上海中考数学之如何添加辅助线

上海中考数学之如何添加辅助线

教师姓名 李老师 学生姓名 年 级 初三 上课时间 ‎2014/05/13‎ ‎19:00-21:00‎ 学 科 中考数学 课题名称 如何添加辅助线 教学目标 平面几何是历年来中考和竞赛的必考内容，其题目的灵活性远远是代数题目所不能比拟的，从简单的选择填空到较为复杂的中考压轴题甚至竞赛中的压轴题，出题范围极为广泛，难易程度差距较大，对于学生的数学知识综合运用能力考察较多。许多初中生对几何证明题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策。在这里通过介绍"添加辅助线"在平面几何中的运用,来提高学生对添加辅助线的解法能力。‎ 教学重难点 重点：三角形中辅助线的添加 难点：如何找到添加辅助线的切入点 l 知识精解 一 、三角形中常见辅助线的添加：‎ ‎1、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个三角形中，再运用三角形三边关系来证明.‎ ‎2、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再予以证明.‎ ‎3、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.‎ 例1：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。‎ ‎4、有与角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。‎ 例2：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE。‎ ‎5、作角平分线的垂线构造等腰三角形：‎ ‎6、由中点应想到利用三角形的中位线。‎ 例3．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。‎ ‎7、利用直角三角形斜边中线的性质。‎ 例4．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。‎ ‎8、构造全等三角形法：‎ ‎（1）倍长中线造全等；（2）截长补短；（3）平移变换；（4）借助角平分线造全等；‎ ‎（5）利用翻折构造全等三角形。‎ 二 、四边形中常见辅助线的添加：‎ ‎1、与平行四边形有关的辅助线作法 ‎（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形 ‎（2）利用两组对边平行构造平行四边形 ‎（3）利用对角线互相平分构造平行四边形 ‎2、和菱形有关的辅助线的作法 ‎ ‎（1）作菱形的高；‎ ‎（2）连结菱形的对角线.‎ ‎3、与矩形有辅助线作法 ‎ ‎（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；‎ ‎（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.‎ ‎4、与正方形有关辅助线的作法 ‎ 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.‎ ‎5、与梯形有关的辅助线的作法 ‎（1）平移：①平移一腰；②平移二腰；③平移对角线；‎ 例5、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．‎ ‎（2）延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形；‎ ‎（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；‎ ‎（4）作梯形的高；‎ ‎（5）作中位线：‎ ‎①已知梯形一腰中点，作梯形的中位线；‎ ‎②已知梯形两条对角线的中点，联结梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线；‎ 例6、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，‎ 求证：（1）EF//AD；（2）。 ‎ ‎③在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。‎ 例7、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=‎3cm，EF=‎5cm，求梯形ABCD的面积．‎ 三、圆中常见辅助线的添加：‎ ‎（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。‎ ‎（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。‎ ‎（3）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：延长BD交圆于C，利用垂径定理。‎ ‎（4）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，‎ ‎（5）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。‎ l 经典例题 ‎1、已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.‎ 当∠APB=45°时,求AB及PD的长.‎ ‎2、如图，在四边形ABCD中，若AD//BC,BC=CD=AC=6,AB=3√2，则BD的长为多少？‎ ‎3、已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．‎ ‎（1）当绕点旋转到时（如图1），求证．‎ ‎（2）当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明．‎ ‎（图1）‎ ‎（图2）‎ ‎（图3）‎ l 课堂练习 ‎1、如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。‎ ‎2、如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，试求BC的长.‎ ‎3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．‎ 图1 图2 图3‎ ‎（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； ‎ ‎（2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； ‎ l 课后作业 ‎1．已知：如图12，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．‎ ‎ 图12‎ ‎（1）判断直线与⊙的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若，求⊙的面积．‎ ‎2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。‎ A C B D E ‎ （1）求证：AC＝AE；‎ ‎ （2）求△ACD外接圆的半径。‎ ‎3、如图：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC.‎ ‎ ‎ ‎4. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长. ‎ ‎5、如图1，在中，，，，另有一等腰梯形（）的底边与重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．‎ ‎（1）直接写出△AGF与△ABC的面积的比值；‎ ‎（2）操作：固定，将等腰梯形以每秒1个单位的速度沿方向向右运动，直到点与点重合时停止．设运动时间为秒，运动后的等腰梯形为（如图2）．‎ ‎①探究1：在运动过程中，四边形能否是菱形？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．‎ F G A B D C E 图2‎ ‎②探究2：设在运动过程中与等腰梯形重叠部分的面积为，求与的函数关系式．‎ A F G ‎(D)B C(E)‎ 图1‎ ‎6、已知，在等腰直角△ACB中，AC=BC，AB=4，过点C做CP//AB，E为BC的动点（E不与B、C重合），∠DAE=45°，AC与DE交于点O。‎ ‎（1）求证：△ADE∽△ACB；‎ ‎（2）设CD=x，tan∠BAE=y，求y关于x的函数解析式，并求出它的定义域；‎ ‎（3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值。‎