中考专题复习——与圆有关的计算与证明

中考专题复习——与圆有关的计算与证明

中考专题复习——与圆有关的计算与证明 ‎【中考要求及命题趋势】‎ ‎1、理解圆的基本概念与性质。 2、求线段与角和弧的度数。‎ ‎3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。 4、直线和圆的位置关系。‎ ‎5、圆的切线的性质和判定 。 6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。‎ ‎7、圆和圆的五种位置关系。 8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。‎ ‎9、掌握弧长、扇形面积计算公式。 10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。‎ ‎11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。‎ ‎2010年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。‎ ‎【应试对策】‎ 圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，考查对扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记忆。圆这一章重要的概念、定理先掌握、后应用，掌握之后，再掌握一些解题思路和解题方法。‎ 第一：有三条常用辅助线，一是圆心距，二是直径圆周角，第三条是切线径。第二：有几个分析思路：弧、常与圆周角互相转换；那么怎么去应用，就根据题目条件而定。‎ ‎【复习要点】‎ ‎1、圆的有关概念：‎ ‎（1）圆上任意两点间的部分叫弧，______的弧叫优弧，________的弧称为劣弧。‎ ‎（2）______________________的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。‎ ‎（3）_________________的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边____________的角叫做圆周角。‎ ‎2、圆的对称性：‎ ‎（1）圆是轴对称图形，其对称轴是_____ ____；（2）圆是中心对称图形，其对称中心是_________。‎ ‎3、垂径定理及推论 ‎ 垂径定理：垂直于弦的直径_________弦，并且平分____________________。‎ ‎ 推论：平分弦（不是直径）的直径_____这条弦，并且平分__________________‎ ‎4、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。如图所示：AB,CD是⊙O的两条弦，OE,OF为AB,CD的弦心距，根据圆心角，弧，弦和弦心距之间的关系定理填空：‎ ‎（1）如果AB=CD,那么___________, __________, ______________‎ ‎（2）如果OE=OF,那么___________, ___________, ______________‎ ‎（3）如果弧AB=弧CD，那么__________, ____________, ___________‎ ‎5、圆周角定理及推论：‎ ‎（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的________,如图，∠ACB=____________‎ ‎（2）推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________,直径所对的圆周角是_______，90°的圆周角所对的弦是________,所对的弧是__________.‎ ‎6、确定圆的条件 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 .‎ ‎7、点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外.其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离，‎ 位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 数量（d与r）的大小关系 d＜r d＝r d＞r ‎8、直线和圆的位置关系：‎ 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 公共点个数 ‎_______‎ ‎________‎ ‎________‎ 公共点名称 无 ‎_______‎ ‎________‎ 直线名称 无 ‎_________‎ ‎________‎ 判定条件 ‎________‎ ‎__________‎ ‎________‎ ‎9 、切线的判定与性质 判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有 惟一公共点 的直线是圆的切线。 ②到圆心的距离等于 半径 的直线是圆的切线。 ③经过半径的外端点 并且 垂直 于这条半径的直线是圆的切线。切线的五个性质：①切线与圆只有 一个 公共点；②切线到圆心的距离等于圆的 半径 ；③切线垂直于经过切点的 半径 ‎ ‎；④经过圆心垂直于切线的直线必过 切点 。⑤经过切点垂直于切线的直线必过 圆心 。‎ ‎10、切线长定理 经过圆外一点作圆的切线，这点与 切点 之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 夹角 .‎ ‎11、三角形内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆 ，三角形内切圆的圆心叫三角形的 内心.‎ ‎12、圆和圆的位置关系：‎ 位置 外离 外切 相交 内切 内含 公共点个数 ‎_____‎ ‎______‎ ‎_____‎ ‎_____‎ ‎_____‎ d与R、r数量关系 ‎_____‎ ‎_______‎ ‎______‎ ‎______‎ ‎_____‎ 性质 无 连心线必过切点 连心线垂直平分公共弦 连心线必过切点 无 ‎13、正多边形与圆 ‎1、正多边形的定义: 、 的多边形叫做正多边形。‎ ‎2、正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做 。‎ ‎3、正多边形的中心: 是正多边形的中心。‎ ‎4、正多边形的半径: 是正多边形的半径。‎ ‎5、正多边形的中心角: 正多边形的每一条边所对的 叫做正多边形的中心角。‎ ‎6、正多边形的边心距： 到 的距离叫做正多边形的边心距。‎ ‎7、任何一个正多边形都有一个 和一个 ,这两个圆是 .‎ ‎8、正多边形的边心距与 相等。‎ ‎14、弧长和扇形面积 ‎1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n°的圆心角所对 的弧长为 ，弧长公式为 .‎ ‎2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n°的圆心角所在的扇形面积为S= = = .‎ ‎3. 圆柱的侧面积公式：S=.（其中为 的半径，为 的高）‎ ‎4. 圆锥的侧面积公式：S=.（其中为 的半径，为 的长）‎ ‎5.弓形的面积 ‎（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做 。‎ ‎（2）弓形的周长＝ ‎ ‎（3）弓形的面积 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，s弓形= ‎ 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，s弓形 ‎ 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，s弓形 ‎ ‎【备考指导】‎ ‎1、“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2=d2+（）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．‎ ‎2、证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”‎ ‎3、面积的计算往往是不规则图形，不易直接求出，所以要将其转化为与其面积相等的规则图形，等积转化的一般方法是：（1）利用平移、旋转或轴对称等图形变换进行转化；（2）根据同底（等底）同高（等高）的三角形的面积相等进行转化；（3）利用几个规则图形的面积和或差求不规则图形的面积．‎ ‎【经典例析】‎ 例1已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D，AE是⊙O的直径，若S△ABC=S，⊙O的半径为R．‎ ‎ （1）求证：AB·AC=AD·AE；（2）求证：AB·AC·BC=4RS．‎ ‎【解析】（1）本题要证明的结论是“等积式”，通常的思路是把等积式转化成比例式，再找相似三角形．‎ ‎（2）利用（1）的结论和三角形的面积公式．‎ 例2如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，若．‎ ‎（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；‎ ‎（2）当时，求的长．‎ ‎【答案】（1）直线和相切．‎ 证明：‎ ‎∵，，‎ ‎∴．∵，‎ ‎∴．∴．‎ 即．∴直线和相切．‎ ‎（2）连接．‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴．‎ 在中，，[来源:学|科|网]‎ ‎∴．‎ ‎∵直径，‎ ‎∴．‎ 由（1），和相切，‎ ‎∴．∴．‎ 由（1）得，‎ ‎∴．∴．‎ ‎∴，解得． ‎ ‎【点评】圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．在证明时一定要根据题目已知条件合理选择．‎ 例3如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB=13，BC=5．‎ ‎ （1）求sin∠BAC的值；‎ ‎ （2）如果OD⊥AC，垂足为点D，求AD的长；‎ ‎（3）求图中阴影部分的面积．（精确到0．1）‎ ‎ 【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，‎ ‎ ∴∠ACB=90°．‎ ‎ ∴sin∠BAC= ．‎ ‎ （2）在Rt△ABC中，AC= =12．‎ ‎ 又∵OD⊥AC于点D，‎ ‎ ∴AD=AC=6．‎ ‎ （3）∵S半圆=×（）2=×=．‎ ‎ S△ABC=AC×BC=×12×5=30，‎ ‎ ∴S阴影=S半圆－S△ABC =－30≈36.3‎ ‎ 点评 “直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来．因此对这部分知识应加以重视．‎ 例4已知扇形的圆心角为120°，面积为‎300cm2．‎ ‎（1）求扇形的弧长；‎ ‎（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？‎ ‎ 解析：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形．解答如下：（1）如图所示：∵300=； ∴R=30； ∴弧长L==20（cm）（2）如右图所示：∵20=20r； ∴r=10，R=30。 AD==20 ∴S轴截面=×BC×AD=×2×10×20=200（cm2）；因此，扇形的弧长是‎20‎cm卷成圆锥的轴截面是‎200‎cm2．‎ 反思：圆锥、扇形、圆之间的换算是中考中的热点、常考点，需同学们理清平面与立体之间的变换和实质，熟悉公式并能利用题目中的数据代替公式中的量来解题。‎ ‎【迎考精炼】‎ 一、选择题：‎ ‎1.（2009年湖北孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是( )‎ A．15° B．30° C．45° D．60° ‎ ‎2．（2010安徽省中中考） 如图，⊙O过点B 、C。圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为………………（ ）‎ A）B）C）D） ‎ ‎3．（2010安徽蚌埠二中）以半圆的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则的 长为 ‎ A． B． C． D．4‎ ‎4.（2009年山东青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽‎0.8米，最深处水深‎0.2米，则此输水管道的直径是（ ）．‎ A．‎0.4米 B．‎0.5米 C．‎0.8米 D．‎‎1米 ‎5.（2009年湖北襄樊）如图，AB是⊙O的直径，点在的延长线上，切于若则等于（ ）‎ A． 　　B．　　C． D．‎ ‎6.（2009年浙江台州）大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ）‎ A．外离 B．外切　　　Ｃ．相交 D．内含 ‎ ‎7（2010 河北）如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点， ‎ 那么这条圆弧所在圆的圆心是 M R Q 第7题3‎ A B C P A．点P B．点Q C．点R D．点M ‎8.（2010湖北武汉）如图，的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD的长为（ ）‎ A、7 B、 C、 D、9‎ ‎9.（2010广西梧州）如图6，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有①CE=DE；②BE=OE；③=；④∠CAB=∠DAB；⑤AC=AD。（ ）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎ B C A O 第10题 ‎（第9题）‎ B C D E O A ‎·‎ ‎10.（2010四川攀枝花）如图２，△ABC内接于⊙O，若∠OAＢ＝28°，则∠C的大小是（ ）‎ A．56° 　　B．62° 　　C．28°　　　　D．32° ‎ ‎ ‎ 二、填空题：‎ ‎1.（2010山东青岛）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．48‎ ‎2.（2010杭州）如图, 已知△,，．是的中点， ⊙与AC，BC分别相切于点与点．点F是⊙与的一个交点，连并延长交的延长线于点. 则 . ‎ ‎3．(株洲市2010)两圆的圆心距，它们的半径分别是一元二次方程的两个根，这两圆的位置关系是 ．外切 ‎4.(兰州市2010)如图，扇形OAB，∠AOB=90，⊙P 与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是 ． ‎ ‎ O A B C 第1题图 ‎·‎ ‎ ‎ ‎5.(黄冈市2010)将半径为‎4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm. 10. ‎ 三、解答题 ‎1.(2009年四川内江)如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC.‎ 求证：（1）CD⊥DF；‎ ‎（2）BC＝2CD 证明：（1）设∠DFC＝θ，则∠BAD＝2θ 在△ABD中，∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB ‎∠ABD＝12（180°-∠BAD）＝90°-θ 又∠FCD＝∠ABD＝90°-θ ‎∴∠FCD+∠DFC＝90°‎ ‎∴CD⊥DF ‎（2）过F作FG⊥BC于G 在△FGC和△FDC中 ，∠FCG＝∠ADB＝∠ABD＝∠FCD ‎∠FGC＝∠FDC＝90°,FC＝FC ‎∴△FGC≌△FDC ‎∴GC＝CD且∠GFC＝∠DFC 又∠BFC＝2∠DFC ‎∴∠GFB＝∠GFC ‎∴BC＝2GC， ∴BC＝2CD.‎ ‎2. (2010年毕节地区)（本题12分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．‎ 证明：（证法一）连接． 1分 ‎∵是⊙O的直径，‎ ‎． 2分 ‎∵是的中点，‎ ‎． 4分 ‎． 6分 ‎∵． 8分 ‎．即． 10分 ‎ 是⊙O的切线． 12分 ‎（证法二）连接． 1分 ‎∵，‎ ‎． 2分 ‎． 4分 ‎∵OC=OE．‎ ‎∴∠2=∠4． ‎ ‎∴∠1=∠3． 6分 又，‎ ‎． 8分 ‎． 10分 是⊙O的切线． 12分 ‎3.（2009年湖北仙桃）如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．‎ ‎(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若⊙O的半径为2，BD＝，求BC的长．‎ 解：（1）FD与⊙O相切，理由如下：‎ 连接OD.∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠3+∠A＝90°.∵FE＝FD，‎ ‎∴∠1＝∠2.又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，又∵OA＝OD，∴∠A＝∠4.‎ ‎∴∠1+∠4＝90°，∴FD与⊙O相切.‎ ‎（2）∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AB＝4，又∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°.∵OC⊥AB，∴∠ADB＝∠BOC＝90°，又∵∠B＝∠B，∴Rt△ABD∽Rt△CBO ‎∴，即，∴.‎ ‎(第4题)‎ ‎4.（2010济宁市）（6分）‎ 如图，为外接圆的直径，，垂足为点，‎ 的平分线交于点，连接，.‎ ‎(1) 求证：； ‎ ‎(2) 请判断，，三点是否在以为圆心，‎ 以为半径的圆上？并说明理由.‎ ‎（1）证明：∵为直径，，‎ ‎∴.∴. 3分 ‎（2）答：，，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 4分 理由：由（1）知：，∴.‎ ‎∵，，，‎ ‎∴.∴. 6分 由（1）知：.∴.‎ ‎∴，，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 7分 ‎•‎ P B A E O C D ‎5.（宿迁市2010）（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．‎ 求证：（1）PD=PE；‎ ‎（2）．‎ 证明：(1)连接OC、OD………………1分 ‎∴OD⊥PD ，OC⊥AB ‎∴∠PDE=—∠ODE，‎ ‎∠PED=∠CEO=—∠C 又∵∠C=∠ODE ‎∴∠PDE=∠PED …………………………………………4分 ‎∴PE=PD …………………………………………5分 ‎(2) 连接AD、BD ………………………………………6分 ‎∴∠ADB= ‎ ‎∵∠BDP=—∠ODB，∠A=—∠OBD 又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A ‎∴PDB∽PAD …………………………………………………8分 ‎∴ ∴‎ ‎∴ …………………………………………………10分 6．(株洲市2010)（本题满分8分）如图，是的直径，为圆周上一点，，过点的切线与的延长线交于点．‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）≌．‎ 证明：（1）∵是的直径，∴，由，∴‎ 又，∴∴，∴．…… 4分 ‎（2）在中，，得，又，∴．‎ 由切于点，得．‎ 在和中，‎ ‎ ∴≌ …… 8分 ‎7．(黄冈市2010)（6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.‎ 证明：连结DC，DO并延长交⊙O于F，连结AF.∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.　又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切线 ‎8.(兰州市2010)（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.‎ ‎ （1）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎ （2）求证：BC=AB；‎ ‎ （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.‎ 解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ‎ ‎ ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ‎ ‎ ∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分 ‎ ∵AB是⊙O的直径 ‎ ∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分 ‎ ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP …………………………………………3分 ‎∵OC是⊙O的半径 ‎ ‎ ∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………4分 ‎ （2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ‎ ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ‎ ‎ ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ‎ ∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分 ‎ ∴BC=OC ‎ ∴BC=AB ………………………………………………………6分 ‎ (3)连接MA,MB ‎ ‎ ∵点M是弧AB的中点 ‎ ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分 ‎ ‎∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ‎ ‎ ∵∠BMC=∠BMN ‎ ∴△MBN∽△MCB ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴BM2=MC·MN ……………………8分 ‎ ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM ‎ ‎ ∴∠AMB=90°,AM=BM ‎ ∵AB=4 ∴BM= ………………………………………………………9分 ‎ ∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………10分 参考答案 ‎1.B 2.D 3.A 4.D 5.A 6.A 6. 7.B 8.B 9.A 10.B ‎ ‎【链接中考】‎ ‎1.（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．‎ ‎（1）求弦AB的长；‎ ‎（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；‎ ‎（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.‎ F C P D O B A E H G ‎【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长；‎ C P D O B A E ‎（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；‎ ‎（3）由题可知＝DE (AB＋AC＋BC)，又因为，所以，所以AB＋AC＋BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：DE＝，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为．‎ ‎【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．‎ ‎∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．‎ 在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．‎ ‎（2）∠ACB是定值.‎ 理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，‎ 因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，‎ 因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；‎ ‎（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.‎ ‎∴‎ ‎＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．‎ ‎∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.‎ ‎∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，‎ ‎∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．‎ 又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，‎ ‎∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，‎ ‎∴△ABC的周长为．‎ ‎ 【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积 ‎【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题 ‎2. （楚雄州 本小题13分）已知：如图，⊙A与轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交轴于点B（－4，0）．‎ ‎（1）求切线BC的解析式；‎ ‎（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；‎ ‎（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）如图1所示，连接AC，则AC= ‎ 在Rt△AOC中，AC= ，OA=1 ，则OC=2‎ ‎ ∴点C的坐标为（0，2）‎ 设切线BC的解析式为，它过点C（0，2），B（−4，0），则有 ‎ 解之得 ‎ ∴ ………………………………………………4分 ‎（2）如图1所示，设点G的坐标为（a,c）,过点G作GH⊥轴，垂足为H点，‎ 则OH=a, GH=c=a + 2 ……………………………………………………5分 O A C B D x y G P H 图1‎ 连接AP, AG 因为AC=AP , AG=AG , 所以Rt△ACG≌Rt△APG (HL)‎ 所以∠AGC=×1200=600‎ 在Rt△ACG中 ，∠AGC= 600，AC= ‎ ‎∴Sin600= ∴AG =…………………6分 在Rt△AGH中, AH=OH－OA=a－1 ，GH=a+ 2 ‎ ‎+=‎ ‎∴+=‎ 解之得：= ,= −(舍去) …………………………………………7分 点G的坐标为（,+ 2 ） …………………………………………………8分 ‎(3) 如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形. ………………9分 要使△AEF为直角三角形 AE=AF ‎∴∠AEF=∠AFE 900‎ ‎∴只能是∠EAF=900‎ 当圆心A在点B的右侧时，过点A作 AM⊥BC,垂足为点M.‎ 在Rt△AEF中 ，AE=AF=, ‎ 则EF=， AM=EF=‎ 在Rt△OBC中,OC=2 , OB=4,则BC=2‎ ‎∠BOC= ∠BMA=900 ，∠OBC= ∠OBM ‎∴△BOC∽△BMA ‎∴=‎ ‎∴AB=‎ ‎∴OA=OB－AB=4－‎ ‎∴点A的坐标为（－4+，0） ………………………………………………11分 当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过点A′作A′M′⊥BC于点M′，可得 ‎△A′M′B≌△AMB A′B＝AB＝‎ ‎∴O A′=OB+ A′B =4 +‎ ‎∴点A′的坐标为（－4－，0）‎ 综上所述，点A的坐标为（－4+，0）或（－4－，0） ……………13分 ‎3. （2010年山东省日照市） (本题满分10分)‎ 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．‎ 求证：‎ ‎（1）D是BC的中点； ‎ ‎（2）△BEC∽△ADC；‎ ‎（3）BC2=2AB·CE．‎ ‎【解答】‎ ‎（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，‎ 即AD是底边BC上的高． ………………………………………1分 又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形， ‎ ‎∴D是BC的中点；………… ……………………………………………3分 ‎ (2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，‎ ‎ ∴ ∠CBE=∠CAD．…………………………………………………5分 ‎ 又∵ ∠BCE=∠ACD，‎ ‎ ∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………6分 ‎（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，‎ 即CD·BC=AC·CE． …………………………………………………8分 ‎∵D是BC的中点，∴CD=BC． ‎ ‎ 又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE 即BC=2AB·CE．……………………………………………………10分 ‎ 【涉及知识点】圆周角定理：直径所对的圆周角为90°；同弧所对的圆周角相等两个定理的应用。相似三角形的判定和性质定理。‎ ‎【点评】此题是应用与圆有关的角相等，证明相似从而证明比例式、乘积式的成立。‎ ‎4. （2010年四川省成都市）（本题满分10分）已知：如图，内接于，为直径，弦于，是的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、．‎ ‎ （1）求证：是的外心；‎ ‎ （2）若,求的长；‎ ‎ （3）求证：．‎ ‎【解答】‎ ‎（1）证明：∵C是的中点，∴，‎ ‎∴∠CAD=∠ABC ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴∠CAD+∠AQC=90°‎ 又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°，∴∠AQC=∠PCQ，∴在△PCQ中，PC=PQ，‎ ‎∵CE⊥直径AB，∴，∴，∴∠CAD=∠ACE。‎ ‎∴在△APC中，有PA=PC，∴PA=PC=PQ，∴P是△ACQ的外心。‎ ‎（2）解：∵CE⊥直径AB于F，‎ ‎∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=，CF=8，得。‎ ‎∴由勾股定理，得，∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=，，得。‎ 易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴，∴。‎ ‎（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°‎ ‎∴∠DAB+∠ABD=90°‎ 又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°，∴∠DAB=∠G；∴Rt△AFP∽Rt△GFB，‎ ‎∴，即 易知Rt△ACF∽Rt△CBF，∴（或由摄影定理得）‎ ‎∴，由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC ‎∴。‎ ‎【涉及知识点】垂径定理、外心的定义，勾股定理 ‎【点评】本题巧妙将垂径定理及其推论有机的结合起来运用。‎