中考数学分类汇编考点26正方形

中考数学分类汇编考点26正方形

‎2018中考数学试题分类汇编：考点26 正方形 一．选择题（共4小题）‎ ‎1．（2018•无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（　　）‎ A．等于 B．等于 C．等于 D．随点E位置的变化而变化 ‎【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．‎ ‎【解答】解：∵EF∥AD，‎ ‎∴∠AFE=∠FAG，‎ ‎∴△AEH∽△ACD，‎ ‎∴==．‎ 设EH=3x，AH=4x，‎ ‎∴HG=GF=3x，‎ ‎∴tan∠AFE=tan∠FAG===．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（2018•宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，‎ ‎∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．‎ ‎∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，‎ ‎∴S阴=S正方形ABCD=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（2018•湘西州）下列说法中，正确个数有（　　）‎ ‎①对顶角相等；‎ ‎②两直线平行，同旁内角相等；‎ ‎③对角线互相垂直的四边形为菱形；‎ ‎④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：①对顶角相等，故①正确；‎ ‎②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；‎ ‎③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；‎ ‎④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（2018•张家界）下列说法中，正确的是（　　）‎ A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．相等的角是对顶角 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 ‎【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可．‎ ‎【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；‎ B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；‎ C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；‎ D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二．填空题（共7小题）‎ ‎5．（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是　30°或150°　．‎ ‎【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．‎ ‎【解答】解：如图1，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，‎ ‎∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，‎ ‎∴∠AEB=∠CED=15°，‎ 则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．‎ 如图2，‎ ‎∵△ADE是等边三角形，‎ ‎∴AD=DE，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD=DC，‎ ‎∴DE=DC，‎ ‎∴∠CED=∠ECD，‎ ‎∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，‎ ‎∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．‎ 故答案为：30°或150°．‎ ‎　‎ ‎6．（2018•呼和浩特）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为　①②③　．‎ ‎【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt△ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞‎ ‎135°．‎ ‎【解答】解：由题可得，AM=BE，‎ ‎∴AB=EM=AD，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，‎ ‎∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，‎ ‎∴EH=AH，‎ ‎∴△MEH≌△DAH（SAS），‎ ‎∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，‎ ‎∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，‎ ‎∴DM=HM，故②正确；‎ 当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，‎ ‎∴∠ADM=45°﹣15°=30°，‎ ‎∴Rt△ADM中，DM=2AM，‎ 即DM=2BE，故①正确；‎ ‎∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，‎ ‎∴∠AHM＜∠BAC=45°，‎ ‎∴∠CHM＞135°，故③正确；‎ 故答案为：①②③．‎ ‎　‎ ‎7．（2018•青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　　．‎ ‎【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，‎ 在△ABE和△DAF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABE≌△DAF（SAS），‎ ‎∴∠ABE=∠DAF，‎ ‎∵∠ABE+∠BEA=90°，‎ ‎∴∠DAF+∠BEA=90°，‎ ‎∴∠AGE=∠BGF=90°，‎ ‎∵点H为BF的中点，‎ ‎∴GH=BF，‎ ‎∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，‎ ‎∴BF==，‎ ‎∴GH=BF=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8．（2018•咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　（﹣1，5）　．‎ ‎【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．‎ ‎【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．‎ ‎∵四边形OEFG是正方形，‎ ‎∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，‎ 在△OGM与△EOH中，‎ ‎∴△OGM≌△EOH（ASA）‎ ‎∴GM=OH=2，OM=EH=3，‎ ‎∴G（﹣3，2）．‎ ‎∴O′（﹣，）．‎ ‎∵点F与点O关于点O′对称，‎ ‎∴点F的坐标为 （﹣1，5）．‎ 故答案是：（﹣1，5）．‎ ‎　‎ ‎9．（2018•江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为　2或2或﹣　．‎ ‎【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，‎ ‎∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===6，‎ ‎∴OA=OB=OC=OD=3，‎ 有三种情况：①点P在AD上时，‎ ‎∵AD=6，PD=2AP，‎ ‎∴AP=2；‎ ‎②点P在AC上时，‎ 设AP=x，则DP=2x，‎ 在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，‎ ‎（2x）2=（3）2+（3﹣x）2，‎ 解得：x=﹣（负数舍去），‎ 即AP=﹣；‎ ‎③点P在AB上时，‎ 设AP=y，则DP=2y，‎ 在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，‎ y2+62=（2y）2，‎ 解得：y=2（负数舍去），‎ 即AP=2；‎ 故答案为：2或2或﹣．‎ ‎　‎ ‎10．（2018•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为　（﹣1，）　．‎ ‎【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，连接AM，‎ ‎∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，‎ ‎∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，‎ ‎∴∠B′AD=60°，‎ 在Rt△ADM和Rt△AB′M中，‎ ‎∵，‎ ‎∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），‎ ‎∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，‎ ‎∴DM=ADtan∠DAM=1×=，‎ ‎∴点M的坐标为（﹣1，），‎ 故答案为：（﹣1，）．‎ ‎　‎ ‎11．（2018•台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　+3　．‎ ‎【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．‎ ‎【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，‎ ‎∴阴影部分的面积为×9=6，‎ ‎∴空白部分的面积为9﹣6=3，‎ 由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，‎ ‎∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，‎ 设BG=a，CG=b，则ab=，‎ 又∵a2+b2=32，‎ ‎∴a2+2ab+b2=9+6=15，‎ 即（a+b）2=15，‎ ‎∴a+b=，即BG+CG=，‎ ‎∴△BCG的周长=+3，‎ 故答案为： +3．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎12．（2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△ADF；‎ ‎（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；‎ ‎（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；‎ ‎【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB，‎ ‎∴∠ABE=∠ADF，‎ 在△ABE与△ADF中 ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ADF（SAS）；‎ ‎（2）连接AC，‎ 四边形AECF是菱形．‎ 理由：∵正方形ABCD，‎ ‎∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，‎ ‎∴OB+BE=OD+DF，‎ 即OE=OF，‎ ‎∵OA=OC，OE=OF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵AC⊥EF，‎ ‎∴四边形AECF是菱形．‎ ‎　‎ ‎13．（2018•吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．‎ ‎【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明；‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，‎ 在△ABE和△BCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△BCF．‎ ‎　‎ ‎14．（2018•白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．‎ ‎（1）求证：△BGF≌△FHC；‎ ‎（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．‎ ‎【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；‎ ‎（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，‎ ‎∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，‎ ‎∴∠CFH=∠CBG，‎ ‎∵BF=CF，‎ ‎∴△BGF≌△FHC，‎ ‎（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，‎ ‎∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，‎ ‎∴GH=，且GH∥BC，‎ ‎∴EF⊥BC，‎ ‎∵AD∥BC，AB⊥BC，‎ ‎∴AB=EF=GH=a，‎ ‎∴矩形ABCD的面积=．‎ ‎　‎ ‎15．（2018•潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．‎ ‎（1）求证：AE=BF；‎ ‎（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．‎ ‎【分析】（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；‎ ‎（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴BA=AD，∠BAD=90°，‎ ‎∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，‎ ‎∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，‎ ‎∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，‎ ‎∴∠ABF=∠EAD，‎ 在△ABF和△DEA中 ‎，‎ ‎∴△ABF≌△DEA（AAS），‎ ‎∴BF=AE；‎ ‎（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，‎ ‎∵四边形ABED的面积为24，‎ ‎∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），‎ ‎∴EF=x﹣2=4，‎ 在Rt△BEF中，BE==2，‎ ‎∴sin∠EBF===．‎ ‎　‎ ‎16．（2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．‎ ‎（1）求证：△DAF≌△ABE；‎ ‎（2）求∠AOD的度数．‎ ‎【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；‎ ‎（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，‎ 在△DAF和△ABE中，，‎ ‎∴△DAF≌△ABE（SAS），‎ ‎（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，‎ ‎∴∠ADF=∠BAE，‎ ‎∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，‎ ‎∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．‎ ‎　‎ ‎17．（2018•遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．‎ ‎（1）求证：OM=ON．‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．‎ ‎【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；‎ ‎（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，‎ ‎∴∠OAM=∠OBN=135°，‎ ‎∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，‎ ‎∴∠AOM=∠BON，‎ ‎∴△OAM≌△OBN（ASA），‎ ‎∴OM=ON；‎ ‎（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，‎ ‎∵正方形的边长为4，‎ ‎∴OH=HA=2，‎ ‎∵E为OM的中点，‎ ‎∴HM=4，‎ 则OM==2，‎ ‎∴MN=OM=2．‎ ‎　‎