。‎ 北京高考网|北京中考网|论坛|QQ群|新浪微博 联系电话：400-668-7882‎ ‎★2014中考寒假班、春季高频考点冲刺班、五一串讲班、中考压题班、‎ 报名已启动名额有限欲报从速★‎ 办学成绩 北达教育 ‎2011年人数 ‎2012年人数 ‎2013年人数 ‎2014年人数目标 中考状元 ‎5‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ 单科满分 ‎102‎ ‎159‎ ‎159‎ ‎240‎ ‎560分以上 ‎6‎ ‎12‎ ‎29‎ ‎41‎ ‎555分以上 ‎12‎ ‎35‎ ‎68‎ ‎120‎ ‎550分以上 ‎26‎ ‎31‎ ‎135‎ ‎235‎ ‎540分以上 ‎266‎ ‎358‎ ‎658‎ ‎858‎ ‎530分以上 ‎498‎ ‎562‎ ‎1231‎ ‎1438‎ 重点中学入学率 ‎96%‎ ‎97%‎ ‎97%‎ ‎98%‎ 门户网站 ‎ 北达教育是北京中考网、北京高考网、北京小学奥数网的合法拥有者和创办者，现已发展成北京地区乃至全国知名的中小学门户网站，北达教育致力于打造中国最权威的中小学门户网站和最大的中高考网络信息中心。‎ 北达教育校区 北京大学校内教室 西直门校区 东直门东方银座写字楼K 亚运村校区 北京大学北大资源东楼层 玉泉路校区 北京大学北大资源东楼 牛栏山一中 公主坟天行建大厦校区 丰台中校区 北京师范大学校区 北大地校区 北京大学万柳校区 天通苑校区 崇文新成文化大厦 回龙观校区 朝阳八十中校区 九棵树校区 惠新东桥校区 望京校区 西单小学校区 双井校区 联合大学校区 管庄校区 清河小营校区 人大校区 四季青校区 上地校区 五道口校区 劲松校区 航天桥校区 长城大厦 三元桥校区 方庄校区 灯市口校区 古城