近几年安徽中考数学压轴题分类探析金效奇

近几年安徽中考数学压轴题分类探析金效奇

近几年安徽省中考数学压轴题分类探析-金效奇 数学压轴题是指在一套数学试卷中涉及到的数学知识点较多，结构复杂，题型新颖，解法没有固定模式，难度较大，对同学们的解题技能、技巧有较高的要求且分值较高排在试卷最后面的题。 　　一般试卷中的压轴题常以综合题的形式出现，常常循序渐进地设计成几道小题目.要顺利解答压轴题，除了基础知识要扎实之外，审题也很关键.搞清题目的类型，理清题目中的知识点，分清条件和结论，注意关键语句找出关键条件，特别要挖掘隐含条件，并尽量根据题意列出相关的数式或画出示意图形，然后分析条件和结论之间的联系，从而找到正确合理的解题途径.将复杂问题分解或转化成较为简单或者熟悉的问题则是解此类题目的一条重要原则。‎ 近几年来，随着中考改革的进行，许多应用型的中考压轴题在不断的涌现，压轴题的类型也在不断的变化，本文力求从中考知识点和数学思想的角度对近几年来安徽省中考数学压轴题进行分类，找出其中的共性，发现其规律，为2010年及以后的中考探明方向。‎ ‎1、二次函数题仍是“热点”‎ 二次函数作为初中数学的一个难点也是历年来中考的热点，是初中数学与高中数学衔接最紧密的地方。但是近年来由于对二次函数题类型与深度的挖掘，二次函数题的“新”与“深”受到了限制，不过安徽省中考题还有非常美好的一面。‎ 例1、（2004年）某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元．‎ ‎(1)求y的解析式；‎ ‎(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资?‎ 解：(1)由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=6．分别代入y=ax2+bx，解得：a=1 、b=1．y=x2+x ‎(2)，设g=33x-100-x2-x，则g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156 ‎ 由于当1≤x≤l 6时，g随x的增大而增大．且当x=1，2，3时，g的值均小于O，当x=4时，g=-122+156>0，可知投产后该企业在第4年就能收回投资。‎ ‎ 此题作为压轴题，关键考查学生对应用题的审题能力，当年,这个题的错误率相当高，因为大家对“费用累计”这个概念不清楚，把x=2时，y=4代入，从而导致结果错误。‎ 例2、（2007年）按右下图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就 输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。‎ ‎（1）、若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上 述两个要求；（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。‎ 解：（1）略，（2）本题是开放性问题，答案不唯一。‎ 若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，‎ y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符 合要求。如取h=20,y=,∵a＞0，∴当20≤x≤100‎ 时，y随着x的增大 令x=20,y=60，得k=60 　 ①‎ 令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②‎ 由①②解得， ∴。‎ ‎04年和07年二次函数的考题中可看出，从复杂的应用到自变量的取值范围的逆向考查，方向发生了很大的变化。应用题的类型在全国各省市中考题中已经贯穿到位，那么，如何让二次函数题有深度有新意，07年的压轴题是二次函数命题的巅峰之作。它提示我们复习二次函数知识时要与高中知识联系在一块，努力挖掘新的东西。‎ ‎ 2、分段函数题“异军突起”‎ 分段函数是初中数学里一个非常重要的内容，也是函数部分与高中数学联系最紧密的地方，它的命题范围有一次函数的基础也有二次函数的内容，因此，无论从命题还是从考试的角度它能考查的知识点还是有深度的。当然，它成为这两年中考的热点。‎ 例3、（2008年）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为‎5千米/时，二分队的行进速度为（4＋a）千米/时。‎ ‎⑴若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？‎ ‎⑵若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？‎ ‎⑶下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。‎ 解：（1）若二分队在营地不休息，则a＝0，速度为‎4千米/时，行至塌方处需 ‎（小时）因为一分队到塌方处并打通道路需要（小时），故二分队在塌方处需停留0.5小时，所以二分队在营地不休息赶到A镇需2.5+0.5+＝8（小时）　　　　　　　　　　　（2）一分队赶到A镇共需+1＝7（小时）‎ ‎（Ⅰ）若二分队在塌方处需停留，则后‎20千米需与一分队同行，故4+a＝5，即a=1，这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去；‎ ‎（Ⅱ）若二分队在塌方处不停留，则（4+a）(7－a)=30，即a2－‎3a+2＝0,,解得a1=1，a2=2均符合题意。答：二分队应在营地休息1小时或2小时。（其他解法只要合理即给分）　　　　‎ ‎ (3)合理的图像为（b）、（d）. ‎ 图像（b）表明二分队在营地休息时间过长（2＜a≤3），后于一分队赶到A镇；‎ 图像（d）表明二分队在营地休息时间恰当（1＜a≤2），先于一分队赶到A镇。‎ ‎ 此题从表面上看是一元一次方程和一元二次方程应用题，实际上是一个分段函数问题，解决整个问题关键是找清楚塌方前和塌方后时间与路程之间的关系，只是中间有“在塌方处是否停留”作为分类的标准提高了难度。特别是在第3问中让大家选择图像时，可以说命题人要考查分段函数意图得到了充分的体现。‎ ‎ 例4、（2009年）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．‎ 金额w（元）‎ O 批发量m（kg）‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．‎ O ‎60‎ ‎20‎ ‎4‎ 批发单价（元）‎ ‎5‎ 批发量（kg）‎ ‎①‎ ‎②‎ 图（1）‎ O ‎6‎ ‎2‎ ‎40‎ 日最高销量（kg）‎ ‎80‎ 零售价（元）‎ 图（2）‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎（6，80）‎ ‎（7，40）‎ ‎（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量 m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该 函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以 批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销 售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 ‎（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，‎ 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售 的方案，使得当日获得的利润最大．‎ 解：（1）图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发；‎ 金额w（元）‎ O 批发量m（kg）‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎240‎ 图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发．（2）解：由题意得：‎ ‎，函数图象如图所示．‎ 由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同 样的资金可批发到较多数量的该种水果．‎ ‎（3）设日最高销售量为xkg（x＞60）‎ 则由图②日零售价p满足：，‎ 于是销售利润 当x＝80时，‎ ‎，此时p＝6即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg ‎ 如果说08年的中考压轴题中分段函数是隐藏在里面，那么09年的压轴题对分段函数进行了最全面的考查。由图像得出解析式然后再由解析式画图像，函数的思想、数形结合的思想体现的非常明显。‎ 在解分段函数时首先要注意自变量的取值范围，哪些是包含的哪些是不包含的要看清楚，其次分段函数的关系式的书写要有规范如，再次要认真分析每一个自变量段之间的函数关系。‎ 分段函数题是近两年来安徽省中考题的热点，也是与高中知识联系最紧密的地方。‎ ‎3、“新定义试题”不断出现 ‎ 所谓定义试题是指在试题中出现新的概念，让学生通过认识新的概念，分析概念从而去解决问题的的试题。可以这么说，新定义试题的出现首先来源于安徽省中考，03年的中考中已经出现了。‎ ‎ 例5 、（2003年）如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把这与正三角形的接近程度称为“正度”。在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。‎ 设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β。要求“正度”的值是非负数。同学甲认为：可用式子|a-b|来表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；‎ 同学乙认为：可用式子|α-β|来表示“正度”，‎ ‎|α-β|的值越小，‎ 表示等腰三角形越 接近正三角形。‎ 探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式 解：（1）同学乙的方案较为合理。因为|α-β|的值越小，α与β越接近600‎ ‎，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等。 同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等。如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形相似，但|2-4|=2≠|4-8|=4 ‎ ‎（2）对同学甲的方案可改为用等（k为正数）来表示“正度” （3）还可用等来表示“正度”。‎ ‎ 此题在2003年的中考中得分率非常低，关键是有很多学生不理解“正度”的概念，实际上这个题就是一个概念分析题，通过对概念的多角度理解，考查学生分析问题、解决问题的能力。正是因为此题得分率很低，新定义试题在安徽省中考中消失了几年，但是它留给大家的却是对压轴题命题新方向的思考。‎ 例6 、（2006年）如图（ l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点P满足∠APD ＝∠APB =α 且∠B P C ＝∠CPD ＝β，则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点． ‎ ‎( l ）在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点P，且满足α≠β。‎ ‎( 2 ）在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法） . ‎ ‎( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点P1 、P2（如图（ 2 ) ) ，证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点 。‎ 解：（1）P点在AC上且不是AC的重点和AC的端点；‎ ‎（2）、作B点关于AC的对称点E，连接DE交AC于 P点，则P点即为所求；‎ ‎（3）、连P1 A、P1 B 、 P1 D、 P2 C、 P2 D 、 P2 C ‎ 由 得B、D关于A、C对称得 ‎ 从而P是它的半等角点。‎ ‎ 从2003年到2006年中间间隔了两年，这个新定义试题让安徽省中考数学压轴题的新颖和深度走在了全国中考命题的前列。‎ ‎ 此题由一个定义提出了一个新的概念，通过作图对这个概念进行了由浅入深的分析，然后对这个概念进行了应用。符合对数学知识提出问题、分析问题、解决问题的规律，中间考查了对称这一非常重要的知识点，并且考查了三角形全等、四边形的性质等基本的数学知识以及构造的数学思想，当然更重要的是考查了学生的数学思维能力。‎ ‎ 可以说06年的压轴题也是当年各地中考题的经典之作，此后各地中考新定义试题不断的涌现。‎ ‎ 4、“概率题”首次出现在压轴题中 例7、（2005年试验区）两人袄去某风景区游玩, 每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度, 也不知道汽车开过来的顺序. 两人采用了不同的乘车方案:甲无论如何总是上开来的第一辆车. 而乙则是先观察后上车, 当第一辆车开来时, 他不上车, 而是子痫观察车的舒适状况, 如果第二辆车的舒适程度比第一辆好, 他就上第二辆车; 如果第二辆车不比第一辆好, 他就上第三辆车.‎ 如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等, 请尝试着解决下面的问题:‎ ‎(1) 三辆车按出现的先后顺序工有哪几种不同的可能?‎ ‎(2) 你认为甲、乙采用的方案, 哪一种方案使自己乘上等车的可能性大? 为什么?‎ 解：(1)三辆车开来的先后顺序有6种可能：(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、中、上)、(下、上、中).　　(2)由于不知道任何信息，所以只能假定6种顺序出现的可能性相同.我们来研究在各种可能性的顺序之下，甲、乙二人分别会上哪一辆汽车：‎ 于是不难得出，甲乘上、中、下三辆车的概率都是；而乙乘上等车的概率是，乘中等车的概率是，乘下等车的概率是.　∴乙采取的方案乘坐上等车的可能性大.‎ 把概率问题作为压轴题可以说是安徽省中考题的特色，当年正因为是试验区第一次大考，所以题目的难度不是很大。‎ ‎ 5、有关“圆”的问题“沉寂多年”‎ ‎ “圆”作为初中阶段内容比例较大的部分，因为难度较大，曾经作为考试的重点，但是为了考虑到学生的负担最近几年没有了，但是2002年的经典压轴题仍使我们记忆犹新。‎ ‎ 例8、（2002年）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；　乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图一，△ABC是正三角形，＝＝，可以证明六边形ADBECF 的各内角相等，但它未必是正六边形；丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形．‎ （1） 请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．（2）请你证明，各内角都相等的圆内 接七边形ABCDEFG（如图二）‎ 是正七边形（不必写已知、求证）．‎ （3） 根据以上探索过程，提出你的猜想 ‎（不必证明）． （图一） （图二）‎ ‎ 解：（1）由图知∠AFC对．因为＝，　而∠DAF对的＝＋‎ ‎＝＋＝　　所以∠AFC＝∠DAF．　　　　　　同理可证，其余各角都等于∠AFC．　　　　所以，图一六边形各内角相等．‎ ‎　　（2）因为∠A对，∠B对，　又因为∠A＝∠B，所以　＝，‎ 所以　＝．同理　＝＝＝＝＝＝．　　　　　所以　七边形ABCDEFG是正七边形．（3）猜想：当边数是奇数时（或当边数3，5，7，9，……时），各内角相等的圆内接多边形是正多边形．‎ 此题以考查正多边形的概念为基础，在两个基本问题的基础上，探索了“边是奇数时，各内角相等的圆内接多边形是正多边形”，这一非常重要的结论，其实，难度不大，考查了生分析问题解决问题的能力，富有新意。‎ ‎ 6、从分类中看以后的中考压轴题 ‎ 因为09年的中考题比较难，所以10年的中考题从总体难度上肯定要小一些，但是压轴题是不是一定在难度上小一些？我认为不一定。一份中考试卷有它的梯度，可以从其它题中降低难度，压轴题所考查的知识和难度是其它题不可替代的。纵观这八年的中考压轴题，我们可以有一些想法：‎ ‎（1）、要关注与高中知识接轨的部分。无论是二次函数的应用还是分段函数，从命题的方向上说逐渐向高中知识转化。其实，这有两个方面的原因，其一、二次函数的应用题已经挖掘到位，从难度上还是会走老路子——数学竞赛题，但是很多类型都已经考过了 ‎，命题没有新意。其二、命题者基本上是高中数学的专家，他们熟悉高中知识，把很多高中知识联系子一起是很自然的事，如对分段函数的考查就是如此。‎ ‎（2）、要关注初等数学研究的知识。构造的数学思想在压轴题中仍有着很大的应用空间，而要从整个初中数学中构造出有一定深度的中考题，只有对初等数学有过研究的人才能驾驭得了。因此，作为一线的教育工作者只有苦心钻研，多关注一些热点的概念，或者通过构造一些概念设置一些问题来训练学生的思维能力才能在解构造类的数学压轴题中取胜。‎ ‎（3）、要关注有关“圆”的问题。圆的大题虽沉寂多年，但是由于圆在整过初中数学中占有的课时是非常多的，九年级时间很紧张，学生花了那么多时间学习的知识如不在中考中得到体现，将是不公平的。因此，以后的中考题把圆的问题设置为压轴题的可能性也是有的。‎ ‎ 总之，安徽省的中考数学压轴题在当年的全国各地的中考题中新颖、有深度，能充分考查学生的数学思维能力和解决问题的能力，研究它能带给我们很多启示。‎ ‎ 作者简介：金效奇 合肥45中数学教师 安师大数学教育专业毕业、初中数学高级教师 、安徽省教坛新星 ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎ ‎