北师大版九年级数学中考总复习知识梳理与练习题王金燕

北师大版九年级数学中考总复习知识梳理与练习题王金燕

第一讲 实数 一.知识梳理：‎ ‎1.实数的基本概念 ‎(1)正数和负数 定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数。‎ ‎ (2)有理数分类：‎ 正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。即：‎ ‎(3)无理数：无限不循环小数叫做无理数。‎ 常见的无理数，归纳起来有四类：‎ a.开方开不尽的数，如等； ‎ b.有特定结构的数，如0.1010010001…等；‎ c.有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； ‎ d.某些三角函数值，如sin60o等 注：小数是分数。‎ ‎(4)实数：有理数和无理数统称为实数，即：‎ ‎ 正有理数 ‎ 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 ‎ 正无理数 ‎ 无理数 无限不循环小数 ‎ 负无理数 ‎2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。（画数轴时，原点，正方向，单位长度三要素缺一不可）‎ 注意：实数与数轴的点是一一对应的。‎ ‎3.相反数：‎ 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。‎ 几何定义：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，若a+b=0Ûa、b互为相反数，反之亦成立.注意：零的相反数是零 一般地，如果a、b互为相反数，则a+b=0. 反之亦成立。‎ ‎4.绝对值 定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，记作|a|。‎ ‎①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0。即：‎ ‎ ‎ ‎①a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。‎ ‎②任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0。‎ ‎5.倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。‎ 倒数等于本身的数是1和-1。注意：0没有倒数。‎ ‎6.数的比较大小 法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。‎ ‎7.科学记数法 定义：把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。‎ 用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。‎ 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。‎ ‎8.近似数 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；‎ ‎9.有效数字 从左边第一个不为0的数开始，到精确的数位为止，中间所有的数字都叫做有效数字。‎ 二.课后练习 ‎1.若收入100元记作+100元，那么支出60元记作 _______元。‎ ‎2.3的相反数是 ，-5的倒数是 ，-3的绝对值是 。‎ ‎3.计算：-(-2)= ，|-5|= 。‎ ‎4.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 ‎= 。‎ ‎5.小明在画数轴时，不小心把一滴墨水滴在已经画好的数轴上。如图所示，请根据图中标出的数，写出被墨水盖住的整数： 。‎ ‎6.‎ 若a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a+b= 。‎ ‎7.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000 km，则这个数用科学记数法表示应为 。‎ ‎8.2.396≈ (精确到百分位) 2.396≈ _____ (精确到十分位)‎ ‎9.在记录气温时，若零上5度记作+5℃，那么零下5度记作( )‎ A、5℃ B、-5℃ C、0℃ D、-10℃‎ ‎10.数轴上表示-3的点到原点的距离是( )‎ A、3 B、-3 C、 D、‎ ‎11.在0，-2，1，这四个数中，最小的数是( )‎ A、0 B、-2 C、1 D、‎ ‎12.如果a的倒数是-1，那么a2014等于( )‎ A、-1 B、1 C、2014 D、-2014‎ ‎13. 3的相反数是(　　)‎ A. 3 B. －3 C. D. － ‎14.－3的绝对值是(　　)‎ A. 3 B. －3 C. － D. ‎15.－7的倒数是(　　)‎ A. 7 B. C. －7 D. － ‎16.sin60°的相反数是(　　)‎ A. － B. － C. － D. － ‎17.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是(　　) ‎ A. a＋b<0 B. ab>0 C. a－b<0 D. |a|>|b|‎ ‎18.若a与1互为相反数，则|a＋1|等于(　　)‎ A. －1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎19.在1，－2，0， 这四个数中，最大的数是(　　)　　‎ A. －2 B. 0 C. D. 1‎ ‎20.地球上的陆地面积约为149000000平方公里，那么用科学记数法表示149000000应为( )‎ A、1.49×106 B、1.49×107 ‎ C、1.49×108 D、1.49×109‎ ‎21. 甲型H1N1流感病毒变异后的直径为0.00000013米，这个数用科学记数法表示应该是( )‎ A、1.3×10-6 B、1.3×10-7 ‎ C、1.3×10-8 D、1.3×10-9‎ ‎22.中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法可表示为(　　)‎ A. 0.675×105 B. 6.75×104‎ C. 67.5×103 D. 675×102‎ ‎23.近年来，我国大部分地区饱受“四面霾伏”的困扰。霾的主要成分是PM2.5，是指直径小于或等于0.0000025m的颗粒物。那么数0.0000025用科学记数法可表示为( )‎ A、25×10-5 B、25×10-6 ‎ C、2.5×10-5 D、2.5×10-6‎ ‎24.钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积为440万m2，数据440万用科学记数法表示为(　　)‎ A. 4.4‎‎×106　　　　B. 44×105‎ C. 4×106 D. 0.44×107‎ ‎25.把2.3649精确到0.01是（ ）‎ A.2.3‎‎ B. 2.37 C.2.36 D.2.35‎ ‎26.0.002035的有效数字有（ ）‎ A.5个 B. 5的 C.4个 D.3个 ‎28.数21.300精确到（ ）‎ A.0.1‎‎ B. 0.01 C.0.001 D.无法确定 ‎29.把数3576.635精确到百位是（ ）‎ A.3576 B. 3576.64 C.3577 D.3600‎ ‎30.下列实数中，是无理数的为(　　)‎ A. 3.14‎‎ B. C. D. 第二讲 实数的运算 一.知识梳理：‎ ‎1. 实数的加法 ‎（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反数的两个数相加得0；④一个数同0相加，仍得这个数。‎ ‎（2）加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。‎ ‎2. 实数的减法 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。‎ ‎3. 实数的乘法 ‎（1）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。②任何数与0相乘，都得0。‎ ‎（2）乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。‎ ‎4. 实数的除法 除法法则：①‎ 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：。‎ ‎②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。‎ ‎③0除以任何一个不等于0 的数，都得0。‎ ‎5. 乘方 ‎（1）定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。‎ 如：叫做a的乘方，记作an。读作a的n次方（幂），‎ 在an中，a叫做底数，n叫做指数。乘方的结果叫做幂。‎ ‎（2）性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。‎ ‎6. 0指数幂和负正指数幂 ‎（1）0指数幂：一个不为0的数的0次幂都等于1，即：‎ ‎（2）负正指数幂：一个不为0的数的负整指次幂等于这个数的倒数的正整指次幂。即：‎ ‎7. 实数的混合运算 混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。‎ 二.精讲点拨：‎ 例1.计算：‎ 例2.计算：(－2)0＋()－1＋4cos30°－|1-|.‎ 三.课后作业：‎ ‎1.某天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃，那么中午的气温是 ℃。‎ ‎2.日喀则某天的最高气温是10℃，最低气温是-8℃，那么这天日喀则的最高气温比最低气温高( )‎ ‎ A、-18℃ B、-2℃ C、2℃ D、18℃‎ ‎3.计算：()－2－|－1＋|＋2sin60°＋(－1－)0.‎ ‎4.计算：(π－)0＋－(－1)2015－tan60°.‎ ‎5.计算：(－2)3＋×(2014＋π)0－|－|＋tan260°.‎ ‎6.计算：＋()－1－2cos45°－(π－2016)0.‎ ‎7. 计算：－(π－1)0＋tan60°＋|－2|.‎ 第三讲 平方根和立方根 一.知识梳理：‎ ‎1.平方根 定义1：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。‎ 表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。 a叫做被开方数。‎ 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。‎ 定义2：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。记作，读作“根号a”， ‎ 性质1：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。‎ 性质2：算术平方根的双重非负性：‎ ‎①0 ； ②‎ 定义3：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。‎ ‎2.立方根 定义1：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。‎ 性质1：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根是零。‎ 性质2：，三次根号内的负号可以移到根号外面。‎ 定义2：求一个数的立方根的运算，叫做开立方 ‎3. 实数大小的比较 ‎ ‎（1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。‎ ‎（2）实数大小比较的几种常用方法 ‎①作差法：设a、b是实数，‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎②作商法：设a、b是两正实数，‎ ‎③平方法：设a、b是两负实数，则 ‎④近似值法：记住这些数值：‎ 二.课后作业 ‎1.9的算术平方根是 ；4的平方根是 。‎ ‎2.-8的立方根是 ；立方根是它本身的数是______‎ ‎3.的算术平方根是_____，的立方根是 ‎ ‎5.比较大小：-3.14 ； 。‎ ‎6. 已知，则xyz的立方根是________‎ ‎7.的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。‎ ‎8.若代数式有意义，则x的取值范围是____________．‎ ‎9.已知x、y为实数，且y＝－＋4，则x－y＝________．‎ ‎10.的算术平方根是( )‎ A.4 B.±4 C.2 D.±2‎ ‎11.在数，，，，，中，无理数有( )个。‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎12.如图，数轴上点P表示的数可能是( ) ‎ A. B.- ‎ C.-3.2 D.-‎ ‎13.估计的值( )‎ A、在3到4之间 B、在4到5之间 ‎ C、在5到6之间 D、在6到7之间 ‎14.64的立方根是(　　)‎ A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8‎ ‎15.(－3)2的平方根是(　　)‎ A. 3 B. －3 C. ±3 D. 9‎ ‎16.化简：＝(　　)‎ A. 3 B. －3 C. －2 D. 2‎ ‎17.下列说法不正确的是( )‎ A.0的相反数、绝对值都是0 ‎ B.立方等于它本身的数有3个 C.平方等于它本身的数有2个 ‎ D.倒数等于它本身的数有1个 ‎18. 在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)‎ A. x<1 B. x>1 C. x≤1 D. x≥1‎ 第四讲 二次根式 ‎1.二次根式的定义 形如(a≥0)的式子叫做二次根式。‎ ‎2.二次根式的基本性质 ‎① (a≥0)； ‎ ‎ ‎ ‎② ‎ ‎ ‎ ‎3.二次根式的乘除法 ‎(1)二次根式的乘法：‎ ‎①(a≥0， b≥0)； ‎ ‎② (a≥0， b≥0)。‎ ‎(2)二次根式的除法：‎ ‎① (a≥0， b＞0)； ‎ ‎② (a≥0， b＞0)。‎ ‎4.最简二次根式 最简二次根式满足的条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②根号内不含分母；③分母中不含根号。‎ ‎5.同类二次根式：‎ ‎ 几根二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式 ‎6.二次根式的加减法 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。‎ ‎7.分母有理化 把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化。‎ 二.课后作业 ‎1.二次根式在实数范围内有意义的条件是 。‎ ‎2.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 。‎ ‎3.计算：= ；= ；‎ ‎4.计算：－＝= 。= 。‎ ‎5.已知a＝1＋，b＝1－，则代数式a·b的值为________．‎ ‎6.列计算错误的是(　　)‎ A. ·＝ B. ＋＝ C. ÷＝2 D. ＝2 ‎7.下面计算正确的是( )‎ A.3＋=3 B. ‎ C.2= D.=±2‎ ‎8.a＝－，则a在两个相邻整数之间，这两个整数是(　　)‎ A. 4和5 B. 3和4 C. 2和3 D. 1和2‎ ‎9.下列二次根式中，最简二次根式是( )‎ A. B. C、 D、‎ ‎10.下列二次根式中与是最简二次根式的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎13.计算：‎ ‎14. 计算：2－1－tan60°－－(π－1)0＋|2－|.‎ ‎15.计算： ‎ ‎16.求代数式x2+4xy+y2的值，其中，。‎ 第五讲 幂的运算 一.知识梳理 ‎（一）代数式 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数和字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。‎ 注意：代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。‎ ‎2.代数式的书写格式：‎ ‎（二）整式：单项式和多项式统称为整式。‎ ‎①单项式：只含有乘法运算的代数式叫做单项式。‎ 单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；‎ 数字因数叫做这个单项式的系数。单独的一个数或一个字母也是单项式；‎ ‎②多项式：几个单项式的和叫做多项式。‎ 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项；‎ 次数最高的项的次数叫做多项式的次数。‎ ‎（三）.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。‎ 注意：①同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；③几个常数项也是同类项。‎ ‎（四）合并同类项法则：‎ 合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。‎ ‎（五）幂的运算 ‎①同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：am·an=am+n。‎ ‎②幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：(am)n=amn。‎ ‎③积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即：(ab)n=anbn。‎ ‎④同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即：am÷an=am-n。‎ 二.课后作业 ‎1.计算：(-2a2b3c)3= 。‎ ‎2.若单项式与是同类项，则 ‎= 。‎ ‎3.计算：(-a3)2÷a3= 。‎ ‎4.用☆定义一种新运算：对于任意实数a、b，都有a☆b=b2+1，则5☆3= 。‎ ‎5.某人设计了一个计算程序，当输入任意实数对(a，b)时，会得到一个新的实数：a2+b+1。如输入(3，-2)时，会得到32+(-2)+1=8。现输入(-3,4)，得到的数是 。‎ ‎6.科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，‎ ‎······。仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是 。‎ ‎7. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：‎ ‎ ‎ 第1个 第2个 ‎ ······‎ ‎ 第3个 第n个图案中白色地面砖有 块。‎ ‎8.观察下列一组图形的规律：‎ ‎△△☆▲□△△☆▲□△△☆▲□△△······‎ 猜一猜第2014个图形应该是( )‎ A.△ B.☆ C.▲ D.□‎ ‎9. 下列计算正确的是( )‎ A.x2+x2=x4 B.x3·x3=x9 C.x3·x5=x8 D.(x2)4=x6‎ ‎10.下列计算正确的是( )‎ A.a2·a3=a6 B.y3÷y3=y C.3m+3n=3mn D.(x3)2=x6‎ ‎11.下列运算正确的是( )‎ A.a3·a2=a B.(a3)4=a7 C.2a3+5a3=7a6 D.、a4÷a3=a ‎12.下列运算正确的是( )‎ A.x3+x3=x6 B.x2·x4=x8 C.x12÷x2=x6 D.x2·x4=x6‎ ‎13.计算(a3)2的结果是(　　)‎ A. a5 B. a6 C. a8 D. a9‎ ‎14.下列运算中，结果正确的是(　　)‎ A. x3·x3＝x6 B. 3x2＋2x2＝5x4‎ C. (x2)3＝x5 D. (x＋y)2＝x2＋y2‎ ‎15.一组按规律排列的多项式：a+b，a2-b3，a3+b5，a4-b7，……，其中第10个式子是( )‎ A.a10+b19 B.a10-b19 C.a10-b17 D.a10-b21‎ ‎16.下列运算正确的是(　　)‎ A.a·a2＝a2 B.(ab)3＝ab3 C.(a2)3＝a6 D.a10÷a2＝a5‎ ‎17.下列运算正确的是(　　)‎ A. x2＋x2＝x4 B. (a－b)2＝a2－b2‎ C. (－a2)3＝－a6 D. ‎3a2·‎2a3＝‎6a6‎ 第六讲 整式的运算 一.知识梳理 ‎1.去括号法则：‎ ‎①‎ 括号前面是正号，去掉括号后括号内的各项不变号；‎ ‎②括号前面是负号，去掉括号后括号内的各项要变号。‎ ‎2.整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。‎ ‎3.整式的乘除运算 ‎①单项式与单项式的乘法：‎ 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。‎ ‎②单项式与多项式的乘法：‎ 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：p(a+b+c)=pa+pb+pc。‎ ‎③多项式与多项式的乘法：‎ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。‎ ‎④平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。‎ ‎⑤完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。即：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。‎ ‎⑥完全平方式 我们把形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式 ‎⑦单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。‎ ‎⑧多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。‎ 注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。‎ ‎3.因式分解 定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。‎ 因式分解的常用方法：‎ ‎①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；‎ ‎②公式法：‎ 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；‎ 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2； a2-2ab+b2=(a-b)2。‎ 二.课后作业 ‎1.分解因式：x2-9= ；x2+6x+9= ；‎ ‎2.分解因式：2x3+8x2+8x= ；a3b-ab3= 。‎ ‎3.分解因式：ax2－ay2＝_______；a3－a＝________‎ ‎4.分解因式：x3y－2x2y＋xy＝______．2x2－8＝_______．‎ ‎5.对于实数a，b，规定一种运算： a⊕b＝a(a－b)＋1，则(－2)⊕ 5的结果为________．‎ ‎6.若x＋y＝3，xy＝1，则x2＋y2＝________．‎ ‎7.已知a2－a－1＝0，则a3－a2－a＋2015＝________．‎ ‎8.计算：(－‎5a4)·(－8ab2)＝________‎ ‎9.计算(12x4y7+20x2y5)÷(-4x2y4)的结果是( )‎ A.3x2y3+5y B.-3x2y3 C.-3x2y3-5y D.-3x2y3-5xy ‎10.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值是( )‎ ‎ A.12 B.24 C.±12 D.±24‎ ‎11.多项式‎2a2－4ab＋2b2分解因式的结果正确的是(　　)‎ A. 2(a2－2ab＋b2) B. ‎2a(a－2b)＋2b2‎ C. 2(a－b)2 D. (‎2a－2b)2．‎ ‎12.已知整式x2－x＝6，则2x2－5x＋6的值为(　　)‎ A. 9 B. 12 C. 18 D. 24‎ ‎13.先化简，再求值 ‎，其中。‎ ‎14.若方程组的解是，求(a＋b)2－(a－b)(a＋b)的值．‎ ‎15.若x＋＝3，求的值 第七讲 分式 一.知识梳理 ‎1.分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。即：分母中有字母的代数式叫做分式。‎ ‎2.分式有意义的条件：分式的分母不为0‎ ‎3.分式有意义的条件：在分式的分母不为0的条件下，分子为0.‎ ‎4.分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。‎ ‎；。‎ ‎3.分式的乘除 ‎①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。‎ ‎②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。‎ ‎③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。‎ ‎④整数负指数幂：（a≠0）。‎ ‎4.分式的加减 ‎①同分母分式的加减：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；‎ 即：；‎ ‎②异分母分式的加法：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 即：。‎ 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。‎ 二.精讲点拨 例1. 化简：①；②‎ 例2. 先化简，再求值：‎ 其中：x是满足-30‎ C. b2－‎4ac<0 D. b2－‎4ac≥0‎ ‎7.若一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝________．‎ ‎8. 若实数a、b满足|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是______．‎ ‎9.设m、n是一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根，则的值为________．‎ ‎10.已知关于x的一元二次方程mx2＋mx＋m－1＝0有两个相等的实数根．(1)求m的值；(2)求此时方程的解．‎ ‎11.已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． ‎ ‎ ‎ ‎12. 已知关于x的方程k2x2－2(k＋1)x＋1＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)当k＝1时，设所给方程的两个根分别为x1和x2，求＋的值 ‎13.一元二次方程2x2+3x-4=0的两根分别为x1，x2,‎ 求下列各式的值 第十一讲 一元二次方程的应用 一.精讲点拨 例1.如图，在一块长为‎22米，宽为‎17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．求道路的宽为多少米，．‎ 例2.学校组织了一次篮球单循环比赛(每两队之间都进行了一次比赛)，共进行了21场比赛，那么有多少个球队参加了这次比赛 例3.某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%.在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．(1)求这种玩具的进价；(2)求平均每次降价的百分率．(精确到0.1%)‎ 例4.某电器商场经销一种品牌冰箱，每台的进价是2500元，经市场调查发现：当每台的销售价为2900元时，平均每天可售出8台，若每台克每降价50元时，平均每天就能多售出4台，现要保证该商场每天盈利5000元，每台冰箱应定价多少元？‎ 二.课后作业 ‎1.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(　　)‎ A. x(5＋x)＝6 B. x(5－x)＝6‎ C. x(10－x)＝6 D. x(10－2x)＝6‎ ‎2.近年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年将投入3600万元．设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是(　　)‎ A. 2500x2＝3600 B. 2500(1＋x)2＝3600‎ C. 2500(1＋x%)2＝3600‎ D. 2500(1＋x)＋2500(1＋x)2＝3600‎ ‎3. 如图，在一块长为‎22米，宽为‎17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．求道路的宽为多少米？‎ ‎ ‎ ‎4.某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%.在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．(1)求这种玩具的进价；(2)求平均每次降价的百分率．(精确到0.1%)‎ ‎5.某电器商场经销一种品牌冰箱，每台的进价是2500元，经市场调查发现：当每台的销售价为2900元时，平均每天可售出8台，若每台克每降价50元时，平均每天就能多售出4台，现要保证该商场每天盈利5000元，每台冰箱应定价多少元？‎ ‎6. 小明家要围一个面积为216m2的矩形牛圈，其中一面靠墙，另外三面用长为42m的栅栏围起。若墙的长度不限，问这个牛圈的长和宽各是多少？‎ ‎7.学校组织了一次篮球单循环比赛(每两队之间都进行了一次比赛)，共进行了21场比赛，那么有多少个球队参加了这次比赛．‎ 第十二讲 二元一次方程组 一.知识梳理 ‎（一）定义 定义1：有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。‎ 定义2：两个方程合在一起，就组成了方程组。‎ 定义3：二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。‎ 定义4：元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。‎ ‎（二）二元一次方程组的解法 ‎①代入消元法；‎ 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。‎ ‎②加减消元法。‎ 加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。‎ 二.精讲点拨 例1. 解方程组：‎ 例2. 西藏某旅游景点，某周共售出1000张门票，门票收入共为6950元。已知成人票每张8元，学生票每张5元。问这一周成人票、学生票各售出多少张？‎ 例3. 根据图中给出的信息，求出每件衬衫和每瓶矿泉水的价格。‎ ‎ ‎ 三.课后作业 ‎1. 西藏某旅游景点，某周共售出1000张门票，门票收入共为6950元。已知成人票每张8元，学生票每张5元。问这一周成人票、学生票各售出多少张？‎ ‎2.西藏某旅游景点，某周共售出1000张门票，门票收入共为6950元。已知成人票每张8元，学生票每张5元。问这一周成人票、学生票各售出多少张？ ‎ ‎3.陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有“笑脸”和“爱心”两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置的需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为(　　)‎ ‎4.李老师为学校购买知识竞赛的奖品，购买了甲、笔记本共25本，单价分别为2元和5元，结果共花了95元。问两种笔记本各多少本？‎ ‎5.根据图中给出的信息，求出每件衬衫和每瓶矿泉水的价格。‎ ‎ ‎ 第十三讲 元一次不等式及其解法 一. 知识梳理 ‎（一）不等式的性质 性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。即：a＞b，则a±c＞b±c。‎ 性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。即：a＞b，c＞0，则ac＞bc，＞。‎ 性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。即：＞b，c＜0，则ac＜bc，＜。‎ ‎（二）一元一次不等式的定义 ‎1、定义 定义1：用符号“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”表示大小关系的式子，叫做不等式。‎ 定义2：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。‎ 定义3：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。‎ 定义4：求不等式的解集的过程叫做解不等式。‎ 定义5：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。‎ 定义6：几个一元一次不等式联立在一起就组成了一元一次不等式组 定义7：几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组的解集。‎ 二.精讲点拨 例1.若a > b，则下列式子错误的是( )‎ A. a +3>b+3 B. 3-2a ＜3-2b C. ac2 > bc2 D. ac>bc ‎ 例2.求不等式的非负整数解 例3.求不等式组的整数解 例3.若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求m的取值范围。‎ 三.课后作业 ‎1.若x > y，则下列式子错误的是( )‎ A.x-3 > y-3 B.-x > - y ‎ C.x+3 > y+2 D.>‎ ‎2.定义新运算：对于任意实数a，b都有：a＄b＝a(a－b)＋1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，如：2＄5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－5.那么不等式3＄x<13的解集为________．‎ ‎3.如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，左盘中放置物体A，则物体A的质量m（g）的取值范围是 。‎ ‎4.‎ ‎5.求不等式2x＋9≥3(x＋2)的正整数解．‎ ‎6.求等式组的所有整数解 ‎7.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎8.若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求m的取值范围 第十四讲 一次不等式（组）的应用 一.精讲点拨 例1. 在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道选择题，每道题都给出四个答案，其中只有一个答案是对的。选对一道得4分，选错或不选倒扣2分，竞赛规定成绩不低于82分可参加复赛，小颖要参加复赛，她至少要答对几道 例2. 工人赵新5月份计划生产零件198个，前16天每天平均生产6个，后来改进技术，提前3天并超额完成任务，问赵新16天后平均每天至少生产多少个零件？‎ 例3. 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了一次“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交警维持交通秩序。若每个路口安排4人，则还剩下78人，若每个路口安排8人，则最后一个路口不足8人但不少于4人，求这个中学选派了多少学生值勤，交通路口有多少个？‎ 例4. 某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品需甲种原料9kg，乙种原料3kg，生产一件B种产品需甲种原料4kg，乙种原料10kg，(1)设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式；(2)如果x是整数，有哪几种符合题意的生产方案，请你帮助设计出来 二.课后作业 ‎1.有一个两位数，它的十位数字比个位数字大1，并且这个两位数大于30而小于42，求这个两位数。‎ ‎2.在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道选择题，每道题都给出四个答案，其中只有一个答案是对的。选对一道得4分，选错或不选倒扣2分，竞赛规定成绩不低于82分可参加复赛，小颖要参加复赛，她至少要答对几道 ‎3.用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则还剩20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，问有多少辆汽车？‎ ‎4.某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米,乙种布料1米，做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米,乙种布料0.2米，(1)设生产L型号的童装x套, 写出x应满足的不等式；(2) 如果x是整数，有哪几种符合题意的生产方案，请你帮助设计出来。‎ ‎5.某房地产开发公司计划建造A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：‎ A B 成本（万元 / 套）‎ ‎25‎ ‎28‎ 售价（万元 / 套）‎ ‎30‎ ‎34‎ (1) 该公司对这两套户型的住房有几种建房方案？ ‎ (2) 该公司如何建房获得的利润最大？最大利润是多少?(利润=售价-成本)‎ 第十五讲 函数 一.知识梳理 ‎（一）常量、变量、函数、自变量、因变量 ‎1.常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量 ‎2.变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。‎ ‎3.函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。‎ ‎4.自变量、因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。‎ ‎5. 函数的三种表示方法：‎ ‎①.列表法（用表格）上自下因 ‎②.解析法（关系式）后自前因 ‎③.图像法（用图象）横自纵因 ‎6.画函数图象的步骤：‎ ‎①.列表。表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；‎ ‎②.描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；‎ ‎③.连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来 ‎（二）平面直角坐标系 ‎1.定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成的图形叫做平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。‎ ‎2.象限：坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。‎ 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何一个象限。‎ ‎3.点的坐标的概念：坐标平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。‎ ‎4.不同位置的点的坐标的特征： ‎ ‎（1）各象限内点的坐标的特征：‎ 点P(x,y)在第一象限 点P(x,y)在第二象限 点P(x,y)在第三象限 点P(x,y)在第四象限 ‎（2）坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数 点P(x,y)在原点上x，y同时为零，‎ ‎（3）两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 ‎（4）关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，‎ 点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，‎ 点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）‎ ‎（5）点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：‎ ‎①点P(x,y)到x轴的距离等于 ‎②点P(x,y)到y轴的距离等于 ‎③点P(x,y)到原点的距离等于 二.课后作业 ‎1.已知点A在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点A的坐标是 。‎ ‎2.将点M(3，－2)先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是________．‎ ‎3.已知点（m-1，m-2）在第四象限，则m的取值范围是 。‎ ‎4. 5.函数中自变量x的取值范围是 。‎ ‎6.函数y=的自变量x的取值范围为 .‎ ‎7.已知等腰三角形的周长为‎20cm,底边长y(cm)表示成腰长x(cm)的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 .‎ ‎8.‎ 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是__________‎ ‎9.下列各式中y不是x的函数的是（ ）‎ A.y=2x2 B.y=∣x∣ C.∣y∣=x D.y=2x+3‎ ‎10.下列数据中不能确定物体位置的是（ ）‎ A．某市政府位于北京路32号 B．小明住在某小区3号楼7号 C．太阳在我们的正上方 D．东经130°，北纬54°‎ ‎11.已知点P(0，m)在y轴的负半轴上，则点M(－m，－m＋1)在(　　)‎ A. 第一象限 B. 第二象限 ‎ C. 第三象限 D. 第四象限 ‎12.点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是(　　)‎ A. (，) B. (－，－) ‎ C. (－，) D. (－，－)‎ ‎13.已知点P(a＋1，－＋1)关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)‎ ‎14.设等腰三角形底角的度数x（单位：°），顶角的度数y为与x的函数关系式为（ ）‎ A．y=180°-2x（0°≤x<90°） ‎ B．y=180°-2x（0°0时，直线是“ ”，y随x的增大而增大；‎ ‎②当k<0时，直线是“ ”，y随x的增大而减小。‎ ‎（2）b的符号决定直线与y轴交点的位置，‎ ‎①当b>0时，直线与y轴的交点在正半轴 ‎ ‎②当b<0时，直线与y轴的交点在负半轴 二.精讲点拨 例1.某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册。甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费。‎ ‎ (1)请写出制作纪念册的册数x与甲公司的收费y1（元）的函数关系式；‎ ‎ (2)请写出制作纪念册的册数x与乙公司的收费y2（元）的函数关系式；‎ ‎ (3)若学校需要400册纪念册，你认为选择哪家公司较好？‎ 例2.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(1，4)和(3，8)，与x轴、y轴分别交于点A、B。(1)求这个一次函数的解析式；(2)写出点A、B的坐标；(3)观察图象，思考在x轴上是否存在一点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，写出点C的坐标。‎ 三.课后作业 ‎1.过点(1，3)的正比例函数的解析式是( )‎ A.y=3x B. C. D.y=2x+1‎ ‎2.直线y=2x-4与x轴的交点坐标是( )‎ A.(-4，0) B.(4，0) C.(-2，0) D.(2，0)‎ ‎3.直线y=-x与直线y=-2x+3的交点坐标是( )‎ A.(3，-3) B.(-3，3) C.(1，-1) D.(-1，1)‎ ‎4.函数y=kx +b（k≠0）的图象如图所示，则k、b的符号是( )‎ A.k＞0 b＞0 ‎ B.k＞0 b＜0‎ C.k＜0 b＜0 ‎ D.k＜0 b＞0‎ ‎5.为鼓励市民节约用水，某市自来水公司按分段收费标准收费，如图反映的是每月所收水费y(元)与用水量x(方)之间的函数关系．(1)求每月用水量不超过8m3和超过8m3的y和x的函数关系式(2)小亮家三月份用水7方，请问应交水费多少元?(3)按上述分段收费标准，小亮家四、五月份分别交水费33元和21元，问五月份比四月份节约用水多少方？‎ ‎ ‎ ‎6.某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册。甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费。‎ ‎ (1)请写出制作纪念册的册数x与甲公司的收费y1（元）的函数关系式；‎ ‎ (2)请写出制作纪念册的册数x与乙公司的收费y2（元）的函数关系式；‎ ‎ (3)若学校需要400册纪念册，你认为选择哪家公司较好？‎ ‎7.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(1，4)和(3，8)，与x轴、y轴分别交于点A、B。(1)求这个一次函数的解析式；(2)写出点A、B的坐标；(3)观察图象，思考在x轴上是否存在一点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，写出点C的坐标。‎ 第十七讲 反比例函数 一.知识梳理 ‎1.定义：‎ 形如(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。‎ ‎2.反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线。‎ ‎3.性质:‎ ‎①当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；‎ ‎②当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；‎ ‎ 4.k的的几何意义:‎ 如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，则:‎ 二.精讲点拨 例1.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y＝(k>0，x>0)的图象上，点D的坐标为(4，3)．(1)求k的值；(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y＝(k>0，x>0)的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．‎ 例2. ‎ 三.课后作业 ‎1.反比例函数的图象经过点（-2，3），那么k的值是( )‎ A.-2 B.3 C.6 D.-6‎ ‎2.反比例函数的图象如图所示，点M在图象上，MN垂直于x轴，垂足为N，若S△MON=2，则k =( )‎ A.4 B.-4 C.2 D.-2‎ ‎3.若反比例函数的图象经过点(-1，2)，则这个函数的图象一定经过点( )‎ A.（2，-1） B.（，2） C.（-2，-1） D.（，2）‎ ‎4.反比例函数的图象在第二、第四象限，则m的取值范围是 。‎ ‎5.函数的图象在 象限，在各象限内，y随x的增大而 。‎ ‎6.如图，点A在函数（x＜0）的图象上，过A作AE⊥x轴于E，作AF⊥y轴于F。则矩形AEOF的面积是 。‎ ‎7.如图，矩形AOBP的面积为6，反比例函数的图象经过点P，则k= 。‎ ‎7.在物理学中，已知电路中某变阻器两端的电压为10V，则通过变阻器的电流I(A)与它的电阻R(Ω)之间的函数关系的图象可能是（ ）‎ A B C D ‎10.如图：反比例函数与一次函数的图象交于A（1,3）和B（-3，n）两点。(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)当x取什么值时，一次函数的值大于反比例函数的值。(3)求出△OAB的面积。‎ ‎11.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y＝(k>0，x>0)的图象上，点D的坐标为(4，3)．(1)求k的值；(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y＝(k>0，x>0)的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．‎ 第十八讲 二次函数 一.知识梳理 ‎1.定义：形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。a、b、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。‎ ‎2.图形 二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。‎ ‎3. 二次函数的性质：‎ 二次函数配方成，则抛物线的：‎ ①顶点坐标：（，）‎ ‎②对称轴：x= ‎ ‎③增减性：若a>0，当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大。‎ 若a<0，则当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小。‎ ‎④最值：若a>0，则当x=时，；若a<0，则当x=时，‎ ‎4.确定二次函数的表达式：‎ ‎（1）一般式：‎ ‎（2）顶点式：‎ ‎5.二次函数y=ax2+bx+c与b2-4ac的关系 ‎ >0 <===> 抛物线与x轴有2个交点；‎ ‎ =0 <===> 抛物线与x轴有1个交点；‎ ‎ <0 <===> 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；‎ 二.精讲点拨 例1. 某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。‎ ‎(1)写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式；‎ ‎(2)商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？‎ 例2. 某商户试销一种成本50元/千克的肉制品，规定试销时的销售价不低于成本，又不高于80元/千克，试销中销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系是一次函数（如下图所示）。(1)求y与x之间的函数关系式。(2)设商户获得的毛利润（毛利润=销售额-成本）为S（元），销售单价定为多少时，该商户获利最大？最大利润是多少？‎ 例3. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C(0，3)。(1)求抛物线的函数关系式； (2)若点D(-1，m)是抛物线y=ax2+bx+c上一点，试求出m的值，并求出此时△ABD的面积；(3)在x轴上是否存在一点P，使得△PAC为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标。(4)在对称轴上是否存在一点M，使得MA+MC的值最小？若存在，写出点M的坐标。‎ 三.课后作业 ‎1.把抛物线y=-4x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的抛物线是（ ）‎ A.y=-4(x+3)2+2. B.y=-4(x+3)2-2 ‎ C.y=-4(x-3)2+2 D.y=-4(x-3)2-2‎ ‎2.二次函数y=2(x-1)2+5图象的对称轴和顶点P的坐标分别是（ ）‎ A.直线x=-1，P(-1，5) B.直线x=-1，P(1，5)‎ C.直线x=1，P(1，5) D.直线x=1，P(-1，5)‎ ‎3.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是（ ）‎ A.2 B.1 C.-1 D.-2‎ ‎4.在平面直角坐标系中，将二次函数y=-2(x -1)2-2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点变为（ ）‎ A.（0,0） B.（1，-2） C.（0，-1） D.（-2,1）‎ ‎5.y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是(　　)‎ A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x－1)2＋3‎ C. y＝(x－2)2＋2 D. y＝(x－2)2＋4‎ ‎6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，有以下结论：①abc>0；②‎4ac 3 B.x < 4 C.x=5 D.1< x < 7‎ ‎5.已知等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是( )‎ A.40° B.100° C.40°或100° D.70°‎ ‎6.已知等腰三角形的一个角是100°，则它的顶角是( )‎ A.40° B.100° C.40°或100° D.70°‎ ‎7.等腰三角形的两边长分别是3和5，则它的周长是( )‎ A.11 B.13 C.11或13 D.以上都不对 ‎8..如下图，∠1=32°，∠2=35°，则∠3= 。‎ ‎9.如上图，△ABC中，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，∠ACD=50°，∠BCD=20°，则∠BAC= ，∠B= ，∠BAE= ，∠CEA= 。‎ ‎ ‎ ‎10.在直线l上依次摆放七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝________．‎ ‎11如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于D。回答下列问题：‎ ‎(1)求AB的长； (2)求△ABC的面积； (3)求CD的长。‎ ‎12.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，作∠EAB=∠BAD，AE交CB的延长线于点E，延长AD到F，使AF=AE，连接CF。求证：BE=CF。‎ 第二十讲 全等三角形 一.知识梳理 ‎1.全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。‎ ‎2. 全等三角形的判定 ‎(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。‎ ‎(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。‎ ‎(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。‎ ‎(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。‎ ‎(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。‎ ‎3.全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。‎ 二.精讲点拨 例1. 如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．‎ 例2. 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD、BE，求证：AD=BE。‎ ‎ ‎ 三.课后作业 ‎1.如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为________．(答案不唯一，只需填一个)‎ ‎2.如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD.请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是________．‎ ‎ ‎ ‎3.如图，扎西把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要把玻璃带到店里去配一块与原来完全一样的玻璃，那么最省事的方法是( )‎ A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①②去 ‎4.如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC＝EF，AD＝FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是____________________．(只需填一个即可)‎ ‎5.如图，点B、F、C、E在同一直线上，且BF＝CE，∠B＝∠E.要使△ABC≌△DEF，则应添加的条件为________．(答案不唯一，只需填一个)‎ ‎ ‎ ‎6.等腰△ABC中，AB＝AC＝‎10 cm，BC＝‎12 cm，则BC边上的高是______ cm.‎ ‎7.如图，B、C、D、E在一条直线上，AB⊥BE，FE⊥BE，且AB=FE，BC=DE，AD交CF于G。求证：（1）△ABD≌△FEC （2）CG=DG ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．‎ ‎9.已知：AB∥DC，AE⊥BD，CF⊥BD，BF=DE。求证：△ABE≌△CDF。‎ ‎ ‎ ‎10.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD、BE，求证：AD=BE。‎ ‎ ‎ 第二十一讲 相似三角形 一. 知识梳理 ‎1.平行线分线段成比例定理 定理：两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例。‎ ‎ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。‎ ‎2.相似三角形 定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。‎ 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。‎ ‎3.相似三角形的判定 平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所得的三角形与原三角形相似。‎ 两角法：两角分别相等的两个三角形相似。‎ 边角法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。‎ 三边法：三边对应成比例的两个三角形相似。‎ ‎4.相似三角形的性质 ‎①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；‎ ‎②相似三角形对应边上高的比，对应边上中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；‎ ‎③相似三角形周长的比等于相似比；‎ ‎④相似三角形面积的比等于相似比的平方。‎ ‎5.位似图形 定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比 ‎6. 黄金分割：‎ 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. ‎ 二.课后作业 ‎1.下列图形中不一定属于相似形的是( )‎ A.两个圆 B.两个等边三角形 ‎ C.两个正方形 D.两个矩形 ‎2.如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是(　　)‎ A. 1∶16 B. 1∶4 C. 1∶6 D. 1∶2‎ ‎3.已知△ABC∽△DEF，且AB:DE=1:2，则△ABC的周长与△DEF的周长之比( )‎ A.1:2 B.1:4 C.2:1 D.4:1‎ ‎4.如图，给出下列条件：其中，不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为(　　)‎ A.∠B＝∠ACD B.∠ADC＝∠ACB C.＝ D.＝ ‎5.如图，DE∥BC，且AD=2，BD=5，则△ADE与△ABC的相似比为( )‎ A.2:5 B.5:2 C.2:7 D.7:2‎ ‎6.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AE=3，BD=4，则AC=( )‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎7.已知△ABC∽△DEF，且它们的周长之比为1:2，那么它们的相似比为 。‎ ‎8.如图，∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：________，使△ABC∽△ADE.‎ ‎9.如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，S四边形BCFE＝15，则S△ABC＝________．‎ ‎ ‎ ‎10.如图，路灯距离地面‎8米，身高‎1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)‎20米的A处，则小明的影子AM长________米．‎ ‎11.小明同学为了测量电线杆AB的高度，如图，在离电线杆10m的P处放一平面镜，他站在C处通过平面镜看到电线杆的顶端A，已知B、P、C在一条直线上，C、P间的距离是2m，他的身高是1.7m。‎ ‎（1）他这种测量方法应用了物理学科中的什么知识？‎ ‎（2）请你帮他计算电线杆AB的高度。‎ ‎12.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E.(1)求证：△ADE∽△MAB；(2)求DE的长．‎ 第二十二讲 锐角三角函数 一. 知识梳理 ‎1.锐角三角函数 ‎①正弦：；‎ ‎②余弦：；‎ ‎③正切：。‎ ‎2.特殊角的三角函数值 ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ sin cos tan ‎ ‎3.解直角三角形 解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。‎ ‎4.仰角和俯角 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角 ‎5. 坡角和坡度：‎ 坡脚：坡面与水平面的夹角叫做坡角 h i=h:l l A B C 坡度：斜坡的垂直高度与水平宽度的比叫做坡度。用字母i表示，即 ‎6.方向角：‎ 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。‎ 二.课后作业 ‎1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则= ，= ，= 。‎ ‎2.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝________．‎ ‎3.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA＝________.‎ ‎4.已知一个斜坡的坡度是1，那么这一斜坡的坡面与水平面的夹角为 。‎ ‎5. 在△ABC中，若角A、B满足|cosA－|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的大小是(　　)‎ A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°‎ ‎6.△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(　　)‎ A. csinA＝a B. bcosB＝c C. atanA＝b D. ctanB＝b ‎7.如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎8.计算： ‎ ‎9.计算：‎ ‎10.如图，已知线段AB、CD分别表示甲、乙两栋楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，甲楼的高AB=24米。从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°。求乙楼的高CD。‎ ‎ ‎ ‎16.如图，已知塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60‎ ‎°，试求塔高与楼高。‎ ‎ ‎ 第二十三讲 平行四边形 一. 知识梳理 ‎1.多边形的内角和与外角和 ‎①n边形内角和等于(n-2)×180°。 ‎ ‎②多边形的外角和恒等于360°。‎ ‎2.平行四边形 ‎(1)定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。‎ ‎(2)平行四边形的性质 ‎①平行四边形的对边平行且相等，‎ ‎②平行四边形的对角相等邻角互补。‎ ‎③平行四边形的对角线互相平分。‎ ‎④平行四边形是中心对成图形，但不是轴对称图形，‎ ‎⑤平行四边形的两条对角线把平行四边形分成面积相等的四个三角形。‎ ‎(3)平行四边形的判定 ‎①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。‎ ‎②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；‎ ‎③两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。‎ ‎④对角线互相平分的四边形是平行四边形；‎ ‎(4)平行四边形的判定 平行四边形的面积等于底乘以高 二.精讲点拨 例. 如图，△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BF＝EF，求证：AE＝AD.‎ 三.课后作业 ‎1.八边形的内角和是 ，外角和是 ；‎ ‎2.如果一个多边形的内角和是900°，那么这个多边形的边数是 ；‎ ‎3.一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 ；‎ ‎4.平行四边形的一个角比它的邻角的2倍还大15°，则相邻两个内角的度数为 。‎ ‎5.已知□ABCD的周长为30cm，AB:BC=2:3，则AB= 。‎ ‎6.如图，四边形ABCD是菱形，点O是两边对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．‎ ‎7.如图，在▱ABCD中，E为AD的中点，△DEF的面积为1，则△BCF的面积为(　　)‎ ‎ ‎ A. 1 B. ‎2 ‎‎ C. 3 D. 4‎ ‎8.下列说法中，错误的是( )‎ A.对角线垂直且平分的四边形是菱形 ‎ B.对角线平分且相等的四边形是矩形 ‎ C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线垂直且相等的四边形是正方形 ‎9.点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有(　　)‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎10. 不能判定一个四边形是平行四边形的条件是(　　)‎ A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行且相等 C. 一组对边平行另一组对边相等 D. 两组对边分别相等 ‎11.如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD，∠BCD，交对边于点E、F。求证：AE=CF。‎ ‎ ‎ ‎12.如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF。求证：(1)BE=DF； (2)BE∥DF。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13.如图，△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BF＝EF，求证：AE＝AD.‎ ‎ ‎ 第二十四讲 特殊的平行四边形 一.知识梳理 ‎1.矩形 ‎(1)定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。‎ ‎(2)矩形的性质 ‎①矩形具有平行四边形的一切性质；‎ ‎②矩形的四个角都是直角；‎ ‎③矩形的对角线相等。‎ ‎ (3)矩形的判定 ‎①有一个角是直角的平行四边形是矩形；‎ ‎②对角线相等的平行四边形是矩形；‎ ‎③有三个角是直角的四边形是矩形。‎ ‎2.菱形 ‎(1)定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。‎ ‎(2)菱形的性质 ‎①菱形具有平行四边形的一切性质；‎ ‎②菱形的四条边都相等；‎ ‎③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。‎ ‎(3)菱形的判定 ‎①一组邻边相等的平行四边形是菱形；‎ ‎②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；‎ ‎③四条边相等的四边形是菱形。‎ ‎(4)菱形的面积定 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 ‎3正方形 正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。‎ 二.课后作业 ‎1.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为(　　)‎ A. 3 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎2.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积为(　　)‎ A. 2 B. 4 C. 4 D. 8‎ ‎ ‎ ‎3.如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，连接EF，则△AEF的面积是(　　)‎ A. 4 B. ‎3 C. 2 D. ‎4.在下列命题中，正确的是(　　)‎ A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 ‎5.矩形的两条对角线的夹角为60°，则这个矩形的两邻边的比为( )‎ A.1:1 B.1:2 C.2:3 D.1:‎ ‎6.菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是( )‎ A.15° B.30° C.60° D.120°‎ ‎7.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )‎ A.四个角都是直角 B.对角线相等 ‎ C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 ‎8.如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a－1)2＋＝0，那么菱形的面积等于________．‎ ‎9.已知菱形的边长为4，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长为 。‎ ‎10.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F。求证：BE=CF。‎ ‎ ‎ ‎11.如图，菱形ABCD，点E、F分别在边AB、AD上，求证：AE=AF。‎ ‎12.如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F。‎ 求证：DE=DF。‎ ‎ ‎ 第二十五讲 圆1‎ 一.知识梳理 ‎1.圆 ‎（1）定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。‎ ‎（2）相关概念 ‎①弦 ：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。‎ ‎②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。‎ ‎③等弧：在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。‎ ‎④弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。‎ ‎⑤同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。‎ ‎⑥等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。‎ ‎⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 ‎⑧圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.‎ ‎⑨弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.‎ ‎⑩圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.‎ ‎2.点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：‎ ‎①点P在圆外d＞r ；‎ ‎②点P在圆上d=r ；‎ ‎③点P在圆内d＜r ‎3.三角形的外接圆 定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。‎ 性质1：三角形的外心到三个顶点的距离相等。‎ 性质2：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。‎ ‎4.垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。‎ 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。‎ ‎5.弧、弦、圆心角之间的关系 在同圆或等圆中，两个圆心角，圆心角所对的弧，弧所对的弦也，弦的弦心距中有一组量相等，那么其余各组量也相等。‎ ‎6、圆周角 定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。‎ 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。‎ 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。‎ 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。‎ 二.课后作业 ‎1.如图，⊙O中，OC⊥AB于D，点C在圆上，⊙O的半径是5，弦AB的长为8，则OD= ，CD= 。‎ ‎2.如图，点A、B、C是⊙O上的点，若∠BOC=60°，则∠A= ‎ ‎3. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，则AB= ，BD= 。‎ ‎ ‎ ‎4. 如图，圆内接四边形ABCD，若∠A=100°，∠B=70°，则∠C= ，∠D= 。‎ ‎5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠BCD= 。‎ ‎6.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是________．‎ ‎7.如图，⊙O的半径等于5cm，圆心O到弦AB的距离OD为3cm，则弦AB的长等于( )‎ A.3cm B.4cm C.6cm D.8cm ‎ ‎8.如图，已知⊙O的半径为10cm，弦AB=16cm，则圆心O到弦AB的距离OC的长是( )‎ A.5cm B.6cm C.6cm D.8cm ‎9.如图，⊙O中，AB=6，OC⊥AB，垂足为D，CD=1，则⊙O的半径为( )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎10.如图，圆周角∠ACB=48°，则圆心角∠AOB的度数为( ) ‎ A.100° B.80° C.96° D.24°‎ ‎11.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为 ‎8 cm，水的最大深度为‎2 cm，则该输水管的半径为(　　)‎ A. ‎3 cm B. ‎4 cm C. ‎5 cm D. ‎‎6 cm ‎12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝(　　)‎ A. 45° B. 50° C. 60° D. 75°‎ ‎13.已知⊙O的半径为‎5 cm，两条平行弦分别是‎6 cm和‎8 cm，则这两条弦之间的距离(　　)‎ A. ‎1 cm　B. ‎7 cm　C. ‎1 cm或7 cm　D. 无法确定 ‎14.⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为(　　)‎ A. B. ‎2 C. D. 3 ‎15.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD.下列结论中不一定正确的是(　　)‎ A. AE＝BE B. ＝ C. OE＝DE D. ∠DBC＝90°‎ ‎14.如图，在半径为5的圆O中，AB、CD是相互垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为(　　)‎ A. 4 B. ‎3 C. 4 D. 3‎ ‎ ‎ 第二十六讲 圆2‎ 一.知识梳理 ‎1.直线与圆的位置关系 a.相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.‎ B.相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.‎ c.相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.‎ ‎2.数量特征:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；则有：‎ ‎①d 直线L和⊙O相交.‎ ‎②d=r <===> 直线L和⊙O相切.‎ ‎③d>r <===> 直线L和⊙O相离.‎ ‎3.三角形的内切圆 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点。这个交点叫做这个三角形的内心 性质：三角形的内心到三边的距离相等。‎ ‎4.切线的判定定理 经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。‎ ‎5.切线的性质定理：‎ 圆的切线垂直于过切点的半径。‎ ‎6.切线长定理：‎ 定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。‎ 定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。‎ 二.课后作业 ‎1.已知:点A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠OBA=75°，则∠BAC= ‎ ‎2.已知：PA切⊙O于A，PO交⊙O于点B，PA=8，OB=6，则PB= ，tan∠P= 。‎ ‎3.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为________．‎ ‎ ‎ ‎4.如图，已知AB为⊙O的直径，AB=AC，⊙O交BC于D，DE⊥AC于E。(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2.5，AD=3，求DE的长。‎ ‎ ‎ ‎5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE。(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC=30°，DE=1，求弦BD的长。‎ ‎ ‎ ‎6.如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连接DB，且AD=DB。(1)求证：DB为⊙O的切线；(2)若AD=1，PB=BO，求弦AC的长。‎ ‎ ‎ ‎7.如图，AB是⊙O的直径，半径OE⊥弦AC，且交弦AC于点F，延长BA到D，连接DE， 使得∠BOC=2∠D。‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若⊙O的半径是2，∠AOE=60°。求图中阴影部分的面积。‎ 第二十七讲 圆3‎ 一.知识梳理 ‎1.圆和圆的位置关系 设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R，R > r，两圆的圆心距是d，则有：‎ ‎①两圆外离d > R+r ；‎ ‎②两圆外切d=R+r ；‎ ‎③两圆相交R-r < d < R+r ；‎ ‎④两圆内切d=R-r ；‎ ‎⑤两圆内含d < R-r 。‎ ‎2.记忆图 ‎●‎ ‎●‎ ‎●‎ 内含 同心圆 内 切 外 切 相交 外离 ‎3.正多边形和圆 定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。‎ ‎4.弧长和扇形面积 ‎①n°的圆心角所对的弧长l为：。‎ ‎②圆心角为n°的扇形面积S为：。③‎ ‎5.圆锥 ‎①圆锥的侧面积为：S=πrl。‎ ‎②圆锥的全面积为：S=πrl+πr2。‎ 二.课后作业 ‎1.已知⊙O1和⊙O2的半径分别是3和4，O1O2=1，则两圆的位置关系是( )‎ A.内切 B.外切 C.相交 D.外离 ‎2.在半径为6的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 。‎ ‎3.已知扇形的圆心角为60°，半径为4，则这个扇形的面积是 。‎ ‎4.已知一个扇形的弧长为6，半径为4，则这个扇形的面积是 。‎ ‎5.已知一个扇形的圆心角是60°，面积是6π，那么这个扇形的弧长是 。‎ ‎6.已知一个扇形的圆心角是60°，弧长是π，那么这个扇形的面积是 。‎ ‎7.若圆锥的母线长为5cm，高线长为4cm，则圆锥的底面积是 ，侧面积是 。‎ ‎8.若相交两圆的半径分别是2和1，则两圆的圆心距可能是( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎9.如图是小明自制的一个无底锥形纸帽的示意图(圆锥的母线和底面图形的直径都是10cm),围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是( ) ‎ A.50πcm2 B.100πcm2 C.20πcm2 D.200πcm2‎ ‎10.如图所示，圆锥形帐篷的母线长AB=10m，底面半径长BO=5m，这个圆锥形帐篷的侧面积(不计接缝)是( )‎ A.15πm2 B.30πm2 C.50πm2 D.75πm2‎ ‎11.如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB＝(　　)‎ A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定 ‎ ‎ ‎12.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是(　　)‎ A. 80° B. 160° C. 100° D. 80°或100°‎ ‎13.已知⊙O和直线a，⊙O的半径是5，圆心O到直线a的距离是3，则直线a和⊙O的位置关系是( )‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 ‎14.如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，AD平分∠MAC交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E。(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的直径。‎ 第二十八讲 图形初步认识 一.知识梳理 ‎1. 直线公理：‎ 经过两个点有且只有一条直线。简称：“两点确定一条直线”‎ ‎2.线段公理 连接两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。‎ ‎3.两点间的距离 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。‎ ‎4.线段的中点：‎ 线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。‎ ‎5.线段的垂直平分线（简称中垂线）：‎ 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。‎ 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。‎ 作法：用尺规作图法作已知线段的垂直平分线。‎ ‎6.角的定义：‎ 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。‎ ‎7.角的平分线：‎ 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。‎ 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。‎ ‎ 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。‎ 作法：用尺规作图法作已知线段的垂直平分线。‎ ‎8.余角与补角 余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角。‎ 补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角。‎ 性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。‎ ‎9.命题与定理 定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。‎ 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。‎ 定义2：如果题设成立，那么结论一定成立， 这样的命题叫做真命题。‎ 定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。‎ 定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。‎ 定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。‎ 如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。‎ 二.课后作业 ‎1.下列四种生活、生产现象：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程。其中可用公理：两点之间，线段最短来解释的现象有( )‎ A.①② B.①③ C.②④ D.③④‎ ‎2.经过任意三点中的两点可以画出的直线条数是( )‎ A.一条或三条 B.三条 C.、两条 D.一条 ‎3.若C为AB的中点，AC=3，则BC= ，AB= 。‎ ‎4.如图，AB=40，BC=16，点D为AC中点， 则线段CD= 。‎ ‎5.已知：∠A=40°，则∠A的补角等于( )‎ A.50° B.90° C.140° D.180°‎ ‎6.一个角比它的余角小8°，那么这个角的度数是( )‎ A.98° B.41° C.49° D.92°‎ ‎7.如果一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角的度数是( )‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎8.下列命题中，假命题是( )‎ A.对顶角相等 B.三角形两边的和小于第三边 C.菱形的四条边都相等 D.多边形的外角和等于360°‎ ‎9.命题：①对顶角相等；②等式两边都加同一个数，结果仍是等式；③相等的角是对顶角；④同位角相等。其中假命题有( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎10.下列语句中，属于命题的是( )‎ A.直线AB和CD垂直吗 ‎ B.过线段AB的中点C画AB的垂线 C.同旁内角不互补，两直线不平行 ‎ D.连结A、B两点 ‎11.下列语句不是命题的是( )‎ A.两点之间线段最短 ‎ B.不平行的两条直线有一个交点 C.x与y的和等于0吗？ ‎ D.对顶角不相等 ‎12.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( )‎ A.垂直 B.两条直线 C.同一条直线 D.两条直线垂直于同一条直线 ‎13.已知∠AOC为直角，点B在∠AOC内部，若∠BOC=55°，则∠AOB= 。‎ ‎14.如图，已知OA⊥OB，OC在∠AOB的内部，∠AOC=40°，OD平分∠BOC，则∠BOD= 。‎ ‎15.如图，已知∠C=90°，AD平分∠BAC，BD=2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为 cm。‎ ‎ ‎ ‎16.命题“直角都相等”的题设是 ，结论是 。‎ ‎17.把命题“有三个角是直角的四边形是矩形”改写成“如果……那么……”的形式： 。‎ ‎18.写出下列命题的逆命题：‎ ‎①同旁内角互补，两直线平行。 。‎ ‎②如果两个角是直角，那么它们相等。 。‎ ‎③如果两个实数相等，那么它们的平方相等。 。‎ ‎④两直线平行，同位角相等 。‎ ‎⑤线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ‎ ‎ 。‎ ‎19.如图，∠1=∠2，∠A=∠B，AE=BE。求证：CE=DE。‎ ‎20.如图，△ABC是等腰三角形，P是底边BC上一动点，且PE∥AB，PF∥AC。求证：PE+PF=AB。‎ 第二十九讲 相交线与平行线 一.知识梳理 ‎1.邻补角与对顶角 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。‎ 对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。‎ 性质：对顶角相等。‎ ‎2.垂线 ‎①性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；‎ ‎②垂线公理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。‎ ‎③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。‎ ‎3.平行线 ‎①定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。‎ ‎②性质:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。‎ ‎4.平行线的性质 ‎①两直线平行，同位角相等，‎ ‎②两直线平行，内错角相等，‎ ‎③两直线平行，同旁内角互补。‎ ‎5.平行线的判定 ‎①同位角相等，两直线平行；‎ ‎②内错角相等，两直线平行；‎ ‎③同旁内角互补，两直线平行。‎ 二课后作业 ‎1、如图，∠1=150°，则∠2= ，∠3= ，∠4= 。‎ ‎2.如图，AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=50°，则∠2= ，∠BOC= 。‎ ‎3. 如图，如果∠2=∠3，那么 ∥ ；如果∠1=∠2，那么 ∥ 。‎ ‎4. 如图，AB∥CD，AD交BC于O，∠B=25°，∠D=40°，则∠A= ，∠C= 。‎ ‎ ‎ ‎5.下列说法正确的是( )‎ A两直线平行，同旁内角相等 ‎ B.互补的两个角一定是邻补角 C.同位角相等 ‎ D.垂直于同一直线的两直线平行 ‎6.如图，已知直线a∥b，∠1=35°，则∠2的度数是( )‎ A.35° B.55° C.145° D.135°‎ ‎7.如图，已知直线a∥b，∠1=85°，则∠2=( )‎ A.85° B.95° C.105° D.135°‎ ‎8.如图，已知直线a∥b，∠1=130°，则∠2=( )‎ A.130° B.50° C.65° D.100°‎ ‎ ‎ ‎9.如图，AB、CD相交于点O，∠1=80°，如果DE∥AB，那么∠D的度数为( )‎ A.110° B.100° C.90° D.80°‎ ‎10.图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是( )‎ A.AB∥CD B.AD∥BC C.∠B=∠D D.∠3=∠4‎ ‎11.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，交CD于G，∠1=50°，求∠2的度数。‎ 第三十讲 图形的变换 一.知识梳理 ‎1.平移 ‎(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。‎ ‎(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。‎ ‎(3)坐标的平移：‎ 点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；‎ ‎ 点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；‎ A B C D B1‎ A1‎ C1‎ D1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D C1‎ A1‎ D1‎ B1‎ ‎ 点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；‎ 点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。‎ 规律：右加左减，上加下减。‎ ‎2.轴对称图形 ‎（1）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。‎ ‎（2）坐标与轴对称：‎ 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；‎ 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x， y）；‎ 规律：关于那个轴对称，那个坐标不变，另一个坐标互为相反数。‎ ‎3.旋转 ‎(1)旋转 定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。‎ 旋转的性质：‎ ‎①对应点到旋转中心的距离相等；‎ ‎②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等。‎ ‎(2)中心对称图形 ‎（1）定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。‎ ‎（2）关于原点对称的点的坐标 规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为 P′(-x，-y)。‎ ‎4．图形的位似 ‎1.定义: 如果两个相似图形的每组对应点所在的直线交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。 ‎ ‎2.性质:位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等与相似比。位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比；位似图形的对应角相等，对应线段平行.‎ ‎3.位似的作用利用:位似可以将一个图形放大或缩小。位似中心的落点: 位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。典型图形 二.课后作业 ‎1.下列图形不一定是轴对称图形的是( )‎ A.三角形 B.正方形 C.正六边形 D.圆 ‎2.下列说法正确的是( )‎ A.若两个三角形全等，那么它们一定关于某一条直线对称 B.关于某一条直线对称的两个三角形一定全等 C.两个图形关于某直线对称，对称点一定在直线两旁 D.两个图形的对应点连线垂直于某一条直线，那么这两个图形关于这条直线对称 ‎2.将图中所示的图案甲通过平移后可以得到的图案是( ) ‎ ‎ 甲 A B C D ‎ ‎3.图中的图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是( )‎ ‎ ‎ ‎4.下列说法正确的是( )‎ A.若两个三角形全等，那么它们一定关于某一条直线对称 B.关于某一条直线对称的两个三角形一定全等 C.两个图形关于某直线对称，对称点一定在直线两旁 D.两个图形的对应点连线垂直于某一条直线，那么这两个图形关于这条直线对称 ‎5.下列关于旋转和平移的说法正确的是( )‎ A.旋转使图形的形状发生改变 ‎ B.由旋转得到的图形一定可以通过平移得到 C.平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小 D.对应点到旋转中心的距离相等 ‎6.下列各图是历届世博会会徽中的图案，其中是中心对称图形的是( )‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎7.下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎8.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )‎ ‎ ‎ A B C D ‎ ‎9.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(　　)‎ ‎10.下列图形中，是中心对称图形的是(　　)‎ ‎11.下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)‎ ‎12.下列选项中的图形均为正多边形，则图形恰有4条对称轴的是(　　)‎ ‎13. 某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是( )‎ A.正三角形 B.正五边形 ‎ C.等腰梯形 D.菱形 ‎14.点P(-1，4)关于x轴对称的点P′的坐标是( )‎ A.(-1，-4) B.(-1，4) C.(1，-4) D.(1，4)‎ ‎15.点P(3，-5)关于原点的对称点坐标是( )‎ A.(3，-5) B.(-3，-5) C.(-3，5) D.(3，5)‎ ‎16.已知点A(a，5)与A′(-2，b)是关于原点的对称点，则a、b的值是( )‎ A.a=2，b=5 B.a=2，b=-5 ‎ C.a=-2，b=5 D.a=-2，b=-5‎ ‎17.在平面直角坐标系中，点P(3，-5)向右平移3个单位长度后的坐标变为 ；点P(3，-5)向左平移3个单位长度后的坐标变为 ‎ ‎；点P(3，-5)向上平移3个单位长度后的坐标变为 ；‎ 点P(3，-5)向下平移3个单位长度后的坐标变为 。‎ ‎18.平面直角坐标系中，已知点B(-2，3)，则点B关于y轴的对称点的坐标为 。‎ ‎19.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为_________‎ ‎20.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝21°，则∠AOB′的度数是__‎ ‎21.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2)、D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为(5，0)，则点A的坐标为______‎ ‎22.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为________‎ ‎ ‎ 第三十一讲 投影与视图 一.知识梳理 ‎1.投影 ‎(1)定义：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。‎ ‎(2)平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。‎ ‎(3)中心投影：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。‎ ‎(4)正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。‎ ‎2.视图 ‎(1)视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。‎ 视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影。‎ ‎(2)主视图、俯视图、左视图 主视图:由前向后观察物体的视图，叫做主视图；‎ 俯视图：由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；‎ 左视图：由左向右观察物体的视图，叫做左视图。‎ ‎3.生活中的立体图形的分类 圆柱 柱体 立体图形 球体 棱柱 圆锥体 ‎ ‎ 锥体 棱锥 球体：由球面围成的（球面是曲面）‎ 圆柱：圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。‎ 圆锥：圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。‎ ‎4.正方体的平面展开图：11种（重点）‎ ‎①‎1-4-1‎型：6种 ②2-3-1型：3种 ‎ ‎③‎2-2-2‎型：1种 ④3-3型：1种 二.课后作业 ‎1.球在平面内的正投影是( )‎ A.圆 B.椭圆 C.三角形 D.正方形 ‎2.下列说法正确的是( )‎ A.物体在阳光下的投影只与物体高度有关 B.小明的个子比小亮高，我们可以确定，不论什么情况，小明的影子一定比小亮的长 C.物体在阳光照射下，不同时刻，影长可能发生变化，方向也可能发生变化 D.物体在阳光照射下，影子的长度和方向都是固定不变的 ‎3.一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，那么这个几何体是( )‎ A.长方体 B.正方体 C.圆锥 D.三棱锥 ‎4.下图中几何体的左视图是( )‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎5.如图所示的几何体的主视图是( )‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎6.如图所示几何体的俯视图是( )‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎7.如图所示几何体的左视图是( )‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的名称是( )‎ ‎ ‎ A.圆柱 B.圆锥 C.棱柱 D.长方体 ‎9.如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是( )‎ ‎ ‎ ‎ 主视图 左视图 俯视图 ‎ A.长方体 B.三棱柱 C.圆锥 D.正方体 ‎10.一个正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么该正方体中“建”字相对的字是( )‎ 建 设 美 丽 西 藏 A、美 B、西 ‎ C、藏 D、丽 ‎11.下列四个几何体中，左视图为圆的为(　　)‎ ‎12. (2013省卷4题3分)如图是由两个相同的正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其主视图是(　　)‎ ‎13.如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是(　　)‎ ‎14.将如图所示的Rt△ABC绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图是(　　)‎ ‎ 15.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是(　　)‎ ‎16.如图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是(　　)‎ ‎17.如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是(　　)‎ ‎18.如图放置的圆锥，它的主视图、俯视图、左视图分别为(　　)‎ 第8题图 ‎　‎ ‎19.由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几何体三种视图叙述正确的是(　　)‎ 第9题图 A. 左视图与俯视图相同 B. 左视图与主视图相同 C. 主视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 ‎20.在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是(　　)‎ ‎21. 如图，倒扣在台面上的一次性纸杯的俯视图是(　　)‎ ‎23.如图是某几何体的三视图，该几何体是(　　)‎ A. 圆柱 B. 圆锥 C. 正三棱柱 D. 正三棱锥 ‎　　　‎ ‎24.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是(　　)‎ A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱 ‎25.如图所示的主视图、左视图、俯视图是下列哪个物体的三视图(　　)‎ ‎26.长方体的主视图、俯视图如图所示，则其体积为(　　)‎ A. 12 B. 16 C. 36 D. 48‎ ‎27.一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为(　　)‎ A. 6 B. 8 C. 12 D. 24‎ ‎28.如图是几个相同的小正方体搭成的几何体的两种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是(　　)‎ A. 7 B. 6 C. 5 D. 4‎ ‎29.某几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图分别是它的主视图和俯视图，那么要组成该几何体，至少需要多少个这样的小正方体(　　)‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ 第三十二讲 数据的收集、整理、‎ 描述与分析 一.知识梳理 ‎1.数据的收集 全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查。‎ 抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种调查方法叫做抽样调查。‎ ‎2.总体、个体及样本 总体：所有考察对象的全体。‎ 个体：每一个考察的对象叫做个体。‎ 样本：当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，这部分个体叫做总体的样本。‎ 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。‎ ‎3.数据的整理 整理方法就绘制统计图，常见统计图有直方图、扇形图、条形图、折线图。‎ ‎4.数据的分析 ‎①众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。‎ ‎②中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。‎ ‎③平均数：‎ ‎④加权平均数：（、‎ ‎…的权分别是、…）‎ ‎⑤方差：‎ 注意：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。‎ ‎⑥标准差：方差的算术平方根叫做标准差 ‎⑦频数：将样本按照一定的方法分成若干组，每组内含有这个样本的个体的数目叫做频数。又称"次数"。‎ 注意：各组频数的总和等于总体的全部单位数。‎ ‎⑧频率：某个组的频数与样本容量的比值叫做这个组的频率。即：‎ ‎⑨极差：一组数据的最大值－最小值的的差。‎ ‎⑩圆心角度数＝360°×该项所占的百分比。‎ 二.精讲点拨 例1.某校课外小组为了解同学们对学校“阳光跑操”活动的喜欢程度，抽取部分学生进行调查，被调查的每个学生按A(非常喜欢)、B(比较喜欢)、C(一般)、D(不喜欢)四个等级对活动评价，图①和图②是该小组采集数据后绘制的两幅统计图，经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误且并不完整．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：‎ ‎(1)此次调查的学生人数为________；‎ ‎(2)条形统计图中存在错误的是________(填A、B、C、D中的一个)，并在图中加以改正；‎ ‎(3)在图②中补画条形统计图中不完整的部分；‎ ‎(4)如果该校有600名学生，那么对此活动“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生共有多少人？‎ 例2.兰州市某中学对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成家庭作业的时间不超过1.5小时．该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表(如图①)和频数分布直方图(如图②)的一部分．‎ 第7题图 ‎(1)在图①中，a＝________，b＝________；‎ ‎(2)补全频数分布直方图；‎ ‎(3)请估计该校1400名初中学生中，约有多少名学生在1.5小时以内完成了家庭作业．‎ 例3.现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形统计图．‎ 第8题图 解答下列问题：‎ ‎(1)图中D所在扇形的圆心角度数为________；‎ ‎(2)若2015年全市共有30000名九年级学生，请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名？‎ ‎(3)根据扇形统计图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？‎ 三.课后作业 ‎1.下列调查方式不合适的是( )‎ A.为了了解全校学生每周阅读课外书的时间，采取抽样调查的方式 B.为了了解全班同学的睡眠状况，采取普查的方式 C.为了了解人们保护水资源的意识，采取抽样调查的方式 D.对天宫一号零部件的检查，采取抽样调查的方式 ‎2.为检查一批零件的长度是否符合要求，从中抽取50个进行检测，在这个问题中，个体是( )‎ A.每个零件 B.每个零件的长度 ‎ C.50 D.50个零件的长度 ‎3.下列调查中，适合用普查(全面调查)方式的是(　　)‎ A. 了解一批袋装食品是否含有防腐剂 B. 了解某班学生“‎50米跑”的成绩 C. 了解江苏卫视“非诚勿扰”节目的收视率 D. 了解一批灯泡的使用寿命 ‎4.如图为了解某中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．由此估计这300名男生的身高在‎169.5 cm～‎174.5 cm之间的人数为(　　)‎ A. 96 B. 72 C. 48 D. 12‎ ‎5.“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．如图，在今年的慈善一日捐款活动中，某市某中学八年级三班50名学生自发组织献爱心捐款活动，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是(　　)‎ A. 30、30 B. 30、‎20 C. 20、20 D. 20、30‎ ‎ ‎ ‎6.在天水市汉字听写大赛中，10名学生得分情况如下表：‎ 人数 ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ 分数 ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ 那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是(　　)‎ A. 85和82.5 B. 85.5和85‎ C. 85和85 D. 85.5和80‎ 型号 ‎24‎ ‎24.5‎ ‎25‎ ‎25.5‎ ‎26‎ ‎26.5‎ ‎27‎ 数量（双）‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎7.一家鞋店试销一种新款男鞋，一周内各种型号的鞋卖出的数量统计如下：‎ 对这个鞋店的老板来说，他更关注的是这组数据的(　)‎ A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 极差 ‎8.一组数据3、2、1、2、2的众数，中位数，方差分别是(　　)‎ A. 2，1，0.4 B. 2，2，0.4‎ C. 3，1，0.2 D. 2，1，0.2‎ ‎9.乙两位选手进行射击训练，各射击10次，平均成绩都是9.5环，方差分别是s＝0.25，s＝0.2，则在这次训练中________选手发挥较稳定 ‎10.若甲组数据为：5，7，3，6，4；乙组数据为：8，1，5，2，9，则s________s(填“＞”或“＜”或“＝”)‎ ‎13.某公司招聘工人，对参赛者进行三项测试：笔试、面试、动手能力，并把测试得分按3:3:4的比例确定测试总分，已知扎西的三项得分分别是：88，72，50，则他的最后得分是 。．‎ ‎14.教育行政部门规定初中生每天户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生户外活动的情况，随机地对部分学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图。请根据图中提供的信息解答下列问题：(1)在这次调查中共调查的学生人数为 ；(2)补全条形统计图；(3)活动时间为1小时所占的比例是 ；(4)若该市共有初中生约14000名，试估计该市符合教育行政部门规定的活动时间的学生数；(5)如果从中任意抽取1名学生，活动时间为2小时的概率是多少？‎ ‎15.2016年《政府工作报告》中提出了十大新词汇．为了解同学们对新词汇的关注度，某数学兴趣小组选取其中的A：“互联网＋政务服务”，B：“工匠精神”，C：“光网城市”，D：“大众旅游时代”四个热词在全校学生中进行了抽样调查，要求被调查的每位同学只能从中选择一个我最关注的热词．根据调查结果，该小组绘制了如下的两幅不完整的统计图．‎ 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：‎ ‎(1)本次调查中，一共调查了多少名同学？‎ ‎(2)条形统计图中，m＝________，n＝________；‎ ‎(3)扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是多少度？‎ ‎16.兰州市某中学对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成家庭作业的时间不超过1.5小时．该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表(如图①)和频数分布直方图(如图②)的一部分．‎ ‎(1)在图①中，a＝________，b＝________；(2)补全频数分布直方图；(3)请估计该校1400名初中学生中，约有多少名学生在1.5小时以内完成了家庭作业．‎ ‎17.在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使购买的课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他共四个类别对部分同学进行了抽样调查(每位同学只选一类)．下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．‎ 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：‎ ‎(1)本次抽样调查一共抽查了________名同学；‎ ‎(2)条形统计图中，m＝________，n＝________；‎ ‎(3)扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是________度；‎ ‎(4)学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？‎ 第三十三讲 概率初步 一.知识梳理 ‎1.事件 ‎（1）必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件。‎ ‎（2）不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件。‎ ‎（3）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。‎ ‎2.概率 ‎(1) 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率。‎ ‎(2) 概率的性质：‎ ‎①P(必然事件)=1；‎ ‎②P(不可能事件)=0；‎ ‎③0＜P(不确定事件)＜1。‎ 二.精讲点拨 例1. 在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同．小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标(x，y)．(1)请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；‎ ‎(2)求点P(x，y)在函数y＝－x＋5图象上的概率．‎ 例2. 近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．‎ 对雾霾了解程度的统计表 对雾霾的了解程度 百分比 A.非常了解 ‎5%‎ B.比较了解 ‎15%‎ C.基本了解 ‎45%‎ D.不了解　‎ n 请结合统计图表，回答下列问题：‎ ‎(1)本次参与调查的学生共有________人，n＝________；‎ ‎(2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是________度；‎ ‎(3)请补全条形统计图；‎ ‎(4)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．‎ 三.课后作业 ‎1.下列事件中是必然事件的是( )‎ A.拉萨明日刮西北风 B.抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 C.当x是实数时，x2≥0 D.三角形内角和是360°‎ ‎2.下列说法属于不可能事件的是(　　)‎ A. 四边形的内角和为360°B. 梯形的对角线不相等 C. 内错角相等 D. 存在实数x满足x2＋1＝0‎ ‎3.下列说法中错误的是(　　)‎ A. 掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后6点朝上是必然事件 B. 了解一批电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式 C. 若a是实数，则|a|<0是不可能事件 D. 甲、乙两人各进行10次射击，两人射击成绩的方差分别为s＝2，s＝4，则甲的射击成绩更稳定 ‎4.从一只装有5个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率是P1，摸到红球的概率是P2，则(　　)‎ A. P1＝1，P2＝1 B. P1＝0，P2＝1‎ C. P1＝0，P2＝ D. P1＝0，P2＝0‎ ‎5.在一个不透明的袋中装有编号为1，1，2，3的四个质地均匀、大小相同的小球，从中随机取出一小球，取出编号为1的小球的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 1‎ ‎6.书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎7.下列事件是不可能事件的是( )‎ A.一个角和它的余角的和是90°‎ B.接连掷10次骰子都是6点朝上 C.一个有理数和它的倒数之和等于0‎ D.一个有理数小于它的倒数 ‎8.同时投掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数。下列事件中是不可能事件的是( )‎ A.点数之和为12 B.点数之和小于3‎ C.点数之和大于4且小于8 D.点数之和为13‎ ‎9.在生产的100件产品中，有95件正品，5件次品。从中任抽一件是次品的概率为( )‎ A.0.05‎‎ B.0.5 C.0.95 D.95‎ ‎10.有50个型号相同的乒乓球，其中一等品40个，二等品8个，三等品2个，现从中任取一个乒乓球，抽到一等品的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.卓玛的文具盒中有两支蜡笔：一支红色的、一支绿色的；三支水彩笔：分别是黄色、红色、黑色，任意拿出一支蜡笔和一支水彩笔，正好都是红色的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班1天。(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法?(2)其中甲排在乙之前的排法有多少种?(3)甲排在乙之前的概率是多少?‎ ‎13.‎ 在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字－1，－2，0.现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y，以此确定点M的坐标(x，y)．(1)请你用画树状图或列表的方法，写出点M所有可能的坐标；(2)求点M(x，y)在函数y＝－的图象上的概率．‎ ‎14.为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的摸球游戏：在一个不透明口袋中放入编号分别为1、2、3的三个红球及编号为4的一个白球，四个小球除了颜色和编号不同外，其他没有任何区别，摸球之前将袋内小球搅匀．甲先摸两次，每次摸出一个球(第一次摸出后不放回)，把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球．如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分；如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则，乙得0分；得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来．‎ ‎(1)运用列表或画树状图法求甲得1分的概率；‎ ‎(2)请你用所学知识说明这个游戏是否公平？‎ ‎15.近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．‎ 对雾霾了解程度的统计表 对雾霾的了解程度 百分比 A.非常了解 ‎5%‎ B.比较了解 ‎15%‎ C.基本了解 ‎45%‎ D.不了解　‎ n 请结合统计图表，回答下列问题：‎ ‎(1)本次参与调查的学生共有________人，n＝________；‎ ‎(2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是________度；‎ ‎(3)请补全条形统计图；‎ ‎(4)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．‎ 专项训练一 新定义运算 ‎1.定义新运算：a★b＝a(1－b)，若a，b是方程x2－x＋m＝0(m＜1)的两根，则b★b－a★a的值为(　　)‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 与m有关 ‎2.对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝＝－，则方程x⊗(－2)＝－1的解是(　　)‎ A. x＝4 B. x＝5 C. x＝6 D. x＝7‎ ‎3.对于实数a、b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如max{4，－2}＝4，则max{3，3}＝3.若关于x的函数为y＝max{x＋3，－x＋1}，则该函数的最小值是(　　)‎ A. 0 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎4.对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝，例如：因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．‎ 专项训练二 阴影部分的面积 ‎1.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝43，则S阴影＝(　　)‎ A. 2π B.π C.π D. π ‎2.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C，若∠ACB＝30°，AB＝，则阴影部分的面积是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4. 如图，点O、A、B、C均在⊙D上，OB＝，∠C＝30°，若∠AOB＝90°，则图中阴影部分的面积为(　　)‎ A. 2π－ B. 4π－‎ C. 4π－ D. 2π－‎ ‎5. 如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，以AD的长为半径的⊙A交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为________．‎ ‎ ‎ ‎6.‎ ‎ 如图，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2，图中阴影部分的面积为________．‎ ‎7.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C.若OA＝2，则阴影部分的面积为________． ‎ ‎8. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．‎ 专项训练三 二次函数图象与系数的关系 ‎1. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则|a－b＋c|＋|‎2a＋b|＝(　　)‎ A. a＋b B. a－2b C. a－b D. ‎‎3a ‎2.已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(　　)‎ A. 当a＝1时，函数图象过点(－1，1)‎ B. 当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点 C. 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D. 若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 ‎3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①b<0，c>0；②a＋b＋c<0；③方程ax2+bx+c=0(a≠0)由二不等实数根；④a－b＋c<0.其中正确的个数是(　　)‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 ‎4.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：①c>0；②若点B(－，y1)、C(－，y2)为函数图象上的两点，则y1y2.其中说法正确的个数是(　　)‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎6. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③‎4a＋2b＋c＞0；④b2－‎4ac＞0.其中正确的结论有(　　)‎ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④‎ 专项训练四 几何图形为背景的函数图象的确定 ‎1. 如图，⊙O经过△ABC的两个顶点A，B，与边AC，BC分别交于点D，E，点P从点A出发沿A→D→E→C的路线匀速运动．设∠APB＝y(单位：度)，那么y与点P运动的时间x(单位：秒)的函数图象大致是(　　)‎ ‎ ‎ ‎2. 如图，动点P从点A出发，沿半圆AB匀速运动到达终点B，若以时间t为自变量，扇形OAP的面积为S，则S关于t的函数图象大致是(　　)‎ ‎ ‎ ‎3. 用一个平行于底面的平面去截如图放置的一个圆锥，将其分成上下两个几何体，如果设上面的小圆锥体积为x，下面的圆台体积为y，当截面由顶点向下平移时，y与x满足的函数关系的图象是(　　)‎ ‎ ‎ ‎4. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，弦MN过直径上一点P，且与AB成30°，若AP＝x，点A、B到MN的距离分别为h1，h2，记y＝|h1－h2|，则y与x之间的函数关系所对应的图象是(　　)‎ ‎　　 ‎ ‎5.如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线m，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是(　　)‎ ‎ ‎ ‎6. 如图，⊙O的直径AB＝12，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，设AD＝x，BC＝y，则y关于x的函数图象大致是(　　)‎ ‎ ‎ ‎7. 如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间的函数关系的图象是(　　)‎ ‎ ‎ ‎8.如图，边长为4个单位长度的正方形ABCD的边AB与等腰直角三角形EFG的斜边FG重合，△EFG以每秒1个单位长度的速度沿BC向右匀速运动(保持FG⊥BC)，当点E运动到CD边上时△EFG停止运动．设△EFG的运动时间为t秒，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为S，则S关于t的函数大致图象为(　　)‎ ‎ ‎ 专项训练五 探索规律 ‎1. 观察下列数的排列规律：0，－3，8，－15，…，照这样排列第8个数应是(　　)　　　　 　　　‎ A. 55 B. －56 C. －63 D. 65‎ ‎2. 观察给定的分式：，－，，－，，…，猜想并探索规律，第10个分式是(　　)‎ A. － B. C. － D. ‎3.如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(　　)‎ A. y＝2n＋1 B. y＝2n＋n C. y＝2n＋1＋n D. y＝2n＋n＋1‎ ‎4.观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是(　　)‎ A. 9 B. 7 C. 6 D. 0‎ ‎5.观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，按照上述规律，第2015个单项式是(　　)‎ A. 2015x2015 B. 4029x2014 C. 4029x2015 D. 4031x2015‎ ‎6.为了求1＋2＋22＋23＋…＋2100的值．可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋2100，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋2101，因此2S－S＝2101－1，所以S＝2101－1，即1＋2＋22＋23＋…＋2100＝2101－1.仿照以上推理计算1＋3＋32＋33＋…＋32014的值是________．‎ ‎7.观察下列式子：‎ ‎1×3＋1＝22；‎ ‎7×9＋1＝82；‎ ‎25×27＋1＝262；‎ ‎79×81＋1＝802；‎ ‎……‎ 可猜想第2016个式子为________．‎ ‎8.观察下列等式：‎ 第1个等式： a1＝＝－1，‎ 第2个等式a2＝＝－，‎ 第3个等式：a3＝＝2－，‎ 第4个等式：a4＝＝－2，‎ 按上述规律，回答以下问题：‎ ‎(1)请写出第n个等式：an＝________； ‎ ‎(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝________．‎ ‎9. 把正方形看作是一个基本图形，将它平移一次得到第1个图案(图①)，平移两次得到第2个图案(图②)，平移三次得到第3个图案(图③)，…，以此类推，我们发现第1个图案(图①)中有3个正方形，第2个图案(图②)中有7个正方形，那么第3个图案(图③)有________个正方形，如果第n个图案有395个正方形，那么n＝________．‎ ‎10.下列图形都是由同样大小的基本图形按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有5个基本图形，第②个图形中一共有8个基本图形，第③个图形中一共有11个基本图形，第④个图形中一共有14个基本图形，…，按此规律排列，则第⑧个图形中基本图形的个数为________．‎ ‎11. 小李用围棋子排成下列一组有规律的图案．其中第(1)个图案有1枚棋子，第(2)个图案有3枚棋子，第(3)个图案有4枚棋子，第(4)个图案有6枚棋子，…，那么第(9)个图案的棋子数是________枚．‎ ‎12.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图形中共有3个点，第2个图形中共有8个点，第3个图形中共有15个点，按此规律第6个图形中共有点的个数是________．‎ ‎13.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有________个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示)．‎ ‎13.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB‎1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB‎1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B‎1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B‎1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B‎2C2的位置，点A2‎ 在x轴上，依次进行下去 …，若点A(，0)，B(0，2)，则点B2016的坐标为________．‎ 专项训练六 特殊的平行四边形 ‎1. 如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN 的最小值为（ ）‎ A．8 B．‎8‎ ‎ C．2 D．10‎ ‎2.（2010山东聊城）如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线 AC和BD的距离之和是（ ）‎ A．　　 B．　 ‎ C．　　D．不确定 ‎3.（2010山东青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．‎ ‎（1）求证：BE = DF；‎ ‎（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．‎ ‎4.（2009襄樊市）如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 ‎ ‎（1）求证：四边形是菱形；‎ ‎（2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？‎ 第4题图 A D F C E G B ‎5.（2010广东东莞）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，边结DF．‎ ‎⑴试说明AC＝EF；‎ ‎⑵求证：四边形ADFE是平行四边形．‎ A B C D E F 专项训练七 锐角三角函数 ‎ ‎1. 2009·眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。‎ ‎2.如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走‎200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，，结果保留整数）．‎ ‎3.（2008·广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为‎5米，点D、B、C 在同一水平地面上．‎ ‎（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）‎ ‎（2）若滑滑板的正前方能有‎3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有‎6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。‎ ‎ (参考数据： )‎ 专项训练八 圆的切线 ‎1. 如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DF＝3，cosA＝，求⊙O的直径．‎ ‎ ‎ ‎2. (2016甘孜州10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)求证：H为CE的中点；(3)若BC＝10，cosC＝，求AE的长．‎ ‎ ‎ ‎3. 已知：如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.(1)求证：点D是AB的中点；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(3)若⊙O的直径为3，BD＝1，求DE的长．‎ ‎ ‎ ‎4. (2016来宾12分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径．(1)判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)求证：△ABD∽△DBE；(3)若cosB＝，AE＝4，求CD.‎ ‎ ‎ ‎5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．(1)求证：BC2＝BD·BA；(2)判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎6. (2016张家界6分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD.(1)求证：直线MN是⊙O的切线；(2)若AD＝4，AC＝5，求⊙O的直径．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 专项训练七 二次函数压轴题 类型一　探究线段问题 ‎1. (2012，盘锦市，12分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；‎ ‎(3)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA－MC|最大？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．‎ 类型二　探究特殊三角形的存在性问题 ‎2. (2016河池12分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.‎ ‎(1)请直接写出点A，C，D的坐标；‎ ‎(2)如图①，在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；‎ ‎(3)如图②，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 类型三　探究三角形相似的存在性问题 ‎3. (2016西昌市14分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于C点， 抛物线的对称轴l与x轴交于点M.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求△PAC的周长；‎ ‎(3)在直线l上是否存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 类型四　探究特殊四边形的存在性问题 ‎4. (2016安顺14分)如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三点．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；‎ ‎(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 类型五　探究角度问题 ‎5.(2016上海12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)经过点A(4，－5)，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为点D.‎ ‎(1)求这条抛物线的表达式；‎ ‎(2)连接AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；‎ ‎(3)如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，求点E的坐标．‎ 类型六 探究相切问题 ‎6.(2016湘潭10分)如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(2，3)，对称轴为直线x＝1.一次函数y＝kx＋b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若PA∶PB＝3∶1，求一次函数的解析式；‎ ‎(3)在(2)的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．‎