中考数学一轮复习 方程与不等式 一元二次方程及其应用

中考数学一轮复习 方程与不等式 一元二次方程及其应用

第7讲　一元二次方程及其应用 第二章　方程与不等式 知识盘点 1 、一元二次方程定义及一般形式 2 、一元二次方程的常用解法 3 、配方法的步骤及求根公式 4 ．一元二次方程的根的判别式 5 ．一元二次方程的根与系数的关系 6 ．一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程 ( 组 ) 解应用题的步骤一样． 1 ． 使用一元二次方程的根的判 别 式及根与系数的关系 时 ， 必 须 将一元二次方程 转 化 为 一般式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ， 以便确定 a ， b ， c 的 值． 2 ． 正确理解 “ 方程有 实 根 ” 的含 义． 若有一个 实 数根 则 原方程 为 一元一次方程；若有两个 实 数根 则 原方程 为 一元二次方程． 在解 题时 ， 要特 别 注意 “ 方程有 实 数根 ”“ 有两个 实 数根 ” 等关 键 文字 ， 挖掘出它 们 的 隐 含条件 ， 以免陷入关 键 字的 “ 陷阱 ” ． 难点与易错点 1 ． ( 2015 · 兰州 ) 一元二次方程 x 2 － 8x － 1 ＝ 0 配方后可变形为 ( ) A ． ( x ＋ 4) 2 ＝ 17 B ． ( x ＋ 4) 2 ＝ 15 C ． ( x － 4) 2 ＝ 17 D ． ( x － 4) 2 ＝ 15 2 ． ( 2015 · 广安 ) 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x 2 － 7x ＋ 10 ＝ 0 的两根 ， 则该等腰三角形的周长是 ( ) A ． 12 B ． 9 C ． 13 D ． 12 或 9 C A 夯实基础 3 ． ( 2015 · 眉山 ) 下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是 ( ) A ． ( x － 1) 2 ＝ 0 B ． x 2 ＋ 2 x － 19 ＝ 0 C ． x 2 ＋ 4 ＝ 0 D ． x 2 ＋ x ＋ 1 ＝ 0 4 ． ( 2015 · 枣庄 ) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ mx ＋ n ＝ 0 的两个实数根分别为 x 1 ＝－ 2 ， x 2 ＝ 4 ， 则 m ＋ n 的值是 ( ) A ． － 10 B ． 10 C ．－ 6 D ． 2 B A 5 ． ( 2015 · 哈尔滨 ) 今年我市计划扩大城区绿地面积 ， 现有一块长方形绿地 ， 它的短边长为 60 m ， 若将短边增大到与长边相等 ( 长边不变 ) ， 使扩大后的绿地的形状是正方形 ， 则扩大后的绿地面积比原来增加 1600 m 2 . 设扩大后的正方形绿地边长为 x m ， 下面所列方程正确的是 ( ) A ． x ( x － 60) ＝ 1600 B ． x ( x ＋ 60) ＝ 1600 C ． 60( x ＋ 60) ＝ 1600 D ． 60( x － 60) ＝ 1600 A 典例探究 【 点评 】 　解一元二次方程要根据方程的特点 选择 合适的方法解 题 ， 但一般 顺 序 为 ：直接开平方法 → 因式分解法 → 公式法． 【 例 2 】 　 ( 2015 · 成都 ) 关于 x 的一元二次方程 kx 2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0 有两个不相等的实数根 ， 则 k 的取值范围是 ( ) A ． k ＞－ 1 B ． k ≥ － 1 C ． k ≠ 0 D ． k ＜ 1 且 k ≠ 0 【 点评 】 　 对 于一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠ 0) 的根的情况的描述 ， 必 须 借助根的判 别 式 ， Δ ≥ 0 方程有两个 实 数根 ， Δ ＞ 0 方程有两个不相等的 实 数根 ， Δ ＝ 0 方程有两个相等的 实 数根 ， Δ ＜ 0 方程没有 实 数根 ， 反之亦然．另外 ， 切 记 不要忽略一元二次方程二次 项 系数不 为 零 这 一 隐 含条件． D [ 对应训练 ] 2 ． (1)( 2015 · 凉山州 ) 关于 x 的一元二次方程 (m － 2)x 2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0 有实数根 ， 则 m 的取值范围是 ( ) A ． m ≤ 3 B ． m ＜ 3 C ． m ＜ 3 且 m ≠ 2 D ． m ≤ 3 且 m ≠ 2 (2) ( 2015 · 泰州 ) 已知：关于 x 的方程 x 2 ＋ 2mx ＋ m 2 － 1 ＝ 0. ① 不解方程 ， 判别方程根的情况； ② 若方程有一个根为 3 ， 求 m 的值． 解： ①∵ a ＝ 1 ， b ＝ 2m ， c ＝ m 2 － 1 ， ∵ Δ ＝ b 2 － 4ac ＝ ( 2m ) 2 － 4 × 1 × ( m 2 － 1 ) ＝ 4 ＞ 0 ， ∴ 方程 x 2 ＋ 2mx ＋ m 2 － 1 ＝ 0 有两个不相等的实数根； ②∵ x 2 ＋ 2mx ＋ m 2 － 1 ＝ 0 有一个根是 3 ， ∴ 3 2 ＋ 2m × 3 ＋ m 2 － 1 ＝ 0 ， 解得 ， m ＝－ 4 或 m ＝－ 2 D 【 例 3 】 　 (1)( 2015 · 金华 ) 一元二次方程 x 2 ＋ 4x － 3 ＝ 0 的两根为 x 1 ， x 2 ， 则 x 1 ·x 2 的值是 ( ) A ． 4 B ．－ 4 C ． 3 D ．－ 3 (2) ( 2015 · 潜江 ) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 － 4x ＋ m ＝ 0. ① 若方程有实数根 ， 求实数 m 的取值范围； ② 若方程两实数根为 x 1 ， x 2 ， 且满足 5x 1 ＋ 2x 2 ＝ 2 ， 求实数 m 的值． 解： ①∵ 方程有实数根 ， ∴ Δ ＝ ( － 4 ) 2 － 4m ＝ 16 － 4m ≥ 0 ， ∴ m ≤ 4 ； ②∵ x 1 ＋ x 2 ＝ 4 ， ∴ 5x 1 ＋ 2x 2 ＝ 2 ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 3x 1 ＝ 2 × 4 ＋ 3x 1 ＝ 2 ， ∴ x 1 ＝－ 2 ， 把 x 1 ＝－ 2 代入 x 2 － 4x ＋ m ＝ 0 得： ( － 2 ) 2 － 4 × ( － 2 ) ＋ m ＝ 0 ， 解得： m ＝－ 12 D C 100 ＋ 200x 【 点评 】 　 (1) 现实 生活中存在大量的 实际应 用 问题 ， 需要用一元二次方程的知 识 去解决 ， 解决 这类问题 的关 键 是在充分理解 题 意的基 础 上 ， 寻 求 问题 中的等量关系 ， 从而建立方程． (2) 解出方程的根要 结 合方程和 具体 实际选择 合适的根 ， 舍去不合 题 意的根． 20