南京市中考数学试卷及解析

南京市中考数学试卷及解析

南京市2017年初中毕业生学业考试 数学注意事项：‎ ‎1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．‎ ‎2．请认真核对监考教师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．‎ ‎3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置，在其他位置答题一律无效．‎ ‎4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．计算12＋（－18）÷（－6）－（－3）×2的结果是（ ）‎ A．7 B．8 C．21 D．36‎ ‎【答案】C．‎ ‎【考点】有理数的计算．‎ ‎【分析】利用有理数的运算法则直接计算，注意运算顺序和符号变化．‎ ‎【解答】解．原式＝12＋3－（－6）．‎ ‎＝15＋6．‎ ‎＝21．‎ 故：选C．‎ ‎2．计算106×（102）3÷104的结果是（ ）‎ A．103 B．107 C．108 D．109‎ ‎【答案】C．‎ ‎【考点】幂的运算．‎ ‎【分析】利用幂的运算法则直接计算，注意运算顺序．‎ ‎【解答】解．原式＝106×106÷104．‎ ‎＝106＋6－4．‎ ‎＝108．‎ 故：选C．‎ ‎3．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（ ）‎ A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 ‎【答案】D．‎ ‎【考点】几何体的一般特征．‎ ‎【分析】分析4个选项中的各几何体的侧面、底面、棱的特征，即可得出正确选项．‎ ‎【解答】‎ 几何体 图形 侧面形状 底面形状 棱数 A．三棱柱 ‎3个长方形 ‎2个三角形 ‎9条棱 B．四棱柱 ‎4个长方形 ‎2个四边形 ‎12条棱 C．三棱锥 ‎3个三角形 ‎1个三角形 ‎6条棱 D．四棱锥 ‎4个三角形 ‎1个四边形 ‎8条棱 故：选D．‎ ‎4．若＜a＜，则下列结论中正确的是（ ）‎ A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜4‎ ‎【答案】B．‎ ‎【考点】估算．‎ ‎【分析】用平方法分别估算出、的取值范围，借助数轴进而估算出a的取值范围．‎ ‎【解答】估算：∵12＝1，22＝4．‎ ‎∴1＜＜2．‎ 估算：∵32＝9，42＝16．‎ ‎∴3＜＜4．‎ 画数轴：‎ 故：1＜a＜4，选B．‎ ‎5．若方程（x－5）2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）‎ A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根 C．a－5是19的算术平方根 D．b＋5是19的平方根 ‎【答案】C．‎ ‎【考点】直接开平方法解一元二次方程、平方根、算术平方根的定义．‎ ‎【分析】分析4个选项中的各几何体的侧面、底面、棱的特征，即可得出正确选项．‎ ‎【解答】解方程（x－5）2＝19得：‎ x－5＝±．‎ ‎∴x1＝5＋，x2＝5－．‎ ‎∵方程（x－5）2＝19的两根为a和b，且a＞b．‎ ‎∴a＝5＋，b＝5－．‎ ‎∴a－5＝，b－5＝－，b＋5＝10－．‎ ‎【选法一】针对解方程的结果，判断各选项的准确性 a＝5＋，a不是19的算术平方根，故：选项A错；‎ b＝5－，b不是19的平方根，故：选项B错；‎ a－5＝，a－5是19的算术平方根，故：选项C正确；‎ b＋5＝10－，b＋5不是19的平方根，故：选项D错．‎ ‎【选法二】针对各选项对应的a、b、a－5、b＋5的结果，进行判断：‎ 对于选项：A．a是19的算术平方根，则a＝，故：错；‎ 对于选项：B．b是19的平方根，则b＝±，故：错；‎ 对于选项：C．a－5是19的算术平方根，则a－5＝，故：正确；‎ 对于选项：D．b＋5是19的平方根，则b＋5＝±，故：错．‎ 综上，故选：C．‎ ‎6．过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）‎ A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）‎ ‎【答案】A．‎ ‎【考点】三角形外接圆圆心的确定、相似三角形的应用、平面直角坐标系中线段长的计算、数形结合．‎ ‎【分析】在平面直角坐标系中绘制符合条件的图形（如图），并判断图形的特征，不难发现：‎ ‎（1）AB∥x轴，点C在AB的垂直平分线上，△ABC是等腰三角形，且CA＝CB；‎ ‎（2）过A、B、C三点的圆为△ABC的外接圆，圆心M为AB、AC（或BC）两边垂直平分线EM、CD的交点；‎ ‎（3）欲计算M的坐标，只要计算出线段DM（或CM）、AD的长；‎ ‎（4）△CEM∽△CDA，可得相似比：＝＝；‎ ‎（5）△CDA 的边长：AB＝|6－2|＝4，AD＝AB＝2，CD＝|5－2|＝3，AC＝＝，‎ ‎△CEM 中的边长：CE＝AC＝； ‎ 把求得的线段长代入（4）中的比例式中即可求得CM长，问题得解.‎ ‎【简解】如题，根据题意得：C点在AB的中垂线上，CA＝CB；‎ 过A、B、C三点的圆为△ABC的外接圆，圆心M为AB、AC两中垂线的交点M；‎ AB＝4，AD＝2，CD＝3，AC＝，CE＝．‎ ‎∵Rt△CEM∽Rt△CDA．‎ ‎∴＝．‎ ‎∴CE·CA＝CD·CM．‎ ×＝3×CM．‎ ‎∴CM＝．‎ DM＝CD－CM＝3－＝．‎ ‎∴M点的纵坐标为：2＋＝．‎ 故：M（4，），选A．‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎7．计算：|－3|＝_________；＝__________．‎ ‎【答案】3；3．‎ ‎【考点】|－3|是绝对值的计算、是二次根式的运算．‎ ‎【分析】根据绝对值的定义和二次根式运算的要求进行化简，注意符号的变化．‎ ‎|a|＝ ； ＝|a|＝ ‎【解答】|－3|＝－（－3）＝3；＝|－3|＝3．‎ ‎8．2016年南京实现GDP约10 500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市．用科学记数法表示10 500是________________．‎ ‎【答案】1.05×104．‎ ‎【考点】科学记数法．‎ ‎【分析】把一个大于10或小于1的正数写成a×10n 的形式，其中：1≤a＜10，n是整数．应用方法：把小数点移动到第一个不是0的数字后面，移几位就乘以10的几次幂（小数点向左移则指数为正，向右移则指数为负。）注意：本题要审题，用科学记数法表示的数：是不带单位的10 500，而不是10 500亿．‎ ‎【解答】10 500＝1.05×104．‎ ‎9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______________．‎ ‎【答案】x≠1．‎ ‎【考点】分式的定义．‎ ‎【分析】分式在实数范围内有意义的条件是：分母≠0 ．‎ ‎【解答】x－1≠0，解得x≠1．‎ ‎10．计算＋×的结果是__________________．‎ ‎【答案】6．‎ ‎【考点】二次根式的化简．‎ ‎【分析】根据二次根式运算法则进行化简，掌握常用化简方法、结论即可；本题涉及到的运算法则：·＝（a≥0，b≥0）；常用结论：＝m（m≥0，n≥0） ．‎ ‎【解答】＋× ‎＝＋ ‎＝2＋ ‎＝2＋4 ‎＝6 ．‎ ‎11．方程－＝0的解是_____________________．‎ ‎【答案】x＝2．‎ ‎【考点】解分式方程．‎ ‎【分析】根据解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验等即可得解 ．注意点主要有：去分母时不要漏乘，去分母后分子如是多项式需要添加括号．‎ ‎【解答】去分母：2x－（x＋2）＝0．‎ 去括号：2x－x－2＝0．‎ 移项：2x－x＝2．‎ 合并同类项：x＝2．‎ 系数化为1：本题无需此步骤．‎ 检验：经检验x＝2是原方程的解．‎ ‎∴原方程的解为：x＝2．‎ ‎12．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p＝_______，q＝_________．‎ ‎【答案】4，3．‎ ‎【考点】一元二次方程根的定义或根与系数的关系．‎ ‎【分析】解法有2种：‎ 解法一：根据根的定义，分别把两根代入原方程中，得到两个关于P、q的方程，将两方程组成方程组，解此方程组即可求解；‎ 解法二：根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根与系数的关系：x1＋x2＝－，x1·x2＝.分别把两根代入到两个关系式中即可求解．‎ 比较上述两种解法，不难发现，解法二求解比较便捷．‎ ‎【解答】解法一：‎ 根据题意得：．‎ 解这个方程组得：．‎ 解法二：‎ 根据题意得：（－3）＋（－1）＝－ ，（－3）×（－1）＝．‎ 解得：p＝4，q＝3．‎ ‎13．下面是某市2013～2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图．该市私人汽车拥有量年净增长量最多的是__________________年，私人汽车拥有量年增长率最大的是___________________年．‎ ‎【答案】2016，2015．‎ ‎【考点】统计图的特征及统计数据之间的数量关系．‎ ‎【分析】理解题意、确定统计数据之间的数量关系是本题的关键：‎ ‎（1）年净增长量＝某年度拥有量－上一年度拥有量，可从“私人汽车拥有量条形统计图”中获取数据；‎ ‎（2）年增长率＝×100％，可以从“私人汽车拥有量年增长率折线统计图”中直接得出答案． ‎ ‎【解答】借用统计表来解答：‎ 年度 拥有量 年净增长量 某年度拥有量－上一年度拥有量 年增长率 ×100％‎ ‎2013‎ ‎100‎ ‎18％‎ ‎2014‎ ‎120‎ ‎20‎ ‎20％‎ ‎2015‎ ‎150‎ ‎30‎ ‎25％（最大）‎ ‎2016‎ ‎183‎ ‎33（最多）‎ ‎22％‎ ‎14．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角．若∠1＝65°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝_________°．‎ ‎【答案】425．‎ ‎【考点】多边形（n边形）的内角和计算公式：（n－2）·180、多边形外角的定义（或外角和＝360°）．‎ ‎【分析】从不同的角度分析，可以得到不同的解法：‎ 解法一：用内角和公式求解：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（n－2）·180－∠AED．‎ ‎＝（n－2）·180－（180－∠1）．‎ ‎＝（n－3）·180＋∠1．‎ 解法二：用外角的定义（或外角和＝360°）：每一个内角＝180－相邻的外角，故：‎ ‎∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝180×（n－1）－（360－∠1）．‎ ‎＝（n－3）·180＋∠1．‎ 解法三：借助辅助线，如图，连接AD．‎ ‎∠BAE＋∠B＋∠C＋∠CDE＝四边形ABCD内角和＋∠2＋∠3．‎ 又∠1是△ADE的外角，∠1＝∠2＋∠3．‎ 故：∠BAE＋∠B＋∠C＋∠CDE＝四边形ABCD内角和＋∠1．‎ 小结：解法一为常规解法，解法二不常用，解法三比较便捷．‎ ‎【解答】选用解法一：‎ ‎∠AED=180°－∠1＝115°．‎ ‎∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（5－2）·180°－∠AED．‎ ‎＝3×180°－115°．‎ ‎＝425°．‎ ‎15．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC＝_____________°．‎ ‎【答案】27．‎ ‎【考点】菱形的主要性质，圆内接四边形的性质，外角在解决问题中的应用．‎ ‎【分析】根据菱形的性质可以得出：∠B＝∠D＝78°、∠2＝（180°－∠D）等等角的度数；‎ 根据圆内接四边形的性质可以得出：∠AEC＝180°－∠D，∠3＝∠D＝78°等等角的度数；‎ 又∠3是△AEC的外角，∠3＝∠1＋∠2．‎ 故：∠EAC（∠1）＝∠3－∠2．‎ ‎【简解】在菱形ABCD中：‎ ‎∠2＝（180°－∠D）＝51°．‎ ‎∵四边形ADCE是⊙O的内接四边形．‎ ‎∴∠3＝180°－∠AEC＝∠D＝78°．‎ ‎∵∠3是△AEC的外角．‎ ‎∴∠1＝∠3－∠2＝78°－51°＝27°．‎ 即：则∠EAC＝27°．‎ ‎16．函数y1＝x与y2＝的图像如图所示，下列关于函数y＝y1＋y2的结论：①函数的图像关于原点对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图像最低点的坐标是（2，4）．其中所有正确的结论的序号是_____________________．‎ ‎【答案】①、③．‎ ‎【考点】函数的三种表达方式、函数图像的画法、图形（图像）的变换．‎ ‎【分析】本题是选拔性功能比较强的试题，对学生数学思维能力的要求比较高，要解决此问题需要熟练掌握数形结合的数学思想方法，同时要具备数学联想与想象等优良的思维品质．‎ ‎（1）对函数y＝y1＋y2的理解：y＝y1＋y2，即y＝x＋：‎ ‎①一个联想：x＋是一个似曾相识的式子：‎ 我们知道由（x－）2≥0，可以得到：x2＋≥2；‎ 据此可以联想到（－）2≥0，可得：x＋≥2……‎ ‎（－）2≥0，可得x＋≥4；‎ 由此可见：当x＞0时，x＋有最小值4此时x＝2；‎ 故：结论③正确；‎ ‎②一个想象：我们学过图形的变换，涉及过图像的平移，那么y＝x＋其图像是不是可以看作是把y2＝沿y轴向上或向下平移对应|x|单位后得到的图形，故其图像也就是由两支曲线构成；‎ ‎（2）函数的表达方式有三种，可以用另两种方式表示一下，看其有哪些特征．‎ 列表：‎ x ‎－5‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎－0.5‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ y＝x＋ ‎－5.8‎ ‎－5‎ ‎－4‎ ‎－5‎ ‎－8.5‎ ‎8.5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5.8‎ 画出图像：‎ ‎【简解】选项①函数的图像关于原点对称：观察表格或图像不难发现，其正确；‎ 选项②当x＜2时，y随x的增大而减小：观察图像当x＜－2时，y随x的增大而增大，或者，当x＝0时，y没有意义，故其错误；‎ 选项③当x＞0时，函数的图像最低点的坐标是（2，4）：通过联想或观察列表及图像，其正确；‎ 也可使用求差法判断：‎ 令x＝2时y′＝4；x＝2＋m时，y″＝2＋m＋．‎ y′－y″＝4－（2＋m＋）＝2－m－＝＝－ ．‎ ‎∵图像位于第一象限．‎ ‎∴2＋m＞0．‎ 又m2≥0．‎ ‎∴－ ≤0，且当m＝0时取等号．‎ ‎∴y′－y″≤0．‎ 即：y′≤y″．‎ 故：当x＞0时，y有最小值4，此时x＝2．‎ 综上：正确的结论的序号是①、③．‎ 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（7分）计算（a＋2＋）÷（a－）．‎ ‎【考点】分式的化简、分解因式．‎ ‎【分析】根据分式化简的一般步骤进行即可．‎ ‎【解答】（a＋2＋）÷（a－）＝÷ 通分 ‎＝× 除法转化为乘法 ‎＝× 分解因式 ‎＝ 约分 ‎18．（7分）解不等式组 请结合题意，完成本题解答． ‎ ‎（1）解不等式①，得_________________________．‎ 依据是：______________________________________．‎ ‎（2）解不等式③，得_________________________．‎ ‎（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．‎ ‎（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集_____________________．‎ ‎【考点】不等式（组）的解法，确定解集的公共部分．‎ ‎【分析】应用不等式的性质，解不等式（组），确定解集的公共部分延伸到三个不等式组成的不等式组中，由于题干已有铺垫“从图中可以找出三个不等式解集的公共部分”，降低了难度．用数轴表示解集时，主要实心点与空心点的选择．‎ ‎【解答】解：（1）x≥－3.‎ 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.‎ ‎（2）3x－3＜x＋1．‎ ‎3x－x＜1＋3．‎ ‎2x＜4．‎ ‎∴x＜2．‎ ‎（3）．‎ ‎（4）－2＜x＜2．‎ ‎19．（7分）如图，在□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF，EF、BD相交于点O．‎ 求证OE＝OF．‎ ‎【考点】平行四边形的性质、平行四边形的判定或全等三角形的判定和性质．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质，AD＝BC，AD∥BC，又AE＝CF，得到DE＝BF，DE∥BF.‎ 方法一：若连接BE、DF，则四边形BEDF为平行四边形，EF与BD就互相平分，问题得解；‎ 方法二：DE∥BF可得关于△DEO、△BFO两组内错角相等，另外∠DOE与∠BOF是对顶角，它们也相等，所以根据ASA或AAS可得两个△全等，问题得解．‎ ‎【解答】‎ 方法一：证明：连接BE、DF ‎∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴AD＝BC，AD∥BC ‎∵AE＝BF ‎∴AD－AE＝BC－CF 即DE＝BF 又∵DE∥BF ‎∴四边形BEDF为平行四边形 ‎∵EF、BD相交于点O ‎∴OE＝OF 方法二：证明：‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴AD＝BC，AD∥BC ‎∴∠1＝∠2，∠3＝∠4‎ ‎∵AE＝BF ‎∴AD－AE＝BC－CF 即DE＝BF ‎∴△DOE≌△BOF ‎∴OE＝OF ‎20．（8分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．‎ 月收入/元 ‎45 000‎ ‎18 000‎ ‎10 000‎ ‎5 500‎ ‎4 800‎ ‎3 400‎ ‎3 000‎ ‎2 200‎ 人数 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎11‎ ‎1‎ ‎（1）该公司员工月收入的中位数是____________元，众数是____________元．‎ ‎（2）根据上表，可以算得该公司员工收入的平均数为6 276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．‎ ‎【考点】数据的集中趋势，平均数、中位数、众数确定与应用．‎ ‎【分析】‎ 反映一组数据的平均水平，要考虑异常数据的影响，平均数题设中已给出，注意中位数与众数的确定方法．中位数：把数据从小到大（或从大到小）排列，最中间的一个（或两个数据的平均数）数据 （带单位）；众数：一组数据中出现次数最多的数据（带单位）． ‎ ‎【解答】（1）把数据从小到大排列，最中间的一个是第13个，所以，中位数为3400元；‎ 这组数据中出现次数最多的数据为3000元，所以，众数为3000元．‎ 答案：3400，3000．‎ ‎（2）本题答案不为一，选平均数6 276元肯定不合适，因为25名员工中只有3名员工达到或超过平均数，绝大多数员工收入水平均未达到平均数水平．‎ 参考答案：用中位数反映该公司全体员工收入水平较为合适．在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大．该公司员工收入的中位数是3400元，这说明除去月收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元．因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势．‎ ‎21．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：‎ ‎（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是____________；‎ ‎（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．‎ ‎【考点】概率的计算方法，枚举法、树状图、列表法在求概率中的应用．‎ ‎【分析】选用适当分析工具（枚举法、树状图、列表法）确定所有等可能的结果与符合条件的结果是解决此类问题的常用方法． ‎ ‎【解答】（1）枚举法：所有可能出现的结果有：男、女，共2种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满足“第二个孩子是女孩”（记为事件A）的结果有1种，所有P（A）＝．‎ 答案： ‎（2）枚举法：乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，所有可能出现的结果有：（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女），共有4种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满足“少有一个孩子是女孩”（记为事件A）的结果有3种，所有P（A）＝．‎ 附：树状图 ‎22．（8分）“直角”在初中几何学习中无处不在．‎ 如图，已知∠AOB．请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．‎ ‎ ‎ ‎【考点】尺规作图．‎ ‎【分析】首先要选择好判断一个角是否为直角的方法，我们学习过的与作直角相关的内容包括：过一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线、三角形的高、三线合一、勾股图（勾3股4弦5）、直径所对的圆周角是直角等，也可先作一个直角，比较这两个角的大小．小丽用的方法就是三线合一．‎ 若用：过一点作已知直线的垂线，则可在OA上任意取一点M，过点M作直线OB的垂线，若该垂线经过点O，则∠AOB＝90°；或者过点O作直线OB的垂线OD，若OD与OA重合，则∠AOB＝90°；‎ 若用：勾股图（勾3股4弦5），可先确定单位线段长，在射线OA上依次截取4个单位长度线段OM，在射线OB上依次截取3个单位长度线段ON，连接MN，若MN为5个单位长度线段，则∠AOB＝90°；‎ 若用：直径所对的圆周角是直角，则可在OA、OB上任意取两点M、N，连接MN．以MN为直径作圆，若点O在所作圆上，则∠AOB＝90°；或者作△OMN的外接圆，若圆心在MN上，则∠AOB＝90°； ‎ 方法还是很多的，不过最好要选择简便的方法．‎ ‎【解答】参考解法：‎ 方法一：如图①，在OA、OB上分别截取OM＝4个单位长度线段，ON＝3个单位长度线段．连接MN，若MN＝3个单位长度线段，则∠AOB＝90°；‎ 方法二：如图②，在OA、OB上分别取点M、N，以MN为直径画圆．若点O在圆上，则∠AOB＝90°.‎ ‎ ‎ ‎23．（8分）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择．如果调整文具购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．‎ 设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．‎ ‎（1）①当减少购买1个甲种文具时，x＝_______，y＝_______；‎ ‎②求y与x之间的函数关系式．‎ ‎（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元．甲、乙两种文具各购买了多少个？‎ ‎【考点】一次函数的应用及二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】根据题意描述的数量关系，进行解答即可；求一次函数y＝kx＋b（k≠0）表达式有两种方式，其一是根据数量关系直接写出，其二是根据两组对应值（或两个点的坐标）建立k、b的方程组，求出函数表达式.‎ 本题描述的数量关系有：购买x个甲种文具，则减少购买（100－x）个甲种文具；‎ 购买y个乙种文具的数量＝2×减少购买的甲种文具的数量； ‎ 购买甲种文具的金额＋购买乙种文具的金额＝540元．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）①：当减少购买1个甲种文具时，x＝100－1＝99，y＝2；‎ 答案：99，2‎ ‎②：购买x个甲种文具时，减少购买（100－x）个甲种文具．‎ 根据题意，得：y＝2（100－x）＝－2x＋200．‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为：y＝－2x＋200．‎ ‎（2）根据题意，得：．‎ 解得：．‎ 答：甲、乙两种文具各购买了60个和80个．‎ ‎24．（8分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点．连接AO并延长，交PB的延长线于点C．连接PO，交⊙O于点D．‎ ‎（1）求证：PO平分∠APC．‎ ‎（2）连接DB．若∠C＝30°，求证：DB∥AC．‎ ‎【考点】切线的性质，圆周角定理、三角形全等的判定、角平分线的性质等．‎ ‎【分析】熟悉常用的解题思路，如：PA、PB是⊙O的切线，连接经过切点的半径，则∠OAP＝∠OBP＝90°，很容易即可证得△OAP≌△OBP；∠C＝30°，则图中所有角的度数均可以求出来，应用角的关系，易证DB∥AC．‎ ‎【解答】证明：‎ ‎（1）如图，连接OB．‎ ‎∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点．‎ ‎∴OA⊥AP，OB⊥BP．‎ ‎∵OA＝OB．‎ ‎∴PO平分∠APC．‎ ‎（2）∵OA⊥AP，OB⊥BP．‎ ‎∴∠OBC＝∠OBP＝∠CAP＝90°‎ ‎∵∠C＝30°‎ ‎∴∠1＝90°－∠C＝60°‎ ‎∠APC＝90°－∠C＝60°‎ ‎∵PO平分∠APC．‎ ‎∴∠4＝∠APC＝30°‎ ‎∴∠2＝90°－∠4＝60°‎ ‎∵OB＝OD ‎∴△OBD为等边三角形 ‎∴∠3＝60°‎ ‎∴∠1＝∠3‎ ‎∴DB∥AC ‎25．（8分）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上．这时，E处距离港口A有多远？‎ ‎（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ ‎【考点】三角函数的应用，中位线性质或图形的相似等．‎ ‎【分析】三角函数的应用通常需要构造直角三角形，解法有两种，其一为直接计算，其二为不能直接计算时需要建立方程（组）进行解答，方程模型通常有：线段的和差、三角函数式、勾股方程等．本题已知条件中C为中点，可以取AD中点F，连接CF，得到中位线CF，则CF∥BD，从而构造出两个直角三角形；方程可以由：AD－AE＝DE（5km）建立，只要选择一个线段长为未知数（x），把AD、AE分别用x的代数式表示出来即可求解，显然，选择CF为未知数最为合适．‎ ‎【解答】解：如图，取AD中点F，连接CF，设CF＝x．‎ ‎∵C恰好在AB的中点．‎ ‎∴CF是△ABD的中位线．‎ ‎∴CF∥BD，BD＝2CF＝2x．‎ 在Rt△ACF中，∠A＝37°．‎ ‎∵tanA＝．‎ ‎∴AF＝＝．‎ 在Rt△ECF中，∠CEF＝45°．‎ ‎∵tan∠CEF＝．‎ ‎∴EF＝＝＝x．‎ ‎∴AE＝AF＋EF＝＋x．‎ 在Rt△ABD中，∠A＝37°．‎ ‎∵tanA＝．‎ ‎∴AD＝＝．‎ ‎∵AD－AE＝DE．‎ ‎∴－（＋x）＝5．‎ 即－x＝5．‎ ‎∴x＝＝＝15．‎ ‎∴AE＝AF＋EF＝＋x＝＋15≈35（km）．‎ ‎∴E处距离港口A大约35km．‎ ‎26．（8分）已知函数y＝－x2＋（m－1）x＋m（m为常数）．‎ ‎（1）该函数的图像与x轴公共点的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．1或2‎ ‎（2）求证：不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y＝（x＋1）2的图像上．‎ ‎（3）当－2≤m≤3时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数的图像与性质，二次函数图像与x轴交点个数的判定，点与图像位置关系的判定，二次函数的取值范围等．‎ ‎【分析】解决二次函数问题，需要借助图像，形、数、式要充分结合起来，寻求问题解决的突破口．‎ ‎■判定函数的图像与x轴公共点的个数：即确定b2－4ac的值与0的大小关系；‎ ‎■判断一个点是否在函数图像上，通常是代入横坐标，比较纵坐标，实际上是将位置关系问题，转化为数（代数式）的计算（化简）问题．本函数y＝－x2＋（m－1）x＋m根据顶点坐标公式（或配方法）等方法可以得到顶点坐标为（，），把顶点横坐标x＝代入y＝（x＋1）‎ ‎2中化简，将化简结果与顶点纵坐标比较，如相等，则得证，实际上就是代数式的化简．‎ ‎■求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围，根据顶点纵坐标：k＝，可以把顶点的纵坐标k看作是关于m的二次函数，问题也就转化为当－2≤m≤3时，求函数k＝的取值范围了，结合图像（对应于解答图中的实线部分）即可得解．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）b2－4ac＝（m－1）2－4×（－1）×m＝m2－2m＋1＋4m＝m2－2m＋1＝（m＋1）2．‎ ‎∵（m＋1）2≥0．‎ ‎∴b2－4ac≥0．‎ 当b2－4ac＝0时，该函数的图像与x轴有唯一的公共点；‎ 当b2－4ac＞0时，该函数的图像与x轴有2个公共点；‎ 综上：该函数的图像与x轴有1个或2个公共点．‎ 答案：D．‎ ‎（2）设函数y＝－x2＋（m－1）x＋m的顶点坐标为（h，k）．‎ 根据顶点坐标公式得：‎ 顶点横坐标：h＝－＝－＝．‎ 把顶点横坐标：h＝，代入函数关系式，得：‎ 顶点纵坐标： k＝－（）2＋（m－1）·＋m【注：也可用顶点纵坐标公式来求】‎ ‎＝－＋＋m．‎ ‎＝＝．‎ 即：顶点坐标为：（，）．‎ ‎【注】顶点坐标也可通过配方法求得：‎ y＝－x2＋（m－1）x＋m．‎ ‎＝－〔x2－（m－1）x〕＋m．‎ ‎＝－〔x2－（m－1）x＋（）2－（）2〕＋m．‎ ‎＝－〔（x－）2－（）2〕＋m．‎ ‎＝－（x－）2＋（）2＋m．‎ ‎＝－（x－）2＋．‎ 把x＝，代入函数y＝（x＋1）2得：‎ y＝（＋1）2＝（）2＝．‎ ‎∴不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y＝（x＋1）2的图像上．‎ ‎（3）顶点纵坐标k＝，k为m的二次函数．‎ ‎ 该函数的顶点坐标为（－1，0），如图所示．‎ 当m＝－1是，k有最小值0．‎ 当m＜－1时，k随m的增大而减小．‎ 当m＞－1时，k随m的增大而增大．‎ 当m＝－2时，k＝．‎ 当m＝3时，k＝4．‎ ‎∴当－2≤m≤3时，该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围是：0≤k≤4‎ ‎27．（11分）折纸的思考．‎ ‎【操作体验】‎ 用一张矩形纸片折等边三角形．‎ 第一步．对折纸片ABCD（AB＞BC）（图①）使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．‎ 第二步．如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC．‎ ‎（1）说明△PBC是等边三角形．‎ ‎【数学思考】‎ ‎（2）如图④，小明画③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．‎ ‎（3）已知矩形一边长3cm另一边长acm．对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．‎ ‎【问题解决】‎ ‎（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为___________cm．‎ ‎【考点】轴对称的性质，图形的变换，相似三角形的判定与性质，相似比方程模型等．‎ ‎【分析】问题（1）应用折叠（重合）可得全等等相关知识；‎ 问题（2）审请题意，实际上问的就是图④中的等边三角形经过哪些变换可得到图⑤中的等边三角形，考查的图形的变换作图：旋转、位似（放大）；‎ 问题（3）分析讨论．‎ 情况1：如图1，一边在边长为3cm的边上，随着a逐渐增大，高h（h＝a）逐渐增大（如图2），当边长增大到3cm时（如图3），达到最大，a若再增大，等边三角形的一个顶点就在矩形外部了（如图4），故此种情况a的最大值：a＝h＝.‎ 即：0＜a≤ ；‎ ‎ 图1 图2 图3 图4‎ 情况2：一边在边长为acm的边上（如图1），此时等边三角形的边长为2，a≥2方能在形内画出最大的等边三角形（如图2），若a＜2，等边三角形的一个顶点就在矩形外部了（如图3），此种情况，a的最小值为2.‎ 即：a≥2；‎ ‎ 图1 图2 图3‎ 情况3：介于上述两种情况之间，三边都在矩形的内部. ．‎ 以情况1的情形为起点：‎ 如图1，此时等边三角形AMN的顶点M与C点重合，a＝，点M由C点沿CD方向移动；‎ 当运动到如图2位置时，边长BM＝BN＞3，线段BN向点A逼近，若此时a的值保持不变，点N就在矩形的外部，故a的值要增大，增大AD向上平移经过点N时的距离，如图3所示；‎ 点M继续移动，如图4，a则继续增大；‎ 最终，BN与AB重合，此时出现情况2，如图5；‎ 此时a的取值范围为：＜a＜2．‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎ ‎ ‎ 图4 图5‎ 问题（4），画出符合条件的图形，进行比较．‎ 裁法1：a＝4cm； 裁法2：a＝ cm； 裁法3：a＝cm 简述裁法3的解题过程：∠BAE＝90°－∠AEB＝∠FEC，又∠B＝∠C＝90°．‎ ‎∴△ABE∽△ECF．‎ ‎∴==．‎ 设EC=x，则AB=4x．‎ ‎∴BE=4x－x＝3x．‎ ‎∵AB2＋BE2＝AE2．‎ ‎∴（4x）2＋（3x）2＝42．‎ 解得：x＝．‎ ‎∴AB＝4x＝．‎ 比较三种裁法得到的正方形的边长：＞4＞．‎ 故填： ‎【解答】解 ‎（1）由第一次折叠可得：‎ EF为BC的垂直平分线 ‎∴BP＝PC 由第二次折叠可得：BP＝BC ‎∴BP＝PC＝BC ‎∴△PBC是等边三角形 ‎（2）本题答案不唯一，下列解法供参考.‎ 如图，以点B为旋转中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；‎ 在以B点为位似中心，将△P1BC1放大，使点C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2.‎ ‎【注】也可以在矩形ABCD内部，以B为顶点作一个等边三角形，在以B为位似中心将其放大；还可以先以B为顶点，作一个大的等边三角形，再以B为位似中心将其缩小等.‎ ‎（3）‎ ‎ ‎ ‎ 0＜a≤ ＜a＜2 a≥2 ‎（4） ‎