全国各地中考数学分类解析159套专题42 解直角三角形和应用

全国各地中考数学分类解析159套专题42 解直角三角形和应用

‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）‎ 专题42：解直角三角形和应用 一、选择题 ‎1. （2012广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为‎8米，坡面上的影长为‎4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为‎2米，则树的高度为【 】‎ A.米 B‎.12米 C.米 D．‎‎10米 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°。‎ 作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，‎ ‎∴CE=2，EF=4cos30°=2，‎ 在Rt△CED中，CE=2，‎ ‎∵同一时刻，一根长为‎1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为‎2米，∴DE=4。‎ ‎∴BD=BF+EF+ED=12+2。‎ ‎∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，‎ ‎∴在Rt△ABD中，AB=BD=。故选A。‎ ‎2. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于【 】米．‎ ‎　 A． asin40° B． acos40° C． atan40° D． ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，‎ ‎∴AB=atan40°。故选C。‎ ‎3. （2012福建福州4分）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热 气球C处的高度CD为‎100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点煌距离是【 】‎ ‎ A．‎200米 B．‎200‎米 C．‎220‎米 D．100(＋1)米 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可：‎ 由已知，得∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝100，‎ ‎∵ CD⊥AB于点D，‎ ‎∴在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，∴ AD＝＝＝100。‎ 在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠B＝45°，∴ DB＝CD＝100。‎ ‎∴ AB＝AD＋DB＝100＋100＝100(＋1)（米）。故选D。‎ ‎4. （2012湖北宜昌3分）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为‎24米，则旗杆的高度约为【 】‎ A．‎24米 B．‎20米 C．‎16米 D．‎‎12米 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】∵AB⊥BC，BC=‎24米，∠ACB=27°，∴AB=BC•tan27°。‎ 把BC=‎24米，tan27°≈0.5代入得，AB≈24×0.5=‎12米。故选D。‎ ‎5. （2012湖北荆州3分）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为【 】‎ A． 2 B． ‎2 ‎C． D． 3‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。‎ ‎【分析】∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，‎ ‎∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF•cos30°=2×。‎ ‎∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2。‎ 在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP=。故选C。‎ ‎6. （2012湖北孝感3分）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30º，从C点向塔底 B走‎100m到达D点，测出塔顶的仰角为45º，则塔AB的高为【 】‎ A．‎50‎m B．‎100‎m C．m D．m ‎【答案】D。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。‎ ‎【分析】根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，由BC=AB 和BC=AB+100求解即可求出答案：‎ 在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB。‎ 在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=AB。‎ ‎∵CD=100，∴BC=AB+100。∴AB+100=AB，解得AB=。故选D。‎ ‎7. （2012湖北襄阳3分）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为‎12m，他的眼镜距地面的高度为‎1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为【 】‎ A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．‎4‎m ‎【答案】A。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图，作AK⊥CD于点K，‎ ‎∵BD=‎12米，李明的眼睛高AB=‎1.6米，∠AOE=60°，‎ ‎∴DB=AK‎12米，AB=KD=‎1.6米，∠ACK=60°。‎ ‎∵，∴。‎ ‎∴CD=CK+DK=4+1.6=（4+1.6）（米）。故选A。‎ ‎8. （2012四川广安3分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=‎50m，则应水坡面AB的长度是【 】‎ A．‎100m B．‎100‎m C．‎150m D．‎50‎m ‎【答案】A。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，勾股定理。‎ ‎【分析】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，∴，‎ ‎∵BC=50，∴AC=50，∴（m）。故选A。‎ ‎9. （2012四川德阳3分）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏听偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP=【 】‎ A. B‎.2 C. D.‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，‎ ‎∴PA=20。‎ ‎∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，‎ ‎∴∠APB=90° ，BP=60×=40。‎ ‎∴tan∠ABP=。故选A。‎ ‎10. （2012贵州黔西南4分）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高‎2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进‎30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为【 】‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图，在Rt△AFG中，， ∠AFG=600，‎ ‎∴。‎ 在Rt△ACG中，，∠ACG=300，‎ ‎∴。‎ 又∵CF=CG－FG=30，即 ，解得。‎ ‎∴。‎ ‎∴这幢教学楼的高度AB为（）m。故选D。‎ ‎11. （2012山东泰安3分）如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进‎20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为【 】‎ ‎　　A．米　　B．‎10米　　C．米　　D．米 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】∵在直角三角形ADC中，∠D=30°，∴=tan30°。∴BD=。‎ ‎∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC=。‎ ‎∵CD=20，∴CD=BD﹣BC=。解得：AB=。故选A。‎ 二、填空题 ‎1. （2012江苏南京2分）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为‎2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 ▲ cm ‎（结果精确到‎0.1 cm，参考数据：，，）‎ ‎【答案】2.7。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E。‎ 在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=‎2cm。‎ ‎∴CE=BD=‎2cm。‎ 在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，‎ ‎∵，∴OE≈‎2.7cm。‎ ‎∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为‎2.7cm。‎ ‎2. （2012福建南平3分）如图，在山坡AB上种树，已知∠C=90°，∠A=28°，AC=‎6米，则相邻两树的坡面距离AB≈ ▲ 米．（精确到‎0.1米）‎ ‎【答案】6.8。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】利用线段AC的长和∠A的余弦弦值求得线段AB的长即可：‎ ‎（米）。‎ ‎2. （2012福建龙岩3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC = BC = 6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC 于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是 ▲ ．‎ ‎【答案】12。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，平行的性质。‎ ‎【分析】∵∠C=90°，EF⊥AC，EG⊥BC，∴∠C=∠EFC=∠EGC=90°。∴四边形FCGE是矩形。‎ ‎∴FC=EG，FE=CG，EF∥CG，EG∥CA，∴∠BEG=∠A=45°=∠B。∴EG=BG。‎ 同理AF=EF，‎ ‎∴矩形CFEG的周长是CF+EF+EG+CG=CF+AF+BG+CG=AC+BC=6+6=12。‎ ‎3. （2012福建福州4分）如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于 点D，则AD的长是 ▲ ，cosA的值是 ▲ ．(结果保留根号)‎ ‎【答案】；。‎ ‎【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。‎ ‎【分析】‎ 可以证明△ABC∽△BDC，设AD＝x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值：‎ ‎∵ 在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝72°。‎ ‎∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°。‎ ‎∴ ∠A＝∠DBC＝36°。‎ 又∵∠C＝∠C，∴ △ABC∽△BDC。∴ ＝。‎ 设AD＝x，则BD＝BC＝x．则＝，解得：x＝(舍去)或。‎ ‎∴x＝ 。‎ 如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵ AD＝BD，∴E为AB中点，即AE＝AB＝。‎ 在Rt△AED中，cosA＝＝＝。‎ ‎4. （2012湖北荆门3分）如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为　 ▲ 　cm2．（结果可保留根号）‎ ‎【答案】+360。‎ ‎【考点】由三视图判断几何体，解直角三角形。‎ ‎【分析】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱， ‎ ‎∵其高为‎12cm，底面半径为‎5 cm，∴其侧面积为6×5×12=‎360cm2。‎ 又∵密封纸盒的底面面积为：cm2，‎ ‎∴其全面积为：（+360）cm2。‎ ‎5. （2012湖北咸宁3分）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为‎18cm，深为‎30cm，为方便 残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，‎ 则AC的长度是 ▲ cm．‎ ‎【答案】210。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。‎ ‎【分析】过点B作BD⊥AC于D，‎ 根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），‎ ‎∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5。‎ ‎∴CD=5BD=5×54=270（cm）。‎ ‎∴AC=CD－AD=270－60=210（cm）。∴AC的长度是‎210cm。‎ ‎6. （2012湖南株洲3分）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部‎10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是　 ▲ 　米．‎ ‎【答案】10。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图，根据题意得：AC=‎10米，∠ACB=60°，‎ ‎∵∠A=90°，‎ ‎∴在Rt△ABC中，‎ AB=AC•tan∠ACB=10×tan60°=10×=10（米）。‎ ‎7. （2012辽宁大连3分）如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测角仪放在与电线杆的水平距离为‎9m的D处。若测角仪CD的高度为‎1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为 36°，则电线杆AB的高度约为 ▲ m（精确到‎0.1m）。（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） ‎ ‎【答案】8.1。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定和性质，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】如图，由DB=‎9m，CD=‎1.5m，根据矩形的判定和性质，得CE=‎9m，BE=‎1.5m。‎ ‎ 在Rt△ACE中，AE=CE·tan∠ACE=9 tan360≈9×0.73=6.57。‎ ‎ ∴AB=AE＋BE≈6.57＋1.5=8.07≈8.1（m）。‎ ‎8. （2012辽宁铁岭3分）如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°‎ 的方向以‎4海里／小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货 船每小时航行 ▲ 海里.‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】作PC⊥AB于点C，‎ ‎∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，‎ ‎∴∠PAC=30°，AP=4×2=8。∴PC=AP×sin30°=8×=4。‎ ‎∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴∠PBC=45°‎ ‎∴PB=PC÷。‎ ‎∴乙货船的速度为（海里/小时）。‎ ‎9. （2012贵州安顺4分）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了‎200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距　 ▲ 　m．‎ ‎【答案】200。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），三角形内角和定理，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°。‎ ‎∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°。‎ ‎∴∠ACB=∠BAC。∴BC=AB=200（m）。‎ ‎10. （2012贵州黔南5分）都匀市某新修“商业大厦”的一处自动扶梯如图，已知扶梯的长l为‎10米，该自动扶梯到达的高度h为‎6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于　 ▲ 　。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】完全平方式。解直角三角形的应用（坡度坡角问题），勾股定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面l和铅直高度h的长，可用勾股定理求出坡面的水平宽度，进而求出θ的正切值：‎ 如图；在Rt△ABC中，AC=l=‎10米，BC=h=‎6米；‎ 根据勾股定理，得：AB=（米）‎ ‎∴tanθ=。‎ ‎11. （2012广西来宾3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为‎8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是 ▲ ‎ 米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）‎ ‎【答案】12。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角仰角问题），锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】直接根据正切函数定义求解：AB=BC·tan∠ACB=8·tan56°≈8×1.483≈12（米）。‎ ‎12. （2012广西柳州3分）已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线 形成的夹角的余弦值为 （即cosC=），则AC边上的中线长是 ▲ ．‎ ‎【答案】或a。‎ ‎【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。‎ ‎【分析】分两种情况：‎ ‎①△ABC为锐角三角形时，如图1，BE为AC边的中线。‎ 作△ABC的高AD，过点E作EF⊥BC于点F。‎ ‎∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，‎ ‎∴CD=a，AD=a。‎ ‎∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a。。∴BC=BD+CD=a。‎ ‎∵点E是AC的中点，EF∥AD，∴EF是△ACD的中位线。∴FC=DC=a，EF=AD=a。‎ ‎∴BF=a。‎ 在Rt△BEF中，由勾股定理，得 ‎。‎ ‎②△ABC为钝角三角形时，如图2，BE为AC边的中线。‎ 作△ABC的高AD。‎ ‎∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，‎ ‎∴CD=a，AD=a。‎ ‎∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a。∴BC= BD=a。‎ ‎∵点E是AC的中点，∴BE是△ACD的中位线。∴BE=AD=a。‎ 综上所述，AC边上的中线长是或a。‎ 三、解答题 ‎1. （2012天津市8分）如图，甲楼AB的高度为‎123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为450，测得乙楼底部D处的俯角为300，求乙楼CD的高度（结果精确到‎0.1m，取1.73）．‎ ‎2. （2012安徽省10分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长，‎ ‎【答案】解：过点C作CD⊥AB于D,‎ 在Rt△ACD中，∠A=30°，AC＝，‎ ‎∴CD=AC×sinA=，AD=AC×cosA=。‎ 在Rt△BCD中，∠B=45°，则BD=CD=，∴AB=AD+BD=3+。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】在一个三角形中已知两个角和一边，求三角形的边，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，过点C作CD⊥AB于D，利用构造的两个直角三角形来解答。‎ ‎3. （2012山西省9分）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为‎100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了‎500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果精确到‎0.1米，参考数据：）‎ ‎【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，‎ ‎∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°。‎ ‎∴四边形ABFE为矩形。∴AB=EF，AE=BF。‎ 由题意可知：AE=BF=100，CD=500。‎ 在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100，‎ ‎∴。‎ 在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100，∴。‎ ‎∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣≈600﹣×1.73≈600﹣57.67≈542.3（米）。‎ 答：岛屿两端A．B的距离为‎542.3米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】构造直角三角形，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，分别解Rt△AEC和Rt△AEC即可求解。‎ ‎4. （2012陕西省8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了‎100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向（点A、B、C在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到‎1米）．‎ ‎（参考数据：，‎ ‎）‎ ‎【答案】解：如图，作CD⊥AB交AB的延长线于点D，‎ ‎ 则∠BCD=450，∠ACD=650。‎ ‎ 在Rt△ACD和Rt△BCD中， 设AC=x，‎ 则AD=，BD=CD=。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴（米）。‎ ‎ ∴湖心岛上的迎宾槐C处与凉亭A处之间距离约为‎207米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】如图作CD⊥AB交AB的延长线于点D，在Rt△ACD和Rt△BCD中分别表示出AC的长就可以求得AC的长。‎ ‎5. （2012广东省7分）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离‎200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．‎ ‎【答案】解：∵在RtABC中，，∴。‎ ‎∵在RtADB中，，∴BD=2AB。‎ ‎∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB﹣=200，解得：AB=300。‎ 答：小山岗的高度为‎300米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）‎ ‎【分析】在RtABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，在RtDBA中用AB表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可。‎ ‎6. （2012广东汕头9分）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离‎200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．‎ ‎【答案】解：∵在RtABC中，，∴。‎ ‎∵在RtADB中，，∴BD=2AB。‎ ‎∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB﹣=200，解得：AB=300。‎ 答：小山岗的高度为‎300米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）‎ ‎【分析】在RtABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，在RtDBA中用AB表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可。‎ ‎7. （2012广东湛江8分）某兴趣小组用仪器测测量湛江海湾大桥主塔的高度．如图，在距主塔从AE‎60米的D处．用仪器测得主塔顶部A的仰角为68°，已知测量仪器的高CD=‎1.3米，求主塔AE的高度（结果精确到‎0.1米）（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）‎ ‎【答案】解：根据题意得：在Rt△ABC中，AB=BC•tan68°≈60×2.48=148.8（米），‎ ‎∵CD=‎1.3米，∴BE=‎1.3米。∴AE=AB+BE=148.8+1.3=150.1（米）。‎ ‎∴主塔AE的高度为‎150.1米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，矩形的性质。‎ ‎【分析】由题意即可得：在Rt△ABC中，AB=BC•tan68°，根据矩形的性质，得BE=CD=‎1.3米，即可求得主塔AE的高度。‎ ‎8. （2012广东珠海7分）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=‎2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到‎1米）（参考数据：，‎ ‎）‎ ‎【答案】解：设OC=x，‎ 在Rt△AOC中，∵∠ACO=45°，∴OA=OC=x。‎ 在Rt△BOC中，∵∠BCO=30°，∴。‎ ‎∵AB=OA﹣OB= ，解得。‎ ‎∴OC=‎5米。‎ 答：C处到树干DO的距离CO为‎5米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】设OC=x，在Rt△AOC中，由于∠ACO=45°，故OA=x，在Rt△BOC中，由于∠BCO=30°，故，再根据AB=OA－OB=2即可得出结论。‎ ‎9. （2012浙江丽水、金华6分）学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为‎12米 ‎．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1：3(即为CD与BC的长度之比)．A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．‎ ‎【答案】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，‎ ‎∴AC＝AB＝6，BC＝ABcos∠ABC＝12×。‎ ‎∵斜坡BD的坡比是1：3，∴CD＝。∴AD＝AC－CD＝6－。‎ 答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6－)米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】在直角△ABC中，利用三角函数即可求得BC、AC的长，然后在直角△BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据AD＝AC－CD即可求解。‎ ‎10. （2012浙江绍兴8分）如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为‎16.50米，坡角∠BAC为32°。‎ ‎（1）求一楼于二楼之间的高度BC（精确到‎0.01米）；‎ ‎（2）电梯每级的水平级宽均是‎0.25米，如图2．小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到‎0.01米）？备用数据：sin32°=0.5299，con32°=0.8480，tan32°=6249。‎ ‎【答案】解：（1）∵sin∠BAC=，∴BC=AB×sin32°=16.50×0.5299≈‎8.74米。‎ ‎（2）∵tan32°=，∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225‎ ‎∵电梯以每秒上升2级，∴10秒钟电梯上升了20级。‎ ‎∴小明上升的高度为：20×0.156225≈‎3.12米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义 。‎ ‎【分析】（1）直接根据正弦函数定义可求一楼于二楼之间的高度BC。‎ ‎（2）由每级的水平级宽均是‎0.25米，根据正切函数定义可求每级的级高，从而由电梯以每秒上升2级可得电梯上升的级数，因此即可求得小明上升的高度。‎ ‎11. （2012浙江台州8分）如图，为测量江两岸码头B、D之间的距离，从山坡上高度为‎50米的A处测得码头B的俯角∠EAB为15°，码头D的俯角∠EAD为45°，点C在线段BD的延长线上，AC⊥BC，垂足为C，求码头B、D的距离（结果保留整数）．‎ ‎【答案】解：∵AE∥BC，∴∠ADC=∠EAD=45°。‎ ‎ 又∵AC⊥CD，∴CD=AC=50。‎ ‎ ∵AE∥BC，∴∠ABC=∠EAB=15°。‎ ‎ 又∵， ∴。‎ ‎ ∴BD≈185.2﹣50≈135（米）。‎ 答：码头B、D的距离约为‎135米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】由∠EAB=15°，根据平行的性质，可得∠ABC=∠EAB=15°。从而解直角三角形ABC可求得BC的长。由∠ADC=∠EAD=45°可得CD=AC=50。从而由BD=BC－CD可求得B、D的距离。‎ ‎12. （2012浙江温州9分）某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C处入海,径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处,再向B处游去.若CD=‎40米,B在C的北偏东35°方向,甲乙的游泳速度都是‎2米/秒.问谁先到达B处？请说明理由.‎ ‎(参考数据：sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)‎ ‎【答案】解：由题意得∠BCD=55°，∠BDC=90°。‎ ‎∵，∴BD=CD•tan∠BCD=40×tan55°≈57.2。‎ ‎∵，∴。‎ ‎∴。∴。‎ 答：乙先到达B处。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则求得甲、乙的时间，比较二者之间的大小即可。‎ ‎13. （2012江苏淮安10分）如图，△ABC中，∠C=900，点D在AC上，已知∠BDC＝450，BD＝，AB＝20，求∠A的度数。‎ ‎【答案】解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC=45°，BD= ，‎ ‎∴BC=BD•sin∠BDC=。‎ ‎∵∠C=90°，AB=20，∴。∴∠A=30°。‎ ‎【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】首先在直角三角形BDC中，利用BD的长和∠BDC=45°求得线段BC的长，然后在直角三角形ABC中求得∠A的度数即可。‎ ‎14. （2012江苏连云港10分）已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为‎16km，一艘货轮从B港口以‎40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到‎0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)‎ ‎【答案】解：由路程=速度×时间，得BC＝40×＝10。‎ 在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，sin53.2°≈0.8，‎ ‎∴AB＝。‎ 如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，‎ 在Rt△AHB中，∠BAH＝∠DAC－∠DAB＝63.6°－37°＝26.6°，‎ ‎∴tan∠BAH＝，0.5＝，AH＝2BH。‎ 又∵BH2＋AH2＝AB2，即BH2＋(2BH)2＝202，∴BH＝4， AH＝8。‎ 在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，即（4）2＋CH2＝102，解得CH＝2。‎ ‎∴AC＝AH－CH＝8－2＝6≈13.4。‎ 答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为‎13.4km。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）锐角三角函数定义，勾股定理。‎ ‎【分析】根据在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，得出AB的长，从而得出tan∠BAH＝，求出BH的长，即可得出AH以及CH的长，从而得出答案。‎ ‎15. （2012江苏南通8分）‎ 如图，某测量船位于海岛P的北偏西60º方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处．求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)．‎ ‎【答案】解：∵AB为南北方向，∴如图，△AEP和△BEP均为直角三角形。‎ 在Rt△AEP中，∠APE=90°－60°=30°，AP=100，‎ ‎∴AE=AP=×100=50，EP=100×cos30°=50。‎ 在Rt△BEP中，∠BPE=90°－45°=45°，‎ ‎∴BE=EP=50。‎ ‎∴AB=AE＋BE=50＋50。‎ 答：测量船从A处航行到B处的路程为50＋‎50海里。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】构造直角三角形，将AB分为AE和BE两部分，分别在Rt△BEP和Rt△BEP中求解。‎ ‎16. （2012江苏苏州8分）如图，已知斜坡AB长‎60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在 斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.（请 将下面2小题的结果都精确到‎0.1米，参考数据）.‎ ‎ ⑴若修建的斜坡BE的坡角(即∠BAC)不大于45°,则平台DE的长最多为 ▲ 米；‎ ‎⑵一座建筑物GH距离坡脚A点‎27米远（即AG=‎27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即 ‎∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？‎ ‎【答案】解：（1）11.0。‎ ‎（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P。‎ 在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，‎ PA=AD•cos30°= 30×。‎ 在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=PA＋AG=+27。‎ 在Rt△DMH中，HM=DM•tan30°=（+27）×，‎ ‎∴GH=HM＋MG=15+≈45.6。‎ 答：建筑物GH高为‎45.6米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，从革命利益出发而得出EF的长，即可得出答案：‎ ‎∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，∴∠BEF最大为45°，‎ 当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长。‎ ‎∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，∴BF=EF=BD=15，DF=。‎ ‎∴DE=DF－EF=15（－1）≈11.0。‎ ‎（2）利用在Rt△DPA中，DP=AD，以及PA=AD•cos30°，从而得出DM的长，利用 HM=DM•tan30°得出即可。‎ ‎17. （2012江苏宿迁10分）如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图.已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=‎1m，在壁画的正前方点D处测得壁画顶端的仰角∠ADF=60°，底端的俯角∠BDF=30°，且点D距离地面的高度DE=‎2m，求壁画AB的高度.‎ ‎【答案】解：∵FC=DE=2，BC=1，∴BF=1。‎ ‎ 在Rt△BDF中，∠BDF=30°，BF=1，∴。‎ ‎ 在Rt△ADF中，∠ADF=60°，，∴。‎ ‎ ∴壁画AB的高度为：AF＋BF=4。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】分别解Rt△BDF和Rt△ADF即可。‎ ‎18. （2012江苏泰州10分）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A 的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=‎30 m，点C与点A恰好在同一水平线 上，点A、B、P、C在同一平面内．‎ ‎（1）求居民楼AB的高度；‎ ‎（2）求C、A之间的距离．‎ ‎（精确到‎0.1m，参考数据：,,）‎ ‎【答案】解：（1）过点C作CE⊥BP于点E，‎ 在Rt△CPE中，∵PC=‎30m，∠CPE=45°，‎ ‎∴。‎ ‎∴CE=PC•sin45°=30×（m）。‎ ‎∵点C与点A在同一水平线上，‎ ‎∴AB=CE=≈21.2（m）。‎ 答：居民楼AB的高度约为‎21.2m。‎ ‎（2）在Rt△ABP中，∵∠APB=60°，∴。‎ ‎∴（m）。‎ ‎∵PE=CE=m，‎ ‎∴AC=BE=≈33.4（m）。‎ 答：C、A之间的距离约为‎33.4m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题），锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在Rt△CPE中，由 得出EC 的长度，从而可求出答案。‎ ‎（2）在Rt△CPE中，由得出BP的长，从而得出PE的长，即可得出答案。‎ ‎19. （2012江苏盐城10分）如图所示,当小华站立在镜子前处时,他看自己的脚在镜中的像的俯角为；如果小华向后退‎0.5米到处,这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为.求小华的眼睛到地面的距离.(结果精确到‎0.1米,参考数据:)‎ ‎【答案】解：设，则在中，∵, ∴。‎ ‎ 又在中，∵。∴。‎ ‎∴。‎ 由对称性知：，，∴，即。‎ 解得。‎ ‎∴小华的眼睛到地面的距离约为。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，对称的性质。‎ ‎【分析】设，利用等腰直角三角形的性质得出，从而由 ‎ 得出，由对称的性质得，即，求出即可。‎ ‎20. （2012江苏扬州10分）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73)‎ ‎【答案】解：作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°。‎ 设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，‎ 在Rt△ABD中，可得BD＝.‎ 又∵BC＝20，∴x＋＝20，解得：x =。‎ ‎∴AC＝ (海里)。‎ 答：A、C之间的距离为‎10.3海里。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题，）锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】构造直角三角形：作AD⊥BC，垂足为D，设CD＝x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，从而可得出BD，结合题意BC＝CD＋BD＝‎20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案。‎ ‎21. （2012福建宁德10分）图1是安装在房间墙壁上的壁挂式空调，图2是安装该空调的侧面示意图，空调风叶AF是绕点A由上往下旋转扫风的，安装时要求：当风叶恰好吹到床的外边沿，此时风叶与竖直线的夹角α为48°，空调底部BC垂直于墙面CD，AB=‎0.02米，BC=‎0.1米，床铺长DE=‎2米，求安装的 空调底部位置距离床的高度CD是多少米？）（结果精确到‎0.1米）‎ ‎22. （2012福建漳州10分）极具特色的“八卦楼”(又称“威镇阁”)是漳州的标志性建筑，它建立在一座平台 上．为了测量“八卦楼”的高度AB，小华在D处用高‎1.1米的测角仪CD，测得楼的顶端A的仰角为22o；‎ 再向前走‎63米到达F处，又测得楼的顶端A的仰角为39o(如图是他设计的平面示意图)．已知平台的高度 BH约为‎13米，请你求出“八卦楼”的高度约多少米?‎ ‎(参考数据：sin22o≈，tan220≈，sin39o≈，tan39o≈) ‎ ‎【答案】解：在Rt△ACG中，tan22°=，∴CG=AG。 ‎ 在Rt△ACG中tan39°=，∴EG=AG。 ‎ ‎∵CG－EG=CE．∴AG－AG=63。∴AG=50.4。 ‎ ‎∵GH=CD=1.1，BH=13，∴BG=13－1.1=11.9。‎ ‎∴AB=AG－BG=50.4－11.9=38.5（米）。 ‎ 答：“八卦楼”的高度约为‎38.5米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】先根据锐角三角函数的定义用AG表示出CG及EG的长，再根据CG－EG=CE，求出AG的长，再由GH=CD=1.1，BH=13可求出BG的长，由AB=AG－BG即可得出结论。 ‎ ‎23. （2012湖北黄石8分）如图所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太 阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，‎ 公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为‎1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，‎ 并已知，。如果安装工人确定支架AB高为‎25cm，求支架CD的高（结果精 确到‎1cm）。‎ ‎【答案】解：如图所示，过点A作AE∥BC，则，且。‎ 在Rt△ADF中：，在Rt△EAF中, ，‎ ‎∴。‎ 又∵，，，‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ 答：支架CD的高约为‎119cm 。 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=‎25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可。‎ ‎24. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田7分）如图，海中有一小岛B，它的周围15海里内有暗礁．有一货轮以30海里/时的速度向正北航行半小时后到达C处，发现B岛在它的东北方向．问货轮继续向北航行有无触礁的危险？（参考数据：）‎ ‎【答案】解：作BD⊥AC于点D．设BD=x海里，则 ‎ 在Rt△ABD中，，∴AD=。‎ 在Rt△CBD中，，∴CD=x。‎ ‎∴AC=AD﹣CD=。‎ ‎∵AC=30×=15，∴=15，解得x≈21.4。‎ ‎∵21.4海里＞15海里。∴货轮继续向北航行没有触礁的危险。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。‎ ‎【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD和Rt△CBD中求得点B到AC的距离，从而能判断出有无危险。‎ ‎25. （2012湖北恩施8分）新闻链接，据外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退．‎ ‎2012年5月18日‎，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政‎310”‎船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去．（见图1）‎ 解决问题 如图2，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速‎20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间．‎ ‎【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，‎ 在Rt△ABD中，∵AB=，∠B=60°，‎ ‎∴AD=AB•sin60°=。‎ 在Rt△ADC中，AD=，∠C=45°，‎ ‎∴AC=AD=140。‎ ‎∴“中国渔政‎310”‎船赶往出事地点所需时间为=7小时。‎ 答：“中国渔政310”船赶往出事地点需要7小时。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出AD的值，同理在Rt△ADC中求出AC的值，再根据中国渔政‎310”‎船最大航速‎20海里/时求出所需时间即可。‎ ‎26. （2012湖北黄冈8分）新星小学门口有一直线马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的 斑马线，斑马线的宽度为‎4 米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于‎2 米，现有一旅 游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE＝15° 和∠FAD=30° .司机 距车头的水平距离为‎0.8 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、D、C、B 四点在平行于斑马 线的同一直线上.) ‎ ‎(参考数据：tan15°=2－，sin15°=cos15°=≈1.732，≈1.414）‎ ‎【答案】解：∵∠FAE=15°，∠FAD=30°，∴∠EAD=15°。‎ ‎∵AF∥BE，∴∠AED=∠FAE=15°，∠ADB=∠FAD=30°。‎ 设AB=x，则在Rt△AEB中，。‎ ‎∵ED=4，ED+BD=EB，∴BD=－4。‎ 在Rt△ADB中，，‎ ‎∴，即，解得x=2。‎ ‎∴。‎ ‎∵BD=CD+BC=CD+0.8，∴CD= －0.8≈2×1.732＋0.8≈2.7＞2，故符合标准。‎ 答：该旅游车停车符合规定的安全标准。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】由∠FAE=15°，∠FAD=30°可知∠EAD=15°，根据AF∥BE可知∠AED=∠FAE=15°，∠ADB=∠FAD=30°，设AB=x，则在Rt△AEB中， ，在Rt△ADB中， ，联立两式即可求出CD的值。‎ ‎27. （2012湖北十堰8分）如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走‎100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．（参考数据：≈1.73）‎ ‎【答案】解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，‎ 在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，‎ ‎∴DE=50，CE=50。‎ 在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=x。‎ 则AF=AB－BF=AB－DE=x－50，DF=BE=BC＋CE=x＋50。‎ 在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°=，∴。‎ ‎∴（米）。‎ 答：山AB的高度约为‎236.5米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】易证△ABC是等腰直角三角形，直角△CDE中已知边CD和∠DCE=30°，则三角形的三边的长 度可以得到CE，DE的长度，设BC=x，则AE和DF即可用含x的代数式表示出来，在直角△AED中，‎ 利用三角函数即可得到一个关于x的方程，即可求得x的值。‎ ‎28. （2012湖北鄂州8分）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、C在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长。‎ ‎【答案】解：如图，过点F作FH⊥AB于点H。‎ 在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=60°，DE=8，∴∠DFE=30°，DF=DE·tan∠E=8 tan60°=8。‎ ‎∵ EF∥AD，∴∠FDH=∠DFE=30°。‎ 在Rt△FDH中，FH=DF=4，HD==4·=12。‎ 又∵∠AF=90°，∠C=45°，∴HB= FH=4。‎ ‎∴BD=HD－HB=12－4。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】构造直角三角形FDH，分别解Rt△DEF和Rt△FDH即可。‎ ‎29. （2012湖南益阳8分）‎ 超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为‎30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．‎ ‎（1）求B、C两点的距离；‎ ‎（2）请判断此车是否超过了益阳大道‎60千米/小时的限制速度？‎ ‎（计算时距离精确到‎1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，，‎60千米/小时≈‎16.7米/秒）‎ ‎【答案】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30，‎ ‎∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）。‎ ‎（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）‎ ‎∴此车没有超过限制速度。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）由于A到BC的距离为‎30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC的距离。‎ ‎（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与‎60千米/小时进行比较即可。‎ ‎30. （2012湖南常德7分）如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60º方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船。问我渔政船的航行路程是多少海里？(结果保留根号)‎ ‎【答案】解：如图：作CD⊥AB于点D，‎ ‎∵在Rt△BCD中，BC=12×1.5=18海里，∠CBD=45°，‎ ‎∴CD=BC•sin45°=（海里）。‎ ‎∴在Rt△ACD中，AC=CD÷sin30°=（海里）。‎ 答：我渔政船的航行路程是海里。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】过C点作AB的垂线，垂足为D，构建Rt△ACD，Rt△BCD，解这两个直角三角形即可。‎ ‎31. （2012湖南张家界8分）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=千米，请据此解答如下问题：‎ ‎（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据）‎ ‎（2）求∠ACD的余弦值．‎ ‎【答案】解：（1）连接AC，‎ ‎∵AB=BC=15，∠B=90°，‎ ‎∴∠BAC=∠ACB=45° ，AC=15。‎ 又∵∠D=90°，‎ ‎∴。‎ ‎∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3+12≈30+4.23+20.76≈55（千米）‎ 面积（平方千米）。‎ ‎（2）。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）连接AC，根据AB=BC=‎15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45° AC=15 ‎2千米，再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD的长后即可求周长和面积。‎ ‎（2）直接利用余弦的定义求解即可。‎ ‎32. （2012湖南岳阳6分）九（一）班课题学习小组，为了了解大树生长状况，去年在学校门前点A处测得一棵大树顶点C的仰角为30°，树高‎5m；今年他们仍在原点A处测得大树D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少m？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.732）‎ ‎【答案】解：根据题意得：∠DAB=37°，∠CAB=30°，BC=‎5m，‎ 在Rt△ABC中，，‎ 在Rt△DAB中，BD=AB•tan37°≈×0.75≈6.495（m），‎ ‎∴CD=BD﹣BC=6.495﹣5=1.495（m）。‎ 答：这棵树一年生长了‎1.495m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。1052629‎ ‎【分析】由题意得：∠DAB=37°，∠CAB=30°，BC=‎5m，然后分别在Rt△ABC与Rt△DAB中，利用正切函数求解即可求得答案。‎ ‎33. （2012湖南郴州6分）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=‎20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度．（结果精确到‎1米，参考数据： ）‎ ‎【答案】解：∵Rt△ABE中，∠BAE=45°，坝高BE=‎20米，∴AE=BE=‎20米。‎ 在Rt△BEF中，BE=20，∠F=30°，∴EF=BE÷tan30°=20。‎ ‎∴AF=EF－AE=20－20≈15。‎ ‎∴AF的长约为‎15米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】在Rt△ABE中，根据坡面AB的长以及坡角的度数，求得铅直高度BE和水平宽AE的值，从而可在Rt△BFE中，根据BE的长及坡角的度数，通过解直角三角形求出EF的长；根据AF=EF－AE，即可得出AF的长度。‎ ‎34. （2012湖南娄底7分）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=‎8米，仪器高度CD=‎1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）．‎ ‎【答案】解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，∴GB=EF=CD=‎1.5米，DF=CE=‎8米。‎ 设AG=x米，GF=y米，‎ 在Rt△AFG中，tan∠AFG=tan60°=，‎ 在Rt△ADG中，tan∠ADG=tan30°=，‎ 二者联立，解得x=4，y=4。‎ ‎∴AG=‎4‎米，FG=‎4米。∴AB=AG＋GB=4＋1.5≈8.4（米）。‎ ‎∴这棵树AB的高度为‎8.4米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】首先根据题意可得GB=EF=CD=‎1.5米，DF=CE=‎8米，然后设AG=x米，GF=y米，则在Rt△AFG与Rt△ADG，利用正切函数，即可求得x与y的关系，解方程组即可求得答案。‎ ‎35. （2012湖南衡阳6分）如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD．（i=CE：ED，单位：m）‎ ‎【答案】解：作BF⊥AD于点F．则BF=CE=4，‎ 在Rt△ABF中，，‎ 在Rt△CED中，根据i=，得。‎ 则AD=AF+EF+ED=3+4.5+ =（7.5+）。‎ 答：坝底宽AD为（7.5+）m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），勾股定理，坡比的定义。119281‎ ‎【分析】作BF⊥AD于点于F，在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在Rt△CED中，利用坡比的定义即可求得ED的长度，从而即可求得AD的长。　‎ ‎36. （2012湖南湘潭6分）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=‎2m，CD=‎5.4m，∠DCF=30°，请你计算车位所占的宽度EF约为多少米？（，结果保留两位有效数字．）‎ ‎【答案】解：在Rt△DCF中，∵CD=‎5.4m，∠DCF=30°，∴。∴DF=2.7。‎ ‎∵∠CDF+∠DCF=90°∠ADE+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠DCF=30°。‎ ‎∵AD=BC=2，‎ ‎∴在Rt△AED中，。∴DE=。‎ ‎∴EF=ED+DF=2.7+1.73≈4.4（米）。‎ 答：车位所占的宽度EF约为‎4.4米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】分别在Rt△BCF和Rt△AED中求得DF和DE的长后相加即可得到EF的长。‎ ‎37. （2012四川成都8分）如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)‎6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为‎1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到‎0.1米， )‎ ‎【答案】解：∵BD=CE=‎6m，∠AEC=60°，‎ ‎∴AC=CE•tan60°=6×=6≈6×1.732≈10.4（米），‎ ‎∴AB=AC+DE=10.4+1.5=11.9（米）。‎ 答：旗杆AB的高度是‎11.9米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】根据锐角三角函数的定义求出AC的长，再根据AB=AC+DE即可得出结论。‎ ‎38. （2012四川乐山10分）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为‎1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．‎ ‎（1）求该轮船航行的速度；‎ ‎（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：，）‎ ‎【答案】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C。由题意，得 OA=千米，OB=20千米，∠AOC=30°。‎ ‎∴（千米）。‎ ‎∵在Rt△AOC中 OC=OA•cos∠AOC=（千米），‎ ‎∴BC=OC﹣OB=30﹣20=10（千米）。‎ ‎∴在Rt△ABC中，（千米）。‎ ‎∴轮船航行的速度为：（千米/时）。‎ ‎（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸。理由是：‎ ‎ 延长AB交l于点D。‎ ‎∵AB=OB=20（千米），∠AOC=30°，‎ ‎∴∠OAB=∠AOC=30°，∴∠OBD=∠OAB+∠AOC=60°．‎ ‎∴在Rt△BOD中，OD=OB•tan∠OBD=20×tan60°=（千米）。‎ ‎∵OD==ON，‎ ‎∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸。 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1））过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据锐角三角函数定义和勾股定理解答。‎ ‎（2）延长AB交l于D，比较OD与ON的大小即可得出结论。‎ ‎39. （2012四川攀枝花6分）‎ 如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近？（假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）‎ ‎【答案】解：作CD⊥AB于D．‎ ‎∵A地观测到渔船C在东北方向上，渔船C在北偏东30°方向上，‎ ‎∴∠CAB=45°，∠CBD=60°。‎ 在Rt△BCD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=60°，∴CD=BD。‎ 在Rt△ACD中，∵∠CDA=90°，∠CAD=45°，∴CD=AD。‎ ‎∴BD=AB+BD。‎ ‎∵渔政310船匀速航行，∴设渔政310船航速为v千米/分钟，则AB=30v千米。‎ 设渔政310船再航行t分钟，离我渔船C的距离最近，则BD= vt千米。‎ ‎∴vt=30v +vt，解得t=15（+1）。‎ 答：渔政310船再航行15（+1）分钟，离我渔船C的距离最近。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】过点C作AB的垂线，设垂足为D．由题易知∠CAB=45°，∠CBD=60°．先在Rt△BCD中，得到CD=BD，再在Rt△ACD中，得到CD=AD，据此得出BD=AB+BD，从而求出渔船行驶BD的路程所需的时间。‎ ‎40. （2012四川广安8分）如图，‎‎2012年4月10日 ‎，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民，此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？（≈1.41，≈1.73，=2.45）．‎ ‎【答案】解：过点A作AD⊥BC的延长线于点D，‎ ‎∵∠CAD=45°，AC=10，∴△ACD是等腰直角三角形。‎ ‎∴AD=CD=5，‎ 在Rt△ABD中，∵∠DAB=60°，‎ ‎∴BD=AD•tan60°=5。‎ ‎∴BC=BD﹣CD=（）。‎ ‎∵中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，‎ ‎∴海监船到达C点所用的时间（小时）；‎ 某国军舰到达C点所用的时间（小时）。‎ ‎∵＜0.4，∴中国海监船能及时赶到。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】过点A作AD⊥BC的延长线于点D，则△ACD是等腰直角三角形，根据AC=‎10海里可求出AD即CD的长，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而可得出BC的长，再根据中国海监船以每小时30海里的速度航行，国军舰正以每小时13海里的速度即可得出两军舰到达C点所用的时间，从而得出结论。‎ ‎41.. （2012四川内江9分）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.÷2（﹣1）=50（千米/时）。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）由条件可知△ABC为斜三角形，所以作AC上的高，转化为两个直角三角形求解。‎ ‎（2）求得海盗船到达D处的时间，用BD的长度除以求得的时间即可得到结论。‎ ‎57. （2012贵州遵义8分）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为‎200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）‎ ‎【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，‎ ‎∵BC=‎200m，∠CBA=30°，‎ ‎∴在Rt△BCD中，CD=BC=‎100m，‎ BD=BC•cos30°=200×=100≈173.0（m）。‎ ‎∵∠CAB=54°，‎ ‎∴在Rt△ACD中，（m）。‎ ‎∴AB=AD+BD≈173.0+73.5=246.5≈247（m）。‎ 答：隧道AB的长为‎247m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，近似值。‎ ‎【分析】构造直角三角形：过点C作CD⊥AB于D。在Rt△BCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD的长，从而在Rt△ACD中，利用∠CAB的正切求得AD的长，由AB=AD+BD求得答案。‎ ‎58. （2012山东东营9分）如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）‎ ‎【答案】解：根据题意得：PC⊥AB，设PC=x海里．‎ ‎ 在Rt△APC中，∵，∴。‎ 在Rt△PCB中，∵，∴。‎ ‎∵AC+BC=AB=21×5，∴，解得x=60。‎ ‎∵，∴（海里）。‎ ‎∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△PCB中，利用正切函数求得出AC与BC的长，由AB=21×5，即可得方程，解此方程即可求得x的值，从而求得答案。‎ ‎59. （2012山东莱芜9分）某市规划局计划在一坡角为16º的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意 图如图所示．已知支架AC与斜坡AB的夹角为28º，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O 的圆心，AB＝‎12m，⊙O的半径为‎1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到‎0.01m，参考 数据：cos28º≈0.9，sin62º≈0.9，sin44º≈0.7，cos46º≈0.7)．‎ ‎【答案】解：如图，过点O作水平地面的垂线，垂足为点E。‎ ‎ 在Rt△AOB中，，即，‎ ‎ ∴。‎ ‎∵∠BAE=160，∴∠OAE=280＋160=440。‎ 在Rt△AOE中，，即，‎ ‎∴‎ ‎9.333＋1.5=10.833≈10.83（m）。‎ 答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为‎10.83 m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】如图，过点O作水平地面的垂线，构造Rt△AOE。解Rt△AOB，求出OA；解Rt△AOE，求出OE，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。‎ ‎60. （2012山东聊城7分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P处出发，沿北偏东60°划行‎200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）‎ ‎【答案】解：作PD⊥AB于点D，‎ 由已知得PA=‎200米，∠APD=30°，∠B=37°，‎ 在Rt△PAD中，‎ 由cos30°=，得PD=PAcos30°=200×=100（米）。‎ 在Rt△PBD中，‎ 由sin37°=，得PB=（米）。‎ 答：小亮与妈妈的距离约为‎288米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数。‎ ‎【分析】作PD⊥AB于点D，分别在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得结论。‎ ‎61. （2012山东青岛8分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，‎ 教学楼在建筑物的墙上留下高‎2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影 子F与墙角C有‎13m的距离(B、F、C在一条直线上)．‎ ‎(1)求教学楼AB的高度；‎ ‎(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．‎ ‎(参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈)‎ ‎【答案】解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M。‎ 设AB为x．‎ ‎ 在Rt△ABF中，∠AFB=45°，‎ ‎∴BF=AB=x。∴BC=BF＋FC=x＋13。‎ 在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2，‎ 又∵，∴，解得：x≈12。‎ ‎∴教学楼的高‎12m。‎ ‎（2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25。‎ 在Rt△AME中，，‎ ‎∴AE=ME cos22°≈。‎ ‎∴A、E之间的距离约为‎27m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用 ，求出即可。‎ ‎（2）利用Rt△AME中，，求出AE即可。‎ ‎62. （2012山东潍坊10分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与垂直，测得CD的长等于‎21米，在上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=300，∠CBD=600．‎ ‎ (1)求AB的长(精确到‎0.1米，参考数据：)；‎ ‎ (2)已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由． ‎ ‎【答案】解：（1）由題意得，‎ 在Rt△ADC中，，‎ 在Rt△BDC中，，‎ ‎∴AB=AD－BD= （米）。‎ ‎（2）∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），‎ ‎∵‎12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时。‎ ‎∵43.56千米/小时大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用。‎ ‎【分析】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，从而求得AB的长。‎ ‎（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与‎40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速。‎ ‎63. （2012山东枣庄8分）　为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为‎45cm，‎60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为‎20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．‎ ‎（1）求车架档AD的长；‎ ‎（2）求车座点E到车架档AB的距离．‎ ‎(结果精确到‎1 cm．参考数据： sin75°=0.966, cos75°=0.259，tan75°=3.732)‎ ‎【答案】解：（1）在Rt△ACD中，AC=45，CD=60，∴AD=，‎ ‎∴车架档AD的长为‎75cm。‎ ‎（2）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，‎ 距离EF=AEsin75°=（45+20）sin75°≈62.7835≈63。‎ ‎∴车座点E到车架档AB的距离是‎63cm。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可。‎ ‎（2）过点E作EF⊥AB，在Rt△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案。 ‎ ‎64. （2012广西桂林8分）某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上的A处，‎ 现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处，A与B相距‎150m，且B在A的正东方向．为不破坏古民 居的风貌，按照有关规定，在古民居周围‎100m以内不得修建现代化商业街．若工程队继续向正东方向修 建‎200m商业街到C处，则对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定？‎ ‎【答案】解：过点P作PD⊥BC，垂足为D。‎ 在Rt△APD中，∠APD=60°，‎ ‎∴。∴AD=PD。‎ 在Rt△BPD中，∠BPD=30°‎ ‎∴。∴3BD=PD。‎ ‎∴AD=3BD。∴AB=2BD。∴2BD=‎150m。∴BD=‎75m。∴PD=‎75 ‎m。‎ ‎∵75＞100，∴不违反有关规定。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】首先过点P作PD⊥BC，垂足为D，然后分别在Rt△APD与Rt△BPD，求得AD与PD，BD与PD的关系，又由AB=150，即可求得BD，PD的长，从而求得答案。‎ ‎65. （2012广西南宁8分）如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=‎‎1米 ‎，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）‎ ‎【答案】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为米，山坡的坡角为30°，‎ ‎∴DC=BC•cos30°米。‎ ‎∵CF=‎1米，∴DC=9+1=‎10米。∴GE=‎10米。‎ ‎∵∠AEG=45°，∴AG=EG=‎10米。‎ 在Rt△BGF中，BG=GF•tan20°≈10×0.36=‎3.6米。‎ ‎∴AB=AG－BG=10－3.6=‎6.4米。‎ 答：树高约为‎6.4米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）问题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】首先在Rt△BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在Rt△BGF中 即可求得BG的长，从而求得树高。‎ ‎66. （2012广西钦州8分）如图所示，小明在自家楼顶上的点A处测量建在与小明家楼房同一水平线上邻居的电梯的高度，测得电梯楼顶部B处的仰角为45°，底部C处的俯角为26°，已知小明家楼房的高度AD=‎15米，求电梯楼的高度BC（结果精确到‎0.1米）（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）‎ ‎【答案】解：过点A作AE⊥BC于E，‎ ‎∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴四边形ADCE是矩形。∴CE=AD=‎15米。‎ 在Rt△ACE中，≈30.6（米），‎ 在Rt△ABE中，BE=AE•tan45°=30.6（米），、‎ ‎∴BC=CE+BE=15+30.6=45.6（米）。‎ 答：电梯楼的高度BC为‎45.6米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】过点A作AE⊥BC于E，可得四边形ADCE是矩形，即可得CE=AD=‎15米，然后分别在在Rt△ACE中，与在Rt△ABE中，BE=AE•tan45°，即可求得BE的长，从而求得电梯楼的高度。　‎ ‎67. （2012云南省6分）如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端处的俯角为，荷塘另一端D 处与C、B在同一条直线上，已知AC=‎32米，CD=‎16米，求荷塘宽BD为多少米？(取，结果保 留整数)‎ ‎【答案】解：由题意知：∠CAB=60°，△ABC是直角三角形。‎ 在Rt△ABC中，tan60°=，即，‎ ‎∴BC=32。‎ ‎∴BD=32－16≈39。‎ 答：荷塘宽BD为‎39米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】根据已知条件转化为Rt△ABC中的有关量，然后选择合适的边角关系求得BD的长即可。‎ ‎68. （2012河南省9分）‎ 某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进‎16米到达E处，测得点A的仰角为45°，已知点C到大厦的距离BC=‎7米，∠ABC=900,请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数，参考数据：）‎ ‎【答案】解：设AB=x米。‎ ‎∵∠AEB=45°，∠ABE=90°，∴BE=AB=x。‎ 在Rt△ABD中，tan∠D=，即tan31°=，‎ ‎∴x=，即AB≈‎24米。‎ 在Rt△ABC中，AC=，即条幅的长度约为‎25米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，勾股定理。‎ ‎【分析】设AB=x米，由∠AEB=45°，∠ABE=90°得到BE=AB=x，然后在Rt△ABD中得到tan31°= ，求得x=24．然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC即可。‎ ‎69. （2012新疆区7分）如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为15°，且OA=OB=‎3m．‎ ‎（1）求此时另一端A离地面的距离（精确到‎0.1m）；‎ ‎（2）若跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线（不写画法，保留画图痕迹），并求出点A运动路线的长．‎ ‎（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）‎ ‎【答案】解：（1）过A作AD⊥BC于点D，‎ ‎∵OA=OB=‎3m，∴AB=3+3=‎6m。‎ ‎∴AD=AB•sin15°≈6×0.26≈1.6（m）。‎ ‎∴A离地面的距离为‎1.6 m。‎ ‎（2）如图所示，A点的运动路线是以点O为圆心，以OA的长为半径的弧的长。‎ 连接OE，‎ ‎∵O是AB的中点，∴OD=OA=OB。∴∠AOE=2∠B=30°。‎ ‎∴A运动路线长=。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，三角形外角性质，弧长的计算。‎ ‎【分析】（1）过A作AD⊥BC于点D，根据比例关系及三角函数值可得出AD的值。‎ ‎（2）根据出OA的长，求出∠AOE的度数，然后利用弧长的计算公式即可得出答案。　‎ ‎70. （2012甘肃白银8分）假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为‎10米，小强的身高AB为‎1.55米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到‎1米，参考数据 ）‎ ‎【答案】解：根据题意画出图形，在Rt△CEB中，sin60°＝，‎ ‎ ∴CE＝BC•sin60°＝10×≈‎8.65m。‎ ‎∴CD＝CE+ED＝8.65+1.55＝10.2≈‎10m，‎ 答：风筝离地面的高度为‎10m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】根据题意画出图形，根据sin60°＝可求出CE的长，再根据CD＝CE＋ED即可得出答案。‎ ‎71. （2012吉林长春6分）如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架OA、OB的长均为‎108cm，支架OA与水平晾衣杆OC的夹角∠AOC为59°，求支架两个着地点之间的距离AB．（结果精确到‎0.1cm）(参考数据：sin59°=0.86，cos59°=0.52，tan59°=1.66)．‎ ‎【答案】解：作OD⊥AB于点D，‎ ‎∵OA=OB，∴AD=BD。‎ ‎∵OC∥AB，∴∠OAB=∠AOC =59°。‎ 在Rt△AOD中，AD=OA•cos59°，‎ ‎∴AB=2AD=2OA•cos59°=2×108×0.52≈112.3。‎ 答：支架两个着地点之间的距离AB约为‎112.3cm。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】作OD⊥AB于点D，在Rt△OAD中，利用已知角的余弦值和OA的长求得AD的长即可求得线段AB的长。‎ ‎72. （2012江西省9分）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB．CD相交于点O，B．D两点立于地面，经测量：‎ AB=CD=‎136cm，OA=OC=‎51cm，OE=OF=‎34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=‎32cm．‎ ‎（1）求证：AC∥BD；‎ ‎（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；‎ ‎（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到‎122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．‎ ‎（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器）‎ ‎【答案】（1）证明：∵AB．CD相交于点O，∴∠AOC=∠BOD。‎ ‎∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=（180°﹣∠BOD）。‎ 同理可证：∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD）。‎ ‎∴∠OAC=∠OBD。∴AC∥BD。‎ ‎（2）解：在△OEF中，OE=OF=‎34cm，EF=‎32cm；‎ 作OM⊥EF于点M，则EM=‎‎16cm ‎∴cos∠OEF=≈0.471。‎ 用科学记算器求得∠OEF=61.9°。‎ ‎（3）小红的连衣裙会拖落到地面。理由如下：‎ 在Rt△OEM中， （cm）。‎ 过点A作AH⊥BD于点H，同（1）可证：EF∥BD，‎ ‎∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH ‎∴（cm）。‎ ‎∴小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度‎122cm＞晒衣架的高度AH（‎120cm）。‎ ‎【考点】相似三角形的应用，解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA=（180°﹣∠BOD）和∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD），从而利用平行线的判定得出即可。‎ ‎（2）首先作OM⊥EF于点M，则EM=‎16cm，求得cos∠OEF，即可得出∠OEF的度数。‎ ‎（3）首先证明Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出AH的长即可。‎ ‎73. （2012甘肃兰州6分）‎ 在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图(1)，虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图(2)设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角θ1减至θ2，这样楼梯所占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝‎4米，∠θ1＝40°，∠θ2＝36°，楼梯占用地板的长度增加率多少米？(计算结果精确到‎0.01米，参考数据：tan40°＝0.839，tan36°＝0.727)‎ ‎【答案】解：由题意可知可得，∠ACB＝∠θ1，∠ADB＝∠θ2在Rt△ACB中，AB＝d1tanθ1＝4tan40°，‎ ‎ 在Rt△ADB中，AB＝d2tanθ2＝d2tan36°，得4tan40°＝d2tan36°，‎ ‎∴d2＝。∴d2－d1＝4.616－4＝0.616≈0.62。‎ 答：楼梯占用地板的长度增加了‎0.62米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】根据在Rt△ACB中，AB＝d1tanθ1＝4tan40°，在Rt△ADB中，AB＝d2tanθ2＝d2tan36°，即可得出d2的值，从而求出楼梯占用地板增加的长度。‎ ‎74. （2012吉林省7分）如图，沿AC方向开山修一条公路，为了加快施工速度，要在小山的另一边寻找点E同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=127°，沿BD的方向前进，取∠BDE=37°，测得BD=‎520m，并且AC，BD和DE在同一平面内．‎ ‎（1）施工点E离D多远正好能使成A，C，E一条直线（结果保留整数）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若BC=‎80m，求公路段CE的长（结果保留整数）．‎ ‎（参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）‎ ‎【答案】解：（1）若使A，C，E成一条直线，则需∠ABD是△BCE的外角，‎ ‎∴∠E=∠ABD－∠D=127°－37°=90°。‎ ‎∴DE=BD•cos37°=52×0.80=416（m）。‎ ‎∴施工点E离D距离为‎416m时，正好能使A，C，E成一条直线。‎ ‎（2）由（1）得：BE=BD•sin37°=520×0.60=312（m）。‎ ‎∵BC=‎80m，∴CE=BE－BC=312－80=232（m）。‎ ‎∴公路段CE的长为‎232m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，三点共线的条件，三角形外角性质，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）由若使A，C，E成一条直线，则需∠ABD是△BCE的外角，可求得∠E=90°，然后由DE=BD•cos37°，即可求得答案。‎ ‎（2）由BE=BD•sin37°，求得BE的长，又由BC=‎80m，即可求得公路段CE的长。‎ ‎75. （2012青海西宁8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，CD⊥AB，BC＝1．‎ ‎(1)如果∠BCD＝30º，求AC；‎ ‎(2)如果tan∠BCD＝，求CD．‎ ‎【答案】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°。‎ ‎∵∠DCB=30°，∴∠B=60°。‎ 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴tan60°=。‎ ‎∵BC=1，∴，则AC=。‎ ‎（2）在Rt△BDC中，tan∠BCD=。‎ 设BD=k，则CD=3k，‎ 又BC=1，由勾股定理得：k2＋（3k）2=1，解得：k=或k=（舍去）。‎ ‎∴CD=3k=。‎ ‎【考点】解直角三角形，直角三角形的两锐角的关系，勾股定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余，由∠BCD的度数求出∠B的度数，利用锐角三角函数定义表示出tanB，将tanB及BC的长代入，即可求出AC的长。‎ ‎（2）在直角三角形BDC中，由已知tan∠BCD的值，利用锐角三角函数定义得出BD与CD的比值为1：3，根据比值设出BD=k，CD=3k，再由BC的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可求出CD的长。‎ ‎76. （2012内蒙古呼和浩特6分）如图，线段AB，DC分别表示甲、乙两建筑物的高．某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在B外测得D点的仰角为α，在A处测得D点的仰角为β．已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m．请你通过计算用含α、β、m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度．‎ ‎【答案】解：过点A作AM⊥CD，垂足为M，‎ 在Rt△BCD中，，∴CD=BC•tanα=mtanα。‎ 在Rt△AMD中，，∴DM=AM•tanβ=mtanβ。‎ ‎∴AB=CD﹣DM=m（tanα﹣tanβ）．‎ ‎∴甲建筑物的高度为mtanα，乙建筑物的高度为m（tanα﹣tanβ）。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）‎ ‎【分析】分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△ADM、△DBC，应借助AE=BC，求出DC，DM，从而求出AB即可。‎ ‎77. （2012内蒙古赤峰10分）如图，王强同学在甲楼楼顶A处测得对面乙楼楼顶D处的仰角为30°，在甲楼楼底B处测得乙楼楼顶D处的仰角为45°，已知甲楼高‎26米，求乙楼的高度．（≈1.7）‎ ‎【答案】解：作AE⊥DC于点E，∴∠AED=90°。‎ ‎∵∠ABC=∠BCD=∠CEA=90°，‎ ‎∴四边形ABCE是矩形。∴AE=BC， AB=EC。‎ 设DC=x，∵AB=26，∴DE=x﹣26。‎ 在Rt△AED中，tan30°=，即。‎ 解得：x≈61.1。‎ 答：乙楼高为‎61.1米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】作AE⊥DC于点E，可得四边形ABCE是矩形，得到AE=BC ，AB=EC。设DC=x，在Rt△AED中，利用tan30°=得到有关x的比例式后即可求得x的值。‎ ‎78. （2012内蒙古包头8分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽AD = ‎5 米，斜坡AB 的 坡度i =1：3 （指坡面的铅直高度AE 与水平宽度BE 的比），斜坡DC 的坡度i=1：1 . 5 ，已知该拦水坝的高为‎6 米‎。‎ ‎（1）求斜坡AB 的长；‎ ‎（2）求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长。‎ ‎（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）‎ ‎【答案】解：（1）∵，AE=6，∴BE=3AD=18。‎ ‎ 在Rt△ABE中，根据勾股定理得，。‎ ‎ 答：斜坡AB 的长为米。‎ ‎ （2）过点D作DF⊥BC于点F，‎ ‎ ∴四边形AEFD是矩形。‎ ‎ ∴EF=AD。‎ ‎ ∵AD=5，∴EF=5。‎ ‎ 又∵， DF=AE=6，∴CF=DF=9。‎ ‎ ∴BC=BE＋EF＋CF=18＋5＋9=32。‎ 在Rt△DCF中，根据勾股定理得，。‎ ‎∴梯形ABCD 的周长为AB＋BC＋CD＋DA=。‎ 答：拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长为米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），梯形的性质，坡度的定义，勾股定理，矩形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据坡度的定义得出BE的长，从而利用勾股定理得出AB的长。‎ ‎ （2）利用矩形性质以及坡度定义分别求出CD，CF，EF的长，从而求出梯形ABCD的周长即可。‎