江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试题

江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试题

鼓楼区2014届九年级二模试卷 数 学 注意事项：‎ ‎1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．‎ ‎2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．‎ ‎3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．‎ ‎4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．下列运算，正确的是 A．a＋a＝a2 ‎ B．a·a＝2a C．3a3－2a2＝a ‎ D．2a·3a2＝6a3‎ ‎2．对多项式x2－3x＋2分解因式，结果为 ‎ A．x(x－3)＋2‎ B．(x－1)(x－2)‎ C．(x－1)(x＋2) ‎ D．(x＋1)(x－2)‎ ‎3．对于函数y＝一 ，下列说法正确的是 A．它的图象关于坐标原点成中心对称 B．自变量x的取值范围是全体实数 C．它的图象不是轴对称图形 D．y随x的增大而增大 ‎4．如图，⊙O1与⊙O2的半径分别为1 cm和2 cm，将两圆放置在直线l上，如果⊙O1在直线 l上从左向右滚动，在这个运动过程中，⊙O1与⊙O2相切的次数是 ‎（第4题）‎ ‎（第5题）‎ 图①‎ 图②‎ O1‎ O2‎ l A．5次 B．4次 C．3次 D．2次 ‎5．图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②所示．则下列图形中，是图②的表面展开图的是 A． ‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．在△ABC中， AB＝3，AC＝. 当∠B最大时，BC的长是 A． B． C． D．2 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上）‎ ‎7．我市冬季某一天的最高气温为‎1℃‎，最低气温为一‎6℃‎，那么这一天的最高气温比最低 气温高 ▲ ℃．‎ ‎8．小明同学在“百度”搜索引擎中输入“2014南京青奥会”，搜索到相关的结果个数约为 ‎11 900 000个，将这个数用科学记数法表示为 ▲ (保留2个有效数字)．‎ ‎9．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，如果AB＝4.8 cm，那么CD＝ cm．‎ ‎10. 化简 － 的结果是 ▲ ．‎ ‎11．若某个圆锥底面半径为3，侧面展开图的面积为12π，则这个圆锥的高为 ▲ .‎ ‎12. 如图，把面积分别为9与4的两个等边三角形的部分重叠，若两个阴影部分的面积分别记为S1与S2(S1＞S2)，则S1－S2＝ ▲ ．‎ ‎13. 如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，点B落在AC边上的点D处，设旋转角为a (0°＜a＜90°)．若ÐB＝125°，ÐE＝30°，则Ða＝ ▲ °．‎ ‎（第12题）‎ ‎（第13题）‎ ‎14．如图，将矩形ABCD折叠，使得A点落在CD上的E点，折痕为FG，若AD＝15cm，‎ ‎（第15题）‎ x ‎－3‎ ‎2‎ ‎3‎ y＝ax2＋bx＋c y＝ y ‎（第14题）‎ F A B D C G E AB＝‎12cm，FG＝‎13cm，则DE的长度为 ▲ cm．‎ ‎15．根据如图所示的函数图象，可得不等式ax2＋bx＋c＜的解集为 ▲ ．‎ ‎16．已知二次函数y＝a(x＋1)(x－3)的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则使△ABC 为等腰三角形的a的值为 ▲ ．‎ 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）计算：2－＋． ‎ ‎18．（6分）解方程：＝－1． ‎ ‎2010—2013年 人均可支配收入统计图 ‎2010—2013年 城镇居民人均可支配收入 年增长率统计图 ‎（第19题）‎ ‎1.3‎ ‎2.9‎ ‎1.5‎ ‎3.3‎ ‎4‎ ‎1.8‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 收入∕万元 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ 农村居民 城镇居民 ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份 增长率（％）‎ ‎8.7‎ ‎13.8‎ ‎9.1‎ ‎11.1‎ ‎2013‎ ‎19．（8分）根据某市农村居民与城镇居民人均可支配收入的数据绘制如下统计图：‎ 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1） 2012年农村居民人均可支配收入比2011年城镇居民人均可支配收入的一半少0.05‎ 万元，请根据以上信息补全条形统计图，并标明相应的数据(结果精确到0.1万元)；‎ A B C F E D ‎（第20题）‎ ‎（2）在2010~2013年这四年中，城镇居民人均可支配收入和农村居民人均可支配收入相 差数额最大的年份是 ▲ 年.‎ ‎20．（8分）在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，‎ 垂足分别是点E，F，且BF＝CE．‎ ‎（1）求证：△ABC是等腰三角形．‎ ‎（2）当∠BAC＝90°时，试判断四边形AFDE的形状，并证明你的结论．‎ ‎21．（8分） 某歌手选秀节目进入决赛阶段，共有甲、乙、丙、丁4名歌手进入决赛， 决赛分3期进行，每期比赛淘汰1名歌手，最终留下的歌手即为冠军．假设每位歌手被淘汰的可能性都相等．‎ ‎（1）甲在第1期比赛中被淘汰的概率为 ▲ ；‎ ‎（2）求甲在第2期被淘汰的概率；‎ ‎（3）依据上述经验，甲在第3期被淘汰的概率为 ▲ ．‎ ‎22.（8分）某市从2012年起治理空气污染，中期目标为： 2016年PM2.5年均值降至38微克/立方米以下．该城市PM2.5数据的相关数据如下：2012年PM2.5年均值为60微克/立方米，经过治理，预计2014年PM2.5年均值降至48.6微克/立方米．假设该城市PM2.5每年降低的百分率相同，问该市能否顺利达成中期目标？‎ ‎23．（8分）如图，二次函数y＝－ x 2＋2（－2≤x≤2）的图象与x、y轴分别交于点A、B、‎ C．‎ ‎（1）直接写出A、B、C点的坐标；‎ O A B C y x P (x，y )‎ ‎（第23题）‎ ‎（2）设点P（x，y）为该图象上的任意一点，连接OP，求OP长度的范围．‎ ‎24．（8分）一种成本为20元/件的新型商品经过40天试销售，发现销售量p（件）、销售单 价q(元/件）与销售时间x（天）都满足一次函数关系，相关信息如图所示．‎ ‎（第24题）‎ 销售量p（件）‎ x（天）‎ x（天）‎ 销售单价q（元/件）‎ ‎（1）试求销售量p（件）与销售时间x（天）的函数关系式；‎ ‎（2）设第x天获得的利润为y元，求y关于x的函数关系式； ‎ ‎（3）求这40天试销售过程中何时利润最大?并求出最大值．‎ ‎25．（8分）如图，△ABC中，点D为AB中点，CD＝AD.‎ ‎（1）判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（2）在图中画出△ABC的外接圆；‎ ‎（第25题）‎ D A C B ‎（3）已知AC＝6，BC＝8，点E是△ABC外接圆上任意一点，点M是弦AE的中点，当 点E在△ABC外接圆上运动一周，求点M运动的路径长．‎ O A B C D E ‎（第26题）‎ ‎26．（8分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，CD＝CA，CE⊥DB交DB的延长 线于点E．‎ ‎（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若AC＝4，AB＝5，求CE的长．‎ ‎27．（12分）‎ D C B A 图① ‎ ‎【问题提出】‎ 如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a ，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？‎ M 图② ‎ D C B A ‎【特例分析】‎ 若n＝2，则时间t＝＋，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得AD＋的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°.‎ ‎（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝；‎ ‎（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D'，并说明理由．‎ D C B A 备用图 ‎ ‎【问题解决】‎ ‎（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问 题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足 的条件、作图的方法等）．‎ ‎【模型运用】‎ ‎（4）如图③，海面上一标志A到海岸BC的距离AB＝‎300 m，‎ C B A 图③ ‎ ‎（第27题）‎ BC＝‎300 m．救生员在C点处发现标志A处有人求救，‎ 立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是‎6 m /s，‎ 在海中游泳的速度都是‎2 m/s，求救生员从C点出发到 达A处的最短时间． ‎ 九年级二模试卷 数学参考答案及评分标准 说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．‎ 一、选择题（每小题2分，共计12分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 答案 ‎ D B A C A B 二、填空题（每小题2分，共计20分）‎ ‎7．7 8．1.2×107 9．2.4 10． 11． 12．5‎ ‎13．25 14． 15．x＜－3或0＜x＜2或x＞3 16．或－或或－ 三、解答题（本大题共11小题，共计88分）‎ ‎17．（本题6分）‎ 解：原式＝2×－×4＋ …………………………………………………3分 ‎＝－2＋…………………………………………………………………4分 ‎＝－…………………………………………………………………………6分 ‎18．（本题6分）‎ 解：＝－1 ．‎ ‎3(5x－4)＝4x＋10－3(x－2)． 3分 x＝2． 5分 检验：当x＝2时，3(x－2)＝0，所以x＝2是增根，原方程无解． 6分 ‎19．（本题8分）‎ ‎（1）图略，………………………………………………………………………………………2分 农村居民和城镇居民可支配收入分别为1.6万元、3.6万元．……………………… 6分 ‎（2）2013． ………………………………………………………………………………………8分 ‎20．（本题8分）‎ ‎（1）证明：∵点D是边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，‎ ‎ ∴BD＝CD，∠DFB＝∠DEC＝90°． ……………………………………………………2分 ‎ ∵BF＝CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE．……………………………………………………3分 ‎ ∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．即△ABC是等腰三角形．…………………………………4分 ‎（2）∵∠BAC＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠BAC＝∠DFA＝∠DEA＝90°．‎ ‎ ∴四边形AFDE是矩形． …………………………………………………………………6分 ‎ ∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC．‎ ‎ ∵BF＝CE，∴AB－BF＝AC－CE．∴AF＝AE．‎ ‎ ∴矩形AFDE是正方形． …………………………………………………………………8分 ‎21．（本题8分）‎ 解：（1）． 2分 ‎（2）画出树状图或列举正确． 5分 解：所有可能的结果用树状图表示如下：‎ 开 始 第一期被淘汰 第二期被淘汰 所有可能出现的结果 甲 乙 丙 ‎（甲，丙）‎ ‎（乙，甲）‎ ‎（甲，丁）‎ ‎（乙，丁）‎ ‎（丙，甲）‎ ‎（丙，乙）‎ 丙 丁 乙 丙 丁 甲 乙 丁 甲 ‎（甲，乙）‎ ‎（乙，丙）‎ ‎（丙，丁）‎ 丁 乙 丙 甲 ‎（丁，甲）‎ ‎（丁，乙）‎ ‎（丁，丙）‎ 共有12种等可能的结果，其中甲在第二期被淘汰的结果有3种，‎ 所以P（甲在第二期被淘汰）＝．………………………………………………………6分 ‎（3）． 8分 ‎22.（本题8分）‎ 解：设该市PM2.5指数平均每年降低的百分率为x，‎ 根据题意，得60(1－x)2＝48.6． 3分 解得：x1＝0.1，x2＝1.9 (不合题意，舍去)． 5分 所以该城市PM2.5指数平均每年降低的百分率为10%． 6分 由于48.6×(1－10%)2＝39.366＞38，所以该市不能顺利达成中期目标． 8分 ‎ ‎23．（本题8分）‎ ‎（1）A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)． 3分 ‎（2）由题意得，OP2＝x2＋y2＝x2＋(－x2＋2) 2＝ (x2－2) 2＋3（－2≤x≤2） 5分 当x2＝2时，即x＝±时， OP2取得最小值，最小值为3．即OP的最小值为．‎ 当x＝－2、0或2时，OP2取得最大值，最大值为4．即OP的最大值为2． …7分 所以OP长度的范围为：≤OP≤2． ………………………………………8分 ‎24．（本题8分）‎ ‎（1）由图象可知：当1≤x≤40时，p是x的一次函数，设p＝kx＋b，‎ 将（1，11）、（40，50）代入得：，解得： ‎ ‎∴当1≤x≤40时，p＝x＋10． 2分 ‎（2）由图象可知：当1≤x≤40时，q是x的一次函数，设q＝k'x＋b'，‎ 将（1，79）、（40，40）代入得：，解得： ‎ ‎∴当1≤x≤40时，q＝－x＋80． 4分 由题意可知：当1≤x≤40时，‎ y＝p (q－20)＝(x＋10) (－x＋80－20)＝－(x－25)2＋1225． 6分 ‎（3）∴当x＝25时，y取得最大值，最大值为1225．‎ 即这40天试销过程中，第25天获得的利润最大，最大利润为1225元． 8分 ‎25．（本题8分）‎ 解：（1）△ABC为直角三角形．……………………………………………………………1分 理由如下：‎ ‎∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠A．‎ 又∵D为AB中点，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B．‎ ‎∵∠A＋∠ACD＋∠DCB＋∠B＝180°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°，‎ ‎∴△ABC为直角三角形.．………………………………………………………………… 3分 ‎(2) 画图正确．………………………………………………………………………………4分 ‎（3）连接DM．‎ ‎∵M是弦AE的中点，D为圆心，∴DM⊥AE，‎ ‎∴点M在以AD为直径的圆上运动．………………………………………………………6分 在Rt△ABC中， AC=6，BC=8，‎ ‎∴AB=10，‎ ‎∴AD=5．‎ ‎∴点M的运动路径长为5π．…………………………………………………………………8分 ‎26．（本题8分）‎ O A B C D E ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 解：（1）解：直线CE与⊙O相切．理由如下：‎ 连接CO、DO．‎ ‎∵AC＝CD，CO＝CO，AO＝DO，‎ ‎∴△ACO≌DCO．∴∠1＝∠2．‎ ‎∵CO＝DO，∴∠1＝∠3．‎ ‎∴∠2＝∠3．‎ ‎∵∠2＝∠4‎ ‎∴∠3＝∠4．∴CO∥ED．‎ ‎∵CE⊥DB，∴∠E＝90°．‎ ‎∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE．……………………………………………………………4分 直线CE经过半径OC的外端点C，并且垂直于半径OC，所以直线CE与⊙O相切．‎ ‎…………………………………………………………………………………………………5分 ‎（2） 连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝∠E，BC＝3．………………………………………………………………6分 ‎∵∠2＝∠4，∴△ACB∽△DEC． ……………………………………………………7分 ‎∴＝，得EC＝． ………………………………………………………………8分 ‎27．（本题12分）‎ 解：（1）∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，‎ C B A M ‎30°‎ D'‎ E'‎ ‎∴在Rt△BCM中，DE＝CD·sin30°，∴DE＝．…………………………………2分 ‎（2）过点A作AE⊥CM交CB于点D'，则D'点即为所用时间最短的登陆点．‎ ‎ 理由如下：由第（1）问可知，D'E'＝．‎ ‎ AD'＋最短，即为AD'＋D'E最短．‎ ‎ 由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中，垂线段最短．‎ ‎ 可知此时D'点即为所求．‎ ‎…………………………………………………………………5分 ‎（3）如图，‎ 过点C做射线CM，使得sin∠BCM＝ ，……………………………………………7分 过点A作AE⊥CM，垂足为E，交CB于点D，则D即为所用时间最短的登陆点．‎ ‎…………………………………………………………………………………………9分A B C M E D ‎（4）此时sin∠BCM＝，易得sin∠DAB＝，‎ ‎∴在Rt△ADB中，AB＝300，‎ AD＝225，DB＝75，CD＝300－75．‎ ‎ ∴时间为 ＋＝50＋100．……………………………………………12‎