中考数学一模试卷含解析8

中考数学一模试卷含解析8

‎2016年山东省临沂市沂南县中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）‎ ‎1．下列四个数中，最小的数是（　　）‎ A．﹣ B．0 C．﹣2 D．2‎ ‎2．全球每年大约有577000000000000米3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽，将数577000000000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．5.77×1014米 B．0.577×1015米 C．577×1012米 D．5.77×1013米 ‎3．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（　　）‎ A．10° B．15° C．20° D．25°‎ ‎4．下列运算结果正确的是（　　）‎ A．x2+x3=x5 B．x3•（3x）2=9x5 C．x5÷x=x5 D．x3•x2=x6‎ ‎5．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（　　）‎ A．30° B．40° C．50° D．80°‎ ‎7．化简÷•，其结果是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣ D．‎ ‎8．如图是某几何体的三视图，其侧面积为（　　）‎ A．6 B．4π C．6π D．12π ‎9．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．有甲、乙两块面积相同的草莓园，分别收获草莓8600kg和9800kg，甲草莓园比乙草莓园平均每亩少60kg，问甲草莓园平均每亩收获草莓多少kg？设甲草莓园平均每亩收获草莓xkg，根据题意可得方程（　　）‎ A． = B． =‎ C． = D． =‎ ‎11．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（　　）‎ A．13 B．14 C．15 D．16‎ ‎12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（　　）‎ A．12 B．9 C．6 D．4‎ ‎13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（　　）‎ A．2 B． C．2 D．‎ ‎14．已知：在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）‎ ‎15．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2=　　　　　　．‎ ‎16．某班数学兴趣小组10名同学的年龄情况如表：‎ ‎ 年龄（岁）‎ ‎ 12‎ ‎ 13‎ ‎ 14‎ ‎ 15‎ ‎ 人数 ‎ 1‎ ‎ 4‎ ‎ 4‎ ‎ 1‎ 则这10名同学年龄的平均数是　　　　　　．‎ ‎17．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为　　　　　　米．‎ ‎18．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为　　　　　　．‎ ‎19．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2014+i2015的值为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共63分）‎ ‎20． •﹣4cos45°+（）﹣1．‎ ‎21．某中学九（2）班同学为了了解2014年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区的部分家庭，并将调查数据进行如下整理：‎ ‎ 月均用水量x（吨）‎ ‎ 频数 ‎ 频率 ‎ 0＜x≤5‎ ‎ 6‎ ‎ 0.12‎ ‎ 5＜x≤10‎ ‎　　　　　　‎ ‎ 0.24‎ ‎ 10＜x≤15‎ ‎ 16‎ ‎ 0.32‎ ‎ 15＜x≤20‎ ‎ 10‎ ‎ 0.20‎ ‎ 20＜x≤25‎ ‎ 4‎ ‎　　　　　　‎ ‎ 25＜x≤3‎ ‎ 2‎ ‎ 0.04‎ 请解答以下问题：‎ ‎（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；‎ ‎（2）求被调查的家庭中，用水量不超过15吨的家庭占总数的百分比；‎ ‎（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20吨的家庭大约有多少户？‎ ‎22．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．‎ ‎（1）试说明AC=EF；‎ ‎（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．‎ ‎23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；‎ ‎（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．‎ ‎（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AE的长．‎ ‎24．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．‎ ‎（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；‎ ‎（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．‎ ‎①求y关于x的函数关系式；‎ ‎②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？‎ ‎（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．‎ ‎25．问题情境：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；‎ 类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；‎ 综合运用：（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．‎ ‎26．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．‎ ‎（1）如图1，如果B点坐标为（2，3），那么k=　　　　　　；A点坐标为　　　　　　；‎ ‎（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；‎ ‎（3）如图，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年山东省临沂市沂南县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）‎ ‎1．下列四个数中，最小的数是（　　）‎ A．﹣ B．0 C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】有理数大小比较．‎ ‎【分析】用数轴法，将各选项数字标于数轴之上即可解本题．‎ ‎【解答】解：画一个数轴，将A=﹣、B=0、C=﹣2、D=2标于数轴之上，‎ 可得：‎ ‎∵C点位于数轴最左侧，‎ ‎∴C选项数字最小．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．全球每年大约有577000000000000米3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽，将数577000000000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．5.77×1014米 B．0.577×1015米 C．577×1012米 D．5.77×1013米 ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】分析：科学记数法表示数，就是把一个数写成a×10n形式，其中a是整数，且1≤|a|＜10，n为整数．‎ ‎【解答】解：577000000000000=5.77×1014‎ 故选：A ‎　‎ ‎3．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（　　）‎ A．10° B．15° C．20° D．25°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】根据AB∥CD可得∠3=∠1=65°，然后根据∠2=180°﹣∠3﹣90°求解．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠3=∠1=65°，‎ ‎∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．下列运算结果正确的是（　　）‎ A．x2+x3=x5 B．x3•（3x）2=9x5 C．x5÷x=x5 D．x3•x2=x6‎ ‎【考点】整式的混合运算．‎ ‎【分析】计算出各个选项中式子的正确结果即可得到哪个选项是正确的．‎ ‎【解答】解：x2+x3不能合并，故选项A错误；‎ x3•（3x）2=x3•9x2=9x5，故选项B正确；‎ x5÷x=x4，故选项C错误；‎ x3•x2=x5，故选项D错误；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案．‎ ‎【解答】解：解不等式组，‎ 解不等式①，得：x＞﹣3，‎ 解不等式②，得：x≤2，‎ ‎∴不等式组得解集为：﹣3＜x≤2，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（　　）‎ A．30° B．40° C．50° D．80°‎ ‎【考点】圆周角定理．‎ ‎【分析】首先由OA=OB，∠OBA=50°，求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理的性质，求得答案．‎ ‎【解答】解：∵OA=OB，∠OBA=50°，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA=50°，‎ ‎∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=80°，‎ ‎∴∠C=∠AOB=40°．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．化简÷•，其结果是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣ D．‎ ‎【考点】分式的乘除法．‎ ‎【分析】原式先利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=﹣••=﹣2．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．如图是某几何体的三视图，其侧面积为（　　）‎ A．6 B．4π C．6π D．12π ‎【考点】由三视图判断几何体．‎ ‎【分析】由主视图、俯视图和左视图确定是圆柱，圆柱的底面直径为2，高为3，由此求得侧面积即可．‎ ‎【解答】解：根据三视图判断出是圆柱．‎ 侧面积=2×3π=6π，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取的两个球数字之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ ‎∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况，‎ ‎∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是： =．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．有甲、乙两块面积相同的草莓园，分别收获草莓8600kg和9800kg，甲草莓园比乙草莓园平均每亩少60kg，问甲草莓园平均每亩收获草莓多少kg？设甲草莓园平均每亩收获草莓xkg，根据题意可得方程（　　）‎ A． = B． =‎ C． = D． =‎ ‎【考点】由实际问题抽象出分式方程．‎ ‎【分析】根据关键描述语“两块面积相同的草莓园”，可知等量关系为：甲草莓园的面积=乙草莓园的面积，假设甲草莓园平均每亩收获草莓xkg，根据题意可得方程．‎ ‎【解答】：设甲草莓园平均每亩收获草莓xkg，根据题意，可得方程 ‎=，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（　　）‎ A．13 B．14 C．15 D．16‎ ‎【考点】多边形内角与外角．‎ ‎【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．‎ ‎【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得 ‎（n﹣2）180°=2340°，‎ 解得n=15，‎ 原多边形是15﹣1=14，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（　　）‎ A．12 B．9 C．6 D．4‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义．‎ ‎【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可．‎ ‎【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），‎ ‎∴D（﹣3，2），‎ ‎∵双曲线y=经过点D，‎ ‎∴k=﹣3×2=﹣6，‎ ‎∴△BOC的面积=|k|=3．‎ 又∵△AOB的面积=×6×4=12，‎ ‎∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（　　）‎ A．2 B． C．2 D．‎ ‎【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．‎ ‎【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．‎ ‎【解答】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，‎ ‎∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，‎ 又∵点G为AF的中点，‎ ‎∴DG=AG，‎ ‎∴∠GAD=∠GDA，‎ ‎∴∠CGD=2∠CAD，‎ ‎∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，‎ ‎∴∠ACD=∠CGD，‎ ‎∴CD=DG=3，‎ 在Rt△CED中，DE==2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎14．已知：在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】动点问题的函数图象．‎ ‎【分析】判断出△AEF和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再根据三角形的面积列式表示出S与x的关系式，然后得到大致图象选择即可．‎ ‎【解答】解：∵EF∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴EF=•10=10﹣2x，‎ ‎∴S=（10﹣2x）•x=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∴S与x的关系式为S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜5），‎ 纵观各选项，只有D选项图象符合．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）‎ ‎15．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2=　a（x﹣2y）2　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=a（x2﹣4xy+4y2）=a（x﹣2y）2，‎ 故答案为：a（x﹣2y）2‎ ‎　‎ ‎16．某班数学兴趣小组10名同学的年龄情况如表：‎ ‎ 年龄（岁）‎ ‎ 12‎ ‎ 13‎ ‎ 14‎ ‎ 15‎ ‎ 人数 ‎ 1‎ ‎ 4‎ ‎ 4‎ ‎ 1‎ 则这10名同学年龄的平均数是　13.5　．‎ ‎【考点】加权平均数．‎ ‎【分析】首先根据图表给出的数据求出该班同学的年龄和，然后根据总人数求平均年龄即可．‎ ‎【解答】解：这10名同学年龄的平均数是：‎ ‎=13.5（岁）；‎ 故答案为：13.5．‎ ‎　‎ ‎17．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为　　米．‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，‎ 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），‎ 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），‎ 到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，‎ 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：‎ 当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，‎ 可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：‎ ‎﹣1=﹣0.5x2+2，‎ 解得：x=，‎ 所以水面宽度增加到米，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎18．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为　50°　．‎ ‎【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．‎ ‎【分析】延长AD、EF相交于点H，根据线段中点定义可得CF=DF，根据两直线平行，内错角相等可得∠H=∠CEF，然后利用“角角边”证明△CEF和△DHF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FH，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得GF=FH，根据等边对等角可得∠DGF=∠H，根据菱形的性质求出∠C=∠A，CE=CF，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠CEF，从而得解．‎ ‎【解答】解：如图，延长AD、EF相交于点H，‎ ‎∵F是CD的中点，‎ ‎∴CF=DF，‎ ‎∵菱形对边AD∥BC，‎ ‎∴∠H=∠CEF，‎ 在△CEF和△DHF中，‎ ‎，‎ ‎∴△CEF≌△DHF（AAS），‎ ‎∴EF=FH，‎ ‎∵EG⊥AD，‎ ‎∴GF=FH，‎ ‎∴∠DGF=∠H，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠C=∠A=80°，‎ ‎∵菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，‎ ‎∴CE=CF，‎ 在△CEF中，∠CEF==50°，‎ ‎∴∠DGF=∠H=∠CEF=50°．‎ 故答案为：50°．‎ ‎　‎ ‎19．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2014+i2015的值为　﹣1　．‎ ‎【考点】实数的运算．‎ ‎【分析】i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，由此计算即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，‎ 故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，‎ ‎∵=503…3，‎ ‎∴i+i2+i3+i4+…+i2013+i2014+i2015=i﹣1﹣i=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共63分）‎ ‎20． •﹣4cos45°+（）﹣1．‎ ‎【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】根据二次根式的乘法法则、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=﹣4×+2，然后化简二次根式即可．‎ ‎【解答】解：原式=﹣4×+2‎ ‎=3﹣2+2‎ ‎=5﹣2．‎ ‎　‎ ‎21．某中学九（2）班同学为了了解2014年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区的部分家庭，并将调查数据进行如下整理：‎ ‎ 月均用水量x（吨）‎ ‎ 频数 ‎ 频率 ‎ 0＜x≤5‎ ‎ 6‎ ‎ 0.12‎ ‎ 5＜x≤10‎ ‎　12　‎ ‎ 0.24‎ ‎ 10＜x≤15‎ ‎ 16‎ ‎ 0.32‎ ‎ 15＜x≤20‎ ‎ 10‎ ‎ 0.20‎ ‎ 20＜x≤25‎ ‎ 4‎ ‎　0.08　‎ ‎ 25＜x≤3‎ ‎ 2‎ ‎ 0.04‎ 请解答以下问题：‎ ‎（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；‎ ‎（2）求被调查的家庭中，用水量不超过15吨的家庭占总数的百分比；‎ ‎（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20吨的家庭大约有多少户？‎ ‎【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．‎ ‎【分析】（1）根据月用电量是0＜x≤5的户数是6，对应的频率是0.12，求出调查的总户数，然后利用总户数乘以频率就是频数，频数除以总数就是频率，即可得出答案；再根据求出的频数，即可补全统计图；‎ ‎（2）把该小区用水量不超过15t的家庭的频率加起来，就可得到用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；‎ ‎（3）根据表格求出月均用水量在20＜x≤25的频率，进而求出月均用水量超过20t的频率，乘以1000即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）调查的家庭总数是：6÷0.12=50（户），‎ 则月用水量5＜x≤10的频数是：50×0.24=12（户），‎ 月用水量20＜x≤25的频率==0.08；‎ 故答案为：12，0.08；‎ 补全的图形如下图：‎ ‎（2）该小区用水量不超过15t的家庭的频率之和是0.12+0.24+0.32=0.68，‎ 即月均用水量不超过15t的家庭占被调查的家庭总数的68%．‎ ‎（3）月均用水量在20＜x≤25的频率为1﹣（0.12+0.24+0.32+0.20+0.04）=0.08，‎ 故月均用水量超过20t的频率为0.08+0.04=0.12，‎ 则该小区月均用水量超过20t的家庭大约有1000×0.12=120（户）．‎ ‎　‎ ‎22．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．‎ ‎（1）试说明AC=EF；‎ ‎（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．‎ ‎【考点】平行四边形的判定；等边三角形的性质．‎ ‎【分析】（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后证得△AFE≌△BCA，继而证得结论；‎ ‎（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．‎ ‎【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，‎ ‎∴AB=2BC，‎ 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，‎ ‎∴AB=2AF ‎∴AF=BC，‎ 在Rt△AFE和Rt△BCA中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），‎ ‎∴AC=EF；‎ ‎（2）∵△ACD是等边三角形，‎ ‎∴∠DAC=60°，AC=AD，‎ ‎∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°‎ 又∵EF⊥AB，‎ ‎∴EF∥AD，‎ ‎∵AC=EF，AC=AD，‎ ‎∴EF=AD，‎ ‎∴四边形ADFE是平行四边形．‎ ‎　‎ ‎23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；‎ ‎（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．‎ ‎（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AE的长．‎ ‎【考点】切线的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；‎ ‎（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：‎ ‎∵AB是⊙O直径，‎ ‎∴∠BCA=90°，‎ ‎∵OF∥BC，‎ ‎∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，‎ ‎∴OF⊥AC，‎ ‎∵OC=OA，‎ ‎∴∠B=∠1，‎ ‎∴∠3=∠2，‎ 在△OAF和△OCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△OAF≌△OCF（SAS），‎ ‎∴∠OAF=∠OCF，‎ ‎∵PC是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OCF=90°，‎ ‎∴∠OAF=90°，‎ ‎∴FA⊥OA，‎ ‎∴AF是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，‎ ‎∴OF===5‎ ‎∵FA⊥OA，OF⊥AC，‎ ‎∴AC=2AE，△OAF的面积=AF•OA=OF•AE，‎ ‎∴3×4=5×AE，‎ 解得：AE=，‎ ‎∴AC=2AE=．‎ ‎　‎ ‎24．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．‎ ‎（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；‎ ‎（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．‎ ‎①求y关于x的函数关系式；‎ ‎②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？‎ ‎（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．‎ ‎【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．‎ ‎【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，‎ ‎（2）①据题意得，y=﹣50x+15000，‎ ‎②利用不等式求出x的范围，又因为y=﹣50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，‎ ‎（3）据题意得，y=x﹣150，即y=（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m=50时，m﹣50=0，y=15000，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．‎ ‎【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得 解得 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．‎ ‎（2）①据题意得，y=100x+150，即y=﹣50x+15000，‎ ‎②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，‎ ‎∵y=﹣50x+15000，﹣50＜0，‎ ‎∴y随x的增大而减小，‎ ‎∵x为正整数，‎ ‎∴当x=34时，y取最大值，则100﹣x=66，‎ 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．‎ ‎（3）据题意得，y=x+150，即y=（m﹣50）x+15000，‎ ‎33≤x≤70‎ ‎①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=34时，y取最大值，‎ 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．‎ ‎②m=50时，m﹣50=0，y=15000，‎ 即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润；‎ ‎③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，‎ ‎∴当x=70时，y取得最大值．‎ 即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．‎ ‎　‎ ‎25．问题情境：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；‎ 类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；‎ 综合运用：（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）由正方形的性质可得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．又由∠ADO+∠OAD=90°，可证得∠HAO=∠ADO，继而证得△ABE≌△DAH，可得AE=DH；‎ ‎（2）将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；‎ ‎（3）过点F作FP⊥BC于点P，易证得△AHF∽△CGE，即可求得EC，AF的长，继而求得EF的长，然后由平行线分线段成比例定理，求得=，然后分别求出△FOH与△EOG的面积，即可求得答案．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．‎ ‎∴∠HAO+∠OAD=90°．‎ ‎∵AE⊥DH，‎ ‎∴∠ADO+∠OAD=90°．‎ ‎∴∠HAO=∠ADO，‎ 在△ABE和△DAH中 ‎，‎ ‎∴△ABE≌△DAH（ASA），‎ ‎∴AE=DH．‎ ‎（2）解：EF=GH．‎ 理由：如图2，将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．‎ 将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．‎ ‎∵EF⊥GH，‎ ‎∴AM⊥DN，‎ 根据（1）的结论得AM=DN，‎ ‎∴EF=GH；‎ ‎（3）解：如图3，过点F作FP⊥BC于点P，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠AHO=∠CGO，‎ ‎∵FH∥EG，‎ ‎∴∠FHO=∠EGO，‎ ‎∴∠AHF=∠CGE，‎ ‎∴△AHF∽△CGE，‎ ‎∴===，‎ ‎∵EC=2，‎ ‎∴AF=1，‎ ‎∴在Rt△FPE中，EF==，‎ ‎∵FH∥EG，‎ ‎∴=，‎ 由（2）得：HG=EF，‎ ‎∴FO=HO，‎ ‎∴S△FOH=FO2=×（EF）2=，S△EOG=EO2=×（EF）2=，‎ ‎∴阴影部分的面积为：．‎ ‎　‎ ‎26．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．‎ ‎（1）如图1，如果B点坐标为（2，3），那么k=　1　；A点坐标为　（﹣1，0）　；‎ ‎（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；‎ ‎（3）如图，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）把（2，3）代入其中一个函数解析式即可求出k的值，求出抛物线的解析式后，令y=0代入，求出x的值，即可求出A的坐标；‎ ‎（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D且交AB于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点P的横坐标为a，然后分别求出PE和AF的长度，所以△ABP的面积为PE•AF，利用二次函数的性质即可求出△ABP的面积最大值；‎ ‎（3）在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，即以CO为直径的圆与直线AB相切，此时切点为Q，利用相似三角形的性质求出AQ的长度，再利用切线长定理和勾股定理即可求出AO的长度，从而求出k的值．‎ ‎【解答】解：（1）把B（2，3）代入y=x2+（k﹣1）x﹣k，‎ ‎∴3=4+2（k﹣1）﹣k ‎∴k=1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣1，‎ 令y=0代入y=x2﹣1，‎ ‎∴x=±1，‎ ‎∴A的坐标为（﹣1，0），‎ 故答案为：1； A（﹣1，0）；‎ ‎（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D且交AB于点E，‎ 过点B作BF⊥x轴于点F，如图1，‎ ‎∴由（1）可知：k=1，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x+1，‎ ‎∵B（2，3），‎ ‎∴F（2，0），‎ 设P的坐标为（a，a2﹣1），﹣1＜a＜2，‎ ‎△ABP的面积为S，‎ ‎∴E的横坐标为a，‎ 把x=a代入y=x+1，‎ ‎∴y=a+1，‎ ‎∴E的坐标为（a，a+1），‎ ‎∴PE=（a+1）﹣（a2﹣1）=﹣a2+a+2，‎ ‎∴S=PE•OD+PE•DF ‎=PE•AF ‎=（﹣a2+a+2）‎ ‎=﹣（a﹣）2+‎ 当a=时，S的最大值为，‎ 此时，P（，）；‎ ‎（3）以CO为直径，作⊙M，‎ 当直线AB与⊙M相切时，‎ 此时在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，且切点为Q，‎ 连接QM，如图2‎ 令y=0代入y=x2+（k﹣1）x﹣k，‎ 解得：x=﹣k或x=1，‎ ‎∴C（﹣k，0）‎ 设直线AB与y轴交于点G，‎ 令x=0代入y=kx+1，‎ ‎∴x=﹣‎ ‎∴A（﹣，0），‎ 令x=0代入y=kx+1‎ ‎∴y=1，‎ ‎∴G（0，1），‎ ‎∴OG=1，AO=，OC=k，‎ ‎∵∠MQA=∠AOG=90°，‎ ‎∠GAO=∠GAO，‎ ‎∴△QAM∽△OAG，‎ ‎∴=，‎ ‎∵QM=OC=，‎ ‎∴，‎ ‎∴AQ=，‎ ‎∵GO与⊙M相切，‎ ‎∴由切线长定理可知：GO=QG=1，‎ ‎∴AG=AQ+GO=，‎ ‎∴由勾股定理可求得：AO==，‎ ‎∴=，‎ ‎∴k=．‎