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文档介绍
常州市中考数学试卷word解析版
2016年常州市中考数学试卷(word解析版) 一、选择题(共8小题,每小题2分,满分16分) 1.﹣2的绝对值是( ) A.﹣2 B.2 C.﹣ D. 2.计算3﹣(﹣1)的结果是( ) A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4 3.如图所示是一个几何体的三视图,这个几何体的名称是( ) A.圆柱体 B.三棱锥 C.球体 D.圆锥体 4.如图,数轴上点P对应的数为p,则数轴上与数﹣对应的点是( ) A.点A B.点B C.点C D.点D 5.如图,把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M、N,量得OM=8cm,ON=6cm,则该圆玻璃镜的半径是( ) A. cm B.5cm C.6cm D.10cm 6.若x>y,则下列不等式中不一定成立的是( ) A.x+1>y+1 B.2x>2y C.> D.x2>y2 7.已知△ABC中,BC=6,AC=3,CP⊥AB,垂足为P,则CP的长可能是( ) A.2 B.4 C.5 D.7 8.已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的自变量和对应函数值如表: x … ﹣1 0 2 4 … y1 … 0 1 3 5 … x … ﹣1 1 3 4 … y2 … 0 ﹣4 0 5 … 当y2>y1时,自变量x的取值范围是( ) A.x<﹣1 B.x>4 C.﹣1<x<4 D.x<﹣1或x>4 二、填空题(共10小题,每小题2分,满分20分) 9.化简:﹣=______. 10.若分式有意义,则x的取值范围是______. 11.分解因式:x3﹣2x2+x=______. 12.一个多边形的每个外角都是60°,则这个多边形边数为______. 13.若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等,则x的值是______. 14.在比例尺为1:40000的地图上,某条道路的长为7cm,则该道路的实际长度是______km. 15.已知正比例函数y=ax(a≠0)与反比例函数y=(k≠0)图象的一个交点坐标为(﹣1,﹣1),则另一个交点坐标是______. 16.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠A=70°,∠OBC=60°,则∠ODC=______. 17.已知x、y满足2x•4y=8,当0≤x≤1时,y的取值范围是______. 18.如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是______. 三、解答题(共10小题,满分84分) 19.先化简,再求值(x﹣1)(x﹣2)﹣(x+1)2,其中x=. 20.解方程和不等式组: (1)+=1 (2). 21.为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式,调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项,用随机抽样的方法调查了该市部分市民,并根据调查结果绘制成如下统计图. 根据统计图所提供的信息,解答下列问题: (1)本次共调查了______名市民; (2)补全条形统计图; (3)该市共有480万市民,估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数. 22.一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球,这些球除颜色外都相同 (1)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,求摸到红球的概率; (2)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球,求两次都摸到红球的概率. 23.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O (1)求证:OB=OC; (2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数. 24.某超市销售甲、乙两种糖果,购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元,购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元. (1)求甲、乙两种糖果的价格; (2)若购买甲、乙两种糖果共20千克,且总价不超过240元,问甲种糖果最少购买多少千克? 25.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α(30°<α<180°),得到△AO′B′. (1)当α=60°时,判断点B是否在直线O′B′上,并说明理由; (2)连接OO′,设OO′与AB交于点D,当α为何值时,四边形ADO′B′是平行四边形?请说明理由. 26.(1)阅读材料: 教材中的问题,如图1,把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开,使剪成的若干块能够拼成一个大正方形,小明的思考:因为剪拼前后的图形面积相等,且5个小正方形的总面积为5,所以拼成的大正方形边长为______,故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边,请在图1中用虚线补全剪拼示意图. (2)类比解决: 如图2,已知边长为2的正三角形纸板ABC,沿中位线DE剪掉△ADE,请把纸板剩下的部分DBCE剪开,使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形. ①拼成的正三角形边长为______; ②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图. (3)灵活运用: 如图3,把一边长为60cm的正方形彩纸剪开,用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝,其中∠BCD=90°,延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F,点E、F分别为AB、AD的中点,在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨,在图3的正方形中画出一种剪拼示意图,并求出相应轻质钢丝的总长度.(说明:题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余) 27.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点,点A(3,3),点M为抛物线的顶点. (1)求二次函数的表达式; (2)长度为2的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动,分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1,求四边形PQQ1P1面积的最大值; (3)直线OA上是否存在点E,使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 28.如图,正方形ABCD的边长为1,点P在射线BC上(异于点B、C),直线AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q (1)若BP=,求∠BAP的度数; (2)若点P在线段BC上,过点F作FG⊥CD,垂足为G,当△FGC≌△QCP时,求PC的长; (3)以PQ为直径作⊙M. ①判断FC和⊙M的位置关系,并说明理由; ②当直线BD与⊙M相切时,直接写出PC的长. 2016年江苏省常州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共8小题,每小题2分,满分16分) 1.﹣2的绝对值是( ) A.﹣2 B.2 C.﹣ D. 【考点】绝对值. 【分析】根据绝对值的定义,可直接得出﹣2的绝对值. 【解答】解:|﹣2|=2. 故选B. 【点评】本题考查了绝对值的定义,关键是利用了绝对值的性质. 2.计算3﹣(﹣1)的结果是( ) A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4 【考点】有理数的减法. 【分析】减去一个数等于加上这个数的相反数,所以3﹣(﹣1)=3+1=4. 【解答】解:3﹣(﹣1)=4, 故答案为:D. 【点评】本题考查了有理数的减法,属于基础题,比较简单;熟练掌握减法法则是做好本题的关键. 3.如图所示是一个几何体的三视图,这个几何体的名称是( ) A.圆柱体 B.三棱锥 C.球体 D.圆锥体 【考点】由三视图判断几何体. 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形. 【解答】解:由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体, 由俯视图为圆可得为圆柱体. 故选A. 【点评】本题考查了由三视图来判断几何体,还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力. 4.如图,数轴上点P对应的数为p,则数轴上与数﹣对应的点是( ) A.点A B.点B C.点C D.点D 【考点】数轴. 【分析】根据图示得到点P所表示的数,然后求得﹣的值即可. 【解答】解:如图所示,点P表示的数是1.5,则﹣=0.75>﹣1,则数轴上与数﹣对应的点是C. 故选:C. 【点评】本题考查了数轴,根据图示得到点P所表示的数是解题的关键. 5.如图,把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M、N,量得OM=8cm,ON=6cm,则该圆玻璃镜的半径是( ) A. cm B.5cm C.6cm D.10cm 【考点】圆周角定理;勾股定理. 【分析】如图,连接MN,根据圆周角定理可以判定MN是直径,所以根据勾股定理求得直径,然后再来求半径即可. 【解答】解:如图,连接MN, ∵∠O=90°, ∴MN是直径, 又OM=8cm,ON=6cm, ∴MN===10(cm). ∴该圆玻璃镜的半径是: MN=5cm. 故选:B. 【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理,半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 6.若x>y,则下列不等式中不一定成立的是( ) A.x+1>y+1 B.2x>2y C.> D.x2>y2 【考点】不等式的性质. 【分析】根据不等式的基本性质进行判断,不等式的两边加上同一个数,不等号的方向不变;不等式的两边乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 【解答】解:(A)在不等式x>y两边都加上1,不等号的方向不变,故(A)正确; (B)在不等式x>y两边都乘上2,不等号的方向不变,故(B)正确; (C)在不等式x>y两边都除以2,不等号的方向不变,故(C)正确; (D)当x=1,y=﹣2时,x>y,但x2<y2,故(D)错误. 故选(D) 【点评】本题主要考查了不等式的性质,应用不等式的性质应注意的问题:在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,一定要改变不等号的方向. 7.已知△ABC中,BC=6,AC=3,CP⊥AB,垂足为P,则CP的长可能是( ) A.2 B.4 C.5 D.7 【考点】垂线段最短. 【分析】根据垂线段最短得出结论. 【解答】解:如图,根据垂线段最短可知:PC<3, ∴CP的长可能是2, 故选A. 【点评】本题考查了垂线段最短的性质,正确理解此性质,垂线段最短,指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短;本题是指点C到直线AB连接的所有线段中,CP是垂线段,所以最短;在实际问题中涉及线路最短问题时,其理论依据应从“两点之间,线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择. 8.已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的自变量和对应函数值如表: x … ﹣1 0 2 4 … y1 … 0 1 3 5 … x … ﹣1 1 3 4 … y2 … 0 ﹣4 0 5 … 当y2>y1时,自变量x的取值范围是( ) A.x<﹣1 B.x>4 C.﹣1<x<4 D.x<﹣1或x>4 【考点】二次函数与不等式(组). 【分析】先在表格中找出点,用待定系数法求出直线和抛物线的解析式,用y2>y1建立不等式,求解不等式即可. 【解答】解:由表可知,(﹣1,0),(0,1)在直线一次函数y1=kx+m的图象上, ∴, ∴ ∴一次函数y1=x+1, 由表可知,(﹣1,0),(1,﹣4),(3,0)在二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象上, ∴, ∴ ∴二次函数y2=x2﹣2x﹣3 当y2>y1时,∴x2﹣2x﹣3>x+1, ∴(x﹣4)(x+1)>0, ∴x>4或x<﹣1, 故选D 【点评】此题是二次函数和不等式题目,主要考查了待定系数法,解不等式,解本题的关键是求出直线和抛物线的解析式. 二、填空题(共10小题,每小题2分,满分20分) 9.化简:﹣= . 【考点】二次根式的加减法. 【分析】先把各根式化为最简二次根式,再根据二次根式的减法进行计算即可. 【解答】解:原式=2﹣ =. 故答案为:. 【点评】本题考查的是二次根式的加减法,熟知二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变是解答此题的关键. 10.若分式有意义,则x的取值范围是 x≠﹣1 . 【考点】分式有意义的条件. 【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可. 【解答】解:∵分式有意义, ∴x+1≠0,即x≠﹣﹣1 故答案为:x≠﹣1. 【点评】本题考查的是分式有意义的条件,熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键. 11.分解因式:x3﹣2x2+x= x(x﹣1)2 . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】首先提取公因式x,进而利用完全平方公式分解因式即可. 【解答】解:x3﹣2x2+x=x(x2﹣2x+1)=x(x﹣1)2. 故答案为:x(x﹣1)2. 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,熟练应用完全平方公式是解题关键. 12.一个多边形的每个外角都是60°,则这个多边形边数为 6 . 【考点】多边形内角与外角. 【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数. 【解答】解:360÷60=6. 故这个多边形边数为6. 故答案为:6. 【点评】此题主要考查了多边形的外角和,关键是掌握任何多边形的外角和都360°. 13.若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等,则x的值是 ﹣4 . 【考点】解一元一次方程. 【分析】根据题意列出方程,求出方程的解即可得到x的值. 【解答】解:根据题意得:x﹣5=2x﹣1, 解得:x=﹣4, 故答案为:﹣4 【点评】此题考查了解一元一次方程,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 14.在比例尺为1:40000的地图上,某条道路的长为7cm,则该道路的实际长度是 2.8 km. 【考点】比例线段. 【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离,依题意列比例式直接求解即可. 【解答】解:设这条道路的实际长度为x,则: , 解得x=280000cm=2.8km. ∴这条道路的实际长度为2.8km. 故答案为:2.8 【点评】此题考查比例线段问题,能够根据比例尺正确进行计算,注意单位的转换. 15.已知正比例函数y=ax(a≠0)与反比例函数y=(k≠0)图象的一个交点坐标为(﹣1,﹣1),则另一个交点坐标是 (1,1) . 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形,则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称. 【解答】解:∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称, ∴另一个交点的坐标与点(﹣1,﹣1)关于原点对称, ∴该点的坐标为(1,1). 故答案为:(1,1). 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性,要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数. 16.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠A=70°,∠OBC=60°,则∠ODC= 50° . 【考点】圆内接四边形的性质. 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数,利用圆周角定理求出∠BOD的度数,再根据四边形内角和为360度即可求出∠ODC的度数. 【解答】解:∵∠A=70° ∴∠C=180°﹣∠A=110°, ∴∠BOD=2∠A=140°, ∵∠OBC=60°, ∴∠ODC=360°﹣110°﹣140°﹣60°=50°, 故答案为:50°. 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质,熟知圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是解答此题的关键. 17.已知x、y满足2x•4y=8,当0≤x≤1时,y的取值范围是 1≤y≤ . 【考点】解一元一次不等式组;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 【分析】首先把已知得到式子的两边化成以2为底数的幂的形式,然后得到x和y的关系,根据x的范围求得y的范围. 【解答】解:∵2x•4y=8, ∴2x•22y=23,即2x+2y=23, ∴x+2y=3. ∴y=, ∵0≤x≤1, ∴1≤y≤. 故答案是:1≤y≤. 【点评】本题考查了幂的乘方和同底数的幂的乘法法则,理解幂的运算法则得到x和y的关系是关键. 18.如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是 1 . 【考点】平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【分析】先延长EP交BC于点F,得出PF⊥BC,再判定四边形CDEP为平行四边形,根据平行四边形的性质得出:四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab,最后根据a2+b2=4,判断ab的最大值即可. 【解答】解:延长EP交BC于点F, ∵∠APB=90°,∠AOE=∠BPC=60°, ∴∠EPC=150°, ∴∠CPF=180°﹣150°=30°, ∴PF平分∠BPC, 又∵PB=PC, ∴PF⊥BC, 设Rt△ABP中,AP=a,BP=b,则 CF=CP=b,a2+b2=22=4, ∵△APE和△ABD都是等边三角形, ∴AE=AP,AD=AB,∠EAP=∠DAB=60°, ∴∠EAD=∠PAB, ∴△EAD≌△PAB(SAS), ∴ED=PB=CP, 同理可得:△APB≌△DCB(SAS), ∴EP=AP=CP, ∴四边形CDEP是平行四边形, ∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab, 又∵(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2≥0, ∴2ab≤a2+b2=4, ∴ab≤1, 即四边形PCDE面积的最大值为1. 故答案为:1 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线. 三、解答题(共10小题,满分84分) 19.先化简,再求值(x﹣1)(x﹣2)﹣(x+1)2,其中x=. 【考点】多项式乘多项式. 【分析】根据多项式乘以多项式先化简,再代入求值,即可解答. 【解答】解:(x﹣1)(x﹣2)﹣(x+1)2, =x2﹣2x﹣x+2﹣x2﹣2x﹣1 =﹣5x+1 当x=时, 原式=﹣5×+1 =﹣. 【点评】本题考查了多项式乘以多项式,解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式. 20.解方程和不等式组: (1)+=1 (2). 【考点】解分式方程;解一元一次不等式组. 【分析】(1)先把分式方程化为整式方程求出x的值,再代入最简公分母进行检验即可; (2)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 【解答】解:(1)原方程可化为x﹣5=5﹣2x,解得x=, 把x=代入2x﹣5得,2x﹣5=﹣5=≠0, 故x=是原分式方程的解; (2),由①得,x≤2,由②得,x>﹣1, 故不等式组的解为:﹣1<x≤2. 【点评】本题考查的是解分式方程,在解答此类题目时要注意验根. 21.为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式,调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项,用随机抽样的方法调查了该市部分市民,并根据调查结果绘制成如下统计图. 根据统计图所提供的信息,解答下列问题: (1)本次共调查了 2000 名市民; (2)补全条形统计图; (3)该市共有480万市民,估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数. 【考点】条形统计图;总体、个体、样本、样本容量;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】(1)根据“总人数=看电视人数÷看电视人数所占比例”即可算出本次共调查了多少名市民; (2)根据“其它人数=总人数×其它人数所占比例”即可算出晚饭后选择其它的市民数,再用“锻炼人数=总人数﹣看电视人数﹣阅读人数﹣其它人数”即可算出晚饭后选择锻炼的人数,依此补充完整条形统计图即可; (3)根据“本市选择锻炼人数=本市总人数×锻炼人数所占比例”即可得出结论. 【解答】解:(1)本次共调查的人数为:800÷40%=2000, 故答案为:2000. (2)晚饭后选择其它的人数为:2000×28%=560, 晚饭后选择锻炼的人数为:2000﹣800﹣240﹣560=400. 将条形统计图补充完整,如图所示. (3)晚饭后选择锻炼的人数所占的比例为:400÷2000=20%, 该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为:480×20%=96(万). 答:该市共有480万市民,估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为96万. 【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体,解题的关键是:(1)根据数量关系算出样本容量;(2)求出选择其它和锻炼的人数;(3)根据比例关系估算出本市晚饭后1小时内锻炼的人数.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,熟练掌握各统计图的有关知识是关键. 22.一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球,这些球除颜色外都相同 (1)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,求摸到红球的概率; (2)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球,求两次都摸到红球的概率. 【考点】列表法与树状图法;概率公式. 【专题】计算题. 【分析】(1)直接利用概率公式求解; (2)先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数,再找出两次都摸到红球的结果数,然后根据概率公式求解. 【解答】解:(1)摸到红球的概率=; (2)画树状图为: 共有9种等可能的结果数,其中两次都摸到红球的结果数为1, 所以两次都摸到红球的概率=. 【点评】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率. 23.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O (1)求证:OB=OC; (2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数. 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】(1)首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB,然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC,从而得证; (2)首先求出∠A的度数,进而求出∠BOC的度数. 【解答】(1)证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵BD、CE是△ABC的两条高线, ∴∠DBC=∠ECB, ∴OB=OC; (2)∵∠ABC=50°,AB=AC, ∴∠A=180°﹣2×50°=80°, ∴∠BOC=180°﹣80°=100°. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理;关键是掌握等腰三角形等角对等边. 24.某超市销售甲、乙两种糖果,购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元,购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元. (1)求甲、乙两种糖果的价格; (2)若购买甲、乙两种糖果共20千克,且总价不超过240元,问甲种糖果最少购买多少千克? 【考点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用. 【分析】(1)设超市甲种糖果每千克需x元,乙种糖果每千克需y元.根据“3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元,购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元”列出方程组并解答; (2)设购买甲种糖果a千克,则购买乙种糖果(20﹣a)千克,结合“总价不超过240元”列出不等式,并解答. 【解答】解:(1)设超市甲种糖果每千克需x元,乙种糖果每千克需y元, 依题意得:, 解得. 答:超市甲种糖果每千克需10元,乙种糖果每千克需14元; (2)设购买甲种糖果a千克,则购买乙种糖果(20﹣a)千克, 依题意得:10a+14(20﹣a)≤240, 解得a≥10, 即a最小值=10. 答:该顾客混合的糖果中甲种糖果最少10千克. 【点评】本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,找到所求的量的数量关系. 25.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α(30°<α<180°),得到△AO′B′. (1)当α=60°时,判断点B是否在直线O′B′上,并说明理由; (2)连接OO′,设OO′与AB交于点D,当α为何值时,四边形ADO′B′是平行四边形?请说明理由. 【考点】一次函数图象上点的坐标特征;平行四边形的判定;坐标与图形变化-旋转. 【分析】(1)首先证明∠BAO=30°,再求出直线O′B′的解析式即可解决问题. (2)如图2中,当α=120°时,四边形ADO′B′是平行四边形.只要证明∠DAO′=∠AO′B′=90°,∠O′AO=∠O′AB′=30°,即可解决问题. 【解答】解;(1)如图1中, ∵一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B, ∴A(,0),B(0,1), ∴tan∠BAO=, ∴∠BAO=30°,AB=2OB=2, ∵旋转角为60°, ∴B′(,2),O′(,), 设直线O′B′解析式为y=kx+b, ∴,,解得, ∴直线O′B′的解析式为y=x+1, ∵x=0时,y=1, ∴点B(0,1)在直线O′B′上. (2)如图2中,当α=120°时,四边形ADO′B′是平行四边形. 理由:∵AO=AO′,∠OAO′=120°,∠BAO=30°, ∴∠DAO′=∠AO′B′=90°,∠O′AO=∠O′AB′=30°, ∴AD∥O′B′,DO′∥AB′, ∴四边形ADO′B′是平行四边形. 【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、平行四边形的性质和判定、旋转变换等知识,解题的关键是利用性质不变性解决问题,属于中考常考题型. 26.(1)阅读材料: 教材中的问题,如图1,把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开,使剪成的若干块能够拼成一个大正方形,小明的思考:因为剪拼前后的图形面积相等,且5个小正方形的总面积为5,所以拼成的大正方形边长为 ,故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边,请在图1中用虚线补全剪拼示意图. (2)类比解决: 如图2,已知边长为2的正三角形纸板ABC,沿中位线DE剪掉△ADE,请把纸板剩下的部分DBCE剪开,使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形. ①拼成的正三角形边长为 ; ②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图. (3)灵活运用: 如图3,把一边长为60cm的正方形彩纸剪开,用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝,其中∠BCD=90°,延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F,点E、F分别为AB、AD的中点,在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨,在图3的正方形中画出一种剪拼示意图,并求出相应轻质钢丝的总长度.(说明:题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余) 【考点】四边形综合题. 【分析】(1)依题意补全图形如图1,利用剪拼前后的图形面积相等,得出大正方形的面积即可; (2)①先求出梯形EDBC的面积,利用剪拼前后的图形面积相等,结合等边三角形的面积公式即可; ②依题意补全图形如图3所示; (3)依题意补全图形如图4,根据剪拼的特点,得出AC是正方形的对角线,点E,F是正方形两邻边的中点,构成等腰直角三角形,即可. 【解答】解:(1)补全图形如图1所示, 由剪拼可知,5个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积, ∵5个小正方形的总面积为5 ∴大正方形的面积为5, ∴大正方形的边长为, 故答案为:; (2)①如图2, ∵边长为2的正三角形纸板ABC,沿中位线DE剪掉△ADE, ∴DE=BC=1,BD=CE=1 过点D作DM⊥BC, ∵∠DBM=60° ∴DM=, ∴S梯形EDBC=(DE+BC)×DM=(1+2)×=, 由剪拼可知,梯形EDBC的面积等于新拼成的等边三角形的面积, 设新等边三角形的边长为a, ∴a2=, ∴a=或a=﹣(舍), ∴新等边三角形的边长为, 故答案为:; ②剪拼示意图如图3所示, (3)剪拼示意图如图4所示, ∵正方形的边长为60cm, 由剪拼可知,AC是正方形的对角线, ∴AC=60cm, 由剪拼可知,点E,F分别是正方形的两邻边的中点, ∴CE=CF=30cm, ∵∠ECF=90°, 根据勾股定理得,EF=30cm; ∴轻质钢丝的总长度为AC+EF=60+30=90cm. 【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,等边三角形的性质,勾股定理,剪拼的特点,解本题的关键是根据题意补全图形,难点是剪拼新正三角形和筝形. 27.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点,点A(3,3),点M为抛物线的顶点. (1)求二次函数的表达式; (2)长度为2的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动,分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1,求四边形PQQ1P1面积的最大值; (3)直线OA上是否存在点E,使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)把点A(3,3)代入y=x2+bx中,即可解决问题. (2)设点P在点Q的左下方,过点P作PE⊥QQ1于点E,如图1所示.设点P(m,m)(0<m<1),则Q(m+2,m+2),P1(m,m2﹣2m),Q1(m+2,m2+2m),构建二次函数,利用二次函数性质即可解决问题. (3)存在,首先证明EF是线段AM的中垂线,利用方程组求交点E坐标即可. 【解答】解:(1)把点A(3,3)代入y=x2+bx中, 得:3=9+3b,解得:b=﹣2, ∴二次函数的表达式为y=x2﹣2x. (2)设点P在点Q的左下方,过点P作PE⊥QQ1于点E,如图1所示. ∵PE⊥QQ1,QQ1⊥x轴, ∴PE∥x轴, ∵直线OA的解析式为y=kx, ∴∠QPE=45°, ∴PE=PQ=2. 设点P(m,m)(0<m<1),则Q(m+2,m+2),P1(m,m2﹣2m),Q1(m+2,m2+2m), ∴PP1=3m﹣m2,QQ1=2﹣m2﹣m, ∴=(PP1+QQ1)•PE=﹣2m2+2m+2=﹣2+, ∴当m=时,取最大值,最大值为. (3)存在. 如图2中,点E的对称点为F,EF与AM交于点G,连接OM、MF、AF、OF. ∵S△AOF=S△AOM, ∴MF∥OA, ∵EG=GF, =, ∴AG=GM, ∵M(1,﹣1),A(3,3), ∴点G(2,1), ∵直线AM解析式为y=2x﹣3, ∴线段AM的中垂线EF的解析式为y=﹣x+2, 由解得, ∴点E坐标为(,). 【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行线的性质、一次函数、面积问题等知识,解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式,学会构建二次函数,利用二次函数性质解决最值问题,学会利用方程组求两个函数的交点,属于中考压轴题. 28.如图,正方形ABCD的边长为1,点P在射线BC上(异于点B、C),直线AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q (1)若BP=,求∠BAP的度数; (2)若点P在线段BC上,过点F作FG⊥CD,垂足为G,当△FGC≌△QCP时,求PC的长; (3)以PQ为直径作⊙M. ①判断FC和⊙M的位置关系,并说明理由; ②当直线BD与⊙M相切时,直接写出PC的长. 【考点】圆的综合题. 【分析】(1)在直角△ABP中,利用特殊角的三角函数值求∠BAP的度数; (2)设PC=x,根据全等和正方形性质得:QC=1﹣x,BP=1﹣x,由AB∥DQ得,代入列方程求出x的值,因为点P在线段BC上,所以x<1,写出符合条件的PC的长; (3)①如图2,当点P在线段BC上时,FC与⊙M相切,只要证明FC⊥CM即可,先根据直角三角形斜边上的中线得CM=PM,则∠MCP=∠MPC,从而可以得出∠MCP+∠BAP=90°,再证明△ADF≌△CDF, 得∠FAD=∠FCD,则∠BAP=∠BCF,所以得出∠MCP+∠BCF=90°,FC⊥CM; 如图3,当点P在线段BC的延长线上时,FC与⊙M相切,同理可得∠MCD+∠FCD=90°,则FC⊥CM,FC与⊙M相切; ②当点P在线段AB上时,如图4,设⊙M切BD于E,连接EM、MC,设∠Q=x,根据平角BFD列方程求出x的值,作AP的中垂线HN,得∠BHP=30°,在Rt△BHP中求出BP的长,则得出PC=﹣1;当点P在点C的右侧时(即在线段BC的延长线上),如图5,同理可得:PC=+1. 【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABP=90°, ∴tan∠BAP===, ∵tan30°=, ∴∠BAP=30°; (2)如图1,设PC=x,则BP=1﹣x, ∵△FGC≌△QCP, ∴GC=PC=x,DG=1﹣x, ∵∠BDC=45°,∠FGD=90°, ∴△FGD是等腰直角三角形, ∴FG=DG=CQ=1﹣x, ∵AB∥DQ, ∴, ∴, ∴x=(1﹣x)2, 解得:x1=>1(舍去),x2=, ∴PC=; (3)①如图2,当点P在线段BC上时,FC与⊙M相切,理由是: 取PQ的中点M,以M为圆心,以PQ为直径画圆,连接CM, ∵∠PCQ=90°,PQ为直径, ∴点C是圆M上, ∵△PCQ为直角三角形, ∴MC=PM, ∴∠MCP=∠MPC, ∵∠APB=∠MPC, ∴∠MCP=∠APB, ∵∠APB+∠BAP=90°, ∴∠MCP+∠BAP=90°, ∵AD=DC,∠ADB=∠CDB,FD=FD, ∴△ADF≌△CDF, ∴∠FAD=∠FCD, ∵∠BAP+∠FAD=∠BCF+∠FCD, ∴∠BAP=∠BCF, ∴∠MCP+∠BCF=90°, ∴FC⊥CM, ∴FC与⊙M相切; 如图3,当点P在线段BC的延长线上时,FC与⊙M也相切,理由是: 取PQ的中点M,以M为圆心,以PQ为直径画圆,连接CM, 同理得∠AQD=∠MCQ,点C是圆M上, ∵AD=DC,∠BDA=∠CDB=45°,DF=DF, ∴△ADF≌△CDF, ∴∠FAD=∠FCD, ∵∠AQD+∠FAD=90°, ∴∠MCD+∠FCD=90°, ∴FC⊥MC, ∴FC与⊙M相切; ②当点P在线段AB上时,如图4, 设⊙M切BD于E,连接EM、MC, ∴∠MEF=∠MCF=90°, ∵ME=MC,MF=MF, ∴△MEF≌△MCF, ∴∠QFC=∠QFE, ∵∠BAP=∠Q=∠BCF, 设∠Q=x,则∠BAP=∠BCF=x,∠QFE=∠QFC=45°+x,∠DFC=45°+x, ∵∠QFE+∠QFC+∠DFC=180°, ∴3(45+x)=180, x=15, ∴∠Q=15°, ∴∠BAP=15°, 作AP的中垂线HN,交AB于H,交AP于N, ∴AH=AP, ∴∠BHP=30°, 设BP=x,则HP=2x,HB=x, ∴2x+x=1, x=2﹣, ∴PC=BC﹣BP=1﹣(2﹣)=﹣1; 当点P在点C的右侧时(即在线段BC的延长线上),如图5, 同理可得:PC=+1; 综上所述:PC=﹣1或+1. 【点评】本题是圆的综合题,综合考查了正方形、圆及切线、全等三角形的性质及判定;同时利用特殊的三角函数值求角的度数,本题还是动点问题,难度较大,尤其是第(3)问,因为不确定点P是在线段BC上还是在延长线上,有此情况存在,所以都要分情况进行讨论,从而分别证出结论或求出PC的长.查看更多