江西省中考数学试卷解析

江西省中考数学试卷解析

‎2013年江西省中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．‎ ‎1．（3分）（2013•南昌）﹣1的倒数是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．±1 D．0‎ ‎2．（3分）（2013•江西）下列计算正确的是（　　）‎ A．a3+a2=a5 B．（3a﹣b）2=9a2﹣b2 C．a6b÷a2=a3b D．（﹣ab3）2=a2b6‎ ‎3．（3分）（2013•南昌）下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况：‎ 城市 北京 合肥 南京 哈尔滨 成都 南昌 污染指数 ‎342‎ ‎163‎ ‎165‎ ‎45‎ ‎227‎ ‎163‎ 则这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．164和163 B．105和163 C．105和164 D．163和164‎ ‎4．（3分）（2013•南昌）如图，直线y=x+a﹣2与双曲线y=交于A、B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．5‎ ‎5．（3分）（2013•南昌）一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则它的左视图可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）（2013•南昌）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（　　）‎ A．a＞0 B．b2﹣4ac≥0‎ C．x1＜x0＜x2 D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎7．（3分）（2016•福州）分解因式：x2﹣4=　　　　　　．‎ ‎8．（3分）（2013•南昌）如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为　　　　　　．‎ ‎9．（3分）（2013•江西）某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，请列出满足题意的方程组　　　　　　．‎ ‎10．（3分）（2013•江西）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为　　　　　　．‎ ‎11．（3分）（2013•南昌）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为　　　　　　（用含n的代数式表示）．‎ ‎12．（3分）（2013•南昌）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程　　　　　　．‎ ‎13．（3分）（2013•江西）如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为　　　　　　．‎ ‎14．（3分）（2013•南昌）平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）‎ ‎15．（5分）（2013•江西）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．‎ ‎16．（5分）（2013•南昌）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．‎ ‎（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；‎ ‎（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．‎ ‎　‎ 四、（本大题共2小题，每小题6分，共12分）‎ ‎17．（6分）（2013•南昌）先化简，再求值：÷+1，在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求值．‎ ‎18．（6分）（2013•南昌）甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．‎ ‎（1）下列事件是必然事件的是（　　）‎ A、乙抽到一件礼物 B、乙恰好抽到自己带来的礼物 C、乙没有抽到自己带来的礼物 D、只有乙抽到自己带来的礼物 ‎（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．‎ ‎　‎ 五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）‎ ‎19．（8分）（2013•南昌）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．‎ ‎（1）直接写出B、C、D三点的坐标；‎ ‎（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．‎ ‎20．（8分）（2013•南昌）生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500ml的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A、全部喝完；B、喝剩约；C、喝剩约一半；D开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）参加这次会议的有多少人？在图（2）中D所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；‎ ‎（2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升？（计算结果请保留整数）‎ ‎（3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60次，每次会议人数约在40至60人之间，请用（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有多少瓶？（可使用科学记算器）‎ ‎　‎ 六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎21．（9分）（2013•南昌）如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．‎ ‎（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）‎ ‎（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）（参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科学记算器）‎ ‎22．（9分）（2013•江西）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．‎ ‎（1）证明PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）求点B的坐标；‎ ‎（3）求直线AB的解析式．‎ ‎　‎ 七、（本大题共2小题，第23题10分，第24题12分，共22分）‎ ‎23．（10分）（2013•江西）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：‎ ‎●操作发现：‎ 在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是　　　　　　（填序号即可）‎ ‎①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．‎ ‎●数学思考：‎ 在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；‎ ‎●类比探究：‎ 在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：　　　　　　．‎ ‎24．（12分）（2013•南昌）已知抛物线yn=﹣（x﹣an）2+an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An﹣1（bn﹣1，0）和An（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．‎ ‎（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；‎ ‎（2）抛物线y3的顶点坐标为（　　　　　　，　　　　　　）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（　　　　　　，　　　　　　）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是　　　　　　；‎ ‎（3）探究下列结论：‎ ‎①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An﹣1An；‎ ‎②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2013年江西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．‎ ‎1．（3分）（2013•南昌）﹣1的倒数是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．±1 D．0‎ ‎【分析】根据倒数的定义，得出﹣1×（﹣1）=1，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵﹣1×（﹣1）=1，‎ ‎∴﹣1的倒数是﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•江西）下列计算正确的是（　　）‎ A．a3+a2=a5 B．（3a﹣b）2=9a2﹣b2 C．a6b÷a2=a3b D．（﹣ab3）2=a2b6‎ ‎【分析】分别根据合并同类项法则以及完全平方公式和整式的除法以及积的乘方分别计算得出即可．‎ ‎【解答】解：A、a3+a2=a5无法运用合并同类项计算，故此选项错误；‎ B、（3a﹣b）2=9a2﹣6ab+b2，故此选项错误；‎ C、a6b÷a2=a4b，故此选项错误；‎ D、（﹣ab3）2=a2b6，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了完全平方公式以及积的乘方和整式的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•南昌）下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况：‎ 城市 北京 合肥 南京 哈尔滨 成都 南昌 污染指数 ‎342‎ ‎163‎ ‎165‎ ‎45‎ ‎227‎ ‎163‎ 则这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．164和163 B．105和163 C．105和164 D．163和164‎ ‎【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．可以直接算出答案．‎ ‎【解答】解：把数据从小到大排列：45，163，163，165，227，342，位置处于中间的数是163和165，故中位数是（163+165）÷2=164，‎ ‎163出现了两次，故众数是163；‎ 故答案为：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的定义．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•南昌）如图，直线y=x+a﹣2与双曲线y=交于A、B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．5‎ ‎【分析】当直线y=x+a﹣2经过原点时，线段AB的长度取最小值，依此可得关于a的方程，解方程即可求得a的值．‎ ‎【解答】解：∵根据反比例函数的对称性可知，要使线段AB的长度取最小值，则直线y=x+a﹣2经过原点，‎ ‎∴a﹣2=0，‎ 解得a=2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题的关键是理解当直线y=x+a﹣2经过原点时，线段AB的长度取最小值．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•南昌）一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则它的左视图可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．‎ ‎【解答】解：从几何体的左边看可得．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•南昌）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（　　）‎ A．a＞0 B．b2﹣4ac≥0‎ C．x1＜x0＜x2 D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0‎ ‎【分析】根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．‎ ‎【解答】解：A、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；‎ B、∵x1＜x2，‎ ‎∴△=b2﹣4ac＞0，故本选项错误；‎ C、若a＞0，则x1＜x0＜x2，‎ 若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；‎ D、若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，‎ 所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，‎ ‎∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，‎ 若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，‎ ‎∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，‎ 综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键，C、D选项要注意分情况讨论．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎7．（3分）（2016•福州）分解因式：x2﹣4=　（x+2）（x﹣2）　．‎ ‎【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．‎ ‎【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．‎ 故答案为：（x+2）（x﹣2）．‎ ‎【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•南昌）如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为　65°　．‎ ‎【分析】先根据平角的定义求出∠EDC的度数，再由平行线的性质得出∠C的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数．‎ ‎【解答】解：∵∠1=155°，‎ ‎∴∠EDC=180°﹣155°=25°，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠C=∠EDC=25°，‎ ‎∵△ABC中，∠A=90°，∠C=25°，‎ ‎∴∠B=180°﹣90°﹣25°=65°．‎ 故答案为：65°．‎ ‎【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•江西）某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，请列出满足题意的方程组　　．‎ ‎【分析】根据关键语句“单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育”可得方程x+y=34，“到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人”可得x=2y+1，联立两个方程即可．‎ ‎【解答】解：设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，由题意得：‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•江西）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为　2　．‎ ‎【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，‎ ‎∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，‎ ‎∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，‎ ‎∴阴影部分的面积=×矩形的面积，‎ ‎∵AB=2，BC=2，‎ ‎∴阴影部分的面积=×2×2=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•南昌）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为　（n+1）2　（用含n的代数式表示）．‎ ‎【分析】观察不难发现，点的个数依次为连续奇数的和，写出第n个图形中点的个数的表达式，再根据求和公式列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，‎ 第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，‎ 第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，‎ ‎…，‎ 第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2．‎ 故答案为：（n+1）2．‎ ‎【点评】本题是对图形变化规律的考查，比较简单，观察出点的个数是连续奇数的和是解题的关键，还要注意求和公式的利用．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•南昌）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程　x2﹣5x+6=0（答案不唯一）　．‎ ‎【分析】根据S△ABC=3，得出两根之积，进而根据根与系数的关系写出一个符合要求的一元二次方程即可．‎ ‎【解答】解：∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，‎ ‎∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6，‎ ‎∴此方程可以为：x2﹣5x+6=0，‎ 故答案为：x2﹣5x+6=0（答案不唯一）．‎ ‎【点评】此题主要考查了根与系数的关系以及直角三角形的面积，根据已知得出两根之积进而得出答案是解题关键．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•江西）如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为　25°　．‎ ‎【分析】由，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，可得到AD=DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD=60°，∠F=110°，即可求出∠DAE的度数．‎ ‎【解答】解：∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且CD=CD，‎ ‎∴AD=DE，‎ ‎∵∠DAE=∠DEA，‎ ‎∵∠BAD=60°，∠F=110°，‎ ‎∴∠ADC=120°，∠CDE═∠F=110°，‎ ‎∴∠ADE=360°﹣120°﹣110°=130°，‎ ‎∴∠DAE==25°，‎ 故答案为：25°．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•南昌）平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是　2，3，4　．‎ ‎【分析】分类讨论：如图1，根据圆周角定理可以推出点C在以点O为圆心的圆上；‎ 如图2，根据已知条件可知对角∠AOB+∠ACB=180°，则四个点A、O、B、C共圆．分类讨论：如图1，如图2，在不同的四边形中，利用垂径定理、等边△MAO的性质来求OC的长度．‎ ‎【解答】解：如图1，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，‎ ‎∴∠ACB=∠AOB=60°，‎ ‎∴点C在以点O为圆心的圆上，且在优弧AB上．‎ ‎∴OC=AO=BO=2；‎ 如图2，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，‎ ‎∴∠AOB+∠ACB=180°，‎ ‎∴四个点A、O、B、C共圆．‎ 设这四点都在⊙M上．点C在优弧AB上运动．‎ 连接OM、AM、AB、MB．‎ ‎∵∠ACB=60°，‎ ‎∴∠AMB=2∠ACB=120°．‎ ‎∵AO=BO=2，‎ ‎∴∠AMO=∠BMO=60°．‎ 又∵MA=MO，‎ ‎∴△AMO是等边三角形，‎ ‎∴MA=AO=2，‎ ‎∴MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4，‎ ‎∴OC可以取整数3和4．‎ 综上所述，OC可以取整数2，3，4．‎ 故答案是：2，3，4．‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质．此题需要分类讨论，以防漏解．在解题时，还利用了圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系．‎ ‎　‎ 三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）‎ ‎15．（5分）（2013•江西）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．‎ ‎【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据：大小小大取中间确定不等式组的解集即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x≥﹣1，‎ 由②得：x＜3，‎ 故不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．‎ 如图所示：‎ ‎．‎ ‎【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确解出两个不等式，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2013•南昌）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．‎ ‎（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；‎ ‎（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．‎ ‎【分析】（1）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90°画图即可；‎ ‎（2）与（1）类似，利用圆周角定理画图．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：点P就是三个高的交点；‎ ‎（2）如图所示：CT就是AB上的高．‎ ‎【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是90°．‎ ‎　‎ 四、（本大题共2小题，每小题6分，共12分）‎ ‎17．（6分）（2013•南昌）先化简，再求值：÷+1，在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求值．‎ ‎【分析】首先将原式能分解因式的分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，最后根据分式的性质，选出有意义的x的值，即可得到原式的值．‎ ‎【解答】解：÷+1‎ ‎=÷+1‎ ‎=×+1‎ ‎=+1‎ ‎=，‎ 当x=0或2时，分式无意义，‎ 故x只能等于1，‎ 原式=．‎ ‎【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找出公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2013•南昌）甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．‎ ‎（1）下列事件是必然事件的是（　　）‎ A、乙抽到一件礼物 B、乙恰好抽到自己带来的礼物 C、乙没有抽到自己带来的礼物 D、只有乙抽到自己带来的礼物 ‎（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．‎ ‎【分析】（1）根据必然事件、随机事件的定义对各选项分析判断后利用排除法求解；‎ ‎（2）画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）A、乙抽到一件礼物是必然事件；‎ B、乙恰好抽到自己带来的礼物是随机事件；‎ C、乙没有抽到自己带来的礼物是随机事件；‎ D、只有乙抽到自己带来的礼物是随机事件；‎ 故选A；‎ ‎（2）设甲、乙、丙三人的礼物分别记为a、b、c，‎ 根据题意画出树状图如下：‎ 一共有6种等可能的情况，三人抽到的礼物分别为（abc）、（acb）、（bac）、（bca）、（cab）、（cba），‎ ‎3人抽到的都不是自己带来的礼物的情况有（bca）、（cab）有2种，‎ 所以，P（A）==．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ 五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）‎ ‎19．（8分）（2013•南昌）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．‎ ‎（1）直接写出B、C、D三点的坐标；‎ ‎（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．‎ ‎【分析】（1）根据矩形性质得出AB=CD=2，AD=BC=4，即可得出答案；‎ ‎（2）设矩形平移后A的坐标是（2，6﹣x），C的坐标是（6，4﹣x），得出k=2（6﹣x）=6（4﹣x），求出x，即可得出矩形平移后A的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．‎ ‎∴AB=CD=2，AD=BC=4，‎ ‎∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；‎ ‎（2）A、C落在反比例函数的图象上，‎ 设矩形平移后A的坐标是（2，6﹣x），C的坐标是（6，4﹣x），‎ ‎∵A、C落在反比例函数的图象上，‎ ‎∴k=2（6﹣x）=6（4﹣x），‎ x=3，‎ 即矩形平移后A的坐标是（2，3），‎ 代入反比例函数的解析式得：k=2×3=6，‎ 即A、C落在反比例函数的图象上，矩形的平移距离是3，反比例函数的解析式是y=．‎ ‎【点评】本题考查了矩形性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质的应用，主要考查学生的计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2013•南昌）生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500ml的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A、全部喝完；B、喝剩约；C、喝剩约一半；D开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）参加这次会议的有多少人？在图（2）中D所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；‎ ‎（2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升？（计算结果请保留整数）‎ ‎（3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60次，每次会议人数约在40至60人之间，请用（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有多少瓶？（可使用科学记算器）‎ ‎【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图中B所代表的数据求出总人数，即可得出C代表的人数；‎ ‎（2）根据（1）中所求，得出浪费掉的总量进而得出平均数；‎ ‎（3）根据每次会议人数约在40至60人之间可以为50人，利用（2）中所求，进而求出总数．‎ ‎【解答】解：（1）参加这次会议的人数：25÷50%=50（人），‎ D所在扇形的圆心角：360°×=36°，‎ C的人数：50﹣25﹣10﹣5=10（人），如图所示：‎ 答：参加这次会议的有50人；D所在扇形的圆心角是36°；‎ ‎（2）（500××25+500××10+500×5）÷50≈183（毫升）；‎ 答：平均每人浪费的矿泉水约183毫升；‎ ‎（3）183×60×÷500≈1098（瓶），‎ 答：浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有1098瓶．‎ ‎【点评】此题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．‎ ‎　‎ 六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎21．（9分）（2013•南昌）如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．‎ ‎（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）‎ ‎（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）（参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科学记算器）‎ ‎【分析】（1）根据平行线的性质得出雨刮杆AB旋转的最大角度，再利用锐角三角函数关系和勾股定理求出EO，AE，BO的长即可；‎ ‎（2）根据雨刮杆AB扫过的最大面积即为以BO为半径的半圆，进而得出答案即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：A点转到C点，B点转到D点，启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，‎ 故雨刮杆AB旋转的最大角度为：180°，‎ 过点O作OE⊥BA，交BA延长线于点E，连接BO，‎ ‎∵∠OAB=120°，‎ ‎∴∠OAE=60°，‎ ‎∴∠EOA=30°，‎ ‎∵OA长为10cm，‎ ‎∴EA=OA=5（cm），‎ ‎∴EO==5（cm），‎ ‎∵AB长为48cm，‎ ‎∴EB=48+5=53（cm），‎ ‎∴BO===2≈53.70（cm）；‎ 答：雨刮杆AB旋转的最大角度为180°，O、B两点之间的距离约为53.70cm；‎ ‎（2）∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称，‎ ‎∴△BAO≌△DCO，∴S△BAO=S△DCO，‎ ‎∴雨刮杆AB扫过的最大面积S=π（OB2﹣OA2）=1392π（cm2）．‎ 答：雨刮杆AB扫过的最大面积为1392πcm2．‎ ‎【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理和扇形面积求法、勾股定理等知识，利用平行线的性质得出旋转的最大角是解题关键．‎ ‎　‎ ‎22．（9分）（2013•江西）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．‎ ‎（1）证明PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）求点B的坐标；‎ ‎（3）求直线AB的解析式．‎ ‎【分析】（1）OB=OA=2，推出AP∥x轴，推出AP⊥OA，根据切线的判定推出即可；‎ ‎（2）根据切线长定理求出PA=PB=4，根据勾股定理得出x2+y2=22，42=（x﹣4）2+（y﹣2）2，求出x=0，y=2（舍去）或x=，y=﹣，即可得出B的坐标；‎ ‎（3）求出A（0，2），设直线AB的解析式是y=kx+2，把B的坐标代入求出k即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交点A，‎ ‎∴OA=2，‎ ‎∵P（4，2），‎ ‎∴AP∥x轴，‎ ‎∵y轴⊥x轴，‎ ‎∴AP⊥OA，‎ ‎∵OA为半径，‎ ‎∴PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：设B（x，y），‎ ‎∵OB=2，‎ ‎∴x2+y2=22，①‎ ‎∵P（4，2），PA和PB都是⊙O切线，‎ ‎∴PA=PB=4，‎ ‎∴42=（x﹣4）2+（y﹣2）2②，‎ 解由①②组成的方程组得：x=0，y=2（舍去）或x=，y=﹣，‎ ‎∴B的坐标是（，﹣）；‎ ‎（3）解：∵OA=2，‎ ‎∴A（0，2），‎ ‎∴设直线AB的解析式是y=kx+2，‎ 把B的坐标代入得：﹣=k+2，‎ k=﹣2，‎ 即直线AB的解析式是y=﹣2x+2．‎ ‎【点评】本题考查了切线长定理，切线的性质和判定，勾股定理，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力．‎ ‎　‎ 七、（本大题共2小题，第23题10分，第24题12分，共22分）‎ ‎23．（10分）（2013•江西）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：‎ ‎●操作发现：‎ 在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是　①②③④　（填序号即可）‎ ‎①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．‎ ‎●数学思考：‎ 在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；‎ ‎●类比探究：‎ 在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：　等腰直角三角形　．‎ ‎【分析】操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；‎ 数学思考：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论；‎ 类比探究：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论；‎ ‎【解答】解：●操作发现：‎ ‎∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°‎ 在△ADB和△AEC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADB≌△AEC（AAS），‎ ‎∴BD=CE，AD=AE，‎ ‎∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，‎ ‎∴AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=AC．‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AF=AG=AB，故①正确；‎ ‎∵M是BC的中点，‎ ‎∴BM=CM．‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB，‎ ‎∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，‎ 即∠DBM=∠ECM．‎ 在△DBM和△ECM中，‎ ‎∴△DBM≌△ECM（SAS），‎ ‎∴MD=ME．故②正确；‎ 连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，‎ ‎∴整个图形是轴对称图形，故③正确．‎ ‎∵AB=AC，BM=CM，‎ ‎∴AM⊥BC，‎ ‎∴∠AMB=∠AMC=90°，‎ ‎∵∠ADB=90°，‎ ‎∴四边形ADBM四点共圆，‎ ‎∴∠ADM=∠ABM，‎ ‎∵∠AHD=∠BHM，‎ ‎∴∠DAB=∠DMB，故④正确，‎ 故答案为：①②③④‎ ‎●数学思考：‎ MD=ME，MD⊥ME．‎ 理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，‎ ‎∴AF=AB，AG=AC．‎ ‎∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，‎ ‎∴DF⊥AB，DF=AB，EG⊥AC，EG=AC，‎ ‎∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．‎ ‎∵M是BC的中点，‎ ‎∴MF∥AC，MG∥AB，‎ ‎∴四边形AFMG是平行四边形，‎ ‎∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．‎ ‎∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，‎ ‎∴∠DFM=∠MGE．‎ 在△DFM和△MGE中，‎ ‎，‎ ‎∴△DFM≌△MGE（SAS），‎ ‎∴DM=ME，∠FDM=∠GME．‎ ‎∵MG∥AB，‎ ‎∴∠GMH=∠BHM．‎ ‎∵∠BHM=90°+∠FDM，‎ ‎∴∠BHM=90°+∠GME，‎ ‎∵∠BHM=∠DME+∠GME，‎ ‎∴∠DME+∠GME=90°+∠GME，‎ 即∠DME=90°，‎ ‎∴MD⊥ME．‎ ‎∴DM=ME，MD⊥ME；‎ ‎●类比探究：‎ ‎∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，‎ ‎∴MF∥AC，MF=AC，MG∥AB，MG=AB，‎ ‎∴四边形MFAG是平行四边形，‎ ‎∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM ‎∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，‎ ‎∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°‎ ‎∴MF=EG，DF=MG，∠AFM﹣∠AFD=∠AGM﹣∠AGE，‎ 即∠DFM=∠MGE．‎ 在△DFM和△MGE中，‎ ‎，‎ ‎∴△DFM≌△MGE（SAS），‎ ‎∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．‎ ‎∵MG∥AB，‎ ‎∴∠MHD=∠BFD=90°，‎ ‎∴∠HMD+∠MDF=90°，‎ ‎∴∠HMD+∠EMG=90°，‎ 即∠DME=90°，‎ ‎∴△DME为等腰直角三角形．‎ ‎【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2013•南昌）已知抛物线yn=﹣（x﹣an）2+an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An﹣1（bn﹣1，0）和An（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．‎ ‎（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；‎ ‎（2）抛物线y3的顶点坐标为（　9　，　9　）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（　n2　，　n2　）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是　y=x　；‎ ‎（3）探究下列结论：‎ ‎①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An﹣1An；‎ ‎②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）因为点A0（0，0）在抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1上，可求得a1=1，则y1=﹣（x﹣1）2+1；令y1=0，求得A1（2，0），b1=2；再由点A1（2，0）在抛物线y2=﹣（x﹣a2）2+a2上，求得a2=4，y2=﹣（x﹣4）2+4．‎ ‎（2）求得y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．‎ ‎（3）①由A0（0，0），A1（2，0），求得A0A1=2；yn=﹣（x﹣n2）2+n2，令yn=0，求得An﹣1（n2﹣n，0），An（n2+n，0），所以An﹣1An=（n2+n）﹣（n2﹣n）=2n；‎ ‎②设直线解析式为：y=kx﹣2k，设直线y=kx﹣2k与抛物线yn=﹣（x﹣n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，联立两式得一元二次方程，得到x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k．然后作辅助线，构造直角三角形，求出EF2的表述式为：EF2=（k2+1）[4n2•（1﹣k）+k2+8k]，可见当k=1时，EF2=18为定值．所以满足条件的直线为：y=x﹣2．‎ ‎【解答】解：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0），‎ ‎∴0=﹣（0﹣a1）2+a1，‎ 解得a1=1或a1=0．‎ 由已知a1＞0，‎ ‎∴a1=1，‎ ‎∴y1=﹣（x﹣1）2+1．‎ 令y1=0，即﹣（x﹣1）2+1=0，‎ 解得x=0或x=2，‎ ‎∴A1（2，0），b1=2．‎ 由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=﹣（x﹣a2）2+a2经过点A1（2，0），‎ ‎∴0=﹣（2﹣a2）2+a2，‎ 解得a2=1或a2=4，‎ ‎∵a1=1，且已知a2＞a1，‎ ‎∴a2=4，‎ ‎∴y2=﹣（x﹣4）2+4．‎ ‎∴a1=1，b1=2，y2=﹣（x﹣4）2+4．‎ ‎（2）抛物线y2=﹣（x﹣4）2+4，令y2=0，即﹣（x﹣4）2+4=0，‎ 解得x=2或x=6．‎ ‎∵A1（2，0），‎ ‎∴A2（6，0）．‎ 由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=﹣（x﹣a3）2+a3经过点A2（6，0），‎ ‎∴0=﹣（6﹣a3）2+a3，‎ 解得a3=4或a3=9．‎ ‎∵a2=4，且已知a3＞a2，‎ ‎∴a3=9，‎ ‎∴y3=﹣（x﹣9）2+9．‎ ‎∴y3的顶点坐标为（9，9）．‎ 由y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），‎ 依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．‎ ‎∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，‎ ‎∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．‎ ‎（3）①∵A0（0，0），A1（2，0），‎ ‎∴A0A1=2．‎ yn=﹣（x﹣n2）2+n2，令yn=0，即﹣（x﹣n2）2+n2=0，‎ 解得x=n2+n或x=n2﹣n，‎ ‎∴An﹣1（n2﹣n，0），An（n2+n，0），‎ 即An﹣1An=（n2+n）﹣（n2﹣n）=2n．‎ ‎②存在．‎ 设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，‎ 得b=﹣2k，‎ ‎∴y=kx﹣2k．‎ 设直线y=kx﹣2k与抛物线yn=﹣（x﹣n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，‎ 联立两式得：kx﹣2k=﹣（x﹣n2）2+n2，‎ 整理得：x2+（k﹣2n2）x+n4﹣n2﹣2k=0，‎ ‎∴x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k．‎ 过点F作FG⊥x轴，过点E作EG⊥FG于点G，‎ 则EG=x2﹣x1，‎ FG=y2﹣y1‎ ‎=[﹣（x2﹣n2）2+n2]﹣[﹣（x1﹣n2）2+n2]‎ ‎=（x1+x2﹣2n2）（x1﹣x2）‎ ‎=k（x2﹣x1）．‎ 在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，‎ 即：EF2=（x2﹣x1）2+[k（x2﹣x1）]2‎ ‎=（k2+1）（x2﹣x1）2‎ ‎=（k2+1）[（x1+x2）2﹣4x1•x2]，‎ 将x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k代入，‎ 整理得：EF2=（k2+1）[4n2•（1﹣k）+k2+8k]，‎ 当k=1时，EF2=（1+1）（1+8）=18，‎ ‎∴EF=3为定值，‎ ‎∴k=1满足条件，此时直线解析式为y=x﹣2．‎ ‎∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数综合题型，考查了二次函数图象上点的坐标特征、顶点坐标、抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法、一次函数、解一元二次方程、根与系数关系、勾股定理等知识点．本题涉及考点众多，计算量比较大，有一点的难度．难点在于第（3）②问，需要灵活运用一元二次方程根与系数关系进行化简与计算．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sd2011；gbl210；HLing；星期八；yu123；ZJX；wd1899；dbz1018；zjx111；hdq123；未来（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2016年8月20日