云南省昆明市中考数学试卷(解析版)

云南省昆明市中考数学试卷(解析版)

‎2011年云南省昆明市中考数学试卷 参考答案与试卷解读 一、选择题（每小题3分，满分27分）‎ ‎1．（3分）（2011•昆明）昆明小学1月份某天的气温为5℃，最低气温为﹣1℃，则昆明这天的气温差为（　　）‎ A．‎ ‎4℃‎ B．‎ ‎6℃‎ C．‎ ‎﹣4℃‎ D．‎ ‎﹣6℃‎ 考点：‎ 有理数的减法．‎ 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ 依题意，这天的温差就是最高气温与最低气温的差，列式计算．‎ 解答：‎ 解：这天的温差就是最高气温与最低气温的差，‎ 即5﹣（﹣1）=5+1=6℃．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．这是需要熟记的内容．‎ ‎2．（3分）（2011•昆明）如图是一个由相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．‎ 专题：‎ 几何图形问题．‎ 分析：‎ 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．‎ 解答：‎ 解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层和第三层左上都有1个正方形．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．‎ ‎3．（3分）（2011•昆明）据2010年全国第六次人口普查数据公布，云南省常住人口为45966239人，45966239用科学记数法表示且保留两个有效数字为（　　）‎ A．‎ ‎4.6×107‎ B．‎ ‎4.6×106‎ C．‎ ‎4.5×108‎ D．‎ ‎4.5×107‎ 考点：‎ 科学记数法与有效数字．‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1 048 576有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．‎ 有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．‎ 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．‎ 解答：‎ 解：45 966 239=4.5966239×107≈4.6×107．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．‎ ‎4．（3分）（2011•昆明）小明在九年级进行的六次数学测验成绩如下（单位：分）：76、82、91、85、84、85，则这次数学测验成绩的众数和中位数分别为（　　）‎ A．‎ ‎91，88‎ B．‎ ‎85，88‎ C．‎ ‎85，85‎ D．‎ ‎85，84.5‎ 考点：‎ 众数；中位数．‎ 分析：‎ 根据众数的定义：出现次数最多的数，中位数定义：把所有的数从小到大排列，位置处于中间的数，即可得到答案．‎ 解答：‎ 解：众数出现次数最多的数，85出现了2次，次数最多，所以众数是：85，‎ 把所有的数从小到大排列：76，82，84，85，85，91，位置处于中间的数是：84，85，因此中位数是：（85+84）÷2=84.5，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了众数与中位数的意义，关键是正确把握两种数的定义，即可解决问题．‎ ‎5．（3分）（2011•昆明）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2与x1•x2的值分别是（　　）‎ A．‎ ‎﹣，﹣2‎ B．‎ ‎﹣，2‎ C．‎ ‎，2‎ D．‎ ‎，﹣2‎ 考点：‎ 根与系数的关系．‎ 专题：‎ 推理填空题．‎ 分析：‎ 根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣，x1•x2=，代入即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：2x2﹣7x+4=0，‎ x1+x2=﹣=，x1•x2==2．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地运用根与系数的关系进行计算是解此题的关键．‎ ‎6．（3分）（2011•昆明）下列各式运算中，正确的是（　　）‎ A．‎ ‎3a•2a=6a B．‎ ‎=2﹣‎ C．‎ D．‎ ‎（2a+b）（2a﹣b）=2a2﹣b2‎ 考点：‎ 实数的性质；单项式乘单项式；多项式乘多项式；二次根式的加减法．‎ 分析：‎ 根据单项式乘单项式法则、绝对值的性质、二次根式的减法法则、平方差公式进行计算排除．‎ 解答：‎ 解：A、3a•2a=6a2，故本选项错误；‎ B、根据负数的绝对值是它的相反数，故本选项正确；‎ C、原式=4﹣=2，故本选项错误；‎ D、根据平方差公式，得原式=4a2﹣b2，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题综合考查了单项式的乘法法则、多项式的乘法公式、二次根式的加减法则以及绝对值的化简计算．‎ ‎7．（3分）（2011•昆明）如图，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是（　　）‎ A．‎ AB=BC B．‎ AC⊥BD C．‎ BD平分∠ABC D．‎ AC=BD 考点：‎ 菱形的判定；平行四边形的性质．‎ 分析：‎ 根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴A、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；‎ B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；‎ C、当BD平分∠ABC时，易证得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；‎ 由排除法可得D选项错误．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．‎ ‎8．（3分）（2011•昆明）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）‎ A．‎ b2﹣4ac＜0‎ B．‎ abc＜0‎ C．‎ D．‎ a﹣b+c＜0‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系．‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ 解答：‎ 解：由抛物线的开口向下知a＜0，‎ 与y轴的交点为在y轴的正半轴上，‎ ‎∴c＞0，‎ 对称轴为y轴，即 ＜﹣1，‎ A、应为b2﹣4ac＞0，故本选项错误；‎ B、abc＞0，故本选项错误；‎ C、即 ＜﹣1，故本选项正确；‎ D、x=﹣1时函数图象上的点在第二象限，所以a﹣b+c＞0，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定交点，难度适中．‎ ‎9．（3分）（2011•昆明）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 锐角三角函数的定义；线段垂直平分线的性质；勾股定理．‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 设AD=x，则CD=x﹣3，在直角△ACD中，运用勾股定理可求出AD、CD的值，即可解答出；‎ 解答：‎ 解：设AD=x，则CD=x﹣3，‎ 在直角△ACD中，（x﹣3）2+=x2，‎ 解得，x=4，‎ ‎∴CD=4﹣3=1，‎ ‎∴sin∠CAD==；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了线段垂直平分线的性质定理及勾股定理的运用，求一个角的正弦值，可将其转化到直角三角形中解答．‎ 二、填空题（每题3分，满分18分．）‎ ‎10．（3分）（2011•昆明）当x　≥5　时，二次根式有意义．‎ 考点：‎ 二次根式有意义的条件．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据二次根式的性质意义，被开方数大于等于0，就可以求解．‎ 解答：‎ 解：根据题意知：x﹣5≥0，‎ 解得，x≥5．‎ 故答案是：x≥5．‎ 点评：‎ 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．‎ ‎11．（3分）（2011•昆明）如图，点D是△ABC的边BC延长线上的一点，∠A=70°，∠ACD=105°，则∠B=　35°　．‎ 考点：‎ 三角形的外角性质．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由∠A=70°，∠ACD=105°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD=∠B+∠A，则∠B=∠ACD﹣∠A，然后代值计算即可．‎ 解答：‎ 解：∵∠ACD=∠B+∠A，‎ 而∠A=70°，∠ACD=105°，‎ ‎∴∠B=105°﹣70°=35°．‎ 故答案为35°．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的外角定理：三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和．‎ ‎12．（3分）（2011•昆明）若点P（﹣2，2）是反比例函数y=的图象上的一点，则此反比例函数的解读式为　y=﹣．‎ 考点：‎ 待定系数法求反比例函数解读式．‎ 专题：‎ 函数思想．‎ 分析：‎ 将点P（﹣2，2）代入反比例函数y=，求得k值，即利用待定系数法求反比例函数的解读式．‎ 解答：‎ 解：根据题意，得 ‎2=，‎ 解得，k=﹣4．‎ 故答案是：y=﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了待定系数法求反比例函数的解读式．解答该题时，借用了反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎13．（3分）（2011•昆明）计算：=　a　．‎ 考点：‎ 分式的混合运算．‎ 分析：‎ 首先对括号内的式子通分相减，然后把除法转化为乘法，约分计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=（+）•‎ ‎=•‎ ‎===a．‎ 故答案是：a 点评：‎ 本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．‎ ‎14．（3分）（2011•昆明）如图，在△ABC中，∠C=120°，AB=4cm，两等圆⊙A与⊙B外切，则图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为cm2．（结果保留π）．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；相切两圆的性质．‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据等圆的性质得出AD=BD，根据CD⊥AB求出∠A、∠B的度数，根据扇形的面积公式求出即可．‎ 解答：‎ 解：∵两等圆⊙A与⊙B外切，‎ ‎∴AD=BD=AB=2，‎ ‎∵∠C=120°‎ ‎∴∠CAB+∠CBA=60°‎ 设∠CAB=x°，∠CBA=y°‎ 则x+y=60‎ ‎∴图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为+===π，‎ 故答案为：π．‎ 点评：‎ 本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，扇形的面积公式，相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，正确利用扇形的面积公式是解此题的关键．‎ ‎15．（3分）（2011•昆明）某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总产量的10%，今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10%，为保持总产量与去年相等，那么今年新能源汽车的产量应增加的百分数为　90%　．‎ 考点：‎ 一元一次方程的应用．‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 这是一道关于和差倍分问题的应用题，设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x%，解这道的关键是根据“为保持总产量与去年相等”，而去年的总量未知，可以设为参数a，就可以表示出去年普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a和10%a，而几年的普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a（1﹣10%）和10%a（1+x%）．就可以根据等量关系列出方程．‎ 解答：‎ 解：设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x%，去年的总产量为a，由题意，得 ‎90%a（1﹣10%）+10%a（1+x%）=a，‎ 解得：x=90．‎ 故答案为：90%．‎ 点评：‎ 本题考查了一元一次方程的运用．要求学生能熟练地掌握例一元一次方程解应用题的步骤．解一元一次方程的关键是找到等量关系．‎ 三、简答题（共10题，满分75．）‎ ‎16．（5分）（2011•昆明）计算：．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据二次根式、负指数幂、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：原式=2+2﹣1﹣1=2．‎ 点评：‎ 本题主要考查了二次根式、负指数幂、零指数幂的性质及实数运算法则，比较简单．‎ ‎17．（6分）（2011•昆明）解方程：．‎ 考点：‎ 解分式方程．‎ 分析：‎ 观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ 解答：‎ 解：方程的两边同乘（x﹣2），得 ‎3﹣1=x﹣2，‎ 解得x=4．‎ 检验：把x=4代入（x﹣2）=2≠0．‎ ‎∴原方程的解为：x=4．‎ 点评：‎ 本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎18．（5分）（2011•昆明）在▱ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案．‎ 解答：‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，∠B=∠D，‎ ‎∵BE=DF，‎ ‎∴△ABE≌△CDF，‎ ‎∴AE=CF．‎ 点评：‎ 本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键．‎ ‎19．（7分）（2011•昆明）某校在八年级信息技术模拟测试后，八年级（1）班的最高分为99分，最低分为40分，课代表将全班同学的成绩（得分取整数）进行整理后分为6个小组，制成如下不完整的频数分布直方图，其中39.5～59.5的频率为0.08，结合直方图提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）八年级（1）班共有　50　名学生；‎ ‎（2）补全69.5～79.5的直方图；‎ ‎（3）若80分及80分以上为优秀，优秀人数占全班人数的百分比是多少？‎ ‎（4）若该校八年级共有450人参加测试，请你估计这次模拟测试中，该校成绩优秀的人数大约有多少人？‎ 考点：‎ 频数（率）分布直方图；用样本估计总体．‎ 分析：‎ ‎（1）由图知：39.5～59.5的学生共有4人，根据频率=可得到答案；‎ ‎（2）首先求出）69.5～79.5的频数，再画图．‎ ‎（3）80分及80分以上的人数为：18+8=26，再用×100%=百分比可得答案．‎ ‎（4）利用样本估计总体即可解决问题．‎ 解答：‎ 解：（1）4÷0.08=50，‎ ‎（2）69.5～79.5的频数为：50﹣2﹣2﹣8﹣18﹣8=12，如图：‎ ‎（3）×100%=52%，‎ ‎（4）450×52%=234（人），‎ 答：优秀人数大约有234人．‎ 点评：‎ 此题主要考查了看频数分布直方图，用样本估计总体，中考中经常出现，读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎20．（7分）（2011•昆明）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，请解答下列问题：‎ ‎（1）将△ABC向下平移3个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；‎ ‎（2）将△ABC绕点O顺时针方向旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2，并写出A2点的坐标．‎ 考点：‎ 作图-旋转变换；作图-平移变换．‎ 专题：‎ 作图题．‎ 分析：‎ ‎（1）将三角形的各点分别向下平移3个单位，然后顺次连接即可得出平移后的△A1B1C1；‎ ‎（2）根据题意所述的旋转角度、旋转中心及旋转方向依次找到各点旋转后的对应点，然后顺次连接即可得出旋转后的△A2B2C2，结合直角坐标系可写出A2点的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）所画图形如下：‎ ‎（2）所画图形如下：‎ ‎∴A2点的坐标为（2，﹣3）．‎ 点评：‎ 本题考查了平移作图及旋转作图的知识，难度一般，解答此类题目的关键是掌握旋转及平移的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．‎ ‎21．（7分）（2011•昆明）如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果精确到1m，参考数据：，≈1.732）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-方向角问题．‎ 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ 过点C作CD⊥AB于D，则由已知求出CD和BD，也能求出AD，从而求出这段地铁AB的长度．‎ 解答：‎ 解：过点C作CD⊥AB于D，由题意知：‎ ‎∠CAB=45°，∠CBA=30°，‎ ‎∴CD=BC=200（m），‎ BD=CB•cos（90°﹣60°）=400×=200（m），‎ AD=CD=200（m），‎ ‎∴AB=AD+BD=200+200≈546（m），‎ 答：这段地铁AB的长度为546m．‎ 点评：‎ 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，有公共直角边的可利用这条边进行求解．‎ ‎22．（8分）（2011•昆明）小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．‎ ‎（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；‎ ‎（2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？‎ 考点：‎ 游戏公平性；列表法与树状图法．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意直接列出树形图或列表即可；‎ ‎（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：（1）‎ ‎（2）不公平．‎ 理由：因为两纸牌上的数字之和有以下几种情况：‎ ‎1+1=2；2+1=3；3+1=4；1+2=3；2+2=4；3+2=5；1+3=4；2+3=5；3+3=6共9种情况，‎ 其中5个偶数，4个奇数．‎ 即小昆获胜的概率为，而小明的概率为，‎ ‎∴＞，‎ ‎∴此游戏不公平．‎ 点评：‎ 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．‎ ‎23．（9分）（2011•昆明）A市有某种型号的农用车50辆，B市有40辆，现要将这些农用车全部调往C、D两县，C县需要该种农用车42辆，D县需要48辆，从A市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元，从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元．‎ ‎（1）设从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）若此次调运的总费用不超过16000元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用？‎ 考点：‎ 一次函数的应用．‎ 专题：‎ 压轴题；函数思想．‎ 分析：‎ ‎（1）由已知用x表示出各种情况的费用，列出函数关系式，化简即得．根据已知列出不等式组求解．‎ ‎（2）根据（1）得出的函数关系，由此次调运的总费用不超过16000元，计算讨论得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，根据题意得：‎ y=300x+200（42﹣x）+150（50﹣x）+250（x﹣2），‎ 即y=200x+15400，‎ 所以y与x的函数关系式为：y=200x+15400．‎ 又∵，‎ 解得：2≤x≤42，且x为整数，‎ 所以自变量x的取值范围为：2≤x≤42，且x为整数．‎ ‎（2）∵此次调运的总费用不超过16000元，‎ ‎∴200x+15400≤16000‎ 解得：x≤3，‎ ‎∴x可以取：2或3，‎ 方案一：从A市运往C县的农用车为2辆，从B市运往C县的农用车为40辆，从A市运往D县的农用车为48辆，从B市运往D县的农用车为0辆，‎ 方案二：从A市运往C县的农用车为3辆，从B市运往C县的农用车为39辆，从A市运往D县的农用车为47辆，从B市运往D县的农用车为1辆，‎ ‎∵y=200x+15400是一次函数，且k=200＞0，y随x的增大而增大，‎ ‎∴当x=2时，y最小，即方案一费用最小，‎ 此时，y=200×2+15400=15800，‎ 所以最小费用为：15800元．‎ 点评：‎ 此题考查的知识点是一次函数的应用，关键是使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程规范》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式．‎ ‎24．（9分）（2011•昆明）如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的直线EF与AB的延长线交于点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC．‎ ‎（1）求证：CF是⊙O的切线；‎ ‎（2）∠F=30°时，求的值．‎ 考点：‎ 切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．‎ 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连接OE，根据角平分线的性质和等边对等角可得出OE∥AC，则∠OEF=∠ACF，由AC⊥EF，则∠OEF=∠ACF=90°，从而得出OE⊥CF，即CF是⊙O的切线；‎ ‎（2）由OE∥AC，则△OFE∽△AFC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，从而得出的值．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接OE，‎ ‎∵AE平分∠FAC，‎ ‎∴∠CAE=∠OAE，‎ 又∵OA=OE，∠OEA=∠OAE，∠CAE=∠OEA，‎ ‎∴OE∥AC，‎ ‎∴∠OEF=∠ACF，‎ 又∵AC⊥EF，‎ ‎∴∠OEF=∠ACF=90°，‎ ‎∴OE⊥CF，‎ 又∵点E在⊙O上，‎ ‎∴CF是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵∠OEF=90°，∠F=30°，‎ ‎∴OF=2OE 又OA=OE，‎ ‎∴AF=3OE，‎ 又∵OE∥AC，‎ ‎∴△OFE∽△AFC，‎ ‎∴==，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．‎ ‎25．（12分）（2011•昆明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．‎ ‎（1）求AC、BC的长；‎ ‎（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；‎ ‎（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小？若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理．‎ 专题：‎ 压轴题；动点型．‎ 分析：‎ ‎（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；‎ ‎（2）分别从当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H与当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′去分析，首先过点Q作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；‎ ‎（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的对应边成比例，求得△PBQ各边的长，根据相似三角形的判定，即可得以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；‎ ‎（4）由x=5秒，求得AQ与AP的长，可得PQ是△ABC的中位线，即可得PQ是AC的垂直平分线，可得当M与P重合时△BCM得周长最小，则可求得最小周长的值．‎ 解答：‎ 解：（1）设AC=4ycm，BC=3ycm，‎ 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，‎ 即：（4y）2+（3y）2=102，‎ 解得：y=2，‎ ‎∴AC=8cm，BC=6cm；‎ ‎（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，‎ ‎∵AP=xcm，‎ ‎∴BP=（10﹣x）cm，BQ=2xcm，‎ ‎∵△QHB∽△ACB，‎ ‎∴，‎ ‎∴QH=xcm，‎ y=BP•QH=（10﹣x）•x=﹣x2+8x（0＜x≤3），‎ ‎②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，‎ ‎∵AP=xcm，‎ ‎∴BP=（10﹣x）cm，AQ=（14﹣2x）cm，‎ ‎∵△AQH′∽△ABC，‎ ‎∴，‎ 即：=，‎ 解得：QH′=（14﹣2x）cm，‎ ‎∴y=PB•QH′=（10﹣x）•（14﹣2x）=x2﹣x+42（3＜x＜7）；‎ ‎∴y与x的函数关系式为：y=；‎ ‎（3）∵AP=xcm，AQ=（14﹣2x）cm，‎ ‎∵PQ⊥AB，‎ ‎∴△APQ∽△ACB，‎ ‎∴=，‎ 即：=，‎ 解得：x=，PQ=，‎ ‎∴PB=10﹣x=cm，‎ ‎∴==≠，‎ ‎∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；‎ ‎（4）存在．‎ 理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4cm，AP=x=5cm，‎ ‎∵AC=8cm，AB=10cm，‎ ‎∴PQ是△ABC的中位线，‎ ‎∴PQ∥BC，‎ ‎∴PQ⊥AC，‎ ‎∴PQ是AC的垂直平分线，‎ ‎∴PC=AP=5cm，‎ ‎∵AP=CP，‎ ‎∴AP+BP=AB，‎ ‎∴AM+BM=AB，‎ ‎∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，‎ ‎∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16cm．‎ ‎∴△BCM的周长最小值为16cm．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．‎