中考数学开放探究题专题复习

中考数学开放探究题专题复习

开放探究题 开放探究问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论，要求添加条件或概括结论；其次是给定条件，判断存在与否的问题；近几年来又逐步出现了一些根据提供的材料，按自己的喜好自编问题并加以解决的试题。‎ 开放探究问题涉及知识面广，遍布整个初中阶段的所有知识，要求学生具有较强的解题能力和思维能力。‎ 开放探究问题就开放而言，有条件开放、结论开放、解题方法开放、编制问题开放：就探究而言，可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种。‎ 类型一：探究条件型 探究条件型是根据问题提供的残缺条件添补若干条件，使结论成立，解决此类问题的一般方法是：根据结论成立所需要的条件增补条件，此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件，不可重复条件，也不能遗漏条件。‎ 例1．（2009丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.‎ 解：是假命题. ‎ 以下任一方法均可：‎ ‎ ①添加条件：AC=DF. ‎ 证明：∵AD=BE,‎ ‎∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE. ‎ 在△ABC和△DEF中,‎ AB=DE，‎ ‎∠A=∠FDE，‎ AC=DF， ‎ ‎∴△ABC≌△DEF(SAS). ‎ ‎②添加条件：∠CBA=∠E. ‎ 证明：∵AD=BE, ‎ ‎∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE. ‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎∠A=∠FDE，‎ AB=DE，‎ ‎∠CBA=∠E ， ‎ ‎∴△ABC≌△DEF(ASA). ‎ ‎③添加条件：∠C=∠F. ‎ 证明：∵AD=BE,‎ ‎∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE. ‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎∠A=∠FDE，‎ ‎∠C=∠F ，‎ AB=DE， ‎ ‎∴△ABC≌△DEF(AAS) ‎ 同步测试 A B C E D F ‎1．(2009年牡丹江市)如图，□ABCD中，、分别为、边上的点，要使需添加一个条件： ．‎ ‎1. ‎ ‎2．（2009东营）如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD＝∠ACD，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB＝CD. ‎ B C D A O ‎2.∠DAC＝∠ADB，∠BAD＝∠CDA，∠DBC＝∠ACB，∠ABC＝∠DCB，OB＝OC，OA＝OD；(任选其一) ‎ 类型二：探究结论型 探究结论型问题是指根据题目所给的条件经过分析、推断，得出一个与条件相关的结论，解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理，得出新的结论。‎ 例2．（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，‎ 且DM交AC于F，ME交BC于G．‎ ‎（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；‎ ‎（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM 以下证明△AMF∽△BGM．‎ ‎∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B ‎∴△AMF∽△BGM． ‎ ‎（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC ‎∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝ ‎ 又∵AMF∽△BGM，∴‎ ‎∴ ‎ 又，∴，‎ ‎∴ ‎ 同步测试 ‎3．（2009年福州）请写出一个比小的整数 ‎ ‎3.答案不唯一，小于或等于２的整数均可，如：2，1等 ‎4．（2009年莆田）已知，如图，是以线段为直径的的切线，交于点，过点作弦垂足为点，连接．‎ ‎（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________，④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；‎ C D O F A B E ‎（2）=，=，求的半径 ‎4.（1）‎ 等 C D O F A B E ‎（2）解:是的直径 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又是的切线 ‎ ‎ 在中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 类型三：探究结论存在与否型 ‎ 探究结论存在与否型问题的解法一般先假定存在，然后以此为条件及现有的条件进行推理，然后得出问题的解或矛盾再加以说明。‎ 例3．（2009仙桃）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．‎ ‎(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；‎ ‎(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？‎ ‎(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？‎ 解：（1）在直角梯形ABCD中，‎ ‎∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴四边形ABNQ是矩形。‎ ‎∵QD=t，AD=3，∴BN=AQ=3-t，∴NC=BC-BN=4-（3- t）= t+1。‎ ‎∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC=5。‎ ‎∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴MN∥AB，∴，‎ 即，∴.‎ ‎（2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。‎ ‎∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形。‎ ‎(3)∵MN∥AB，‎ ‎∴△MNC∽△ABC，要使射线QN将△ABC的面积平分，则△MNC与△ABC的面积比为1：2，即相似比为1：，∴，即，∴t=.∴CN=，MC=，∴CN+MC=，∵△ABC的周长的一半==6≠，∴‎ 不存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分。‎ ‎（4）分3种情况：‎ ‎①如图，当PM=MC时，△PMC为等腰三角形。‎ 则PN=NC，即3-t-t=t+1，‎ ‎∴，即时，△PMC为等腰三角形。‎ ‎②如图，当CM=PC时，△PMC为等腰三角形。‎ 即，‎ ‎∴时，△PMC为等腰三角形。‎ ‎③如图，当PM=PC时，△PMC为等腰三角形。‎ ‎∵PC=4－t，NC=t+1，‎ ‎∴PN=2t-3,‎ 又∵，‎ ‎∴MN=，‎ 由勾股定理可得[]2+（2t-3）2=（4－t）2，‎ 即当t=时，△PMC为等腰三角形。‎ 同步测试 ‎5．（2009年广西南宁·改编）如图，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，延长交正方形外角平分线，边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 解法①‎ 四边形ABCD为正方形 F A D C B E ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ 四边形是平行四边形．‎ 解法：在边上存在一点，使四边形是平行四边形 证明：在边上取一点，使，连接、、．‎ B C E D A F P ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ M 四边形为平行四边形 ‎6．（2009白银市）如图（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 C（0，）．［图（2）、图（3）为解答备用图］‎ ‎（1）　　　　　，点A的坐标为　　　　　　，点B的坐标为　　　　　；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；‎ ‎（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．‎ 图（1）　 　　　　　图（2）　　　　　　　　图（3）‎ 解：（1），‎ A（-1，0），‎ B（3，0）．‎ ‎（2）如图（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．‎ 则 △AOC的面积=，△MOC的面积=，‎ ‎△MOB的面积=6，‎ ‎∴ 四边形 ABMC的面积 ‎=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．‎ ‎（3）如图（2），设D（m，），连结OD．‎ 则 0＜m＜3， ＜0． ‎ 且 △AOC的面积=，△DOC的面积=， ‎ ‎△DOB的面积=-（），‎ ‎∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积 ‎=‎ ‎=．‎ 图（3） 图（4）‎ ‎∴ 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为．‎ ‎（4）有两种情况：‎ 如图（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q‎1C．‎ ‎∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ‎ ‎∴ 点E的坐标为（0，3）． ‎ ‎∴ 直线BE的解析式为．‎ 由 解得 ‎ ‎∴ 点Q1的坐标为（-2，5）．‎ 如图（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．‎ ‎∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ‎ ‎∴ 点F的坐标为（-3，0）．‎ ‎∴ 直线CF的解析式为．‎ 由 解得 ‎ ‎∴点Q2的坐标为（1，-4）．‎ 综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．‎ 类型四：归纳探究型 归纳探究型问题是指给定一些条件和结论，通过归纳、总结、概括，由特殊猜测一般的结论或规律，解决这类问题的一般方法是由特殊性得到的结论进行合理猜想，适量验证。‎ 例4．(2009年抚顺市)已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线分别相交于点．‎ ‎（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；‎ ‎（2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；‎ ‎（3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段 之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．‎ A B E D C M N l A B E D C M N l A B C M N A B C M N 图1‎ 图2‎ 备用图 备用图 解：（1）‎ ‎（2）成立．‎ ‎（方法一）：在上截取，连接．‎ 即 A B E D C M N l ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ H F G 题（2）方法二图 ‎（方法二）：过点作直线，垂足为点，‎ 交于点．作，垂足为点． ‎ 由（1）得 ‎ ‎ ‎（方法三）：延长，交于点．‎ ‎（3）不成立．‎ 存在．当点在射线上、点在射线的反向延长线上时（如图），‎ 当点在射线的反向延长线上，点在射线上时（如图），‎ A B E D C M N l ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ F ‎7‎ A B E D C M l A B E C M D l N 题（2）方法三图 题（3）图①‎ 题（3）图②‎ 同步测试 ‎7．（2009仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：‎ ‎(1)若AB＝AC，请探究下列数量关系：‎ ‎①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；‎ ‎②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎(2)若AB＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．‎ ‎7.（1）①BD=CE；‎ ‎②AM=AN，∠MAN=∠BAC 理由如下：‎ ‎∵在图①中，DE//BC，AB=AC ‎∴AD=AE.‎ 在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE，∠ACE=∠ABD.在△DAM与△EAN中，‎ ‎∵DM=BD，EN=CE，BD=CE，∴DM=EN，∵∠AEN=∠ACE+∠CAE，∠ADM=∠ABD+∠BAD，∴∠AEN=∠ADM.‎ 又∵AE=AD，∴△ADM≌△AEN.∴AM=AN，∠DAM=∠EAN.∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴AM=AN，∠MAN=∠BAC.‎ ‎（2）AM=kAN，∠MAN=∠BAC.‎ 随堂检测：‎ ‎1. （2009年台州市）请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数．‎ 答： ．‎ ‎2. （2009白银市）如图6，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是　　　　．‎ ‎3. （2009年牡丹江）先化简：并任选一个你喜欢的数代入求值．‎ ‎4. （09湖南邵阳）已知，用“+”或“”连接，有三种不同的形式：，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中∶=5∶2．‎ ‎5. （09湖南邵阳）如图是一个反比例函数图象的一部分，点，是它的两个端点．‎ ‎（1）求此函数的解析式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．‎ ‎6. （2009年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P．‎ D E F P B A C ‎（1）求证：AF=BE；‎ ‎（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．‎ ‎7. （2009年遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.‎ ‎⑴求二次函数的解析式；‎ ‎⑵该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；‎ ‎⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 随堂检测答案：‎ ‎1.（答案不唯一）‎ ‎2.答案不唯一，如AC=BD，∠BAD=90o，等 ‎3.原式===．‎ 选择a除了0与1以外的数代入均可。‎ ‎4.选择一：，‎ 当∶=5∶2时，，原式=． ‎ 选择二：， ‎ 当∶=5∶2时，，原式=． ‎ 选择三：， ‎ 当∶=5∶2时，，原式=． ‎ 注：只写一种即可．‎ ‎5.（1）设，在图象上，，即，，其中； ‎ ‎（2）答案不唯一．如：小明家离学校，每天以的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间．‎ ‎6.（1）∵BA=AD，∠BAE=∠ADF，AE=DF，‎ ‎∴△BAE≌△ADF，∴BE=AF；‎ ‎（2）猜想∠BPF=120° .‎ ‎∵由（1）知△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF .‎ ‎∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE，而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，‎ ‎∴∠BPF=120° .‎ ‎7.解：⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k，∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，)‎ ‎∴y=a(x-4)2+k ………………①‎ 又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，∴A(1，0)，B(7，0)‎ ‎∴0=‎9a+k ………………②，由①②解得a=，k=，∴二次函数的解析式为：y=(x-4)2－‎ ‎⑵∵点A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，∴DB与对称轴的交点即为所求点P，设直线x=4与x轴交于点M，∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴， ∴，∴点P的坐标为(4，)‎ ‎⑶由⑴知点C(4，)，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o ‎①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o，∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)‎ ‎②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，)，经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)．‎