内蒙古中考数学重点题型专项训练函数的实际应用题

内蒙古中考数学重点题型专项训练函数的实际应用题

函数的实际应用题 类型一 方案设计类 ‎★1.某校在去年购买A，B两种足球，费用分别为2400元和 ‎2000 元，其中A种足球数量是B种足球数量的 2 倍，B种足 球单价比 A 种足球单价多80元/个．‎ ‎(1)求A，B两种足球的单价；‎ ‎(2)由于该校今年被定为“足球特色校”，学校决定再次购买A，B 两种足球共18个，且本次购买 B 种足球的数量不少于 A 种足球数量的 2 倍，若单价不变，则本次如何购买才能使费用 W 最少？‎ 解：(1)设A种足球单价为x元/个，则B种足球单价为(x＋80)‎ 元/个，‎ 根据题意，得2400x＝2×x2000＋80，解得 x＝120，‎ 经检验，x＝120是分式方程的解，且符合实际意义，∴x＋80＝200，‎ 答：A 种足球单价为120元/个，B 种足球单价为200元/个；(2)设再次购买A种足球a个，则购买B种足球为(18－a)个，根据题意，得 W＝120a＋200(18－a)＝－80a＋3600，∵18－a≥2a，‎ ‎∴a≤6，‎ ‎∵－80＜0，‎ ‎∴W 随 a 的增大而减小，‎ ‎∴当 a＝6时，W 最小，此时18－a＝12，‎ 答：本次购买 A 种足球6个，B 种足球12个，才能使购买费 用 W 最少．‎ ‎★2.某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木 3 株，乙种花木 1 株，共需成本 1500 元．‎ ‎(1)求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？‎ ‎(2)据市场调研，1 株甲种花木售价为 760 元，1 株乙种花木 售价为 540 元，该花农决定在成本不超过 30000 元的前提下 培育甲、乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的 ‎3 倍还多 10 株，那么要使总利润不少于 21600 元，花农有哪 几种具体的培育方案？‎ 解：(1)设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元．‎ 由题意得 ‎‎ ‎2x＋3y＝1700‎ ‎，解得 ‎3x＋y＝1500‎ ‎‎ x＝400‎ y＝300.‎ 答：甲、乙两种花木每株成本分别为 400 元、300 元；‎ ‎(2)设培育甲种花木为a株，则培育乙种花木为(3a＋10)株．‎ 则有 ‎400a＋300（3a＋10）≤30000‎ ‎（760－400）a＋（540－300）（3a＋10）≥21600，‎ 解得 1779≤a≤201013.‎ 由于 a 为整数，‎ ‎∴a 可取18或19或20.‎ ‎∴有三种具体方案：‎ ‎①培育甲种花木 18 株，培育乙种花木 3a＋10＝64 株；‎ ‎②培育甲种花木 19 株，培育乙种花木 3a＋10＝67 株；‎ ‎③培育甲种花木 20 株，培育乙种花木 3a＋10＝70 株．‎ ‎★3.育才初中九年级举行“生活中的数学”竞赛活动，购买了A，B 两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和 8 元，根据比赛设奖情况，需要购买两种笔记本共 30 本，若学校决定购买笔记本的资金不能超过 280 元，设购买A 种笔记本 x 本．‎ ‎(1)根据题意完成以下表格(用含x的代数式表示)；‎ 笔记本型号 A B 数量(本)‎ x ‎________‎ 价格(元/本)‎ ‎12‎ ‎8‎ 费用(元)‎ ‎12x ‎________‎ ‎(2)最多能购买A种笔记本多少本？‎ ‎(3)若购买B种笔记本的数量要小于A种笔记本的数量的 3‎ 倍，则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少，最少费用 是多少元？‎ 解：(1)30－x，8(30－x)；‎ ‎【解法提示】购买两种笔记本共 30 本，A种笔记本为x本，‎ 则 B 种笔记本为(30－x)本；由于 B 种笔记本的价格为8元/‎ 本，则购买 B 种笔记本共花费8(30－x)元．‎ ‎(2)由题意得12x＋8(30－x)≤280，‎ 解得 x≤10.‎ ‎∴最多能购买 A 种笔记本10本；‎ ‎(3)设购买两种笔记本的总费用为W元，‎ 由题意，得 W＝12x＋8(30－x)＝4x＋240，‎ ‎∵30－x＜3x，∴x＞7.5，‎ ‎∵k＝4＞0，∴W 随 x 的增大而增大，‎ ‎∵x 为整数，∴当 x＝8时，W 最少＝4×8＋240＝272元，此时 B 种笔记本数量为30－8＝22本．‎ 答：购买 A 种笔记本8本，B 种笔记本22本时，费用最少，‎ 最少费用为 272 元．‎ 类型二 方案择优类 ‎★1.甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促 销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商 品都按原价的 8.5 折出售，乙商场只对一次购物中超过 200‎ 元后的价格部分按原价的 7.5 折出售，某顾客打算在促销期 间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的 购物金额的原价为 x(x＞0)元，让利后的购物金额为 y 元．‎ ‎(1)分别就甲、乙两家商场写出y关于x的函数解析式；‎ ‎(2)该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明 理由．‎ 解：(1)甲商场y关于x的函数解析式y1＝0.85x，‎ 当 ‎0≤x≤200 时，乙商场y关于x的函数解析式y2＝x(0≤x≤200)；‎ 当 x＞200时，乙商场 y 关于 x 的函数解析式 y2＝200＋(x－‎ ‎200)×0.75＝0.75x＋50(x＞200)，‎ x（0≤x≤200）‎ 故 y2＝ ；‎ ‎0.75x＋50（x＞200）‎ ‎(2)由y1＞y2，得0.85x＞0.75x＋50，解得x＞500，当 x＞500时，到乙商场购物会更省钱；‎ 由 y1＝y2得0.85x＝0.75x＋50，解得 x＝500，‎ 当 x＝500时，到两家商场去购物花费一样；‎ 由 y1＜y2，得0.85x＜0.75x＋500，‎ 解得 x＜500，‎ 当 x＜500时，到甲商场购物会更省钱；‎ 综上所述，x＞500时，到乙商场购物会更省钱；x＝500时，‎ 到两家商场去购物花费一样；当 x＜500时，到甲商场购物会 更省钱．‎ ‎★2. 蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对 外批发销售某种蔬菜，为了加快销售，该批发商对价格进行 两次下调后，售价降为每千克 6.4 元.‎ ‎(1)求平均每次下调的百分率；‎ ‎(2)某大型超市准备到该批发商处购买 2 吨该蔬菜，因数量多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择.方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金 1000 元，试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由.‎ 解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得 10(1-x)2=6.4,‎ 解得 x1=0.2=20%，x2=1.8(不符合题意，舍去)，‎ ‎∴平均每次下调的百分率是 20%.‎ ‎(2)采购员选择方案一购买更优惠,‎ 理由：方案一所需费用为：6.4×0.8×2000=10240(元)，‎ 方案二所需费用为：6.4×2000-1000×2=10800(元),‎ ‎∵10240＜10800，‎ ‎∴采购员选择方案一购买更优惠.‎ ‎★3.甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务 的收费方案．‎ 甲公司方案：每月的养护费用 y(元)与绿化面积 x(平方米)是 一次函数关系，如图所示．‎ 乙公司方案：绿化面积不超过 1000 平方米时，每月收取费用 ‎5500 元；绿化面积超过 1000 平方米时，每月在收取 5500 元 的基础上，超过部分每平方米收取 4 元．‎ ‎(1)求如图所示的y与x的函数解析式；(不要求写出取值范围)‎ ‎(2)如果某学校目前的绿化面积是 1200 平方米，试通过计算 说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．‎ 解：(1)设该一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，‎ 将点(0，400)，(100，900)代入y＝kx＋b，‎ ‎400＝0＋b k＝5‎ 得900＝100k＋b，解得b＝400，‎ ‎∴y 与 x 的函数解析式为 y＝5x＋400；‎ ‎(2)由(1)知，甲公司费用解析式为y＝5x＋400，‎ 当 x＝1200时，y＝6400(元)，‎ 设乙公司费用为 z，z＝5500＋(1200－1000)×4＝6300(元)，‎ ‎∵6400>6300，‎ ‎∴选乙公司绿化养护费用较少．‎ 类型三 图象类 ‎★1.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学 生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的 注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理 想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析 可知，学生的注意力指标数 y 随时间 x(分钟)的变化规律如下 图所示(其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)：(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？‎ ‎(2)一道数学竞赛题，需要讲 19 分钟，为了效果较好，要求 学生的注意力指标数最低达到 36，那么经过适当安排，老师 能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？‎ 第 1 题图 解：(1)设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x＋20，‎ 把 B(10，40)代入得，k1＝2，‎ ‎∴y1＝2x＋20(0≤x≤10)．‎ 设 C，D 所在双曲线的解析式为 y2＝kx2，‎ 把 C(25，40)代入得，k2＝1000，∴y2＝1000x(25＜x≤40)，‎ 当 x1＝5时，y1＝2×5＋20＝30，‎ 当 x2＝30时，y2＝100030＝1003，‎ ‎∵y1＜y2，∴第30分钟时学生的注意力更集中；(2)令y1＝36，∴36＝2x＋20，∴x1＝8，‎ 令 y2＝36，∴36＝1000x，∴x2＝100036≈27.8，‎ ‎∵27.8－8＝19.8＞19，‎ ‎∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲 解完这道题目．‎ ‎★2.在一条笔直的公路上有A，B两地，甲从A地去B地，‎ 乙从 B 地去 A 地然后立即原路返回 B 地，返回时的速度是原 来的 2 倍，如图是甲、乙两人离B地的距离y(千米)和时间 x(小时)之间的函数图象．请根据图象回答下列问题：‎ ‎(1)A，B两地的距离是________千米，a＝________；‎ ‎(2)求P的坐标，并解释它的实际意义；‎ ‎(3)请直接写出当x取何值时，甲乙两人相距 15 千米．‎ b＝90‎ 得 3k＋b＝0，解得 解：(1)90，2；‎ ‎【解法提示】观察函数图象可知：A、B 两地的距离是90千 米，∵乙从 B 地去 A 地然后立即原路返回 B 地，返回时的速 度是原来的 2 倍，∴90a·2=390－a，∴a=2.‎ ‎(2)设甲离B地的距离y(千米)和时间x(小时)之间的函数关系式为 y＝kx＋b，乙离 B 地的距离 y(千米)和时间 x(小时)之间的函数关系式为 y＝mx＋n，‎ 将(0，90)、(3，0)代入y＝kx＋b中，‎ k＝－30‎ b＝90 ，‎ ‎∴甲离 B 地的距离 y 和时间 x 之间的函数关系式为 y＝－30x ‎＋90(0≤x≤3)；‎ 将(0，0)、(2，90)代入y＝mx＋n中，‎ n＝0 m＝45得 2m＋n＝90，解得n＝0 ，‎ ‎∴此时 y＝45x(0≤x≤2)；‎ 将(2，90)、(3，0)代入y＝mx＋n中，‎ ‎2m＋n＝90‎ 得3m＋n＝0 ，解得 ‎‎ m＝－90‎ ‎，‎ 此时 y＝－90x＋270(2＜x≤3)．‎ ‎∴乙离 B 地的距离 y 和时间 x 之间的函数关系式为 ‎45x （0≤x≤2）‎ y＝ ，‎ ‎－90x＋270（2＜x≤3）‎ 令 y＝－30x＋90＝45x，解得 x＝1.2，‎ 当 x＝1.2时，y＝45x＝45×1.2＝54，‎ ‎∴点 P 的坐标为(1.2，54)．‎ 点 P 的实际意义是：甲、乙分别从 A、B 两地出发，经过1.2小时相遇，这时离 B 地的距离为54千米；‎ ‎(3)当0≤x＜1.2时，－30x＋90－45x＝15，解得 x＝1；‎ 当 ‎1.2≤x≤2 时，45x－(－30x＋90)＝15，‎ 解得 x＝1.4；‎ 当 ‎2＜x≤3 时，－90x＋270－(－30x＋90)＝15，‎ 解得 x＝2.75.‎ 综上所述，当 x 为1或1.4或2.75时，甲乙两人相距15千米．‎ 类型四 阶梯费用类 ‎★1.某中学组织学生到距离学校6.5 km的历史博物馆去参 观，学生阿福因事耽搁没能乘上学校的专车，于是准备在学 校门口改乘出租车去历史博物馆，出租车的收费标准是：3 km 以内(含 3 km)，只收取起步费 10 元；3 km 以上，每增加 1‎ km(不足 1 km 以 1 km 计)收费 2 元．‎ ‎(1)写出打车费用y与出租车行驶里程数x之间的函数关系式；‎ ‎(2)阿福同学身上仅有 20 元钱，乘出租车到历史博物馆的车 费够不够，请通过计算说明．‎ 解：(1)根据题意可得当0＜x≤3时，y＝10；‎ 当 x＞3时，y＝10＋(x－3)×2＝2x＋4.‎ ì10(0＜x£ 3) 即 y 与 x 之间的函数关系是y=íî2x+4(x＞3)；‎ ‎(2)∵6.5km超过3km，‎ ‎∴阿福同学去历史博物馆的打车费用为 y＝2x＋4，‎ ‎∵6.5 km 超过 6 km，不足 7 km，以 7 km 计，‎ ‎∴阿福同学去历史博物馆的打车费用为 y＝2x＋4＝2×7＋4＝‎ 18 元，‎ ‎∵18＜20，‎ ‎∴阿福同学乘出租车到历史博物馆的费用够．‎ ‎★2.为保护环境，鼓励市民节约用电，从2017年起，某市实 施“阶梯电价”收费方案，收费标准如下：‎ 收费 用电量 电费单价 收费说明 标准 ‎（度）‎ ‎（元/度）‎ 第一 ‎0~‎ ‎0.68‎ 用电量在第一档时，按每度 档 ‎200‎ ‎0.68 元收费 第二 ‎201~‎ ‎0.73‎ 用电量在第二档时，先收第 档 ‎400‎ 一档费用，超出部分按每度 ‎0.73 元收费 第三 ‎401 以上 ‎0.98‎ 用电量在第三档时，先收第 档 一档和第二档费用，超出部 分按每度 0.98 元收费 ‎（1）某用电大户一个月用电量为 500 度，应交电费________‎ 元；‎ ‎(2)已知某用户一月份的用电量不超过 400 度，若该用户这个 月的电费平均每度 0.69 元，该用户一月份用电多少度？‎ ‎(3)若某用户某月的用电量为x度，请你用含x的代数式表示 该用户在这个月应交的电费．‎ 解：(1)380；‎ ‎【解法提示】200×0.68＋(400－200)×0.73＋(500－400)×0.98‎ ‎＝380(元)．‎ ‎(2)设一月份用电x度，根据题意得：‎ ‎200×0.68＋0.73×(x－200)＝0.69x，解得x＝250.‎ 答：一月份用电 250 度；‎ ‎(3)当0＜x≤200时，当月的电费支出为0.68x元；‎ 当 ‎200＜x≤400 时，当月的电费支出为 0.68×200＋0.73(x－200)‎ ‎＝(0.73x－10)元；‎ 当 x＞400时，当月的电费支出为0.68×200＋0.73×200＋0.98(x ‎－400)＝(0.98x－110)元．‎