2014湖北襄阳中考数学

2014湖北襄阳中考数学

2014 年湖北省襄阳市中考数学试卷 （满分 120 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本大题 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答。） 1．（2014 湖北省襄阳市，1，3 分）有理数 的倒数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D. 2．（2014 湖北省襄阳市，2，3 分）下列计算正确的是（ ） A．a2+a2=2a4 　　　　B．4x－9x＋6x=1 C．(－2x2y)3=－8x6y3 D．a6÷a3=a2 【答案】C. 3．（2014 湖北省襄阳市，3，3 分）我市今年参加中考人数约为 42000 人，将 42000 用科学 计数法表示为（ ） A．4.2×104 B．0.42×105 C．4.2×103 D．42×103 【答案】A. 4．（2014 湖北省襄阳市，4，3 分）下图中几何体的俯视图是（ ） 【答案】B. 5．（2014 湖北省襄阳市，5，3 分）如图，BC⊥AE 于点 C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1 等于 （ ） A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】A. 6．（2014 湖北省襄阳市，6，3 分）五箱梨的质量（单位:kg）分别为：18，20，21，18， 19，则这五箱梨质量的中位数和众数分别为（ ） A．20 和 18 B．20 和 19 C．18 和 18 D．19 和 18 【答案】D. 7．（2014 湖北省襄阳市，7，3 分）下列命题错误的是（ ） A．所有的实数都可用数轴上的点表示 B．等角的补角相等 5 3 − 5 3 5 3 − 3 5 3 5 − 主视方向 第 4 题图 第 5 题图 A B C D E 1 C．无理数包括正无理数，0，负无理数 D．两点之间，线段最短 【答案】C. 8．（2014 湖北省襄阳市，8，3 分）若方程 mx＋ny＝6 的两个解是 ， ，则 m， n 的值为（ ） A．4，2 B．2，4 C．－4，－2 D．－2，－4 【答案】A. 9．（2014 湖北省襄阳市，9，3 分）用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 64 cm2 的长方形. 设长方形的长为 x cm,则可列方程为（ ） A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64 C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64 【答案】B. 10．（2014 湖北省襄阳市，10，3 分）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC， ∠C=80°．则∠A 等于（ ） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】C. 11．（2014 湖北省襄阳市，11，3 分）用一个圆心角为 120°，半径为 3 的扇形作一个圆锥的 侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B. 12．（2014 湖北省襄阳市，12，3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB，BC 上，且 AE= AB．将矩形沿直线 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处，连接 BP 交 EF 于点 Q．对于下列结论：①EF=2BE，②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF 是等边三角形．其 中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】D. 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）请把答案填在答题卡的相应位置 上． 1 1 x y =  =    −= = 1 2 y x 第 10 题图 A B C D E 2 1 2 3 3 1 第 12 题图 A B C D E F Q P(B) 13．（2014 湖北省襄阳市，13，3 分）计算： . 【答案】 . 14．（2014 湖北省襄阳市，14，3 分）从长度分别为 2,4,6,7 的四条线段中随机取三条，能构 成三角形的概率是 . 【答案】 . 15．（2014 湖北省襄阳市，15，3 分）如图，在建筑平台 CD 的顶部 C 处，测得大树 AB 的 顶部 A 的仰角为 45°，测得大树 AB 的底部 B 的俯角为 30°，已知平台 CD 的高度为 5m，则 大树的高度为 m（结果保留根号）. 【答案】 . 16．（2014 湖北省襄阳市，16，3 分）若正数 a 是一个一元二次 x2-5x+m=0 的一个根，-a 是 一元二次方程 x2+5x-m=0 的一个根，则 a 的值是 . 【答案】5. 17．（2014 湖北省襄阳市，17，3 分）在□ABCD 中，BC 边上的高为 4,AB=5,AC=25,则□ABCD 的周长等于 . 【答案】12 或 20. 三、解答题（本大题共 9 小题，共 69 分）解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤，并 且写在答题卡上每题对应的答题区域内. 18．（2014 湖北省襄阳市，18，5 分）已知：x= ，y= ，求 的值． 【答案】解：∵x= ，y= ， ∴ = = ， xy= = ． ∴ =−÷+ − a a aa a 1 2 1 2 2 1 2 a a + + 1 2 5 5 3+ 1 2− 1 2+ 2 2 2 2x y xy x y+ − − + 1 2− 1 2+ x y− (1 2) (1 2)− − + 2 2− (1 2)(1 2)− + 1− 2 2 2 2x y xy x y+ − − + = = =7 + ． 19．（2014 湖北省襄阳市，19，6 分）乙两座城市的中心火车站 A，B 两站相距 360km，一 列动车与一列特快列车分别从Ａ、B 两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快 54km/h．当动车到达 B 站时，特快列车恰好到达距离 A 站 135km 处的 C 站．求动车和特快 列车的平均速度各是多少？ 【答案】解：设特快列车的平均速度为 x km/h，则动车的平均速度为(x+54)km/h，根据题意， 得 ． 解这个分式方程得，x=90． 经检验，x=90 是这个分式方程的解，x+54=144． 答：动车和特快列车的平均速度分别为 144 km/h 和 90km/h． 20．（2014 湖北省襄阳市，20，7 分）“端午节”吃粽子是我国流传了上千年的习俗.某班学 生在“端午节”前组织了一次综合实践活动，购买了一些材料制作爱心粽，每人从自己制作 的粽子中随机选取两个献给自己的父母，其余的全部送给敬老院的老人们.统计全班学生制 作粽子的个数，将制作粽子数量相同的学生分为一组，全班学生可分为 A，B，C，D 四个 组，各组每人制作的粽子个数分别为 4，5，6，7．根据下面不完整的统计图解答下列问题： 请补全上面两个统计图：（不写过程） （2）该班学生制作粽子个数的平均数是 ； （3）若制作的粽子有红枣馅（记为 M）和蛋黄馅（记为 N）两种，该班小明同学制作这两 种粽子各两个混放在一起，请用列表或画树形图的方法求小明献给父母的粽子馅料不同的概 率． 【答案】解：（1）如图（补对一处计 1 分）； 2( ) 2( )x y x y xy− − − + 2( 2 2) 2 ( 2 2) ( 1)− − × − + − 4 2 360 360 135 54x x −=+ 第 20 题图 % B A C D 各组人数占总人数的百分比 （2）6； （3）根据题意列表如图 1 2 M M N N M MM MN MN M MM MN MN N NM NM NN N NM NM NN 由表格可知，共有 12 种等可能的结果，小明献给父母的粽子馅料不同的结果有 8 种， 即 MN，MN，MN，MN，NM，NM，NM，NM． 所以 P（馅料不同粽子）= = ． 21．（2014 湖北省襄阳市，21，6 分）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC． 上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？（用序号写出所有成立的 情形） 请选择（1）中的一种情形，写出证明过程． 【答案】解：（1） ； （2）选 证明如下： 在△BOE 和△COD 中， ∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，BE=CD， ∴△BOE≌△COD， ∴BO=CO，∠OBC=∠OCB， ∴∠EOB+∠OBC =∠DOC+∠OCB， 即∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， 各组人数占总人数的百分比 35% B A C D 8 12 2 3 第 21 题图 A B C DE O 即：△ABC 是等腰三角形． 22．（2014 湖北省襄阳市，22，6 分）如图，一次函数 y1=－x+2 的图象与反比例函数 y2= 的图象相交于 A，B 两点，与 x 轴相交于点 C．已知 tan∠BOC= ，点 B 的坐标为（m， n）． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出当 x＜m 时，y2 的取值范围． 【答案】解：（1）∵点 B 在直线 y1=－x+2 上，∴n=－m+2． 过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D，则 BD=m－2，OD=m． ∵tan∠BOD= = ， ∴OD=2BD，即 m=2(m－2)． 解得 m=4． 则 n=－m+2=－2， ∴点 B 的坐标为（4，－2）． 将（4，－2）代入 y2= 得，－2= ， ∴k=－8． ∴反比例函数的解析式为 y2= ． （2）y2﹤－2 或 y2﹥0． 23．（2014 湖北省襄阳市，23，7 分）如图，在正方形 ABCD 中，AD=2，E 是 AB 的中点， 将△BEC 绕点 B 逆时针旋转 90°后，点 E 落在 CB 的延长线上点 F 处，点 C 落在点 A 处.再 将线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得线段 FG，连接 EF，CG． 求证：EF∥CG； k x 1 2 A B C D 2 ky x = x y O y1=－x+2 第 22 题图 BD OD 1 2 k x 4 k 8 x − A B C D 2 ky x = x y O y1=－x+2 22 题答图 求点 C，点 A 在旋转过程中形成的 ， 与线段 CG 所围成的阴影部分的面积． 【答案】解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC=AD=2，∠ABC=90°． ∵△BEC 绕点 B 逆时针旋转 90°得△ABF， ∴△ABF≌△CBE， ∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC， ∴∠AFB+∠FAB=90°． ∵线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得线段 FG， ∴∠AFB+∠CFG=∠AFG= 90°，AF=FG， ∴∠CFG=∠FAB=∠ECB． ∴EC∥FG． ∵AF=EC，AF=FG，∴EC=FG， ∴四边形 EFGC 是平行四边形， ∴EF∥CG． （2）∵△ABF≌△CBE， ∴FB=BE= AB=1， ∴AF= = ． 在△FEC 和△CGF 中 ∵EC=FG，∠ECF =∠GFC，FC=CF， ∴△FEC≌△CGF， ∴S△FEC=S△CGF． ∴S 阴影=S 扇形 BAC+S△ABF+S△FGC－S 扇形 FAG = + ×2×1+ ×(1+2)×1－ = （或 ）． 24．（2014 湖北省襄阳市，24，10 分）我市为创建“国家级森林城市”，政府将对江边一处 废弃荒地进行绿化，要求栽植甲、乙两种不同的树苗共 6000 棵，且甲种树苗不得多于乙种 树苗.某承包商以 26 万元的报价中标承包了这项工程.根据调查及相关资料表明：移栽一棵树 苗的平均费用为 8 元，甲、乙两种树苗的购买价及成活率如下表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 甲 20 90% 乙 32 95% AC AG 第 23 题图 A B C D E F G 1 2 2 2AB BF+ 5 290 2 360 π ⋅ 1 2 1 2 290 ( 5) 360 π ⋅ 5 2 4 π− 10 4 π− 设购买甲种树苗 x 棵，承包商获得的利润为 y 元．请根据以上信息解答下列问题： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）承包商要获得不低于中标价 16%的利润，应如何选购树苗？ （3）政府与承包商的合同要求，栽植这批树苗的成活率必须不低于 93%，否则承包商出资 补栽；若成活率达到 94%以上（含 94%），则政府另给予工程款总额 6%的奖励．该承包商 应如何选购树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】解：y=260000－[20x+32(6000－x)+8×6000]=12x+20000． 自变量 x 的取值范围：0﹤x≤3000． （2）由题意得：12x+20000≥260000×16%． 解这个不等式，得：x≥1800， ∴1800≤x≤3000． 即：购买甲种树苗应不少于 1800 棵且不多于 3000 棵． （3）①若成活率不低于 93%且低于 94%时，由题意得 解得：1200﹤x≤2400． 在 y=12x+20000 中，∵12＞0，∴y 随 x 的增大而增大， ∴当 x=2400 时，y 最大值=48800． ②若成活率达到 94%以上（含 94%），则 解得：x≤1200． 由题意得 y=12x+20000+260000×6%=12x+35600． ∵12＞0，∴y 随 x 的增大而增大， ∴当 x=1200 时，y 最大值=5000． 综上所述，∵50000＞48800， ∴购买甲种树苗 120 棵，乙种树苗 4800 棵，可获得最大利润，最大利润是 50000 元． 25．（2014 湖北省襄阳市，25，5 分）如图，A，P，B，C 是⊙O 上的四点，∠APC=∠BPC=60 °，过点 A 作⊙O 的切线交 BP 的延长线于点 D． （1）求证：△ADP∽△BDA； （2）试探究线段 PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若 AD=2，PD=1，求线段 BC 的长． 【答案】解：（1）证明：作⊙O 的直径 AE， ∵AE 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线， ∴∠DAE=∠APE=90°， 90% 95% (6000 ) 93% 6000 90% 95% (6000 ) 94% 6000 x x x x ⋅ + ⋅ − ×  ⋅ + ⋅ − × ≥ ＜ 90% 95% (6000 ) 94% 6000x x⋅ + ⋅ − ×≥ A B C D P O 第 25 题图 ∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°， ∴∠PAD =∠E． ∵∠PBA==∠E， ∴∠PAD =∠PBA． ∵∠PAD =∠PBA，∠ADP =∠BDA． ∴△ADP∽△BDA． （2）PA+PB=PC． 证明：在线段 PC 上截取 PF=PB，连接 BF， ∵PF=PB，∠BPC=60°， ∴△PBF 是等边三角形， ∴PB=PF，∠BFP=60°， ∴∠BFC=180°－∠PFB=120°． ∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°， ∴∠BPA=∠BFC． 在△BPA 和△BFC 中， ∵∠PAB=∠FCB，∠BPA=∠BFC，PB=BF， ∴△BPA≌△BFC， ∴PA=FC，AB=BC， ∴PA+PB=FC+PF=PC． （3）∵△ADP∽△BDA，∴ ． ∵AD=2，PD=1，∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD－DP=3． ∵∠APD=180°－∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC． ∵∠PAD =∠E，∠PCA =∠E， ∴∠PAD =∠PCA， ∴△ADP∽△CAP． ∴ ，∴AP2=PC·PD． ∴AP2=(3+AP)·1，解得 AP= 或 AP= (负值舍去)， ∴BC=AB=2AP=1+ ． 26．（2014 湖北省襄阳市，26，12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE 的三个顶 点分别是 C（3，0），D（3，4），E（0，4）.点 A 在 DE 上，以 A 为顶点的抛物线过点 C， 且对称轴 x=1 交 x 轴于点 B.连接 EC，AC．点 P，Q 为动点，设运动时间为 t 秒． A B C D E F P O 25 题答图 AD DP AP BD DA AB = = AP DP PC AP = 1 13 2 + 1 13 2 − 13 （1）填空：点 A 坐标为 ；抛物线的解析式为 ． （2）在图①中，若点 P 在线段 OC 上从点 O 向点 C 以 1 个单位/秒的速度运动，同时，点 Q 在线段 CE 上从点 C 向点 E 以 2 个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随 之停止运动．当 t 为何值时，△PCQ 为直角三角形？ （3）在图②中，若点 P 在对称轴上从点 A 开始向点 B 以 1 个单位/秒的速度运动，过点 P 作 PF⊥AB，交 AC 于点 F，过点 F 作 FG⊥AD 于点 G，交抛物线于点 Q，连接 AQ， CQ.当 t 为何值时，△ACQ 的面积最大？最大值是多少？ 【答案】解：（1）点 A（1，4）， 抛物线解析式为 y= 或 y= ． （2）依题意得：OC=3，OE=4，∴CE= = =5． 当∠QPC=90°时， ∵cos∠QCP= = ，∴ ，解得 t= ； 当 ∠PQC=90°时， ∵cos∠QCP= = ，∴ ，解得 t= ． ∴当 t= 或 t= 时，△PCQ 为直角三角形． （3）∵A（1，4），C（3，0），∴可求得直线 AC 的解析式为 y=－2x+6． ∵P（1，4－t），将 y=4－t 代入 y=－2x+6 中，得 x=1+ ，　 ∴Q 点的横坐标为 1+ ； 将 x=1+ 代入 y= 中，得 y=4－ ， 2( 1) 4x− − + 2 2 3x x− + + 2 2OC OE+ 2 23 4+ PC CQ OC CE 3 3 2 5 t t − = 15 11 CQ PC OC CE 2 3 3 5 t t =− 9 13 15 11 9 13 2 t 2 t 2 t 2( 1) 4x− − + 2 4 t ∴Q 点的纵坐标为 4－ ，∴QF= = ， ∴S△ACQ= S△AFQ+ S△CFQ= FQ·AG + FQ·DG = FQ(AG +DG) = FQ·AD = ×2( )= ． ∴当 t=2 时，S△ACQ 最大，最大值为 1． 2 4 t 2 (4 ) (4 )4 t t− − − 2 4 tt − 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 tt − 21 ( 2) 14 t− − +