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文档介绍
中考数学专题特训第十四讲:二次函数的同象和性质(含详细参考答案)
中考数学专题复习第十四讲 二次函数的同象和性质 【基础知识回顾】 一、 二次函数的定义: 一、 一般地如果y= (a、b、c是常数a≠0)那么y叫做x的二次函数 【提醒: 二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是:1、等号左边是函数,右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式,x的 最 高 次 数 是 , 按 一次排列 2、强调二次项系数a 0】 二、二次函数的同象和性质: 1、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的同象是一条 ,其定点坐标为 对称轴式 2、在抛物y=kx 2+bx+c(a≠0)中:1、当a>0时,y口向 ,当x<-时,y随x的增大而 ,当x 时,y随x的增大而增大,2、当a<0时,开口向 当x<-时,y随x增大而增大,当x 时,y随x增大而减小 【提醒:注意几个特殊形式的抛物线的特点 1、y=ax2 ,对称轴 定点坐标 2、y= ax2 +k,对称轴 定点坐标 3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标 4、y=a(x-h) 2 +k对称轴 定点坐标 】 三、二次函数同象的平移 【提醒:二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移,固然要掌握整抛物线的平移,只要关键的顶点平移即可】 四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系: a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 |a|越大,开口越 b:对称轴位置,与a联系一起,用 判断b=0时,对称轴是 c:与y轴的交点:交点在y轴正半轴上,则c 0负半轴上则c 0,当c=0时,抛物点过 点 【提醒:在抛物线y= ax2+bx+c中,当x=1时,y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】 【重点考点例析】 考点一:二次函数图象上点的坐标特点 例1 (2012•常州)已知二次函数y=a(x-2)2+c(a>0),当自变量x分别取、3、0时,对应的函数值分别:y1,y2,y3,,则y1,y2,y3的大小关系正确的是( ) A.y3<y2<y1 B.y1<y2<y3 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2 思路分析:根据抛物线的性质,开口向上的抛物线,其上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大,x取0时所对应的点离对称轴最远,x取 时所对应的点离对称轴最近,即可得到答案. 解:∵二次函数y=a(x-2)2+c(a>0), ∴该抛物线的开口向上,且对称轴是x=2. ∴抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大, ∵x取0时所对应的点离对称轴最远,x取时所对应的点离对称轴最近, ∴y3>y2>y1. 故选B. 点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.解题时,需熟悉抛物线的有关性质:抛物线的开口向上,则抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大. 对应训练 1.(2012•衢州)已知二次函数y=x2-7x+,若自变量x分别取x1,x2,x3,且0<x1<x2<x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是( ) A.y1>y2>y3 B.y1<y2<y3 C.y2>y3>y1 D.y2<y3<y1 2.A 2.解:∵二次函数y=x2-7x+, ∴此函数的对称轴为:x==, ∵0<x1<x2<x3,三点都在对称轴右侧,a<0, ∴对称轴右侧y随x的增大而减小, ∴y1>y2>y3. 故选:A. 考点二:二次函数的图象和性质 例2 (2012•咸宁)对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法: ①它的图象与x轴有两个公共点; ②如果当x≤1时y随x的增大而减小,则m=1; ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=-1; ④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数值为-3. 其中正确的说法是 .(把你认为正确说法的序号都填上)考点:二次函数的性质;二次函数图象与几何变换;抛物线与x轴的交点. 思路分析:①根据函数与方程的关系解答; ②找到二次函数的对称轴,再判断函数的增减性; ③将m=-1代入解析式,求出和x轴的交点坐标,即可判断; ④根据坐标的对称性,求出m的值,得到函数解析式,将m=2012代入解析式即可. 解:①∵△=4m2-4×(-3)=4m2+12>0,∴它的图象与x轴有两个公共点,故本选项正确; ②∵当x≤1时y随x的增大而减小,∴函数的对称轴x=-≥1在直线x=1的右侧(包括与直线x=1重合),则≥1,即m≥1,故本选项错误; ③将m=-1代入解析式,得y=x2+2x-3,当y=0时,得x2+2x-3=0,即(x-1)(x+3)=0,解得,x1=1,x2=-3,将图象向左平移3个单位后不过原点,故本选项错误; ④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,∴对称轴为x==1006,则=1006,m=1006,原函数可化为y=x2-2012x-3,当x=2012时,y=20122-2012×2012-3=-3,故本选项正确. 故答案为①④(多填、少填或错填均不给分). 点评:本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点,综合性较强,体现了二次函数的特点. 对应训练 2.(2012•河北)如图,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论: ①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=1;③当x=0时,y2-y1=4;④2AB=3AC; 其中正确结论是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 1.解:①∵抛物线y2=(x-3)2+1开口向上,顶点坐标在x轴的上方,∴无论x取何值,y2的值总是正数,故本小题正确; ②把A(1,3)代入,抛物线y1=a(x+2)2-3得,3=a(1+2)2-3,解得a= ,故本小题错误; ③由两函数图象可知,抛物线y1=a(x+2)2-3过原点,当x=0时,y2=(0-3)2+1=,故y2-y1=,故本小题错误; ④∵物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3), ∴y1的对称轴为x=-2,y2的对称轴为x=3, ∴B(-5,3),C(5,3) ∴AB=6,AC=4, ∴2AB=3AC,故本小题正确. 故选D. 考点三:抛物线的特征与a、b、c的关系 例3 (2012•玉林)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为x=1,有如下结论: ①c<1;②2a+b=0;③b2<4ac;④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2, 则正确的结论是( ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 思路分析:由抛物线与y轴的交点在1的上方,得到c大于1,故选项①错误;由抛物线的对称轴为x=1,利用对称轴公式得到关于a与b的关系,整理得到2a+b=0,选项②正确;由抛物线与x轴的交点有两个,得到根的判别式大于0,整理可判断出选项③错误;令抛物线解析式中y=0,得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出两根之和,将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2,选项④正确,即可得到正确的选项. 解:由抛物线与y轴的交点位置得到:c>1,选项①错误; ∵抛物线的对称轴为x==1,∴2a+b=0,选项②正确; 由抛物线与x轴有两个交点,得到b2-4ac>0,即b2>4ac,选项③错误; 令抛物线解析式中y=0,得到ax2+bx+c=0, ∵方程的两根为x1,x2,且=1,及=2, ∴x1+x2==2,选项④正确, 综上,正确的结论有②④. 故选C 点评:此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c). 对应训练 3.(2012•重庆)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示对称轴为x=.下列结论中,正确的是( ) A.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a+c<2b 3.D 3.解:A、∵开口向上, ∴a>0, ∵与y轴交与负半轴, ∴c<0, ∵对称轴在y轴左侧, ∴<0, ∴b>0, ∴abc<0, 故本选项错误; B、∵对称轴:x==, ∴a=b, 故本选项错误; C、当x=1时,a+b+c=2b+c<0, 故本选项错误; D、∵对称轴为x=,与x轴的一个交点的取值范围为x1>1, ∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2<-2, ∴当x=-2时,4a-2b+c<0, 即4a+c<2b, 故本选项正确. 故选D. 考点四:抛物线的平移 例4 (2012•桂林)如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后,其顶点在直线上的A处,则平移后的抛物线解析式是( ) A.y=(x+1)2-1 B.y=(x+1)2+1 C.y=(x-1)2+1 D.y=(x-1)2-1 思路分析:首先根据A点所在位置设出A点坐标为(m,m)再根据AO= ,利用勾股定理求出m的值,然后根据抛物线平移的性质:左加右减,上加下减可得解析式. 解:∵A在直线y=x上, ∴设A(m,m), ∵OA= , ∴m2+m2=()2, 解得:m=±1(m=-1舍去), m=1, ∴A(1,1), ∴抛物线解析式为:y=(x-1)2+1, 故选:C. 点评:此题主要考查了二次函数图象的几何变换,关键是求出A点坐标,掌握抛物线平移的性质:左加右减,上加下减. 对应训练 4.(2012•南京)已知下列函数①y=x2;②y=-x2;③y=(x-1)2+2.其中,图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有 (填写所有正确选项的序号). 4.①③ 4.解:原式可化为:y=(x+1)2-4, 由函数图象平移的法则可知,将函数y=x2的图象先向左平移1个单位,再向下平移4个单位即可得到函数y=(x+1)2-4,的图象,故①正确; 函数y=(x+1)2-4的图象开口向上,函数y=-x2;的图象开口向下,故不能通过平移得到,故②错误; 将y=(x-1)2+2的图象向左平移2个单位,再向下平移6个单位即可得到函数y=(x+1)2-4的图象,故③正确. 故答案为:①③. 【聚焦山东中考】 1.(2012•泰安)二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 1.C 1.解:∵抛物线的顶点在第四象限, ∴-m>0,n<0, ∴m<0, ∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限, 故选C. 2.(2012•济南)如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是( ) A.y的最大值小于0 B.当x=0时,y的值大于1 C.当x=-1时,y的值大于1 D.当x=-3时,y的值小于0 2.D 2.解:A、由图象知,点(1,1)在图象的对称轴的左边,所以y的最大值大于1,不小于0;故本选项错误; B、由图象知,当x=0时,y的值就是函数图象与y轴的交点,而图象与y轴的交点在(1,1)点的左边,故y<1;故本选项错误; C、对称轴在(1,1)的右边,在对称轴的左边y随x的增大而增大,∵-1<1,∴x=-1时,y的值小于x=-1时,y的值1,即当x=-1时,y的值小于1;故本选项错误; D、当x=-3时,函数图象上的点在点(-2,-1)的左边,所以y的值小于0;故本选项正确. 故选D. 3.(2012•菏泽)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=bx+c和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 3.C 3.解:∵二次函数图象开口向下, ∴a<0, ∵对称轴x=<0, ∴b<0, ∵二次函数图象经过坐标原点, ∴c=0, ∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点,反比例函数位于第二四象限, 纵观各选项,只有C选项符合. 故选C. 4.(2012•泰安)设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为( ) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 4.A 4.解:∵函数的解析式是y=-(x+1)2+a,如右图, ∴对称轴是x=-1, ∴点A关于对称轴的点A′是(0,y1), 那么点A′、B、C都在对称轴的右边,而对称轴右边y随x的增大而减小, 于是y1>y2>y3. 故选A. 5.(2012•烟台)已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③其图象顶点坐标为(3,-1);④当x<3时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.A 5.解:①∵2>0,∴图象的开口向上,故本小题错误; ②图象的对称轴为直线x=3,故本小题错误; ③其图象顶点坐标为(3,1),故本小题错误; ④当x<3时,y随x的增大而减小,正确; 综上所述,说法正确的有④共1个. 故选A. 6.(2012•日照)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:①b2-4ac>0;②2a+b<0;③4a-2b+c=0;④a:b:c=-1:2:3.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 6.D 6.解:由二次函数图象与x轴有两个交点, ∴b2-4ac>0,选项①正确; 又对称轴为直线x=1,即=1, 可得2a+b=0(i),选项②错误; ∵-2对应的函数值为负数, ∴当x=-2时,y=4a-2b+c<0,选项③错误; ∵-1对应的函数值为0, ∴当x=-1时,y=a-b+c=0(ii), 联立(i)(ii)可得:b=-2a,c=-3a, ∴a:b:c=a:(-2a):(-3a)=-1:2:3,选项④正确, 则正确的选项有:①④. 故选D. 7.(2012•泰安)将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( ) A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3 C.y=3(x+2)2-3 D.y=3(x-2)2-3 7.A 8.(2012•潍坊)许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料,节约用气是我们日常生活中非常现实的问题.某款燃气灶旋转位置从0度到90度(如图),燃气关闭时,燃气灶旋转的位置为0度,旋转角度越大,燃气流量越大,燃气开到最大时,旋转角度为90度.为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量,在相同条件下,选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时,其火力不能够将水烧开,故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90),记录相关数据得到下表: 旋钮角度(度) 20 50 70 80 90 所用燃气量(升) 73 67 83 97 115 (1)请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律?说明确定是这种函数而不是其它函数的理由,并求出它的解析式; (2)当旋钮角度为多少时,烧开一壶水所用燃气量最少?最少是多少? (3)某家庭使用此款燃气灶,以前习惯把燃气开到最大,现采用最节省燃气的旋钮角度,每月平均能节约燃气10立方米,求该家庭以前每月的平均燃气量. 8.解:(1)若设y=kx+b(k≠0), 由, 解得, 所以y=x+77,把x=70代入得y=65≠83,所以不符合; 若设(k≠0),由73=,解得k=1460, 所以y=,把x=50代入得y=29.2≠67,所以不符合; 若设y=ax2+bx+c, 则由, 解得 , 所以y=x2-x+97(18≤x≤90), 把x=80代入得y=97,把x=90代入得y=115,符合题意. 所以二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律; (2)由(1)得:y=x2-x+97=(x-40)2+65, 所以当x=40时,y取得最小值65. 即当旋钮角度为40°时,烧开一壶水所用燃气量最少,最少为65升; (3)由(2)及表格知,采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50(升) 设该家庭以前每月平均用气量为a立方米,则由题意得: a=10, 解得a=23(立方米), 即该家庭以前每月平均用气量为23立方米. 【备考真题过关】 一、选择题 1.(2012•白银)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数值y<0时x的取值范围是( ) A.x<-1 B.x>3 C.-1<x<3 D.x<-1或x>3 1.C 2.(2012•兰州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A.k<-3 B.k>-3 C.k<3 D.k>3 2.D 2.解:根据题意得:y=|ax2+bx+c|的图象如右图: 所以若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根, 则k>3, 故选D. 3.(2012•德阳)设二次函数y=x2+bx+c,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么c的取值范围是( ) A.c=3 B.c≥3 C.1≤c≤3 D.c≤3 3.B 3.解:∵当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0, ∴函数图象过(1,0)点,即1+b+c=0①, ∵当1≤x≤3时,总有y≤0, ∴当x=3时,y=9+3b+c≤0②, ①②联立解得:c≥3, 故选B. 4.(2012•北海)已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为( ) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-2,1) 4.B 5.(2012•广元)若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a、b为常数)的图象如图,则a的值为( ) A.1 B. C.- D.-2 5.C 1.(2012•西宁)如同,二次函数y=ax2+bx+c的图象过(﹣1,1)、(2,﹣1)两点,下列关于这个二次函数的叙述正确的是( ) A. 当x=0时,y的值大于1 B. 当x=3时,y的值小于0 C. 当x=1时,y的值大于1 D. y的最大值小于0 考点: 二次函数的图象。810360 专题: 数形结合。 分析: 观察二次函数图象当x>﹣1时,函数值y随x的增大而减小,对各选项分析判断后利用排除法求解. 解答: 解:由图可知,当x>﹣1时,函数值y随x的增大而减小, A、当x=0时,y的值小于1,故本选项错误; B、当x=3时,y的值小于0,故本选项正确; C、当x=1时,y的值小于1,故本选项错误; D、y的最大值不小于1,故本选项错误. 故选B. 点评: 本题考查了二次函数图象,仔细观察图象,利用二次函数的增减性解答即可. 6.(2012•巴中)对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是( ) A.图象的开口向下 B.当x>1时,y随x的增大而减小 C.当x<1时,y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x=-1 6.C 6.解:二次函数y=2(x+1)(x-3)可化为y=2(x-1)2-8的形式, A、∵此二次函数中a=2>0,∴抛物线开口向上,故本选项错误; B、∵由二次函数的解析式可知,此抛物线开口向上,对称轴为x=1,∴当x>1时,y随x的增大而增大,故本选项错误; C、∵由二次函数的解析式可知,此抛物线开口向上,对称轴为x=1,∴当x<1时,y随x的增大而减小,故本选项正确; D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1,故本选项错误. 故选C. 7.(2012•天门)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).对于下列命题:①b-2a=0;②abc<0;③a-2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 7.B 7.解:根据图象可得:a>0,c<0, 对称轴:>0, ①∵它与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0), ∴对称轴是x=1, ∴=1, ∴b+2a=0, 故①错误; ②∵a>0, ∴b<0, ∵c<0, ∴abc>0,故②错误; ③∵a-b+c=0, ∴c=b-a, ∴a-2b+4c=a-2b+4(b-a)=2b-3a, 又由①得b=-2a, ∴a-2b+4c=-7a<0, 故此选项正确; ④根据图示知,当x=4时,y>0, ∴16a+4b+c>0, 由①知,b=-2a, ∴8a+c>0; 故④正确; 故正确为:③④两个. 故选:B. 8.(2012•乐山)二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0).设t=a+b+1,则t值的变化范围是( ) A.0<t<1 B.0<t<2 C.1<t<2 D.-1<t<1 8.B 8.解:∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限, 且经过点(-1,0), ∴易得:a-b+1=0,a<0,b>0, 由a=b-1<0得到b<1,结合上面b>0,所以0<b<1①, 由b=a+1>0得到a>-1,结合上面a<0,所以-1<a<0②, ∴由①②得:-1<a+b<1,且c=1, 得到0<a+b+1<2, ∴0<t<2. 故选:B. 9.(2012•扬州)将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数关系式是( ) A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2-2 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2-2 9.B 10.(2012•宿迁)在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( ) A.(-2,3) B.(-1,4) C.(1,4) D.(4,3) 10.D 11.(2012•陕西)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-x-6向上(下)或向左(右)平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.6 11.B 11.解:当x=0时,y=-6,故函数与y轴交于C(0,-6), 当y=0时,x2-x-6=0,即(x+2)(x-3)=0, 解得x=-2或x=3, 即A(-2,0),B(3,0); 由图可知,函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点, 故|m|的最小值为2. 故选B. 二、填空题 12.(2012•玉林)二次函数y=-(x-2)2+的图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界),横、纵坐标都是整数的点有 个(提示:必要时可利用下面的备用图画出图象来分析). 12.7 12.解:∵二次项系数为-1, ∴函数图象开口向下, 顶点坐标为(2,), 当y=0时,-(x-2)2+=0, 解得x1=,得x2=. 可画出草图为:(右图) 图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界),横、纵坐标都是整数的点有7个,为(2,0),(2,1),(2,2),(1,0),(1,1),(3,0),(3,1). 13.(2012•长春)在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 . 13.18 13.解:∵抛物线y=a(x-3)2+k的对称轴为x=3,且AB∥x轴, ∴AB=2×3=6, ∴等边△ABC的周长=3×6=18. 故答案为:18. 14.(2012•孝感)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示.对于下列说法: ①abc<0; ②a-b+c<0; ③3a+c<0; ④当-1<x<3时,y>0. 其中正确的是 (把正确的序号都填上). 14.①②③ 14.解:根据图象可得:a<0,c>0, 对称轴:x==1, =-1, b=-2a, ∵a<0, ∴b>0, ∴abc<0,故①正确; 把x=-1代入函数关系式y=ax2+bx+c中得:y=a-b+c, 由图象可以看出当x=-1时,y<0, ∴a-b+c<0,故②正确; ∵b=-2a, ∴a-(-2a)+c<0, 即:3a+c<0,故③正确; 由图形可以直接看出④错误. 故答案为:①②③. 15.(2012•苏州)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上,若x1>x2>1,则 (填“>”、“<”或“=”). 15.y1>y2 15.解:由二次函数y=(x-1)2+1可,其对称轴为x=1, ∵x1>x2>1, ∴两点均在对称轴的右侧, ∵此函数图象开口向上, ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大, ∵x1>x2>1, ∴y1>y2. 故答案为:>. 16.(2012•成都)有七张正面分别标有数字-3,-2,-1,0,l,2,3的卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a(a-3)=0有两个不相等的实数根,且以x为自变量的二次函数y=x2-(a2+1)x-a+2的图象不经过点(1,0)的概率是 . 16. 16.解:∵x2-2(a-1)x+a(a-3)=0有两个不相等的实数根, ∴△>0, ∴[-2(a-1)]2-4a(a-3)>0, ∴a>-1, 将(1,0)代入y=x2-(a2+1)x-a+2得,a2+a-2=0, 解得(a-1)(a+2)=0, a1=1,a2=-2. 可见,符合要求的点为0,2,3. ∴P=3 7 . 故答案为. 17.(2012•上海)将抛物线y=x2+x向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是 . 17.y=x2+x-2 18.(2012•宁波)把二次函数y=(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为 . 18.y=-(x+1)2-2 18.解:二次函数y=(x-1)2+2顶点坐标为(1,2), 绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(-1,-2), 所以,旋转后的新函数图象的解析式为y=-(x+1)2-2. 故答案为:y=-(x+1)2-2. 2.(2012•贵港)若直线y=m(m为常数)与函数y=的图象恒有三个不同的交点,则常数m的取值范围是 0<m<2 . 考点: 二次函数的图象;反比例函数的图象。810360 专题: 图表型。 分析: 首先作出分段函数y=的图象,根据函数的图象即可确定m的取值范围. 解答: 解:分段函数y=的图象如图: 故要使直线y=m(m为常数)与函数y=的图象恒有三个不同的交点,常数m的取值范围为0<m<2, 故答案为:0<m<2. 点评: 本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象,首先作出分段函数的图象是解决本题的关键,采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一. 19.(2012•广安)如图,把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为 . 19. 19.解:如图,过点P作PM⊥y轴于点M, ∵抛物线平移后经过原点O和点A(-6,0), ∴平移后的抛物线对称轴为x=-3, 得出二次函数解析式为:y=(x+3)2+h, 将(-6,0)代入得出: 0=(-6+3)2+h, 解得:h=, ∴点P的坐标是(-3,), 根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积, ∴S=|-3|×||=. 故答案为:. 三、解答题 20.(2012•柳州)已知:抛物线y=(x-1)2-3. (1)写出抛物线的开口方向、对称轴; (2)函数y有最大值还是最小值?并求出这个最大(小)值; (3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式. 20.解:(1)抛物线y=(x-1)2-3, ∵a=>0, ∴抛物线的开口向上, 对称轴为x=1; (2)∵a=>0, ∴函数y有最小值,最小值为-3; (3)令x=0,则y=(0-1)2-3=, 所以,点P的坐标为(0,), 令y=0,则(x-1)2-3=0, 解得x1=-1,x2=3, 所以,点Q的坐标为(-1,0)或(3,0), 当点P(0,),Q(-1,0)时,设直线PQ的解析式为y=kx+b, 则, 解得, 所以直线PQ的解析式为y=x, 当P(0,),Q(3,0)时,设直线PQ的解析式为y=mx+n, 则, 解得 , 所以,直线PQ的解析式为y=x, 综上所述,直线PQ的解析式为y=x或y=x. 3.(2012•佛山)规律是数学研究的重要内容之一. 初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面. 请你解决以下与数的表示和运算相关的问题: (1)写出奇数a用整数n表示的式子; (2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子; (3)函数的研究中,应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律). 下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究: xi 0 1 2 3 4 5 … yi 0 1 4 9 16 25 … yi+1﹣yi 1 3 5 7 9 11 … 由表看出,当x的取值从0开始每增加1个单位时,y的值依次增加1,3,5… 请回答: ①当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值变化规律是什么? ②当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值变化规律是什么? 考点: 二次函数的性质;实数。810360 专题: 规律型。 分析: (1)n是任意整数,偶数是能被2整除的数,则偶数可以表示为2n,因为偶数与奇数相差1,所以奇数可以表示为2n+1. (2)根据有理数是整数与分数的统称,而所有的整数都可以写成整数的形式,据此可以得到答案; (3)根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律; 解答: 解:(1)n是任意整数,则表示任意一个奇数的式子是:2n+1; (2)有理数b=(n≠0); (3)①当x=0时,y=0, 当x=时,y=, 当x=1时,y=1, 当x=时,y=. 故当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值依次增加、、… ②当x=0时,y=0, 当x=时,y=, 当x=时,y=, 当x=时,y=, 故当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值依次增加、、… 点评: 本题考查了二次函数的性质及实数的性质,解题的关键是发现规律并利用规律解题.查看更多