全国中考数学证明题汇编

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‎（2013北京）‎ 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。‎ ‎（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；‎ ‎（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。‎ ‎（2013上海）．如图8，在△中，， ，点为边的中点，交于点，‎ 图8‎ 交的延长线于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）联结，过点作的垂线交的 延长线于点，求证：．‎ ‎（2013重庆A卷）．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于O点，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。‎ ‎（1）求证：OE=OF； ‎ ‎（2）若BC=，求AB的长。‎ ‎24．（10分）（2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．‎ ‎（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；‎ ‎（2）求证：∠CEG=∠AGE．‎ ‎23．（14分）（2013•安徽）我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．‎ ‎（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；‎ ‎（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：=；‎ ‎（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由）‎ ‎（2013•南平）在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB．设=k．‎ ‎（1）证明：△BGF是等腰三角形；‎ ‎（2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？‎ ‎（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．‎ 利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围．‎ ‎2013•莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．‎ ‎（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；‎ ‎（2）拓展探究：若AC≠BC．‎ ‎①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；‎ ‎②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．‎ ‎（2013•三明）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．‎ ‎（1）求证：△BCP≌△DCP；‎ ‎（2）求证：∠DPE=∠ABC；‎ ‎（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=　58　度．‎ ‎（2013厦门）如图11，在正方形ABCD中，点G是边BC上的任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F，在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH．‎ 求证：∠ABH=∠CDE．‎ ‎（2013•白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．‎ ‎（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．‎ ‎（2013兰州）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．‎ ‎（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；‎ ‎（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．‎ ‎（2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BFE；‎ ‎（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．‎ ‎（2013•梅州）如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB与点E，且CF=AE，‎ ‎（1）求证：四边形BECF是菱形；‎ ‎（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．‎ ‎（2013广西崇左市）如图所示，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE=BF．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△ABF；‎ ‎（2）问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么？‎ ‎（2013深圳市）.如图4，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE。‎ ‎（1）求证：BD=DE。‎ ‎（2）若AC⊥BD，AD=3，=16，求AB的长。‎ 21、 ‎(2013珠海市)如图，在Rt△ABC中， °，点P为AC边上的一点，将线 段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P’),当AP旋转至时，点B,P,P’‎ 恰好在同一直线上，此时作于点E。‎ ⑴求证：‎ ‎ ⑵求证：AE=CP ‎ ‎ ⑶当=3：2，BP’=5时，求线段AB的长 ‎ ‎（2013•桂林）如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，连接AF，DE交于点O．求证：‎ ‎（1）△ABF≌△DCE；‎ ‎（2）△AOD是等腰三角形．‎ ‎（2013•贺州）如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC．‎ ‎（1）求证：CD=AN；‎ ‎（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积．‎ ‎（2013•柳州）如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，连结AC、BD．在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC． ‎ ‎（1）四边形ABEC一定是什么四边形？‎ ‎（2）证明你在（1）中所得出的结论．‎ ‎（2013广西南宁）如图11，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点。‎ ‎（1）求证：‎∆‎ABE≌‎∆‎CDF。‎ ‎（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长。‎ ‎ ‎ 图11‎ ‎（2013•贵港）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．‎ ‎（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；‎ ‎（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．‎ ‎（2013广西梧州，20， 6分）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF.‎ 求证：四边形BECF是平行四边形.‎ ‎（2013•玉林）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点．‎ ‎（1）求证：四边形EMCN是矩形；‎ ‎（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的长和宽．‎ ‎（2013安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．‎ ‎（1）求证：四边形BCFE是菱形；‎ ‎（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．‎ ‎（2013毕节市）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF。‎ ‎（1）求证：△ADE≌△ABF；‎ ‎（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到；‎ ‎（第25题图）‎ ‎（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积。‎ ‎2013•黔东南州）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．‎ ‎（2013•铜仁地区）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．‎ ‎（2013•遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．‎ ‎（1）求证：CM=CN；‎ ‎（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．‎ ‎（2013•海南）（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；‎ ‎（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．‎ ‎①若CD=2PC时，求证：BP⊥CF；‎ ‎②若CD=n•PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S1，△DPE的面积为S2．求证：S1=（n+1）S2．‎ ‎（2013海南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，‎ ‎∠B=∠E=30°.‎ ‎（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：‎ ‎①线段DE与AC的位置关系是_________；‎ A(D)‎ B(E)‎ C 图1‎ A C B D E 图2‎ ‎②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________________.‎ ‎（2）猜想论证 M 图3‎ A B C D E N 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC 中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.‎ ‎（3）拓展探究 ‎ 已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.‎ E C D B A ‎ 图4‎ 若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，‎ 请直接写出相应的BF的长.‎ ‎（2013大兴安岭）‎ 已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线，AC=DC,DB⊥MN于点B，如图（1）易证BD+AB=CB， 过程如下：‎ 过点C做CE⊥CB于点C与MN交于点E ‎ ∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°‎ ‎∴∠BCD=∠ACE ‎ ∵ 四边形ACDB内角和为360°∴∠BDC+∠CAB=180°‎ ‎∵∠EAC+∠CAB=180°∴∠EAC=∠BDC 又∵AC=DC ∴△ACE≌△DCB ‎ ‎∴AE=DB CE=CB ‎ ‎∴△ECB为等腰直角三角形 ‎ ‎∴BE=CB ‎ 又∵BE=AE+AB ‎ ‎∴BE=BD+AB ‎ ‎∴ BD+AB=CB21世纪教育网 1、 当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明.‎ 2、 MN在绕点A旋转过程中当∠BCD=30°，BD=时，则CD= , CB= .‎ ‎(2013哈尔滨)‎ ‎ 已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC ‎ 和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．‎ ‎ (1)如图l，求证：∠EAF=∠ABD；‎ ‎ (2)如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF= ∠BAF，AF=AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎（2013•大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．‎ ‎（1）求证：CF=DG；‎ ‎（2）求出∠FHG的度数．‎ ‎（2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．‎ ‎（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）‎ ‎（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．‎ ‎（2013齐齐哈尔）‎ 已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC=45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F.当点D在CB边的延长线上时，如图1所示，易证MF+FN=BE （1） 当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由.‎ （2） 当点D在BC边的延长线上时，如图所示，请直接写出你的结论.（不需要证明）‎ 图3‎ 图2‎ 图1‎ 第26题图 ‎（2013•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF ‎（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；‎ ‎（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；‎ ‎（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；‎ ‎①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；‎ ‎②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．‎ ‎（2013牡丹江）在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．‎ ‎（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．‎ ‎（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．‎ ‎（3）若AC=6，DE=4，则DF=　2或10　．‎ ‎（2013•鄂州）‎ 如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△ABF．‎ ‎（2）求△AEF的面积．‎ ‎（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．‎ ‎（2013黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.‎ ‎17题图 ‎（2013黄石）如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线.‎ ‎（1）如图2，在△中，°，，的平分线交于点，请问点是否是边上的黄金分割点，并证明你的结论；‎ ‎（2）若△在（1）的条件下，如图（3），请问直线是不是△的黄金分割线，并证明你的结论；‎ ‎（3）如图4，在直角梯形中，，对角线、交于点，延长、交于点，连接交梯形上、下底于、两点，请问直线是不是直角梯形的黄金分割线，并证明你的结论.‎ E A C B A D B C A C D H A B B F C D 图1‎ 图2‎ 图3‎ 图4‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎（2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．‎ ‎（1）求证：BE=CE；‎ ‎（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．‎ ‎（2013•荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．‎ ‎（2013•咸宁）阅读理解：‎ 如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：‎ ‎（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；‎ ‎（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；‎ 拓展探究：‎ ‎（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．‎ ‎（2013•襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．‎ ‎（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；‎ ‎（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．‎ ‎①当旋转角为　60　度时，边AD′落在AE上；‎ ‎②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．‎ ‎（2013武汉）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． ‎ ‎（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证； ‎ ‎（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； ‎ ‎（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．‎ ‎（2013孝感）如图1，已知正方形的边长为1，点在边上，‎ 若90°，且交正方形外角的平分线于点。‎ ‎（1）图1中若点是边的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（3分）‎ ‎（2）如图2，若点在线段上滑动（不与点，重合）。‎ ‎①是否总成立？请给出证明；（5分）‎ ‎②在如图所示的直角坐标系中，当点滑动到某处时，点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标．（4分）‎ ‎(第25题)‎ 图1‎ 图2‎ ‎（2013宜昌）如图1，在⊿ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC于点O，F是线段AO上的点（与A、O不重合），∠EAF=90°，AE=AF，连接FE，FC，BF.‎ ‎（1）求证：BE=BF；‎ ‎（2）如图2，若将⊿AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K.‎ ‎①求证：⊿AGC∽⊿KGB；‎ ‎②当⊿BEF为等腰直角三角形时，请直接写出AB：BF的值.‎ ‎（2013•常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．‎ ‎（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；‎ ‎（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；‎ ‎（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．‎ ‎（2013•长沙）如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．‎ ‎（1）求证：△ABN≌△CDM；‎ ‎（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．‎ ‎（2013•娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．‎ ‎（1）求证：AM=AN；‎ ‎（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．‎ ‎（2013•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．‎ ‎（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；‎ ‎（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．‎ ‎（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3‎ ‎（1）求证：BN=DN；‎ ‎（2）求△ABC的周长．‎ ‎（2013岳阳市）.某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合。三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q.‎ ‎（1）求证：DP＝DQ；‎ ‎（2）如图，小明在图①的基础上做∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；‎ ‎（3）如图，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q,仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB:AP＝3:4，请帮小明算出△DEP的面积。‎ ‎2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．‎ ‎（1）求证：OE=OF；‎ ‎（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；‎ ‎（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．‎ ‎2013•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．‎ ‎（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；‎ ‎（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．‎ ‎（2013•长春）探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E．若AE=10，求四边形ABCD的面积．‎ 应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为　 　．‎ ‎（2013•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．‎ ‎（1）求证：△ACD≌△BCE；‎ ‎（2）若AC=3cm，则BE=　 　cm．‎ ‎（2013•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．‎ 求证：四边形ABCD是菱形．‎ ‎(2013南京) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ‎ ÐABC，P是BD上一点，过点P作PM^AD，PN^CD，垂 ‎ 足分别为M、N。‎ ‎ (1) 求证：ÐADB=ÐCDB；‎ ‎ (2) 若ÐADC=90°，求证：四边形MPND是正方形。‎ A B C D N M P ‎（2013•连云港）在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．‎ ‎（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；‎ ‎（2）若四边形BFDE为为菱形，且AB=2，求BC的长．‎ ‎（2013•南通）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．‎ 求证：四边形BCDE是矩形．‎ ‎2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：△APB≌△APD；‎ ‎（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．‎ ‎①求y与x的函数关系式；‎ ‎②当x=6时，求线段FG的长．‎ ‎（2013•盐城）阅读材料 如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．‎ 解决问题 ‎（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；‎ ‎（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）‎ ‎（2013•扬州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．‎ ‎（1）求证：AB⊥AE；‎ ‎（2）若BC2=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．‎ ‎24．（12分）（2013•江西）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：‎ ‎（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是　 　（填序号即可）‎ ‎①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．‎ ‎（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；‎ ‎（3）类比探究：‎ ‎（i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：　等腰直角三角形　．‎ ‎（ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．‎ ‎（2013•抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．‎ ‎（1）如图1，DE与BC的数量关系是　 　；‎ ‎（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．‎ ‎（2013鞍山）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．‎ ‎（1）求证：CE=CF；‎ ‎（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？‎ ‎（2013•本溪）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．‎ ‎（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；‎ ‎（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；‎ ‎（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？‎ 答：　 　（填“成立”或“不成立”）‎ ‎（2013•大连）将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF．‎ ‎（1）如图1，若∠ABC=α=60°，BF=AF．‎ ‎①求证：DA∥BC；②猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）如图2，若∠ABC＜α，BF=mAF（m为常数），求的值（用含m、α的式子表示）．‎ ‎（2013•锦州）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．‎ ‎（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；‎ ‎（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．‎ ‎（2013•盘锦）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．‎ ‎（1）如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；‎ ‎（2）如图‚，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．‎ ‎（2013•沈阳）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．‎ 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．‎ 理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．‎ 应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．‎ ‎（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；‎ ‎（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．‎ 探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得 到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．‎ ‎（2013铁岭）.正方形ABCD中,点E、F分别是边AD、AB的中点,连接EF.‎ ‎(1)如图1,若点G是边BC的中点,连接FG,则EF与FG关系为:_________;‎ ‎(2)如图2,若点P为BC延长线上一动点,连接FP,将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转900,得到线段FQ,连接EQ,请猜想EF、EQ、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论.‎ ‎(3)若点P为CB延长线上一动点,按照(2)中的作法,在图3中补全图形,并直接写出EF、EQ、BP三者之间的数量关系:___________.‎ ‎2013•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．‎ ‎（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；‎ ‎②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．‎ ‎（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．‎ ‎25.（2013包头）‎ 如图， 在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F.‎ （1） 如图①，当时，求的值；‎ （2） 如图②，当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；‎ （3） 如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG.‎ 图③‎ 图②‎ 图①‎ ‎25题图 ‎（2013•呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，‎ ‎（1）的值为 　 ；‎ ‎（2）求证：AE=EP；‎ ‎（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎(2013东营) (1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.‎ ‎(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.‎ ‎(3) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.‎ ‎（第23题图）‎ A B C E D m ‎（图1）‎ ‎（图2）‎ ‎（图3）‎ m A B C D E A D E B F C m ‎（2013•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；‎ ‎（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：‎ 如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．‎ ‎（2013济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．‎ ‎（1）求证：AF=BE；‎ ‎（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．‎ ‎（2013聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．‎ ‎（2013临沂）如图，矩形中，∠ACB =，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交，交点分别为E,F.‎ ‎(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时，如图1，则的值为　　　　　.‎ ‎(2)现将三角板绕点P逆时针旋转（）角，如图2，求的值；‎ ‎(3)在（2）的基础上继续旋转，当，且使AP:PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论.‎ ‎（2013青岛）‎ 已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点 ‎（1）求证：△ABM≌△DCM ‎（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；‎ ‎（3）当AD：AB=____________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）‎ ‎（2013•莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．‎ ‎（1）证明DE∥CB；‎ ‎（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．‎ ‎（2013•威海）操作发现 将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．‎ 问题解决 将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．‎ ‎（1）求证：△CDO是等腰三角形；‎ ‎（2）若DF=8，求AD的长．‎ ‎（2013•淄博）分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．‎ ‎（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；‎ ‎（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．‎ ‎（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．‎ ‎（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．‎ ‎（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；‎ ‎（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．‎ ‎（2013•烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．‎ ‎（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 　，QE与QF的数量关系式 　；‎ ‎（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；‎ ‎（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．‎ ‎（2013•达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．‎ 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．‎ ‎（1）思路梳理 ‎∵AB=CD，‎ ‎∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．‎ ‎∵∠ADC=∠B=90°，‎ ‎∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．‎ 根据　 　，易证△AFG≌　 　，得EF=BE+DF．‎ ‎（2）类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　∠B+∠D=180°　时，仍有EF=BE+DF．‎ ‎（3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．‎ ‎（2013•泸州）如图，已知▱ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB=BE．‎ ‎2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B ‎（1）求证：△ADF∽△DEC；‎ ‎（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．‎ ‎（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．‎ ‎（1）求证：AC=AD+CE；‎ ‎（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；‎ ‎（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；‎ ‎（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）‎ ‎（2013乐山）阅读下列材料：‎ ‎ 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M、N分别在边AB、BC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b，若，则有结论：。‎ ‎ 请根据以上结论，解答下列问题：‎ ‎ 如图2，3，BE、CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1、PP2、PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3。‎ ‎（1）若点P为线段EF的中点，求证：PP1=PP2＋PP3；‎ ‎（2）若点P在线段EF上任意位置时，试探究PP1、PP2、PP3的数量关系，给出证明。‎ ‎（2013•遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：‎ ‎（1）△ADE≌△CDF；‎ ‎（2）四边形ABCD是菱形．‎ ‎（2013•自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．‎ ‎（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；‎ ‎（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？‎ ‎（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．‎ ‎（2013•新疆）如图，平行四边形 ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．‎ ‎（1）求证：△AOE≌△COF；‎ ‎（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．‎ ‎（2013•云南）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．‎ ‎（1）求证：四边形ADBE是矩形；‎ ‎（2）求矩形ADBE的面积．‎ ‎（2013红河州）如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．‎ ‎（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若BD = ‎8cm，求线段BE的长．‎ ‎（2013•昭通）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．‎ ‎（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．‎ ‎（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．‎ ‎（2013杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．‎ 求证：△GAB是等腰三角形．‎ ‎（2013•湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：‎ 如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．‎ ‎（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：‎ 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．‎ ‎（2）特殊位置，证明结论 若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．‎ ‎（3）知识迁移，探索新知 若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）‎ ‎（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．‎ ‎（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；‎ ‎（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；‎ ‎（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．‎ ‎2013•衢州）【提出问题】‎ ‎（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．‎ ‎【类比探究】‎ ‎（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．‎ ‎【拓展延伸】‎ ‎（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．‎ ‎2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．‎ ‎（1）求证：△ACD≌△AED；‎ ‎（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．‎ ‎（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．‎ ‎（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．‎ ‎（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．‎ ‎（2013•台州）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G．‎ 求证：（1）∠1=∠2；‎ ‎ （2）DG=B′G．‎