上海市中考数学模拟试题压轴题分析宝山

上海市中考数学模拟试题压轴题分析宝山

例 2011年上海市宝山区中考模拟第24题 如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA＝OB． ‎ ‎（1）求b＋c的值；‎ ‎（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11宝山24”，拖动点B在y轴正半轴上运动，观察b随c变化的跟踪图像，可以体验到，b＋c等于定值1；在运动过程中，△AOB保持等腰直角三角形，四边形OABC保持平行四边形．双击按钮“点C落在抛物线上”，可以看到，此时点B与点C关于抛物线的对称轴对称，△BPM是等腰直角三角形．‎ 请打开超级画板文件名“11宝山‎24”‎，‎ 思路点拨 ‎1．数形结合，由抛物线的解析式写出点B的坐标，根据OA＝OB写出点A的坐标，将点A的坐标代入抛物线的解析式，就可以得到b＋c等于定值1．‎ ‎2．由于△AOB保持等腰直角三角形，当四边形OABC是平行四边形时，点C的坐标可以表示为（c，c）．‎ ‎3．第（3）题中，构造等腰直角三角形BPM，根据BM＝PM列方程．‎ 满分解答 ‎（1）因为抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴正半轴交于点B，‎ 所以点B的坐标为（0，c）．‎ 因为OA＝OB，所以点A的坐标为（－c，0）．‎ 将点A（－c，0）代入y＝－x2＋bx＋c，得－c2＋bc＋c＝0．‎ 因为c≠0，整理，得b＋c＝1．‎ ‎（2）如果四边形OABC是平行四边形，那么BC//AO，BC＝AO．‎ 因此点C的坐标可以表示为（c，c）．‎ 当点C（c，c）落在抛物线y＝－x2＋bx＋c上时，得－c2＋bc＋c＝c．‎ 整理，得b＝c．‎ 结合第（1）题的结论b＋c＝1，得．‎ 此时抛物线的解析式为．‎ ‎（3）过点P作PM⊥y轴，垂足为M．‎ 因为BP平分∠CBO，所以△BPM是等腰直角三角形．‎ 设点P的坐标为，‎ 由BM＝PM，列方程．‎ 解得或（舍去）．‎ 所以，点P的坐标为．‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ 考点伸展 在（2）的条件下，如果点Q是抛物线上的动点，以A、B、C、Q为顶点的四边形是梯形，求点Q的坐标．‎ ‎ ‎ 图4 图5 图6‎ 由，知，，．‎ 如图4，当AQ//BC时，根据对称性，易知点Q的坐标为（1，0）；‎ 如图5，当CQ//AB时，设Q（x，x），解方程，得Q（－1，－1）；‎ 如图6，是否存在BQ//AC的情况呢？方程组的解为几何意义就是点B与点Q重合．‎