邵阳市2013年中考数学卷

邵阳市2013年中考数学卷

湖南省邵阳市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目的）‎ ‎1．（3分）（2013•邵阳）﹣8的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣8‎ B．‎ C．‎ ‎0.8‎ D．‎ ‎8‎ 考点：‎ 相反数．‎ 分析：‎ 根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．‎ 解答：‎ 解：﹣8的相反数是8．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•邵阳）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 轴对称图形 分析：‎ 根据轴对称图形的概念对各选项判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；‎ B、不是轴对称图形，符合题意，故本选项正确；‎ C、是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；‎ D、是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•邵阳）函数中，自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x＞1‎ B．‎ x＜1‎ C．‎ x≥‎ D．‎ x≥﹣‎ 考点：‎ 函数自变量的取值范围．‎ 分析：‎ 根据二次根式的性质被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：5x﹣1≥0，解得：x≥．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•邵阳）如图是某班学生参加兴趣小组的人数占总人数比例的统计图，则参加人数最多的课外兴趣小组是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 棋类组 B．‎ 演唱组 C．‎ 书法组 D．‎ 美术组 考点：‎ 扇形统计图．‎ 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ 根据扇形统计图各部分所占的百分比，则参加人数最多的课外兴趣小组即为所占百分比最大的部分．‎ 解答：‎ 解：根据扇形统计图，知 参加人数最多的课外兴趣小组是所占百分比最大的，即为演唱．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了扇形统计图的知识，读懂扇形统计图，扇形统计图反映的是各部分所占总体的百分比．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•邵阳）若⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，圆心距d=7cm，则这两圆的位置是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 相交 B．‎ 内切 C．‎ 外切 D．‎ 外离 考点：‎ 圆与圆的位置关系．‎ 分析：‎ 本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，圆心距O1O2=7cm，‎ ‎∴O1O2=3+4=7，‎ ‎∴两圆外切．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查圆与圆的位置关系，外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．‎ ‎（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•邵阳）据邵阳市住房公积金管理会透露，今年我市新增住房公积金11.2亿元，其中11.2亿元可用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎11.2×108元 B．‎ ‎1.12×109元 C．‎ ‎11.2×1010元 D．‎ ‎11.2×107元 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于11.2亿有10位，所以可以确定n=10﹣1=9．‎ 解答：‎ 解：11.2亿=1 120 000 000=11.2×109．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•邵阳）下列四个点中，在反比例函数的图象上的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（3，﹣2）‎ B．‎ ‎（3，2）‎ C．‎ ‎（2，3）‎ D．‎ ‎（﹣2，﹣3）‎ 考点：‎ 反比例函数图象上点的坐标特征．‎ 分析：‎ 根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．‎ 解答：‎ 解：A、∵3×（﹣2）=﹣6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；‎ B、∵3×2=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；‎ C、∵2×3=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；‎ D、∵（﹣2）×（﹣3）=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y=中，k=xy为定值是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•邵阳）如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（2，1）‎ B．‎ ‎（0，1）‎ C．‎ ‎（﹣2，﹣1）‎ D．‎ ‎（﹣2，1）‎ 考点：‎ 坐标确定位置 分析：‎ 建立平面直角坐标系，然后写城市南山的坐标即可．‎ 解答：‎ 解：建立平面直角坐标系如图，‎ 城市南山的位置为（﹣2，﹣1）．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了利用坐标确定位置，是基础题，建立平面直角坐标系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•邵阳）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C的度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎30°‎ B．‎ ‎45°‎ C．‎ ‎60°‎ D．‎ ‎90°‎ 考点：‎ 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．‎ 分析：‎ 根据绝对值及完全平方的非负性，可求出sinA、cosB的值，继而得出∠A、∠B的度数，利用三角形的内角和定理，可求出∠C的度数．‎ 解答：‎ 解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，‎ ‎∴sinA=，cosB=，‎ ‎∴∠A=30°，∠B=60°，‎ 则∠C=180°﹣30°﹣60°=90°．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎△AOB≌△BOC B．‎ ‎△BOC≌△EOD C．‎ ‎△AOD≌△EOD D．‎ ‎△AOD≌△BOC 考点：‎ 全等三角形的判定；矩形的性质．‎ 分析：‎ 根据AD=DE，OD=OD，∠ADO=∠EDO=90°，可证明△AOD≌△EOD，OD为△ABE的中位线，OD=OC，然后根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形即可．‎ 解答：‎ 解：∵AD=DE，DO∥AB，‎ ‎∴OD为△ABE的中位线，‎ ‎∴OD=OC，‎ ‎∵在Rt△AOD和Rt△EOD中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOD≌△EOD（HL）；‎ ‎∵在Rt△AOD和Rt△BOC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOD≌△BOC（HL）；‎ ‎∵△AOD≌△EOD，‎ ‎∴△BOC≌△EOD；‎ 故B、C、D均正确．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎　‎ 二、填空题(本大题有8个小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．（3分）（2013•邵阳）在计算器上，依次按键2、x2，得到的结果是　　．‎ 考点：‎ 计算器—有理数．‎ 分析：‎ 根据题意得出x2=2，求出结果即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：‎ x2=2，‎ x=；‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了计算器﹣有理数，关键是考查学生的理解能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•邵阳）因式分解：x2﹣9y2=　（x+3y）（x﹣3y）　．‎ 考点：‎ 因式分解-运用公式法 分析：‎ 直接利用平方差公式分解即可．‎ 解答：‎ 解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．‎ 点评：‎ 本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•邵阳）今年五月份，由于H7N9禽流感的影响，我市鸡肉的价格下降了10%，设鸡肉原来的价格为a元/千克，则五月份的价格为　0.9a　元/千克．‎ 考点：‎ 列代数式．3718684‎ 分析：‎ 因为原来鸡肉价格为a元/千克，现在下降了10%，所以现在的价格为（1﹣10%）a，即0.9a元/千克．‎ 解答：‎ 解：∵原来鸡肉价格为a元/千克，现在下降了10%，‎ ‎∴五月份的价格为a﹣10%a=（1﹣10%）a=0.9a，‎ 故答案为：0.9a．‎ 点评：‎ 本题考查了列代数式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意价格下降了10%就是指原来的价格减去原来价格的10%．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•邵阳）如图所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE，若DE=5，则BC=　10　．‎ 考点：‎ 三角形中位线定理．‎ 分析：‎ 由在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后由三角形中位线的性质，即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，‎ ‎∴DE=BC，‎ ‎∵DE=5，‎ ‎∴BC=10．‎ 故答案为：10．‎ 点评：‎ 此题考查了三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•邵阳）计算：=　1　．‎ 考点：‎ 分式的加减法．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 分母不变，直接把分子相减即可．‎ 解答：‎ 解：原式=‎ ‎=1．‎ 故答案为：1．‎ 点评：‎ 本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•邵阳）端午节前，妈妈去超市买了大小、质量及包装均相同的粽子8个，其中火腿粽子5个，豆沙粽子3个，若小明从中任取1个，是火腿粽子的概率是　　．‎ 考点：‎ 概率公式．3718684‎ 分析：‎ 共有8个粽子，火腿粽子有5个，根据概率的公式进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：∵共有8个粽子，火腿粽子有5个，‎ ‎∴从中任取1个，是火腿粽子的概率是，‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•邵阳）如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是　∠A与∠C（答案不唯一）　．‎ 考点：‎ 圆周角定理．‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 直接根据圆周角定理解答即可．‎ 解答：‎ 解：∵∠A与∠C是同弧所对的圆周角，‎ ‎∴∠A=∠C（答案不唯一）．‎ 故答案为：∠A=∠C（答案不唯一）．‎ 点评：‎ 本题考查的是圆周角定理，此题属开放性题目，答案不唯一．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•邵阳）如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件　∠B=90°　，使四边形ABCD为矩形．‎ 考点：‎ 旋转的性质；矩形的判定．‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 根据旋转的性质得AB=CD，∠BAC=∠DCA，则AB∥CD，得到四边形ABCD为平行四边形，根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，‎ ‎∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形，‎ 当∠B=90°时，平行四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴添加的条件为∠B=90°．‎ 故答案为∠B=90°．‎ 点评：‎ 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的判定．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题有3个小题，每小题8分，共24分）‎ ‎19．（8分）（2013•邵阳）先化简，再求值：（a﹣b）2+a（2b﹣a），其中，b=3．‎ 考点：‎ 整式的混合运算—化简求值 分析：‎ 原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：原式=a2﹣2ab+b2+2ab﹣a2=b2，‎ 当b=3时，原式=9．‎ 点评：‎ 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2013•邵阳）解方程组：．‎ 考点：‎ 解二元一次方程组．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据y的系数互为相反数，利用加减消元法其解即可．‎ 解答：‎ 解：，‎ ‎①+②得，3x=18，‎ 解得x=6，‎ 把x=6代入①得，6+3y=12，‎ 解得y=2，‎ 所以，方程组的解是．‎ 点评：‎ 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2013•邵阳）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．‎ ‎（1）求证：CF∥AB．‎ ‎（2）求∠DFC的度数．‎ 考点：‎ 平行线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理．‎ 分析：‎ ‎（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；‎ ‎（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵CF平分∠DCE，‎ ‎∴∠1=∠2=∠DCE，‎ ‎∵∠DCE=90°，‎ ‎∴∠1=45°，‎ ‎∵∠3=45°，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∴AB∥CF；‎ ‎（2）∵∠D=30°，∠1=45°，‎ ‎∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行线的判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握内错角相等，两直线平行．‎ ‎　‎ 四、应用题（本大题有3个小题，每小题8分，共24分）‎ ‎22．（8分）（2013•邵阳）如图所示，某窗户有矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3cm，弓形的高EF=1cm，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．‎ 考点：‎ 垂径定理的应用；勾股定理．‎ 分析：‎ 根据垂径定理可得AF=‎ AB，再表示出AO、OF，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵弓形的跨度AB=3cm，EF为弓形的高，‎ ‎∴OE⊥AB，‎ ‎∴AF=AB=cm，‎ ‎∵所在圆O的半径为r，弓形的高EF=1cm，‎ ‎∴AO=r，OF=r﹣1，‎ 在Rt△AOF中，AO2=AF2+OF2，‎ 即r2=（）2+（r﹣1）2，‎ 解得r=cm．‎ 答：所在圆O的半径为cm．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，此类题目通常采用把半弦，弦心距，半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2013•邵阳）如图所示，图①表示的是某教育网站一周内连续7天日访问总量的情况，图②表示的是学生日访问量占日访问总量的百分比情况，观察图①、②，解答下列问题：‎ ‎（1）若这7天的日访问总量一共约为10万人次，求星期三的日访问总量；‎ ‎（2）求星期日学生日访问总量；‎ ‎（3）请写出一条从统计图中得到的信息．‎ 考点：‎ 折线统计图；条形统计图 分析：‎ ‎（1）由这7天的日访问总量一共约为10万人次，结合条形统计图可得除星期三以外的其它天的日访问总量分别为：0.5万人次，1万人次，1万人次，1.5万人次，2.5万人次，3万人次，继而求得星期三的日访问总量；‎ ‎（2）由星期日的日访问总量为3万人次，结合扇形统计图可得星期日学生日访问总量占日访问总量的百分比为30%，继而求得星期日学生日访问总量；‎ ‎（2）结合图可得某教育网站一周内星期日的日访问总量最大；注意此题答案不唯一，符合题意即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵这7天的日访问总量一共约为10万人次，除星期三以外的其它天的日访问总量分别为：0.5万人次，1万人次，1万人次，1.5万人次，2.5万人次，3万人次，‎ ‎∴星期三的日访问总量为：10﹣0.5﹣1﹣1﹣1.5﹣2.5﹣3=0.5（万人次）；‎ ‎（2）∵星期日的日访问总量为3万人次，星期日学生日访问总量占日访问总量的百分比为30%，‎ ‎∴星期日学生日访问总量为：3×30%=0.9（万人次）；‎ ‎（3）某教育网站一周内星期日的日访问总量最大．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．注意读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎24．（8分）（2013•邵阳）雅安地震后，政府为安置灾民，从某厂调拨了用于搭建板房的板材5600m2和铝材2210m，计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的板房共100间，若搭建一间甲型板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数量如下表所示：‎ 板房规格 板材数量（m2）‎ 铝材数量（m）‎ 甲型 ‎40‎ ‎30‎ 乙型 ‎60‎ ‎20‎ 请你根据以上信息，设计出甲、乙两种板房的搭建方案．‎ 考点：‎ 一元一次不等式组的应用 分析：‎ 设甲种板房搭建x间，则乙种板房搭建（100﹣x）间，根据题意列出不等式组，再根据x只能取整数，求出x的值，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：设甲种板房搭建x间，则乙种板房搭建（100﹣x）间，根据题意得：‎ ‎，‎ 解得：20≤x≤21，‎ x只能取整数，‎ 则x=20，21，‎ 共有2种搭建方案：‎ 方案一：甲种板房搭建20间，乙种板房搭建80间，‎ 方案二：甲种板房搭建21间，乙种板房搭建79间．‎ 点评：‎ 此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系列出不等式组，注意x只能取整数．‎ ‎　‎ 五、综合题（本大题有2个小题，其中25题8分，26题10，共18分）‎ ‎25．（8分）（2013•邵阳）如图所示，已知抛物线y=﹣2x2﹣4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F．‎ ‎（1）求图象F所表示的抛物线的解析式：‎ ‎（2）设抛物线F和x轴相交于点O、点B（点B位于点O的右侧），顶点为点C，点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的解析式．‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．‎ 分析：‎ ‎（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答；‎ ‎（2）先根据抛物线F的解析式求出顶点C，和x轴交点B的坐标，再设A点坐标为（0，y），根据点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，列出关于y的方程，解方程求出y的值，然后利用待定系数法求出AB所在直线的解析式．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=﹣2x2﹣4x=﹣2（x+1）2+2的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F，‎ ‎∴图象F所表示的抛物线的解析式为y=﹣2（x+1﹣2）2+2，即y=﹣2（x﹣1）2+2；‎ ‎（2）∵y=﹣2（x﹣1）2+2，‎ ‎∴顶点C的坐标为（1，2）．‎ 当y=0时，﹣2（x﹣1）2+2=0，‎ 解得x=0或2，‎ ‎∴点B的坐标为（2，0）．‎ 设A点坐标为（0，y），则y＜0．‎ ‎∵点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，‎ ‎∴﹣y=2×2，解得y=﹣4，‎ ‎∴A点坐标为（0，﹣4）．‎ 设AB所在直线的解析式为y=kx+b，‎ 由题意，得，‎ 解得，‎ ‎∴AB所在直线的解析式为y=2x﹣4．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，运用待定系数法求函数的解析式，难度适中，求出图象F所表示的抛物线的解析式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2013•邵阳）如图所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，点P是△ABC的外角∠BCN的角平分线上一个动点，点P′是点P关于直线BC的对称点，连结PP′交BC于点M，BP′交AC于D，连结BP、AP′、CP′．‎ ‎（1）若四边形BPCP′为菱形，求BM的长；‎ ‎（2）若△BMP′∽△ABC，求BM的长；‎ ‎（3）若△ABD为等腰三角形，求△ABD的面积．‎ 考点：‎ 相似形综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）由菱形的性质可知，点M为BC的中点，所以BM可求；‎ ‎（2）△ABC为等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，则△BMP′必为等腰直角三角形．证明△BMP′、△BMP、△BPP′均为等腰直角三角形，则BP=BP′；证明△BCP为等腰三角形，BP=BC，从而BP′=BC=4，进而求出BM的长度；‎ ‎（3）△ABD为等腰三角形，有3种情形，需要分类讨论计算．‎ 解答：‎ 解：（1）∵四边形BPCP′为菱形，而菱形的对角线互相垂直平分，‎ ‎∴点M为BC的中点，‎ ‎∴BM=BC=×4=2．‎ ‎（2）△ABC为等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，‎ 则△BMP′必为等腰直角三角形，BM=MP′．‎ 由对称轴可知，MP=MP′，PP′⊥BC，则△BMP为等腰直角三角形，‎ ‎∴△BPP′为等腰直角三角形，BP′=BP．‎ ‎∵∠CBP=45°，∠BCP=（180°﹣45°）=67.5°，‎ ‎∴∠BPC=180°﹣∠CBP﹣∠BCP=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，‎ ‎∴∠BPC=∠BCP，‎ ‎∴BP=BC=4，‎ ‎∴BP′=4．‎ 在等腰直角三角形BMP′中，斜边BP′=4，‎ ‎∴BM=BP′=．‎ ‎（3）△ABD为等腰三角形，有3种情形：‎ ‎①若AD=BD，如题图②所示．‎ 此时△ABD为等腰直角三角形，斜边AB=4，‎ ‎∴S△ABD=AD•BD=××=4；‎ ‎②若AD=AB，如下图所示：‎ 过点D作DE⊥AB于点E，则△ADE为等腰直角三角形，‎ ‎∴DE=AD=AB=‎ ‎∴S△ABD=AB•DE=×4×=；‎ ‎③若AB=BD，则点D与点C重合，可知此时点P、点P′、点M均与点C重合，‎ ‎∴S△ABD=S△ABC=AB•BC=×4×4=8．‎ 点评：‎ 本题是几何综合题，考查了相似三角形的性质、等腰直角三角形、等腰三角形、菱形、勾股定理等知识点，难度不大．第（3）问考查了分类讨论的数学思想，是本题的难点．‎ ‎　‎