2007北京中考数学试题及答案
2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）
第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑。
1．－3的倒数是（ ）
A． B． C．－3 D．3
2．国家游泳中心－－“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约为260 000平方米，将260 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.26×106 B．26×104 C．2.6×106 D．2.6×105
3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．若，则m+2n的值为（ ）
A．－4 B．－1 C．0 D．4
5．北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：℃）分别为25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（ ）
A．28℃ B．29℃ C．30℃ D．31℃
6．把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（ ）
A B C D
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
9．若分式的值为0，则的值为 。
10．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 。
11．在五环图案内，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图，，其中a，b，c是三个连续偶数（a
AD+AE。
八、解答题（本题满分7分）
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过P（，5）A（0，2）两点。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，求到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标。
九、解答题（本题满分8分）
25．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，
设CD，BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=∠A。
请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形
是等对边四边形；
（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A。探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）
数学试卷
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ｄ
二、填空题
9．2
10．
11．6
8
10
11
13
或
10
12
14
17
19
12．2，3，4，6，12
三、解答题
13．解：
。
14．解：因为a=1，b=4，c=-1，
所以。
代入公式，得。
所以原方程的解为。
15．解：
。
16．证明：因为OP是∠AOC和∠BOD的平分线，
所以 ∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP。
所以 ∠AOB=∠COD。
在△AOB和△COD中，
所以。
所以 AB=CD。
17．解：
。
当x2=4时，原式=-3。
四、解答题
3
1
2
18．解：作DF⊥BC于点F。
因为AD∥BC，所以∠1=∠2。
因为AB=AD，所以∠2=∠3。
所以∠1=∠3。
又因为AB=DC，∠C=60°，
所以=∠1=∠3=30°。
又因为AE⊥BD于点E，AE=1，所以AB=DC=2。
在Rt△CDF中，由正弦定义，可得。
所以梯形ABCD的高为。
19．解：（1）证明：如图，连结OA。
因为OC=BC，，
所以OC=BC=AC=OA。
所以△ACO是等边三角形。
故∠O=60°。
又可得∠B=30°，所以∠OAB=90°。
所以AB是的切线。
（2）解：作AE⊥CD于E点。
因为∠O=60°，所以∠D=30°。
又∠ACD=45°，AC=OC=2，所以在Rt△ACE中，CE=AE=。
在Rt△ADE中，因为∠D=30°，所以。
由勾股定理，可求。
所以CD=DE+CE=。
五、解答题
20．解：（1）补全2005年北京市水资源统计图见右图；
水资源总量为23.18亿m3。
（2）设2005年环境用水量为x亿m3。
依题意得6x+0.2=6.8。
解得x=1.1。
所以2005年环境用水量为1.1亿m3。
因为13.38+1.1+6.8+13.22=34.5，
所以2005年北京市用水总量为34.5亿m3。
（3）因为34.5-23.18=11.32，所以2005年北京市缺水量为11.32亿m3。
（4）说明：通过对比2004年及2005年北京市的用水情况，能提出积极看法的给分。
六、解答题
21．解：（1）；
（2）直角顶点的坐标为或。
此时的图形如右图。
22．解：依题意得，反比例函数的解析式为的图像上。
因为点A（m，3）在反比例函数的图象上，
所以m=-1。
即点A的坐标为（-1，3）。
由点A（-1，3）在直线y=ax+2上，
可求得a=-1。
七、解答题
23．解：（1）如图1，；
（2）证法一：如图2，分别过点D，B作CA，EA的平行线，两线交于F点，DF与AB交于G点。
所以，。
图2
在和中，又CE=BD，
可证。
所以AC=FD，AE=FB。
在中，AG+DG>AD，
在中，BG+FG>FB，
所以AG+DG-AD>0，BG+FG-FB>0。
所以AG+DG+BG+FG-AD-FB>0。
即AB+FD>AD+FB。
所以AB+AC>AD+AE。
图3
证法二：如图3，分别过点A，E作CB，CA，的平行线，两线交于F点，EF与AB交于G点，连结BF。
则四边形EFCA是平行四边形。
所以FE=AC，AF=CE。
因为BD=CE，
所以BD=AF。
所以四边形是平行四边形。
所以FB=AD。
在中，AG+EG>AE，
在中，BG+FG>FB，
可推得AG+EG+BG+FG>AE+FB。
所以AB+AC>AD+AE。
证法三：如图4，取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF。
在和中，又，DO=EO。
可证。
所以AD=FE。
因为BD=CE，DO=EO，
所以BO=CO。
同理可证。
所以AB=FC。
延长AE交CF于G点。
在中，AC+CG>AE+EG，
在中，EG+FG>EF。
可推得AC+CG+EG+FG>AE+EG+EF。
即AC+CF>AE+EF。
所以AB+AC>AD+AE。
八、解答题
24．解：（1）根据题意得解得
x
1
2
3
3
4
2
1
-1
-2
-3
-2
-4
y
B
A（M2）
M4
M3
C
N
O
l
M1
所以抛物线的解析式为。
（2）由得抛物线的顶点坐标为。
依题意，可得，且直线过原点。
设直线的解析式为。
则，解得。
所以直线的解析式为。
（3）到直线距离相等的点有四个。
如图，由勾股定理得，所以为等边三角形。
易证轴所在直线平分，轴是的一个外角的平分线。
作的平分线，交轴于点，交轴于点，作的相邻外角的平分线，交轴于点，反向延长交轴于点。
可得点就是到直线OB，OC，BC距离相等的点。
可证，，均为等边三角形。
可求得：
①，所以点M1的坐标为。
②点M2与点A重合，所以点M2的坐标为（0，2）。
③点M3与点A关于x轴对称，所以点M3的坐标为（0，-2）。
④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N。
，且ON=M4N，所以点M4的坐标为。
综上所述，到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标分别为，M2（0，2），，。
九、解答题
25．解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）。
（2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）。
四边形DBCE是等对边四边形。
（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。
证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点。
图1
因为，BC为公共边，
所以。
所以BF=CG。
因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，
∠BEC=∠ABE+∠A，
所以∠BDF=∠BEC。
可证。
所以BD=CE。
所以四边形DBCE是等边四边形。
证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点。
图2
因为，BC为公共边，
所以。
所以BD=CF，∠BDC=∠CFB。
所以∠ADC=∠CFE。
因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，
∠FEC=∠A+∠ABE，
所以∠ADC=∠FEC。
所以∠FEC=∠CFE。
所以CF=CE。
所以BD=CE。
所以四边形DBCE是等边四边形。
说明：当AB=AC时，BD=CE仍成立。只有此证法，只给1分。
