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文档介绍
中考数学几何最值问题解法专题复习
2013年中考数学几何最值问题解法专题复习 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】 A． B． C．5 D． 【答案】A。 【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。 DE=， ∴OD的最大值为：。故选A。 例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ▲ 。 【答案】4。 【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。 ∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。 在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM， ∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。 又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。 ∵BC=，∠ABC=45°，∴CE的最小值为sin450=4。 ∴CM+MN的最小值是4。 例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为，高为，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为 ▲ 。 【答案】。 【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。 【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面圆周长、高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为，高为，根据勾股定理，得斜线长为，根据平行四边形的性质，棉线最短为。 例4. （2012四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 ▲ ． 【答案】1＜AD＜4。 【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。 【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解： 延长AD至E，使DE=AD，连接CE。 ∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。 ∴CE=AB。 在△ACE中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，即2＜2AD＜8。 ∴1＜AD＜4。 练习题： 1. （2011湖北荆门3分）如图，长方体的底面边长分别为2和4，高为5.若一只蚂蚁从P点开 始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2.（2011四川广安3分）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【 】 A、㎝ B、5cm C、㎝ D、7cm 3.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是 _ ▲ ． 二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例1. （2012山东莱芜4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ▲ ． 【答案】。 【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。 【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。 设AP′=x，则由AB＝AC＝5得CP′=5－x， 又∵BC＝6，∴在Rt△AB P′和Rt△CBP′中应用勾股定理，得 。 ∴，即，解得。 ∴，即BP的最小值是。 例2.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】 A． 1 B． C． 2 D．＋1 【答案】B。 【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】分两步分析： （1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。 ∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。 （2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。 因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。 过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。 又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。 综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。 例3.（2012江苏连云港12分）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3， 问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？ 问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由． 问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由． 问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由． 【答案】解：问题1：对角线PQ与DC不可能相等。理由如下： ∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形， ∴∠DPC＝90°。 ∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，∴DC＝2。 设PB＝x，则AP＝2－x， 在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋12＝8，化简得x2－2x＋3＝0， ∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，∴方程无解。 ∴不存在PB＝x，使∠DPC＝90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。 问题2：存在。理由如下： 如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G， 则G是DC的中点。 过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H。 ∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH。 ∵PD∥CQ，∴∠PDC＝∠DCQ。∴∠ADP＝∠QCH。 又∵PD＝CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS）。∴AD＝HC。 ∵AD＝1，BC＝3，∴BH＝4， ∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。 问题3：存在。理由如下： 如图3，设PQ与DC相交于点G， ∵PE∥CQ，PD＝DE，∴。 ∴G是DC上一定点。 作QH⊥BC，交BC的延长线于H， 同理可证∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴。 ∵AD＝1，∴CH＝2。∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5。 ∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5。 问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G， ∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴。 ∴G是DC上一定点。 作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K。 ∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90° ∠PAG＝∠QBG， ∴∠QBH＝∠PAD。∴△ADP∽△BHQ，∴， ∵AD＝1，∴BH＝n＋1。∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4。 过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形。 ∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2。∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM。 ∴∠DCM＝45°。∴∠KCH＝45°。 ∴CK＝CH•cos45°＝ (n＋4)， ∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为 (n＋4)。 【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。 【分析】问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等。 问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。 问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD＝DE，可得，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案。 问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案。 例4.（2012四川广元3分） 如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短 时，点B的坐标为【 】 A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，） 例5.（2012四川乐山3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CEDF不可能为正方形； ③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化； ④点C到线段EF的最大距离为． 其中正确结论的个数是【 】 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B。 【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】①连接CD（如图1）。 ∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。 ∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。 ∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。 ∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。 ∴△DFE是等腰直角三角形。 故此结论正确。 ②当E、F分别为AC、BC中点时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等于BC。 ∴四边形CEDF是平行四边形。 又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形。 又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形。 故此结论错误。 ③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N， 由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN。 由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。 ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。 ∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。 ∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。 故此结论错误。 ④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴DE=EF。 当DF与BC垂直，即DF最小时， EF取最小值2。此时点C到线段EF的最大距离为。 故此结论正确。 故正确的有2个：①④。故选B。 例6.（2012四川成都4分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)； 第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分； 第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) 则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 ▲ cm，最大值为 ▲ cm． 【答案】20；12+。 【考点】图形的剪拼，矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理。 【分析】画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如答图1所示。 图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC， M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理）。 又∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形， 其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。 ∵BC=6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小。 如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图。 过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半。 ∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点， ∴根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4； 而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即。 ∵四边形M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN， ∴四边形M1N1N2M2周长的最小值为12+2×4=20；最大值为12+2×=12+。 例7. （2012四川乐山3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CEDF不可能为正方形； ③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化； ④点C到线段EF的最大距离为． 其中正确结论的个数是【 】 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B。 【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】①连接CD（如图1）。 ∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。 ∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。 ∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。 ∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。 ∴△DFE是等腰直角三角形。 故此结论正确。 ②当E、F分别为AC、BC中点时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等于BC。 ∴四边形CEDF是平行四边形。 又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形。 又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形。 故此结论错误。 ③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N， 由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN。 由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。 ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。 ∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。 ∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。 故此结论错误。 ④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴DE=EF。 当DF与BC垂直，即DF最小时， EF取最小值2。此时点C到线段EF的最大距离为。 故此结论正确。 故正确的有2个：①④。故选B。 例8. （2012浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ▲ ． 【答案】。 【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H。 ∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2， ∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。 由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°， ∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×。 由垂径定理可知EF=2EH=。 例9. （2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合． （1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF； （2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 【答案】解：（1）证明：如图，连接AC ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠FAC。 ∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。 ∴△ABC和△ACD为等边三角形。 ∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。 ∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC， ∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。 （2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下： 由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。 ∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。 作AH⊥BC于H点，则BH=2， 。 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短． 故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小， 又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大． ∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。 ∴△CEF的面积的最大值是。 【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。 【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。 （2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。 例10.（2012浙江义乌10分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值． 【答案】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1， ∴∠CC1B=∠C1CB=45°。 ∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°。 （2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1， ∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1。 ∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1。∴∠ABA1=∠CBC1。 ∴△ABA1∽△CBC1。∴。 ∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=。 （3）过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上。 在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=。 ①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小。 最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2。 ②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大。 最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7。 【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数。 （2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积。 （3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值。 例11. （2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C． （1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明） 答：结论一： ；结论二： ；结论三： ． （2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）， ①求CE的最大值； ②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长． （注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明） 【答案】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。 （2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形。 ∴。 ∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。 ∴AD：AC=AE：AD，∴ 。 当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=BC=1。 ∴AE的最小值为 。∴CE的最大值= 。 ②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。 ∴点D与B重合，不合题意舍去。 当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。 ∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC。∴BD=1。 当DA=DE时，如图2， ∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC。 ∴DC=CA=。∴BD=BC－DC=2－。 综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2－。 【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。 【分析】（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。 （2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形，则，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，则有AD：AC=AE：AD，即 ，当AD⊥BC，AD最小，此时AE最小，从而由CE=AC－AE得到CE的最大值。 ②分当AD=AE，，EA=ED，DA=DE三种情况讨论即可。 练习题： 1. （2011浙江衢州3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为【 】 A、1 B、2 C、3 D、4 2.（2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点． （1）求证：△MDC是等边三角形； （2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值． 3.（2011浙江台州4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点， PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【 】 A． B． C．3 D．2 4.（2011河南省3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 ▲ ． 5.（2011云南昆明12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动． （1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由． 三、应用轴对称的性质求最值：典型例题：例1. （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点 C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 ▲ cm． 【答案】15。 【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。 由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜 的最短距离，且AP=BP。 由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。 在Rt△BCD中，由勾股定理得。 ∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。 例2. （2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】 A．130° B．120° C．110° D．100° 【答案】B。 【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。 【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案： 如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH。 ∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°。 ∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。 ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN， ∠NAD＋∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。 故选B。 例3. （2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角 坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点， 则＝ ▲ ． 【答案】5。 【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论： 连接AB并延长交x轴于点P， 由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA－PB|的值最大的点。 ∵点B是正方形ADPC的中点， ∴P（3，0）即OP=3。 作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值。 ∵A′（-1，2），B（2，1）， 设过A′B的直线为：y=kx+b， 则 ，解得 。∴Q（0， ），即OQ=。 ∴OP•OQ=3×=5。 例4. （2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ▲ ． 【答案】。 【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。 【分析】连接DE，交BD于点P，连接BD。 ∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值。 ∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2。 在Rt△CDE中，。 例5. （2012广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C， 过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是 ▲ 。 【答案】14。 【考点】轴对称（最短路线问题），勾股定理，垂径定理。 【分析】∵MN＝20，∴⊙O的半径＝10。 连接OA、OB， 在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝6， ∴OD＝＝＝8。 同理，在Rt△AOC中，OA＝10，AC＝8， ∴OC＝＝＝6。 ∴CD＝8＋6＝14。 作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA＋PB的最小值，B′D＝BD＝6，过点B′ 作AC的垂线，交AC的延长线于点E。 在Rt△AB′E中，∵AE＝AC＋CE＝8＋6＝14，B′E＝CD＝14， ∴AB′＝＝＝14。 例6. （2012湖北十堰6分）阅读材料： 例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值． 解： ，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值． 设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3。 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标） （2）代数式 的最小值为 ． 【答案】解：（1）（2，3）。 （2）10。 【考点】坐标与图形性质，轴对称（最短路线问题）。 【分析】（1）∵原式化为的形式， ∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A （1，1）、点B（2，3）的距离之和。 （2）∵原式化为的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1） 的距离之和。 如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′， ∴求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短。 ∴PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度。 ∵A（0，7），B（6，1），∴A′（0，－7），A′C=6，BC=8。 ∴。 例7. （2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。 如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的： ①作点B关于直线l的对称点B′． ②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求． 请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小． （1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）． （2）请直接写出△PDE周长的最小值： ． 【答案】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。 （2）8． 【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。 （2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案： ∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线。 ∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4。 ∴。 ∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=8。 练习题： 1. （2011黑龙江大庆3分）如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的 最小值为 ▲ ． 2. （2011辽宁营口3分）如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a＝ ▲ 时，AC＋BC的值最小． 3.（2011山东济宁8分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。 (1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？ (2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？ 4.（2011辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【 】 A、2 B、4 C、 D、 5.（2011辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的 任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】 A．1 B．2 C．3 D．4 6.（2011贵州六盘水3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的 中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】 A．3 B．4 C．5 D．6 7.（2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ． 四、应用二次函数求最值：典型例题： 例1. （2012四川自贡4分）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= ▲ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 ▲ cm2． 【答案】，。 【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】设BM=xcm，则MC=1﹣xcm， ∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC。 ∴△ABM∽△MCN，∴，即，解得CN=x（1﹣x）。 ∴。 ∵＜0，∴当x=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是cm2。 例2.（2012江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是 ▲ ． 【答案】1。 【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，平角定义，勾股定理，二次函数的最值。 【分析】设AC＝x，则BC＝2－x， ∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形， ∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝ 。 ∴∠DCE＝90°。 ∴DE2＝DC2＋CE2＝（）2＋[]2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1。 ∴当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1。 例3.（2012宁夏区10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E. (1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长； (2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ (3)若PE∥BD，试求出此时BP的长. 【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3。 在Rt△ABP中，AB=2，∴BP=。 （2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE。 ∴ ，即。∴。 ∵ ∴当时，y的值最大，最大值是。 （2）设BP=x, 由（2）得。 ∵PE∥BD，，∴△CPE∽△CBD。 ∴， 即， 化简得。 解得或（不合题意，舍去）。 ∴当BP= 时， PE∥BD。 【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。 【分析】（1）由△APE≌△ADE可得AP=AD=3，在Rt△ABP中，应用勾股定理即可求得BP的长。 （2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式。化为顶点式即可求得当时，y的值最大，最大值是。 （3）由PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得BP的长。 例4.（2012广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）． （1）当α=60°时，求CE的长； （2）当60°＜α＜90°时， ①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． ②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值． 【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=，即sin60°=，解得CE=。 （2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下： 连接CF并延长交BA的延长线于点G， ∵F为AD的中点，∴AF=FD。 在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。 在△AFG和△CFD中， ∵∠G=∠DCF， ∠G=∠DCF，AF=FD， ∴△AFG≌△CFD（AAS）。∴CF=GF，AG=CD。 ∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。 ∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=AD=BC=5。∴AG=AF。 ∴∠AFG=∠G。 在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF， 又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。 ∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF， 因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。 ②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x， 在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。 在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x。 ∵CF=GF（①中已证），∴CF2=（CG）2=CG2=（200﹣20x）=50﹣5x。 ∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+。 ∴当x=，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值。 此时，EG=10﹣x=10﹣，CE=， ∴。 【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。 【分析】（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解。 （2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解。 ②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。 例5.（2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。 （1）求证：AM=AN； （2）设BP=x。 ①若，BM=，求x的值； ②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值； ③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。 【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形， ∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。 ∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。 （2）①易证△BPM∽△CAP，∴， ∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。 解得x=或x=。 ②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。 ∵△ADM≌△APN，∴。 ∴。 如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。 在Rt△BPS中，∵∠P=600，BP=x， ∴PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。 ∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。 ∴。 ∴。 ∴。 ∴当x=1时，S的最小值为。 ③连接PG，设DE交AP于点O。 若∠BAD=150， ∵∠DAP =600，∴∠PAG =450。 ∵△APD和△APE都是等边三角形， ∴AD=DP=AP=PE=EA。 ∴四边形ADPE是菱形。 ∴DO垂直平分AP。 ∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。 ∴∠PGA =900。 设BG=t， 在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG=。∴AG=PG=。 ∴，解得t=－1。∴BP=2t=2－2。 ∴当BP=2－2时，∠BAD=150。 猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 ∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。 ∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。 设AO=a，则AD=AE=2 a，OD=a。∴DG=DO－GO=（－1）a。 又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。 ∵DH=AD=2a， ∴GH=DH－DG=2a－（－1）a=（3－）a， HE=2DO－DH=2a－2a=2（－1）a。 ∵， ， ∴。 ∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。 【分析】（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。 （2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。 ②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得， 用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。 ③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。 求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。 例6.（2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上 的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为. ⑴当 时，求弦PA、PB的长度； ⑵当x为何值时，的值最大？最大值是多少？ 【答案】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。 又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。 ∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。 ∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。 ∴，即PA2=PC·PD。 ∵PC=，AB=4，∴。 ∴在Rt△APB中，由勾股定理得：。 （2）过O作OE⊥PD，垂足为E。 ∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。 在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2。 ∴CD=PC－PD= x－2（x－2）=4－x 。 ∴。 ∵ ∴当时，有最大值，最大值是2。 【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】 （1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。 （2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。 例7.（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH； （2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB． 又∵∠EPH=∠EBC=90°， ∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。 又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。 （2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下： 如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。 由（1）知∠APB=∠BPH， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP， ∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。 又∵AB=BC，∴BC=BQ。 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。 ∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 （3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。 又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。 ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。 又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。 ∴EM=AP=x． ∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。 ∴。 又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等， ∴。 ∵，∴当x=2时，S有最小值6。 【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。 【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。 （2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。 （3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。 例8.（2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为． （1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）； （2）求（1）中作出的正方形的边长； （3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由． 【答案】解：（1）如图①，正方形即为所求。 （2）设正方形的边长为x． ∵△ABC为正三角形，∴。 ∴。∴，即。 （3）如图②，连接NE，EP，PN，则。 设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n）， 它们的面积和为S，则，。 ∴. ∴。 延长PH交ND于点G，则PG⊥ND。 在中，。 ∵，即， ∴。 ∴①当时，即时，S最小。 ∴。 ②当最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大。 ∵，由（2）知，。 ∴。 ∴。 【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。 【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示。 （2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长 （3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：，可见S的大小只与m、n的差有关：①当m=n时，S取得最小值；②当m最大而n最小时，S取得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问。 例9. （2012湖南株洲8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒． （1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？ （2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值． 【答案】解：（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒， ∴AM=12﹣t，AN=2t。 ∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12﹣t=2t，解得：t=4 秒。 ∴当t为4时，∠AMN=∠ANM。 （2）如图作NH⊥AC于H， ∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。 ∴△ANH∽△ABC。 ∴，即。∴NH=。 ∴。 ∴当t=6时，△AMN的面积最大，最大值为。 【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可。 （2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可。 例10.（2012湖南衡阳10分）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题： （1）当t为何值时，PQ∥BO？ （2）设△AQP的面积为S， ①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； ②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标． 【答案】解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。 ∴。 如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t。 ∵PQ∥BO，∴，即，解得t=。 ∴当t=秒时，PQ∥BO。 （2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10． ①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO。 ∴△APD∽△ABO。 ∴，即，解得PD=6﹣t。 ∴。 ∴S与t之间的函数关系式为：S=（0＜t＜）。 ∴当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。 ②如图②所示，当S取最大值时，t=， ∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO。 又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4。∴P（4，3）。 又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）。 依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）． ∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）。 【考点】动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。 【分析】（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值。 （2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由△APD∽△ABO得 求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。 ②求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解。 例11.（2012贵州六盘水16分）如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC． （2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值． （3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm， ∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角。 （1）BP=2t，则AP=10﹣2t． 若PQ∥BC，则，即，解得。 ∴当s时，PQ∥BC。 （2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D。 则PD∥BC，∴△APD∽△ABC。 ∴，即，解得。 ∴S=×AQ×PD=×2t×（） 。 ∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2。 （3）不存在。理由如下： 假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分， 则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12。 由（2）可知，S△AQP=，∴=12，化简得：t2﹣5t+10=0。 ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解， ∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。 （4）存在。 假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形， 则有AQ=PQ=BP=2t。 如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC， ∴△APD∽△ABC。 ∴，即。 解得：PD=，AD=， ∴QD=AD﹣AQ=。 在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（）2+（）2=（2t）2， 化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=。 ∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=。 由（2）可知，S△AQP= ∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（）=2×[﹣×（）2+6×]=。 ∴存在时刻t=，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2。 【考点】动点问题，勾股定理和逆定理，平行的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，二次函数的最值，菱形的性质。 【分析】（1）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解。 （2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，得△APD∽△ABC，由比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。 （3）利用（2）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。 （4）根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中△AQP面积的表达式，这样可以化简计算。 例12.（2012山东日照9分）如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值. 【答案】解：（1）∵， PB=AB－AP=18－2x，BQ=x， ∴y=（18－2x）x，即y=－x2＋9x（0查看更多