2010大庆市中考数学试题及答案

2010大庆市中考数学试题及答案

‎2010年黑龙江省大庆市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上．）‎ ‎1． 有理数﹣3的相反数是（　　）‎ ‎ A．3 B．﹣3 C． D．﹣‎ ‎2．下列运算正确的是（　　）‎ ‎ A．a3•a2=a5 B．a10÷a2=a5 C．a2+a2=2a4 D．（a+3）2=a2+9‎ ‎3． 一块面积为10m2的正方形草坪，其边长（　　）‎ ‎ A．小于3m B．等于3m C．在3m与4m之间 D．大于4m ‎4．下列每一个不透明袋子中都装有若干红球和白球（除颜色外其他均相同）．‎ 第一个袋子：红球1个，白球1个；‎ 第二个袋子：红球1个，白球2个；‎ 第三个袋子：红球2个，白球3个；‎ 第四个袋子：红球4个，白球10个．‎ 分别从中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（　　）‎ ‎ A．第一个袋子 B．第二个袋子 C．第三个袋子 D．第四个袋子 ‎ 5．如图，将一块三角板叠放在直尺上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）‎ ‎ A．40° B．60° C．70° D．80°‎ ‎6．某工程队铺设一条480米的景观路，开工后，由于引进先进设备，工作效率比原计划提高50%，结果提前4天完成任务．若设原计划每天铺设x米，根据题意可列方程为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在直角坐标系中，⊙P、⊙Q的位置如图所示．下列四个点中，在⊙A外部且在⊙B内部的是（　　）‎ ‎ A．（1，2） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（3，1）‎ ‎8．如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，直接拼成一个新的图形，这个新的图形可能为（　　）‎ ‎ A．三角形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 ‎9．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的距离为S，则S关于t的函数图象大致为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，等边三角形ABC的边长为3，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=AE=2，将△ADE沿直线DE折叠，点A的落点记为A′，则四边形ADA′E的面积S1与△ABC的面积S2之间的关系是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎11．不等式2x﹣3≤3的正整数解是　_________　．‎ ‎12．中央电视台组织慈善晚会，共为玉树灾区募捐善款人民币约2 175 000 000元，把这个数用科学记数法表示为　_________　．‎ ‎13．如图（1），用八个同样大小的小立方体搭成一个大立方体，小明从上面的四个小立方体中取走了两个后，得到的新几何体的三视图如图（2）所示，则他拿走的两个小立方体的序号是　_________　（只填写满足条件的一种情况即可，答案格式如：“12”）．‎ ‎14．如图，已知点P（1，2）在反比例函数的图象上，观察图象可知，当x＞1时，y的取值范围是　_________　．‎ ‎15．如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作M．若点⊙M在OB边上运动，则当OM=　_________　cm时，⊙M与OA相切．‎ ‎16．某中学推荐了甲、乙两班各50名同学参加上海世博会体操表演，经测量并计算得甲、乙两班同学身高的平均数和方差的结果为：=165（cm），=165（cm），S甲2=75，S乙2=21.6，世博会组委会从身高整齐美观效果来看，应选　_________　班参加比赛．（填“甲”或“乙”）．‎ ‎17．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是　_________　．‎ ‎18．小颖同学想用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎11‎ ‎2‎ ‎﹣1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎…‎ 由于粗心，小颖算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x=　_________　．‎ 三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎19．计算：．‎ ‎20．先化简，再求值：，其中a=3．‎ ‎21．光明中学八年级（1）、（2）班学生参加社会实践活动，图①是（1）班社会实践活动成绩的条形统计图，图②是（2）班社会实践活动成绩的扇形统计图．请你结合图①和图②中所给信息解答下列问题：‎ ‎（1）填写下表：‎ 平均数 中位数 众 数 八年级（1）班的社会实践活动成绩 ‎3.5‎ ‎（2）计算八年级（2）班社会实践活动成绩的平均数；‎ ‎（3）老师认为八年级（1）班的社会实践活动成绩较好，他的理由是什么？（写出两条即可）‎ ‎22． 2006年夏秋，我国西部重庆等地连日无雨，水库的蓄水量也随着时间的增加而减少，如图是某水库的蓄水量y（万米3）与干旱持续时间x（天）之间的函数图象，‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？‎ ‎23．在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．‎ ‎（1）请用树状图表示出三位评委给出A选手的所有可能的结论；‎ ‎（2）比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问对于选手A，进入下一轮比赛的概率是多少？‎ ‎24．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接PA、PC．‎ ‎（1）证明：∠PAB=∠PCB；‎ ‎（2）在BC上取一点E，连接PE，使得PE=PC，连接AE，判断△PAE的形状，并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎25．小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点．‎ ‎（1）求出A，B两点的坐标；‎ ‎（2）有一开口向下的抛物线y=a（x﹣h）2+k经过点A，B，且其顶点在⊙C上．试确定此抛物线的表达式．‎ ‎27．在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．‎ 活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF是正方形，求阴影部分的面积．‎ 小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：　_________　．‎ 活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，求AE的长．‎ 小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：　_________　．AE的长是　_________　．‎ 活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积．‎ ‎28．已知：如图①，正方形ABCD与矩形DEFG的边AD、DE在同一直线l上，点G在CD上．正方形ABCD的边长为a，矩形DEFG的长DE为b，宽DG为3（其中a＞b＞3）．若矩形DEFG沿直线l向左以每秒1个单位的长度的速度运动（点D、E始终在直线l上）．若矩形DEFG在运动过程中与正方形ABCD的重叠部分的面积记作S，运动时间记为t秒（0≤t≤m），其中S与t的函数图象如图②所示．矩形DEFG的顶点经运动后的对应点分别记作D′、E′、F′、G′．‎ ‎（1）根据题目所提供的信息，可求得b=　_________　，a=　_________　，m=　_________　；‎ ‎（2）连接AG′、CF′，设以AG′和CF′为边的两个正方形的面积之和为y，求当0≤t≤5时，y与时间t之间的函数关系式，并求出y的最小值以及y取最小值时t的值；‎ ‎（3）如图③，这是在矩形DEFG运动过程中，直线AG′第一次与直线CF′垂直的情形，求此时t的值．并探究：在矩形DEFG继续运动的过程中，直线AG′与直线CF′是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，请画出图形，并求出t的值；否则，请说明理由．‎ ‎2010年黑龙江省大庆市中考数学试卷参考答案 ‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上．） ‎ ‎1．A．2．A．3．C．4． A．5． C．6． C．7． C．8． D．9． C．10． D．‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎11．　1、2、3　．12．　2.175×109　．13．　13或24　14． 0＜y＜2． ‎ ‎ 15．　4　 16．　乙　 17． ． 18．　2　．‎ 三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎19．计算：．‎ 解：原式=1+3﹣=4﹣．‎ ‎20．先化简，再求值：，其中a=3．‎ 解：=（2分）‎ ‎=（3分） ‎ ‎=（4分）‎ 当a=3时，‎ 原式=．（6分）‎ ‎21．解：（1）填写下表：‎ 平均数 中位数 众数 ‎（1）班的社会实践活动成绩 ‎3.5‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎（2）八年级（2）班社会实践活动成绩的平均数；（分）‎ ‎（3）理由是：两个班的社会实践活动成绩的平均数相同，八年级（1）班社会实践活动成绩的中位数和众数大于八年级（2）班社会实践活动成绩的中位数和众数，所以八年级（1）班的社会实践活动成绩好．（对于合理的解释都给分）‎ ‎22．解：（1）设y=kx+b，‎ 根据题意，可得，‎ 解可得，k=﹣20，‎ 又有b=1200，‎ 则y=﹣20x+1200；‎ ‎（2）当y=0时，‎ 即﹣20x+1200=0，‎ 解可得x=60，‎ 因此，持续干旱60天水库将干涸．‎ ‎23．解：（1）画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果：‎ ‎（4分）‎ ‎（2）由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种．并且它们是等可能的，（5分）‎ ‎∴对于A选手，进入下一轮比赛的概率是．（7分）‎ ‎24．‎ ‎　‎ 解答：（1）证明：∵在正方形ABCD中，BD是对角线，‎ ‎∴AB=CB，∠ABD=∠CBD．‎ 又∵BP=BP，‎ ‎∴△ABP≌△CBP．‎ ‎∴PA=PC，∠PAB=∠PCB．‎ ‎（2）解：如图，△PAE是等腰直角三角形，理由如下：‎ ‎∵PE=PC，‎ ‎∴∠PEC=∠PCB．‎ 又∵∠PAB=∠PCB，‎ ‎∴∠PAB=∠PEC．‎ ‎∵E是BC上一点，∠PEB+∠PEC=180°，‎ ‎∴∠PAB+∠PEB=180°．‎ ‎∵在四边形ABEP中，∠PAB+∠ABC+∠PEB+∠APE=360°，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠APE=90°．‎ ‎∵PA=PC，PE=PC，‎ ‎∴PA=PE．‎ ‎∴△PAE是等腰直角三角形． （其他方法酌情给分）‎ ‎25．解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．‎ ‎∵α+∠DAF=180°﹣∠BAD=180°﹣90°=90°，‎ ‎∠ADF+∠DAF=90°，‎ ‎∴∠ADF=α=36°．‎ 根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．‎ 在Rt△ABE中，sin，‎ ‎∴AB==40（mm）．‎ 在Rt△ADF中，cos∠ADF=，‎ ‎∴AD==60（mm）．‎ ‎∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200（mm）．‎ ‎ ‎ ‎26．解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，‎ 则CD=1，CA=CB=2，‎ ‎∴DB=DA=．‎ 点A（1﹣，0），点B（+1，0）；‎ ‎（2）延长DC，交⊙C于点P．‎ 由题意可知，P为抛物线的顶点，并可求得点P（1，3），‎ ‎∴h=1，k=3，‎ 设此抛物线的表达式为y=a（x﹣1）2+3，‎ 又∵抛物线过点B（+1，0），则0=，‎ 得a=﹣1，‎ 所以此抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+3=﹣x2+2x+2．‎ ‎27．‎ 小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：　1　．‎ 活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，求AE的长．‎ 小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：　正方形　．AE的长是　4　．‎ 活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积．‎ 解：活动一：‎ ‎∵四边形DECF是正方形，‎ ‎∴DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC，‎ ‎∴，，‎ ‎∵AD=2，BD=1，‎ ‎∴AC=3x，BC=x，‎ ‎∵AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴9x2+（x）2=9，‎ 解得：x=，‎ ‎∴DE=DF=，AE=，BF=，‎ ‎∴S△ADE+S△BDF=1，‎ ‎∴S阴影=1；‎ 故答案为：1；‎ 活动二：根据题意得：∠EAG=90°，‎ ‎∵AE⊥BC，‎ ‎∴∠AEB=∠AEC=∠G=90°，‎ ‎∴四边形AECG是矩形，‎ ‎∵AE=AG，‎ ‎∴四边形AECG是正方形，‎ ‎∵BC=5，CD=3，‎ ‎∴设AE=x，则BE=GD=CG﹣CD=x﹣3，‎ BE=BC﹣EC=5﹣x，‎ ‎∴x﹣3=5﹣x，‎ 解得：x=4，‎ ‎∴AE=4．‎ 故答案为：正方形，4；‎ 活动三：过点B作BG⊥DC于点G，过点E作EF⊥AB与AB的延长线交于点F．‎ ‎∵∠BAD=∠D=∠DGB=90°，‎ ‎∴四边形ABGD是矩形，‎ ‎∴DG=AB=2，‎ ‎∴CG=DC﹣DG=4﹣2=2．‎ ‎∵∠CBG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°，‎ ‎∴∠CBG=∠EBF．‎ 在△BCG与△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE，‎ ‎∴△BCG≌△BEF，‎ ‎∴CG=EF=2．‎ ‎∴S△ABE=AB•EF=2．（10分）‎ ‎28．（1）根据题目所提供的信息，可求得b=　4　，a=　5　，m=　9　；‎ ‎（2）连接AG′、CF′，设以AG′和CF′为边的两个正方形的面积之和为y，求当0≤t≤5时，y与时间t之间的函数关系式，并求出y的最小值以及y取最小值时t的值；‎ ‎（3）如图③，这是在矩形DEFG运动过程中，直线AG′第一次与直线CF′垂直的情形，求此时t的值．并探究：在矩形DEFG继续运动的过程中，直线AG′与直线CF′是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，请画出图形，并求出t的值；否则，请说明理由．‎ 解：（1）由图②知：从第4到第5秒时，S的值恒为12，此时矩形全部落在正方形的内部，‎ 那么矩形的面积为12，即可求得DE=4；‎ 这个过程持续了1秒，说明正方形的边长为：DE+1=5；‎ 由于矩形的速度恒定，所以5～m也应该用4秒的时间，故m=5+4=9；‎ 即：b=4，a=5，m=9．‎ ‎（2）如图，当0≤t≤5时，‎ ‎∵AD′=5﹣t，D′G=3，PF′=4﹣t，CP=2，‎ ‎∴y=9+（5﹣t）2+4+（4﹣t）2，‎ ‎∴y=2（t﹣）2+，‎ ‎∴当t=时，y有最小值，y最小值=．‎ ‎（3）①当0≤t＜4时，分别延长AG′和F′C；‎ 如图，由于∠1和∠2都是锐角，所以∠1+∠2＜180°，‎ 所以AG′与CF′不可能平行．‎ 设AG′与F′C的延长线交于点H，‎ 当∠G′AD′=∠PCF′时，直线AG′⊥CF′；‎ ‎∴△AD′G′∽△CPF′，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，‎ 解得t1=2，t2=7（不合题意，舍去）．‎ ‎②当t=4时，由于点F′在CD上，而点G′不在直线AD上，‎ 因为AD⊥CD，所以AG′不可能也垂直于CD ‎（因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直）．‎ 同样，由于AB∥CD，而点G′不在直线AB上，‎ 所以t=4时，AG′也不可能平行于CD（CF′）‎ ‎（因为过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）．‎ ‎③4＜t＜5时，延长G′F′交BC于P，延长AG′交CD于Q，‎ 由于∠CF′P是锐角，所以∠CF′G是钝角，‎ 所以∠CF′G+∠QGF′≠90°，所以AG′与CF′不可能垂直；‎ 当∠G′AD′=∠CF′P时，AG′∥CF′，‎ 易得△AD′G′∽△F′PC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得t=4.4．‎ ‎④当t=5时，AG′与CF′既不可能垂直也不可能平行，理由同②．‎ ‎⑤当5＜t＜9时，因为∠QG′F′与∠CF′G′都是钝角，‎ 所以∠QG′F′+∠CF′G′＞180°，‎ 所以AG′与CF′不可能平行．‎ 延长CF′与AG′相交于点M，延长G′F′与CD相交于点P；‎ 当∠MG′F′+∠MF′G′=90°时，AG′⊥CF′；‎ 又∵∠AG′D′+∠AG′F′=90°，∠MF′G′=∠CF′P，‎ ‎∴∠AG′D′=∠CF′P，又∠AD′G′=∠F′PC，‎ ‎∴△AD′G′∽△CPF′，‎ ‎∴，即；‎ 解得：t1=2（不合题意，舍去），t2=7；‎ 所以，综上所述，当t=2或t=7时，直线AG′与直线CF′垂直，当t=4.4时，直线AG′与直线CF′平行．‎ ‎ ‎ ‎ ‎