2017年上海市杨浦区中考数学一模试卷

2017年上海市杨浦区中考数学一模试卷

‎2017年上海市杨浦区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎1．（4分）如果延长线段AB到C，使得，那么AC：AB等于（　　）‎ A．2：1 B．2：3 C．3：1 D．3：2‎ ‎2．（4分）在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（　　）‎ A．100tanα B．100cotα C．100sinα D．100cosα ‎3．（4分）将抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（　　）‎ A．y=2（x﹣1）2+5 B．y=2（x﹣1）2+1 C．y=2（x+1）2+3 D．y=2（x﹣3）2+3‎ ‎4．（4分）在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a＞0，b＜0，c＞0，那么它的图象一定不经过（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5．（4分）下列命题不一定成立的是（　　）‎ A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 B．两个等腰直角三角形相似 C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 ‎6．（4分）在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（　　）‎ A．40° B．60° C．80° D．100°‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．（4分）线段3cm和4cm的比例中项是　 　cm．‎ ‎8．（4分）抛物线y=2（x+4）2的顶点坐标是　 　．‎ ‎9．（4分）函数y=ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而　 　．‎ ‎10．（4分）如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠‎ ‎0）经过点（﹣1，2）和（4，2），那么它的对称轴是直线　 　．‎ ‎11．（4分）如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，DE：BC=1：3，那么EF：AB的值为　 　．‎ ‎12．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC=2AD，那么S△ADC：S△ABC的值为　 　．‎ ‎13．（4分）如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是　 　cm．‎ ‎14．（4分）如果+=3，2﹣=，那么=　 　（用表示）．‎ ‎15．（4分）已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α=　 　度．‎ ‎16．（4分）如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i=1：　 　．‎ ‎17．（4分）用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：‎ ‎ x ‎ …‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎3 ‎ ‎ 4‎ ‎…‎ ‎ y=ax2+bx+c ‎ …‎ ‎ 0‎ ‎﹣1 ‎ ‎ 0‎ ‎3 ‎ ‎ …‎ 那么该二次函数在x=0时，y=　 　．‎ ‎18．（4分）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么∠EFD的正切值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（10分）如图，已知△ABC中，点F在边AB上，且AF=AB、过A作AG∥BC交CF的延长线于点G．‎ ‎（1）设=，=，试用向量和表示向量；‎ ‎（2）在图中求作向量与的和向量．‎ ‎（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）‎ ‎20．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．‎ ‎（1）求此抛物线的表达式；‎ ‎（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．‎ ‎21．（10分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，锐角∠DBC的正弦值为．‎ 求：（1）对角线BD的长；‎ ‎（2）梯形ABCD的面积．‎ ‎22．（10分）如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A处时向位于南偏西30°方向且相距12海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间．‎ ‎23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．‎ ‎（1）求证：AC2=AD•AB；‎ ‎（2）若=，求证：CG2=DF•BG．‎ ‎24．（12分）在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4ax+4a+3（a＜0）的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为M．‎ ‎（1）求点D、点M的坐标；‎ ‎（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM=2DP，求a的值．‎ ‎25．（14分）在Rt△ABC中，∠‎ ACB=90°，AC=BC=2，点P为边BC上的一动点（不与B、C重合），点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连接MN交边AB于点F，交边AC于点E．‎ ‎（1）如图1，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；‎ ‎（2）连接FP，设CP=x，S△MPF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似？若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．‎ ‎　‎ ‎2017年上海市杨浦区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎1．（4分）（2017•杨浦区一模）如果延长线段AB到C，使得，那么AC：AB等于（　　）‎ A．2：1 B．2：3 C．3：1 D．3：2‎ ‎【分析】作出图形，用AB表示出AC，然后求比值即可．‎ ‎【解答】解：如图，∵BC=AB，‎ ‎∴AC=AB+BC=AB+AB=AB，‎ ‎∴AC：AB=3：2．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了两点间的距离，用AB表示出AC是解题的关键，作出图形更形象直观．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2017•杨浦区一模）在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（　　）‎ A．100tanα B．100cotα C．100sinα D．100cosα ‎【分析】根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义直接进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵∠BAC=α，BC=100m，‎ ‎∴AB=BC•cotα=100cotαm．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2017•金牛区模拟）将抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（　　）‎ A．y=2（x﹣1）2+5 B．y=2（x﹣1）2+1 C．y=2（x+1）2+3 D．y=2（x﹣3）2+3‎ ‎【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．‎ ‎【解答】解：抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位，可得y=2（x﹣1﹣2）2+3，即y=2（x﹣3）2+3，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2017•杨浦区一模）在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a＞0，b＜0，c＞0，那么它的图象一定不经过（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】根据已知条件“a＞0，b＜0，c＞0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第三象限．‎ ‎【解答】解：①∵a＞0、c＞0，‎ ‎∴该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴；‎ ‎②∵a＞0，b＜0，‎ ‎∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴是x=﹣＞0，‎ ‎∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴在第一象限；‎ 综合①②，二次函数y=ax2+bx+c的图象一定不经过第三象限．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2017•杨浦区一模）下列命题不一定成立的是（　　）‎ A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 B．两个等腰直角三角形相似 C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 ‎【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可．‎ ‎【解答】解：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似一定成立；‎ 两个等腰直角三角形相似一定成立；‎ 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似不一定成立；‎ 各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似一定成立，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2017•杨浦区一模）在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（　　）‎ A．40° B．60° C．80° D．100°‎ ‎【分析】根据可以确定对应角，根据对应角相等的性质即可求得∠B的大小，即可解题．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴∠B与∠D是对应角，‎ 故∠B=∠D=60°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了对应边比值相等的性质，本题中求∠B和∠D是对应角是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．（4分）（2017•杨浦区一模）线段3cm和4cm的比例中项是　2　cm．‎ ‎【分析】根据比例中项的概念，a：b=b：c，设比例中项是xcm，则列比例式可求．‎ ‎【解答】解：设比例中项是xcm，则：‎ ‎3：x=x：4，‎ x2=12，‎ x=±2，‎ ‎∵线段是正值，‎ ‎∴负值舍去，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题主要考查了比例线段，理解比例中项的概念，求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2017•杨浦区一模）抛物线y=2（x+4）2的顶点坐标是　（﹣4，0）　．‎ ‎【分析】由抛物线的解析式可求得答案．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵y=2（x+4）2，‎ ‎∴抛物线顶点坐标为（﹣4，0），‎ 故答案为：（﹣4，0）．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2017•杨浦区一模）函数y=ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而　减小　．‎ ‎【分析】由解析式可确定其开口方向，再根据增减性可求得答案．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵y=ax2（a＞0），‎ ‎∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，‎ ‎∴当x＜0时，y随x的增大而减小，‎ 故答案为：减小．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2017•杨浦区一模）如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），那么它的对称轴是直线　x=　．‎ ‎【分析】根据抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等可求得答案．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），‎ ‎∴对称轴为x==，‎ 故答案为：x=．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2017•杨浦区一模）如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，DE：BC=1：3，那么EF：AB的值为　　．‎ ‎【分析】利用DE∥BC可判断△ADE∽△ABC，利用相似的性质的得==，再利用比例性质得=，然后证明△CEF∽△CAB，然后利用相似比可得到的值．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴==，‎ ‎∴=，‎ ‎∵EF∥AB，‎ ‎∴△CEF∽△CAB，‎ ‎∴==．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要利用相似进行几何计算．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2017•杨浦区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC=2AD，那么S△ADC：S△ABC的值为　1：2　．‎ ‎【分析】根据梯形的性质和三角形的面积计算公式，可以解答本题．‎ ‎【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，设AD与BC间的距离为h，‎ 则，‎ 故答案为：1：2．‎ ‎【点评】本题考查梯形、三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2017•杨浦区一模）如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是　20　cm．‎ ‎【分析】‎ 因为两个三角形的面积之比9：25，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出周长的比，又因为对应中线的比等于相似比即可求出大三角形的中线．‎ ‎【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比是9：25，‎ ‎∴大三角形的周长：小三角形的周长是5：3，‎ ‎∵小三角形一边上的中线长是12cm，‎ ‎∴12÷=20cm，‎ ‎∴大三角形对应边上的中线长是20cm．‎ ‎【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应中线的比等于相似比．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2017•杨浦区一模）如果+=3，2﹣=，那么=　　（用表示）．‎ ‎【分析】根据平面向量的运算法则进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵2﹣=，‎ ‎∴6﹣3=3，‎ ‎∵+=3，‎ ‎∴+=6﹣3，‎ ‎∴=．‎ 故答案是：．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的运算，类似于解一元一次方程进行计算即可，比较简单，要注意移项要变号．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2017•杨浦区一模）已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α=　60　度．‎ ‎【分析】根据30°角的余弦值等于，正切值是的锐角为60°解答即可．‎ ‎【解答】解：∵tanα=2cos30°=2×=，‎ ‎∴α=60°．‎ 故答案为：60．‎ ‎【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的正弦值、余弦值、正切值是解此类题目的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2017•杨浦区一模）如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i=1：　2.4　．‎ ‎【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离正好构成一个直角三角形，先根据勾股定理，求出水平距离，然后根据定义解答．‎ ‎【解答】解：由题意得，水平距离==12，‎ ‎∴坡比i=5：12=1：2.4．‎ 故答案为2.4‎ ‎【点评】本题考查的知识点为：坡度=垂直距离：水平距离，通常写成1：n的形式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2017•杨浦区一模）用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：‎ ‎ x ‎ …‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎3 ‎ ‎ 4‎ ‎…‎ ‎ y=ax2+bx+c ‎ …‎ ‎ 0‎ ‎﹣1 ‎ ‎ 0‎ ‎3 ‎ ‎ …‎ 那么该二次函数在x=0时，y=　3　．‎ ‎【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x=0时，y的值即可．‎ ‎【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0），‎ ‎∴对称轴为x=2，‎ ‎∴当x=4时的函数值等于当x=0时的函数值，‎ ‎∵当x=4时，y=3，‎ ‎∴当x=0时，y=3．‎ 故答案是：3．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）（2017•杨浦区一模）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么∠EFD的正切值是　　．‎ ‎【分析】作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AH、BD、CD、AD，根据旋转变换的性质得到∠FBD=∠CBA，证明FB∥AH，根据四点共圆得到∠EFD=∠GBD，求出tan∠GBD即可．‎ ‎【解答】解：作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BH=CH=BC=3，‎ 由勾股定理得，AH==4，‎ ‎×BC×AH=×AC×BD，即6×4=5×BD，‎ 解得，BD=，‎ ‎∴CD==，AD=，‎ ‎∵∠FBD=∠CBA，‎ ‎∴∠FBE=∠DBC，‎ ‎∵∠DBC+∠C=90°，∠HAC+∠C=90°，‎ ‎∴∠FBE=∠BAH，‎ ‎∴FB∥AH，‎ ‎∴∠FBC=∠AHC=90°，‎ ‎∴EF∥BC，‎ ‎∴∠E=∠ABC=∠C=∠EGA，‎ ‎∴AG=AE=BE﹣AB=BC﹣AB=1，‎ ‎∴DG=，‎ ‎∴∠F=∠BDC=90°，‎ ‎∴F、B、D、G四点共圆，‎ ‎∴∠EFD=∠GBD，‎ tan∠GBD==，‎ ‎∴∠EFD的正切值是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用，掌握旋转变换的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（10分）（2017•杨浦区一模）如图，已知△ABC中，点F在边AB上，且AF=AB、过A作AG∥BC交CF的延长线于点G．‎ ‎（1）设=，=，试用向量和表示向量；‎ ‎（2）在图中求作向量与的和向量．‎ ‎（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）‎ ‎【分析】（1）证△AGF∽△BCF得==，即AG=CB，由=（）可得答案；‎ ‎（2）延长CB到E，使BE=AG，连接AE，则=．‎ ‎【解答】解：（1）∵AG∥BC，AF=AB，‎ ‎∴△AGF∽△BCF，=，‎ ‎∴==，即AG=CB，‎ ‎∴=（）=﹣；‎ ‎（2）如图所示，‎ ‎==．‎ ‎【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及向量的运算、作图，熟练掌握向量的基本运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2017•杨浦区一模）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．‎ ‎（1）求此抛物线的表达式；‎ ‎（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．‎ ‎【分析】（1）待定系数法求解可得；‎ ‎（2）求出原抛物线上x=﹣2时，y的值，若点（﹣2，﹣5）平移后的对应点为（﹣2，﹣1），根据纵坐标的变化可得其中的一种平移方式．‎ ‎【解答】解：（1）将点B（﹣1，0）、C（2，3）代入y=﹣x2+bx+c，‎ 得：，‎ 解得：，‎ ‎∴此抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）在y=﹣x2+2x+3中，当x=﹣2时，y=﹣4﹣4+3=﹣5，‎ 若点（﹣2，﹣5）平移后的对应点为（﹣2，﹣1），‎ 则需将抛物线向上平移4个单位．‎ ‎【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2017•杨浦区一模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，锐角∠DBC的正弦值为．‎ 求：（1）对角线BD的长；‎ ‎（2）梯形ABCD的面积．‎ ‎【分析】（1）求出△ABD∽△DCB，得出比例式，即可得出答案；‎ ‎（2）过D作DE⊥BC于E，解直角三角形求出DE，根据面积公式求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADB=∠DBC，‎ ‎∵∠ABD=∠C，‎ ‎∴△ABD∽△DCB，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AD=4，BC=9，‎ ‎∴BD=6；‎ ‎（2）‎ 过D作DE⊥BC于E，‎ 则∠DEB=90°，‎ ‎∵锐角∠DBC的正弦值为，‎ ‎∴sin∠DBC==，‎ ‎∵BD=6，‎ ‎∴DE=4，‎ ‎∴梯形ABCD的面积为×（AD+BC）×DE=×（4+9）×4=26．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，解直角三角形等知识点，能求出BD的长是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2017•杨浦区一模）如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A处时向位于南偏西30°方向且相距12海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间．‎ ‎【分析】首先证明AC=AB=12，根据时间=路程÷速度，计算即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，由题意，∠ABF=30°，∠CBF=60°，‎ ‎∴∠FAB=60°，∠ABC=∠C=30°，‎ ‎∴AC=AB=12，‎ 货轮从出发到客轮相逢所用的时间==1.2小时．‎ 答：货轮从出发到客轮相逢所用的时间1，2小时．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角、等腰三角形的判定、路程、时间、速度之间的关系等知识，解题的关键是掌握方向角的定义，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2017•杨浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．‎ ‎（1）求证：AC2=AD•AB；‎ ‎（2）若=，求证：CG2=DF•BG．‎ ‎【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，得出对应边成比例AC：AB=AD：AC，即可得出结论；‎ ‎（2）由相似三角形的性质得出∠ADF=∠ACG，由已知证出△ADF∽△ACG，得出∠DAF=∠CAF，AG是∠BAC的平分线，由角平分线得出，即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，‎ ‎∴△ACD∽△ABC，‎ ‎∴AC：AB=AD：AC，‎ ‎∴AC2=AD•AB；‎ ‎（2）证明：∵△ACD∽△ABC，‎ ‎∴∠ADF=∠ACG，‎ ‎∵=，‎ ‎∴△ADF∽△ACG，‎ ‎∴∠DAF=∠CAF，‎ 即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分线，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴CG2=DF•BG．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2017•杨浦区一模）在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4ax+4a+3（a＜0）的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为M．‎ ‎（1）求点D、点M的坐标；‎ ‎（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM=2DP，求a的值．‎ ‎【分析】（1）由y=ax2﹣4ax+4a+3=a（x﹣2）2+‎ ‎3，可得顶点D（2，3），M（2，0）．‎ ‎（2）作PN⊥DM于N．由△PDN∽△MAO，得===，因为OM=2，OA=﹣4a﹣3，PN=1，所以P（1，a+3），DN=﹣a，根据OA=2DN，可得方程﹣4a﹣3=﹣2a，由此即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵y=ax2﹣4ax+4a+3=a（x﹣2）2+3，‎ ‎∴顶点D（2，3），M（2，0）．‎ ‎（2）作PN⊥DM于N．‎ ‎∵AM∥DP，‎ ‎∴∠PDN=∠AMG，‎ ‎∵DG∥OA，‎ ‎∴∠OAM=∠AMG=∠PDN，‎ ‎∵∠PND=∠AOM=90°，‎ ‎∴△PDN∽△MAO，‎ ‎∴===，‎ ‎∵OM=2，OA=﹣4a﹣3，PN=1，‎ ‎∴P（1，a+3），‎ ‎∴DN=﹣a，‎ ‎∵OA=2DN，‎ ‎∴﹣4a﹣3=﹣2a，‎ ‎∴a=﹣．‎ 当点A在y的正半轴上时，如图，‎ ‎∴△PDN∽△MAO，‎ ‎∴===，‎ ‎∵OM=2，OA=4a+3，PN=1，‎ ‎∴P（3，a+3），‎ ‎∴DN=﹣a，‎ ‎∵OA=2DN，‎ ‎∴4a+3=﹣2a，‎ ‎∴a=﹣，‎ 综上所述，满足条件的a的值为﹣或﹣．‎ ‎【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用相似三角形的性质解决问题，用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）（2017•杨浦区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为边BC上的一动点（不与B、C重合），点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连接MN交边AB于点F，交边AC于点E．‎ ‎（1）如图1，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；‎ ‎（2）连接FP，设CP=x，S△MPF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似？若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．‎ ‎【分析】（1）先求出CP=1，利用对称得出∠MBN=90°，BP=BP=3，最后用锐角三角函数的定义即可；‎ ‎（2）先求出FG，再利用同角的三角函数相等，得出PG，再用三角形的面积公式求解即可；‎ ‎（3）利用对称先判断出AM=AP=AN，进而得出三角形AMN是等腰直角三角形，即可得出∠AMN=45°，得出∠AFE=∠AMB，即可判断出△AEF∽△BAM．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，连接BN，‎ ‎∵点P为边BC的中点，‎ ‎∴CP=BP=BC=1，‎ ‎∵点P与点M关于AC对称，‎ ‎∴CM=CP=1‎ ‎∵∠ACB=90°，AC=BC=2，‎ ‎∴∠BAC=∠ABC=45°，‎ ‎∵点P与点N关于AB对称，‎ ‎∴BP=BN=1，∠ABN=∠ABC=45°，‎ ‎∴∠CBM=90°，BM=CM+BC=3‎ 在Rt△MBN中，tan∠M==；‎ ‎（2）如图2，过点F作FG⊥BC，‎ 设PG=m，‎ ‎∴BG=BP﹣PG=2﹣x﹣m，MG=MP+PG=2x+m，‎ 在Rt△BFG中，∠FBG=45°，‎ ‎∴FG=BG=2﹣x﹣m，‎ 在Rt△FMG中，tan∠M==，‎ 在Rt△MNB中，tan∠M==，‎ ‎∴，‎ ‎∴m=，‎ ‎∴FG=2﹣x﹣‎ ‎∴y=S△MPF=MP•FG=×2x×[2﹣x﹣]=（0＜x＜2）；‎ ‎（3）△AEF∽△BAM 理由：如图3，连接AM，AP，AN，BN，‎ ‎∵点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，‎ ‎∴AM=AP=AN．∠MAC=∠PAC，∠PAB=∠NAB，‎ ‎∵∠BAC=∠PAC+∠PAB=45°，‎ ‎∴∠MAN=∠MAC+∠PAC+∠BAP+∠NAB=2（∠PAC+∠PAB）=90°，‎ ‎∴∠AMN=45°=∠ABC，‎ ‎∵∠AFE=∠ABC+∠BMF，∠AMB=∠AMN+∠BMF，‎ ‎∴∠AFE=∠AMB，∵∠EAF=∠ABM=45°，‎ ‎∴△AEF∽△BAM．‎ ‎【点评】此题是相似形综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，对称的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是得出△PFM的边PM上高和△MAN是等腰直角三角形，是一道很好的中考常考题．‎ ‎　‎