重庆市重点中学中考数学模拟试卷

重庆市重点中学中考数学模拟试卷

‎2018年重庆市重点中学中考数学模拟试卷（4）‎ ‎　‎ 一．选择题：（每小题4分，共48分）‎ ‎1．（4分）4的倒数的相反数是（　　）‎ A．﹣4 B．4 C． D．‎ ‎2．（4分）如图图形既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（4分）化简的结果为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（4分）已知：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（　　）‎ A．2， B．2，1 C．4， D．4，3‎ ‎5．（4分）估计﹣2的值在（　　）‎ A．0到l之间 B．1到2之问 C．2到3之间 D．3到4之间 ‎6．（4分）函数y=的自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣2‎ ‎7．（4分）如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为（　　）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎8．（4分）若+|3﹣y|=0，则x﹣y的正确结果是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5‎ ‎9．（4分）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A．18﹣9π B．18﹣3π C．9﹣ D．18﹣3π ‎10．（4分）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（　　）‎ A．20 B．27 C．35 D．40‎ ‎11．（4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）‎ A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4‎ ‎12．（4分）如果关于x的分式方程﹣3=‎ 有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的积是（　　）‎ A．﹣3 B．0 C．3 D．9‎ ‎　‎ 二．填空题：（每小题4分，共24分）‎ ‎13．（4分）废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水（相当于一个人一生的饮水量）．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水用科学记数法表示为　 　立方米．‎ ‎14．（4分）=　 　．‎ ‎15．（4分）如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=6，BC：AC=1：2，则AB的长为　 　．‎ ‎16．（4分）为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况，将某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制成了如图所示的条形统计图，根据统计图提供的数据，该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为　 　．‎ ‎17．（4分）如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为（﹣，5），D是AB边上一点，将△ADO沿直线OD翻折，使点A恰好落在对角线OB上的E点处，若E点在反比例函数y=的图象上，则k=　 　．‎ ‎18．（4分）如图，甲和乙同时从学校放学，两人以各自送度匀速步行回家，甲的家在学校的正西方向，乙的家在学校的正东方向，乙家离学校的距离比甲家离学校的距离远3900米，甲准备一回家就开始做什业，打开书包时发现错拿了乙的练习册．于是立即步去追乙，终于在途中追上了乙并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家，（甲在家中耽搁和交还作业的时间忽略不计）结果甲比乙晚回到家中，如图是两人之间的距离y米与他们从学校出发的时间x分钟的函数关系图，则甲的家和乙的家相距　 　米．‎ ‎　‎ 三．解答题：（每小题8分，共16分）‎ ‎19．（8分）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．‎ ‎20．（8分）数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．‎ 补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名．‎ ‎　‎ 四．解答题（每小题10分，共50分）‎ ‎21．（10分）（1）（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）+（2a+b）（2a﹣b）‎ ‎（2）（m﹣1﹣）．‎ ‎22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．‎ ‎（1）求直线AB和反比例函数的解析式；‎ ‎（2）求△OCD的面积．‎ ‎23．（10分）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．‎ ‎（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？‎ ‎（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m%小时，求m的值．‎ ‎24．（10分）有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后，能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．‎ 例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；‎ 再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．‎ ‎（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．‎ ‎（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．‎ ‎25．（10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．‎ ‎（1）若CE=1，求BC的长；‎ ‎（2）求证：AM=DF+ME．‎ ‎　‎ 五．解答题（每小题12分，请按要求写出详细解答过程）‎ ‎26．（12分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．‎ ‎（1）求线段DE的长度；‎ ‎（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；‎ ‎（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2018年重庆市重点中学中考数学模拟试卷（4）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：（每小题4分，共48分）‎ ‎1．（4分）4的倒数的相反数是（　　）‎ A．﹣4 B．4 C． D．‎ ‎【分析】先求出4的倒数，再根据相反数即可解答．‎ ‎【解答】解：4的倒数是，的相反数﹣，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了倒数和相反数，解决本题的关键是熟记相反数，倒数的定义．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）如图图形既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；‎ B、既不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；‎ C、既不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；‎ D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）化简的结果为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先分母有理化，再合并同类二次根式即可．‎ ‎【解答】解：原式=+=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．‎ 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）已知：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（　　）‎ A．2， B．2，1 C．4， D．4，3‎ ‎【分析】本题可将平均数和方差公式中的x换成3x﹣2，再化简进行计算．‎ ‎【解答】解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5=2×5=10．‎ ‎∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是：‎ ‎′=[（3x1﹣2）+（3x2﹣2）+（3x3﹣2）+（3x4﹣2）+（3x5﹣2）]=[3×（x1+x2+…+x5）﹣10]=4，‎ S′2=×[（3x1﹣2﹣4）2+（3x2﹣2﹣4）2+…+（3x5﹣2﹣4）2]，‎ ‎=×[（3x1﹣6）2+…+（3x5﹣6）2]=9×[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x5﹣2）2]=3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的是方差和平均数的性质．设平均数为E（x），方差为D（x）．则E（cx+d）=cE（x）+d；D（cx+d）=c2D（x）．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）估计﹣2的值在（　　）‎ A．0到l之间 B．1到2之问 C．2到3之间 D．3到4之间 ‎【分析】依据＜＜，即可得到3＜＜4，进而得出1＜﹣2＜2．‎ ‎【解答】解：∵＜＜，‎ ‎∴3＜＜4，‎ ‎∴1＜﹣2＜2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，解决问题的关键是得到3＜＜4．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）函数y=的自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣2‎ ‎【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x+2＞0，解得，x＞﹣2‎ 故选：C．‎ ‎【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为（　　）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【分析】本题已知了∠AED=∠B，易证得△ADE∽△‎ ACB，由此可得出关于AE、AB，DE、BC的比例关系式；已知了AE、AB、DE的长，可根据比例关系式求出BC的值．‎ ‎【解答】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A ‎∴△ADE∽△ACB ‎∴‎ ‎∵DE=6，AB=10，AE=8‎ ‎∴，即BC=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查相似三角形的性质．难度较低．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）若+|3﹣y|=0，则x﹣y的正确结果是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5‎ ‎【分析】根据非负数的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意，得 x﹣2=0，3﹣y=0，‎ 解得x=2，y=3．‎ x﹣y=2﹣3=﹣1，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出x﹣2=0，3﹣y=0是解题关键．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A．18﹣9π B．18﹣3π C．9﹣ D．18﹣3π ‎【分析】由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，‎ ‎∴AD=AB=6，∠ADC=180°﹣60°=120°，‎ ‎∵DF是菱形的高，‎ ‎∴DF⊥AB，‎ ‎∴DF=AD•sin60°=6×=3，‎ ‎∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积=6×3﹣=18﹣9π．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（　　）‎ A．20 B．27 C．35 D．40‎ ‎【分析】第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n+1=‎ ‎，进一步求得第（6）个图形中面积为1的正方形的个数即可．‎ ‎【解答】解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，‎ 第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，‎ 第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，‎ ‎…，‎ 按此规律，‎ 第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=个，‎ 则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）‎ A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4‎ ‎【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度．‎ ‎【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：‎ 则GH=DE=15米，EG=DH，‎ ‎∵梯坎坡度i=1：，‎ ‎∴BH：CH=1：，‎ 设BH=x米，则CH=x米，‎ 在Rt△BCH中，BC=12米，‎ 由勾股定理得：x2+（x）2=122，‎ 解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，‎ ‎∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），‎ ‎∵∠α=45°，‎ ‎∴∠EAG=90°﹣45°=45°，‎ ‎∴△AEG是等腰直角三角形，‎ ‎∴AG=EG=6+20（米），‎ ‎∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）如果关于x的分式方程﹣3=有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的积是（　　）‎ A．﹣3 B．0 C．3 D．9‎ ‎【分析】把a看做已知数表示出不等式组的解，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a的值，即可求出之积．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x≤2a+4，‎ 由②得：x＜﹣2，‎ 由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，‎ 分式方程去分母得：a﹣3x﹣3=1﹣x，‎ 把a=﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6=1﹣x，即x=﹣，符合题意；‎ 把a=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，即x=﹣3，不合题意；‎ 把a=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，即x=﹣，符合题意；‎ 把a=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，即x=﹣2，不合题意；‎ 把a=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，即x=﹣，符合题意；‎ 把a=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，即x=﹣1，不合题意；‎ 把a=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，即x=﹣，符合题意；‎ ‎∴符合条件的整数a取值为﹣3，﹣1，1，3，之积为9，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ 二．填空题：（每小题4分，共24分）‎ ‎13．（4分）废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水（相当于一个人一生的饮水量）．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水用科学记数法表示为　3×104　立方米．‎ ‎【分析】在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便．‎ 将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜‎ ‎10，n为比整数位数少1的数，而且a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点．‎ ‎【解答】解：因为一粒纽扣电池能污染600立方米的水，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水就是：600×50=30 000，用科学记数法表示为3×104立方米．‎ 故答案为3×104．‎ ‎【点评】将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）=　13　．‎ ‎【分析】直接利用零指数幂的性质和负指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式=2+9﹣1×4+6‎ ‎=13．‎ 故答案为：13．‎ ‎【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=6，BC：AC=1：2，则AB的长为　9　．‎ ‎【分析】PC切⊙O于点C，则得到∠PCB=∠A，易证△PCB∽△PAC，因而==，因而求得BP=，PC=3，根据切割线定理得到PC2=PB•PA，可求PA=12，所以AB=9．‎ ‎【解答】解：PC切⊙O于点C，则∠PCB=∠A，∠P=∠P，‎ ‎∴△PCB∽△PAC，‎ ‎∴==‎ ‎∵BP=PC=3，‎ ‎∴PC2=PB•PA，即36=3•PA，‎ ‎∵PA=12‎ ‎∴AB=12﹣3=9．‎ ‎【点评】此题综合考查函数、方程与圆的切线，三角形相似的判定与性质等知识．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况，将某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制成了如图所示的条形统计图，根据统计图提供的数据，该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为　17　．‎ ‎【分析】根据众数和中位数的定义求解．‎ ‎【解答】解：8是出现次数最多的，故众数是8，‎ 这组数据从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数都是9，故中位数是9，‎ 所以中位数与众数之和为17．‎ 故填17．‎ ‎【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为（﹣，5），D是AB边上一点，将△ADO沿直线OD翻折，使点A恰好落在对角线OB上的E点处，若E点在反比例函数y=的图象上，则k=　﹣12　．‎ ‎【分析】先作EF⊥CO，垂足为点F，连接OD，构造全等三角形，再由勾股定理和相似三角形的性质，求出E点坐标，利用待定系数法解答即可．‎ ‎【解答】解：过E点作EF⊥OC于F 由条件可知：OE=OA=5，=tng∠BOC===‎ ‎∴EF=3，OF=4，‎ 则E点坐标为（﹣4，3）‎ ‎∴k=﹣4×3=﹣12‎ 故答案为﹣12．‎ ‎【点评】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，将翻折变换和用待定系数法求函数解析式结合起来，有一定难度．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）如图，甲和乙同时从学校放学，两人以各自送度匀速步行回家，甲的家在学校的正西方向，乙的家在学校的正东方向，乙家离学校的距离比甲家离学校的距离远3900米，甲准备一回家就开始做什业，打开书包时发现错拿了乙的练习册．于是立即步去追乙，终于在途中追上了乙并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家，（甲在家中耽搁和交还作业的时间忽略不计）结果甲比乙晚回到家中，如图是两人之间的距离y米与他们从学校出发的时间x分钟的函数关系图，则甲的家和乙的家相距　8700　米．‎ ‎【分析】先根据乙家离学校的距离比甲家离学校的距离远3900米，设学校离甲的家距离为a米，则学校离乙的家距离为（a+3900）米，由图象得：20分时甲到家，70分时乙到家，可表示甲和乙的速度，由40分时，甲从家返回后追上乙，40分后，甲30分时到学校，乙到家，根据路程关系列方程可得a的值，从而得结论．‎ ‎【解答】解：设学校离甲的家距离为a米，则学校离乙的家距离为（a+3900）米，‎ 由图象可知，20分时甲到家，70分时乙到家，‎ ‎∴v甲=米/分，v乙=米/分，‎ 由题意得：40分时，甲追上乙，‎ 由BC段可知：70分时，乙到家时，甲到学校，即甲30分钟所走路程，乙走了40分，‎ 则40×=30×，‎ 解得：a=2400，‎ ‎∴甲家到乙家的距离为：2a+3900=2×2400+3900=8700，‎ 故答案为：8700．‎ ‎【点评】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，有难度，解题的关键是读懂图象信息，明确甲和乙从学校到家的时间是关键，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 三．解答题：（每小题8分，共16分）‎ ‎19．（8分）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．‎ ‎【分析】根据条件可以得出AD=AB，∠ABF=∠ADE=90°，从而可以得出△ABF≌△ADE，就可以得出∠FAB=∠EAD，就可以得出结论．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，‎ ‎∴∠ABF=90°．‎ ‎∵在△BAF和△DAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△BAF≌△DAE（SAS），‎ ‎∴FAB=∠EAD，‎ ‎∵∠EAD+∠BAE=90°，‎ ‎∴∠FAB+∠BAE=90°，‎ ‎∴∠FAE=90°，‎ ‎∴EA⊥AF．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定，在解答本题时，证明三角形全等是关键．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．‎ 补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名．‎ ‎【分析】根据统计图可以求得本次调查的人数和体重落在B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而可以求得我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名．‎ ‎【解答】解：本次调查的学生有：32÷16%=200（名），‎ 体重在B组的学生有：200﹣16﹣48﹣40﹣32=64（名），‎ 补全的条形统计图如右图所示，‎ 我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有：1800×=576（名），‎ 即我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有576名．‎ ‎【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．‎ ‎　‎ 四．解答题（每小题10分，共50分）‎ ‎21．（10分）（1）（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）+（2a+b）（2a﹣b）‎ ‎（2）（m﹣1﹣）．‎ ‎【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．‎ ‎（2）根据分式的运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）原式=a2﹣2ab+b2﹣a2+2ab+4a2﹣b2‎ ‎=4a2；‎ ‎（2）原式=÷‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎【点评】本题考查学生的运算法则，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．‎ ‎（1）求直线AB和反比例函数的解析式；‎ ‎（2）求△OCD的面积．‎ ‎【分析】（1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式；‎ ‎（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2，‎ ‎∴BE=2+4=6．‎ ‎∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO===．‎ ‎∴OA=2，CE=3．‎ ‎∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，则，‎ 解得．‎ 故直线AB的解析式为y=﹣x+2．‎ 设反比例函数的解析式为y=（m≠0），‎ 将点C的坐标代入，得3=，‎ ‎∴m=﹣6．‎ ‎∴该反比例函数的解析式为y=﹣．‎ ‎（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，‎ 可得交点D的坐标为（6，﹣1），‎ 则△BOD的面积=4×1÷2=2，‎ ‎△BOC的面积=4×3÷2=6，‎ 故△OCD的面积为2+6=8．‎ ‎【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解析式．求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．‎ ‎（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？‎ ‎（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m%小时，求m的值．‎ ‎【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；‎ ‎（2）根据题意得出方程（80+120）（1﹣m%）（8+m%）=1600，进而解方程求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：‎ ‎，‎ 解得：．‎ 答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；‎ ‎（2）由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+m%）=1600，‎ 解得：m1=620，m2=0（不合题意舍去）．‎ 答：m的值为620．‎ ‎【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后，能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．‎ 例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；‎ 再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．‎ ‎（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．‎ ‎（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．‎ ‎【分析】（1）先设出两位自然数的十位数字，表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数即可；‎ ‎（2）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b的可能值，进而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．‎ ‎【解答】解：（1）设两位自然数的十位数字为x，则个位数字为2x，‎ ‎∴这个两位自然数是10x+2x=12x，‎ ‎∴这个两位自然数是12x能被6整除，‎ ‎∵依次轮换个位数字得到的两位自然数为10×2x+x=21x ‎∴轮换个位数字得到的两位自然数为21x能被7整除，‎ ‎∴一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，这个两位自然数一定是“轮换数”；‎ ‎（2）∵三位自然数是3的一个“轮换数”，且a=2，‎ ‎∴100a+10b+c能被3整除，‎ 即：10b+c+200能被3整除，‎ 第一次轮换得到的三位自然数是100b+10c+a能被4整除，‎ 即100b+10c+2能被4整除，‎ 第二次轮换得到的三位自然数是100c+10a+b能被5整除，‎ 即100c+b+20能被5整除，‎ ‎∵100c+b+20能被5整除，‎ ‎∴b+20的个位数字不是0，便是5，‎ ‎∴b=0或b=5，‎ 当b=0时，‎ ‎∵100b+10c+2能被4整除，‎ ‎∴10c+2能被4整除，‎ ‎∴c只能是1，3，5，7，9；‎ ‎∴这个三位自然数可能是为201，203，205，207，209，‎ 而203，205，209不能被3整除，‎ ‎∴这个三位自然数为201，207，‎ 当b=5时，∵100b+10c+2能被4整除，‎ ‎∴10c+502能被4整除，‎ ‎∴c只能是1，5，7，9；‎ ‎∴这个三位自然数可能是为251，255，257，259，‎ 而251，257，259不能被3整除，‎ ‎∴这个三位自然数为255，‎ 即这个三位自然数为201，207，255．‎ ‎【点评】此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用5的倍数求出b的值．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．‎ ‎（1）若CE=1，求BC的长；‎ ‎（2）求证：AM=DF+ME．‎ ‎【分析】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；‎ ‎（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．‎ ‎【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠1=∠ACD，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠ACD=∠2，‎ ‎∴MC=MD，‎ ‎∵ME⊥CD，‎ ‎∴CD=2CE，‎ ‎∵CE=1，‎ ‎∴CD=2，‎ ‎∴BC=CD=2；‎ ‎（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，‎ ‎∴BF=CF=BC，‎ ‎∴CF=CE，‎ 在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，‎ ‎∴∠ACB=∠ACD，‎ 在△CEM和△CFM中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△CEM≌△CFM（SAS），‎ ‎∴ME=MF，‎ 延长AB交DF的延长线于点G，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠G=∠2，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠1=∠G，‎ ‎∴AM=MG，‎ 在△CDF和△BGF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△CDF≌△BGF（AAS），‎ ‎∴GF=DF，‎ 由图形可知，GM=GF+MF，‎ ‎∴AM=DF+ME．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ 五．解答题（每小题12分，请按要求写出详细解答过程）‎ ‎26．（12分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．‎ ‎（1）求线段DE的长度；‎ ‎（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；‎ ‎（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据解析式求得C的坐标，进而求得D的坐标，即可求得DH的长度，令y=0，求得A，B的坐标，然后证得△ACO∽△‎ EAH，根据对应边成比例求得EH的长，进继而求得DE的长；‎ ‎（2）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，根据点的坐标求得直线GN的解析式：y=x﹣；直线AE的解析式：y=﹣x﹣，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣），根据S△MFP=S△MQF+S△MQP，得出S△MFP=﹣m2+m+，根据解析式即可求得，△MPF面积的最大值；‎ ‎（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），求得CF=，CP=，进而得出△CFP为等边三角形，边长为，翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，然后分三种情况讨论求得即可．‎ ‎【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+，‎ 令x=0，得y=，即C（0，），D（2，），‎ ‎∴DH=，‎ 令y=0，即﹣x2+x+=0，得x1=﹣1，x2=3，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（3，0），‎ ‎∵AE⊥AC，EH⊥AH，‎ ‎∴△ACO∽△EAH，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：EH=，‎ 则DE=2；‎ ‎（2）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），‎ 连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，‎ 直线GN的解析式：y=x﹣；直线AE的解析式：y=﹣x﹣，‎ 联立得：F （0，﹣），P（2，），‎ 过点M作y轴的平行线交FP于点Q，‎ 设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣），（0＜m＜2）；‎ ‎∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=﹣m2+m+，‎ ‎∵对称轴为：直线m=＜2，开口向下，‎ ‎∴m=时，△MPF面积有最大值：；‎ ‎（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），‎ ‎∴CF=，CP==，‎ ‎∵OC=，OA=1，‎ ‎∴∠OCA=30°，‎ ‎∵FC=FG，‎ ‎∴∠OCA=∠FGA=30°，‎ ‎∴∠CFP=60°，‎ ‎∴△CFP为等边三角形，边长为，‎ 翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，‎ ‎1）当K F′=KF″时，如图3，‎ 点K在F′F″的垂直平分线上，所以K与B重合，坐标为（3，0），‎ ‎∴OK=3； ‎ ‎2）当F′F″=F′K时，如图4，‎ ‎∴F′F″=F′K=4，‎ ‎∵FP的解析式为：y=x﹣，‎ ‎∴在平移过程中，F′K与x轴的夹角为30°，‎ ‎∵∠OAF=30°，‎ ‎∴F′K=F′A ‎∴AK=4‎ ‎∴OK=4﹣1或者4+1；‎ ‎3）当F″F′=F″K时，如图5，‎ ‎∵在平移过程中，F″F′始终与x轴夹角为60°，‎ ‎∵∠OAF=30°，‎ ‎∴∠AF′F″=90°，‎ ‎∵F″F′=F″K=4，‎ ‎∴AF″=8，‎ ‎∴AK=12，‎ ‎∴OK=11，‎ 综上所述：OK=3，4﹣1，4+1或者11．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的交点和待定系数法求二次函数的解析式以及最值问题，考查了三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分类讨论的思想是解题的关键．‎ ‎　‎