2020年湖北省荆州市中考数学试卷(含解析）

2020年湖北省荆州市中考数学试卷(含解析）

‎2020年湖北省荆州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2020•荆州）有理数﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B．‎1‎‎2‎ C．﹣2 D．‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎2．（3分）（2020•荆州）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）（2020•荆州）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．（3分）（2020•荆州）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（　　）‎ A．45° B．55° C．65° D．75°‎ ‎5．（3分）（2020•荆州）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（　　）‎ 第27页（共27页）‎ A．‎10‎‎2x‎-‎10‎x=‎20 B．‎10‎x‎-‎10‎‎2x=‎20 ‎ C．‎10‎x‎-‎10‎‎2x=‎‎1‎‎3‎ D．‎‎10‎‎2x‎-‎10‎x=‎‎1‎‎3‎ ‎6．（3分）（2020•荆州）若x为实数，在“（‎3‎‎+‎1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　）‎ A．‎3‎‎+‎1 B．‎3‎‎-‎1 C．2‎3‎ D．1‎‎-‎‎3‎ ‎7．（3分）（2020•荆州）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（　　）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎8．（3分）（2020•荆州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（　　）‎ A．（‎3‎，‎3‎） B．（‎3‎，1） C．（2，1） D．（2，‎3‎）‎ ‎9．（3分）（2020•荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）‎ A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 ‎ C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 ‎10．（3分）（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（　　）‎ 第27页（共27页）‎ A．‎5‎‎5‎ B．‎2‎‎5‎‎5‎ C．‎1‎‎2‎ D．‎‎3‎‎2‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）（2020•荆州）若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（‎1‎‎2‎）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为　 　．（用“＜”号连接）‎ ‎12．（3分）（2020•荆州）若单项式2xmy3与3xym+n是同类项，则‎2m+n的值为　 　．‎ ‎13．（3分）（2020•荆州）已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：　 　．（只需写一条）‎ ‎14．（3分）（2020•荆州）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是　 　．‎ ‎15．（3分）（2020•荆州）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若 第27页（共27页）‎ tan∠ABC‎=‎‎3‎‎4‎，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了　 　km．‎ ‎16．（3分）（2020•荆州）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为　 　．‎ 三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）‎ ‎17．（8分）（2020•荆州）先化简，再求值：（1‎-‎‎1‎a）‎÷‎a‎2‎‎-1‎a‎2‎‎+2a+1‎，其中a是不等式组a-2≥2-a①‎‎2a-1＜a+3②‎的最小整数解．‎ ‎18．（8分）（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．‎ ‎【问题】解方程：x2+2x+4x‎2‎‎+2x‎-‎5＝0．‎ ‎【提示】可以用“换元法”解方程．‎ 解：设x‎2‎‎+2x‎=‎t（t≥0），则有x2+2x＝t2‎ 原方程可化为：t2+4t﹣5＝0‎ ‎【续解】‎ ‎19．（8分）（2020•荆州）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．‎ ‎（1）求证：BC∥AD；‎ ‎（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．‎ 第27页（共27页）‎ ‎20．（8分）（2020•荆州）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．‎ 整理数据：‎ 分数 人数 年级 ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ 七年级 ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 八年级 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ a ‎1‎ 分析数据：‎ 平均数 中位数 众数 方差 七年级 ‎89‎ b ‎90‎ ‎39‎ 八年级 c ‎90‎ d ‎30‎ 根据以上信息回答下列问题：‎ ‎（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；‎ ‎（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；‎ ‎（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？‎ ‎21．（8分）（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y‎=‎‎2‎‎|x|‎的图象与性质共探究过程如下：‎ ‎（1）绘制函数图象，如图1．‎ 第27页（共27页）‎ 列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　 　；‎ x ‎…‎ ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎-‎‎1‎‎2‎‎ ‎ ‎1‎‎2‎‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎2‎‎3‎‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ m ‎2‎‎3‎‎ ‎ ‎…‎ 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；‎ 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；‎ ‎（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；‎ ‎①　 　；‎ ‎②　 　；‎ ‎（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y‎=‎‎2‎‎|x|‎的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝　 　；‎ ‎②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝　 　；‎ ‎③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y‎=‎k‎|x|‎（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝　 　．‎ ‎22．（10分）（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，‎ ‎（1）求证：△EGC∽△GFH；‎ ‎（2）求AD的长；‎ ‎（3）求tan∠GFH的值．‎ 第27页（共27页）‎ ‎23．（10分）（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．‎ 目的地 生产厂 A B 甲 ‎20‎ ‎25‎ 乙 ‎15‎ ‎24‎ ‎（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？‎ ‎（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；‎ ‎（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．‎ ‎24．（12分）（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．‎ ‎（1）求证：BC是半圆O的切线；‎ ‎（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；‎ ‎（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．‎ ‎①求此抛物线的解析式；‎ ‎②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．‎ 第27页（共27页）‎ 第27页（共27页）‎ ‎2020年湖北省荆州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2020•荆州）有理数﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B．‎1‎‎2‎ C．﹣2 D．‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎【解答】解：有理数﹣2的相反数是：2．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）（2020•荆州）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．‎ 故选：A．‎ ‎3．（3分）（2020•荆州）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：一次函数y＝x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝﹣1，‎ ‎∴一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），‎ ‎∴一次函数y＝x+1的图象经过一二三象限，‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）（2020•荆州）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB 第27页（共27页）‎ 的度数是（　　）‎ A．45° B．55° C．65° D．75°‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，‎ ‎∴ED∥FA，∠EBC＝∠CBA，‎ ‎∴∠EBC＝∠ACB，∠CAB＝∠DBA＝30°，‎ ‎∵∠EBC+∠CBA+∠ABD＝180°，‎ ‎∴∠ACB+∠ACB+30°＝180°，‎ ‎∴∠ACB＝75°，‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）（2020•荆州）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（　　）‎ A．‎10‎‎2x‎-‎10‎x=‎20 B．‎10‎x‎-‎10‎‎2x=‎20 ‎ C．‎10‎x‎-‎10‎‎2x=‎‎1‎‎3‎ D．‎‎10‎‎2x‎-‎10‎x=‎‎1‎‎3‎ ‎【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，‎ 依题意，得：‎10‎x‎-‎10‎‎2x=‎‎1‎‎3‎．‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）（2020•荆州）若x为实数，在“（‎3‎‎+‎1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　）‎ A．‎3‎‎+‎1 B．‎3‎‎-‎1 C．2‎3‎ D．1‎‎-‎‎3‎ 第27页（共27页）‎ ‎【解答】解：A．（‎3‎‎+‎1）﹣（‎3‎‎+‎1）＝0，故本选项不合题意；‎ B．（‎3‎‎+‎1）‎(‎3‎-1)=‎2，故本选项不合题意；‎ C．（‎3‎‎+‎1）与‎2‎‎3‎无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；‎ D．（‎3‎‎+‎1）（1‎-‎‎3‎）＝﹣2，故本选项不合题意．‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）（2020•荆州）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（　　）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎【解答】解：∵四边形BCD是菱形，‎ ‎∴BC＝CD，AB∥CD，‎ ‎∴∠B＝∠DCF，‎ ‎①∵添加BE＝CF，‎ ‎∴△BCE≌△CDF（SAS），‎ ‎②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，‎ ‎∴∠CEB＝∠F＝90°，‎ ‎∴△BCE≌△CDF（AAS），‎ ‎③∵添加CE＝DF，‎ 不能确定△BCE≌△CDF；‎ ‎④∵添加∠BCE＝∠CDF，‎ ‎∴△BCE≌△CDF（ASA），‎ 故选：C．‎ ‎8．（3分）（2020•荆州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（　　）‎ 第27页（共27页）‎ A．（‎3‎，‎3‎） B．（‎3‎，1） C．（2，1） D．（2，‎3‎）‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．‎ ‎∴∠AOD＝30°，‎ ‎∴AD‎=‎‎1‎‎2‎OA，‎ ‎∵C为OA的中点，‎ ‎∴AD＝AC＝OC＝BC＝1，‎ ‎∴OA＝2，‎ ‎∴OD‎=‎‎3‎，‎ 则点A的坐标为：（‎3‎，1）．‎ 故选：B．‎ ‎9．（3分）（2020•荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）‎ A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 ‎ C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 ‎【解答】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，‎ ‎∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，‎ 整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，‎ ‎∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）‎ 第27页（共27页）‎ ‎＝4k2+5＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根．‎ 故选：C．‎ ‎10．（3分）（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（　　）‎ A．‎5‎‎5‎ B．‎2‎‎5‎‎5‎ C．‎1‎‎2‎ D．‎‎3‎‎2‎ ‎【解答】解：如图，作直径BD，连接CD，‎ 由勾股定理得，BD‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎2‎5‎，‎ 在Rt△BDC中，cos∠BDC‎=CDBD=‎4‎‎2‎‎5‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎，‎ 由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，‎ ‎∴cos∠BAC＝cos∠BDC‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎，‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）（2020•荆州）若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（‎1‎‎2‎）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为　b＜a＜c　．（用“＜”号连接）‎ ‎【解答】解：∵a＝（π﹣2020）0＝1，b＝﹣（‎1‎‎2‎）﹣1＝﹣2，c＝|﹣3|＝3，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴b＜a＜c．‎ 故答案为：b＜a＜c．‎ ‎12．（3分）（2020•荆州）若单项式2xmy3与3xym+n是同类项，则‎2m+n的值为　2　．‎ ‎【解答】解：根据题意得：m＝1，m+n＝3，‎ 解得n＝2，‎ 所以2m+n＝2+2＝4，‎ ‎2m+n‎=‎4‎=‎‎2．‎ 故答案是：2．‎ ‎13．（3分）（2020•荆州）已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：　线段的垂直平分线的性质　．（只需写一条）‎ ‎【解答】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，‎ ‎∴OA＝OC＝OB，‎ ‎∴⊙O为△ABC的外接圆．‎ 故答案为：线段的垂直平分线的性质．‎ ‎14．（3分）（2020•荆州）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是　‎2‎‎3‎　．‎ ‎【解答】解：画树状图如图：‎ 第27页（共27页）‎ 共有3个可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，‎ ‎∴最后一只摘到B的概率为‎2‎‎3‎；‎ 故答案为：‎2‎‎3‎．‎ ‎15．（3分）（2020•荆州）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC‎=‎‎3‎‎4‎，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了　24　km．‎ ‎【解答】解：过D点作DF⊥BC，‎ 设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF‎=‎‎4‎‎3‎xkm，‎ 在Rt△BFD中，BD‎=BF‎2‎+DF‎2‎=‎‎5‎‎3‎xkm，‎ ‎∵D地在AB正中位置，‎ ‎∴AB＝2BD‎=‎‎10‎‎3‎xkm，‎ ‎∵tan∠ABC‎=‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴cos∠ABC‎=‎‎4‎‎5‎，‎ ‎∴x+‎4‎‎3‎x+1‎‎10‎‎3‎x‎=‎‎4‎‎5‎，‎ 解得x＝3，‎ 第27页（共27页）‎ 则BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，‎ 小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6＝24（km）．‎ 故答案为：24．‎ ‎16．（3分）（2020•荆州）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为　（1，0）、（2，0）或（0，2）　．‎ ‎【解答】解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，‎ ‎△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，‎ ‎∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，‎ 由求根公式可得x‎=‎m+2±‎‎(-m-2)‎‎2‎‎-8m‎2m x‎=‎m+2±|m-2|‎‎2m x1‎=m+2+(m-2)‎‎2m=‎1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；‎ x2‎=m+2+2-m‎2m=‎‎4‎‎2m，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1；‎ x3‎=m+2-m+2‎‎2m=‎‎4‎‎2m，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1；‎ x4‎=m+2-2+m‎2m=‎1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；‎ 所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；‎ 令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．‎ 综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；‎ 故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．‎ 三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）‎ 第27页（共27页）‎ ‎17．（8分）（2020•荆州）先化简，再求值：（1‎-‎‎1‎a）‎÷‎a‎2‎‎-1‎a‎2‎‎+2a+1‎，其中a是不等式组a-2≥2-a①‎‎2a-1＜a+3②‎的最小整数解．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎a-1‎a•‎‎(a+1‎‎)‎‎2‎‎(a+1)(a-1)‎ ‎=‎a+1‎a‎．‎ 解不等式组a-2≥2-a①‎‎2a-1＜a+3②‎中的①，得a≥2．‎ 解不等式②，得a＜4．‎ 则2≤a＜4．‎ 所以a的最小整数值是2，‎ 所以，原式‎=‎2+1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎．‎ ‎18．（8分）（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．‎ ‎【问题】解方程：x2+2x+4x‎2‎‎+2x‎-‎5＝0．‎ ‎【提示】可以用“换元法”解方程．‎ 解：设x‎2‎‎+2x‎=‎t（t≥0），则有x2+2x＝t2‎ 原方程可化为：t2+4t﹣5＝0‎ ‎【续解】‎ ‎【解答】解：（t+5）（t﹣1）＝0，‎ t+5＝0或t﹣1＝0，‎ ‎∴t1＝﹣5，t2＝1，‎ 当t＝﹣5时，x‎2‎‎+2x‎=-‎5，此方程无解；‎ 当t＝1时，x‎2‎‎+2x‎=‎1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1‎+‎‎2‎，x2＝﹣1‎-‎‎2‎；‎ 经检验，原方程的解为x1＝﹣1‎+‎‎2‎，x2＝﹣1‎-‎‎2‎．‎ ‎19．（8分）（2020•荆州）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．‎ ‎（1）求证：BC∥AD；‎ ‎（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．‎ 第27页（共27页）‎ ‎【解答】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE＝60°，‎ ‎∴AB＝DB，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴∠DAB＝60°，‎ ‎∴∠CBE＝∠DAB，‎ ‎∴BC∥AD．‎ ‎（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，‎ ‎∴A，C两点旋转所经过的路径长之和‎=‎60⋅π⋅4‎‎180‎+‎60⋅π⋅1‎‎180‎=‎‎5π‎3‎．‎ ‎20．（8分）（2020•荆州）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．‎ 整理数据：‎ 分数 人数 年级 ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ 七年级 ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 八年级 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ a ‎1‎ 分析数据：‎ 平均数 中位数 众数 方差 七年级 ‎89‎ b ‎90‎ ‎39‎ 第27页（共27页）‎ 八年级 c ‎90‎ d ‎30‎ 根据以上信息回答下列问题：‎ ‎（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；‎ ‎（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；‎ ‎（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？‎ ‎【解答】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a＝2；‎ 七年级的中位数为‎90+90‎‎2‎‎=90‎，故b＝90；‎ 八年级的平均数为：‎1‎‎12‎[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]＝90，故c＝90；‎ 八年级中90分的最多，故d＝90；‎ ‎（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；‎ ‎（3）∵600‎×‎13‎‎20‎=‎390（人），‎ ‎∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．‎ ‎21．（8分）（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y‎=‎‎2‎‎|x|‎的图象与性质共探究过程如下：‎ ‎（1）绘制函数图象，如图1．‎ 列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　1　；‎ x ‎…‎ ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎-‎‎1‎‎2‎‎ ‎ ‎1‎‎2‎‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎2‎‎3‎‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ m ‎2‎‎3‎‎ ‎ ‎…‎ 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；‎ 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；‎ ‎（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；‎ ‎①　函数的图象关于y轴对称　；‎ ‎②　当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小　；‎ 第27页（共27页）‎ ‎（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y‎=‎‎2‎‎|x|‎的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝　4　；‎ ‎②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝　4　；‎ ‎③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y‎=‎k‎|x|‎（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝　2k　．‎ ‎【解答】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，‎ ‎∴m＝1，‎ 故答案为：1；补全图象如图所示：‎ ‎（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；‎ ‎（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4‎×‎‎1‎‎2‎|k|＝2|k|＝4，‎ ‎②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，‎ ‎③S四边形OABC＝2|k|＝2k，‎ 故答案为：4，4，2k．‎ 第27页（共27页）‎ ‎22．（10分）（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，‎ ‎（1）求证：△EGC∽△GFH；‎ ‎（2）求AD的长；‎ ‎（3）求tan∠GFH的值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，‎ 由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，‎ ‎∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，‎ ‎∴∠EGC＝∠GFH，‎ ‎∴△EGC∽△GFH．‎ 第27页（共27页）‎ ‎（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，‎ ‎∴GH：AH＝2：3，‎ ‎∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，‎ ‎∴AG＝AB＝GH+AH＝20，‎ ‎∴GH＝8，AH＝12，‎ ‎∴AD＝AH＝12．‎ ‎（3）解：在Rt△ADG中，DG‎=AG‎2‎-AD‎2‎=‎2‎0‎‎2‎-1‎‎2‎‎2‎=‎16，‎ 由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，‎ ‎∵GH2+HF2＝GF2，‎ ‎∴82+x2＝（16﹣x）2，‎ 解得：x＝6，‎ ‎∴HF＝6，‎ 在Rt△GFH中，tan∠GFH‎=GHHF=‎8‎‎6‎=‎‎4‎‎3‎．‎ ‎23．（10分）（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．‎ 目的地 生产厂 A B 甲 ‎20‎ ‎25‎ 乙 ‎15‎ ‎24‎ ‎（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？‎ ‎（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；‎ ‎（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：‎ a+b=500‎‎2a-b=100‎‎，解得a=200‎b=300‎，‎ 即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；‎ 第27页（共27页）‎ ‎（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000，‎ ‎∵x≥0‎‎240-x≥0‎‎300-x≥0‎x-40≥0‎，解得：40≤x≤240，‎ 又∵﹣4＜0，‎ ‎∴y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x＝240时，可以使总运费最少，‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；‎ ‎（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，‎ 当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，‎ ‎∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，‎ 而0＜m≤15且m为整数，‎ ‎∴m的最小值为10．‎ ‎24．（12分）（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．‎ ‎（1）求证：BC是半圆O的切线；‎ ‎（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；‎ ‎（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．‎ ‎①求此抛物线的解析式；‎ ‎②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．‎ 第27页（共27页）‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，设AB与y轴交于M，‎ ‎∵A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），‎ ‎∴AB∥x轴，且AM＝2，OM＝1，AB＝5，‎ ‎∴OA＝OC‎=‎‎5‎，‎ ‎∵DE∥BC，O是AC的中点，‎ ‎∴OE是△ABC的中位线，‎ ‎∴AE‎=‎‎1‎‎2‎AB，BC＝2OE，‎ ‎∴E（‎1‎‎2‎，﹣1），‎ ‎∴EM‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴OE‎=OM‎2‎+ME‎2‎=‎1‎‎2‎‎+(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴BC＝2OE‎=‎‎5‎，‎ 在△ABC中，∵AC‎2‎+BC‎2‎=(2‎5‎‎)‎‎2‎+(‎5‎‎)‎‎2‎=‎25，AB2＝52＝25，‎ ‎∴AC2+BC2＝AB2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，‎ ‎∴BC⊥AC，‎ ‎∵AC为半圆O的直径，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴BC是半圆O的切线；‎ ‎（2）解：四边形OBCD是平行四边形，理由是：‎ 如图1，由（1）得：BC＝OD＝OA‎=‎‎5‎，‎ ‎∵OD∥BC，‎ ‎∴四边形OBCD是平行四边形；‎ ‎（3）解：①如图2，由（1）知：OD＝OA‎=‎‎5‎，E是AB的中点，且E（‎1‎‎2‎，﹣1），OE‎=‎‎5‎‎2‎，‎ 过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，‎ ‎∴△ODN∽△OEM，‎ ‎∴ONOM‎=DNEM=‎ODOE，即ON‎1‎‎=DN‎1‎‎2‎=‎‎5‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴ON＝2，DN＝1，‎ ‎∴N（﹣1，2），‎ 设此抛物线的解析式为：y＝a（x‎-‎‎1‎‎2‎）2﹣1，‎ 把N（﹣1，2）代入得：2＝a（﹣1‎-‎‎1‎‎2‎）2﹣1，‎ 解得：a‎=‎‎4‎‎3‎，‎ ‎∴此抛物线的解析式为：y‎=‎‎4‎‎3‎（x‎-‎‎1‎‎2‎）2﹣1，即y‎=‎4‎‎3‎x‎2‎-‎4‎‎3‎x-‎‎2‎‎3‎；‎ ‎②存在，‎ 过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∵DG＝1‎+‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎，EG＝2+1＝3，‎ ‎∴DE‎=DG‎2‎+EG‎2‎=‎(‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎5‎‎2‎，‎ tan∠DEG‎=DGEG=‎3‎‎2‎‎3‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∵tan∠OAM‎=OMAM=‎‎1‎‎2‎，且∠DEG和∠OAM都是锐角，‎ ‎∴∠DEG＝∠OAM，‎ 如图3，当△EPD∽△AOB时，EPAO‎=‎DEAB，即EP‎5‎‎=‎‎3‎‎5‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴EP‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∵S△AOB‎=‎1‎‎2‎AB⋅OM=‎1‎‎2‎×5×1=‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∵S△EPQ＝S△OAB，‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎⋅EP⋅|x-‎1‎‎2‎|=‎‎5‎‎2‎，‎ 即‎1‎‎2‎‎×‎3‎‎2‎×|x-‎1‎‎2‎|=‎‎5‎‎2‎，‎ 解得：x‎=‎‎23‎‎6‎或‎-‎‎17‎‎6‎；‎ 如图4，当△OAB∽△DEP时，ABEP‎=‎OADE，即‎5‎EP‎=‎‎5‎‎3‎‎5‎‎2‎，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴EP‎=‎‎15‎‎2‎，‎ 同理得：‎1‎‎2‎‎⋅‎15‎‎2‎⋅|x-‎1‎‎2‎|=‎‎5‎‎2‎，‎ 解得：x‎=‎‎7‎‎6‎或‎-‎‎1‎‎6‎；‎ 综上，存在符合条件的点Q，Q点的横坐标为‎23‎‎6‎或‎-‎‎17‎‎6‎或‎7‎‎6‎或‎-‎‎1‎‎6‎．‎ 第27页（共27页）‎